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• Julio Emil

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MODELO M / M / S Este modelo supone llegadas y tiempos de servicio aleatorios para canales de servicio múltiples, teniendo las mismas consideraciones que el modelo de canal único de servicio (M / M / 1), excepto que ahora existe una sola fila de entrada que alimenta los canales múltiples de servicio con iguales tasas de servicio.

Características de operación. En el modelo M / M / S, si m es la tasa promedio de servicio para cada uno de los S canales de servicio, entonces ya no se requiere que m > l, pero Sm debe ser mayor que l para evitar una acumulación infinita de líneas de espera. En el caso de M / M / S, la característica que se utilizará para hacer los demás cálculos es la probabilidad de que el sistema esté ocupado. En otras palabras, la probabilidad es que haya S o más unidades en el sistema. En este caso todos los canales de servicio se estarán utilizando y por ello se dice que el sistema está ocupado. Esto se puede representar como: P(Sistema ocupado) = Y lo podemos calcular por medio de la siguiente ecuación:

En donde Po estará representado por

Con las ecuaciones anteriores podemos calcular los demás datos que requiera el sistema. Ahora calculamos el valor Lq (número de unidades en la cola)

Ahora calcularemos el valor L (número de unidades en el sistema)

En el caso de M / M / S, al igual que en el modelo M / M / 1,

W=L/

y Wq = Lq /  , por ello se tiene que

Ejercicio. Para ejemplificar el modelo M / M / S, suponga que existen cinco canales de servicio con tasas promedio de servicio m = 6 y una tasa de llegada de, l = 24 unidades por hora, esto implica que S = 5.

MODELO M / G / 1 Descripción. Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera. En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio no necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio. Ahora si conocemos la desviación estándar (  ) y la media de la distribución de los tiempos de servicio, puede obtenerse fórmula para el valor de Lq a partir de la siguiente ecuación.

Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:

Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1, podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones:

Ejemplo: un lavauto puede atender un auto cada 5 min. Y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora,  = 2min. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1. Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistemas y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio. Ejercicio: En un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga  = 5min. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1. Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio. MODELO M / D / 1 Descripción. Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, tiempo de servicio constante, una línea de servicio y una línea de espera. En este modelo los tiempos de servicio son determinísticos, este es un caso especial de la situación M / G / 1 que se analizó con anterioridad, en donde la desviación estándar es igual a cero. En este caso se puede conocer el número de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), a través de la siguiente ecuación:

Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:

Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1, podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones:

MODELO M / Ek / 1 El modelo M/Ek/1 será un caso especial del modelo M/G/1, donde los tiempos de servicio tienen una distribución Erlang de parámetro K. aplicando las formulas de Pollaczek-Khintchine con

Ejemplo: un lavacarro puede atender un auto cada 5min. La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Suponga =3.5 min. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1. Ejercicio: a un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga K=4. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1.

Problema A. En la fábrica de Cementos Lima existe la oficina de Seguridad Social donde los obreros acceden durante las horas de trabajo. El jefe de Recursos Humanos, ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla de atención, por lo que ha solicitado que se haga un estudio referente al funcionamiento de este servicio. Se designa a un especialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duración media de la conversación que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. Este analista llega a la conclusión de que durante la primera y la última media hora de la jornada la afluencia es muy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fenómeno se puede considerar estacionario. Del análisis de 100 periodos de 5 minutos cada uno, sucesivos o no, pero situados en la fase estacionaria, se dedujo que el número medio de obreros que acudían a la ventanilla era de 1.25 por periodo y que el tiempo entre llegadas seguía una distribución exponencial. Un estudio similar sobre la duración de las conversaciones, llevó a la conclusión de que se distribuían exponencialmente con un tiempo medio de 3.33 minutos de duración Determina: (6ptos) a. b. c. d.

Número medio de obreros en cola. Tiempo medio de espera en la cola. ¿Cuál es la probabilidad de que existan más de tres obreros en el sistema? ¿Cuál es la probabilidad de que un obrero permanezca más de 20 minutos en el sistema?

Problema B. Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 20 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja ocho horas diarias. Problema C. Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Determinar: Problema D. Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estas es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación. Problema E. Una empleada administra un gran complejo de cines llamados Cinema I , II, III y IV. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película diferente, el programa se estableció de tal forma que las horas de las funciones se encuentren escalonadas para evitar las multitudes que ocurrirían si los cuatro cines comenzarán a la misma hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener una tasa de promedio de servicio de 280 clientes por hora. Se supone que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Las llegadas en un día son distribución de Poisson y promedian 210 por hora. a. Encontrar el número promedio de cinéfilos esperando en la línea para adquirir un boleto b. Qué porcentaje del tiempo está ocupado el cajero. c. Cuál es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema. d. Cuál es el tiempo promedio que pasa esperando en la línea para llegar a la taquilla. e. Cuál es la probabilidad de que haya más de dos personas en la cola.