• Author / Uploaded
• Dany Maji Yepez

Citation preview

Optimizaci´on II Xavier Cabezas

Segundo T´ermino 2018

1 / 36

Introducci´ on a los Modelos de Inventario

Definition (Inventario) Bienes almacenados para su uso o venta futura.

Example Para su uso: Materia prima para producci´ on. Para su venta: Almacenamiento de productos terminados. Almacenar suficientes bienes es bueno para el nivel de servicio (posibilidad de no quedarse sin stock), sin embargo mantener un alto nivel de servicio, por lo tanto un alto nivel de estock puede costar mucho dinero.

Objetivo Encontrar un equilibrio entre nivel de servicio y nivel de stock. Esto har´ a a la empresa m´ as competitiva

2 / 36

Por qu´e mantener un alto o bajo nivel de inventario?

Razones para mantener un alto nivel de inventario Mejorar nivel de servicio. Econom´ıa de escala (aprovechar descuentos por cantidad). Razones para mantener un bajo nivel de inventario Es muy caro almacenar productos a largo plazo (costos de seguridad, etc.). El caso del almacenamiento de productos con fecha de caducidad es una raz´ on evidente.

3 / 36

4 pasos en la Administraci´ on del Inventario

La OR ayuda a optimizar las pol´ıticas de inventario relacionadas a las preguntas, Cu´ anto y Cu´ ando? adquirir productos para su almacenamiento. 4 pasos a seguir: 1

Formular un modelo matem´ atico de inventario (aproximaci´ on a la realidad).

2

Obtener una pol´ıtica ´ optima de inventario a partir del modelo matem´ atico.

3

Registrar los niveles de inventario e informaci´ on relacionada con la ayuda de sistemas de informaci´ on (e.g. ERP. Aunque no necesariamente son sistemas computacionales)

4

A partir de estos registros y con la ayuda de un experto en el negocio (stakeholder), decidir cu´ ando y cu´ anto adquirir productos para su almacenamiento.

4 / 36

4 pasos en la Administraci´ on del Inventario (2)

Lo dos primeros pasos generan una meta y podr´ıan convertirse en un plan a ejecutar en los u ´ltimos dos pasos.

Definition (Stakeholder (Wikipedia)) Es una persona o grupo de personas que aportan a que una organizaci´ on se mantenga en fucionamiento. Un stakeholder puede afectar o ser afectado por las acciones de un negocio. e.g. Gerentes, proveedores, accionistas, directores. Aunque la definici´ on es muy general, utilizaremos este t´ermino para referirnos un experto en el inventario de estudio.

5 / 36

Clasificaci´ on de los modelos de inventario

Por la naturaleza de la demanda Modelos determin´ısticos: Aqu´ı la demanda es conocida o f´ acilmente predecible. Modelos estoc´ asticos: La demanda es una variable aleatoria dif´ıcil de predecir. Por el periodo de revisi´ on de los niveles de inventario Modelos de revisi´ on cont´ınua: Los niveles de inventario son conocidos (revisados) en cualquier instante de tiempo. Modelos de revisi´ on peri´ odica: Se revisan los niveles de inventario cada cierto periodo de tiempo.

6 / 36

Costos relacionados con la administraci´on de inventario Los modelos de inventario que se estudiar´ an en este curso pueden requerir del an´ alisis de algunos o todos de los siguientes costos: Costos de preparaci´ on (Setup) y de orden (Ordering): Estos costos no dependen del tama˜ no de la orden (pedido). Pueden incluir costos de tr´ amites (paper work). Para el caso de maquinarias incluyen los costos de preparaci´ on (o calentamiento) y de apagado (setting up y sutting down). Costo de compra unitario: Costo asociado a la adquisici´ on o producci´ on de una unidad de producto. Incluyen los costos variables asociados con comprar o elaborar bienes. Costo por faltantes (shortage, stockout): Costo asociado a la falta de stock y no poder cumplir con la demanda. Puede incluir los costos por env´ıos tard´ıos (back order). Costo de Almacenamiento (Holding cost): Costo de mantener una unidad de producto en el inventario por un periodo de tiempo. Si el periodo tiempo es un a˜ no, el costo de almacenamiento tendr´ a como unidades $/unidades/a˜ no. Incluye costos de almacenamiento (storage), costo de seguros, impuestos sobre inventario, costo debido a la posibilidad de deterioro, robo u obsolescencia (spoilage, theft, obsolescence). Sin embargo, el m´ as siginificativo componente es el costo de oportunidad de tener el capital en el inventario. 7 / 36

Costos relacionados con la administraci´on de inventario

Definition (Costo de oportunidad) El valor de la mejor opci´ on no realizada o el costo de lo que se renuncia por elegir la actual opci´ on.

Example Los costos de estudiar y no trabajar no son solo los costos relacionados a la inversi´ on de estudios, sino tambi´en debe considerarse lo que se pierde por no trabajar, por ejemplo, el sueldo que ganar´ıa si trabajara (opci´ on alternativa), este es el costo de oportunidad. Suponga que una unidad de producto le cuesta a una empresa $100 y la empresa sabe que el dinero que invertir´ a en esa compra puede generar un inter´es del 15 % anual si se lo deposita en un banco. Entonces, el costo de mantener una unidad en el inventario durante un a˜ no es 0,5(100) = 15($/u/a˜ no), el cual es el costo de oportunidad, ya que es lo que ganar´ıa si se invierte ese dinero en el banco.

8 / 36

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

Este modelo fue desarrollado por F. W. Harris de Westinghouse Corporation. EOQ no es un modelo que se aproxime a la realidad de la mayor´ıa de los negocios, sin embargo es la base de otros m´ as complejos. EOQ es un modelo de inventario determin´ıstico y de revisi´ on cont´ınua. Supuestos del modelo EOQ La Demanda D es determin´ıstica y ocurre a una tasa constante (u/t). Si una orden (pedido) de cualquier tama˜ no q es hecha, entonces se incurre en un costo fijo K (ordering, setup) ($/pedido). Lead time (tiempo desde que se coloca un pedido hasta que llega a la bodega) por cada pedido es cero. No se consideran costos de escasez (no shortages allowed). El costo por unidad por unidad de tiempo de mantener el inventario es h ($/u/t).

9 / 36

Comportamiento del nivel de inventario en el modelo EOQ

10 / 36

Costo total por unidad de tiempo En cada periodo T =

q D

(t/pedido) y

D q

(pedido/t). Adem´ as, por cada T RT I (t)d(t) q = . I (t) = −Dt + q y el valor medio de I (t) est´ a dado por 0 T 2 Costo Total por Unidad de Tiempo: CT (q) = Costo de pedido por unidad de tiempo + Costo de mantenimiento por unidad de tiempo + Costo de compra por unidad de tiempo

CT (q) =

CT ′ (q) = −

KD hq + + pD q 2

KD h + = 0 =⇒ q ∗ = q2 2

r

2KD h

Este valor es un m´ınimo desde que CT ′′ (q) = 2KD/q 3 > 0 para toda q > 0 y por lo tanto convexa. Cu´ anto? q ∗ y Cu´ ando? cada q ∗ /D 11 / 36

EOQ Aplicaci´on

Si se aplica el criterio EOQ, demuestre que: Costo de pedido por unidad de tiempo = Costo de mantenimiento por unidad de tiempo

Una compa˜ n´ıa utiliza 500 unidades de un producto A por a˜ no. Cada vez que hace un pedido a su proveedor incurre en un costo de $5. Cada unidad de producto cuesta $0,4 y la compa˜ n´ıa sabe que siempre puede generar un 20 % de su inversi´ on. 1

Encuentra la pol´ıtica EOQ: Cu´ anto pedir y en qu´ e intevalos de tiempo?.

2

Cu´ antos pedidos se har´ an por a˜ no?

12 / 36

Modelo EOQ con Lead time > 0

s

L

Si el Lead time es mayor que cero, el punto de reorden (nivel de inventario que indica cu´ ando hacer un pedido) es diferente de cero y se calcula como: s = Le D 

L donde Le = L − T



T es el lead time efectivo. 13 / 36

Pol´ıtica de pedido Power of Two Supongamos que una compa˜ n´ıa tiene que hacer pedidos de tres productos utilizando el modelo b´ asico EOQ y se obtiene t1∗ = 3,5 d´ıas, t2∗ = 5,6 d´ıas y t3∗ = 9,2 d´ıas. Cu´ anto se perder´ıa si se intenta sincronizar los pedidos respecto a lo dado por el EOQ.

Theorem (Power-of-Two. Roundy (1985)) √ Si t ∗ ≤ 2m ( 2), entonces la pol´ √ıtica de pedido Power of Two de costo m´ınimo es establecer t = 2m . Si t ∗ ≥ 2m ( 2), entonces la pol´ıtica de pedido Power of Two de costo m´ınimo es establecer t = 2m+1 . Donde m es tal que 2m ≤ t ∗ = q ∗ /D ≤ 2m+1 y t ∗ ≥ 0. Bajo estas condiciones y en cualquiera de los dos casos, el costo total de la pol´ıtica Power of Two nunca ser´ a mayor del 6 % respecto al costo total dado por la pol´ıtica EOQ.

Demostraci´ on. Lo probaremos en clase.

Example √ t ∗ = 3,5 ≥ 21 2 = 2,83 =⇒ t = 21+1 = 4 √ t ∗ = 5,6 ≤ 22 2 = 5,66 =⇒ t = 22 = 4 √ t ∗ = 9,2 ≤ 23 2 = 11,31 =⇒ t = 23 = 8 14 / 36

Modelo EOQ con tasa continua de producci´ on

q : N´ umero de unidades producidas durante cada corrida de producci´ on a una tasa r . K : Costo fijo de preparaci´ on para una corrida de producci´ on. h y D definidas igual que en el EOQ b´ asico.

15 / 36

Costo total por unidad de tiempo (EOQ con tasa continua de producci´ on) Producir q unidades a una tasa r toma q/r unidades de tiempo y durante ese tiempo I (t) = (r − D)t, luego de eso I (t) = −D(t − q/D). El valor medio de I (t) est´ a dado por RT I (t)d(t) q 0 = (r − D). T 2r Costo Total por Unidad de Tiempo: CT (q) = Costo de pedido por unidad de tiempo + Costo de mantenimiento por unidad de tiempo

CT (q) =

′

∗

CT (q) = 0 =⇒ q =

KD q + h (r − D) q 2r s

2KDr ∗ = qEOQ × h(r − D)

r

r r −D

16 / 36

Modelo EOQ con entrega tard´ıa (Back Orders)

K , D y h tienen significados usuales. Lead time: cero. q : Cantidad a ordenar. q − M : M´ axima escasez que se produce bajo una pol´ıtica de pedido. 17 / 36

Costo total por unidad de tiempo (EOQ con Back Orders) Cuando la demanda no es cubierta por un pedido ocurren faltantes y por lo tanto se incurren en costos. Sea so el costo de escasez de una unidad por unidad de tiempo. El valor medio de I (t) de 0 al punto B est´ a dado por: R M/D RA (−Dt + M)d(t) I (t)d(t) M2 0 = 0 = B q/D 2q La escasez promedio puede calcularse como: R q/D RB (−Dt + M)d(t) I (t)d(t) (q − M)2 M/D A = = B q/D 2q . Costo Total por Unidad de Tiempo: CT (q, M) = Costo de pedido + Costo de mantenimiento + Costo de escasez

CT (q, M) =

M2h (q − M)2 so KD + + q 2q 2q

∂CT (q, M) ∂CT (q, M) ∗ = = 0 =⇒ q ∗ = qEOQ × ∂q ∂M

r

h + so ∗ y M ∗ = qEOQ × so

r

so h + so 18 / 36

Problemas para Modelos EOQ con tasa continua de producci´ on y con backorder Una compa˜ n´ıa necesita producir 10000 chasises de autos por a˜ no. Cada uno tiene un valor de $2000. La compa˜ n´ıa tiene capacidad de producir 25000 chasises por a˜ no. Hacer una corrida de producci´ on cuesta $200 y el costo anual de almacenamiento es $0,25 por cada dolar invertido en el inventario. 1

Determine la cantidad o ´ptima a producir.

2

Cu´ antas corridas de producci´ on debe hacerse por a˜ no?

Cada a˜ no una cl´ınica vende 10000 marcos de lentes. La cl´ınica ordena marcos de lentes a un proveedor que le cobra $15 por marco. Cada orden incurre en un costo fijo de $50. La cl´ınica cree que la demanda de marcos puede hacer que en alg´ un momento entre los pedidos se queden sin stock y que el costo de esta falta de stock por unidad es de $15 por a˜ no . El costo anual de mantenimiento de inventario es $0,3 por cada dollar invertido. 1

Cu´ al es la cantidad ´ optima de pedido?

2

Cu´ al es la m´ axima cantidad de faltates en que se incurrir´ a.

3

Cu´ al es el m´ aximo nivel de inventario que se tendr´ a?

19 / 36

Modelo EOQ con descuentos por cantidad (1) Algunas veces los proveedores ofrecen descuentos por cantidad de pedido, lo que motiva a comprar m´ as para ahorrar (econom´ıa de escala). Si Si .. . Si Si

q < b1 , cada item cuesta p1 ($/u) b1 ≤ q < b2 , cada item cuesta p2 bk−2 ≤ q < bk−1 , cada item cuesta pk−1 bk−1 ≤ q < bk = ∞, cada item cuesta pk

a b1 , b2 , . . . , bk−2 , bk−1 se los conoce como puntos de quiebre. Adem´ as pk < pk−1 < pk−2 < . . . < p2 < p1 .

Definition 1

CTi (q) = Costo total por unidad de tiempo si se piden q unidades a un precio pi . CTi (q) =

hq KD + + pi D q 2

2

EOQi = Cantidad de pedido que optimiza CTt (q).

3

EOQi se dice admisible si bi −1 ≤ EOQi < bi .

4

CT (q) = Costo total por unidad de tiempo considerando todos los posibles puntos de quiebre. 20 / 36

Modelo EOQ con descuentos por cantidad (2). Ejemplo.

Una compa˜ n´ıa en Quito pide cajas de usb-drives (10 unidades por caja) desde un proveedor en Guayaquil. El precio por caja depende del n´ umero de cajas compradas (ver tabla). La compa˜ n´ıa utiliza 10000 us-drives por a˜ no. El costo fijo por pedido es de aproximadamente $100. El u ´nico costo de mantenimiento de inventario es el costo de oportunidad del capital, el cual es 20 % por a˜ no. # de cajas ordenadas

Precio por caja

0 ≤ q < 100

$50,00

100 ≤ q < 300

$49,00

300 ≤ q

$48,50

b1 = 100, b2 = 300, p1 = $50,00, p2 = $49,00 y p3 = $48,50

21 / 36

Modelo EOQ con descuentos por cantidad (3)

EOQ2 es admisible, EOQ1 y EOQ3 no lo son. En general el valor de q ∗ que minimiza TC (q) es, o bien un punto de quiebre o bien un EOQi . 22 / 36

Modelo EOQ con descuentos por cantidad (4) Observaciones importantes: CTk (q) < CTk−1 (q) < CTk−1 (q) < . . . < CT2 (q) < CT1 (q) Si EOQi es admisible, entonces el m´ınimo costo para bi −1 ≤ q < b ocurre en q = EOQi . Si EOQi < bi −1 , entonces el m´ınimo costo para bi −1 ≤ q < bi ocurre en q = bi −1 . Si EOQi es admisible, entonces CT (q) no puede ser minimizado por una cantidad de pedido para el cual el precio de compra por item sea mayor a pi . Si se supone que EOQi es admisible y que pj > pi , se tiene: CTi (EOQi ) < CTi (EOQj ) ≤ CTj (EOQj ) ≤ CTj (q)

Algoritmo EOQ con descuentos por cantidad 1

Comenzando por el precio m´ as bajo, calcule la cantidad qi∗ de pedido que minimiza CTi (q) (qi∗ puede ser un punto de quiebre o EOQi dependiendo si este u ´ltimo es admisible o no).

2

Pare cuando encuentre el primer qi = qa admisible.

3

La cantidad ´ optima de pedido ser´ a

arg min

CT (q).

∗ q∈{ qk∗ ,qk−1 ,...,qa∗ } 23 / 36

The News Vendor Problem (1) (Demanda Discreta)

Conidere la siguiente sucesi´ on de eventos: 1

Decidir cu´ antas unidades q comprar.

2

Sea D una demanda aleatoria. Con probabilidad p(d), una demanda de d (> 0) unidades ocurre.

3

Se incurre en un costo c(d, q) dependiendo de d y q.

Esto ocurre en el Problema del Vendedor de Peri´ odicos

News Vendor Problem Un vendedor de peri´ odicos debe decidir cu´ antas unidades deber´ıa ordenar a su proveedor por d´ıa. El vendedor deber´ıa ordenar un n´ umero de peri´ odicos que den un balance entre los posibles costos de sobrestock (overstocking cost) o falta de stok (understocking cost), lo que depender´ a del valor que tome una demanda desconocida en principio, pero de la cual se conoce su distribuci´ on de probabilidades.

24 / 36

The News Vendor Problem (2)

Sea:

c(d, q) =

(

co q + (t´erminos que no consideran q) −cu q + (t´erminos que no consideran q)

if d ≤ q, if d ≥ q + 1.

donde: co = overstocking cost por unidad. cu = understocking cost por unidad.

Sea d ≤ q. Si el tama˜ no del pedido q se incrementa a q + 1,, entonces la funci´ on de costo dada se incrementa en co . Sea d ≥ q + 1. Si el tama˜ no del pedido q se incrementa a q + 1,, entonces la funci´ on de costo dada se reduce en cu .

25 / 36

The News Vendor Problem (3) Sea E (q) el costo esperado si un pedido de q unidades es realizado.

Objetivo Encontrar el valor q ∗ que minimize E (q), i.e., arg min E (q). q∗

Si E (q) es una funci´ on convexa en q, entonces q ∗ pueder ser determinado, utilizando el concepto de costo marginal (ver figura). Esto es, encontrar el menor el m´ as peque˜ no valor de q para el cual E (q + 1) − E (q) ≥ 0. Pedir q + 1 unidades costar´ a E (q + 1) − E (q) = co P(D ≤ q)

− cu [1 − P(D ≤ q)]

m´ as que pedir q unidades. Entonces, para que E (q + 1) − E (q) ≥ 0: P(D ≤ q) ≥

cu co + cu

q ∗ es el menor valor que cumpla con la condici´ on dada. 26 / 36

The News Vendor Problem (4). Ejemplo.

Una tienda de variedades, debe decidir cu´ antas unidades de un juego de mesa debe pedir a fin de a˜ no en Navidad. Cada juego cuesta $2 y se vende a $4,50. Despu´es de Navidad, cualquier juego no vendido se pueden devolver al proveedor y ´este devolver´ a $0,75 por juego. La tienda cree que el n´ umero de juegos de mesa que se vender´ an en Navidad sigue la distribuci´ on de probabilidad discreta dada en la siguiente tabla: Demanda

P(D = d)

100

0.30

150

0.20

200

0.30

250

0.15

300

0.05

Cu´ antos calendarios debe pedir en Julio?

27 / 36

The News Vendor Problem con Demanda Continua Si D es una variable aleatoria continua con densidad de probabilidades f (d) y ( co q + (t´erminos que no consideran q) if d ≤ q, c(d, q) = −cu q + (t´erminos que no consideran q) if d ≥ q + 1.

Se puede verificar que: Z q Z E (q) = co qf (t)dt + o

∞

(−cu )qf (t)dt + (t´erminos que no consideran q) q

y que:

P(D ≤ q ∗ ) ≥

cu co + cu

Como D es continua es posible encontrar un q ∗ donde la ecuaci´ on dada se cumpla en la igualdad, i.e., P(D ≤ q ∗ ) =

cu co + cu

o ´

P(D ≥ q ∗ ) =

co co + cu

Example En el ejemplo anterior, suponga que la demanda de juegos de mesa sigue una distribuci´ on normal con media 200 y desviaci´ on est´ andar 50. Cu´ antos juegos debe ordenar en Julio?. 28 / 36

EOQ con Demanda Aleatoria (1) (con backorder) Este es un modelo EOQ con Lead Time diferente de cero y Demanda aleatoria durante cada lead time. Un supiuesto de este modelo es que es posible hacer entregas tard´ıas (Backorder).

29 / 36

EOQ con Demanda Aleatoria (2) Notaci´ on: K = Costo fijo de pedido. h = Costo de mantenimiento. L = Lead time para cada pedido (conocida) q = Cantidad a pedir. D = Variable aleatoria que representa a la Demanda por unidad de tiempo, con media µD y varianza σD2 . cB = Costo que se incurre por cada unidad faltante (stockout) si ´estas pueden ser entregadas atrasadas (backlogged). OHI (t) = Cantidad de stock a la mano (on-hand inventory) al tiempo t. B(t) = N´ umero de entregas atrasadas esperadas al tiempo t. I (t) = Nivel de Inventario Neto al tiempo t (OHI (t) − B(t)). r = Punto de reorden.

X = Variable aleatoria que representa la demanda durante el lead time con funci´ on de probabilidad f (x).

30 / 36

EOQ con Demanda Aleatoria (3) Si se supone que las demandas a diferentes puntos del tiempo son independientes, entonces para X (demanda aleatoria durante el lead time) se tiene: E (X ) = µX = E (D)L = µD L √ σX2 = σD2 L =⇒ σX = σD L La funci´ on de costo total por unidad de tiempo puede ser escrita como: CT (q, r ) = Costo esperado de pedido por unidad de tiempo + Costo esperado de mantenimiento por unidad de tiempo + Costo esperado por faltantes (stockout) por unidad de tiempo

q  c E (D) KE (D) +h + r − E (X ) + B CT (q, r ) = q 2

R∞ r

(x − r )f (x)d(x) q

En la expresi´ on dada, una aproximaci´ on del inventario promedio es calculada como la media entre el inventario inicial esperado y el inventario final esperado de un ciclo (aqu´ı (X )) se considera que I (t) ≈ OHI (t), lo cual es algo razonable), i.e., (r−E (X )+q)+(r−E . 2 Adem´ as, la integral en el tercer termino de CT (q, r ), representa el costo esperado de faltante por ciclo. 31 / 36

EOQ con Demanda Aleatoria (4) La soluci´ on para q y r en CT (qr ) puede obtenerse resolviendo: ∂CT (q, r ) ∂CT (q, r ) = =0 ∂q ∂r Si S = q∗ =

Z

r

∞ r

(x − r )f (x)d(x) se tiene que:

2E (D)(K + cB S) h

y

S = P(X ≥ r ∗ ) =

Z

∞

f (x)d(x) = r∗

hq ∗ cB E (D)

Esto puede resolverse mediante un procedimiento iterativo (ver Taha 7ma edici´ on, p´ agina ∗ 564). Sin embargo puede verificarse que si hq /c E (D) > 1, entonces una soluci´ o n B r Z ∞ 2KE (D) hq ∗ y P(X ≥ r ∗ ) = aproximada es: q ∗ = f (x)d(x) = h cB E (D) r∗ Adicionalmente, el stock de seguridad (un colch´ on para tratar de no caer en stockout) puede definirse simplemente como: r − E (X ). Razonable, cierto?. 32 / 36

EOQ con Demanda Aleatoria (5)

Resolver: Cada a˜ no, una tienda vende un promedio de 1000 cajas de un dispositivo A. LA demanda anual por caja sigue una distribuci´ on normal con desviaci´ on est´ andar de 40,8 cajas. La tienda pide discos a un distribuidor regional. Cada pedido es completado en 2 semanas. El costo fijo por pedido es de $50, y el costo anual de mantener una caja por a˜ no en el inventario es de $10. El costo por stockout se pudo estimar en $20. La tienda supone tambi´en que la demanda durante el lead time es tambi´en Normal. Determine: ◮

La cantidad ´ optima de pedido.

◮

El punto de reorden.

◮

El stock de seguridad.

33 / 36

Un modelo de revisi´ on peri´odica (R,S) Policy (1)

A veces lo m´ as sencillo funciona! 34 / 36

Un modelo de revisi´ on peri´odica (R,S) Policy (2) En estos modelos la revisi´ on se hace cada R unidades de tiempo. Se supone que la demanda es aleatoria con media E (D) y varianza σD2 . h = costo de alamacenamiento por unidad de producto por unidad de tiempo. cB = Costo que se incurre por cada unidad faltante (stockout). L = Lead time por cada pedido. Se considera constante. OHI (t) = Cantidad de stock a la mano (on-hand inventory) al tiempo t. I (t) = Nivel de Inventario Neto al tiempo t (OHI (t) − B(t)). DL+R = Demanda aleatoria durante un intervalo L + R. E (DL+R ) = (L + R)E (D). σD2

L+R

= (L + R)σD2 .

Se puede demostrar que: P(DL+R ≥ S) =

Rh cB

En este modelo, cada R unidades de tiempo se pide lo suficiente para tener en stock una cantidad S, i.e., la cantidad a pedir (ordenar) es igual a S − I (t). 35 / 36

Un modelo de revisi´ on peri´odica (R,S) Policy (3)

Resolver: Suponga que se desea reabastecerse de stock de un producto C tres veces por a˜ no. Cada pedido toma 1/9 de a˜ no para llegar a su bodega y estar disponible para su uso. La demanda por a˜ no de C es Normal con media 900 y varianza 1600. h se estima en 100($/u/a˜ no) y cB = $150 por cada art´ıculo C . ◮

Establezca la pol´ıtica (R, S) para este caso.

36 / 36