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• Dxaapa Huiini Lade Guie

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MODELOS AUTORREGRESIVOS ONDICIONALES HETEROCEDÁSTCIOS ARCH GARCH EGARCH IGARCH GARCH-M TGARCH

Introducción  

ARCH: Engle (1982) GARCH: Bollerslev (1986)  Modelar y predecir la volatilidad de una serie mediante la modelización de la varianza de los errores.

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Diseñados para modelar y predecir las varianzas condicionales, es decir, determinar un patrón de comportamiento estadístico para la varianza.

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Modelar la varianza de una variable dependiente en función de los valores pasados de la propia variable y de las variables independientes o exógenas que se incluyan en el modelo.

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Estos modelos consideran:  la información pasada de la variable  su volatilidad observada como factor altamente explicativo de su comportamiento presente y,  por extensión lógica, de su futuro predecible

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Estadísticamente, esta conclusión se refleja en tener en cuenta la esperanza condicional (conocida y fija la información hasta el momento inmediatamente anterior) del cuadrado de una variable (la expresión de su varianza si su media es nula).

Modelo ARCH 

Proceso ARCH(q) definido como:

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Restricciones:  a) el término de error es un proceso idénticamente distribuido con media 0 y desviación típica igual a 1  b) los parámetros ω > 0 α ≥ 0 (para i = 1, … q) y, para cumplirse la condición de estacionariedad en media, la suma de todos los parámetros es menor que la unidad  c) si εt es un proceso gaussiano y se distribuye según una normal, entonces yt es condicionalmente normal y su varianza es

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Las esperanzas marginal y condicional son iguales a cero.

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La varianza marginal es constante; mientras que la varianza condicional depende de los valores que haya tomado luego no es fija.

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La distribución marginal del proceso ARCH(1) tiene una forma desconocida.

Modelo ARCH-M 

La extensión natural del modelo ARCH se produce cuando se realiza un modelo multivariante en el que, además de la varianza del error, son explicativas de la endógena otras variables exógenas del modelo:

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Es utilizado con frecuencia en las aplicaciones financieras donde el rendimiento esperado de un activo se relaciona con las expectativas de riesgo esperadas con el activo. El coeficiente estimado para el riesgo esperado es una medida del rendimientoriesgo de salida del mercado.

GARCH estándar (1) yt = xt γ + εt (2) = ω + αε^2 t -1 + βσ ^2t -1 

Donde:  

(1) es la media como función de variables exógenas con un término de error (2) valor de la varianza en el período actual basada en la información pasada, denominada varianza condicional  ω = media  ε^2 t -1 = información de la volatilidad en el período previo, medida como el retardo de los residuos al cuadrado en la ecuación de la media (el tèrmino ARCH)  σ^2 t -1 = último período estimado de la varianza (término GARCH)

GARCH (1, 1) 

Se define como:

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GARCH (1, 1) se refiere a la presencia de un término GARCH de primer orden (p) y un término ARCH de primer orden (q)

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Contexto financiero el agente predice:  el valor de la varianza mediante una media ponderada de una media de muchos términos (una constante)  el valor estimado de la varianza en el último período (término GARCH)  información acerca de la volatilidad observada en el período previo (término ARCH) Si el rendimiento del activo fue inesperadamente grande hacia arriba o hacia abajo respecto al valor esperado, entonces el agente incrementará el valor estimado de la varianza en el próximo período

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GARCH (p, q) e IGARCH 

Representación del modelo GARCH de orden superior:

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Variantes del modelo:  IGARCH Engle y Bollerslev (1986):

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Se usa cuando α y β suman uno, ya que β=1 - α en el modelo GARCH (1, 1) Es un proceso no estacionario donde la varianza marginal es infinita Bajo normalidad yt es estrictamente estacionario y ergódico

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Nelson (1991) critica tres elementos de los procesos GARCH: 

Las restricciones de no negatividad de los parámetros son difíciles de lograr en muchas ocasiones.

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Los modelos GARCH no permiten estimar convenientemente el efecto de apalancamiento financiero que aparece en la realidad

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Los modelos IGARCH son difíciles de llevar a la práctica, siendo confuso el término de persistencia en varianza condicional acuñado por Engle y Bollerslev

Modelos EGARCH 

Por todo lo anterior determinó una nueva especificación más general que da nombre a los GARCH exponenciales o EGARCH (p,q):

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Donde se expresa el logaritmo de la varianza condicional, que implica que el efecto influencia es exponencial, en vez de cuadrático, y se garantiza que las estimaciones de la varianza condicional no sean negativas.

Modelo GARCH-M 

GARCH en media GARCH-M (Engle, Lilien y Robins, 1987)

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Es un modelo de volatilidad estacionaria con premio al riesgo. Este modelo incluye en las ecuaciones de la media (ARIMA) la varianza condicional, la desviación estándar o el ln de la varianza condicional.

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El parámetro c es llamado el parámetro de premio al riesgo. Un valor positivo de c indica que el retorno es positivamente relacionado con su volatilidad

Modelo TGARCH 

De forma empírica se observa que en los mercados bursátiles los movimientos a la baja son, por lo general, más volátiles que los movimientos al alza que les siguen, es decir, en un contexto financiero, los rendimientos negativos parecían ser predictores de la volatilidad más importantes que los positivos. Por esto, los investigadores introducen con mucho éxito una variante en los modelos GARCH asimétricos, precisamente para recoger este tipo de comportamientos:

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Glosten, Jagannathan y Runkle (1993) y por Zakon (1994). Este modelo se usa con frecuencia para manejar efectos de asimetría 僘 o apalancamiento (leverage):