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• AndresFelipeHurtadoBuendia

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EJERCICIOS RESUELTOS FORMULACION DE MODELOS DE MARKOV DE TIEMPO DISCRETO Pregunta Nº 1. Se quiere construir un modelo markoviano para estimar la dinámica de vida de un cultivo de ovas de salmón en la etapa de Maduración de la ova. En un estanque con agua dulce, se ponen N ovas fecundadas. Después de 8 días, las ovas que han sobrevivido se convierten en pequeños salmones, los cuales se traspasan a otros estanques para seguir su evolución. En este proceso de Maduración, algunas ovas se mueren. Se sabe que la distribución de probabilidades de una ova en esta etapa de desarrollo, es exponencial con media  . Sea X n el número de ovas vivas al inicio del día n. Se pide: a) Diga cual es el rango de la variable (2 puntos) b) Obtenga la regla de transición (2 puntos) c) Obtenga la matriz P (2 puntos) Desarrollo Sea X n : número de ovas vivas al inicio del día n. Parten N ovas vivas, pero van muriendo día a día.

  a) X n  0,1,2,..., N b) Sea p: probabilidad de que una ova que está viva al inicio del día n lo esté al inicio de día n+1. Sea Ti : duración o vida de la ova i-ésima. T  n 1   P T  1  1  e   p  P i i Ti  n   luego si hay j ovas vivas al día siguiente pueden haber j o menos.

  Luego X n1  Binomial X n , p c) Matriz P: 0 1 0 1 1  p  2  2   1  p  2  0 . N-1 N

 N  1   1  p  N 1  N  1

1  p  N

1

2

.

N-1

N

p

0

 2   p 1  p 1  1

p2

0 0

0 0

0 0

 N 1    p 1  p  N  2  N  2  N    p 1  p  N 1  N  1

.  N 1  2   p 1  p  N 3  N  3  N  2   p 1  p  N 2  N  2

p N 1

0

1  p 

p

1

Pregunta Nº 2. Juan y Pedro tienen 2 monedas cada uno. Se disponen a enfrentar un juego en que, en cada oportunidad, cada jugador lanza una moneda de sus monedas. Si ambas coinciden, gana Juan y se queda con la moneda de Pedro. En caso contrario, gana Pedro. El juego termina cuando uno de los jugadores gana las 4 monedas. a) Obtenga la distribución de probabilidades del número de jugadas necesarias hasta que Juan logre tener 3 monedas por primera vez. b) Explique como obtendría la distribución de probabilidades del número de jugadas hasta que el juego termina. Desarrollo: 1.- Sea X n : nº de monedas de Juan.

  a.- Se debe encontrar Fk 2,3 que corresponde a la probabilidad de que se vaya por primera vez del estado 2 a estado 3 en un número k de etapas. Por lo tanto : Fk  2,3  ?? Para obtener esta probabilidad se debe construir el modelo detalladamente, es decir encontrar el rango de X n , la matriz P y opcionalmente el gráfico de red. Rango de la variable de estado X n : Matriz P 1 0 0 1 0 1 2 2 0 1 0 2 0 0 1 2 0 0 0 P=

0

0

0

0

1

2

 X n   0,1,2,3,4

,

0

0

1

0

1

2

Gráfico de red de la matriz P

2

0,5

0,5

Entonces volvamos de nuevo con Fk  2,3 1 111 1 F3  2,3  p 21 p12 p 23   2 ; F2  2,3  0 ; 222 8 ; 2  1 1 1 F5  2,3  ( p 21 p12 ) 2 p 23     2 2 2 F1  2,3 

F4  2,3  0

Término general:

Fk  2,3  ( p 21 p12 )

k 1 2

; k  2,4,6,...( par)

----------------------------------------------------------b.- El juego termina cuando se llega a que Juan tiene 0 ó 4 monedas. Lo que se pregunta entonces, es la probabilidad de que ocurra alguno de estos dos eventos, que son excluyentes. Además Juan tiene al inicio del juego 2 monedas. Luego lo que se pregunta es: 

 Fk  2,0  Fk  2,4

k 2

Del estado 2 al estado 0 y al estado 4 se puede llegar en etapas múltiplos de 2 solamente. Luego :

 1 1 Fk  2,0     2 2

k

 1    4

k

; k  2,4,6,...

3

 1 1 Fk  2,4     2 2 

 k 2 par

k

 1    4

k

; k  2,4,6,... 2j

 1 Fk  2,0   Fk  2,4      j 1  4  

 1    j  0  16  

j

0

  1  1      j  0  16   16 



 j 1

j

 1    4

 1    4

0



2j

1 1

j

 1    j 1  16 

1 16



1



 j 1

1 1

1 16

 1    16 

1 

2j

16 16 1 1  15 15

1 1 2   15 15 15 Pregunta Nº 3. Considere un cultivo que contiene inicialmente un solo glóbulo rojo. Después de una cantidad de tiempo el glóbulo rojo muere y es reemplazado por dos nuevos glóbulos rojos o 3 1 4y 4 bien por dos glóbulos blancos. Las probabilidades de estos eventos son respectivamente. Subsecuentemente, cada glóbulo rojo se reproduce de la misma forma. Por otra parte, cada glóbulo blanco muere después de una unidad de tiempo sin reproducirse. Se desea calcular la probabilidad de que el cultivo se extinga en algún momento. Formule para tal efecto un modelo detallado e indique con precisión como lo utilizaría para obtener la probabilidad pedida. Desarrollo Sea X n : numero de glóbulos rojos presentes en la etapa n.

4

8

6

1

2

k ik  i   1  1 X n 1  j   P ; k  log  j         1   X  i log  2  n    k  4  4 Esta Cadena de Markov es tal que existen dos clases:

C1   0 y C 2   2,3,4,... la clase C 2 es infinita. La clase recurrente C1 es recurrente y la clase C 2 es transiente. La clase C1 está compuesta por un estado aperiodico. Por lo tanto, por la Proposición 2 vista en clases, se puede asegurar que existe distribución estacionaria. Además por la misma proposición se puede asegurar que  j  0 j  1,2,...   0 j  C 2  j  0 j  C1 es decir j y . Como la clase C1 tiene un solo elemento  0  1 . Entonces la probabilidad de que el cultivo se extinga alguna vez es uno. Modelación de problemas en Cadenas de Markov de tiempo discreto 5

Pregunta Nº 4. En la ciudad de Santiago diariamente se liberan contaminantes a la atmósfera, provenientes principalmente del uso de vehículos y de plantas industriales. La autoridad correspondiente monitorea diariamente la calidad del aire en la ciudad y según la concentración de contaminantes distingue 3 estados de alerta ambiental: Normal (N), Preemergencia (P), y Emergencia (E). Se ha podido determinar que la evolución del estado de alerta obedece a una cadena de markov. Por simplicidad asumiremos que las probabilidades de transición dependen sólo del número de vehículos que circulan por las calles de Stgo. cada día (las plantas industriales pueden ser modeladas como un conjunto de vehículos). Si en un día Normal circulan por Santiago y vehículos, entonces la probabilidad de que el día siguiente sea también Normal vale 1  F ( y ) , y la probabilidad de que el día siguiente sea de Preemergencia es F ( y ) . Si en un día de Preemergencia circulan y vehículos, entonces el día siguiente será Normal con probabilidad 1  F ( y ) o Emergencia con probabilidad F ( y ) . Si en un día de Emergencia circulan y vehículos entonces el día siguiente puede repetirse el estado de Emergencia, lo que ocurre con probabilidad F ( y ) , o bien pasar al estado de Preemergencia con probabilidad 1  F ( y ) . La función F (0)  0, F ()  1.

F

es continua, estrictamente creciente,

La autoridad ha tomado las siguientes medidas para combatir la contaminación: En los días de Preemergencia se prohíbe circular a una fracción 1-  de los vehículos de Santiago. En los días de Emergencia la medida se hace más drástica, prohibiéndose la circulación de una fracción 1-  de los vehículos de la ciudad (  <  ). En lo que sigue asuma que en Santiago hay un parque automotriz de X vehículos, y que cada día salen a circular aquellos que la autoridad no se los prohíbe. Resolver: a) Modele el sistema como una cadena de markov, indicando clases, espacio de estados, gráfico nodal y matriz P. b) Suponga que Ud. Posee un automóvil. ¿En promedio, qué fracción de los días del año puede usar su automóvil para desplazarse por Santiago?. Asuma que cuando la autoridad prohíbe el uso de una parte de los vehículos, lo hace de manera que todos los vehículos tienen la misma probabilidad de ser afectados por la medida. c) Suponga que por cada automóvil que deja de circular, el ingreso percápita para los habitantes de Santiago se reduce en A($) (asociado a una caída en la producción y también a mayores incomodidades y costos de transporte por menor disponibilidad de vehículos tanto para transporte público como privado). Además, por cada día que respira el aire de Santiago en estado de Preemergencia o Emergencia una persona percibe un 6

empeoramiento de su salud que se puede cuantificar en B($) y C($) respectivamente. Formule el problema que debe resolver el gobierno para escoger  y  . Solución a) 0° Variable de estado: Estado de la calidad del aire en Santiago en un día cualquiera ( X N ) 1° Espacio de estados: {Normal(N), Preemergencia(P), Emergencia(E)} 2° Modelamiento PNN  P{ X 1  N / X 0  N }  1  F ( y ) PNP  P X 1  P / X 0  N   F ( y ) PPN  P X 1  N / X 0  P  1  F ( y ) PPE  P X 1  E / X 0  P  F ( y )

PEE  P X 1  E / X 0  E  F ( y )

PEP  P X 1  P / X 0  E  1  F ( y )

Medida de preemergencia : Se prohibe circular % 1-  de vehículos Medida de emergencia : Se prohíbe circular % 1-  (  <  ) Número total de vehículos : X

3° Matriz P

P=

N 1  F ( x)

P F ( x)

E 0

1  F (x)

0

F (x)

0

1  F ( x ) F ( x )

4° Gráfico nodal

N

P

Del gráfico podemos concluir que existe una única clase Recurrente Positiva Aperiódica 7

b) Fracción de días del año de uso de automóvil =  N   P     E   E c)

Costo percápita por cada vehículos que deja de circular = A($) Costo percápita por empeoramiento de la salud (en preemergencia) = B($) Costo percápita por empeoramiento de la salud ( en emergencia) = C($) ¿Cómo escoger  y  , de tal manera de minimizar el costo total? Si C n  Costo total día n

0, si X = N (con p =

N

n

)

1  p A P )   nBPx (con ,sip X  E  (C  x (1   )  A))

, si X n  E (con p   E )

Min Costo esperado =  P  ( B  x  (1   )  A)   E  (C  x  (1   )  A)

8

Pregunta Nº 5. Mediante un estudio realizado a la población de un país X durante los últimos 36 meses, se obtuvieron los siguientes resultados concernientes al consumo promedio mensual por grupo familiar, distribuido por grupo económico: Grupo A MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 CONSUMO(M$) 2,5 2,8 3,0 2,7 2,4 3,1 3,3 3,8 3,9 4,2 3,6 4,0 4,1 4,4 3,8 4,4 4,6 3,8 3,6 2,6 MES 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 CONSUMO(M$) 3,0 3,5 2,4 3,1 3,2 2,9 3,5 4,3 5,0 4,9 4,6 4,1 4,8 3,9 5,0 4,0

Grupo B MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 CONSUMO(M$) 0,83 0,92 0,85 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 1,3 0,86 0,8 0,95 1,15 1,55 1,8 2,0 1,1 MES CONSUMO(M$)

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 0,9 1,0 0,8 0,95 1,25 1,35 1,05 1,3 1,45 1,5 1,2 1,0 1,4 1,1 1,0 0,8 1,3 1,5 1,5

Grupo C MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 CONSUMO(M$) 0,3 0,45 0,25 0,18 0,16 0,19 0,35 0,47 0,52 0,61 0,48 0,55 0,45 0,38 0,4 0,51 MES 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 CONSUMO(M$) 0,56 0,7 0,62 0,67 0,74 0,78 0,59 0,71 0,73 0,76 0,68 0,62 0,61 0,68 0,52 0,45 MES 33 34 35 36 CONSUMO(M$) 0,5 0,61 0,68 0,63 Asumiendo los siguientes rangos de datos: Para la clase A: Para la clase B: Para la clase C:

 2  2,5  2,5  3,0  3,0  3,5  3.5  4.0  4.0  4.5  4,5  5,0  0,8  1,1 1,1  1,4 1,4  1,7 1,7  2,0  0  0,2  0,2  0,4  0,4  0,6  0,6  0,8

Determine:

9

a) El consumo percápita esperado para el siguiente periódo en cada grupo económico de interés estudiado, si el número de hijos distribuye uniformemente, U  0,4 , para la clase A y, para las clases B y C sigue la siguiente distribución: 0 hijos (p=0.2), 1 hijo (p=0.3), 2 hijos (p=0.5). Además se conoce el vector inicial de probabilidades para cada caso: Clase A: Cada estado tiene la misma probabilidad de ocurrencia. Clase B: La probabilidad de encontrarme en un estado cualquiera es el doble de la de pertenecer a un nivel inmediatamente inferior. Clase C: El sistema se encuentra en el estado 4 con absoluta certeza. Solución Clase A Sea X n : Consumo promedio familiar de consumidores clase A en el mes n EXn = {1,2,3,4,5,6}  2  2.5   2.5  3   3  3.5   3.5  4  E  X 1   P X 1  1     P X 1  2     P X 1  3     P X 1  4     2  2  2  2       4  4.5   4.5  5    P X 1  6    2  2   

P X 1  5  

 P X 1  1   P X  2  1   

f (1)     

  

 f1 ( 0)  1 / 6  



P 

(1) T

 

 f2

(0)

















 

 

 P X 1  6  =



 1 / 6

 f 6

( 0)

  

 1 / 6

1° Cálculo de P: Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente: Estados Estados Rangos 1  2  2,5 2  2,5  3,0 3  3,0  3,5 4  3 .5  4 .0  5  4 .0  4 .5  6  4,5  5,0

1

2

3

4

5

6

Total

0 1 1 0 0 0

1 3 1 1 0 0

2 2 2 0 0 0

0 0 1 3 2 3

0 0 1 3 1 1

0 0 0 1 3 2

3 6 6 8 6 6

 2  2,5  2,5  3,0  3,0  3,5  3.5  4.0  4.0  4.5  4,5  5,0

Por lo tanto para la clase A se tiene que la matriz P es:

10

 0  1/ 6   1/ 6 P  0  0   0

0 0  0 0  1/ 6 0   3 / 8 1 / 8 1 / 6 1 / 2  1 / 6 1 / 3

1/ 3 2 / 3 0 1/ 2 1/ 3 0 1/ 6 1/ 3 1/ 6 1/ 8 0 3 / 8 0 0 1/ 3 0 0 1/ 2 6

P X 1  1   f i

(0)

i 1

 Pi1  f1  P11  f 2 (0)

(0)

 P21  f 3

(0)

 P31  f 4

(0)

 P41  f 5

( 0)

 P51  f 6

(0)

 P61 

1 1 1 1 1     6 6 6 6 18 6

P X 1  2   fi ( 0 )  Pi 2  i 1 6

P X 1  3   fi ( 0 )  Pi 3  i 1

27 144 2 9

6

33 P X 1  4   fi (0)  Pi 4  144 i 1 6 7 P X 1  5   fi (0)  Pi5  48 i 1 6

P X 1  6   fi ( 0 )  Pi 6  i 1

23 144

E  Consumo _ Pr omedio _ Familiar  

1 27 2 33 7 23  2.25   2.75   3.25   3.75   4.25   4.75 18 144 9 144 48 144

= 3,6 (m$) E  N hijos _ x _ hogar  

1 1 1 1 1  0   1   2   3   4  2  2 _ hijos 5 5 5 5 5

E  Consumo _ percápita  

E  Consumo _ promedio _ familiar  3,6   0,9 E  N dehijosxfamilia  22 (m$)

Clase B Sea X n : Consumo promedio familiar de consumidores clase B en el mes n 11

EXn

= {1,2,3,4}  0.8  1.1   1.1  1.4   1.4  1.7   1.7  2.0    P X 1  2     P X 1  3     P X 1  4    2 2  2 2       

E  X 1   P X 1  1  

 P X 1  1   P X  2  1   

 f1 ( 0 )  1 / 15  



P 

 

f (1)   

(1) T

 





   P X 1  4  = 

3

2

i

 f2

(0)



  



 2 / 15 









f ( 0)







 f 4

(0)



 8 / 15

 p  2 p    4 p    8 p

p  1/ 5

 p 1

i 0

1° Cálculo de P: Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente: Estados 1 2 3 4 Total  0,8  1,1 1,1  1,4 1,4  1,7 1,7  2,0 Estados Rangos 1 11 6 0 0 17  0,8  1,1 2 4 1 4 0 9 1,1  1,4 3 0 1 3 2 6 1,4  1,7 4 1 1 0 1 3 1,7  2,0 Por lo tanto para la clase B se tiene que la matriz P es:  11 / 7  4/9 P  0   1/ 3

6/7 0 0  1 / 9 4 / 9 0  1 / 6 1 / 2 1 / 3  1/ 3 0 1 / 3 4

P X 1  1   f i (0)  Pi1  f1(0)  P11  f 2 (0)  P21  f 3 (0)  P31  f 4 (0)  P41  0,34 i 1 4

P X 1  2   fi (0)  Pi 2  0,29 i 1 4

P X 1  3   fi (0)  Pi3  0,19 i 1 4

P X 1  4   fi ( 0 )  Pi 5  0,27 i 1

12

E  Consumo _ Pr omedio _ Familiar   0,34  0,95  0,29  1,25  0,19  1,55  0,27  1,85

= 1,47 (m$)

E  N hijos _ x _ hogar   0,3  1  0,5  2  1 _ hijo E  Consumo _ percápita  

E  Consumo _ promedio _ familiar  1,47   0,49 E  N dehijosxfamilia  1 2 (m$)

Clase C Sea X n : Consumo promedio familiar de consumidores clase C en el mes n EXn = {1,2,3,4}  0  0,2   0,2  0,4   0,4  0,6   0,6  0,8  E  X 1   P X 1  1     P X 1  2     P X 1  3     P X 1  4    2  2 2 2         P X 1  1   P X  2  1   

 f 1 ( 0)  0  



P 

 

f (1)    

(1) T

 

(0)

   P X 1  4  =



 0

















 





 f2

 f 4

( 0)

  

 1

1° Cálculo de P: Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente: Estados Estados Rangos 1  0  0,2 2  0,2  0,4 3  0,4  0,6 4  0,6  0,8

1  0  0,2

2  0,2  0,4

3  0,4  0,6

2 1 0 0

1 1 2 0

0 3 6 3

4 Total  0,6  0,8 0 0 4 12

3 5 12 15

Por lo tanto para la clase C se tiene que la matriz P es: 0   2 / 3 1/ 3 0  1/ 5 1/ 5 3 / 5 0   P  0 1/ 6 1/ 2 1/ 3    0 1 / 5 4 / 5  0 13

4

P X 1  1   f i i 1 4

(0)

 Pi1  f 1

(0)

 P11  f 2

( 0)

 P21  f 3

(0)

 P31  f 4

(0)

 P41  f 4

(0)

 P41  0

P X 1  2   fi ( 0)  Pi 2  P42  0 i 1 4

P X 1  3   fi ( 0 )  Pi 3  P43  1 / 5 i 1 4

P X 1  4   fi ( 0 )  Pi 5  i 1

P44  4 / 5

E  Consumo _ Pr omedio _ Familiar   0,5  (1 / 5)  0,7  (4 / 5)

= 0,66 (m$)

E  N hijos _ x _ hogar   0,3  1  0,5  2  1 _ hijo E  Consumo _ percápita  

E  Consumo _ promedio _ familiar  0,66   0,22 _(m$) E  N dehijosxfamilia  1 2

14

Pregunta Nº 6. Ud. Ha sido contratado por una importante empresa del sector minero como consultor, para realizar una evaluación de la rentabilidad y viabilidad para los siguientes dos periódos de operación. Para ésto, el Gerente de Finanzas, Sr. Pedro Ramírez, le ha entregado una extracto de los balances de los últimos 3 años, en el cual figura la siguiente información: MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 INGRESO(MU$) 2,6 2,8 3,5 3,9 4,2 2,9 4,1 5,0 4,3 4,6 3,5 3,1 3,6 2,8 4,1 4,3 4,5 3,6 2,6 3,0 MES 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 INGRESO(MU$) 3,1 4,2 4,4 3,2 3,4 3,6 3,8 3,1 2,7 3,5 3,8 4,0 4,1 4,6 4,9 4,9 MES COSTO(MU$)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2,5 2,5 2,8 3,3 4,3 3,1 3,6 4,5 4,5 4,8 3,6 3,0 3,2 3,0 3,8 4,3 4,2 3,5 2,7 2,9

MES COSTO(MU$)

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 2,9 4,1 4,3 3,5 3,6 3,0 4,0 3,0 2,6 3,0 3,3 3,8 4,2 4,5 4,7 4,7

a) Determine el ingreso esperado para los siguientes 2 periódos, si actualmente la empresa recibe un ingreso de 3,6 (MU$) b) Determine el costo esperado para los siguientes 2 periódos, si actualmente la empresa desembolsa 3,2 (MU$) en costos de operación. c) Determine si es rentable para el inversionista continuar en este negocio en los siguientes 2 periódos.

 3,0  3,5  3.5  4.0

Nota : Asuma los siguientes intervalos en ambos casos  2,5  3,0  4.0  4.5  4,5  5,0

Solución a) Definiremos la variable I n : Ingreso percibido por la empresa en el periódo n. Agrupando la información según los rangos definidos tenemos lo siguiente:

Estados 1 3

Estados Rangos

 2,5  3,0

 3,0  3,5  3 .5  4 .0 

1

2

3

4

5

Total

2 1 2

3 2 1

0 4 2

2 1 2

0 0 0

7 8 7

 2,5  3,0  3,0  3,5  3.5  4.0  4.0  4.5  4,5  5,0

15

 4 .0  4 .5   4,5  5,0

4 5

1 0

1 0

1 1

3 1

Por lo tanto para el ingreso se tiene la siguiente matriz P y P  2/7  1/ 8  PI   2 / 7   1/ 9  0

3/ 7 1/ 4 1/ 7 1/ 9 0

2/7 0  1 / 8 0  2/7 0   1 / 3 1 / 3 1 / 4 1 / 2

0 1/ 2 2/7 1/ 9 1/ 4

P ( 2)

( 2)

 0.17  0.22    0.21   0.11  0.099

3 2

9 4

: 0.26 0.20 0.23 0.13 0.06

0.25 0.28 0.18 0.21 0.22

0.23 0.095 0.25 0.042 0.28 0.095  0.27 0.28  0.28 0.33 

  2.75    3.25  2 / 7           1/ 7    2.5  3.0   3.0  3.5  E  Ingreso _ Periódo _ 1 / X 0  3     P X 1  1 / X 0  3     P X 1  2 / X 0  3  2 2      3.5  4.0   4.0  4.5   4.5  5.0  4 / X 0  3      P X 1  3 / X 0 3     P X 1    P X 1  5 / X 0  3          2       2       2            2/7

3.75

2/7

4.25

 3,54 _( MU $)

0

4.75

E Ingreso _ periódo _ 2 / X 0  3  2.75  P31( 2)  3.25  P32 ( 2)  3.75  P33 ( 2)  4.25  P34 ( 2)  4.75  P35 ( 2)  2.75(0.21)  3.25(0.23)  3.75(0.18)  4.25(0.28)  4.75(0.095)  3,64 _( MU $)

b) Definiremos la variable periódo n.

C n : Costo incurrido en gastos de operación durante el

Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente:

Estados 1 2 3 4 5

Estados Rangos

 2,5  3,0

 3,0  3,5  3 .5  4 .0   4 .0  4 .5   4,5  5,0

1

2

3

4

5

Total

6 2 3 0 0

3 0 0 3 0

2 3 0 0 1

1 1 3 4 0

0 0 0 2 1

12 6 6 9 2

 2,5  3,0  3,0  3,5  3.5  4.0  4.0  4.5  4,5  5,0

16

Por lo tanto para el costo se tiene la siguiente matriz P y P  1 / 2 1 / 4 1 / 6 1 / 12 0   1/ 3 0 1/ 2 1/ 6 0   PI   1 / 2 0 0 1/ 2 0    4 / 9 2 / 9  0 1/ 3 0  0 0 1/ 2 0 1 / 2 

P ( 2)

( 2)

:

 0.42  0.42    0.25   0.11  0.25

0.15 0.21 0.14 0.056 0.29 0.083 0.15 0.28 0 0.25

0.20 0.019 0.35 0.037 0.26 0.11   0.25 0.21  0.25 0.25 

  2.75    3.25  1/ 3           0     2.5  3.0   3.0  3.5  E  Costo _ Periódo _ 1 / X 0  2     P X 1  1 / X 0  2     P X 1  2 / X 0  2  2 2      3.5  4.0   4.0  4.5   4.5  5.0  3 / X 0  2   4 / X 0  2      P X 1    P X 1    P X 1  5 / X 0  2                2       2       2            3.75

 3,5 _( MU $)

1/ 2

4.25

1/ 6

0

4.75

E Ingreso _ periódo _ 2 / X 0  2  2.75  P21( 2)  3.25  P22 ( 2)  3.75  P23 ( 2)  4.25  P24 ( 2)  4.75  P25 ( 2)  2.75(0.42)  3.25(0.14)  3.75(0.056)  4.25(0.35)  4.75(0.037)  3,48 _( MU $)

c) Como I1  C1 y I 2  C 2 , el negocio es rentable para el inversionista por lo menos durante los siguientes 2 periódos de ejercicio.

17

Pregunta Nº 6 Una tienda vende un único producto, del cual mantiene inventarios en una bodega, I. Al comenzar cada semana, el gerente observa el inventario disponible en bodega. Si I  s, entonces, el gerente pide T-I unidades al proveedor (0