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FACIULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

MODELO DE PROGRAMACION LINEAL:

MÉTODO GRÁFICO : El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando

geométricamente

a

las

restricciones,

condiciones

técnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las

restricciones

tecnológicas

se

denomina

método

gráfico

en

recursos. SOLUCION GRAFICA: a. Valor factible: valores para las de decisión que

satisfacen

todas

las restricciones. b. Valor infactible: valores para las variables de decisión que no satisfacen todas las restricciones. c. Región factible: el conjunto de valores para las variables de decisión

en

un

programa

lineal

que

satisface

todas

las

restricciones. d. Solución

factible: una

solución en la que las variables de

decisión son factibles. e. Punto extremo: el punto esquina de una región factible. f. Línea de función objetivo: línea utilizada en el método gráfico en la cual todos los puntos sobre la línea tienen el mismo valor de función objetivo.

Administración de Operaciones Ing. Patricia Espinoza Becerra 23/11/2010

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g. Solución

óptima: el

punto

en

la

región

factible

que tiene el

mejor valor de la función objetivo. CARACTERÍSTICAS: Las

características

claves

asociados

problema de programación

lineal

con la solución gráfica de un

con

dos variables

y

algunas

restricciones de desigualdad son las siguientes:  Obtener la región factible realizando lo siguiente para cada restricción: • Reemplazar • Trazar

el signo de desigualdad con un signo de igualdad.

la

línea

resultante

encontrando

dos

puntos

distintos en esa línea. • Identificar

La región

el lado factible de la línea.

factible,

entonces,

consiste

en

aquellos

puntos

que

satisfacen todas las restricciones simultáneamente. 

Obtener una solución optima mediante los siguientes pasos: • Seleccionar • Trazar

cualquier punto dentro de la región factible.

la línea de la función objetivo a través del punto

elegido. • Determinar

el lado de mejora de la línea de la función

objetivo. •

Mover la línea de la función objetivo en forma paralela a si misma en la dirección de mejora hasta que la línea este a punto de dejar la región factible.

•

Calcular los valores de las variables en la solución optima resolviendo las dos ecuaciones de las dos líneas que pasan por ese punto.

EJEMPLOS: 1.-Resuelva el siguiente problema lineal por el Método Gráfico: Administración de Operaciones Ing. Patricia Espinoza Becerra 23/11/2010

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Max .z =−x1 +2 x 2 s.a : 6 x1 −2 x 2 ≤3 −2 x1 +3 x 2 ≤6 x1 +x 2 ≤3 xi ≥0

Solución: Para resolver este problema lineal con dos variables se utilizó

el

programa

GLP

para

graficar,

en

los

de decisión resultados

mostrados se observan las restricciones, la región factible, los valores óptimos de las variables de decisión y la solución óptima del problema.

Este problema tiene las soluciones óptimas: x1 = 0.6

, x2 = 2.4

y un valor optimo de 4.2.

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2. Considere el siguiente modelo lineal: Min .z = 5 x1 + 2 x 2 s.a : 3 x1 + 6 x 2 ≥18 5 x1 + 4 x 2 ≥ 20 8 x1 + 2 x 2 ≥16 7 x1 + 6 x 2 ≤ 42 xi ≥ 0

a) Resuelva el modelo gráficamente para encontrar la solución óptima y el valor óptimo. b) ¿Cuantos puntos tiene la región factible? c) Cambie la función objetivo por 15X1 + 12X2. ¿Cuáles son las soluciones óptimas alternativas?

 Cambiando la función objetivo por 15X1 + 12X2:

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Solución: a) x1 = 1.1

, x2 = 3.6 Con un Valor Óptimo de 12.7

b) La región factible tiene 4 puntos extremos. c) Cambiando la función objetivo se tiene las soluciones optimas alternativas: •

x1 = 2.7

, x2 = 1.7

•

x1 = 1.1

, x2 = 3.6 Con un Valor Óptimo de 60.

METODO SIMPLEX La mayoría de los problemas de programación lineal tienen más de dos variables de decisión, y son, por ende, demasiado grandes para una solución gráfica. Un procedimiento llamado el Método Simplex puede ser utilizado para encontrar la solución óptima de los problemas con multivariantes. Administración de Operaciones Ing. Patricia Espinoza Becerra 23/11/2010

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El método simplex es un algoritmo (o un conjunto de instrucciones) con el cual se examinan los puntos en las esquinas de una manera metódica hasta conseguir la mejor solución (o mayor utilidad o menor costo). El método simplex se puede aplicar utilizando tableros o matrices. PROCEDIMIENTO: 1. Determinar cuales variables formaran parte de la próxima mezcla solución. Identificar la columna, y por ende la variable, con el numero positivo mayor en el renglón CJ - ZJ de la tabla previa. Este paso significa que ahora se producirá parte del producto que atribuye la mayor utilidad adicional por unidad. 2. Determinar que variable se va a reemplazar. Ya que apenas se a elegido la nueva variable que se incluirá en la mezcla solución, se debe decidir que variable actual en la solución se debe remover para hacer espacio. Para hacerlo, se divide cada cantidad, entre el numero correspondiente en la columna seleccionada del paso 1. El renglón, cuyo resultado del calculo sea el menor número no negativo, será reemplazado en la siguiente tabulación (este numero menor, de paso, da el máximo numero de unidades de la variable que pueden ser colocados en la solución). Este renglón generalmente es referido como “renglón pivote” y la columna identificada en el paso 1 es llamada la columna pivote. El número en la intersección del renglón pivote y la columna pivote es el elemento pivote. 3. Calcular

los

nuevos

valores

para

el

renglón

pivote.

Para

encontrarlos, simplemente se divide cada numero de renglón entre el elemento pivote. 4. Calcular los nuevos valores para los renglones restantes.(en los problemas hay únicamente dos reglones en la tabla, pero la mayoría de los problemas mas grandes tienen muchas mas filas. Administración de Operaciones Ing. Patricia Espinoza Becerra 23/11/2010

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5. Calcular los reglones ZJ y CJ - ZJ

,

que forman parte de la tabla

inicial. Si todos los números en el renglón CJ - ZJ son ceros o negativos, se ha encontrado una solución optima. Si este no es el caso, debe regresarse al paso 1. CJ : Contribución a la utilidad por unidad de cada variable Se aplica

tanto

al

primer

renglón

como a la primera

columna. ZJ : En la columna de la cantidad, ZJ ofrece. La Contribución total (utilidad bruta en este caso) de una solución dada. CJ - ZJ : Representa

la

utilidad

neta (esto

es la utilidad

ganada menos la utilidad perdida) que es resultado de introducir una unidad de cada producto (variable) en la solución. EJEMPLO1: PROBLEMA DE MAXIMIZACION: La Cía. SONY produce dos productos: (1) el walkman Sony, un toca casettes con AM/FM portátil y (2) la watch-Tv. Sony, un televisor a color del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción es similar para cada uno, ambos necesitan un cierto número de horas de trabajo electrónico y un número de horas en el departamento de ensamble. Cada walkman lleva 4 horas de trabajo electrónico y 2 horas en el taller de ensamble. Cada watch-Tv. requiere de 3 horas de electrónica y una hora de ensamble. Durante

el

presente periodo de

producción, están disponibles 240 horas de tiempo de electrónica y 100 horas del departamento de ensamble. Cada walkman aporta una utilidad de 7 dólares; cada watch-Tv. Producida puede ser vendida para obtener una utilidad de 5 dólares. El problema de Sony es determinar la mejor combinación posible de walkman y watch-Tv., para fabricarlos de manera que se obtenga la

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máxima utilidad. Esta situación de mezcla de producción puede ser formulada como un problema de programación lineal. Solución: x1 : Numero de walkman que se producirán. x2 : Numero de watch-Tv. que se producirán. Max. z =

7X1 + 5X2

s.a. 4X1 + 3X2 < 240(Hs. tiempo de electrónica) 2X1 + 1X2 < 100(Hs. Tiempo de ensamble) X1 , X2 > 0 Tabla original: HORAS DEPARTAMENTO

REQUERIDAS

PRODUCIR UNA UNIDAD. X1(WALKMAN) X2(WATCH-TV)

Electrónica

4

2

Ensamble

3

1

$7

$ 5

Utilidad / unidad

PARA HS. DISPONIBLES ESTA SEMANA 240 100

Tabla inicial simplex completa Primera tabla CJ

$7

$ 5

$0

$0

CANTIDAD

MEZCLA

X1

X2

S1

S2

(RHS)

SOLUCION Administración de Operaciones Ing. Patricia Espinoza Becerra 23/11/2010

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$0

S1

2

1

1

0

100

S2 ZJ

4 $0

3 $0

0 $0

1 $0

240 $0

CJ - Z J

$7

$5

$0

$0

$0

Utilidad total

Columna pivote

Número pivote

Renglón pivote

Segunda tabla: CJ

$7

$ 5

$0

$0

CANTIDAD

MEZCLA

X1

X2

S1

S2

(RHS)

SOLUCION $7 X1

1

1/2

1/2

0

50

S2 ZJ

0 7

1 7/2

-2 7/2

1 0

40 350

CJ - Z J

0

3/2

-7/2

0

$0

Columna pivote

Número pivote

Renglón pivote

Tercera tabla: CJ

$7

$ 5

$0

$0

CANTIDAD

MEZCLA

X1

X2

S1

S2

(RHS)

SOLUCION $7 X1

1

0

3/2

-1/2

X2 ZJ

0 7

1 5

-2 1/2

1 3/2

CJ - Z J

0

0

-1/2

-1/2

$5

30 40 $ 410

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Se producirán: 3 0 w a l k m a n ( X 1 ) , 40 watch-Tv.

•

( X2 )

Utilidad: $410 PROBLEMA DE MINIMIZACION: CJ

- ZJ : la nueva variable que participara en la solución de cada

tabla (la columna pivote) será grande en el reglón CJ

aquella con el numero negativos mas

- ZJ , entonces se elegirá la variable que

disminuya los costos mas posibles, se logra una solución optima cuando todos los números en el reglón CJ - ZJ son cero o positivo, justo lo opuesto del caso de maximización. EJEMPLO 2: La Menphis Chemical Corp. debe producir 1000 libras de una mezcla especial de fosfato y potasio para un cliente. El fosfato cuesta 5 dólares/libra y el potasio 6 dólares/libra. N se pueden utilizar más de 300 libras de fosfato y se deba utilizar cuando menos 150 libras de potasio. a)

Formule esto como un problema de programación lineal y

convertir las restricciones y función objetivo en la forma necesaria para el algoritmo simples. b)

Darle solución.

Solución: X1 : Numero de libras de fosfato en la mezcla. X2 : Numero de libras de potasio en la mezcla. Minimización

5X1 + 6X2

s.a. X1 + X2 X1

= 1000 = 150 X1 ,

X2 >= 0

Forma estándar (convertida): Minimización

5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2

s.a. X1 + X2 X1

+ 1A1

= 1000

+ 1S1 X2

+ 1S2

+ 1A2

=

300

=

150

Nota:  Si tenemos una restricción

de igualdad tal como X1 + X2 =

1000. Para convertir una igualdad simplemente se suma una variable artificial (A1) a la ecuación: X1 + X2 + A1 = 1000 Una

variable

significado

artificial

físico

en

es una variable

términos

de

P.L.

que no tiene

del

mundo

real.

Simplemente permite crear una solución factible básica para iniciar el algoritmo simple. A una variable artificial no se le permite aparecer en la solución final del problema.  Para manejar restricciones =, primero se suma una variable “excedente” (S2) y luego se suma una variable artificial (A2) para formar una nueva ecuación: X2 + 1S2 + 1A2

= 150

Tabla inicial: CJ

5

6

0

0

M

M

MEZCLA

X1

X2

S1

S2

A1

A2

CANTIDAD

SOLUCION $M A1

1

1

0

0

1

0

1000

$0

S1

1

0

1

0

0

0

300

$M

A2

0

1

0

-1

0

1

150

Como se recordará, los números en la columna ZJ

se Calculan

multiplicando la columna CJ del lado izquierdo de la tabla por

los

números correspondientes en cada una de las otras columnas. Por ejemplo ZJ (para la columna X1 ) = ($M*1)+($0*1)+($M*0) = $M Por lo que CJ - ZJ = $5-$M = -$M+5 ZJ (para la columna A2 ) = ($M*0)+($0*0)+($M*1) = $M Por lo que CJ - ZJ = $M-$M = -$0 ZJ (para el costo total ) = ($M*1000)+($0*300)+($M*150) = $ 1150M Primera tabla: CJ

5

6

0

0

M

M

MEZCLA

X1

X2

S1

S2

A1

A2

CANTIDAD

A1

1

1

0

0

1

0

1000

S1

1

0

1

0

0

0

300

SOLU CION $M $0

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$M

A2 ZJ

0

1

0

-1

0

1

150

$M

$M

0

-$M

$M

$M

$1150M

0

0

CJ - ZJ -$M+5 -$2M+6

0

Columna pivote

$M

Número pivote

COSTO TOTAL Renglón pivote

La variable X1 entrará en la próxima solución, debido a que tiene el mayor

n u m e r o n e g a t i v o CJ - Z J . L a v a r i a b l e A 2 s e r á r e e m p l a z a d a d e

la solución porque su cociente 150/1 es menor que los de

la columna

la

columna

de la cantidad y los X2

en los otros dos

números

cocientes

correspondientes

reglones. Esto es

150/1

de (el

tercero o el renglón A2) es menor que 1000/1 (el primer renglón y menor que 300/0 (el segundo renglón). Este ultimo cociente, dicho sea de

paso,

que

involucra

una división

entre

cero, se

considera un numero indefinido o uno que es infinitamente grande y por lo tanto se puede ignorar. Los números en el renglón pivote no cambian, en este caso, porque cada uno se divide por el numero pivote, encerrado en circulo que es 1.los otros renglones se alteran de la forma siguiente: Renglón A1

Renglón S1

1 = 1-(1)(0) = 1

1 = 1-(0)(0) = 1

0 = 1-(1)(1) = 0

0 = 0-(0)(1) = 0

0 = 0-(1)(0) = 0

1 = 1-(0)(0) = 1

1 = 0-(1)(-1) = 1

0 = 0-(0)(-1) = 0

1 = 1-(1)(0) = 1

0 = 0-(0)(0) = 0

1 = 0-(1)(1) = -1

0 = 0-(0)(1) = 0

850 = 1000-(1)(150)=850

300 = 300-(0)(1)=300

Segunda tabla: Administración de Operaciones Ing. Patricia Espinoza Becerra 23/11/2010

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CJ $M

MEZCLA

5

6

SOLUCION A1

X1 1

X2 0

1

$0

S1

$6

X2 ZJ CJ - Z J

0 S1

0

M

S2

M

0

1

A1 1

A2 -1

CANTIDAD 850

0

1

0

0

0

300

0 M

1 6

0 0

-1 M-6

0 M

1 -M+6

150 850M+900

-M+5

0

0

-M+6

0

-2M-6

COSTO TOTAL

Columna pivote

Número pivote

Renglón pivote

La variable X2 entrará en la próxima solución y tendrá que salir S1 ; quedando la tercera tabla de la manera siguiente:

Tercera tabla: CJ

5

6

0

0

M

M

MEZCLA

X1

X2

S1

S2

A1

A2

CANTIDAD

SOLUCION $M A1

0

0

-1

1

1

-1

550

$5

X1

1

0

1

0

0

0

300

$6

X2 ZJ

0 5

1 6

0 -M+5

-1 M-6

0 M

1 -M+6

150 550M+2400

0

0

M-5

-M+6

0

2M-6

CJ - Z J

COSTO TOTAL

Numero pivote Columna pivote

Renglón pivote

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Justificación de los valores de la tercera tabla: Renglón A1

Renglón X2

0 = 1-(1)(1) = 0

0 = 0-(0)(1) = 0

0 = 0-(1)(0) = 0

1 = 1-(0)(0) = 1

-1 = 0-(1)(1) = -1

0 = 0-(0)(1) = 0

1 = 1-(1)(0) = 1

-1 = -1-(0)(0)= -1

1 = 1-(1)(0) = 1

0 = 0-(0)(0) = 0

-1 =-1-(1)(0) = -1

1 = 1-(0)(0) = 1

550 = 850-(1)(300)=850

150 = 150-(0)(300)=150

La variable S2 entrara en la próxima solución y tendrá que salir S2 ; quedando la cuarta tabla siguiente:

Cuarta tabla: CJ

5

6

0

0

M

M

MEZCLA

X1

X2

S1

S2

A1

A2 CANTIDAD

SOLUCION $0 S2

0

0

-1

1

1

-1

550

$5

X1

1

0

1

0

0

0

300

$6

X2 ZJ

0

1 6

-1 -1

0

5

0

1 6

0 0

700 5700

0

0

1

0

M-6

CJ - Z J

M COSTO TOTAL

Justificación de los valores de la cuarta tabla: Renglón X1

Renglón X2

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1 = 1-(0)(1) = 1

0 = 0-(-1)(0) = 0

0 = 0-(0)(0) = 0

1 = 1-(-1)(0) = 1

1 = 1-(0)(1) = 1

-1 = 0-(-1)(-1) = -1

0 = 0-(0)(0) = 0

0 = -1-(-1)(1) = 0

0 = 0-(0)(0) = 0

1 = 0-(-1)(1) = 1

0 = 0-(0)(0) = 0

0 = 1-(-1)(-1) = 0

300 = 300-(0)(300)=300

700 = 150-(-1)(550)=700

Por lo tanto: X1 = 300 libras de fosfato X2 = 700 libras de fosfato V.O. = 5700 ANÁLISIS DE DUALIDAD El

modelo de PL. que desarrollamos para una situación se conoce

como

matemática

directamente

del

estrechamente problema

relacionada,

primal.

En

la

que

mayor

se parte

deriva de

los

tratamientos de la PL, la dual se define para varias formas de la primal, dependiendo del sentido de optimización (maximización o minimización), de los tipos de las restricciones (= y =) y del signo de las no negativas y no restringidas). En

este

modulo

presentamos

una

sola

definición,

que

automáticamente incluye todas las formas de la primal. La definición supone que el problema primal se expresa en la forma estándar, entonces se define como: Maximice o Minimice Z = ΣCjXj Sujeta a Σ aijxij = bi, i=1, 2,…, m X j>= 0, j=1, 2,…, n Las variables X j, j=1, 2,…, n, incluyen superávit y Holguras si los hay. La forma estándar tiene tres Propiedades: Administración de Operaciones Ing. Patricia Espinoza Becerra 23/11/2010

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1. Todas las restricciones son ecuaciones (con lado derecho no negativo). 2. Todas las variables son no negativas. 3. El sentido de la optimización puede ser maximización o minimización. Recordar que la forma estándar siempre

se utiliza para producir la

tabla simplex original y que la solución del problema dual se obtiene directamente de la tabla simplex

primal

primal

estándar,

solución

dual

optima. Así, al definir la dual desde la automáticamente

obtenemos

una

compatible con los cálculos del método

simplex. Las

variables

construir

y

las

restricciones

simétricamente

a

partir

del del

problema dual se pueden problema primal, como

sigue: 1. Una

variable

dual

se

define

para

cada

una

de

las

ecuaciones de la restricción primal m. 2. Una restricción dual se define para cada primal de las n variables primales. 3. Los coeficientes del lado izquierdo de la restricción dual son iguales a los coeficientes de la restricción (columna) de la variable primal asociada. Su lado derecho es igual al coeficiente del objetivo de la misma variable primal. 4. Los coeficientes del objetivo de la dual son iguales al lado derecho de las ecuaciones de la restricción primal. EJEMPLO DE MAXIMIZACION: Considere el siguiente modelo de programación lineal. MODELO PRIMAL Administración de Operaciones Ing. Patricia Espinoza Becerra 23/11/2010

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Maximizar Z = 10X1+ 20X2 Sujeto a 1X1 + 4X2 = 10 4Y1 + 3Y2 >= 20 Y1,

b)

Y2 >= 0

Para encontrar el valor optimo del modelo primal y dual

se utilizó el Programa Microsoft Excel (SOLVER). A continuación se observan los dos análisis

Administración de Operaciones Ing. Patricia Espinoza Becerra 23/11/2010

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En los resultados mostrados en la hoja de calculo se observa que el valor optimo del modelo primal es igual al valor optimo del modelo dual, siendo este análisis correcto; no es necesario que los valores de las variables del primal sean los mismos del dual ya que al hacer las transformaciones del dual en algunos casos pueden variar el numero de variables. Se tiene: .Modelo primal: X1=0 ; X2=2 ; V.O=40 .Modelo dual:

Y1=2 ; Y2=4 ; V.O=40

EJEMPLO DE MINIMIZACION: Administración de Operaciones Ing. Patricia Espinoza Becerra 23/11/2010

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Dar el dual del siguiente modelo de programación lineal.

MODELO PRIMAL Minimizar Z = 2X1+ 3X2 Sujeto a 4X1 + 5X2 >= 6 7X1 + 8X2 = 0

Solución: Este primal es igual a : Maximizar -Z = -2X1 - 3X2 Sujeto a -4X1 - 5X2 = -2 -5Y1 + 8Y2 >= -3 Y1,

Y2 >= 0

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Administración de Operaciones Ing. Patricia Espinoza Becerra 23/11/2010

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El análisis de sensibilidad se hace después de obtener la solución optima ( actual) de un cambios

de

los

modelo de PL. La meta es determinar si los

coeficientes

del

modelo

dejaran

inalterada

la

solución actual y, de no ser así,como obtener con eficiencia una nueva optima. Los precios sombra son en realidad

una forma de análisis de

sensibilidad, esto es, el estudio de que tan sensible seria la solución optima a los errores o cambios en las entradas del problema de programación lineal.

EJEMPLO Se formuló el problema

de la mezcla de producto de Shader

Electronic de la siguiente manera, utilizando la programación lineal: Maximizar Z = 7X1 + 5X2 Sujeto a: 2X1 + 1X2