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• Lenin Smith

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DEFINICIONES: ESCALA: Relación que existe correspondiente en modelo.

entre

su

magnitud

del

prototipo

y

su

DISTORSION: Cuando dos o más magnitudes semejantes se relaciones con dos o más escalas diferentes, se dice que existe una distorsión. También se entiende como distorsión la relación de Lhe/Lve se expresa como: Ω = Lhe / Lve PUNTO HOMÓLOGO: Al tratar con modelo y prototipo, se denomina puntos homólogos aquellos que tienen correspondencia geométrica. Ejemplo:

ESCALA DE LONGITUDES: Se denomina escala de longitudes aquella relación que guarda el cociente de longitudes homologas correspondientes.

bp hp = =…=¿ ( escalade longitudes ) bm hm CLASIFICACION SEGÚN LA ESCALA DE LONGITUDES: El primer paso que se da en el diseño de un modelo es decidir su tamaño, o sea la escala de longitudes.

Lp =¿ Lm Obviamente a mayor tamaño, menor escala, el modelo será más caro y las mediciones buenas; por otro lado a menor tamaño, mayor escala, el modelo será más económico pero los resultados serán de menor calidad. Tomando en cuenta las escalas de longitudes en la dirección de los tres ejes coordenados, los modelos pueden clasificarse en: a) Modelos no distorsionados.- Son aquellos los cuales es aplicada la misma escala de longitudes en cualquier dirección, es decir existe solo una escala entre el modelo y el prototipo. b) Modelos distorsionados.- Son aquellos en los que la escala de longitudes en una dirección es diferente de las otras dos o bien cuando las tres escalas de longitudes (x,y,x) difieren entre sí. CONDICIONES Y LEYES DE SEMEJANZA: -

SIMILITUD O SEMEJANZA GEOMETRICA:

La semejanza geométrica implica de modo estricto que se cumpla la relación entre dimensiones homólogas de modelo y prototipo sean iguales. Un modelo y un prototipo son geométricamente similares si todas las dimensiones del cuerpo en cada una de las direcciones de los ejes coordenadas se relacionan mediante la misma escala de longitudes. Significa que el modelo y el prototipo son idénticos en forma y únicamente difieren en el tamaño. Por tanto cualquier longitud del prototipo puede obtenerse multiplicando su longitud homóloga en el modelo por un valor fijo que es la escala de líneas. Lp = Le*Lm Dónde: Lp= Longitud del prototipo Lm= Su longitud homóloga en el modelo Le= su escala de longitudes Pudiéndose obtener escalas de áreas y volúmenes cuyos valores fijos son:

-

SIMILITUD O SEMEJANZA CINEMATICA:

Los movimientos en modelo y prototipo tienen similitud cinemática si partículas homogéneas llegan a puntos homólogos en tiempos homólogos. Por tanto la similitud cinemática obliga a que el modelo y prototipo tengan una escala de líneas y también una escala de tiempos con ello se logra una escala única de velocidades.

Ve=

Vp Vm

Te=

Tp Tm

Dónde: Ve= escala de velocidades Te= escala de tiempos Puesto que hay una escala de velocidades de tiempos, se cumple que existe una escala de aceleraciones ae dada por:

ae=

ap Ve = am Te

Si se conoce el valor fijo Ve, Te, ae; y se miden velocidades, tiempo y aceleraciones en cualquier punto del modelos, se pueden conocer velocidades, tiempos y aceleraciones en puntos homólogos del prototipo, para ello se multiplica la magnitud deseada del modelos por su correspondiente escala. -

SIMILITUD O SEMEJANZA DINAMICA

Si las fuerzas ejercidas por el fluido en puntos homólogos del modelo y prototipo se relacionan entre sí mediante un valor del modelo y prototipo se relacionan entre sí mediante un valor fijo, Fe, (escala de fuerzas), se dice que se cumple la semejanza dinámica. El cumplimiento de esta, implica que exista semejanza geométrica y cinemática, por ello algunos autores indican que entre el modelo y prototipo existe semejanza cuando cumplan con la semejanza dinámica. Las fuerzas que actúan sobre una partícula de fluido pueden ser debido a la gravedad, Fg, a la presión Fp, a la viscosidad Fu y a la tensión superficial Fy. Si la suma de esas fuerzas más la inercia FI no es igual a cero, la partícula se acelerara. Se puede denostar por razones de equilibrio, que la suma de las fuerzas anteriores más las fuerzas de inercia FI, es igual a cero.

Del sistema Fp + Fu +

anterior tenemos: Fg + Fy + EL^2 + FI = 0

Pudiéndose expresar dichas fuerzas en forma simple de la siguiente manera.

∑ F=m∗a=0

Entonces F= m*a

3

Fg=m∗g=ρ L ∗g Fg=( Δ∗P ) A=( Δ∗P )∗L2 Fυ=µ( Fy=σL

dv ) A=µ ( V ) L dy

L V (¿¿ 3)∗L (¿¿ 2)∗L2 2 = T ρ¿ FI =m∗a=ρ ¿ Donde: m = masa del cuerpo g = aceleración de la gravedad

ρ = densidad del fluido L = longitud P = diferencia de presión A = área

µ = viscosidad dinámica σ = tensión superficial a= aceleración

dv dy

= gradiente transversal de velocidades

V = velocidad E = módulo de elasticidad La semejanza dinámica implica que se cumpla:

Fe=

Fgp FPp Fυp FIp Fσp = = = = Fgm FPm Fυm FIm Fσm

Si además en el fenómeno por estudiar, dos de las fuerzas se consideran despreciable con respecto a la inercia por ejemplo las fuerzas de presión y viscosas, se puede demostrar que se cumple lo siguiente:

FIp FIm = FIp FIm Si las fuerzas viscosas son las únicas de importancia, se obtiene que:

FIp FIm = Fυp Fυm En cambio, si no intervienen las fuerzas gravitacionales y viscosas se llega a:

FIp FIm = FPp FPm Los cocientes entre las fuerzas en las ecuaciones definen los parámetros adimensionales más conocidos en hidráulica. De esta manera se tiene que: NUMERO DE REYNOLDS: El número de Reynolds se define como la relación de las fuerzas de inercia a las fuerzas viscosas y se expresa como:

V 2 (¿¿ 2)∗L V ∗L ρ = υV L υ/ ρ Fuerza de Inercia ℜ= =¿ Fuerza viscosa NUMERO DE FROUDE: El número de Froude relaciona las fuerzas de inercia a las fuerzas gravitacionales y se expresa como:

V 2

(¿¿ 2)∗L V2 V ρ = = 3 g∗L √ g∗L ρL g Fuerza de Inercia ℜ= =¿ Fuerza viscosa NUMERO DE EULER: El número de Euler relaciona las fuerzas de inercia a las fuerzas expresa como:

V (¿¿ 2)∗L V2 V ρ = =ó 2 ( Δ∗P )∗L ΔP/ ρ √ 2∗ΔP/ ρ FI =¿ Fp 2

E=

de presión y se

NUMERO DE MACH: El número de Match relaciona als fuerzas de inercia a las fuerzas elásticas, y se expresa como:

V 2

M=

ρ

(¿¿ 2)∗L V2 V = =ó 2 ΔP / ρ EL √ E/ ρ FI =¿ FE

NUMERO DE WEBER Relaciona las fuerzas de inercia a las fuerzas de tensión superficial y se expresa como:

W=

V V (¿¿ 2)∗L V ρ =ó σ σ ∗p ρ 2 (¿¿ 2)∗L ρ =¿ σ∗L FI =¿ F

√

LEYES DE SEMEJANZA Se dice que existe semejanza dinámica entre un prototipo y su modelo, cuando las fuerzas generadas en el interior del fluido en puntos homólogos, están relacionados entre sí, y tal relación es única y constante para todas las fuerzas. Generalmente en un escurrimiento en particular no todas las fuerzas son importantes, aún más algunas pueden llegar a ser despreciables. Cuando esto ocurre la similitud dinámica se alcanza con un razonable grado de precisión. Algunas relaciones que deben cumplirse entre las escalas cuando una fuerza tiene predominio sobre las demás son:

-

CONDICION DE FROUDE:

Rige aquellos escurrimientos en que la fuerza más importante es la de gravedad y en los que puede despreciarse los efectos viscosos, como ocurre en escurrimientos turbulentos a superficie libre. Cuando las fuerzas de gravedad e inercia son las únicas a considerar se cumple la ecuación:

FIp FIm = FIp FIm

Y considerando las expresiones de las fuerzas dada por las ecuaciones:

Fg=m∗g=ρ L3∗g L (¿¿ 3)∗L = T2 FI =m∗a=ρ ¿

V (¿¿ 2)∗L2 ρ¿

Tanto para modelo y prototipo se establece que:

Ve =1 √ ¿∗¿ Esta expresión conocida como condición de Froude y que indica la relación que tiene que existir entre las escalas cuando se desean representar adecuadamente los escurrimientos en que la fuerza predominante es debida a la gravedad. El cumplimiento de la condición de Froude obliga que el número de Froude del escurrimiento sea idéntico en modelo y prototipo.

F=

Donde

Vp Vm = √ g p∗Lp √ gm∗Lm Vp √ gp∗Lp

se denomina como número de Froude y L es una

dimensión característica.

Al tener la ecuación

Ve √ ¿∗¿

=1,

con tres variables, pueden escogerse

dos libremente. Una de ellas es la escala de gravedad, ya que prácticamente tienes valor constante e igual a uno. La segunda escala que puede escogerse sería la de longitudes, ya que así fijaríamos el tamaño del modelo. Una vez seleccionadas ge y Le, la escala de velocidades nos quedaría: ¿ ¿ ¿ Le ¿ ¿ Ve=¿ ¿ ¿ ¿ Ve=¿

A partir de esta ecuación y considerando ge=1 se obtendrán las escalas restantes para modelos de Froude no distorsionados ya que bajo esta condición se encuentran los modelos de obras hidráulicas a superficie libre. Observando en modelo y prototipo se cumpla la semejanza geométrica, cinemática y dinámica. Procediendo de la misma manera se pueden calcular las escalas para modelos de Froude distorsionados, observando que en estos se cumplan también la semejanza geométrica, cinemáticas y dinámicas. Este tipo de modelos tiene menor aplicación en problemas de obras hidráulicas.

-

CONDICIÓN DE REYNOLS

Cuando en un escurrimiento la viscosidad del líquido gobierna o interviene en forma preponderante en el fenómeno a estudiar entre el modelo y el prototipo se dice que este problema se encuentra bajo la condición de Reynolds y se cumplirá la siguiente igualdad:

V e∗¿ =1 υe Donde

υ

es la escala de viscosidad cinemática la cual es válida para leyes a poca

velocidad, un número de Reynolds, grande indica preponderancia marcada de las fuerzas de inercia sobre las fuerzas viscosas, ejemplo el flujo turbulento, en que la viscosidad tiene escasa importancia y el fenómeno depende solamente del número de Euler. La ecuación anterior garantiza la similitud dinámica, cuando las únicas fuerzas de interés se

deben a la inercia y a la viscosidad del fluido. EL cumplimiento de la condición de Reynolds obliga a que los números de Reynolds en modelo y prototipo sean iguales, es decir deberá cumplirse la siguiente igualdad:

Re=

V p∗L p V m∗L m = p m

Algunos casos en los que tienen aplicación las distintas leyes de semejanza son: 1) CONDICION DE FROUDE.- La mayoría de los modelos en que se estudian obras hidráulicas, fluviales y marítimas cumple con la condición de Froude, tales como: Obras de excedencia y disipadores de energía (tanques, amortiguadores saltos de ski, etc.), escurrimiento en canales y ríos y comportamiento de obras que se construyen en ellos. 2)

CONDICION DE REYNOLDS.- Esta condición la deben cumplir modelos donde se estudian el empuje y sustentación de cuerpos sumergidos en un flujo, flujos laminares y de transición en tuberías, medidores de gasto, transiciones en conductos, etc.

3) CONDICION DE EULER: Se utiliza cuando en un escurrimiento las fuerzas de presión son las más importantes. La cumplen simultáneamente tanto los modelos en que rige la condición de Froude, como los que obedecen la de Reynolds, es decir, cuando un modelo cumple con la condición de Froude o la de Reynolds, cumple también con la condición de Euler. 4) CONDICION DE CAUCHY.- Se utiliza en estudios en los cuales la compresibilidad es importante, sin embargo es poco utilizado. 5) CONDICIONES DE MACH.- Tiene pocas aplicaciones, en modelos hidráulicos, más bien se utiliza en modelos aerodinámicos. 6) CONDICIONES DE WEBER.- Se usa en problemas, relacionados con la tensión superficial tales como el estudio de modelos en los que se tienen pequeñas cargas de agua, en modelos marítimos, en pequeños canales y el movimiento capilar en los suelos. En general la ley de Weber se empela muy poco en modelos hidráulicos. A CONTINUACION SE PRESENTA LA TABLA DE VALORES DE LAS ESCALAS DE LONGITUDES PARA LAS CONDICIONES DE FROUDE Y REYNOLDS:

EJEMPLOS DE APLICACIÓN PROBLEMA 1 EL MODELO DE UN VERTEDOR ESTA CONSTRUIDO A ESCALA 1:45 CUANDO LA CARGA SOBRE LA CRESTA ES 0.05 M, EL GASTO ES DE 42.9 lt/s. DETERMINAR LA CARGA Y GASTO SOBRE EL PROTOTIPO. SOLUCIÓN: Las obras hidráulicas son generalmente modeladas bajo la condición de Froude, este es un caso distorsionado, ya que se conserva la escala horizontal igual a la escala vertical. De la tabla 3.1 tenemos que:

1 /2❑

Qe=( ¿(¿)5 )

5 1/ 2

Qe=( 1( 45)

)

Qe= 13584 M3/seg Qp

Qe= Qm

=> Qp=Qe*Qm = (13584)*(0.0429M3)

Qp= 582 M3/seg

Ahora calculando la carga en prototipo tenemos:

Hp

Le= Hm =¿ Hp=Hm∗¿ Hp = (0.05 M) * (45) Hp = 2.35 M PROBLEMA 2: SE DESEA CONSTRUIR EL MODELO DE UNA PRESA, EN UN PROYECTO HIDROELECTRICO, PARA ESTUDIAR SU FUNCIONESMIENTO EL GASTO MÁXIMO EN EL RIO ES 3430 M3/S Y EL GASTO MÁXIMO DISPONIBLE EN EL LABORATORIO ES DE 114 Lts/seg. DETERMINAR LAS ESCALAS HORIZONTAL Y VERTICAL MAXIMAS, PARA QUE HAYA SIMILITUD EN LOS FLUJOS, SUPONIENDO QUE LA DISTORSION EN EL MODELO ES CON UNA ESCALA HORIZONTAL TRES VECES LA VERTICAL: SOLUCIÓN: Se modelará bajo la condición de Froude y el modelo será distorsionado ya que la Lhe = 3 Lve Entonces Lhe ≠ Lve Datos: Qp = 3430 M3/seg Qm = 114 Lts/seg Sabiendo que: Qe

Qp

= Qm

3430 M 3/seg

= 0.114 M 3/seg

= 30 087.72

Ahora de la tabla 3.1 obtenemos el valor de la escala de gastos.

3 1 /2

Qe=Lhe ( ¿(Lve)

)

Como Lhe = 3 Lve Tenemos:

Qe=3 Lve ( 1(Lve )3)

1/ 2

Qe=3 ( Lve )5 / 2 Lve=( Qe/3 )2/ 5 Lve=( 30087.72/3 )2/ 5

Lve = 39.86 = 40 Si Lhe = 3Lve entonces: Lhe=3(40) = 120 Lve = 40 Lhe = 120