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3B-3 MÓDULO DE APRENDIZAJE UNIDAD ACADÉMICA DE ESTUDIOS GENERALES

ESTADÍSTICA

Autores: Mg. Agustina Ramírez Torres Mg. Gonzalo Juan Fernández Romero Mg. Dina Ñuflo Valdivia

Lima – Perú

2019

Módulo de Aprendizaje Estadística

1

Director Mg. Jorge Antonio Gonzales Miranda

Coordinadora Mg. Agustina Ramírez Torres

Autores: Mg. Agustina Ramírez Torres Mg. Gonzalo Juan Fernández Romero Mg. Dina Ñuflo Valdivia

Corrección de estilo: Lic. Aram Roosell Simangas Villalobos ÍNDICE GENERAL Página

UNIDAD I: CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADISTICA 1.

Conceptos Básicos y Variables

05

2.

El muestreo

11

3.

Instrumento de recolección y elaboración de la matriz de datos

14

UNIDAD II: ESTADISITCA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL 4.

Tabla de frecuencias y gráficas

17

5.

Medidas de tendencia central y posición

26

6.

Medidas de dispersión

35

7.

Medidas de forma de distribución de datos

8.

Ejercicios de repaso para el examen 1

39 40

UNIDAD III: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL Y REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

2

9.

Tablas y gráficas bidimensionales

44 10. Asociación de variables categóricas

50

11. Correlación lineal

53

12. Regresión Lineal simple

56

UNIDAD IV: TEORÍA DE PROBABILIDADES 13. Probabilidad de eventos simples y condicional

63

14. Probabilidad total y teorema de Bayes

66

15. Trabajo de investigación formativa

69

BIBLIOGRAFÍA

70

ANEXOS

Introducción La estadística contribuye con el análisis estadístico de datos que requieran las instituciones gubernamentales, educativas, empresarial, ingenierías, investigación científica. En este sentido, el propósito de la Guía de práctica de Estadística es que el estudiante adquiera la competencia para aplicar las técnicas estadísticas en el tratamiento y análisis de datos cuantitativos a nivel básico. El contenido de este módulo está dividido en cuatro unidades de aprendizaje de acuerdo a los temas del contenido del sílabo. La Primera unidad corresponde a la identificación conceptos básicos. Medición y clasificación de variables. Población, muestra y muestreo. Métodos de recolección de datos para realizar un estudio. En la segunda unidad se realiza el análisis descriptivo de datos con una sola variable, cuyos resultados se presentan en tablas de frecuencias, gráficas y estadísticos de resumen los que describen la frecuencia de ocurrencia de la característica en estudio. La tercera unidad corresponde al análisis descriptivo bidimensional, con la finalidad de estudiar la asociación de variables en tablas de contingencia, gráficos de barras agrupadas y los estadísticos de asociación como el coeficiente de correlación de Pearson. Formulación del modelo de regresión lineal simple para estimar la ocurrencia de nuevos valores de la variable dependiente. La cuarta unidad hace una introducción a las probabilidades para estimar la ocurrencia de ciertos fenómenos aleatorios, mediante la probabilidad de un evento simple, probabilidad condicional y teorema de Bayes. Los resultados se obtienen con el complemento de Excel MegaStat, los cuales se redactarán en Word y se trabajará en equipo como también en forma individual.

Los autores Lima, Marzo 2019

3

Tema 1 Conceptos Básicos y Variables 1.1. Competencia a desarrollar Utiliza los conceptos de básicos de estadística para determinar la población, muestra, unidad de estudio y clasifica las variables según su naturaleza y escala de medición. 1.2. Contenido del tema 1 Estadística Es la ciencia que proporciona un conjunto de métodos, técnicas y procedimientos para recolectar, procesar, organizar, presentar y analizar datos con el fin de describirlas características de un estudio, realizar estimaciones o generalizaciones válidas (Córdova M. 2003). Según el objetivo de análisis estadístico tenemos: Estadística descriptiva y la estadística inferencial. Estadística Descriptiva Son métodos y técnicas relacionados a la recolección, organización, presentación e interpretación de resultados, que permiten describir apropiadamente las características de un conjunto de datos. Comprende el uso de gráficos, tablas, diagramas y criterios para el análisis. Estadística Inferencial Son métodos y técnicas que hacen posible la estimación de una o más características de una población para tomar decisiones, basadas en el resultado de muestras. Estas conclusiones tienen cierto margen de error y probabilidad de ocurrencia. Población Es el conjunto de todas las unidades de estudio que contienen características observables de naturaleza cualitativa o cuantitativa que se pueden medir relacionado a un tema de estudio. La población de estudio lo conforman todos los sujetos, elementos o entes con características similares en quienes se tiene interés en estudiarlo considerando el lugar y periodo de tiempo. Esta población puede ser un conjunto finito o infinito. Por ejemplo la población de estudiantes ingresantes de una universidad en el periodo 2019-I. Muestra Es un grupo de unidades de debidamente seleccionados de una población con el propósito de investigar determinadas características de la población. Unidad de estudio Es el sujeto de interés que va a ser investigado y es único, posee características medibles determinado por el objetivo del estudio. Dato Es el valor nominal o numérico que se obtiene al medir la característica de la unidad de estudio. Variable

4

Es una característica medible, observable en una unidad de estudio y el valor medido varían en cada unidad de una población o muestra, por ejemplo: sexo, sector económico, edad, grado de instrucción, talla, peso, hijos por familia, etc. Clasificación de las variables Según la naturaleza de recolección de datos se clasifican en: • Variables cualitativas; Llamadas también categóricas, expresan atributos sin orden cuyos valores se miden en escala nominal, y atributos con orden que se miden en escala ordinal. •

Variables cuantitativas; Llamadas también numéricas, son valores que expresan cantidades y se mide en escala de intervalo o proporción, se clasifican en continuas y discretas.

Escala de medición de las variables La medición de las variables se hace con un instrumento que asigna valores (categorías o números) a una variable estadística, el cual permite la obtención de datos en las unidades de estudio. Las escalas de medición son: Nominal, ordinal, intervalo y proporción Escala nominal Admite dos o más valores a una variable, el cual permite percibir las diferencias y semejanzas entre las unidades de estudio que se van a medir, como por ejemplo, la variable sexo tiene dos valores: masculino y femenino. Escala ordinal Los valores asignados a la variable expresan orden o grados en forma ascendente o descendente, el cual permite comparar en niveles como “mayor que” o “menor que” a cada categoría medida en la unidad de estudio, como por ejemplo, la variable grado de instrucción toma los valores ordinales: primaria, secundaria y superior. Escala de intervalo Los valores numéricos asignados a la variable permiten comprobar cuantas veces es diferente entre dos valores medidos. Esta medición puede ser un número positivo, número negativo y el valor cero indica medición de la variable, que es un “cero relativo” como por ejemplo, la temperatura: 24°C, 0°C, -8°C. Escala de razón Mide valores numéricos a partir de cero y números positivos, donde el valor cero indica el inicio de medición (cero absoluto) u origen, por ejemplo, el peso de una persona es 50 kg. Ejemplo 1 Un importador de juguetes realizó una encuesta a 85 clientes en diciembre del 2018 para conocer el perfil del comprador de sus productos en la siguiente campaña navideña. Las variables a medir son: la edad del niño, sexo, calidad del producto, cantidad de juguetes que compra, etc. a.

De acuerdo al texto identifica:

Población de estudio

Todos los clientes que visitaron la tienda del importador en diciembre 2018

Muestra

Los 85 clientes que visitaron la tienda del importador en diciembre 2018

Unidad de estudio

Cada cliente que visitó la tienda del importador en diciembre 2018

5

b.

Clasifica las variables según su naturaleza y escala de medición. Variables

Tipo de variable

Escala de medición Valores (datos)

Edad del niño

Cuantitativa continua

Razón

Sexo

Cualitativa nominal

Nominal

Calidad del juguete

Cualitativa ordinal

Ordinal

Cantidad de juguetes comprados

Cuantitativa discreta

1 año 5 años Masculino Femenino Mala Regular Buena 0, 1, 2, 12,….

Razón

1.3. Preguntas de aplicación Problema 01: El gerente de la Administradora de Fondos de Privado de Pensiones de Jubilación SECURITEX S.A (AFP), sabe que cuentan con una cartera de 985 537 asegurados. Ante la aprobación de nuevas leyes por el estado, es necesario realizar un estudio sobre algunas características importantes para fidelizar a sus afiliados y no retiren sus fondos ante nuevas políticas de inversión. Para el estudio, se seleccionó una muestra representativa de 654 clientes para aplicarles una encuesta, y algunas de las variables consideradas fueron el número de miembros por afiliado, el tipo de seguro, pago mensual del seguro, edad, sexo, satisfacción por la inversión de sus fondos y grado de instrucción. De acuerdo al texto contestar el siguiente cuestionario. 1. Se pide identificar los conceptos estadísticos relacionando las frases y colocando la letra que corresponda. a) Del total de afiliados, el número promedio de miembros por familia de cada afiliado es de 5 miembros.

( h ) Variable

b) De los 654 afiliados seleccionados para el estudio, el 25% cuenta con un seguro de vida. c) Se observó que el Sr. Pérez, uno de los 654 clientes elegidos, tiene grado de instrucción superior. d) Según los resultados del estudio en los 654 afiliados de la AFP, el gerente estima que la pensión promedio mensual de jubilación de todos los asegurados que cumplieron los 65años fue de 870 soles.

( a ) Parámetro ( g ) Muestra ( e ) Población

2.-

( f ) Unidad de estudio

e) La AFP SECURITEX cuenta con 985 537 afiliados.

( d ) Inferencia

f) El Sr. Pérez es uno de los afiliados de la AFP SECURITEX.

( c ) Dato

g) Se ha seleccionado a 654 afiliados que participen de una encuesta.

( b ) Estadístico

h) El grado de instrucción de los afiliados.

Con la información recolectada a través de las características de las unidades de estudio seleccionadas se elaboró una matriz de datos, como se muestra a continuación: Tabla 1. Matriz de datos de los afiliados de la AFP SECURITEX N°

Edad del afiliado

Sexo

Miembros por familia

Tipo de Pago mensual seguro (S/)

1

35

M

3

Salud

2

24

F

1

Vida

Estudios

Retira su fondo

Satisfacción por inversión de fondos

60

Superior

Si

Insatisfecho

54

Superior

No

Muy satisfecho

6

3

42

F

1

Salud

55

Secundaria

Si

Poco satisfecho

:

:

:

:

:

:

:

:

:

120

40

M

4

Salud

80

Primaria

No

Poco satisfecho

:

:

:

:

:

:

:

:

:

654

55

F

2

Salud

65

Superior

Si

Insatisfecho

De la matriz de datos se pide clasificar las variables según su naturaleza y escala de medición.

Variable

Tipo de variable

Escala de medición

Edad del afiliado

Cuantitativa continua

Razón

Sexo

Cualitativa nominal

Nominal

Miembros por familia

Cuantitativa discreta

Razón

Tipo de seguro

Cualitativa nominal

Nominal

Pago mensual

Cuantitativa continua

Razón

Estudios

Cualitativa ordinal

Ordinal

Retira su fondo

Cualitativa nominal

Nominal

Satisfacción por inversión de fondos

Cualitativa ordinal

Ordinal

Problema 02: Clasifica las variables según su naturaleza y escala de medición en las casillas que están en blanco. Nº 1 2 3 4

5

6

7

8 9 1 0

Variable Edad de los congresistas Estatura de los deportistas de un club Sueldo de los empleados de una empresa Profesión de los empresarios de Gamarra Distrito de residencia de los estudiantes

Grado de instrucción de los clientes de un banco

Nivel de satisfacción de los usuarios de ESSALUD

Peso de recién nacidos en un hospital Tiempo de tratamiento con un antidepresivo Número de hijos de los trabajadores de una empresa

Tipo de variable

Escala de medida

Cuantitativa continua

Razón

Cuantitativa continua

Razón

Cuantitativa continua

Razón

Cualitativa nominal

Nominal

Cualitativa nominal

Nominal

Cualitativa ordinal

Ordinal

Cualitativa ordinal

Ordinal

Cuantitativa continua

Razón

Cuantitativa continua

Razón

Cuantitativa discreta

Razón

Valores (Ej. Datos) 35 años 68 años 1.70 m 1.88 m 750 soles 1200 soles Administrador Economista Contador Jesús María Pueblo libre Rímac Santa Anita Secundaria Superior Universidad Insatisfecho Poco satisfecho Satisfecho Muy satisfecho 1.5 kg 4.2 kg 5 semanas 12 semanas 1, 2, 3, 4 y 5

7

Problema 03: La gerente de Recursos Humanos de una empresa ha elaborado una prueba de aptitud (evaluados en una escala de 1 a 100) para los 5 puestos de trabajo ofertados; los que obtengan las mejores calificaciones serán los mejores candidatos para cubrir la plaza de dos secretarias, uno para seguridad, un administrador y un contador. Respondiendo al llamado se presentaron 21 postulantes aptos según el perfil requerido, los resultados de la prueba de aptitud en promedio fueron de 73 puntos, uno de los postulantes tiene estudios de Doctorado y 20 años de experiencia. a.

b.

De acuerdo al texto, identifique lo siguiente: Población de estudio

21 postulantes

Muestra

21 postulantes

Unidad de estudio

Cada uno de los postulantes al trabajo de secretariado,etc

Estadístico

Los resultados en promedio fueron de 73 puntos

Identifica las variables mencionadas en el estudio y clasifique según su naturaleza y escala de medición Variable

Tipo de variable

Estudios universitarios para los puestos de trabajo ofertados Años de experiencia

Calificacion

Escala de medida

Cualitativa nominal

nominal

Cuantitativa continua

Razón

Cuantitativa discreta

intervalo

Valores Seguridad Administración Contabilidad 2 años 4 años 20 años 1 punto 2 puntos 73 puntos

Problema 04: Un grupo de investigadores tienen el propósito de conocer cuáles son las condiciones socioeconómicas de las familias residentes en el distrito de Ventanilla. Para el estudio se ha determinado entrevistar a 300 familias elegidas aleatoriamente. La encuesta se realizó en distintas zonas del distrito y algunas características estudiadas son: Tamaño familiar: Número de miembros en la familia Ingresos: Ingreso familiar mensual Estudios: Grado de instrucción alcanzado por el jefe de familia Vivienda: Tipo de material de la vivienda (Prefabricado, material noble, Quincha) a.

Complete las casillas en blanco identificando en enunciado del problema lo siguiente:

Población de estudio

Todas las familias en condiciones socioeconómicas residentes en el distrito de ventanilla

Muestra

300 familias en condiciones socioeconómicas en el distrito de ventanilla

Unidad de Estudio

Cada una de las familias residentes en el distrito de ventanilla

b.

Identifica las variables, luego clasifica según su naturaleza y escala de medición. Variable

N° de miembros en la familia Ingresos Estudios

Tipo de variable Cuantitativa discreta Cuantitativa continua Cualitativa

Escala de medida Razón

Valores 0,1,2,4,5

Razón

0,20,50,100

nominal

Arquitecto, ingeniero, albañil

8

Vivienda(tipo de material de la vivienda)

nominal Cualitativa ordinal

ordinal Madera,prefaabricado,material noble

Problema 05: Bendezú Vilma y Chirinos Claudia realizaron una investigación en 76 adolescentes embarazadas nuevas y continuadoras de 132, cuyo objetivo es determinar las características sociodemográficas, culturales y familiares de adolescentes embarazadas atendidas en los consultorios externos de Gineco-Obstetricia del Hospital Daniel Alcides Carrión del Callao en los meses de enero a marzo del 2015. Entre algunos resultados muestran que el 40.9% tuvo 16 años de edad, el 80.3% no asistieron a ningún programa de educación sexual y planificación familiar, la edad de inicio de relaciones sexuales del 60.5% fue a los 15 años de edad, el 68.4% mencionan que sus padres no le prestan atención y el 81.6% declaran haber sufrido violencia por parte de sus padres. a. Identifica los conceptos estadísticos y relaciona las frases colocando la letra que corresponda a) Todas las adolescentes embarazadas atendidas en consultorios de Gineco( g ) Variable obstetricia durante el periodo de estudio. b) De las 76 adolescentes participantes en el estudio, el 81.6% declara haber ( d ) Parámetro sufrido violencia por sus progenitores. c) Se observó que una adolescente de las 76 estudiadas, no asistió al programa ( e ) Muestra de educación sexual y planificación familiar. d) Del total de adolescentes atendidas en consultorios de Gineco-obstetricia, ( a ) Población ( f ) Unidad de estudio ( c ) Dato ( b ) Estadístico

68.4% refieren que sus padres no les prestan atención. e En el periodo de estudio se atendió a 132 adolescentes embarazadas. ) f) La joven Alisson es una adolescente atendida en el periodo de estudio. g Edad de inicio de relaciones sexuales de las adolescentes ) embarazadas.

1.4 Bibliografía 1. Ávila, RB. (2010). Estadística Elemental. Lima: Estudios y ediciones R.A. 2. Córdova, M. (2003). Estadística Descriptiva e Inferencial. Aplicaciones. (5ª ed.). Lima: Moshera. 3. Newbold, P., Carlson, WL., Tghorne, B. (2008). Estadística para Administración y Economía. (6ª ed.). España: Edit. Pearson Educación S.A. P: 1-13. 4. Black, K. (2008). Estadística en los negocios. (2ª ed.). México: Grupo Editorial Patria S.A.

9

Tema 2 El Muestreo

2.1

Competencia a desarrollar Determina el tipo de muestreo en la selección de muestras probabilísticas y no probabilísticas que se debe aplicar en un estudio.

2.2

Contenido del tema 2 Cuando una población de estudio no se puede estudiar todas las unidades, ya sea por la gran cantidad de unidades o por el costo que implica la investigación, se debe seleccionar una muestra representativa utilizando un método de selección llamado muestreo. Muestreo Es el proceso de seleccionar los individuos o elementos (unidades de estudio) que conformarán la muestra representativa de una determinada población de estudio con el propósito de hacer inferencias. Esta selección se hace utilizando un muestreo probabilístico o no probabilístico según el diseño de la investigación. Tipos de muestreo • Muestreo probabilístico Son métodos probabilísticos que se basan en el principio que cada unidad de estudio de la población tenga igual probabilidad de ser seleccionado en la muestra para asegurar la representatividad de la muestra extraída, de tal modo que sea útil para hacer inferencias sobre dicha población. Estos métodos de muestreos probabilísticos pueden realizarse de forma manual o mediante software y son: Muestreo aleatorio simple, muestreo sistemático, muestreo estratificado y muestreo por conglomerados. • Muestreo no probabilístico Es útil para estudios exploratorios y cuando el muestreo probabilístico es muy costoso. La muestra extraída no da certeza de representatividad, debido a que no todos los sujetos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. Por lo general, la selección de las unidades de la muestra se hace bajo determinados criterios del investigador, procurando en la medida de lo posible que sea representativa. Entre los métodos de muestreo no probabilísticos más utilizados son: Accidental, por selección de criterio, por cuotas y bola de nieve. Ejemplo 2 Un candidato a la alcaldía de cierto distrito, solicita los servicios de una encuestadora para que realicen un estudio con la finalidad de estimar el gasto promedio mensual en alimentación en las familias de su comuna. El responsable del estudio ha seleccionado aleatoriamente del listado general, cada 15 a 200 familias residentes en el distrito; los resultados revelan que las familias en promedio gastan en alimentación 650 soles mensuales. Determinar la población, muestra, muestreo, unidad de estudio, variables, estadístico y parámetro: Solución Población de estudio: Todas las familias que son residentes del distrito Unidad de estudio: Cada una de las familias que vive en el distrito Muestra: 200 familias residentes del distrito Variable de estudio: Gasto mensual en alimentación Tipo de variable: Cuantitativa continua Escala de medición: Razón Muestreo: Aleatorio sistemático Estadístico: Gasto promedio en alimentación de las 200 familias es 650 soles. Parámetro: Gasto promedio estimado en alimentación de las familias del distrito es de 650 soles.

1.3

Preguntas de aplicación Problema 01: El departamento de control de calidad de ANCORP S.A. ante las quejas de sus clientes, decide investigar si sus productos cumplen con las especificaciones de peso exacto en el etiquetado de bolsas de arroz superior de 5kg. Para comprobar la sospecha, selecciona al azar 5 bolsas de un lote de producción durante 3 semanas consecutivas y registra su peso luego de ser pesadas en una balanza calibrada. Si se

10

comprueba la veracidad de la sospecha la máquina de llenado debe ser regulada. Los resultados revelan que el peso medio fue de 4999 gr. Se pide determinar: Variable Control de calidad de peso exacto de las bolsas de arroz de 5 kg

Tipo de variable Cuantitativa continua

Escala de medición Razón

Valores 0kg 5000kg 6000kg 2500kg

a. Población: las bolsas de arroz superior de 5kg b. Muestra: 5 bolsas de un lote c. Unidad de estudio: cada bolsa de arroz mayor de 5 kg d. Tipo de muestreo: probabilístico aleatorio simple Problema 02: En las oficinas administrativas del MINSA, en el área de Logística trabajan 150 personas, se desea saber sobre el manejo del estrés laboral. El encargado del estudio tiene que seleccionar una muestra representativa de 30 trabajadores, y luego se debe aplicar el cuestionario para recolectar datos. Se pide presentar el listado de los números seleccionados utilizando un muestreo aleatorio simple y la tabla de números aleatorios considerando como arranque fila 5 y columna 3. Población de estudio: 150 personas del área de logística del minsa Muestra de estudio: Listado de los 30 números seleccionados utilizando muestreo aleatorio simple: 1 119 11 110 21

078

2

085

12

071

22

061

3

011

13

055

23

091

4

056

14

018

24

012

5

150

15

132

25

074

6

069

16

118

26

063

7

143

17

100

27

101

8

127

18

104

28

092

9

042

19

133

29

016

10

047

20

103

30

025

Problema 03: El alcalde de Lima está interesado en evaluar el nivel de satisfacción sobre el servicio de transporte urbano “Corredor Azul” de Lima, para sustentar la continuidad del contrato. El encargado del estudio realizó una encuesta a 375 personas, quienes fueron seleccionados según el grupo de edad, 150 jóvenes, 175 adultos y 50 adultos mayores. Se pide identificar: Variable(s) Nivel de satisfacción sobre el servicio de transporte urbano “corredor azul”

Tipo de variable Cualitativa ordinal

Escala de medición Ordinal

Valores insatisfecho poco satisfecho satisfecho

a. Población: todas las personas que usan el servicio de transporte urbano “corredor azul” b. Muestra: 375 personas que usan el servicio de transporte urbano “corredor azul” c. Unidad de estudio: cada uno de las personas que usan el servicio de transporte urbano “corredor azul” d. Tipo de muestreo: POR CUOTAS

11

Problema 04: El4 de octubre del 2014, IPSOS Perú realizó una encuesta de opinión sobre la intención de voto, respecto a las preferencias políticas para ocupar la alcaldía de Lima, la cual reveló que el 46.6% votaría por Luis Castañeda. Este resultado proviene de una muestra de 2140 electores hábiles, seleccionados por muestreo bietápico de los 42 distritos de la provincia de Lima. Se pide determinar: Variable Las preferencias políticas para ocupar la alcaldía de Lima

Tipo de variable cualitativa nominal

Escala de medición

Valores

nominal

36.5 46.6 50.3

a. Población: todos los electores hábiles del distrito de Lima b. Unidaddeestudio: cada elector hábil encuestado del distrito de Lima c. Muestreo: BIETAPICO (CONGLOMERADOS) d. Muestra: 2140 electores hábiles Problema 05: Se tiene el listado de 30 estudiantes que participaron de un curso virtual en cierta institución. Se pide seleccionar una muestra aleatoria sistemática de 8 estudiantes que deben participar en un estudio de Focus Group con el propósito de conocer la satisfacción del curso desarrollado. N° DE POBLACION: 30 estudiantes K= N/n 30/8 N° DE MUESTREO: 3.75: 3 suma + 3

N° DE MUESTRA: 8 estudiantes

1

Rocío

11

Alejandro

21

José

2

Gustavo

12

Norma

22

Luis

3

Javier

13

Jacobo

23

Ana Luisa

4

Tomás

14

Natalia

24

Viviana

5

Ana

15

Susana

25

Santiago

6

Lucía

16

Edith

26

Ulamer

7

Ernesto

17

Samuel

27

Marcos

8

Celinda

18

Roberto

28

Lely

9

Jorge

19

Carlo

29

Antonieta

10

Willian

20

Rousse

30

Pablo

Indique el arranque y el listado de los 8 estudiantes seleccionados utilizando un muestreo aleatorio sistemático. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

2.4

JAVIER ANA CELINDA NORMA SUSANA ROBERTO VIVIANA ANTONIETA

Bibliografía 1. Ávila, RB. (2010). Estadística Elemental. Lima: Estudios y ediciones R.A. 2. Córdova, M. (2003). Estadística Descriptiva e Inferencial. Aplicaciones. (5ª ed.). Lima: Moshera.

12

3. Black, K. (2008). Estadística en los negocios. (2ª ed.). México: Grupo Editorial Patria S.A. 4. Martínez, C. (2005). Estadística y Muestreo. (12ª ed.) Colombia. Editorial Eco Ediciones.

Tema 3 Instrumento de recolección y elaboración de la base de datos

3.1

Competencia a desarrollar Elabora la matriz de datos en Excel con las variables consideradas en el instrumento de recolección de datos.

3.2

Contenido del tema 3 Técnicas de recolección de datos Requiere la elección de una técnica y de un instrumento que permita medir las características de las unidades de estudio en una muestra o población. De acuerdo con Hernández, Fernández y Baptista (2010), “Recolectar datos implica elaborar un plan detallado de procedimientos que nos conduzca a reunir datos con un propósito específico” (p.198). Entre las técnicas de recolección tenemos:

Encuesta

Información proporcionada por los mismos sujetos sobre opiniones, conocimientos de un tema de interés.

Documentos

Se obtiene Información de historias clínicas, registros físicos o electrónicos para investigar un tema de interés.

Entrevista

Información proporcionada por los mismos sujetos sobre opiniones con un moderador sobre un tema de interés.

Observación

El investigador recopila datos de manera sistemática observando la ocurrencia de los hechos.

Instrumentos Recurso que usa el investigador para registrar información y son: cuestionarios, guías de observación, inventario y escalas. Todo instrumento de medición debe comprobarse la confiabilidad y validez, con la finalidad de garantizar datos útiles y confiables. La elaboración del instrumento se hace en base al cuadro de operacionalización de variables. Con los datos obtenidos de los sujetos implicados en el estudio, es necesario organizar la información recolectada para el procesamiento de datos, la misma que puede hacerse de forma manual o con el uso de un software como Excel, SPSS, Stata, Statgraphics, Minitab, entre otros. El uso de software para el procesamiento de datos, nos permite el manejo de muestras o poblaciones con gran número de unidades y la obtención de los resultados con mayor velocidad. Elaboración de la base de datos Es el traslado de la información recogida mediante los instrumentos de recolección de datos a un software estadístico o Excel, ello le permite al investigador procesar y obtener resultados que describan la magnitud del problema en estudio. Una base de datos contiene todos los registros de la muestra o población en estudio lista para ser procesada en cualquier momento. Para el procesamiento de datos se realizará usando el complemento MegaStat de Excel. 3.3

Preguntas de aplicación

13

Problema 01: El Director del Centro Geriátrico RENACER del distrito del Rímac, ha realizado un estudio con el propósito de describir el estado nutricional y las enfermedades más frecuentes que presentan los pacientes que fueron atendidos en el primer trimestre del año 2016. Se elaboró una ficha de datos para recolectar información de las historias clínicas de cada paciente como se muestra a continuación: Centro Geriátrico RENACER- Rímac FICHA DE DATOS SERVICIO: Enfermería ACTIVIDAD: Estado nutricional de pacientes hospitalizados 1. Sexo:

1) Masculino

2) Femenino

2. Peso………………………. 3. Talla………………………. 4. Edad………………………. 5. Diagnóstico:

1) Enfermo Mental

6. Lugar de Destino: 3) Fallecido

2) Físicamente enfermo

1) Hogar de familiares

4) Hospital

3) Retrasado mental

2) No ha dejado el Geriátrico

5) Sanatorio particular

6) Otro Geriátrico

Se pide a usted que elabore una base de datos en Excel y debe grabar como Pacientes Geriátricos. Base de datos de pacientes del Centro geriátrico Renacer Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Sexo Masculino Masculino Femenino Masculino Femenino Femenino Femenino Femenino Masculino Masculino Femenino Masculino Masculino Femenino Femenino Femenino Masculino Femenino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Masculino Femenino Femenino Femenino Femenino Masculino Femenino Femenino Masculino Masculino Masculino Femenino Femenino Femenino Masculino Femenino

Peso 72 67 52 74 54 48 55 51 55 53 62 60 51 55 55 52 67 52 48 65 48 68 57 70 59 68 59 57 51 61 52 65 57 57 68 46 48 51 75 64

Talla

Edad

1.68 1.68 1.55 1.72 1.57 1.55 1.60 1.60 1.63 1.68 1.55 1.66 1.54 1.59 1.57 1.57 1.69 1.59 1.56 1.68 1.56 1.69 1.62 1.72 1.67 1.68 1.60 1.53 1.61 1.68 1.57 1.64 1.66 1.58 1.73 1.54 1.52 1.58 1.73 1.65

29 35 34 36 25 20 31 89 42 41 47 41 87 56 50 28 35 23 39 42 72 52 31 35 42 29 61 18 64 51 30 35 40 76 59 71 62 65 51 18

Diagnóstico

Destino

Enfermo mental Enfermo mental Físicamente enfermo Enfermo mental Retrasado mental Enfermo mental Físicamente enfermo Físicamente enfermo Retrasado mental Enfermo mental Físicamente enfermo Físicamente enfermo Enfermo mental Retrasado mental Retrasado mental Físicamente enfermo Retrasado mental Físicamente enfermo Retrasado mental Enfermo mental Enfermo mental Enfermo mental Físicamente enfermo Físicamente enfermo Físicamente enfermo Enfermo mental Retrasado mental Enfermo mental Retrasado mental Físicamente enfermo Físicamente enfermo Retrasado mental Físicamente enfermo Retrasado mental Físicamente enfermo Enfermo mental Enfermo mental Enfermo mental Retrasado mental Retrasado mental

Hogar de familiares No ha dejado el Geriátrico No ha dejado el Geriátrico No ha dejado el Geriátrico No ha dejado el Geriátrico No ha dejado el Geriátrico No ha dejado el Geriátrico Fallecido No ha dejado el Geriátrico No ha dejado el Geriátrico No ha dejado el Geriátrico Hogar de familiares No ha dejado el Geriátrico Fallecido No ha dejado el Geriátrico Otro Geriátrico No ha dejado el Geriátrico No ha dejado el Geriátrico Hospital No ha dejado el Geriátrico Sanatorio particular No ha dejado el Geriátrico No ha dejado el Geriátrico Otro Geriátrico No ha dejado el Geriátrico Hogar de familiares No ha dejado el Geriátrico Hospital No ha dejado el Geriátrico No ha dejado el Geriátrico Hogar de familiares No ha dejado el Geriátrico Sanatorio particular Hospital No ha dejado el Geriátrico Sanatorio particular No ha dejado el Geriátrico Hospital No ha dejado el Geriátrico Otro Geriátrico

Fuente: Enfermería, Renacer

14

Problema 02: El Director de recursos humanos de la empresa Credisa Philco S.A. ha diseñado un cuestionario, con el propósito de conocer como es la relación entre compañeros de trabajo. La aplicación de la encuesta se hizo enviando al correo de los trabajadores, luego será devuelto con los datos llenos de cada trabajador. El cuestionario fue el siguiente: Cuestionario de opinión referente a la relación entre compañeros Estimado colaborador, con la finalidad de mejorar la relación entre compañerismo, responda el siguiente cuestionario con toda sinceridad indicando la opción que usted considere correcta. 1) Edad..………… 2) ¿Cuántos años de educación concluidos tiene?………….. 3) Género  Masculino  Femenino 4) Ingreso semanal…………...…..………. 5) Tiempo que fue ascendido a ocupar un cargo superior……………….. 6) Área de trabajo  Administración  Ventas  Producción 7) Relación de compañerismo  Muy buena  Buena  Regular  Mala Base de datos de pacientes de los empleados CREDISA PHILCO

15

Fuente: Recursos Humanos Credisa Philco S.A.

Se pide elaborar la

Emplead o

Edad

Años_Edu c

Género

Ingresos

Promoció n

Area

Compañerism o

1

35

20

Masculin o

783

1

Administración

Regular

2

64

14

Femenino

257

5

Ventas

3

33

15

Femenino

405

5

Producción

Mala

4

23

14

Masculin o

202

1

Producción

Regular

5

33

12

Femenino

252

1

Ventas

Mala

6

60

14

Masculin o

357

3

Administración

Mala

7

37

14

Femenino

150

2

Ventas

Mala

8

25

13

Femenino

180

5

Ventas

Regular

9

39

18

Masculin o

608

4

Administración

10

35

16

Masculin o

384

3

Ventas

Regular

11

35

12

Femenino

310

2

Ventas

Buena

12

49

13

Masculin o

766

5

Administración

Mala

13

34

12

Femenino

333

1

Producción

14

50

14

Femenino

158

1

Ventas

Buena

15

49

4

Masculin o

275

4

Producción

Mala

16

39

16

Masculin o

642

1

Producción

Mala

17

61

12

Femenino

320

5

Producción

Mala

18

59

16

Femenino

266

2

Producción

Mala

19

25

16

Masculin o

331

1

Ventas

Mala

20

20

11

Masculin o

105

1

Ventas

Mala

21

37

13

Femenino

357

4

Ventas

Buena

22

24

12

Femenino

243

1

Producción

Regular

23

33

10

Masculin o

333

2

Producción

Mala

24

30

16

Femenino

300

2

Ventas

Regular

25

43

13

Masculin o

252

1

Ventas

Mala

26

56

16

Femenino

361

1

Ventas

Mala

27

35

15

Masculin o

427

2

Producción

Mala

28

35

16

Masculin o

147

1

Ventas

29

42

16

Femenino

237

5

Ventas

Mala

30

34

12

Femenino

313

4

Ventas

Regular

31

50

14

Femenino

241

2

Ventas

32

34

12

Femenino

303

2

Producción

33

41

13

Masculin o

164

5

Ventas

34

44

16

Femenino

179

5

Producción

Regular

35

27

17

Femenino

204

2

Producción

Regular

36

40

13

Masculin o

263

1

Ventas

Regular

37

33

16

Femenino

216

4

Ventas

Mala

38

38

19

Masculin o

487

1

Producción

Mala

39

41

15

Masculin o

184

4

Ventas

Buena

40

32

12

Femenino

148

2

Ventas

Buena

41

58

14

Masculin o

537

5

Administración

Regular

42

28

16

Femenino

170

1

Ventas

43

18

12

Masculin o

115

2

Ventas

44

33

16

Femenino

177

5

Ventas

Mala

45

34

9

Femenino

118

2

Ventas

Regular

46

48

17

Femenino

328

4

Administración

Regular

47

21

14

Femenino

163

3

Ventas

Mala

48

26

16

Femenino

447

3

Producción

Mala

49

39

18

Masculin o

756

5

Administración

Mala

50

29

17

Femenino

501

1

Producción

Buena

Mala

Mala

Muy buena

Regular

Mala Regular Mala

Mala Muy buena

16

base de datos en Excel correspondiente a los empleados de Credisa Philco S.A. 3.4

Bibliografía 1. Ávila, RB. (2010). Estadística Elemental. Lima: Estudios y ediciones R.A. 2. Álvarez, R. (2007). Estadística aplicada a las ciencias de la salud. Madrid: Díaz de Santos. 3. Daniel W. (2009). Bioestadística - Base para el Análisis de las Ciencias de la Salud. (4ª ed.) México: Editorial Limusa S.A. 4. Balzarini, M., Tablada, M. (2011). Introducción a la Bioestadística. Brujas: Córdova.

17

Tema 4 Tablas de frecuencias y gráficas 4.1 Competencia a desarrollar Elabora e interpreta tablas de frecuencias y gráficas de variables cuantitativas o cualitativas. 4.2 Contenido del tema 4 Organización y presentación de datos Los métodos para organizar y presentar los resultados son las tablas de frecuencias y las gráficas, las mismas que sirven para resumir y ver la tendencia de los datos, para que el investigador pueda analizar y tomar decisiones. Tablas de distribución de frecuencias Es una tabla de distribución de los datos agrupados en categorías o clases mutuamente excluyentes de acuerdo a la escala de medición de los valores. Cada clase o categoría indica el número de observaciones conocido como frecuencias y son: Frecuencia absoluta simple (fi).- es la cantidad de datos pertenece a una clase o categoría. Frecuencia relativa simple (hi).-representa la proporción de datos que pertenecen a una clase y se obtiene:

Frecuencia porcentual (hi%).- es la frecuencia relativa simple multiplicada por 100% y se calcula: hi% = hix100% Una tabla de distribución de frecuencias de tener las siguientes partes: Número de la tabla, encabezados de las columnas, cuerpo y fuente. Por ejemplo:

La suma de las frecuencias absolutas simples es el total de la muestra (n). La suma de las frecuencias relativas simples es igual a 1y la suma de las frecuencias porcentuales suma 100%. Gráficas estadísticas Es la representación de datos en forma visual llamado gráfica, para ello se debe considerar el tipo de la variable y su escala de medición de los valores, tales como: Variables cualitativas: gráfico de barras, gráfico de sectores Variables cuantitativas discretas: gráfico de bastones Variables cuantitativas continuas: histograma de frecuencias, polígono de frecuencias, ojivas, líneas, diagrama de cajas y bigotes, gráfico de dispersión, etc. Distribución de frecuencias para variables cualitativas

18

Si los datos fueron medidos en escala nominal la tabla de frecuencias contiene las categorías, las frecuencias absolutas y las frecuencias relativas. Ejemplo 3 La clínica Vargas realizó un estudio a 54 pacientes que fueron dados de alta durante el mes de febrero 2018 y cancelaron los servicios médicos con tarjeta de crédito como: Visa (V), Mastercard (M), Dinner (D) y Otras (O). Los datos son: V

V

M

D

M

M

V

D

V

V

V

V

D

V

O

V

V

V

V

D

V

O

V

D

M

D

M

O

M

M

O

M

V

V

D

M

V

M

M

V

O

M

M

O

D

D

M

D

V

V

D

O

V

V

a) Elabora una tabla de frecuencias. b) Interpreta las frecuencias: f2, h3, h1% c) elabore un gráfico de barras. Solución a) Tabla de frecuencias

Tabla 2. Distribución de pagos de los pacientes con alta según tarjeta de crédito Frecuencias Frecuencias Frecuencia Tarjetas absoluta (fi) relativas (hi) porcentual (hi%) MASTERCARD 14 0.26 26% VISA

22

0.41

41%

DINNER

11

0.20

20%

OTROS

7

0.13

13%

Total Fuente: Clínica Vargas

54

1.00

100%

b) Interpretación de frecuencias Interpretación de la segunda frecuencia absoluta f2 = 22; 22 de 54 clientes que fueron dados de alta usaron tarjeta VISA para cancelar los servicios médicos de la clínica. Interpretación de la tercera frecuencia relativa (proporción) h3 = 0.20; El 0.20 de 54 clientes que fueron dados de alta pagaron con tarjeta VISA los servicios médicos de la clínica. Interpretación de la primera frecuencia relativa porcentual h1% = 26%; El 26% de 54 clientes que fueron dados de alta cancelaron con tarjeta VISA los servicios médicos de la clínica.

c) Gráfico de barras

19

Gráfico 1. Pago de pacientes con alta según tipo de tarjeta de crédito

50 % 41% 40% 30%

26% 20%

20%

13%

10% 0% MASTERCARD

VISA

DINNER

OTROS

Fuente: Clínica Vargas Ejemplo 4 Un estudio ejecutado por el Pew Research Center's Internet & American Life Project (http://www.pewinternet.org), el objetivo fue analizar la actitud de los jóvenes en EEUU ante las redes sociales y su configuración en la privacidad de su perfil. Para ello se ha llevado a cabo una encuesta a 586 usuarios de Facebook y los resultados de los datos de dicho estudio se muestra la siguiente gráfica. Gráfico de sectores Gráfico 2. Modalidad de configuración respecto al perfil de Facebook en jóvenes de EEUU

Fuente: Pew Research Center's Internet & American Life Pr

a) b)

Interpreta los resultados de la gráfica. ¿Cuántos encuestados ha configurado como privado su perfil de Facebook?

20

Solución a) Interpretación: En la gráfica 2 se observa que el 60% de usuarios de Facebook ha configurado su perfil como público, el 26% privado y el 14% parcialmente privado. b) Datos: Total de encuestados: n = 586. Perfil configurado como privado es el 26%:

nx0.26 = 586x0.26 = 152.36 = 152

Respuesta: 152 encuestados han configurado su perfil de Facebook como privado. Distribución de frecuencias para variables cuantitativas discretas El resumen de los datos cuantitativos discretos debe presentarse en una tabla de frecuencias y su representación gráfico es bastones. Ejemplo 5 Los siguientes datos corresponden a una encuesta realizada por StatMark a un grupo de padres de familia de una comunidad, la muestra está conformada por 88 familias. Una de las preguntas fue ¿cuántos hijos vivos tiene usted en su familia? las respuestas se muestran en la siguiente tabla: Tabla 3. Cantidad de hijos familia Hijos

Frecuencia

1

7

2

22

3

31

4

15

5

10

6

3

Total

88

a. Elabora el gráfico de bastones

Gráfico 3. Distribución de hijos por familia de la comunidad

Fuente: Elaboración propia Distribución de frecuencias para variables cuantitativas continuas

21

El resumen de los datos cuantitativos continuos correspondiente a una sola variable debe presentarse en una tabla de frecuencias agrupadas en intervalos o llamado también clases y su gráfica se representa con histograma de frecuencias, polígono de frecuencias, ojivas, diagrama de cajas simple. 1. Elaboración de una tabla de distribución de frecuencias agrupadas en intervalos El procedimiento es el siguiente: 1)

Calcular el rango (R) o recorrido de los datos, el cual se define:

R = Valor máximo – valor mínimo 2)

Determinar el número de clases o intervalos (K) por el método de Sturges:

K = 1+3.32* log(n) 3)

Determinar la Amplitud o anchura (C) de los intervalos, definido como: 𝑪=

4)

𝑹 𝑲

Determinar los límites de cada intervalo o clase, se recomienda entre 5 y 20 intervalos. Ejemplos de intervalos que se puede utilizar: [10 - 20] [10 – 20>

1,517

3

0.10

3

0.10

[ 1,634 - 2,102 >

1,751

5

0.17

8

0.27

[2,102 - 1,634 >

1,985

10

0.33

18

0.60

[ 1,400 - 2,336 >

2,219

5

0.17

23

0.77

[ 2,336 - 2,570 >

2,453

5

0.17

28

0.93

[ 2,570 - 2,804 >

2,687

2

0.07

30

1.00

30

1.00

Total Fuente: Recursos Humanos, BIGDATA Marca de clase = Xi= (1,400+1,634)/2

2. Elaboración de tablas de frecuencias y gráficas de variables cualitativas, usando el complemento d Excel MegaStat. En Excel encontraremos el símbolo del complemento MegaStat en el menú DATOS y aparecerá el siguiente cuadro de diálogo, se debe seguir la siguiente secuencia:

23

Ingresar rango de datos que están en Excel (sin la etiqueta)

Seleccionamos las categorías de la variable cualitativa digitadas en una columna aparte 2. Elaboración de tablas de frecuencias agrupadas y gráficas de variables cuantitativas, usando el complemento de Excel MegaStat, se debe seguir la siguiente secuencia:

Ingresar rango de datos que están en Excel (Sin la etiqueta)

24

4.3 Preguntas de aplicación Problema 01: El Higher Education Research Institute de UCLA cuenta con estadísticas sobre las áreas que son más elegidas por los estudiantes de nuevo ingreso. Las cinco más elegidas son arte y humanidades (A), administración de negocios (N), ingeniería (I), política (P) y ciencias sociales (S) (The New York Times Almanac, 2006). Otras áreas (O) son biología, física, ciencias de la computación y educación se agruparon todas en una sola categoría. Se ha seleccionado una muestra de 64 estudiantes de recién ingreso y los datos se muestra a continuación: S O N A

P O A I

P O S N

O N O I

N S I A

I O A A

O N N P

I O O O

P A S O

O O S I

O I O O

N O O N

O I I N

O O N O

O N O P

A P N N

a) b) c) d)

Elabore una tabla de frecuencia. Elabore una gráfica de barras. ¿Qué porcentaje de estudiantes de nuevo ingreso elige ingeniería? ¿Cuál es el área más elegida por los estudiantes de nuevo ingreso? ¿Qué porcentaje de los estudiantes de nuevo ingreso elige esta área? Problema 02: Con los datos del problema 01 de la página 17 [Pacientes Geriátricos]. xls. procesar y presentar los resultados entablas y gráficas con su respectiva interpretación en un documento Word, considerando el siguiente cuestionario: 1. 2. 3. 4.

Elabore una gráfica de barras para la variable Diagnóstico médico e interprete los resultados. Elabore una tabla de frecuencias agrupadas en tres intervalos () de la variable Edad e interpretar la frecuencia relativa de mayor valor. ¿Qué porcentaje de pacientes tiene más de 60 años? Elabore una tabla de frecuencias agrupadas en intervalos de igual amplitud utilizando el método de Sturges de la variable Talla. ¿Cuál es la talla más frecuente? Elabore un histograma de frecuencias y analice la simetría de la distribución de datos de la variable Talla.

25

5. Obtener el estado nutricional de cada paciente: primero calcular el índice de masa corporal (IMC) para cada paciente; segundo categorizar dicho IMC en una nueva variable, considerando los siguientes intervalos y etiquetas (agrupar: muy obeso); esta nueva variable será el ESTADO NUTRICIONAL. 6. Elaborar un gráfico para la variable estado nutricional. ¿Qué porcentaje de pacientes se encuentran con sobrepeso? ¿Cuántas personas están con bajo peso? 7. Elabore una gráfica para la variable Lugar de destino. ¿Cuántos pacientes fallecieron en el centro geriátrico? 8. Elabore un polígono de frecuencias para la variable peso y analice la forma de distribución de datos. 9. Elabore un diagrama de cajas para el IMC de los pacientes y analice la forma de distribución de la variable. 10. Describa tres conclusiones. Problema 03: Con los datos del problema 02 de la página 17 [CredisaPhilco]. xls. procesar y presentar tablas de frecuencias y gráficas con su respectiva interpretación de resultados en un documento Word, debe considerar las siguientes preguntas del cuestionario: 1. 2.

¿Qué porcentaje de empleados son mujeres? Elabore una gráfica de barras para la variable relación de compañerismo. ¿Qué porcentaje de personas tienen buena relación entre compañeros de trabajo? 3. Elabore una tabla de frecuencias agrupadas en 4 intervalos para la edad. ¿Qué porcentaje de empleados tiene más de 50 años? 4. Elabore una tabla de frecuencias agrupadas en tres intervalos ([4 a 11], [12 a 16], [17 a 20]) para la variable años de educación. ¿Cuántas personas tienen más de 17 años de educación? ¿Qué porcentaje de personas tienen menos de 11 años de estudios? 5. Elabore una tabla de frecuencias agrupadas en intervalos de igual amplitud por el método de Sturges de la variable ingresos. ¿Qué porcentaje de personas tienen ingresos superiores a 700 soles? ¿Qué porcentaje de trabajadores tienen entre 300 a 500 soles? 6. ¿Qué tipo de simetría presenta la variable edad? Sustentar con una gráfica. 7. Analizarla simetría de la distribución de datos del tiempo (años) para ser ascendido a un cargo superior con un histograma de frecuencias. 8. Analizar la simetría de la distribución de datos de la variable ingresos mediante un diagrama de cajas y polígono de frecuencias. 9. Elabore una gráfica para la variable área de trabajo. ¿Qué porcentaje de trabajadores son vendedores? ¿Cuántos trabajadores son administrativos? 10. Describa tres conclusiones. Problema 04: El siguiente histograma corresponde a la distribución de litros de yogurt, elaborado por la planta productora Dos Patitos SAC. En un periodo de 2 meses (60 días). Considere como valor mínimo y máximo el límite inferior y límite superior, se pide:

a) b) c) d)

Elaborar la tabla de frecuencias agrupadas en intervalos. ¿Qué porcentaje de días se elaboraron más de 500 mil litros de yogurt? ¿Cuántos días se elaboraron entre 420 a 640 mil litros de yogurt? ¿Qué tipo de distribución presentan los datos?

26

Días

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

17 15 10 8

7

3

200 -310 310 - 420 420 - 530 530 - 640 640 - 750 750 - 860

Litros de yogurt (miles) Problema 05: El gerente de logística de una empresa industrial, ha observado que el pago por energía consumida en la planta de producción de la zona de Lima este se ha incrementado. En tal sentido, se solicitó al jefe de la planta que realice un informe sobre el consumo diario de energía durante el mes de agosto en el 2016. Se sabe que el consumo máximo de energía fue de 20 KW/hr (kilowatts por hora), los datos del consumo diario de energía en KW/hr se detalla en la siguiente tabla: Tabla 2. Consumo de energía de la planta de producción de Lima este Consumo de energía Marca de clase Frecuencia Porcentaje en KW/hr Xi fi hi% 10 - 14 4 14 - 18 6 18 - 22 12 22 - 25 8 Total 30 Fuente: Elaboración propia a) b) c)

Fi

Hi

Completar la tabla de frecuencias Interpretar las frecuencias: f3, h4%, F2 y H3% ¿Qué porcentaje de días sobrepasó el historial de consumo de energía en la planta?

4.4 Bibliografía 1. Córdova, M. (2003). Estadística Descriptiva e Inferencial. Aplicaciones. (5ª ed.) Lima: Moshera. 2. Samuels, M, Witmer, J. (2012). Fundamentos de Estadística para las ciencias de la vida. (4ª ed.) California: Pearson. 3.INEI: INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICA E INFORMATICA. “Manual para la presentación de gráficos estadísticos”. [Internet]. Lima-Perú. Talleres de la Oficina Técnica de Administración (OTA) del Instituto Nacional de Estadística e Informática;Agosto 2009. [Citado en Marzo del 2016]. Disponible en: http://www.inei.gob.pe/media/MenuRecursivo/metodologias/libro.pdf 4.INEI: INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICA E INFORMATICA. “Manual para la presentación de cuadros estadísticos”. [Internet]. Lima-Perú. Talleres de la Oficina Técnica de Administración (OTA) del Instituto Nacional de Estadística e Informática; Mayo 2006. [Citado en Marzo del 2016]. Disponible en: http://www.inei.gob.pe/media/MenuRecursivo/publicaciones_digitales/Est/Lib0933/Libro.pdf Tema 5 Medidas descriptivas de tendencia central y posición 5.1 Competencia a desarrollar Calcula las medidas descriptivas de tendencia central y de posición demostrando su capacidad de interpretación y análisis de resultados de los datos. 5.2 Contenido del tema 5

27

Medidas de descriptivas de resumen Las medidas de resumen descriptivas de una variable numérica (también se denomina estadísticos descriptivos), tiene como propósito resumir los datos de una muestra con un solo valor, se obtiene por procedimientos matemáticos y es útil para aproximar los parámetros. Las medidas de resumen descriptivas se dividen en cuatro grupos: Medidas de tendencia central: Media, mediana y moda. Medidas de Posición: Percentiles o cuantiles. Medidas de dispersión: Rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación Medidas de forma: coeficiente de asimetría y coeficiente de curtosis. 5.2.1Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central son valores calculados que tienden a ubicarse en la parte central de las observaciones y describen el centro de la distribución de datos. Las medidas de tendencia central más usuales son: a) Media aritmética o promedio. - Es un valor que representa el centro a un conjunto de datos en una muestra o población, medido en escala de intervalo o razón. Se obtiene mediante la suma de todos los datos y se divide entre el tamaño de la muestra. Es sensible a la presencia de valores extremos (dato atípico) porque altera el valor del promedio representativo. La fórmula de la media para datos no agrupados es:

n xi

Promedio muestral  X i1

n Pr omedio poblacional N

xi i1 N

La fórmula de la media para datos agrupados es: k

x f

i i

Promedio muestral X 

i1

n Pr omedio poblacional k i1

xi.fi N

Donde: Xi : Dato (datos no agrupados) o marca de clase (datos agrupados) fi : Frecuencia absoluta de cada clase n : Tamaño de muestra N : Tamaño d la población En Excel usar la función escribiendo: = PROMEDIO(DATOS)

28

Ejemplo 7 En la caseta de peaje en la autopista a Ramiro Prialé, se ha registrado el número de vehículos por hora que ingresaron durante las 7 am hasta 12 pm del 19de septiembre del 2015, con la finalidad de conocer la afluencia de vehículos que recorren esta vía, los datos son: 39, 31, 23, 18, 15 Datos: 39

x1

31 x2

23 x3

18 x4

1 5 x 5

Solución

X n

xi  x1  x2  x3  x4  x5  39  31 2318 15  126  25.2 i1

n555 Interpretación.- En la autopista Ramiro Prialé, en promedio circulan 25 automóviles por hora entre las 7 am a 12 pm. a) Mediana (Me).- Es un valor que indica el centro de un conjunto de datos ordenados, cuyos valores son medidos en escala ordinal, intervalo o razón. Es una medida robusta porque no se ve afectada por la presencia de datos atípicos, por eso se utiliza cuando la distribución es asimétrica. El valor de la mediana representa que el 50% de los datos son menores o iguales a dicho valor y el otro 50% son datos mayores al valor mediano. El 50 % de los datos son menores o iguales a la mediana Dato mínimo

El 50% de los datos son mayores a la mediana Dato máximo

MEDIANA

Mediana para datos no agrupados: •

Primero ordenar toda la muestra de datos de menor a mayor 

•

la posición de la mediana mediante: Calcular el valor de la mediana con los datos ubicados en la posición central

Ubicar

Mediana para datos agrupados es:

Donde: LI : Límite inferior de la posición de la clase mediana C : Amplitud de clase mediana Fi-1: Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase mediana f Me: Frecuencia absoluta simple de la posición de la clase mediana n : Tamaño de la muestra En Excel usar la función y escriba: = MEDIANA(DATOS) Ejemplo 8 Los datos siguientes corresponden a las estaturas (en metros) de peruanos varones de 18 años de edad. Calcular la estatura mediana.

29

1.78

1.55

1.82

1.60

1.65

1.50

1.70

Solución Como

el tamaño de la muestra n es 7, por tanto “n” es impar

Procedimiento: Primero: Ordenar los datos de menor a mayor 1° 1.5

2° 1.55

3° 1.60

4° 16.5

5° 1.70

6° 1.78

7° 1.82

Segundo: Determinar la posición del valor mediano: La posición de la mediana es 4°

Tercero: Como la posición de la mediana es 4°, entonces el valor Mediano es: Me = 1.65 Interpretación.- El 50% de los 7 peruanos varones con 18 años tienen una estatura menor a 1.65 y el otro 50% tienen una estatura superior a 1.65 metros. Ejemplo 9 Se ha registrado las edades en años cumplidos a 6 estudiantes ingresantes a la escuela de Farmacia en una universidad, cuyos datos son: 20, 21, 25, 20, 18, 27. Se pide calcular la mediana de las edades En

este

caso

la

muestra

es

6

estudiantes,

es

un

número

par

Procedimiento: Primero: Ordenar los datos de menor a mayor

5° 25

1° 6° 18 27

2° 20

3° 20

4 ° 2 1

Segundo: Determinar la posición del valor mediano: La posición de la mediana es la 3° y 4°

Tercero: Como la posición de la mediana es la 3° y 4°, Cuando el tamaño de la muestra es un número par, la mediana se obtiene sumando los datos ubicados en la posición central: calcular el valor de la mediana: Me = (201+21)/2 = 20.5 Interpretación.- El 50% de 6 alumnos, tienen menos de 21 años y el otro50% tiene más de 21 años. b) Moda (Mo).- La moda en un conjunto de datos observados, es el dato que se presenta con más frecuencia. Se calcula para variables medidas en escala nominal, ordinal, intervalo o razón.

a. Si en el conjunto de datos no se repite ningún valor la moda no existe. b. Cuando se repite más veces un solo valor existe una sola moda y su distribución UNIMODAL.

30

c. Cuando se repiten el mismo número de veces dos valores, hay dos modas y la distribución es BIMODAL. d. Cuando se repite el mismo número de veces más de dos valores presenta varias modas, la distribución es MULTIMODAL. La distribución de la variable puede presentar una de las siguientes gráficas 6

5

5

5

5

8

5

6

6

4

4

4 2

2

2

6

4 2

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

3 2

(b) Unimodal

5

4 2

5

5

4

5

3 2

0

0 1

(a) Sin moda

6

5 4

4 2

0

0

5

2

3

4

5

(c) Bimodal

1

2

3

(d) Multimodal

Moda para datos no agrupados: En una muestra o población es el dato que más veces se repite Moda para datos agrupados en intervalos:

Donde: LI : Límite inferior de la posición de la clase modal C : Amplitud de clase modal d1: Frecuencia clase modal menos frecuencia anterior a la clase modal=fmo-fantfmo d2: Frecuencia clase modal menos frecuencia posterior a la clase modal=f mo-fpostfmo n : Tamaño de la muestra En Excel usar la función y escriba: = MODA(DATOS) Ejemplo 10 Los datos siguientes corresponden a las edades en años cumplidos de 10 alumnos ingresantes a la universidad en un periodo académico. 18

29

21

22

21

20 21 20 19 21

¿Cuál es la edad más frecuente de los ingresantes a la universidad en ese periodo académico? El dato que más veces se repite es 21 Entonces la moda es: Mo = 21 Interpretación.- En los 10 alumnos ingresantes a la universidad en el periodo académico, la edad más frecuente fue de 21 años.

5.2.2 Medidas de posición - Cuantiles Las medidas de posición o denominados también cuantiles, son valores que indican la posición de un dato respecto al conjunto de datos ordenados de menor a mayor y se calcula para variables de escala ordinal, intervalo o razón. El número de divisiones que se realice al histograma es a partir de 2, los más utilizados son: cuartiles, quintiles, deciles, percentiles, etc. Los cálculos consisten en hallar la posición del cuantil y luego calcular su valor. En general nos interesa los percentiles y las fórmulas para calcular son: Percentiles para datos no agrupados: En un conjunto de n datos ordenados el valor del centil o percentil se calcula: •

La posición del centil

31

•

Calcular el valor del centil considerando la posición de ubicación.

Percentiles para datos agrupados:

Donde: LI : Límite inferior de la posición de la clase percentil k C : Amplitud de clase percentil k K : posición del percentil k Fi-1: Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase percentil k Pk Frecuencia absoluta simple de la posición de la clase percentil k n : Tamaño de la muestra a) Cuartiles (Qk).- Son tres valores calculados (Q k = 1, 2, 3) que dividen al conjunto de datos en 4 partes iguales y cada una de ellas representa el 25% de total. 25%

25%

25%

Q1

Q2

25% Q3

Donde: Q1 : Es el cuartil 1 cuyo valor calculado representa al 25% de los datos menores o igual al valor encontrado y el 75% son datos mayores. Q2 : Es el cuartil 2 cuyo valor calculado representa al 50% de los datos menores o iguales al valor encontrado y el 50% de datos restante son mayores. Q3 : Es el cuartil 3 cuyo valor calculado representa al 75% de los datos menores o iguales al valor encontrado y el 25% de datos son mayores. En Excel usar la función y escriba: = PERCENTIL(DATOS) Ejemplo 11 Se ha registrado la estatura de 100 personas del sexo masculino que participaron en una maratón de 10k, cuyos datos se muestran en la tabla de frecuencias agrupada. Estatura

fi

hi

Fi

Hi

150 - 155

5

0.5

5

0.5

156 - 162

9

0.9

14

0.14

163 - 169

22

0.22

36

0.36

170 - 176

32

0.32

68

0.68

177 - 183

15

0.15

83

0.83

184 - 190

13

0.13

96

0.96

191 - 196

4

0.4

100

1.0

Total

100

1.0

¿Entre qué estaturas se encuentra el 50% de maratonistas con una estatura estándar? Solución  Se debe calcular elquartil1 y cuartil 3 (percentil 25 y percentil 75)  Primero se calculará el Q1 1.- Calculando la posición del Q1: k(n/4) = 1(100/4)= 25 2.- Ubicar la posición 25 en la columna de frecuencias absolutas acumuladas, Fi = 36 3.Para reemplazar en la fórmula se necesita: C = 6, LI= 163, fQk = 22

32

Del mismo modo hallamos Q3

En el histograma se observa la posición de Q1 y Q3 Percentiles 25 y 75

Altura (cm) en 100 varones

Interpretación.- El 50% de maratonistas con estatura estándar tienen entre 166 cm a 179 cm. b) Deciles (Dk).- Dividen al conjunto de datos en 10 partes iguales y son 9 valores calculados (D k= 1, 2, 3,…,9), cada una de ellas representa el 10% de los datos. 10%

10% D1

D2

..……. ………..

10% D9

La interpretación del decil 1 y decil 3 es: D1 :Es el decil 1 cuyo valor calculado indica que el 10% de los datos son menores al valor encontrado y el 90% son mayores. D3: Es el decil 3 cuyo valor indica que el 30% de los datos son menores al valor encontrado y el 70% son mayores.

c) Percentiles (Pk).- Dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales y son 99 valores calculados (Pk= 1, 2, 3,…, 99), cada una de ellas representa el 1% de un total. 1%

1% P1

P2

..……. ………..

1% P99

Ejemplo 12 Con los datos del ejemplo 9 ¿Cuál es la estatura mínima del 30% de maratonistas con mayor estatura?  Se debe calcular el percentil 70

33

P70: El percentil de orden 70 deja por debajo al 70% de las observaciones y por encima queda el 30%.

Reemplazando en la fórmula de percentiles tenemos:

Interpretación.- El 30% de maratonistas con mayor estatura miden más de 177.8 cm. 5.4

Preguntas de aplicación Problema 01: El jefe de recursos humanos de una empresa está interesado en analizar el impacto económico de horas extras de trabajo pagadas a sus empleados de la gestión anterior. Los datos fueron extraídos del registro de control de cada trabajador y son: 2 1 2 3 a. Elabore una

5 4 5 3 4 1 1 5 2 1 3 4 tabla de frecuencias

2 2 1 3

1 2 3 2

4 2 2 1

3 1 2 2

b. En promedio se ha pagado _______ horas extras a los empleados de la empresa. c. ¿Cuántas horas extras como máximo se ha pagado al 50% de empleados?

d. Se ha pagado con frecuencia ____________horas extras de trabajo. Problema 02: Un grupo de investigadores deciden investigar la evolución de los ingresos en las familias de una comunidad. Para ello, se observó los ahorros que tuvieron las familias en alguna entidad bancaria desde enero hasta agosto del 2016. Asumiendo que las familias aumentarían sus ahorros a medida que sus ingresos aumenten. En el estudio fueron consideradas 25 familias que cuentan al menos 400 soles de ahorro, cuyos datos se muestran en la tabla de distribución de frecuencias.

34

Tabla 3. Distribución de los ahorros en las familias de la comunidad Ahorro en soles

Xi

fi

400 - 500

hi

hi%

Fi

Hi

Hi%

0.20

500 - 600

2

600 - 700

6

13

700 - 800

0.12

800 - 900

0.12

900 - 1000

25

Total

25

1.00

Se pide calcular e interpretar lo siguiente: a.

El valor de la frecuencia f3=____________________________________________________________

b.

El valor de la frecuencia H4%=__________________________________________________________

c.

¿Cuántas familias tienen ahorros entre 700 a 900 soles?_____________________________________

d.

Porcentaje de familias que ahorran menos de 600 soles ____________________________________

e.

Porcentaje de familias que ahorran al menos 500 soles _____________________________________

f.

¿Cuál es el promedio de ahorros por familia? ______________________________________________

g.

Cantidad de ahorro más frecuente por familia ____________________________________________

h.

Cantidad máxima de ahorro del 50% de las familias ________________________________________

i.

Cantidad mínima de ahorro del 20% de las familias con mayores ahorros en alguna entidad bancaria es __________________________________________________________________________

j.

Construya el distribución

polígono de frecuencias ¿Qué forma tiene de frecuencias?_________________________________________

esta

12 10 8 6 4 2 0

Problema 03: La compañía AXE S.A. es una distribuidora de diferentes tipos de bebidas peruanas al por mayor. El gerente de ventas desea conocer el comportamiento de las llamadas telefónicas para hacer pedido de productos durante los meses de febrero y marzo del año 2016. Para ejecutar la investigación, delega a su secretaria que registre el número de llamadas por día que hacen sus clientes a la central telefónica. Los datos son los siguientes:

35

a. b. c. d.

30

38

35

36

29

28

30

35

36

37

40

48

50

20

25

56

30

27

52

44

29

46

41

31

31

31

39

28

49

52

56

58

40

39

38

40

27

24

30

32

35

38

26

25

24

60

55

48

37

31

30 22 20 24 26 23 22 28 27 48 Elabore una tabla de frecuencias agrupada en intervalos por el método de Sturges. Calcular e interpretar promedio, Mediana y moda ¿Cuáles son los valores que contienen al 50% del promedio de llamadas recibidas? El 15% de los 60 días tuvieron un máximo de ________________ llamadas

Problema 04: Se ha medido el peso de recién nacidos en el hospital nacional de la ciudad de Arequipa con la finalidad de comparar el peso promedio en los grupos, cuyas madres de estos recién nacidos viven tanto en el área rural y área urbana. Área urbana

1. 2. 3. 4. 5. 6.

2950

3200

3500

3350

3340

3900

3470

3350 2560 3270 3850 2780 3560 3900 4230 4500 3050 4510 3810 2940 3210 3240 3150 3300 3750 3280 3700 2480 Área rural 4220 3930 4030 3280 3080 3460 2600 2870 3230 3590 3700 3620 Calcular e interpretar las medidas de tendencia central de los recién nacidos del hospital de Arequipa. Comparar el peso medio y mediano de los recién nacidos según el área de residencia. ¿Cuál es el valor del peso que divide al 20% de los recién nacidos con menor peso? ¿Cuánto debe ser el peso de cualquier recién nacido para decir que tiene mejor peso que el 80% de la población? Si consideramos como niños con peso normal al 70% de la población ¿Cuáles serían los límites de normalidad del peso? El 10% de recién nacidos alcanzaron un peso máximo de___________________ gramos.

Problema 05: Un equipo de médicos desea investigar la cantidad de Zinc en cierto tipo de preparados infantiles. Se ha tomado 100 gramos de este alimento y se ha evaluado la cantidad de zinc en mg de las principales marcas del mercado, cuyas mediciones se presentan a continuación: 5.1

3.0

3.6

4.2

4.8

5.4

5.7

5.8

5.5

5.8

4.1

3.7

3.5

4.4

4.7

5.0

5.6

5.0

5.5

5.8

3.8

4.6

4.3

5.7

1. 2. 3.

5.4

¿Cuál es el promedio de zinc en los preparados infantiles? ¿Cuál es la cantidad frecuente de zinc de los preparados infantiles? La cantidad máxima de zinc del 50% de los preparados infantiles es de____________________ 4. El 80% de los preparados infantiles tiene una cantidad máxima de __________ gramos de zinc. 5. Si usted desea adquirir uno de estos preparados que tenga la mayor cantidad de zinc y se encuentre por encima del 5% superior ¿Cuál sería la cantidad de zinc para que sea considerado en su compra? 6. ¿Cuánto es el valor máximode zinc del 10% que tienen los preparados infantiles con menor contenido de zinc? Bibliografía 1. Córdova M. (2003). Estadística Descriptiva e Inferencial. Aplicaciones. (5ª ed.) Lima: Moshera. 2. Black, K. (2008). Estadística en los negocios. (2ª ed.). México: Grupo Editorial Patria S.A. 3. Daniel W. (2002). Bioestadística. Base para el Análisis de las Ciencias de la Salud. México: Editorial Limusa S.A. 4. Samuels, M, Witmer, J. (2012). Fundamentos de Estadística para las ciencias de la vida. (4ª ed.) California: Pearson

36

37

Tema 6 Medidas descriptivas de Dispersión 6.1 Competencia a desarrollar Calcula las medidas descriptivas de dispersión demostrando su capacidad de interpretación y análisis de los datos en un estudio. 6.2 Contenido del tema 6 Medidas de Dispersión Son valores que nos permiten conocer sobre la variabilidad o concentración de los datos, nos indica que tan cercano o lejano están los datos respecto a su valor central, se calcula para variables medidas en escala de intervalo y razón, entre las más importantes tenemos: El rango, Rango intercuartílico, varianza, desviación estándar y el coeficiente de variación. a) Rango (R).- Llamado también amplitud, indica entre que valores se encuentra el conjunto de datos. Es ladiferencia entre el valor mayor y el menorde los datos de la variable, es sensible cuando hay presencia de valores extremos llamado dato atípico. R = XDato máximo –XDato mínimo En Excel usar la función = MAX(datos) – MIN(datos) b) Rango Intercuartílico (RIC).- Concentra al 50% de datos alrededor del promedio eliminando la influencia de los valores extremos, es la diferencia entre el tercer cuartil (Q 3) y el primer cuartil (Q1), no es sensible a datos atípicos. RIC = Q3 – Q1 En Excel usar la función = PERCENTIL(datos,0.75) – PERCENTIL(datos,0.25) c) Varianza (S2).- Mide la variabilidad u homogeneidad de los datos. Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución, es sensible a datos atípicos. La fórmula de la varianza para datos sin agrupar es: n

(X  X) i

Varianza muestral  S  2

i1

2

n 1

n

(X

i

 X)2

Varianza poblacional  2 

i1

N La fórmula de la varianza para datos agrupados es: n

(X

i

 X)2 fi

Varianza muestral  S2 

i1

n1 n

(X

i

 X)2 fi

38

Varianza poblacional  2  i1

N En Excel usar la función = VAR(datos)

d) Desviación Estándar.-Se conoce también como desviación típica, mide la dispersión o distanciamiento de los datos respecto al valor central. Se obtiene calculando la raíz cuadrada positiva de la varianza.



Desviación muestral  S 

( xi  x ) 2 n 1



Desviación poblacional  

( X i  X )2 N

En Excel usar la función =

DESVEST(datos)

e) Coeficiente de variación.- Es una medida de dispersión relativa porque carece de unidad de medida, se utiliza cuando se quiere comparar el grado de dispersión de dos conjuntos de datos que no tienen las mismas unidades o cuando las medias son diferentes, el coeficiente de variación de Pearson mide la proporción de dispersión de los datos respecto a su media y se define como el cociente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética.

S Coeficiente de var iación muestral  CV *100 X

Coeficiente de var iación poblacional  CV   *100 X En Excel usar la función = DESVEST(datos)/PROMEDIO(datos) Ejemplo 13 Un profesor ha registrado el tiempo de tardanza en minutos de 10 estudiantes que llegaron después de los 10 minutos de tolerancia a la clase, los datos son los siguientes:

2

5

10

8

15

3

20

7

5

13

Calcule e interprete el rango y el rango intercuartílico Solución

39

El rango R = XDato máximo –XDato mínimo = 20 - 2 = 18. Significa que los 10 estudiantes llegaron entre 2 a 20 minutos tarde después de la tolerancia tiene una amplitud de 18 minutos. El rango intercuartílico = RIC = 12.25 – 5= 7.25 Significa que la dispersión en el 50% de los datos centrales del tiempo de tardanza es igual a 7.25 minutos. Ejemplo 14 Un inversionista sabe que la rentabilidad mensual es importante para seguir creciendo. Ante la oportunidad de abrir un negocio debe tomar una decisión y recoge información de las ganancias mensuales de dos tipos de negocios, la rentabilidad de 6 meses son los siguientes:

a) b) c) d)

Negocio A

245

280

300

286

270

297

Negocio B

102

86

298

265

144

173

Calcule las medidas de dispersión: varianza, desviación estándar y coeficiente de variación ¿En qué negocio, la rentabilidad presenta mayor dispersión? ¿En qué negocio la rentabilidad presenta menor dispersión en el 50% central? ¿Cuál de los negocios ofrecerá mayor ganancia?

Solución a) Calculando los estadísticos tenemos: Estadísticos

Negocio A

Negocio B

Promedio

279.67

178.00

Varianza

409.87

7478.00

Desviación estándar

20.25

86.48

coeficiente de variación

7.24

48.58

b)

El negocio ______ que presenta mayor rentabilidad porque_________________________________

c)

Calculando el rango intercuartílico Estadísticos

Negocio A

Negocio B

Cuartil 1

272.95

114.39

Cuartil 3

294.25

242

RIC 21.3 127.61 El negocio ______ que presenta menor rentabilidad porque________________________________ d)

El negocio ______ presenta mayor ganancia de__________________________________________

6.3 Preguntas de aplicación Problema 01: Se está realizando un estudio de mercado, para lo cual se pretende lanzar una nueva marca de estetoscopio moderno, el cual será vendido por un distribuidor exclusivo desde Lima. Se hizo una encuesta a 200 personas que trabajan en diferentes hospitales de Lima y se preguntó por el precio que estaría dispuesto a pagar por el producto. Los resultados de los datos se muestran en siguiente tabla de frecuencias: Precio(Soles)

Xi

Frecuencias

Fi

Xifi

40

[140 – 180> [180 – 220>

40 45

[220 – 260>

44

[260 – 300>

39

[300 – 340>

32

Total 200 a. Calcular el precio promedio esperado que paguen los encuestados por el producto. b. El precio mínimo que conviene lanzar el producto al mercado es de S/.218 y sólo se importará el producto, si por lo menos la mitad de los encuestados están dispuestos a pagar por lo menos dicho precio. ¿Qué decisión debe tomar el importador según los resultados de la información recolectada por encuesta? c. Calcular e interpretar el coeficiente de variación. ¿Los datos son homogéneos? d. Entre que valores se encuentra el precio medio del producto del 50% de los encuestados. Problema 02: Con los datos del problema 04 de la página 36 referente al peso de recién nacidos en el Hospital Nacional de Arequipa. Se pide: a. Calcular la desviación estándar por cada grupo de recién nacidos, los que provienen del área rural y área urbana. b. En la evaluación de los pesos en recién nacidos cuyas madres residen en el área rural y área urbana ¿Se puede afirmar que los pesos de ambos grupos de recién nacidos son homogéneos? Problema 03: En el problema 02 de la página 17, utilice el archivo de datos [CredisaPhilco.xls] para contestar las siguientes preguntas: a. Calcular e interpretar el promedio de los sueldos por área de trabajo b. El ingreso mensual de los trabajadores por área de trabajo presentan diferencias en la variabilidad de los datos. b. Elabore un diagrama de cajas para el ingreso mensual por área de trabajo. Se observa la presencia de datos atípicos? c. En las edades de los trabajadores de hombres y mujeres ¿En cuál de los grupos existe mayor variabilidad? d. En los años de estudios de los trabajadores de empleados ¿Se puede afirmar que son homogéneos? 6.4 Bibliografía 1. 2.

Ávila RB. (2010). Estadística Elemental. Lima: Estudios y ediciones R.A. Black, K. (2008). Estadística en los negocios. (2ª ed.). México: Grupo Editorial Patria S.A. 3. Córdova M. (2003). Estadística Descriptiva e Inferencial. Aplicaciones. 5ª ed. Lima: Moshera. 4. Samuels, M, Witmer, J. (2012). Fundamentos de Estadística para las ciencias de la vida. (4ª ed.) California: Pearson.

Tema 7 Medidas de asimetría y curtosis 7.1 Competencia a desarrollar Calcula e interpreta las medidas descriptivas deasimetría, curtosis y el diagrama de cajas, demostrando su capacidad de análisis en comportamiento de los datos cuantitativos. 7.2 Contenido del tema 7

41

Medidas descriptivas de forma Son valores que nos permite observar el comportamiento o distribución de los datos respecto a su centro. Entre ellos tenemos los índices de asimetría y apuntamiento llamado también curtosis: a) Asimetría.- Indica la distribución del conjunto de datos en forma horizontal,es decir a través del eje X. Compara la forma que tiene los datos a través del histograma con la distribución normal. Una distribución de datos es simétrica cuando la mediana, moda y media aritmética tienen valores similares. Silos datos tienen distribución asimétrica a la derecha, las frecuencias (absolutas o relativas) descienden más lentamente por la derecha. Si las frecuencias descienden más lentamente por la izquierda, la distribución es asimétrica a la izquierda. Entre los índices de asimetría tenemos: Coeficiente de Asimetría de Pearson está dado por la fórmula:

As

3(X Me) S o también

AS 3 Q1 2Me Q Q3 Q1

Si As = 0, la distribución essimétrica Si As > 0, la distribución esasimétrica a la derecha Si As < 0, la distribución esasimétrica a la izquierda. Los tipos de asimetría se observa en las representaciones gráficas:

b) Curtosis.- Indica la distribución del conjunto de datos en forma vertical, es decir, a través del eje Y. Mide el grado de elevación de la distribución de datos. Se definen 3 tipos de distribuciones, según su grado de curtosis: •

Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio, alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal).

•

Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

•

La fórmula está dado por:

K=

 0.263 1(P75 P25)  =  0.263

l a l a

ldistribució n ldistribució n

e s e s

leptocúrtica platicúrtica mesocúrtica

42

2(P90 P10)  0.263 

l a

ldistribució n

e s

Los tipos de curtosis se observa en las representaciones gráficas:

c) Diagrama de cajas.- Es una gráfica que describe la distribución de un conjunto de datos numéricos tomando como referencia los valores de los cuartiles como medida de posición y el valor del rango intercuartílico como medida de referencia de dispersión, está compuesto por un rectángulo que contiene el 50% de datos centrales y dos líneas extendidas en el lado inferior y superior del rectángulo llamados bigotes. Además, nos permite apreciar visualmente el tipo de distribución de los datos (simétrica o asimétrica) y la identificación de valores extremos (datos atípicos). Dato atípico (outliers).- Son aquellos datos que se encuentran fuera del intervalo [Q 1 - 1,5(RIC); Q3 + 1,5(RIC)]y generalmente están representados por asteriscos. Pasos para trazar un diagrama de cajas 1) Calcularlos cuartiles: Q1, Q2,Q3 2) Trazar un rectángulo con los extremosQ 1 y Q3, dentro de la caja ubicar Q2 y luego trazar una recta vertical que divida en dos el rectángulo. 3) Se ubican los límites mediante el rango intercuartil, • El límite superior está a 1,5(RIC) arriba (o a la derecha) de Q3 • El límite inferior está a 1,5(RIC) debajo (o ala izquierda) de Q1 4) Se trazan los bigotes desde los extremos de las cajas hasta los valores mínimo y máximo dentro de los límites inferior y superior. 5) Se marcan con un asterisco (*) las localizaciones de los valores atípicos. La siguiente figura presenta un diagrama de cajas con datos hipotéticos.

En Excel en el complemento MegaStat, se debe seguir la siguiente secuencia:

43

6.3

Preguntas de aplicación Problema 01: La facultad de administración de una universidad desea conocer quienes ocupan los primeros puestos una vez finalizado el año académico. Por tanto, se ha considerado el promedio ponderado de los estudiantes que culminaron sus estudios en ese periodo académico, cuyas notas se muestran en la siguiente tabla de frecuencias. Rendimiento académico

Xi

fi

09 - 11

2

11 – 14

13

14 – 17

11

17 - 19

4

Total

30

Xi fi

Fi

a) Calcule la nota mínima para estar considerado en el quinto superior. b) ¿Qué tipo de asimetría presentan la distribución de las notas? c) Calcula e interpreta el coeficiente de curtosis. Problema 02: Cierta universidad brinda capacitaciones con cursos presenciales y virtuales a sus docentes con el propósito de mejorar la calidad académica. Para que un docente sea contratado en la próxima convocatoria, Recursos humanos lleva un control de asistencia a la capacitación docente en ambas modalidades, los datos son los siguientes: Virtual

2

3

0

5

2

0

1

1

2

1

3

4

2

2

Presencial 3 5 3 4 1 2 5 5 4 2 1 3 5 4 a) ¿Qué tipo de asimetría presentan las distribuciones del número de capacitaciones por modalidad? b) ¿Cuál de las modalidades tiene mayor presencia homogénea en el número de capacitaciones? c) Calcula e interpreta el coeficiente de curtosis. Problema 03: El administrador de un hospital ordenó un estudio del tiempo que un paciente debe esperar antes de ser tratado por el personal de la sala de urgencias. Los datos que presentamos a continuación fueron tomados durante un día normal.

44

Xi

Tiempo de espera (min) 1 -6 6-11 11-16 16-21 21-26 TOTAL

fi

hi

Fi

Hi

3 12 15 8 2 40

a) Calcule el mínimo de tiempo de espera para estar considerado como tiempo aceptable b) ¿Qué tipo de asimetría presentan la distribución del tiempo de espera? c) Calcular e interpretar el coeficiente de curtosis. Problema 04: En el siguiente diagrama de cajas, muestra la distribución de los ingresos de los directivos de un grupo de empresas.

¿la distribución de los ingresos es homogénea? justifique __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ 7.4 Bibliografía 1.Ávila, RB. (2010). Estadística Elemental. Lima: Estudios y ediciones R.A. 2.Córdova, M. (2003). Estadística Descriptiva e Inferencial. Aplicaciones. (5ª ed.) Lima: Moshera. 3. Samuels, M, Witmer, J. (2012). Fundamentos de Estadística para las ciencias de la vida. (4ª ed.) California: Pearson. 4. Daniel, W. (2002). Bioestadística. Base para el Análisis de las Ciencias de la Salud. México: Editorial Limusa S.A.

Tema 9 Tablas de contingencia y gráficas con dos variables 9.1

Competencia a desarrollar Elabora tablas de contingencias y gráficos de barras agrupadas para describir la relación y/o asociación de dos variables cualitativas con interpretación de resultados.

9.2

Contenido del tema 9 Estadística bidimensional Estudia aquellos problemas en los que intervienen de manera simultánea dos variables (X,Y), buscando algún tipo de relación que puede existir entre la variable independiente (X) con la variable dependiente (Y). Así, por ejemplo, se busca determinar la relación que tiene el hábito de fumar con el cáncer al pulmón. La presentación de resultados para variables cualitativas será con las tablas de frecuencias bidimensionales o llamado tablas de contingencia, gráfica de barras agrupadas, gráfica de barras apiladas.

45

Esta tabla de contingencia contiene: X: variable independiente o factor, toma los valores x1, x2,...,xn, Y: Variable dependiente o resultado, toma los valores, y1, y2,...,yn. Tres totales: total para filas (ni.), total para columnas (n.j) y el total general (n) fij : Distribución de frecuencias absolutas conjuntas hij : Distribución de frecuencias relativas (o porcentual Pij) conjuntas Xi : Categorías o clases de la variable X Yj : Categorías o clases de la variable Y n : total de sujetos de la muestra Distribuciones marginales A partir de una distribución bidimensional se obtiene las distribuciones marginales: - Marginal de X; expresa como se distribuye X en la población total al margen de la variable Y X ni. pi X1

n1.

p1

… xi

… ni.

… pi

… xk

… nk.

… pk

n

1

- Marginal de Y; expresa como se distribuye Y en la población total al margen de la variable X Y n.j pj y1

n.1

p1

… yj

… n.i

… pj

…

…

…

46

yl

n.l

Pl

n

1

Distribución de frecuencias condicionales A partir de una distribución bidimensional en cada fila (o columna) aparecen las distribuciones de frecuencias condicionales: - Distribución de X condicionado a Y X

Yj

X/Y =yj

X1

f1j

f1j/n.j=f1/j

… xi

… fij

… fij/n.j =fi/j

… xk

… fkj

… fkj/n.j=fk/j

n.j

1

- Distribución de Y condicionado a X Y

Xi.

Y/X =xi

y1

fi1

fi1/n1.=f1/i

… yj

… fij

… fij/ni. =fj/i

… yl

… fl.

… fkj/ni.=fl/i

ni.

1

Ejemplo 15 Un grupo de estudiantes investigó el consumo de tabaco en personas adultas entre 30 a 65 años y una de las preguntas fue ¿Usted es fumador de tabaco? y como alternativas son: Fumador, No fumador, Exfumador. Los datos recolectados se presentan en la tabla a continuación:

Tabla1. Consumo de tabaco en personas adultas según hábitos y género Hábito de fumar tabaco (Yj) Sexo (Xi)

Total (ni.)

Fumador

No Fumador

Exfumador

Varón

30

50

20

100

Mujer

30

10

10

50

60

30

150

Total (n.j) 60 Fuente: Grupo investigador Preguntas: a) b) c) d) e) f)

Interprete las frecuencias: f12 , n.1 De los resultados de la tabla 1 complete los espacios en blanco Elabore la tabla de frecuencia relativa conjunta porcentual con respecto al total Elabore la tabla de frecuencia relativa conjunta porcentual con respecto al total de filas Elabore la tabla de frecuencia relativa conjunta porcentual con respecto al total de columnas Construya la gráfica de barras apiladas porcentual

Solución a)

Frecuencias absolutas conjuntas: f12 = 50 ; De las 150 personas encuestadas hay 50 que son varones y no son fumadores n.1 = 60 ; De las 150 personas encuestadas 60 son fumadores

47

b)

Completando los espacios en blanco con resultados de la tabla

El número de personas que son fumadores y son del sexo femenino son_________________ Del total de encuestados,____________________ son exfumadores. c)

Elaboración de una tabla de frecuencias relativas conjunta porcentual con respecto al total general: Pij =(fij*100)/n Tabla 2. Consumo de tabaco en personas adultas según hábitos y género Sexo (Xi)

Hábito de fumar tabaco (Yj)

Total (pi)

Fumador

No Fumador

Exfumador

Varón

20%

33%

13%

66%

Mujer

20%

7%

7%

34%

Total (pj) Interpretación

40% de una

40% frecuencia

relativa

20% conjunta

100% porcentual

p11=(30*100)/150 = 20% De las 150 personas adultas encuestadas, hay un 20% que son varones y son fumadores. Distribuciones frecuencias condicionales 1.

Tabla de frecuencias relativas porcentual respecto al total de filas, es la tabla de frecuencias de Y condicionada a X: pij= (fij*100)/ni Tabla 3. Consumo de tabaco en personas adultas según hábitos por género Hábito de fumar tabaco (Yj) Sexo (Xi)

Total (pi)

Fumador

No Fumador

Exfumador

Varón

30%

50%

20%

100%

Mujer

60%

20%

20%

100%

40% 40% 20% 100% Total (pj) Interpretación p11%=30*100/100 = 30% De 100 varones adultos, hay un 30% que son fumadores. 2.

Tabla de frecuencias relativas porcentual respecto al total de columnas, es la tabla de frecuencias de X condicionada a Y: pij= (fij*100)/nj Tabla 4. Consumo de tabaco en personas adultas según género por hábitos Hábito de fumar tabaco (Yj) Sexo (Xi)

Total (pi)

Fumador

No Fumador

Exfumador

Varón

50%

83%

67%

67%

Mujer

50%

17%

33%

33%

Total (pj) Interpretación

100%

100%

100%

100%

p11=(30*100)/60 = 50% De 60 fumadores adultos, el 50% son varones. Gráfico de barras apiladas porcentual Gráfico1. Consumo de tabaco por género de personas adultas de 30 a 65 años

48

100%

Varón

Mujer

80% 60% 40% 20% 0%

20% 20% Fumador

7% 33%

7% 13%

No Fumador

Exfumador

Fuente: Grupo investigador Ejemplo 16 de un gráfico de barras agrupadas En el gráfico 2, muestra el porcentaje de hogares peruanos con los datos del Censo Nacional de Población y Vivienda del año 1993 y 2007 respectivamente. Los datos fueron obtenidos de los Censos realizados por el INEI. Gráfico 2. Perú: Hogares según sexo del jefe de hogar, 1993 y 2007

Fuente: INEI- Censos Nacionales de población y vivienda Del total de familias peruanas censadas, tiene como jefe de hogar a un hombre en un 76.7% según el censo del año 1993 y en el censo del 2007 es de 71.5%. Elaboración de tablas de contingencia y gráficas con MegaStat La secuencia es como se muestra

Elaboración de tablas de cruzadas usando tablas dinámicas 1. Cada columna corresponde a una variable con sus datos y en la primera fila digitar su nombre. 2. Ubique el cursor en cualquier celda de la matriz de datos.

49

3. Haga clic en la opción Insertar de la barra de menú.

4. Elegir donde crear la tabla di námica: o Nueva hoja de cálculo 5. Arrastre las variables que se encuentran en el cuadro de diálogo: - Una variable en fila: Zona de la ciudad - La otra variable en columna: Forma de pago - Cualquiera de las variables a  de valores

Cuenta de Zona de la ciudad Rótulos de fila

Rótulos de columna Contado

6.

Centro

Crédito general 15 19

Norte

10

14

Sur

14

28

Total general

39

61

Total 3 4 2 4 4 2 1 0 0

6. Luego nos muestra la siguiente tabla

7. Para obtener los porcentajes con el total general, o total de fila, o total de columna hacer clic en cualquier celda de la tabla y seleccione Mostrar valores como… % total, o % fila, o % columna. Luego mostrará la tabla en porcentajes.

50

9.3 Preguntas de aplicación Problema 01: Se extrae una muestra aleatoria de 200 habitantes de una ciudad para analizar la actitud frente a un cierto proyecto de alcaldía. El resultado fue el siguiente: Opiniones de los habitantes según área de residencia respecto al proyecto Opinión del proyecto Área de Residencia Urbano 30

Sub-Urbano 35

Rural

Total

A favor En contra

60

25

15

100

Total

90

60

50

200

51

b. c. d. e.

a. Construya la tabla de frecuencias conjunta relativa respecto al total Construya la tabla de frecuencias conjunta relativa respecto al total de las columnas. Construya la tabla de distribución porcentual del área de residencia condicionado a la opinión respecto al proyecto. Interprete la frecuencia conjunta para cada una de las tablas del ítem a, b, c ¿Ud. diría que la opinión es independiente del local de residencia?

Problema 02: Una compañía de seguros analizó la frecuencia con que 2000 asegurados (1000 hombres y 1000 mujeres) usaron el hospital. La información se resume en la tabla: Atención de asegurados según género y uso del hospital Servicio de Hospital Hombres Mujeres

a) b) c) d)

Usaron el hospital

100

150

No usaron el hospital

900

850

Calcule la proporción de hombres entre los individuos que usaron el hospital. De las mujeres ¿Qué porcentaje no usaron el hospital? Construya la distribución porcentual en el uso del hospital condicionado según sexo del asegurado. Elaborar una gráfica de barras agrupadas porcentual con las frecuencias relativas conjuntas.

Problema 03: En una investigación se tiene como propósito conocer la tendencia de los alumnos en continuar sus estudios, según la clase social del encuestado, mostró el siguiente cuadro:

a)

b)

c)

Interés de estudiantes según clase social y continuidad de sus estudios ¿Pretende continuar sus Clase Total estudios? Social Alta Media Baja SÍ 200 220 380 800 NO 100 380 720 1200 Total 300 2000 ¿Usted diría que la distribución de las respuestas afirmativas es igual a la de las respuestas negativas? Compare construyendo una tabla de frecuencia relativa porcentual respecto al total de columnas. Del total de la clase media, ________________________ de estudiantes desean continuar sus estudios (en porcentaje considerando dos decimales) Construya la distribución porcentual de la clase social condicionado a la pretensión de continuidad de los estudios.

Problema 04: El gerente de ventas de la firma ARCOR, encarga la realización de un estudio a una investigadora de mercados con la finalidad de determinar si las ventas de sus cuatro productos Premium dependen al grupo de clientes clasificados en cuatro grupos. La muestra aleatoria de las ventas de productos se observa en la siguiente tabla. Clasificación de consumidores según grupos de clientes y productos Premium Productos Premi um Grupo de Clientes Profesionale s Comerciantes

Obreros Amas de Casa

Total (ni)

1

2

3

4

30

35

55

40

160

1 5 5 130 35

50

125

80

30 15

105 20

50 45

4 1 0 315 115

52

3 215 1000 0 5 Construya la tabla de frecuencias conjunta relativa respecto al total Interpreta las casillas sombreadas en porcentajes, respecto al total, total de fila y total de columna c) Elabora la gráfica de barras agrupadas Total (nj)

a) b)

350

130

Problema 05: Caso ventas de la Distribuidora Éxito El gerente general de la Compañía distribuidora Éxito S.A., ha solicitado al reciente nombrado gerente de ventas un informe sobre el desempeño de los 15 vendedores dentro de su línea de productos de consumo masivo, como: Café y avena. Su mercado objetivo son las cafeterías, restaurantes, panaderías y bodegas de la ciudad. Para el estudio el gerente de ventas se ha planteado los siguientes objetivos: 1. Comparar el promedio de las ventas de café y avena por zona. 2. Describir la tendencia de las ventas por zona y forma de pago 3. Analizar cuál de las zonas presenta menor variabilidad de las ventas de café y avena. La información se recolectó en base a 100 puntos de ventas de la empresa midiendo las siguientes variables: distribuida en diferentes zonas y los datos se muestran en el archivo Distribuidora Éxito.xls. • • • •

Zona de distribución en la ciudad: 1) Norte, 2) Centro, 3) Sur Monto de compra en café: Monto del producto café comprado por punto de venta en soles Monto de compra en avena: Monto del producto avena comprado por punto de venta en soles Forma de pago: Forma de pago del cliente por el producto comprado 1) Contado, 2) Crédito

Se pide lo siguiente: a. Construir una tabla de contingencia para la variable café (X) agrupado en 3 intervalos de igual amplitud con zona de la ciudad (Y), e interpretar las siguientes frecuentas conjuntas: f 22, h13%, h33%, f1., f.2 b. Elabore una tabla de frecuencias relativas de la variable venta café (agrupada 3 intervalos) condicionado a zona de ubicación de la sucursal. En la zona sur ¿Qué porcentaje de puntos de venta vendieron entre 786 a 1483 soles? c. Construir una gráfica de barras agrupadas entre las variables zona de la ciudad y forma de pago. Interprete los resultados. d. Calcular los estadísticos de resumen: media, mediana, desviación estándar y coeficiente de variación por cada zona de la ciudad ¿Cuál de las zonas de la ciudad presenta mayor variabilidad en la venta de café? e. Elabore una tabla de contingencia para las ventas de avena agrupado en 3 intervalos con zona de la ciudad. Interprete una frecuencia conjunta absoluta y una frecuencia relativa. f. Elabore una conclusión para cada objetivo.

9.7.

Bibliografía 1. Webster, A. (2006). Estadística aplicada a los negocios y la economía. (3° ED.) Colombia: MCGRAW HILL. 2. Samuels, M, Witmer, J. (2012). Fundamentos de Estadística para las ciencias de la vida. (4ª ed.) California: Pearson. 3. 4.

Levine, D. (2014). Estadística para la Administración. (6ª ed.) México: Pearson. Montesinos, L, Bayonas, Y, Cerna, E, Llanos, K, Pajuelo, S. (2016). Estadística descriptiva y probabilidad. (1ª ed) Lima: Fondo Editorial USIL.

Tema 10 Asociación de variables cualitativas 10.1 Competencia a desarrollar Determina la asociación de dos variables cualitativas haciendo uso del estadístico Chi cuadrado con interpretación de resultados. 10.2 Contenido del tema 10 Estadístico Chi cuadrado de independencia

53

Se utiliza para determinar la asociación entre variables dos variables cualitativas nominales u ordinales, se calcula organizando los datos en una tabla de contingencia con frecuencias observadas y busca contrastar con hipótesis estadísticas si las categorías de las variables X e Y son independientes. La fórmula del estadístico Chi cuadrado de independencia es: k

l

(f

ij

x2 

i1 j1

eij )2

eij

Donde: fij : son las frecuencias observadas de la muestra eij : son las frecuencias esperadas , se obtiene:

f f .j

eij 

i.

n

k: número de categorías de la variable en fila l: número de categorías de la variable en columna El proceso para contrastar la independencia de variables X e Y es el siguiente: 1. Formular las hipótesis estadísticas y son dos: Hipótesis nula (Ho), Hipótesis alterna o trabajo (H1) Ho: La variable X es independiente de la variable Y H1: La variable X es dependiente de la variable Y 2. Determinar el nivel de significancia (probabilidad de error):  = 0.05 3. Estadistico de prueba: Chi cuadrado de independencia 4. Calcular el P-Valor con MegaStat o cualquier software estadísitco 5. Criterio de Decisión: Si el P-Valor ≤  se rechaza Ho 6. Conclusión; se concluye con la hipótesis que no fue rechazada acompañdo del nivel de significancia Ejemplo 17 El consejo de administración de Comunicatel S.A. quiere determinar si la opinión de sus accionistas respecto a una posible fusión de la empresa es independiente del número de acciones que poseen, las acciones se agrupó por el número de acciones en tres categorías. Una muestra de 500 accionistas proporciona la siguiente tabla:

Distribución de acciones de los socios según opinión a la posible fusión Número de acciones

Opinión respecto a una posible fusión A favor

En contra

Indecisos

Total

54

Menos

25

18

21

64

De 200 a 1000

93

62

67

222

Más de 1000

82

70

62

214

150

150

500

de 200

Total 200 Fuente: Comunicatel S.A.

Contraste la hipótesis respectiva con un nivel de significación del 5%. Solución 1. Formulación de las hipótesis estadísticas Ho: La opinión de los accionistas respecto a una posible fusión es independiente al número de acciones que poseen. H1: La opinión de los accionistas respecto a una posible fusión no es independiente al número de acciones que poseen. 2. Nivel de significancia:  = 0.05 3. Estadístico de prueba: Chi cuadrado de independencia = 1.53 El cálculo del estadístico Chi cuadrado con MegaStat se obtiene con la siguiente secuencia:

Selección de los datos organizados en una tabla de contingencia

Luego seleccionar OK y se obtiene el valor de Chi cuadrado como se muestra a continuación

55

4. P-Valor = 0.8218 5. Decisión: Como el P-Valor = 0.8218 > 0.05 NO se rechaza la hipótesis Ho 6. Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, la opinión de sus accionistas respecto a una posible fusión del empresa es independiente del número de acciones que poseen. 10.3 Preguntas de aplicación Problema 01: Una encuestadora seleccionó una muestra de 800 votantes y se les clasificó de acuerdo a su nivel de ingresos como: Bajo, Medio, alto, y según su opinión con respecto a una reforma en la constitución política del país de los que están A favor, En contra, Sin decisión. Las frecuencias observadas se dan en la siguiente tabla. Opiniones respecto a la reforma en la constitución política según nivel de ingresos OPINION

INGRESOS Bajo

Medio

Alto

A favor

200

130

70

En contra

60

60

80

Sin decisión

40

60

100

¿Existen dependencia entre las variables? Realice la contrastación de hipótesis a un nivel de significancia de 0.05. Problema 02: Un grupo de estudiantes de Psicología realizaron un estudio sobre el manejo de la ansiedad en las actividades académicas y el nivel de estudios en su carrera profesional. Con la finalidad de conocer esta problemática, se desea comparar la ansiedad de los estudiantes del primer con el sexto ciclo de la facultad de medicina de una universidad. A un nivel se significancia de 5% el manejo de ansiedad está asociado al nivel de estudios. Tabla 2. Niveles de ansiedad de los estudiantes según ciclo de estudios Ciclo

de

estudios

Niveles de ansiedad

Leve Moderada Severa

Primer

Sexto

15 28 36

28 20 18

56

Total 79 66 Problema 03: Un grupo de médicos realizaron un estudio con la finalidad de evaluar el hábito de fumar como factor de riesgo del cáncer del pulmón, se seleccionan 2 muestras aleatorias, una de pacientes con esta enfermedad y la otra de personas sin esta condición y se les preguntó si fueron fumadores o no. A continuación se brinda la información obtenida: Distribución de personas con cáncer al pulmón según hábito de fumar Cáncer de pulmón

Hábito de fumar

Sí

No

Total

Si

11

13

24

No

10

46

56

Total

21

59

80

Contrastar la hipótesis si la proporción de fumadores difiere en enfermos con cáncer al pulmón y no enfermos. Considere un nivel de significancia de 5%. Problema 04: Se hizo un estudio en niños de 10 a 12 años, que consiste en experimentar la efectividad de dos métodos de higiene bucal en la prevención de caries, el método A y el método B. Después de un año, se observó el desarrollo de caries, en el estudio participaron un total de 200 niños. Según los resultados observados de los tratamientos fueron clasificados por la cantidad de caries en tres categorías: Bajo, moderado, alto como se muestra en la siguiente tabla.

Tratamientos

D esarrollo de car Bajo Moderado

ies Alto

TOTAL

A

8

40

34

82

B

84

22

12

118

TOTAL

92

62

46

200

A un nivel de significancia de 5% se puede afirmar que el desarrollo de caries está relacionado al tipo de tratamiento. 10.4 Bibliografía 1. Webster, A. (2006). Estadística aplicada a los negocios y la economía. (3°ed.) Colombia: MCGRAW HILL. 2. Véliz, C.(2011).Estadística para la administración y los negocios. 1° ed., México; Prentice Hall. Pearson. 3. Levine, D. (2014). Estadística para la Administración. (6ª ed.) México: Pearson. 4. Estadística descriptiva bidimensional. [Acceso: 15 de diciembre del 2017.]. Disponible en: http://www.um.es/docencia/plucas/manuales/mat/mat9.pdf.

Tema 11 Correlación lineal simple 11.1 Competencia a desarrollar Determina la asociación de variables con gráficas y el coeficiente de correlación de Pearson, demostrando su capacidad de interpretación de resultados en un estudio correlacional. 11.2 Contenido del tema 11 Correlación Cuando se realiza un estudio de correlación entre dos variables cuantitativas medidas en escala de intervalo o razón, se tiene interés en determinar en qué medida sus valores se relacionan y cuál es su tendencia que puede ser directa o inversa. El análisis consiste en observar esta asociación con el gráfico de dispersión y el coeficiente de correlación de Pearson.

57

Gráfico de dispersión Es una gráfica representa la relación de los valores observados (xi,yi), considerando la variable X como independiente y a la variable Y como dependiente. Los valores de la variable independiente X se grafica en el eje horizontal, mientras que los valores de la variable dependiente Y en el eje vertical. El tipo de la relación observada en el diagrama de dispersión puede ser lineal directa o inversa, como se observa en las siguientes gráficas:

Relación lineal directa

Relación lineal inversa

Coeficiente de correlación de Pearson Mide la fuerza y dirección de la relación entre dos variables cuantitativas en una escala que varía entre +1 y -1, esto significa una relación directa o inversa. La fórmula es:

cov( X,Y) R SxSy La covarianza está dado por: k

l

 f x  xy ij

i

j

 y

i1 j1

Covx, y

n

Interpretación del coeficiente de correlación de Pearson, está dado en el siguiente cuadro.

Ejemplo 18 Se tiene las calificaciones de 40 alumnos en psicología evolutiva y en estadística con calificación de 1 a 10, los datos son los siguientes: X calif. en Psicol. 3 4 5 6 6 7 7 8 10

Y calif. en Estad. 2 5 5 6 7 6 7 9 10

Número de alumnos. 4 6 12 4 5 4 2 1 2

58

¿Cuál es la relación entre las notas en estadística con las notas de psicología? Solución: Se pide determinar la correlación de X e Y:

xi 3 4 5 6 6 7 7 8 10

yi 2 5 5 6 7 6 7 9 10

ni nixi 4 12 6 24 12 60 4 24 5 30 4 28 14 8 2 20 1 2 40 220 Disponemos los datos de la siguiente forma:

niyi 8 30 60 24 35 24 14 9 20 224

nixi2 36 96 300 144 180 196 98 64 200 1314

niyi2 16 150 300 144 245 144 98 81 200 1378

nixiyi 24 120 300 144 210 168 98 72 200 1336

n x x

Promedios:

i

i

 220

y ni yi  224  5,6 N 40

 5,5

sxy ni xi yi x.y 

1336

N

40

 (5,3).(5,6)  33,4 30,8  2,6

Covarianza:

N sx2 ni xi2 x2 

1314

40

 (5,6)2  32,85 30,25  2,6

Varianza de X:

N Desviación estándar de X:

Varianza de Y:

40

sx  sx2  2,6 1,61

sy2 ni yi2  y2  1378  (5,6)2  3,09 N 40

Desviación estándar de Y:

sy  3,09 1,75 sxy

Calculando el coeficiente de correlación: y resulta

r

r  0,92

sx.sy La correlación es positiva, es decir, a medida que aumenta la nota de estadística aumenta también la nota en psicología. Su valor está próximo a 1 lo que indica que se trata de una correlación fuerte, las estimaciones realizadas están cerca de los valores reales.

59

11.3 Preguntas de aplicación Problema 01: Los siguientes datos corresponden a grupo de estudiantes y se quiere determinar la existencia o no de asociación entre las calificaciones en las asignaturas de Matemática con el número de horas de estudio diario fuera de clase y qué tipo de relación presentan los datos siguientes: Nº horas de estudio

3

2

2

1

1

3

1

0.5

2

1

Calificativos

18

12

16

12

10

14

13

8

14

11

Problema 02: Un consultor quiere averiguar si el salario de los empleados depende del índice de desempeño en el trabajo. Una manera de verificar lo anterior, consiste en examinar la relación entre dicho índice y el salario del empleado. Para ello, se seleccionó una muestra de 8 empleados y se recolectó información sobre el salario (en cientos de soles) y el índice de desempeño (medido en escala de 1 al 10; donde 1 significa pésimo y 10 significa óptimo). ¿Existe correlación entre las variables de estudio a un nivel de significancia de 5%. Índice de desempeño

9

7

8

4

7

5

5

6

Salario (S/.) 36 25 33 15 28 19 20 22 Problema 03: Un profesor investiga las notas que obtuvieron 10 alumnos en Matemática y en Estadística con calificación de 1 a 10, los datos recolectados son: Alumnos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a) b)

Matemática 6 4 8 5 3,5 7 5 10 5 4

Estadística 6,5 4,5 7 5 4 8 7 10 6 5

Elabore la gráfica de dispersión ¿Qué tipo de tendencia se observa? ¿Existe correlación entre las notas de matemática y estadística a un nivel de confianza de 5%?

11.4 Bibliografía 1.

Webster, A. (2006). Estadística aplicada a los negocios y la economía. (3° ed.) Colombia: MCGRAW HILL.

2.

Análisis de regresión y correlación lineal. [Acceso: 15 diciembre del 2014.]. Disponible en: http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/RegresionLineal.pdf. Daniel, W. (2002). Bioestadística. Base para el Análisis de las Ciencias de la Salud. México: Editorial Limusa S.A. Veliz, O. (2014). Estadística para administración y los negocios. (2ª ed.). México D.F: Pearson.

3. 4.

Tema 12 Regresión lineal simple 12.1 Competencia a desarrollar Determina la relación de variables en una ecuación de regresión lineal simple para explicar el tipo de relación de la variable dependiente en función de la independiente, demostrando capacidad de interpretación de resultados. 12.2 Contenido del tema 12

60

Regresión lineal Regresión lineal simple, es método estadístico que nos permite formular un modelo matemático, sustentado en el método de los mínimos cuadrados (uno de los métodos de estimación) para predecir el valor promedio de la variable dependiente para un nivel dado en función de la variable independiente (predictora), de modo que ambas variables se expresan en una relación funcional de las variables (X,Y), esta función es f(x), tal que yi = f(xi). Para cada valor de x se puede conocer el valor de y. Por ejemplo, el precio de una prenda está en función del costo de la tela por metro.

Gráfico de dispersión En el gráfico de dispersión se observa el tipo de la relación que presentan las dos variables que puede ser lineal o no lineal (una curva), como se observa en las siguientes gráficas:

Relación lineal directa

Relación lineal inversa

Relación no lineal Modelo

de regresión lineal simple, está definido por la ecuación de una recta:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝑒𝑖𝑗 Donde: Yi: Variable dependiente Xi: Variable independiente eij: Error aleatorio, variables no observables que se asume normalidad β1: Parámetro que expresa la pendiente de la recta, indica la variación de Yi cuando la variable Xi varía en una unidad. La fórmula para estimar β1 es:

β0: Parámetro que es el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas.

𝛽0 = 𝑌̅ − 𝛽1𝑋̅ Bondad de ajuste del modelo Consiste en analizar el grado de asociación lineal entre la variable dependiente y la independiente, asimismo determinar la proporción de variabilidad de la variable dependiente explicada por la independiente. Los estadísticos son: a) El coeficiente de correlación de Pearson que es R b) El coeficiente de determinación que es R2 El valor del coeficiente de determinación está en un rango de 0 a 1. Ejemplo 19 Una empresa comercializadora de productos lácteos desea conocer si existe relación entre el gasto que se realiza en publicidad en miles de soles y el incremento de las ventas en miles de soles, para lo cual realiza el análisis de la conducta de estas dos variables en los nueve últimos meses. Los datos recolectados son los siguientes: Publicidad Ventas (S/.)

12 48

14 55

15 52

10 42

19 67

13 43

15 48

19 69

18 55

61

Solución 1. Gráfico de dispersión, para poder determinar la tendencia de los datos procederemos a realizar con MegaStat o Excel el gráfico de dispersión.

Gráfico Dispersión de las ventas con publicidad

Ventas

75 70 65 60 55 50 45 40 9

11

13

15

17

19

21

Publicidad en miles de soles

En el gráfico de dispersión se observa una relación positiva con tendencia lineal, a medida que se aumenta la inversión en publicidad hay incremento las ventas. 2.

Correlación de Pearson Obtenemos la matriz de correlaciones con MegaStat Publicidad Ventas

Publicidad

1.000 Ventas

.885

1.000

Con un coeficiente de correlación de Pearson, R =0.885, significa que las variables ventas la inversión en publicidad indica una correlación muy fuerte.

3.

Regresión Lineal Regression output variables

coefficients

std. error

t (df=7)

p-value

Intercept

13.0972

8.1518

1.607

.1522

Publicidad

2.6750

0.5330

5.019

.0015

Con el resultado del CUADRO DE COEFICIENTES, definimos la ecuación de regresión estimada:

𝑽𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 = 𝟏𝟑. 𝟎𝟗𝟕 + 𝟐. 𝟔𝟕𝟓 𝑷𝒖𝒃𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 Interpretación de los coeficientes de regresión: o = 13.097

Es el promedio de ventas cuando no hay inversión en publicidad (X = 0)

1 = 2.675 Por cada sol que se invierte en publicidad las ventas se incrementan en 2.675 soles 4.

Bondad de ajuste de la ecuación de regresión lineal Coeficiente de determinación, R2 = 0.783

62

Se concluye que la variable gasto en publicidad explica en un 78.3% la variación de las ventas, por tanto la ecuación de regresión estimada se puede utilizar para realizar predicciones de las ventas. Ejemplo 20 Una compañía de seguros considera que el número de vehículos (Y) que circulan por una determinada autopista a más de 120 km/h, puede ponerse en función del número de accidentes (X) que ocurren en ella. Durante 5 días se recolectó datos y se muestra en la siguiente tabla: X Y a) b) c) d)

5 15

7 18

2 10

1 8

9 20

Elabore el gráfico de dispersión y calcula el coeficiente de correlación lineal. Encuentre el modelo de regresión lineal simple Si ayer se produjeron 6 accidentes, ¿cuántos vehículos podemos suponer que circulaban por la autopista a más de 120 km/h? ¿Es buena la predicción?

Solución:

Vehículos con más de 120 km/h

a) Gráfico de dispersión

25 20 15 10

y = 1.5223x + 6.8929 R² = 0.9907

5 0 0

2

4 6 8 Número de accidentes

10

En el gráfico de dispersión se observa una relación lineal positiva entre el número de accidentes y la velocidad que recorren los vehículos, es decir si hay aumento de velocidad aumenta el número de accidentes. Completando la pregunta a, se debe realizar los cálculos de la siguiente forma:

63

13,64

sxy yy s2 (xx) y14,2 

8,96 (x 4,8) ; y14,2 1,53(x 4,8)

x

Por tanto la recta de regresión de y sobre x: y =6,89 + 1,53x

Para x = 6,

y14,2 1,53(6  4,8) , es decir, y = 16,04. Podemos suponer que ayer circulaban 16

vehículos por la autopista a más de 120 km/h. a)

La predicción hecha es buena ya que el coeficiente de correlación está muy próximo a 1.

12.3 Preguntas de aplicación Problema 01: La tabla siguiente muestra las notas que obtuvieron 8 alumnos en un examen, las horas de estudio dedicadas a su preparación y las horas que vieron la televisión los días previos al examen. Nota Horas de estudio Horas de TV

5 7 7

6 10 6

7 9 2

3 4 11

5 8 9

8 10 3

4 5 9

9 14 5

a) Elabore las gráficas de dispersión correspondientes a: Nota-estudio y Nota-TV. b) ¿Se observa correlación entre las variables estudiadas? ¿De qué tipo? ¿En qué caso estimas que hay una correlación más fuerte? c) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación de Pearson: Nota-estudio y nota-TV. ¿Qué puede deducirse con más precisión respecto a la nota que obtuvo una persona en el examen: el tiempo que dedicó al estudio o el tiempo que dedicó a ver la televisión?

64

d) Encuentre las rectas de regresión correspondientes a: Nota-estudio y NotaTV y estime para un alumno cualquiera que sacó una nota 2 en el examen: a) Las horas que estudió. b) Las horas que vio la TV

Problema 02: La tabla adjunta muestra el índice de mortalidad de una muestra de población en función del consumo diario de cigarrillos: Número de cigarrillos Índice de mortalidad a) b) c) d)

x y

3 0,2

5 0,3

6 0,4

15 0,5

20 0,7

Determina el coeficiente de correlación e interpreta el resultado. Hallar la recta de regresión de y sobre x e interpretar los coeficientes de regresión. Evaluar la recta de regresión ¿Es buen modelo para pronosticar el índice de mortalidad ¿Cuál será el índice de mortalidad para un consumidor de 40 cigarrillos diarios?

Problema 03 Se llevó a cabo un proyecto de investigación para determinar si existe alguna relación entre los años de servicio y las puntuaciones de eficiencia de los empleados. El objetivo del estudio es predecir la tasa de eficiencia (Y) de un empleado con base a su tiempo de servicio (X). Los datos muestrales son: a. Empleado

x

y

x2

y2

xy

1

1

2

1

4

2

2

17

5

3

6

3

4

8

6

5

2

5

6

1

2

7

15

4

8

8

3

Total a) b) c) d) e)

Construya el gráfico de dispersión e interprete la tendencia de los datos. Calcule e interprete el coeficiente de correlación de Pearson. Formule el modelo de regresión lineal e interprete el coeficiente de regresión. Calcule e interprete el coeficiente de determinación. Si un trabajador tiene ocho años de servicio, ¿Cuál es la tasa de eficiencia estimada? Comente la validez de su resultado

Problema 04 Se desea pronosticar el costo de viajar en un avión comercial. Alguna de las variables que contribuyen son el tipo de avión, distancia recorrida, número de pasajeros, cantidad de equipaje, etc. Se realiza un estudio solo en el tipo de avión Boeing 737 que vuela 500 millas en rutas comparables durante la misma estación del año. ¿Puede el número de pasajeros pronosticar el costo de vuelo en esas rutas? Vuelos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1 2

Número de pasajeros

61

63

67

69

70

74

76

81

86

91

95

4280

4080

4420

4170

4480

4300

4820

4700

5110

5130

5640

9 7 556 0

Costo (miles $)

a. La variable independiente es: ______________________________________ b. La variable dependientes es : ______________________________________ c. ¿Existe relación entre las variables número de pasajeros y costo? ¿Qué tipo de relación es? _________________________________________________________

65

d. La ecuación de regresión ___________________________________________________ e. Interprete los parámetros estimados __________________________________________________________________ __________________________________________________________________

es:

f. ¿En qué porcentaje el número de pasajeros es explicado por el costo?___________________ g. El modelo estimado sirve para realizar pronósticos futuros?_____________________________ __________________________________________________________________ Problema 05 La compañía Data Wire S.A aumentó la productividad de 70 mil a 90 mil libras por semana cuando instituyó un programa básico de capacitación. Este programa fue aplicado durante un periodo de 18 meses. Los datos recolectados son el número total de horas acumuladas en capacitación y la cantidad de producción por semana de cierto producto que fueron tomadas una vez al mes durante este tiempo. Con los resultados de los datos se muestra a continuación responder el cuestionario: S ca tte r plot of P r oduc tiv idad v s Hor a_ ac um 9 000 0

Productividad

8 500 0

8 000 0

7 500 0

7 000 0 0

1 00 0

20 0 0 Ho r a _ a c um

30 00

40 0 0

Resumen del modelo Modelo 1

R .988

a

R cuadrado corregida .975

R cuadrado .976

Error típ. de la estimación 1005.644

a. Variables predictoras: (Constante), Horas acumuladas de capacitación Coeficientesa Coeficientes no estandarizados Modelo 1

Coeficientes estandarizados

B (Constante)

Beta

70880.252

t

394.546

Sig. 179.650

Error típ. .000

Horas acumuladas 5.093

.198

.988

25.735

.000 de capacitación

a. Variable dependiente: Productividad (en libras por semana)

Se pide a usted: a. Analizar la posible relación de las variables con el gráfico de dispersión. b. Interpretar el coeficiente de correlación de Pearson. c. Formule el modelo de regresión lineal e interprete el coeficiente de regresión d. Evaluar la bondad de ajuste del modelo estimado ¿Qué tan bueno es para realizar estimaciones? Problema 05 Los siguientes datos representan una muestra del consumo de agua por día y la mayor temperatura para ese día. ¿Puede pronosticarse el consumo de agua de una ciudad por medio de la temperatura? Las variables son: Y : Cantidad de agua usada (millones de galones)

66

X : Temperatura (grados Fahrenheit) Algunos resultados que se tienen son los siguientes:

y

i

x

2

2

152711

i 49584

y 1025 x 608 i

i

x *y 86006 i

i

S catterplot of Uso_ agua vs Temperatur a 225 200

Uso_agua

175 150 125 100 75 50 40

50

60

70 80 Temperatura

90

100

110

Se pide a usted: b. Analizar la posible relación de las variables en el gráfico de dispersión. c. Interpretar el coeficiente de correlación de Pearson. d. Formule el modelo de regresión lineal e interprete el coeficiente de regresión e. Evaluar la bondad de ajuste del modelo estimado ¿Qué tan bueno es para realizar estimaciones? 12.4

Bibliografía 1.

Webster, A. (2006). Estadística aplicada a los negocios y la economía. (3° ed.) Colombia: MCGRAW HILL.

2.

Análisis de regresión y correlación lineal. [Acceso: 15 diciembre del 2014.]. Disponible en: http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/RegresionLineal.pdf. Daniel, W. (2002). Bioestadística. Base para el Análisis de las Ciencias de la Salud. México: Editorial Limusa S.A. Veliz, O. (2014). Estadística para administración y los negocios. (2ª ed.). México D.F: Pearson.

3. 4.

Tema 13 Experimentos y probabilidades 13.1 Competencia a desarrollar Resuelven problemas de probabilidades aplicando los diferentes teoremas y propiedades demostrando su proceso y capacidad de análisis en el tiempo establecido. 13.2 Contenido del tema 13 Conceptos básicos de probabilidades La teoría de la probabilidad se ocupa de estudios de experimentos aleatorios del cual la ocurrencia de resultados no se puede predecir con exactitud. La probabilidad es una medida de la certidumbre asociada a un suceso (evento) futuro cuyo resultado es un número entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%). Un

67

suceso es improbable que ocurra cuando es cercano a 0 y se tiene la certeza que ocurra cuando la probabilidad es cercana a 1. Experimento aleatorio (ε) Es cualquier experimento u operación cuyo resultado no puede predecirse con exactitud antes de realizarse el experimento. Espacio muestral Es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento aleatorio. Denotaremos por la notación  (omega) o con la letra S Evento Es un subconjunto del espacio muestral. Tipos de eventos Suceso seguro; está formado por todos los posibles resultados, es decir S, el espacio muestral. Ejemplo1 Tirando un dado se obtiene una puntuación que sea menor que 4, más de 5 Evento imposible; carece de elementos Ejemplo 2 Al tirar un dado obtener una puntuación de 7 A={} Operaciones con eventos Sean los eventos A y B que ocurren en el espacio muestral  a) Unión de eventos: Sean los eventos de A y B eventos dependientes, entonces AUB se obtiene: AUB={w ϵ  / w ϵ A ó w ϵ B} = A + B – A  B 

A

B

Probabilidad de un evento simple La probabilidad es una medida de la incertidumbre que toma valores comprendidos entre 0 a 1. Sea el suceso o evento A del espacio muestral  ; la probabilidad de A denotada por P(A) es la razón entre el número de resultados favorables al suceso A y el número total de resultados del espacio muestral.

68

𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 Donde: 0 ≤ (PA) ≤1 13.3 Preguntas de aplicación Problema 01 El 60% de la población de una determinada ciudad lee el periódico A, el 35% el B y un 15% ambos. Elegido un ciudadano al azar, calcular la probabilidad de: a) Ser lector de algún periódico_______________ b) No leer ninguno ________________ c) Leer solo el periódico A ________________ d) Leer solo uno de los dos periódicos __________ Problema 02 Una pareja al planificar una familia está interesada en tener 3 hijos, de acuerdo a esto determine los siguientes eventos: A: Todos los hijos del mismo sexo A = {_______________________________________} B: Exactamente un varón B = {_______________________________________} C: Por lo menos dos varones C={ ___________________________________} Problema 03 Es frecuente que hombres y mujeres no estén de acuerdo en opinar acerca de seleccionar una pareja. Sin embargo, un grupo de estudiantes realizó una investigación en parejas constituidas y aplicaron una encuesta a 1000 personas entre 20 a 30 años de edad. Una de las preguntas fue ¿Qué es lo más importante para su futura pareja ser capaz de comunicar sus sentimientos (S) o el vivir bien con esa persona (V)? La información de las respuestas se resume en la siguiente tabla: SEXO Hombres (H) Mujeres (M) Total

OPINIÓN Sentimientos (S) 350 360 710

Vivir bien (V) 200 90 290

Total 550 450 1000

Si se selecciona al azar una persona del grupo de 1000, calcule las siguientes probabilidades: a) P(S) b) P (V) c) P(S U V) d) P(S U M) Problema 04 La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es 1/4, y la probabilidad de que su esposa viva 10 años más es 1/3. Encontrar la probabilidad de que (i) ambos estén vivos dentro de 10 años, se pide calcular: a) Por lo menos, uno esté vivo dentro de 10 años b) Ninguno de los dos esté vivo dentro de 10 años c) Solamente la esposa este viva dentro de 10 años Problema 05 Tres mujeres compiten por un puesto de secretaria ejecutiva. Las candidatas A y B tienen la misma oportunidad de ganar, pero la candidata C tiene el doble de oportunidad que las candidatas A y B. ¿Cuál es la probabilidad de que gane C? ¿Cuál es la probabilidad de que A no gane? Problema 06 La probabilidad de que se venda el producto A es 15%, el producto B es el 5% y la probabilidad que se vendan ambos productos por medio de una promoción es 4% ¿Cuál es la probabilidad que se venda el producto A o el producto B dicho día? Problema 07

69

En una clase de Administración Financiera hay 6 mujeres y 4 hombres según el número de inscritos. Se han elegido al azar a 7 personas ¿Cuál es la probabilidad de elegir más mujeres que hombres? Problema 08 En cada uno de los enunciados califique como verdadero (V) o falso (F) y arguméntelo: a) La probabilidad de la unión de dos eventos independientes es P(AUB) = P(A) + P(B) ( ) _________________________________________________________________ b) La probabilidad de la unión de dos eventos dependientes es P(AUB) = P(A) + P(B) ( ) _________________________________________________________________ c) La probabilidad de la intersección de dos eventos no puede ser mayor que cualquiera de sus probabilidades individuales. ( ) _________________________________________________________________ d) Un evento y su complementario son mutuamente excluyentes. ( ) _________________________________________________________________ e) Las probabilidades individuales de un par de eventos no pueden sumar más de 1. ( ) _________________________________________________________________ f) Si dos eventos son mutuamente excluyentes, también deben son eventos exhaustivos. ( ) _________________________________________________________________ 13.4 Bibliografía 1. Córdova, M. (2003). Estadística Descriptiva e Inferencial. Aplicaciones. (5ª ed.) Lima: Moshera. 2. Webster, A. (2006). Estadística aplicada a los negocios y la economía. (3° ed.) Colombia: MCGRAW HILL. 3. García, J. (2005). Estadística descriptiva y nociones de probabilidad. España: Thomson Editores. 4. Montesinos, L, Bayonas, Y, Cerna, E, Llanos, K, Pajuelo, S. (2016). Estadística descriptiva y probabilidad. (1ª ed) 1Lima: Fondo Editorial USIL.

Tema 14 Probabilidad condicional y teorema de Bayes 14.1 Competencia a desarrollar Resuelven problemas de probabilidad condicional y aplica el teorema de Bayes demostrando su proceso y capacidad de análisis en el tiempo establecido. 14.2 Contenido del tema 14 Probabilidad condicional En un espacio muestral, la probabilidad condicional se define como la probabilidad de un evento A dado que ha ocurrido el evento B. 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴/𝐵) =

𝑁ú 𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴 ∩ 𝐵 =

(𝐵)

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵

Probabilidad total El espacio muestral se divide en Ai particiones mutuamente excluyentes, y ocurre un evento común B en todas las particiones. Por tanto la probabilidad total de un evento B está dado por:

70

Por tanto la probabilidad del evento B es: P(B) =P(A1) P(B|A1) + … +P(A4) P(B|A4)

(𝐵) = ∑ 𝐴𝑖 (𝐵/𝐴𝑖)

Donde: 0 ≤ (PB) ≤1

Teorema de Bayes Si ocurre el evento B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada evento particular Ai.

Ejemplo 23 En esta aula el 70% de los alumnos son hombres. De ellos el 10% son fumadores. El 20% de las mujeres son fumadoras. ¿Cuál es la probabilidad que al seleccionar una persona, ésta sea fumadora?

Solución Sean los eventos: H: Hombre M: Mujer F: Fuma

P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) + P(F|M) P(M) = 0,1 · 0,7 + 0,2 · 0,3 = 0,13

P(H)

13.3 Preguntas de aplicación Problema 01 Una empresa tiene tres firmas proveedoras de un mismo artículo. La firma A produce el 2% de fallados y provee el 25% de las necesidades de la empresa. La firma B produce el 5% de fallados y provee el 30% de

71

las necesidades de la empresa. La firma C produce un 3% de fallados y provee el 45% de las necesidades de la empresa.

a. En las operaciones se detecta un artículo fallado, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de A? b. Si se detecta un artículo bueno, ¿cuál es la probabilidad de que no provenga de C? c. Si se sabe que el artículo no proviene de C, ¿cuál es la probabilidad de que sea bueno? Problema 02 Un ambulante que vende periódicos y otros artículos encuentra que el 60% de sus clientes le compra (solo) periódicos y 20% le compra periódicos con otros productos ¿Qué porcentaje de sus clientes le compran solamente otras cosas que no sean periódicos, asumiendo que todos los clientes le compran algo? Problema 03 En la ciudad de Arequipa, el canal 5 emite un reporte informativo “Buenos días Perú” en la mañana, y otro 24 horas”, en la noche. El 10% de las familias de esta ciudad sintonizan el programa por la mañana, 30% ven el programa por la noche y 7% ven ambos programas ¿Cuál es el porcentaje de las familias que no ven ninguno de estos dos programas informativos? Problema 04 Análisis S.A., una pequeña firma consultor está negociando dos contratos. La Gerencia piensa que la probabilidad de ganar el primer contrato es de 60%, y que el ganador tendrá ventaja definitiva en la negociación del segundo contrato. La Gerencia cree, que si Análisis S.A. gana el primer contrato va a tener un 70% de probabilidad de ganar el segundo, pero si pierde el primer contrato, la probabilidad de ganar el segundo disminuirá a 0.10. a. ¿Cuál es la probabilidad de que Análisis SA. pierda ambos contratos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el Análisis S.A. gane el segundo contrato? Problema 05 Consideremos una población en la que cada individuo es clasificado según dos criterios: es o no portador de HIV y pertenece o no a cierto grupo de riesgo que denominaremos R. La correspondiente tabla de probabilidades es: Cliente Portador (A) No portador (A’)

a) b) c)

Pertenece al grupo de riesgo (B) 0.003 0.017 No pertenece al grupo de riesgo (B’) 0.003 0.977 Total Calcula la probabilidad de que un individuo sea portador Calcula la probabilidad de que sea portador y pertenezca al grupo de riesgo. Dado que una persona seleccionada al azar pertenece al grupo de riesgo, ¿cuál es la probabilidad de que sea portador?

Problema 06 En el Cuzco, el hotel de turistas clasifica sus clientes en tres categorías los clientes que llegaron por agencia de viaje, por negocios y de forma independiente. La gerencia desea determinar la relación entre el tipo de cliente y el tipo de pago. Ha seleccionado 230 clientes de los que hospedó durante el mes de febrero del año pasado y los ha clasificado en la siguiente tabla: Cliente Agencia de Viaje Independiente Hombre de Negocios

Tipo de pa go Tarjeta de crédito 65 30 50

Efectivo 45 30 10

¿Cuál es la probabilidad de que si se selecciona un cliente al azar de esta muestra? a. El cliente sea hombre de negocios b. El cliente sea hombre de negocios y pague al crédito e. El cliente sea hombre de negocios o pague en efectivo

72

d. Supongamos que el cliente es independiente ¿Cuál es la probabilidad de que pague al crédito? e. Los dos eventos: ser un cliente de agencia de viaje y pagar al crédito ¿son independientes? Explíquelo. Problema 07 Una compañía constructora está considerando el construir un centro comercial. Un elemento de decisión para la construcción es la existencia del proyecto de una autopista. Si el consejo municipal aprueba esta autopista hay una probabilidad de 0.90 que la compañía construya el centro comercial. Pero si la autopista no es aprobaba la probabilidad es de sólo 0.20. Basándose en la información disponible el presidente de la compañía estima que hay una probabilidad de 0.60 que la autopista sea aprobada. a. ¿Cuál es la probabilidad que la compañía construya el centro comercial? b. Dado que el centro comercial fue construido, ¿cuál es la probabilidad que la autopista haya sido aprobada? Problema 08 La información de la siguiente tabla presenta la clasificación de estudiantes universitarios de acuerdo a la preferencia de la carrera profesional elegida y el género. GÉNERO ESPECIALIDAD Administración

Masculino

Femenino

TOTAL

120

90

210

Ingeniería

90

50

140

Contabilidad

47

55

102

257

195

452

TOTAL

Se desea elegir un estudiante en la muestra: a) b) c) d) e) f)

¿Cuál es la probabilidad que pertenezca a la especialidad de Ingeniería? ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante sea un estudiante de administración dado que es mujer? ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante sea de la carrera de Contabilidad? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante del género femenino y estudie Ingeniería? Si el estudiante elegido es del género masculino ¿Cuál es la probabilidad que estudie Contabilidad? ¿Cuál es la probabilidad de elegir un estudiante de Ingeniería o Contabilidad?

Problema 09 La National Highway Traffic Safety Administration (NHTSA) realizó una investigación para saber si los conductores de Estados Unidos están usando sus cinturones de seguridad (Associated Press, 25 de agosto de 2003). Los datos muestrales fueron los siguientes: Conductores que emplean el cinturón Región Sí No Noreste 148 52 Oeste medio 162 54 Sur 296 74 Oeste 252 48 Total 858 228 a) ¿Cuál es la probabilidad de que en Estados Unidos un conductor lleve puesto el cinturón? b) Un año antes, la probabilidad en Estados Unidos de que un conductor llevara puesto el cinturón era 0.75. El director de NHTSA, doctor Jeffrey Runge esperaba que en 2003 la probabilidad llegara a 0.78. ¿Estará satisfecho con los resultados del estudio del 2003? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se use el cinturón en las distintas regiones del país? d) ¿En qué región se usa más el cinturón? Problema 10 Una empresa que produce pasta de dientes está analizando el diseño de cinco empaques diferentes. Suponiendo que existe la misma posibilidad de que los clientes elijan cualquiera de los empaques, ¿cuál es la probabilidad de selección que se le asignaría a cada diseño de empaque? En un estudio, se pidió a

73

100 consumidores que escogieran el diseño que más les gustara. Los resultados se muestran en la tabla siguiente. ¿Confirman estos datos la creencia de que existe la misma posibilidad de que los clientes elijan cualquiera de los empaques? Explique

Diseño 1 2 3 4 5

Número de veces que fue elegido 5 15 30 40 10

Problema 11 Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de género masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine: a. Calcula la probabilidad de que sea de género masculino b. Si resulta que es de género masculino, ¿Cuál es la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios? 14.4 Bibliografía 1. Córdova, M. (2003). Estadística Descriptiva e Inferencial. Aplicaciones. (5ª ed.) Lima: Moshera. 2. Webster, A. (2006). Estadística aplicada a los Negocios y la Economía. (3ra ed.) Colombia: McGraw Hill. 3. García, J. (2005). Estadística descriptiva y nociones de probabilidad. España: Thomson Editores. 4. Montesinos, L, Bayonas, Y, Cerna, E, Llanos, K, Pajuelo, S. (2016). Estadística descriptiva y probabilidad. (1ª ed) 1Lima: Fondo Editorial USIL.

Bibliografía 1. Córdova, M. (2003). Estadística Descriptiva e Inferencial. Aplicaciones. (5ª ed.) Lima: Moshera. 2. Ávila, RB. (2010). Estadística Elemental. Lima: Estudios y ediciones R.A. 3. Webster, A. (2006). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. (3RA ED.) Colombia; MCGRAW HILL. 4. Devore, J. (2008). Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. (7ª ed.) México D. F: CengageLearning. 5. García, J. (2005). Estadística descriptiva y nociones de probabilidad. Madrid: Thomson Editores Spain. 6. Martínez, C. (2005). Estadística y muestreo. (12a ed.) Bogotá. ECOE Ediciones. 7. Quispe, U. (2005). Fundamentos de Estadística. (2ª ed.) Lima: San Marcos Ibarra, O. (2006). Estadística para la Administración Turística. (2ª ed.) México D. F: Trillas. 8. Salvador, S., Fernández M., Cao, A. (2008). Introducción a la Estadística y sus aplicaciones. Madrid: Ediciones Pirámide 9. Bioestadística. [Acceso: books.google.com.pe/book.

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