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Modelamiento matem´ atico de un secador solar de plantas arom´ aticas

Camilo Andr´ es Bayona Roa

Tesis presentada como requisito parcial para optar al t´ıtulo de: Mag´ıster en Ingenier´ıa Mec´ anica

Directora: Dr.-Ing. Sonia Rinc´on Prat

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ingenier´ıa Bogot´a, D.C., Colombia 2011

Tesis aprobada por la Facultad de Ingenier´ıa en cumplimiento de los requisitos exigidos para otorgar el t´ıtulo de: Mag´ıster en Ingenier´ıa Mec´ anica

Dr.-Ing. Sonia Rinc´on Prat Directora de la tesis

Ph.D. Assensi Oliva Llena Jurado

M.Sc. Juan Miguel Mantilla Gonz´alez Jurado

Ph.D. Juli´an Ernesto Jaramillo Ibarra Jurado

Universidad Nacional de Colombia Bogot´a, D.C., 6.12.2011

Agradecimientos La realizaci´on de este trabajo se debe al apoyo a pasant´ıas y estancias en el exterior para adelantar proyectos de tesis y trabajos de investigaci´on en posgrados otorgado por la Direcci´on de Investigaci´on Sede Bogot´a de la Universidad Nacional de Colombia. As´ı como tambi´en a los recursos brindados por el Centro Tecnol´ogico de Transferencia de Calor (CTTC) de la Universidad Polit´ecnica de Catalu˜ na. Agradezco en primera medida a la Universidad Nacional de Colombia. Tambi´en a mi directora de tesis, Dr.-Ing. Sonia Rinc´on, por su apoyo incondicional en todos estos a˜ nos de continuo trabajo, sus reflexiones y consejos. Al Dr. Assensi Oliva agradezco la oportunidad brindada de formarme en el CTTC. Al Dr. David P´erez-Segarra por su sabia y paciente gu´ıa, especialmente durante el planteamiento matem´atico del trabajo. Al Dr. Juli´an Jaramillo agradezco el entrenamiento que me brind´o y sus dedicadas correcciones del documento. Gracias a la Dr. Patricia Cuervo por sus aportes y por ser el eslab´on que permiti´o la validaci´on de los modelos planteados. Agradezco a mis amigos y compa˜ neros de investigaci´on en la Universidad Nacional de Colombia y en el CTTC de la Universidad Polit´ecnica de Catalu˜ na. Gracias a mi familia, a Lorena y a mis amigos por su apoyo y comprensi´on en la distancia.

Dedicado a Diego Barrera Bayona.

vii

Resumen En este trabajo se realiza el planteamiento de distintos modelos matem´aticos que posibilitan la predicci´on del comportamiento hidrodin´amico y t´ermico de un secador solar de plantas medicinales y arom´aticas, espec´ıficamente de Melissa officinalis. A partir del planteamiento de las ecuaciones de conservaci´on en los distintos elementos constitutivos se predice el estado final del secador y del producto. Obteniendo la distribuci´on de humedad, velocidad, presi´on y temperatura en el aire, adem´as de la temperatura y humedad en los elementos s´olidos al realizar un an´alisis por el m´etodo de volumenes finitos. Se plantean dos modelos distintos: un modelo tramo a tramo con dos distintas aproximaciones a la cin´etica de secado y un modelo multidimensional. Al validar las simulaciones con trabajos experimentales se encontr´o una mejor descripci´on del comportamiento de secado mediante el modelo tramo a tramo con la cin´etica de secado descrita por la analog´ıa con la transferencia de calor.

Palabras clave: Secado de Melissa officinalis, Secador solar de t´ unel, M´ etodo de vol´ umenes finitos, Din´ amica de fluidos computacional

Abstract An approach of the heat and mass transfer related in the drying process of Melissa officinalis plants inside a Hohenheim type solar tunnel dryer is made by the numerical solution of the governing equations and it’s validation with experimental results. The models makes possible the prediction of the hydrodynamic and thermal behavior of the solar drying process by means of the finite volumes method applied in the dryer’s domain. Two different models are done: a section by section model with two different drying kinetics approaches and a multi-dimensional model. A better description of the drying behavior inside the tunnel is found with the section by section model with heat transfer analogy as drying kinetics approach by validating the simulations with experimental work.

Keywords: Melissa Officinalis drying, Solar tunnel dryer, Finite volume methods, CFD

Contenido Agradecimientos

V

Resumen

VII

Lista de s´ımbolos

XI

Lista de tablas

XVIII

Lista de figuras

XX

1. Introducci´ on

1

2. Planteamiento del problema 2.1. Materia prima: plantas arom´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Secado de plantas arom´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Isoterma de sorci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Modelos matem´aticos de cin´etica de secado . . . . . . . . . 2.3. Secadores solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Modelamiento matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. M´etodos de soluci´on de sistemas simul´aneos de ecuaciones 2.4.2. Soluci´on del campo de flujo del aire interior . . . . . . . . 2.5. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Formulaci´ on matem´ atica 3.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Modelo tramo a tramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Hip´otesis simplificatorias . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Ecuaciones gobernantes del aire interior . . . . 3.2.3. Ecuaciones gobernantes de los elementos s´olidos 3.2.4. Ecuaciones gobernantes del producto . . . . . . 3.3. Modelo multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Hip´otesis simplificatorias . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Ecuaciones gobernantes del aire interior . . . . 3.3.3. Ecuaciones gobernantes de los elementos s´olidos 3.3.4. Ecuaciones gobernante del producto . . . . . . . 3.4. Formulaci´on general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Ecuaci´on general de convecci´on - difusi´on . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

3 3 4 5 6 8 11 12 13 14

. . . . . . . . . . . . .

17 17 18 18 19 22 22 23 23 24 29 30 31 31

Contenido

ix

3.4.2. Termodin´amica del aire h´ umedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Ecuaciones gobernantes de la radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Propiedades f´ısicas y coeficientes emp´ıricos 4.1. Coeficientes emp´ıricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Coeficiente de transferencia de calor por convecci´on forzada usado el modelo tramo a tramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Coeficiente de transferencia de calor por convecci´on natural . . . . 4.1.3. Coeficiente de fricci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Propiedades f´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Isoterma de sorci´ on y cin´ etica de secado 5.1. Isoterma de sorci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Cin´etica de secado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Relaci´on semi-emp´ırica de secado de capa fina . 5.2.2. Coeficiente convectivo de transferencia de masa

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . en . . . . . . . .

. . . .

. . . .

6. Metodolog´ıa de la soluci´ on num´ erica 6.1. Modelo tramo a tramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Aire interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. S´olidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4. Radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5. Algoritmo de soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Procedimiento de programaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Modelo multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Discretizaci´on espacial para los valores escalares . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Discretizaci´on de la ecuaci´on de convecci´on - difusi´on para escalares . 6.3.3. Discretizaci´on espacial para los componentes vectoriales de la velocidad 6.3.4. Discretizaci´on de la ecuaci´on de la cantidad de movimiento . . . . . . 6.3.5. Radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.6. Algoritmo de soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Verificaci´on de los esquemas num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Verificaci´on de la discretizaci´on de la ecuaci´on de convecci´on - difusi´on 6.4.2. Verificaci´on de la soluci´on de la ecuaci´on de cantidad de movimiento . 6.4.3. Verificaci´on de la soluci´on del sistema de ecuaciones de radiosidades .

31 33 36 36 36 37 38 38 42 42 42 43 43 46 46 47 52 55 57 59 59 62 63 63 70 71 77 80 83 83 84 85

7. Resultados 91 7.1. Validaci´on experimental de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2. Comportamiento del secador en condiciones distintas de operaci´on . . . . . . 100 7.2.1. Campo de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Contenido

x

7.2.2. Humedad y temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8. Conclusiones y perspectivas futuras 107 8.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.2. Perspectivas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 A. Anexo: Discretizaci´ on de la ecuaci´ on de convecci´ on - difusi´ on

110

B. Anexo: Formulaci´ on general de los esquemas num´ ericos de bajo orden

113

C. Anexo: Problema de Smith-Hutton

115

D. Anexo: Problema Driven-Cavity

117

Bibliograf´ıa

119

Lista de s´ımbolos S´ımbolos con letras latinas S´ımbolo T´ ermino

Unidad SI

Definici´ on

A

Coeficiente

1

Anexo B

A

Absortividad

1

Secci´on 4.2

a

Coeficiente

1

Anexo B

aw

Actividad del agua

1

Psw Pw

B

Coeficiente

1

Anexo B

b

Coeficiente

1

Anexo B

C

Coeficiente

1

Tabla 2-1

Cconv

Criterio de estabilidad convectivo

1

Ecuaci´on 6 − 61

Cvisc

Criterio de estabilidad viscoso

1

Ecuaci´on 6 − 61

Cp

Calor espec´ıfico (del aire h´ umedo)

Secci´on 4.2

D

Difusividad

J kgK m2 s

D

T´ermino difusivo en la superficie

1

Anexo B

e

Espesor

m

Tabla 7-1

F

Factor de vista

1

Ecuaci´on 3 − 29

F

T´ermino convectivo en la superficie

1

Anexo B

FR

Factor de relajaci´on

1

Secci´on 6.1.4

f

Coeficiente de fricci´on

1

Secci´on 4.1.3

g

Aceleraci´on de la gravedad

d2 y dt2

g˙

Generaci´on de calor por unidad de volumen

Secci´on 3.1.1

g˙

Irradiaci´on por unidad de superficie

m s2 W m3 W m2

Gr

N´ umero de Grashoff

1

gγρ2 (T −Tamb )L3 µ2

H

Altura del interior del t´ unel

m

Tabla 7-1

h

Entalp´ıa espec´ıfica

U +P V m

hf g

Calor latente de vaporizaci´on del agua

IT

Irradiaci´on solar por unidad de superficie

J kg J kg W m2

Secci´on 4.2

Secci´on 3.1.4

hg − hf Secci´on 3.1.4

Contenido

xii S´ımbolo

T´ ermino

Unidad SI

Definici´ on

J˙

Flujo m´asico de vapor

mv t

˙

Radiosidad por unidad de superficie

Secci´on 3.1.4

˙

Flujo m´asico de vapor por unidad de superficie

kgv s W m2 kgv s m2

B

Coeficiente

1

Tabla 2-1

k

Constante de secado

1 s

Ecuaci´on 2 − 1

L

Longitud

m

Tabla 7-1

M

Concentraci´on de humedad

kgw kgproducto

M

Masa molar

kg mol

MR

Ratio de secado

1

m ˙

Flujo de masa

kg s

M −Meq Mo −Meq m t

m

Coeficiente

1

Secci´on 4.1

N

N´ umero de vol´ umenes

1

Secci´on 6.1

Nu

N´ umero de Nusselt

1

αL λ

~n

Vector de superficie

m

Anexo B

n

Coeficiente

1

Secci´on 4.1

P

Presi´on

Pa

Pe

N´ umero de Peclet

1

Pr

N´ umero de Prandtl

1

q˙

Flujo de calor por unidad de superficie

R

Constante universal de los gases

W m2 J mol K

F ·~ n S ρcp LU λ µcp λ λ( dT ) dn

R

Reflectividad

1

Secci´on 4.2

Re

N´ umero de Reynolds

1

RH ~) R(U

Humedad relativa

1

ρU L µ Psv Pv

Campo de velocidades

m s

S

Superficie

m2

Sc

N´ umero de Schmidt

1

Sh

N´ umero de Sherwood

1

ν D βL D

T

Temperatura

K

DF

TR

Transmisividad

1

Secci´on 4.2

mv tS

seco

mw mpr

Secci´on 3.1.5

8,314272

Ecuaci´on 3 − 12 RR dxdy

Contenido

xiii

S´ımbolo T´ ermino

Unidad SI

Definici´ on

t ~ U

Tiempo

s

DF

Velocidad

( dx , dy , dz ) dt dt dt

u

Componente en el eje x de la velocidad

m s m s

V

Volumen

m3

v

Componente en el eje y de la velocidad

m s

dy dt

W

Ancho del t´ unel

1

Tabla 7-1

w

Humedad absoluta

kgv kga

ma mv

Xm

Coeficiente

1

Tabla 2-1

x

Coordenada cartesiana

1

DF

Y

Fracci´on m´asica del vapor

1

mv ma +mv

y

Coordenada cartesiana

1

DF

Z

Fracci´on molar del agua

1

pv RT

z

Coordenada cartesiana

1

DF

S´ımbolo T´ ermino

Unidad SI

Definici´ on

α

Coeficiente convectivo de transferencia de calor

β

Coeficiente convectivo de transferencia de masa

W m2 K m s

Nuλ L ShD L

Γ

Coeficiente difusivo general

1

Tabla 3-14

γ

Coeficiente de expansi´on volum´etrica

1 K

1 dV Vo dT

∆

Incremento

1

dφ

δ

Distancia

1

|φ1 | − |φ2 |

ε

1

Secci´on 4.2

θ

Emisividad ´ Angulo de inclinaci´on de la cubierta

1

Secci´on 4.1

λ

Conductividad t´ermica (del aire h´ umedo)

µ

Viscosidad din´amica (del aire h´ umedo)

ν

Viscosidad cinem´atica (del aire h´ umedo)

W m.K kg m.s m2 s

q˙ |∇T | − FS dy dv µ ρ

dx dt

RRR

dxdydz

S´ımbolos con letras griegas

Contenido

xiv S´ımbolo

T´ ermino

Unidad SI

Definici´ on

ξ

T´ermino fuente general

1

Tabla 3-14

Π

Operador de proyecci´on

1

Secci´on 3.4

ρ

Densidad (del aire h´ umedo)

kg m3

m V

σ

Error num´erico

1

τ

Tension cortante

Pa

F S

Υ

Flujo total en la superficie

1

Anexo B

φ

Propiedad general

1

Tabla 3-14

χ2

Regresi´on lineal

1

Secci´on 5.2

Sub´ındices Sub´ındice T´ ermino a

Aire seco

al

Aislante

amb

Ambiente

anterior

Valor en la anterior iteraci´on

C

Cielo

calculada

Valor calculado en la iteraci´on

col

Zona del colector

E

Nodo este

e

Superficie este

eq

Equilibrio

i

Posici´on del nodo

i, jp

Placa absorbente o producto

i, m

Cubierta

i, 1

Aislante

N

Nodo norte

n

Superficie norte

nue

Valor en la siguiente iteraci´on

o

Valor inicial

Contenido

xv

Sub´ındice T´ ermino P

Nodo del volumen

pl

Placa absorbente

pr

Producto

S

Nodo sur

s

S´olido

s

Superficie sur

sec

Zona de secado

sw

Saturaci´on del agua l´ıquida

sv

Saturaci´on de vapor de agua

v

Vapor de agua

ven

Ventiladores

W

Nodo oeste

w

Agua l´ıquida

w

Superficie oeste

∞

Capa l´ımite

Super´ındices Super´ındice T´ ermino n

Instante de tiempo

p

Predictora

sol

Solar

Abreviaturas Abreviatura T´ ermino CDS

Central difference scheme

CFD

Computational fluid dynamics

d.b.

Dry basis

DF

Dimensi´on fundamental

Contenido

xvi Abreviatura T´ ermino EDS

Exponential difference scheme

FSM

Fractional step method

HDS

Hybrid difference scheme

PLDS

Power law difference scheme

SIMLPLE

Semi implicit method for pressure linked equations

TDMA

Tridiagonal matrix algorithm

UDS

Upwind difference scheme

w.b.

Wet basis

Lista de Tablas 2-1. Modelos de equilibrio de productos agr´ıcolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-2. Modelos semi-emp´ıricos de cin´etica de secado de capa fina de productos agr´ıcolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-3. Definici´on de la fuerza motr´ız. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 7 8

3-1. Hip´otesis simplificatorias del aire interior en el modelo tramo a tramo. . . . . 3-2. Hip´otesis simplificatorias de la placa absorbente, el aislante y la cubierta en el modelo tramo a tramo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-3. Hip´otesis simplificatorias del producto en el modelo tramo a tramo. . . . . . 3-4. Condiciones iniciales y de contorno del aire interior en el modelo tramo a tramo. 3-5. Condiciones iniciales y de contorno de los s´olidos en el modelo tramo a tramo. 3-6. Condiciones iniciales y de contorno del producto en el modelo tramo a tramo. 3-7. Hip´otesis simplificatorias del aire en el modelo multidimensional. . . . . . . . 3-8. Hip´otesis simplificatorias de la placa absorbente, el aislante y la cubierta en el modelo multidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-9. Hip´otesis simplificatorias del producto en el modelo multidimensional. . . . . 3-10.Condiciones iniciales y de contorno del aire interior en el modelo multidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11.Condiciones iniciales y de contorno de los s´olidos en el modelo multidimensional. 3-12.Condiciones iniciales y de contorno del producto en el modelo multidimensional. 3-13.T´erminos de la ecuaci´on general de convecci´on - difusi´on. . . . . . . . . . . . 3-14.Variables de la ecuaci´on general de convecci´on - difusi´on. . . . . . . . . . . .

20

4-1. 4-2. 4-3. 4-4. 4-5.

. . . . .

37 38 38 39 41

5-1. Valores de los par´ametros del modelo de isoterma de sorci´on de Toronjil [11]. 5-2. Valores de los par´ametros del modelo de cin´etica de secado de capa fina de Toronjil [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

6-1. Valores de los factores de vista del modelo tramo a tramo. . . . . . . . . . . 6-2. Cambios en la discretizaci´on de la ecuaci´on de la energ´ıa para el producto. . 6-3. Discretizaci´on de la ecuaci´on de la energ´ıa para configuraciones especiales de vol´ umenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 67

Coeficientes para el caso de placa calentada vertical [49]. . Coeficientes para el caso de placa calentada horizontal [49]. Coeficientes para la relaci´on de fricci´on [49]. . . . . . . . . Propiedades f´ısicas de fluidos [47]. . . . . . . . . . . . . . Propiedades f´ısicas del los s´olidos. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

21 21 22 23 24 25 26 26 27 30 31 32 32

44

68

xviii

Lista de Tablas 6-5. Discretizaci´on de la ecuaci´on de la humedad para configuraciones especiales de vol´ umenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-7. Temperatura balanceadas en las superficies con las radiosidades infrarrojas. . 6-8. Flujo de calor en las superficies interiores debido a las radiosidades. . . . . . 6-9. Factores de vista entre superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70 87 89 90

7-1. Dimensiones del secador solar Hohenheim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

C-1. Condiciones de frontera del problema de Smith-Hutton. . . . . . . . . . . . . 115 C-2. Resultados num´ericos de referencia del problema de Smith-Hutton. . . . . . 116 D-1. Resultados referenciados del problema Driven Cavity para distintos n´ umeros de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Lista de Figuras 2-1. 2-2. 2-3. 2-4.

Clasificaci´on de los secadores solares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Secador Solar Hohenheim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Modelaci´on matem´atica de un fen´omenos f´ısico. . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Clasificaci´on de los m´etodos de soluci´on implementados en el presente trabajo. 13

3-1. 3-2. 3-3. 3-4. 3-5. 3-6.

Sistema compuesto por el secador solar y el ambiente exterior. Planteamiento de los modelos matem´aticos. . . . . . . . . . . Abstracci´on de los modelos planteados. . . . . . . . . . . . . . Planteamiento tramo a tramo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planteamiento multidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . Radiosidades solares e infrarrojas. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

17 18 19 20 25 35

4-1. Presi´on de saturaci´on de vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5-1. Isoterma de sorci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2. Cin´etica de secado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 44

6-1. 6-2. 6-3. 6-4. 6-5. 6-6.

47 47 48 50 52

Discretizaci´on tramo a tramo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen discretizado del aire interior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vista transversal del t´ unel de secado para el modelo tramo a tramo. . . . . . Diagrama de entalp´ıa del agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Discretizaci´on cubierta pl´astica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Discretizaci´on unidimensional para la ecuaci´on de la energ´ıa de la placa absorbente y el aislante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-7. Discretizaci´on unidimensional del producto y el aislante. . . . . . . . . . . . 6-8. Algoritmo de soluci´on del modelo tramo a tramo. . . . . . . . . . . . . . . . 6-9. Diagrama de entradas y salidas del c´odigo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-10.Discretizaci´on espacial para los valores escalares. . . . . . . . . . . . . . . . . 6-11.Detalle de un nodo de discretizaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-12.Balance de masa en la interfase del producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-13.Malla desplazada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-14.Factores de vista en el modelo multidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . 6-15.Algoritmo de soluci´on del modelo multidimensional. . . . . . . . . . . . . . . 6-16.Resultados para una relaci´on Γρ = 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-17.Comparativo de los resultados encontrados y los resultados referenciados de temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 55 60 61 64 65 69 72 79 82 84 85

xx

Lista de Figuras 6-18.Resultados del campo de velocidad y presi´on para un Re = 1000 y una malla de 50x50 vol´ umenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-19.Comparativo de los resultados de la componente u de la velocidad. . . . . . . 6-20.Comparativo de los resultados de la componente v de la velocidad. . . . . . . 6-21.Comparativo de los resultados de la componente u de la velocidad para distintas mallas y un Re = 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-1. Posici´on de los sensores y dispositivos de medici´on experimental. . . . . . . . 7-2. Condiciones ambientales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-3. Comparativo de la humedad del producto experimental y del modelo tramo a tramo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-4. Humedad superficial del producto mediante el modelo multidimensional. . . 7-5. Comparativo de la temperatura del aire experimental y de la aproximaci´on por analog´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-6. Comparativo de la temperatura del aire experimental y de la aproximaci´on por relaci´on semi-emp´ırica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-7. Comparativo de la temperatura del aire a lo largo del secador a las 17:00h experimental y del modelo tramo a tramo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-8. Comparativo de la humedad relativa del aire experimental y de la aproximaci´on por analog´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-9. Comparativo de la humedad relativa del aire experimental y de la aproximaci´on por relaci´on semi-emp´ırica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-10.Velocidad del aire interior del modelo multidimensional en distintos instantes. 7-11.Detalle de la velocidad del aire interior del modelo multidimensional. . . . . 7-12.Magnitud de la velocidad del aire interior del modelo multidimensional en un corte transversal en x = 13, 2m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-13.Magnitud de la velocidad del aire interior del modelo multidimensional en un corte longitudinal a 0,01m de la superficie del producto. . . . . . . . . . . . . 7-14.Magnitud de la velocidad del aire interior del modelo multidimensional en un corte longitudinal en la mitad de la altura del t´ unel. . . . . . . . . . . . . . . 7-15.Presi´on del aire interior del modelo multidimensional en distintos instantes. . 7-16.Humedad del aire interior del modelo multidimensional en un corte longitudinal sobre la superficie del producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-17.Humedad del aire interior del modelo multidimensional en un corte transversal a x = 13, 2m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-18.Temperatura del aire interior del modelo multidimensional en un corte transversal a x = 13, 2m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 86 87 88 91 93 94 95 96 96 97 99 99 101 102 102 103 103 104 105 106 106

C-1. Problema de Smith-Hutton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 D-1. Problema Driven Cavity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1. Introducci´ on En la actualidad, del 10 al 40 % de los productos cosechados nunca llegan al consumidor. Este comportamiento se presenta principalmente en los pa´ıses en v´ıas de desarrollo debido a la descomposici´on y la contaminaci´on del producto [14]. Existe una diversa gama de tecnolog´ıas poscosecha aplicadas a la preservaci´on de los alimentos perecederos. Sin embargo, siendo uno de los m´etodos m´as antiguos, el m´etodo de secado es uno de los m´as pr´acticos extendiendo la vida u ´til del producto y garantizando las propiedades f´ısicas, qu´ımicas y nutricionales de los alimentos [5]. El secado es un proceso de alto costo, el cual representa entre el 35 y 40 % del costo total de producci´on. Entre los procesos de secado que se aplican en la actualidad se encuentran los m´etodos industriales de secado, el secado solar y la combinaci´on de ambos como una manera de reducir el consumo de energ´ıa y mejorar la calidad del producto [39]. Como los secadores industriales no est´an al alcance de la mayor´ıa de los peque˜ nos agricultores, el empleo de energ´ıas alternativas renovables, de bajo costo y no contaminantes, incrementa la viabilidad econ´omica del proceso al reducir sus costos de aplicaci´on [12, 37, 46]. Los secadores solares son una alternativa para el secado en los pa´ıses en desarrollo, donde el secado al aire libre es el m´etodo de conservaci´on m´as utilizado por los peque˜ nos agricultores [37]. Teniendo en cuenta que un alto porcentaje de estos agricultores no tienen acceso a la red el´ectrica, y el uso de energ´ıas mediante combustibles f´osiles no ha sido factible debido a los costos, una alternativa eficaz de secado de sus productos es el uso de energ´ıas renovables. Varios tipos de secadores solares de peque˜ na escala se han desarrollado y evaluado teniendo en cuenta su implementaci´on en las regiones tropicales y subtropicales [14]. Existen factores econ´omicos, sociales, medioambientales y culturales que son relevantes dentro del dise˜ no de las tecnolog´ıas de secado. Para los productores agr´ıcolas de peque˜ na escala s´olamente son significativas las actividades e inversiones que aumentan considerablemente sus ingresos, bien sea reduciendo directamente los costos o aumentando la productividad. Por lo tanto, a menos que los sistemas de secado solar ofrezcan beneficios excepcionalmente atractivos en comparaci´on con el secado al aire libre u otros sistemas de secado, no ser´a posible en la pr´actica mejorar su aceptaci´on [37]. Partiendo de esta situaci´on, es necesario realizar un gran esfuerzo por conocer y mejorar el proceso actual de secado solar de productos agr´ıcolas, y as´ı, reducir las p´erdidas poscosecha, aumentar la calidad de los productos, incrementar la eficiencia del proceso y lograr una mayor aceptaci´on por parte de los agricultores [39]. Se han planteado diversos modelos matem´aticos descriptivos del proceso de secado de productos agr´ıcolas en secadores solares como una forma de mejorar su operaci´on. Sin embar-

2

1 Introducci´on go, estos no se aproximan al comportamiento real del secador solar porque simplifican los fen´omenos gobernantes del proceso y no tienen en cuenta variables determinantes para un an´alisis m´as preciso. El presente trabajo tiene por objeto formular una modelaci´on matem´atica versatil, capaz de analizar la transferencia simult´anea de movimiento, calor y masa que ocurre en un secador solar de convecci´on forzada. Esta modelaci´on describe las ecuaciones gobernantes del proceso de secado de plantas arom´aticas y medicinales, y luego las resuelve num´ericamente. El trabajo puede ser usado para estudiar la evoluci´on temporal y espacial de algunas variables caracter´ısticas del proceso, mas precisamente: el contenido de humedad y la temperatura del producto y del aire de secado, expresados en funci´on de las condiciones de operaci´on. La modelaci´on matem´atica del secador hace parte del proyecto de optimizaci´on del secado de plantas arom´aticas realizado por el Grupo de Investigaci´on en Biomasa y Optimizaci´on T´ermica de Procesos- BIOT que incluye la construcci´on y evaluaci´on experimental del secador solar de plantas arom´aticas en condiciones locales. El modelo propuesto minimiza los costosos ensayos a escala piloto del secador e indica las caracter´ısticas finales de los productos secos [12]. La estructura de este documento contiene una descripci´on inicial del fen´omeno, una modelaci´on matem´atica donde se plantea la aproximaci´on en la descripci´on del problema y una posterior soluci´on mediante m´etodos num´ericos de la modelaci´on realizada. En los primeros cap´ıtulos se muestra la teor´ıa de secado de plantas arom´aticas y se plantea el objeto de la modelaci´on matem´atica del secador solar. La modelaci´on matem´atica incluye: las ecuaciones gobernantes de los elementos constitutivos, las correlaciones y coeficientes emp´ıricos usados en complemeto con las ecuaciones gobernantes y las propiedades termof´ısicas de los flu´ıdos y s´olidos participantes. Tambi´en se formula el modelo de cin´etica de secado e isoterma de sorci´on usado en la descripci´on del secado de las plantas medicinales (espec´ıficamente de la Melissa officinalis). Posteriormente, en la metodolog´ıa de la soluci´on num´erica se demuestra la discretizaci´on de las ecuaciones gobernantes planteadas y se describen los m´etodos num´ericos adecuados para resolver el sistema de ecuaciones algebra´ıcas. Adem´as, se realiza un trabajo de verificaci´on de los tratamientos num´ericos implementados en la soluci´on de las ecuaciones gobernantes. En el apartado de resultados se presentan los valores en el tiempo y en el espacio de cada una de las variables resueltas. En una primera parte se validan los resultados de cada uno de los modelos contrast´andolos con resultados experimentales de secado. En una segunda parte se muestran y comparan las diferentes respuestas del secador logradas mediante los modelos. Finalmente, en el cap´ıtulo de conclusiones se eval´ ua la efectividad del planteamiento, se contrasta el alcance del proyecto en respuesta a los objetivos propuestos y se describen las perspectivas futuras de trabajo.

2. Planteamiento del problema 2.1.

Materia prima: plantas arom´ aticas

Las plantas arom´aticas son aquellas plantas cuyos principios activos est´an constituidos por esencias. Historicamente se han usado por sus efectos medicinales y estimulantes. Un subgrupo de las plantas arom´aticas son las plantas condimentarias o especias, las cuales se utilizan con los alimentos y las bebidas para propiciar ciertos aromas, colores y sabores debido a sus caracter´ısticas organol´epticas. Las plantas arom´aticas son usadas mayoritariamente en la industria alimenticia, principalmente en la preparaci´on de infusiones, tisinas y aguas arom´aticas [34]. En la industria farmac´eutica, de perfumer´ıa y condimentaria, los aceites esenciales y las oleorresinas de las plantas son de vital importancia gracias a sus principios activos [5]. Estas industrias en conjunto demandan entre el 60 % y el 70 % de la producci´on mundial de plantas arom´aticas [34]. Superando al mercado de los pa´ıses orientales, que por tradici´on han consumido las hierbas y las especias como productos de primera necesidad, el principal mercado internacional para las plantas arom´aticas lo constituye la Uni´on Europea, Estados Unidos y Canad´a [30, 34]. Aquel mercado exige el cumplimiento de los est´andares de calidad, especialmente respecto a limpieza y a los niveles admitidos de pesticidas y herbicidas. Adicionalmente, la sociedad actual presenta un alto inter´es por consumir productos org´anicos y naturales en respuesta a la tendencia general de la industria de sustitu´ırlos por productos sint´eticos m´as econ´omicos [30, 34]. En Colombia existe una gran diversidad de plantas arom´aticas debido principalmente a su situaci´on geogr´afica, que le permite gozar de una mayor luminosidad y abundancia de agua durante todo el a˜ no. As´ı mismo, a su orograf´ıa accidentada con suelos y microclimas variables 1 . De acuerdo con el Ministerio de Agricultura de Colombia, el ´area cosechada con plantas arom´aticas se increment´o a una tasa porcentual anual promedio del 20 % durante el periodo 1990 - 2000 [30]. La producci´on total de hierbas arom´aticas en el pa´ıs creci´o en el mismo per´ıodo de an´alisis a una tasa anual promedio de 8.3 % [30]. A´ un as´ı, la oferta colombiana de plantas arom´aticas y medicinales se caracteriza por tener procesos agr´ıcolas r´ usticos y ancestrales, donde la organizaci´on de los agricultores se basa en una empresa familiar de productos frescos y no sofisticadamente elaborados. 1

Son cerca de 120 plantas con potencial productivo, sin embargo, las que principalmente se cultivan en el pa´ıs son, en orden de importancia; la manzanilla, el limoncillo, la albahaca, la yerbabuena y el cilantro. Otras arom´aticas y especias de uso reconocido son el toronjil, el laurel, el eneldo, el cidr´on, el cardamomo, el tomillo, la cal´endula, la menta, la mejorana, el perejil, el romero y el or´egano [30, 34].

4

2 Planteamiento del problema

Para la realizaci´on del presente trabajo se seleccionan las hojas de la Melissa Officinalis, com´ unmente conocida como Toronjil, como la planta arom´atica a estudiar en su comportamiento de secado. El Toronjil es una planta con aroma alimonado que puede llegar a alcanzar un metro de altura en sus ramificaciones, cuyos aceites esenciales y oleorresinas tienen propiedades arom´aticas y medicinales. La cadena de producci´on del Toronjil seco, de vital importancia en la industria alimentaria y farmac´eutica, incluye entre otros pasos el secado de la planta.

2.2.

Secado de plantas arom´ aticas

El secado de los productos agr´ıcolas se utiliza como medio de preservaci´on de las propiedades del producto. Espec´ıficamente en el secado de plantas arom´aticas existen diferentes procesos de secado, que van desde el secado a sol abierto hasta el secado industrial. Mayoritariamente se realiza mediante un secador t´ermico que utiliza una corriente convectiva de aire caliente para inducir el proceso de remoci´on del agua en el producto. Pero tambi´en existen otros m´etodos de secado tales como, la liofilizaci´on, la deshidrataci´on osm´otica, el centrifugado y el secado por microondas [39, 37]. Dentro del secado t´ermico existen secadores industriales y secadores solares. Los secadores industriales requieren un consumo energ´etico mucho mayor que los secadores solares al obtener la energ´ıa de diversas fuentes tales como los combustibles o mediante el consumo de energ´ıa el´ectrica. Como las plantas arom´aticas son usadas directamente por el consumidor, es esencial el cumplimiento de ciertas caracter´ısticas de calidad que pueden afectarse durante el proceso de secado [14]. Los par´ametros de calidad de las plantas arom´aticas se pueden clasificar en cuatro grupos principales: i) f´ısicos, ii) qu´ımicos, iii) microbianos y iv) nutricionales [39]. Los par´ametros f´ısicos tales como la estructura, la dureza, la porosidad, la densidad y las grietas afectan dr´asticamente la textura y la imagen del producto. Por otra parte, la forma del producto, el apelmazamiento, la viscosidad, las propiedades de rehidrataci´on y la actividad de agua influyen en el proceso de secado. Los principales par´ametros de calidad qu´ımica son: la concentraci´on de aceites escenciales, el sabor, el olor o aroma y la cantidad de conservantes. Los productos secos se consideran seguros en lo que respecta a la calidad biol´ogica y microbiana cuando no se presentan plagas, insectos y otros contaminantes como hongos. Y en cuanto a la calidad nutricional, deben cumplir con criterios m´ınimos de cantidad y retenci´on de nutrientes. La principal raz´on de las p´erdidas por producto no conforme es la baja calidad del producto. Las caracter´ısticas de calidad del producto seco son afectadas, por una parte, por la composici´on y estado inicial del producto, y por otra parte, por la incorrecta aplicaci´on del proceso de secado debida al uso de par´ametros inadecuados [14]. Unos inadecuados par´ametros de

2.2 Secado de plantas arom´aticas secado incurren adem´as en un alto consumo energ´etico que representa elevados costos de operaci´on. Los par´ametros del proceso de secado m´as influyentes son: las caracter´ısticas del aire de secado como la temperatura, la humedad y la rata de flujo y las variables dimensionales del secador como su longitud, altura, ancho o di´ametro, ´area de las bandejas y la configuraci´on del producto dentro del secador [37]. Los aceites escenciales que contienen las propiedades caracter´ısticas de las plantas medicinales y arom´aticas pueden cambiar debido a la p´erdida de compuestos org´anicos vol´atiles dentro del vapor de agua liberado. Esto es com´ un que suceda en el secado por aire caliente, por lo tanto se usa una temperatura de secado denominada temperatura m´axima admisible del aire de secado, la cual no puede ser sobrepasada para no afectar irreversiblemente las propiedades del producto [5, 39, 12]. La operaci´on de secado es un proceso que implica transferencia de masa entre un gas y un s´olido, donde la humedad contenida en el s´olido se transfiere por evaporaci´on hacia la fase gaseosa [36]. Diferentes m´etodos f´ısicos, matem´aticos y num´ericos se han propuesto para describir el cambio en el contenido de humedad del producto en las aplicaciones de secadores t´ermicos. El objeto de describir el proceso de secado mediante modelos matem´aticos es predecir las condiciones del producto y los requerimientos del proceso. En la mayor´ıa de los casos la descripci´on se basa en el planteamiento del estado higrosc´opico del producto en relaci´on con el aire de secado. Esta relaci´on termodin´amica se describe mediante la relaci´on de isoterma de sorci´on.

2.2.1.

Isoterma de sorci´ on

El contenido de humedad de equilibrio de un producto higrosc´opico Meq , se refiere al contenido de humedad del producto despu´es de haber sido expuesto a un ambiente particular por un per´ıodo indefinidamente largo de tiempo. Para el caso de la humedad de equilibrio la presi´on de vapor ejercida por la humedad dentro del producto es igual a la presi´on de vapor del aire circundante. Esto implica que la tasa de desorci´on de la humedad del producto a su entorno inmediato es igual a su tasa de absorci´on de la humedad del ambiente. Cuando se alcanza el equilibrio higrosc´opico la actividad del agua en el producto se vuelve id´entica a la humedad relativa de equilibrio. El contenido de humedad de equilibrio se determina experimentalmente controlando las condiciones de humedad y temperatura del aire en contacto con el producto. Cuando se fija una temperatura del aire circundante y se obtienen los valores de humedad de equilibrio para diferentes humedades relativas se encuentra la curva de sorci´on. Se han desarrollado m´as de 200 modelos te´oricos, semi-te´oricos y emp´ıricos que describen la relaci´on encontrada experimentalmente seg´ un los par´ametros establecidos. Sin embargo, ninguna de estas ecuaciones puede describir matem´aticamente el proceso de absorci´on para todos los valores de humedad

5

6

2 Planteamiento del problema

Tabla 2-1.: Modelos de equilibrio de productos agr´ıcolas. Nombre del Modelo

Modelo

Oswin

Meq = A

Halsey

Meq =

Brunauer Emmet Tetler (BET lineal)

Meq =

Langmuir

Meq =

Guggenheim Anderson de-Boer (GAB)

Meq =




B aw 1−aw
n1 −A Xm log10 (aw ) aw Xm C (1−aw )(1+(C−1)aw ) Xm Caw 1+Caw aw Xm CK (1−Kaw )(1−Kaw +CKaw )

relativa del aire [43]. Algunos de estos modelos se presentan en la Tabla 2-1 [11].

2.2.2.

Modelos matem´ aticos de cin´ etica de secado

Dentro de los modelos matem´aticos usados en la formulaci´on del fen´omeno de secado en el producto se destacan los modelos de cin´etica de secado que se basan en relaciones semiemp´ıricas de capa fina. Estos modelos realizan una simplificaci´on de las ecuaciones gobernantes del proceso. Tambi´en se aplican modelos de cin´etica de secado que emplean la analog´ıa con la transferencia de calor para describir el proceso. Un an´alisis exhaustivo de los complejos fen´omenos de transporte a menudo es demasiado engorroso, aplic´andose principalmente estos m´etodos [3]. Modelos de relaci´ on semi-emp´ırica de secado de capa fina Los modelos matem´aticos semi-emp´ıricos que describen el secado de capa fina parten de la soluci´on de la ecuaci´on de enfriamiento de Newton aplicada en la transferencia de masa. Esta ecuaci´on se basa en el supuesto de que la disminuci´on de la humedad es proporcional a la diferencia instant´anea entre el contenido de humedad del material (asumido uniforme en toda la cantidad de producto) y el contenido de humedad en equilibrio con el aire de secado evaluado mediante la isoterma de sorci´on del producto. ∂M = −k(M − Meq ) ∂t

(2-1)

La constante de proporcionalidad k, conocida como la constante de secado, es una funci´on del contenido de humedad del material, el tipo de producto y las condiciones del aire, es decir, su humedad, temperatura y velocidad. Al integrar la Ec. 2-1 entre el contenido de humedad en un instante inicial Mo y el contenido de humedad M en un instante t cualquiera

2.2 Secado de plantas arom´aticas

7

Tabla 2-2.: Modelos semi-emp´ıricos de cin´etica de secado de capa fina de productos agr´ıcolas. Nombre del Modelo

Modelo

Lewis (Newton)

M R = exp(−kt)

Page

M R = exp(−ktn )

Henderson and Pabis M R = A exp(−kt) Wang and Singh

M R = 1 + At + Bt2

Diffusion approach

M R = A exp(−kt) + (1 − A) exp(−kBt)

se obtiene la expresi´on del ratio de secado M R: M − Meq MR = = exp(−kt) Mo − Meq

(2-2)

Los supuestos anteriores permiten, por tanto, considerar una sola ecuaci´on para representar la cin´etica de secado y para describir los fen´omenos de transporte involucrados en el proceso de secado. Los modelos de capa fina de secado de productos agr´ıcolas descritos en la Tabla 22, fueron encontrados mediante la experimentaci´on y tienen una forma relativamente simple con un n´ umero limitado de par´ametros [43]. Uno de los inconvenientes al usar la cin´etica de secado por capa fina es por tanto la selecci´on del modelo m´as adecuado para representar el proceso de secado de la planta arom´atica [1, 23]. Modelo de secado mediante la analog´ıa con la transferencia de calor (Chilton-Colburn) Los fen´omenos de transporte, en los cuales se incluyen la transferencia de calor y la transferencia de masa, se pueden generalizar por medio de la ecuaci´on de convecci´on - difusi´on. Esto significa que el comportamiento de ambos fen´omenos se describe matem´aticamente de forma similar. Trabajos realizados para solucionar los problemas de la transferencia de calor se pueden emplear en la soluci´on de la transferencia de masa teniendo en cuenta las debidas consideraciones particulares de cada fen´omeno. A esta aproximaci´on se le denomina analog´ıa de Chilton-Colburn, y se puede emplear para solucionar la transferencia de masa entre el producto y el aire de secado modelando el flujo de humedad como una condici´on de contorno convectiva en la superficie del producto S. ∂M ρpr Vpr = β(φ − φ∞ )S (2-3) ∂t Al modelar de esta forma la transferencia de masa se debe establecer el coeficiente convectivo de transferencia de masa β, necesario para evaluar la cantidad de humedad que se transfiere del material al aire. Esto se realiza por medio de n´ umeros adimensionales y relaciones

8

2 Planteamiento del problema

Tabla 2-3.: Definici´on de la fuerza motr´ız. Definici´on de la fuerza motr´ız Modelo Densidad de vapor

v β(ρv − ρv,∞ ) = − dρ | dn n=0

Fracci´on m´asica

βρ(Y − Y∞ ) = −ρ dY | dn n=0

Presi´on de vapor

β v (Pv − Pv,∞ ) = − R1v T dP | Rv T dn n=0 βP (Z − Z∞ ) = − RPv T ρ dZ | Rv T dn n=0

Fracci´on molar

emp´ıricas validadas previamente en la transferencia de calor por convecci´on. En la literatura se usan diferentes formas de definir la condici´on convectiva de la superficie. Estos difieren principalmente en la definici´on de la fuerza motr´ız de este fen´omeno (φ − φ∞ ). Dependiendo del autor y de la disciplina distintas opciones se han empleado, algunas de las cuales se muestran en la Tabla 2-3 [44].

2.3.

Secadores solares

Debido al elevado consumo energ´etico requerido en la evaporaci´on del agua l´ıquida dentro del producto, se plantea el secado t´ermico solar como una alternativa renovable, no contaminante y econ´omica. El secado tradicional al aire libre es un tipo de secado t´ermico solar que se realiza dispersando los productos agr´ıcolas en una capa delgada sobre el suelo de un campo abierto y exponi´endolos directamente al sol [14, 46]. En el secado solar tradicional al aire libre pueden ocurrir p´erdidas que representan entre el 30 y el 40 % de la producci´on. Estas p´erdidas ocurren principalmente debido a que las condiciones del secado son variables y no existe un control directo sobre las mismas. La susceptibilidad a la reabsorci´on de humedad causa no uniformidad e insuficiencia de secado y conduce a un deterioro del producto durante el almacenamiento, sobre todo en las regiones h´ umedas tropicales [14, 46]. Tambi´en es probable la contaminaci´on con materiales extra˜ nos y la infestaci´on de roedores, aves, insectos y microorganismos que se alimentan del producto [14, 37, 15]. El m´etodo tradicional de secado al aire libre est´a asociado por tanto a grandes inconvenientes, los productos secados mediante este m´etodo en general incumplen con los est´andares internacionales de calidad y su comercializaci´on es restringida [14].

2.3 Secadores solares

9

Secadores Solares

Secadores Activos

Secadores Pasivos

Directos

Mixtos

Indirectos

Tipo Caja

Tipo Gabinete

Tipo Tunel

Figura 2-1.: Clasificaci´on de los secadores solares.

Para superar los problemas existentes con el secado solar al aire libre, se puede realizar el proceso de secado t´ermico solar al interior de una construcci´on simple (c´amara de secado) de un Secador Solar (ver Figura 2-1) [14]. Los secadores solares pueden ser directos, indirectos o mixtos. En los secadores directos el producto se encuentra en exposici´on directa a la radiaci´on solar, lo cual puede ser problem´atico al no poder controlar las condiciones de radiaci´on e incurrir en una sobreexposici´on o insuficiencia en el secado. La capacidad de secado de los secadores solares directos se puede aumentar mediante la conexi´on de un colector solar a la secci´on de secado, este colector solar calienta el aire de secado de una forma m´as eficiente. Los secadores solares en los cuales el producto se encuentra expuesto a la radiaci´on y tambi´en conectado a un colector solar se denominan secadores de tipo mixto. En contraste, los secadores indirectos protegen la secci´on de secado de la radiaci´on solar directa, pero poseen un colector solar que aumenta la temperatura del aire de secado.

Los secadores solares tambi´en pueden ser pasivos o activos. Los pasivos se caracterizan por realizar el proceso de secado mediante la convecci´on natural del aire. Esta configuraci´on puede presentar problemas durante la noche y el tiempo nublado, ya que al detenerse por completo la circulaci´on del aire, se puede provocar el deterioro del producto [14]. Los secadores activos impulsan el aire de secado a trav´es del colector y del secador mediante un ventilador que permite realizar el proceso de secado por medio de la convecci´on forzada del aire sobre el producto, esto posibilita una reducci´on del tiempo de secado de hasta un 50 % y mejora significativamente la calidad del producto al suministrar el flujo de aire adecuado con una temperatura mayor.

10

2 Planteamiento del problema Secador solar de t´ unel tipo Hohenheim Una reciente tecnolog´ıa en la aplicaci´on del secado solar en productos vegetales es el Secador Solar de T´ unel tipo Hohenheim. Este secador es un secador solar mixto y de convecci´on forzada en forma de t´ unel que consta de un colector solar de placa plana y de una zona de secado del producto expuesta a la radiaci´on solar. Muhlbauer y sus colaboradores [33] desarrollaron este secador solar en la Universidad de Hohenheim, en Stuttgart, Alemania. En la Figura 2-2 se presenta esquem´aticamente el secador solar de t´ unel Hohenheim, el cual se divide en la secci´on inicial que calienta el aire mediante un colector solar de placa plana y en la secci´on de secado del producto. El t´ unel se encuentra protegido y aislado del exterior mediante una cubierta pl´astica de polietileno transparente en el colector y negro en la zona de secado. Esto permite la entrada controlada de la radiaci´on solar pero mantiene las condiciones del aire interior diferentes a las del exterior. En la entrada del t´ unel se encuentran unos ventiladores potenciados por m´odulos fotovoltaicos que encargan de forzar el aire a trav´es de toda la longitud del t´ unel, el cual se calienta al pasar por el colector solar y suministra la energ´ıa necesaria en el secado del producto. Posteriormente el aire sale hacia el ambiente exterior al final del t´ unel. La placa absorbente del colector es de acero galvanizado con un tratamiento superficial de emisividad selectiva, lo cual le permite una alta absortividad en el espectro solar de radiaci´on t´ermica y una emisividad infrarroja baja que evita las p´erdidas de radiaci´on infrarroja con el ambiente exterior. El producto se encuentra distribuido sobre un soporte en un colch´on de espesor conocido. (1)Entrada del aire 6

5

(2)Ventiladores

4

(3)Colector solar

3

7

(4)Cubierta pl´astica (5)Producto

2 8

(6)Salida del aire (7)Barra de remoci´on

1

9

(8)Estructura soporte

10

(9)M´odulos fotovoltaicos (10)Estructura base

Figura 2-2.: Secador Solar Hohenheim. Aparte del ahorro energ´etico, este tipo de secador tiene dentro de sus ventajas el bajo costo

2.4 Modelamiento matem´atico Validaci´ on  Fen´omeno F´ısico

11

Verificaci´ on - Ecuaciones Diferenciales

Error de Aproximaci´ on

- Ecuaciones Discretas

Error de Discretizaci´on

- Soluci´on Num´erica

Error de Soluci´on

Error de Truncamiento

Figura 2-3.: Modelaci´on matem´atica de un fen´omenos f´ısico. de inversi´on en construcci´on, instalaci´on, operaci´on y mantenimiento. Debido a su dise˜ no simple puede reproducirse f´acilmente en pa´ıses en desarrollo [15]. Tambi´en se obtiene una alta calidad en los productos finales en t´erminos de color, textura y sabor, y permite controlar la contaminaci´on del producto que se presenta en el secado tradicional al aire libre [14]. Entre las desventajas est´an; la necesidad de una extensa ´area para su implementaci´on y la falta de control sobre los par´ametros de secado. Es por lo tanto necesario un estudio descriptivo del secador que permita mejorarlo.

2.4.

Modelamiento matem´ atico

El an´alisis del secador solar tipo Hohenheim puede ser abordado de dos formas; por medio de una descripci´on experimental o por medio de una descripci´on matem´atica. La descripci´on experimental conlleva un proceso de recolecci´on de datos que muchas veces resulta costoso y dispendioso. Por otra parte, el modelamiento matem´atico permite la representaci´on en el espacio y el tiempo de los fen´omenos f´ısicos que ocurren al interior del secador, posibilitando el estudio del proceso de secado y mejorando el dise˜ no y la operaci´on del equipo de una forma pr´actica [14, 39]. Se le denomina modelaci´on matem´atica a la acci´on de describir la realidad f´ısica mediante ecuaciones diferenciales gobernantes cont´ınuas, acopladas con las condiciones iniciales y de contorno espec´ıficas del problema. En la Figura 2-3 se describen las distintas etapas componentes del proceso de modelaci´on matem´atica. Esta modelaci´on se realiza a partir de hip´otesis simplificatorias de los fen´omenos reales, incurriendo en distintos errores durante el procedimiento. Los modelos matem´aticos del secador solar est´an divididos en dos grupos principales; por una parte estan los modelos emp´ıricos encontrados a partir de la experimentaci´on en condiciones espec´ıficas de operaci´on. Por otra parte se encuentran los modelos que involucran la aplicaci´on de las ecuaciones diferenciales de transferencia de calor y masa [40]. En ambos casos se obtiene un sistema simult´aneo de ecuaciones diferenciales no lineales cuya soluci´on encuentra el estado del secador y del producto.

12

2 Planteamiento del problema La soluci´on de los sistemas de ecuaciones diferenciales gobernantes puede abordarse con m´etodos analiticos; de an´alisis num´erico y de an´alisis gr´afico. Cuando los sistemas planteados no pueden ser resueltos mediante t´ecnicas de an´alisis exactas por efecto de no linealidades, m´ ultiples dimensiones, geometr´ıas y condiciones de frontera complejas, como sucede en el caso del secador solar, los m´etodos num´ericos son u ´tiles en resolverlos mediante c´alculos num´ericos sucesivos. Estos m´etodos describen el dominio cont´ınuo mediante valores discretos, despreciando cierta cantidad de valores e incurriendo en un error llamado error de discretizaci´on. La discretizaci´on del dominio se describe mediante mallas en coordenadas; cartesianas, cil´ındricas o esf´ericas, o mediante una transformaci´on al espacio de Fourier. Al proceso de obtenci´on de las ecuaciones discretas aplicadas al mallado a partir de las ecuaciones cont´ınuas se le denomina discretizaci´on de las ecuaciones. El m´etodo de diferencias finitas discretiza los t´erminos diferenciales de las ecuaciones gobernantes por medio de una aproximaci´on de la expansi´on de Taylor. El m´etodo de elementos finitos aproxima la soluci´on de la ecuaci´on diferencial a combinaciones lineales de funciones componentes. Por su parte, el m´etodo de vol´ umenes finitos usa el teorema de la divergencia para transformar los cambios f´ısicos en el volumen a t´erminos conocidos en las superficies del volumen. Esta u ´ltima formulaci´on es plenamente conservativa al igualar los flujos entre las superficies de los vol´ umenes de control adyacentes en un ensamble de vol´ umenes de control. Este m´etodo es especialmente adecuado para la investigaci´on en ´ambitos caracterizados por geometr´ıas irregulares, en presencia de condiciones de contorno complejas y de materiales heterog´eneos. En este trabajo se emplea el m´etodo de vol´ umenes finitos para discretizar las ecuaciones gobernantes en el dominio espacial, sin embargo, en muchos otros casos es m´as complejo y costoso computacionalmente que el de diferencias finitas o elementos finitos. Al organizar matem´aticamente las ecuaciones discretas resultantes se puede lograr una formulaci´on general de la discretizaci´on, reduciendo el problema a resolver un sistema de ecuaciones algebra´ıcas lineales (ver Figura 2-3).

2.4.1.

M´ etodos de soluci´ on de sistemas simul´ aneos de ecuaciones

En la soluci´on del sistema de ecuaciones algebra´ıcas lineales se debe usar un m´etodo de soluci´on dependiendo de las necesidades del problema y tambi´en de la capacidad de c´alculo disponible; en ciertos casos es necesario combinar distintos m´etodos. Debido al tama˜ no de los sistemas de ecuaciones, los m´etodos de soluci´on son realizados computacionalmente mediante la programaci´on de un c´odigo. Debido a que los c´alculos computacionales son procesos num´ericos, se incurre en un error de truncamiento llamado error de soluci´on (ver Figura 2-3). La Figura 2-4 muestra la clasificaci´on de los m´etodos de soluci´on empleados en el presente trabajo, los cuales se clasifican en secuenciales o paralelos. El c´alculo secuencial se realiza mediante un u ´nico procesador del computador, en contraste, los m´etodos de soluci´on

2.4 Modelamiento matem´atico

13

Metodos de Solucion Secuenciales

Paralelos

Directos

Iterativos

TDMA

Gauss−Seidel

Figura 2-4.: Clasificaci´on de los m´etodos de soluci´on implementados en el presente trabajo. en paralelo tiene la capacidad de ser calculados mediante m´as de un procesador. Los m´etodos de soluci´on secuenciales se clasifican en directos o iterativos. Los directos encuentran la respuesta realizando un n´ umero fijo de operaciones aritm´eticas predeterminadas, contrario a los iterativos, en los cuales se realizan m´ ultiples operaciones hasta cumplir un criterio de parada. Entre los m´etodos de soluci´on directos m´as usados est´an: el m´etodo de descomposici´on LU y el solver Tri-Diagonal Matrix Algorithm (TDMA), el cual es la particularizaci´on del solver LU para matrices tridiagonales caracter´ısticas de los problemas unidimensionales. Los m´etodos directos son adecuados cuando el n´ umero de ecuaciones es peque˜ no. En casos multidimensionales estos est´an sujetos a requerimientos de memoria de procesamiento para el almacenamiento de datos, por lo cual usar m´etodos de soluci´on iterativos es usualmente m´as eficiente. Los m´etodos de soluci´on iterativos son un conjunto de operaciones conocidas que repetidas un cierto n´ umero de veces, llegan a obtener una soluci´on aproximada. Estos m´etodos convergen cuando se cumple un criterio de convergencia que indica que se ha obtenido una soluci´on lo suficientemente cercana a la soluci´on real [22]. Estos m´etodos se caracterizan por un requerimiento reducido de memoria, y son especialmente u ´tiles cuando el n´ umero de ecuaciones es grande. Dentro de los m´etodos iterativos el solver Gauss-Seidel es un m´etodo potente y extremadamente popular, al cual se le puede aplicar una relajaci´on llamada Successive Over Relaxation y un apoyo en un TDMA para incrementar su rendimiento. Recientemente el m´etodo multigrid [9] ha incrementado el poder de c´alculo de los m´etodos iterativos, este m´etodo realiza una transformaci´on de las escalas de c´alculo mediante el uso de mallas m´as grandes en las cuales las frecuencias de informaci´on son mucho mas bajas, resolviendo esas escalas de forma r´apida.

2.4.2.

Soluci´ on del campo de flujo del aire interior

Para describir adecuadamente el comportamiento del secador solar es necesario resolver la velocidad y la presi´on del aire interior. Estas variables que describen el flujo del aire interior

14

2 Planteamiento del problema juegan un papel principal en la correcta descripci´on matem´atica del proceso de secado. Los componentes de velocidad son gobernados por las ecuaciones de conservaci´on de cantidad de movimiento lineal, las cuales son casos particulares de la ecuacion general diferencial de convecci´on-difusi´on. Para resolver estas variables la dificultad yace en encontrar los campos de velocidad y presi´on solamente con las ecuaciones de momentum. Las primeras soluciones comunmente adoptadas en los m´etodos para resolver el flujo, obtuvieron una soluci´on directa simult´anea de la linealizaci´on de las ecuaciones de continuidad y momento. Esa solucion requiere una gran capacidad de c´alculo computacional en cada iteraci´on, en tiempo y en memoria [35]. Cuando se aplica el m´etodo en las ecuaciones para problemas multidimensionales, que usualemente se encuentran acopladas con la ecuacion de la energia, o con ecuaciones para distintos par´ametros y concentraciones, resulta en una gran cantidad de trabajo desproporcionado. Al seleccionar un procedimiento de c´alculo secuencial de las ecuaciones en vez de uno simult´aneo se elimina este problema. En la literatura se encuentran varios m´etodos secuenciales, tales como los basados en el algor´ıtmo Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations (SIMPLE) y los basados en los m´etodos fraccionados. El algoritmo SIMPLE resuelve el flujo mediante la suposici´on previa de un campo de presiones que solucionan las velocidades [35]. Al obtener el campo de velocidades se puede corregir las presiones supuestas y as´ı nuevamente encontrar el campo de velocidades que satisface las ecuaciones. El algoritmo SIMPLE ha sido usado extensivamente y ha servido muy bien, sin embargo, el Fractional Step Method (FSM) tiene mejor desempe˜ no a pesar de que hay controversia acerca de su exactitud temporal [9]. Este m´etodo se llama tambi´en m´etodo de proyecci´on porque el sistema de ecuaciones dadas pueden ser interpretadas como una proyecci´on a un espacio de velocidades sin divergencia. La formulacion es expl´ıcita, el u ´nico sistema a ser resuelto es la ecuaci´on de presi´on de Poisson, lo cual lo hace un m´etodo muy eficiente [9].

2.5.

Estado del arte

En el presente apartado se presentan los desarrollos en las distintas ´areas referentes a la modelaci´on matem´atica del secado de plantas en un secador solar de t´ unel tipo Hohenheim. Se describen los trabajos relacionados con la modelaci´on de la isoterma de sorci´on y de la cin´etica de secado por relaciones semi - emp´ıricas del Toronjil. Tambi´en se describen los recientes avances en la operaci´on del secador solar tipo Hohenheim logrados mediante trabajos experimentales y modelaci´on matem´atica unidimensional. Finalmente se mencionan los modelos bidimensionales de secado logrados en trabajos de din´amica de fluidos computacional (CFD). En relaci´on a la modelaci´on de la isoterma de sorci´on de la Melissa officinalis distintos autores han encontrado las curvas de sorci´on de plantas arom´aticas similares. Soysal et al. [42] ajustaron los par´ametros de las ecuaciones de equilibrio de algunas plantas usando versiones

2.5 Estado del arte de las ecuaci´ones de Henderson, Oswin modificada y Halsey modificada. Luego, el mismo autor evalu´o la capacidad de siete ecuaciones para ajustar los datos de siete plantas arom´aticas [43]. S´olo recientemente Cuervo [11] llev´o a cabo el ajuste de los datos de la isoterma de sorci´on de la Melissa officinalis en seis modelos previamente planteados, siendo el u ´nico y m´as reciente trabajo realizado en este campo para el Toronjil. Los modelos de secado solar de plantas arom´aticas los han investigado diferentes autores; Jain et al. [23] partieron evaluando el coeficiente de transferencia de calor en algunos productos agr´ıcolas (chiles verdes, guisantes verdes, gramo blanco, cebollas, papas y coliflor), desarrollando un modelo matem´atico capaz de predecir los par´ametros de secado. Posteriormente los mismos autores [24] estudiaron m´as a fondo la dependencia de los coeficientes convectivos de transferencia de calor y masa con respecto al tiempo de secado solar de guisantes, pescado y coliflor. Recientemente, varios estudios sobre la modelaci´on matem´atica de la cin´etica de secado de las hojas de menta, han sido llevados a cabo por varios investigadores como Doymaz [13] y Akpinar [1]. En estos estudios se examinaron las caracter´ısticas de secado de las hojas de menta en el secado al aire libre y en secadores solares. M¨ uller et al.[33] utilizaron espec´ıficamente un secador solar tipo t´ unel para evaluar el secado de la menta. Steeman et al. [44] evaluaron las distintas definiciones para el coeficiente convectivo de transferencia de masa mediante la investigaci´on del comportamiento te´orico de las distintas fuerzas motrices, validando sus an´alisis mendiante el estudio CFD de un experimento evaporativo existente. Algunos autores han trabajado experimentalmente en el secador solar de t´ unel Hohenheim con respecto a aspectos t´ecnicos y econ´omicos del producto. Fudholi et al. [17] revisaron los diferentes tipos de secadores solares usados en el secado de productos agr´ıcolas. Hossain et al. [20, 19] utilizaron un secador solar de t´ unel para secar chiles rojos y verdes en las condiciones clim´aticas tropicales de Bangladesh. Bala et al. [5, 4] presentaron resultados sobre el desempe˜ no del secado de pescado y pi˜ na en el secador solar. Mitroi et al. [31] contribuyeron a la mejora t´ecnica del secador, en especial con respecto a la alimentaci´on fotovolt´aica de los ventiladores. Paralelamente, diversos autores han realizado modelos unidimensionales para describir el comportamiento del secador, basados en la aplicaci´on de las ecuaciones de conservaci´on en sus diferentes formas. En estos modelos se plantean las ecuaciones gobernantes de conservaci´on de masa y energ´ıa en los diferentes elementos constitutivos del sistema, incluido el aire, y se emplean las ecuaciones emp´ıricas de cin´etica de secado de capa fina para describir la transferencia m´asica de agua entre el producto y el aire. Hossain et al. [20] modelaron t´ecnica y econ´omicamente el secado de chile en Bangladesh para encontrar las dimensiones ´optimas del colector y de la unidad de secado. Kituu et al. [29] y Joshi et al. [27] realizaron modelos matem´aticos para predecir las temperaturas dentro de la c´amara de secado y para evaluar el secado de pescado tilapia en el secador solar de t´ unel. Janjai et al. [26, 25] presentaron resultados experimentales y simulados del secado de pl´atano y mamoncillo chino en un secador de t´ unel solar, igualmente, plantearon un sistema de ecuaciones

15

16

2 Planteamiento del problema diferenciales parciales que describen la transferencia de calor y la humedad durante el secado en el secador solar de t´ unel. Adem´as, resolvieron num´ericamente el sistema de ecuaciones diferenciales parciales por el m´etodo de diferencias finitas. En cuanto a la formulaci´on multidimensional del proceso de secado convectivo, Wang y Brenman [48] propusieron un modelo matem´atico de la transferencia simult´anea de calor y de masa utilizando el m´etodo de diferencias finitas para la predicci´on de las distribuciones de humedad y temperatura durante el secado de un s´olido en forma de placa, este modelo fue verificado experimentalmente en el mismo estudio. Zili y Nasrallah [50] presentaron un esquema de simulaci´on num´erica usando el m´etodo de vol´ umenes finitos para el secado por convecci´on forzada de productos granulares. Hern´andez et al. [18] asumieron el secado de frutas como un proceso isot´ermico que ocurre a una temperatura fija de aire, restringiendo el an´alisis solamente a la transferencia de masa del producto en forma de placa. La dependencia de las propiedades f´ısicas y de transporte con respecto a la temperatura y el contenido de humedad de los alimentos en los modelos multidimensionales ha sido investigada por varios autores [38, 48], en la mayor´ıa de sus trabajos las propiedades f´ısicas dependen de la temperatura y el contenido de humedad local de los materiales. Kaya et al. [28] analizaron el flujo y el campo de temperatura del aire de secado resolviendo el campo de flujo del aire, determinaron las variaciones espaciales de los coeficientes convectivos de transferencia de calor utilizando la analog´ıa entre las capas l´ımite de concentraci´on t´ermica y m´asica, encontraron las distribuciones de temperatura y humedad dentro del material h´ umedo usando un m´etodo num´erico impl´ıcito de diferencias finitas y validaron el modelo con datos experimentales de secado. Recientemente Aversa et al. [3] formularon un modelo de transporte que describe la transferencia simult´anea de calor y masa en un dominio bidimensional, determinaron la influencia de la velocidad, la humedad y la temperatura del aire de secado en convecci´on forzada hacia un trozo rectangular de zanahoria. Paralelamente Curcio et al. [12] y Doymaz [13] plantearon la simulaci´on de la transferencia simult´anea de calor y humedad bidimensional teniendo en cuenta la variaci´on de las propiedades f´ısicas del aire y el producto en funci´on de los valores locales de temperatura y contenido de humedad, resolviendo las ecuaciones por medio del m´etodo de elementos finitos. Estos u ´ltimos planteamientos son los modelos m´as completos en la descripci´on bidimensional del secado de productos agr´ıcolas en el interior de un secador convectivo, sin embargo se observa que modelos matem´aticos m´as generales y vers´atiles pueden ser formulados. Varios aspectos tales como la formulaci´on te´orica del fen´omeno de transporte en el material y los procedimientos num´ericos utilizados para resolver las ecuaciones gobernantes pueden ser a´ un mejorados en su definici´on y aplicaci´on [3]. En especial, con respecto a la soluci´on del flujo bidimensional sobre el producto y al tipo de operaci´on de secado dentro de la geometr´ıa espec´ıfica del secador solar de t´ unel tipo Hohenheim.

3. Formulaci´ on matem´ atica 3.1.

Planteamiento

En la Figura 3-1 se muestra esquem´aticamente un corte longitudinal del sistema compuesto por el secador solar de t´ unel tipo Hohenheim y el ambiente exterior. El secador es un sistema heterog´eneo compuesto por el aire h´ umedo interior, los s´olidos constitutivos del secador (cubierta pl´astica, placa absorbente y aislante) y el producto vegetal con una concentraci´on de agua l´ıquida en su interior. El secador se encuentra sometido a un intercambio energ´etico en forma de convecci´on y radiaci´on t´ermica con el ambiente exterior del lugar de operaci´on. Por otra parte, el secado del producto es un proceso de transferencia de calor y de masa que involucra las condiciones del aire interior y las distintas interacciones que tiene el producto con su entorno. En este sistema se deben plantear las ecuaciones gobernantes sujetas a las condiciones iniciales y de contorno para cada uno de los elementos constitutivos. Este procedimiento se aborda de dos maneras diferentes, mediante una modelaci´on tramo a tramo y mediante una modelaci´on multidimensional. Esta separaci´on en el planteamiento posibilita el estudio amplio de los fen´omenos presentes y por tanto de la predicci´on del comportamiendo real del secador seg´ un distintas aproximaciones de su funcionamiento. Ambos modelos resuelven bidimensionalmente las variables del problema. La Figura 3-2 presenta la clasificaci´on en el planteamiento de la modelaci´on.

Ambiente exterior

Cubierta

Entrada del aire

Irradiacion solar

Conveccion y radiacion

Salida del aire

Aire

Ventiladores

111 000 00000000000000000 11111111111111111 000000 111111 000000 111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 000111111 111 000000 00000000000000000 11111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 101111111111111111111111 00 11 00 11 0 1 0000000000000000000000 1010 00 11 00 11 0 1 00 11 00 11 10 Flujo de humedad

Producto

Placa Absorbente Aislante

y

Conveccion y radiacion

x

Figura 3-1.: Sistema compuesto por el secador solar y el ambiente exterior.

18

3 Formulaci´on matem´atica Relaci´on semi-emp´ırica de secado de capa fina Tramo a tramo Secado mediante la analog´ıa Chilton-Colburn Modelos

Multidimensional

Figura 3-2.: Planteamiento de los modelos matem´aticos. Como se muestra en la Figura 3-3, el planteamiento tramo a tramo divide la longitud total del secador en un cierto n´ umero de tramos que se resuelven consecutivamente conociendo las condiciones del aire a la entrada de cada tramo hasta completar todo el t´ unel del secador. Este tipo de modelaci´on es f´acil de plantear y de solucionar, no es costosa computacionalmente y es importante metodol´ogicamente al ser un primer paso que permite la verificaci´on de la modelaci´on matem´atica y posibilita el planteamiento del modelo multidimensional. Dos aproximaciones distintas se plantean para la descripci´on de la cin´etica de secado del producto en el modelo tramo a tramo. Estas son, mediante una relaci´on semi-emp´ırica de secado de capa fina y mediante la analog´ıa Chilton-Colburn con la transferencia de calor por convecci´on. Por otra parte, el planteamiento multidimensional describe y soluciona detalladamente los elementos constitutivos, resolviendo todo el dominio del secador simult´aneamente. La individualidad de cada uno de los modelos se expone a continuaci´on.

3.2.

Modelo tramo a tramo

3.2.1.

Hip´ otesis simplificatorias

En la Figura 3-4 se observa la simplificaci´on establecida para la modelaci´on tramo a tramo del secador solar. Se simplifica el ingreso del aire al primer tramo del secador por toda el ´area transversal del inicio del t´ unel y no por medio de los ventiladores ubicados en la parte inferior. El planteamiento tramo a tramo del secador permite analizar el aire interior y la radiaci´on t´ermica tomando en consideraci´on el area transversal y las superficies interiores del canal con las dimensiones reales y la geometr´ıa triangular del t´ unel. La figura en isom´etrico ilustra esta suposici´on. En este modelo se discretiza unidimensionalmente el aire interior en la direcci´on x. Los s´olidos se discretizan en la direcci´on y en cada uno de los tramos. La superposici´on de estas discretizaciones resultan en una descripci´on bidimensional del secador. En este planteamiento se supone que el producto se encuentra distribu´ıdo directamente sobre el aslante y la estructura inferior como una simplificaci´on de la geometr´ıa real. Cada una de

3.2 Modelo tramo a tramo

19

11 00 00 11 00 11 00 11 1 0 11111111111 00000000000 00 11 11 00 11 00 11 00 111111111111111 000000000000000 11111 00000 000000000000000 111111111111111

y

x

(a) Modelaci´on tramo a tramo.

11 00 00 11 00 00 01 00000000000 11111111111 00 11 00 11 11 00 11 11 00 11 111111111111111 000000000000000 11111 00000 000000000000000 111111111111111

y

x

(b) Modelaci´on multidimensional.

Figura 3-3.: Abstracci´on de los modelos planteados. las hip´otesis simplificatorias del modelo tramo a tramo formuladas para el aire interior, los s´olidos y el producto se describen en las Tablas 3-1, 3-2 y 3-3 respectivamente.

3.2.2.

Ecuaciones gobernantes del aire interior

Al tomar en consideraci´on las simplificaciones planteadas para el modelo tramo a tramo, se obtienen las ecuaciones de conservaci´on de la masa 3-1, la cantidad de movimiento lineal 3-2, la energ´ıa 3-3 y la fracci´on m´asica de humedad del aire 3-4. Estas ecuaciones se escriben de forma vectorial en coordenadas cartesianas:   ~ =0 ρ·5 U (3-1) ρ

 ~  ∂U ~ ·5 U ~ = − 5 P + 5 · (~τ ) + ρU ∂t  ∂T  ~ ρcp + ρcp U · 5 T = q˙ + g˙ ∂t  ∂Y  ~ ρ + ρU · 5 Y = ˙ ∂t

(3-2) (3-3) (3-4)

Las 4 variables desconocidas son la presi´on P , la temperatura T , la fracci´on m´asica de vapor Y y la componente de velocidad u en la direcci´on x. En la Ec. 3-1 no se considera el t´ermino acumulativo por tener una baja influencia en el comportamiento del aire. Por el contrario el cambio de la densidad es representativo y su variaci´on se considera en el t´ermino

20

3 Formulaci´on matem´atica

Ambiente exterior

Irradiacion solar

Conveccion y radiacion

Cubierta Salida del aire

Entrada del aire

H

Aire

111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 W

y

111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000 111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 x z

epr eal

Conveccion y radiacion

Colector solar

Zona de secado

Figura 3-4.: Planteamiento tramo a tramo.

Tabla 3-1.: Hip´otesis simplificatorias del aire interior en el modelo tramo a tramo. An´alisis unidimensional en la direcci´on x. Flujo en convecci´on forzada. Flujo sin cambios de fase. Fluido newtoniano. T´erminos difusivos despreciables en la direcci´on de flujo. Disipaci´on viscosa despreciable por bajas velocidades. Trabajo de compresi´on o expansi´on despreciable. Medio no participante en la radiaci´on. Cambio en la energ´ıa cin´etica y potencial despreciable al ser un flujo horizontal. Trabajo por fuerzas superficiales o de eje despreciable. Influencia despreciable de la presi´on sobre la temperatura. L´ımite de saturaci´on del vapor de agua en el aire seco.

3.2 Modelo tramo a tramo

Tabla 3-2.: Hip´otesis simplificatorias de la placa absorbente, el aislante y la cubierta en el modelo tramo a tramo. An´alisis unidimensional en el eje y en cada tramo. Superficies impermeables. Calor conducido entre tramos despreciable por ser un gradiente de temperatura m´ınimo. No hay generaci´on de calor. Superficie gris y difusa. Superficie lisa.

Tabla 3-3.: Hip´otesis simplificatorias del producto en el modelo tramo a tramo. An´alisis unidimensional en el eje y en cada tramo. Concentraci´on de agua l´ıquida homog´enea en todo el volumen. El fen´omeno de evaporaci´on se presenta u ´nicamente en la superficie del producto. Se desprecia la capilaridad l´ıquida. No existe deformaci´on por el secado. Calor conducido entre tramos despreciable por ser un gradiente de temperatura m´ınimo. No hay generaci´on de calor. Superficie gris y difusa. Superficie lisa.

21

22

3 Formulaci´on matem´atica

Tabla 3-4.: Condiciones iniciales y de contorno del aire interior en el modelo tramo a tramo. Condiciones iniciales u = uo , T = Tamb , P = Pamb , Y = Yamb (valores conocidos) Condiciones de contorno En la entrada del aire

u = uo , T = Tamb , P = Po , Y = Yamb (valores conocidos)

convectivo. El t´ermino de gradiente de presiones y de fuerzas superficiales en la Ec. 3-2 indica la variaci´on en la cantidad de movimiento del aire debida al contacto con superficies rugosas interiores del t´ unel. La Ec. 3-3 toma en consideraci´on el calor entrante q˙ por convecci´on con las superficies interiores, tambi´en el t´ermino sumidero g˙ el cual es el calor consumido por el agua evaporada para llegar a las condiciones de la corriente de aire. Similarmente en la Ec. 3-4 se toma en consideraci´on el flujo m´asico entrante al sistema . ˙ Las Ec. 3-3 y 3-4 no consideran los t´erminos difusivos al ser peque˜ nos y por consiguiente despreciables en comparaci´on con los t´erminos convectivos. Estas son ecuaciones parcialmente acopladas. Se plantean en la Tabla 3-4 las condiciones de contorno e iniciales apropiadas para resolver el problema. Para el instante inicial se considera que el aire interior a lo largo de todo el secador se encuentra a las condiciones ambientales de entrada del aire.

3.2.3.

Ecuaciones gobernantes de los elementos s´ olidos

La ecuaci´on gobernante de los elementos s´olidos escrita de forma vectorial es la ecuaci´on de la energ´ıa, propiamente la ecuaci´on de conducci´on de calor en estado transitorio: ρs cps

∂T = 5 · (λs 5 T ) ∂t

(3-5)

La variable es la temperatura T . Igualmente, se plantean las condiciones iniciales y de contorno en la Tabla 3-5. Estas condiciones de contorno son condiciones radiativas y convectivas. Tambi´en se presenta una conducci´on de calor entre las superficies de contacto.

3.2.4.

Ecuaciones gobernantes del producto

Similarmente, al implementar las suposiciones planteadas, las ecuaciones gobernantes del producto escritas de forma vectorial son la ecuaci´on de la energ´ıa 3-6 y de la humedad 3-7: ∂T = 5 · (λs 5 T ) ∂t

(3-6)

∂M = 5 · (ρs Da 5 M ) ∂t

(3-7)

ρs cps ρs

3.3 Modelo multidimensional

23

Tabla 3-5.: Condiciones iniciales y de contorno de los s´olidos en el modelo tramo a tramo. Condiciones iniciales

T = Tamb (valor conocido)

Condiciones de contorno Cubierta pl´astica con el aire exterior Cubierta pl´astica y placa absorbente con el aire interior

5 · (λs 5 T ) + q˙Rad = α(T − Tamb ) 5 · (λ 5 T ) + q˙Rad = α(T − T¯)

Aislante con el aire exterior

5 · (λs 5 T ) + q˙Rad = α(T − Tamb )

Superficie de contacto interior

Tpr = Ts (continuidad en la temperatura)

entre el aislante y producto

5 · (λpr 5 T ) = 5 · (λs 5 T )

Las variables son la temperatura T y la humedad en base seca M . Las condiciones iniciales y de contorno espec´ıficas para el producto se plantean en la Tabla 3-6. Las condiciones de contorno para la ecuaci´on de humedad son condiciones de impermeabilidad del producto con el aislante y la condici´on de flujo de humedad hacia el aire. Esta condici´on de flujo se resuelve mediante las dos aproximaciones de cin´etica de secado. Para implementar ambas aproximaciones se aproxima la humedad del producto a un solo valor homog´eneo en todo el volumen de producto que participa en el secado. La cin´etica secado para la aproximaci´on de relaci´on semi-emp´ırica se realiza mediante la evaluaci´on de una relaci´on dependiente de la temperatura del aire interior y del tiempo. Para la aproximaci´on de cin´etica de secado por analog´ıa Chilton-Colburn se plantea un balance en el flujo m´asico de agua que se transfiere mediante convecci´on hacia el aire de secado. Para realizar el balance es necesario encontrar el coeficiente de convecci´on m´asica mediante la analog´ıa de Chilton-Colburn con la transferencia de calor por convecci´on.

3.3.

Modelo multidimensional

3.3.1.

Hip´ otesis simplificatorias

Para describir completamente la geometr´ıa transversal del secador se debe realizar un an´alisis tridimensional con una discretizaci´on del dominio mediante un mallado irregular. La soluci´on tridimensional de esta geometr´ıa es engorrosa y dispendiosa, por lo cual se plantea la soluci´on bidimensional del problema suponiendo que el flujo se aproxima al comportamiendo de un flujo por un canal bidimensional x, y de longit´ ud infinita en el eje transversal z. La Figura 3-5 muestra esquem´aticamente la configuraci´on del planteamiento multidimensional del secador.

24

3 Formulaci´on matem´atica

Tabla 3-6.: Condiciones iniciales y de contorno del producto en el modelo tramo a tramo. Condiciones iniciales

T = Tamb , M = Mo (valores conocidos)

Condiciones de contorno Superficie de contacto interior Tpr = Ts (continuidad en la temperatura) entre el aislante y producto

5 · (λpr 5 T ) = 5 · (λs 5 T ) ∂M ∂n

Producto con el aire interior

=0

T = Tpr (continuidad en la temperatura) 5 · (λ 5 T ) + q˙Rad = α(T − T¯) + h ˙ fg ∂M ∂t

= 5 · () ˙

Los ventiladores se suponen con una longitud Lven a la entrada y un ingreso vertical del aire al interior del secador. Tambi´en toma en cuenta la cubierta pl´astica vertical que protege el extremo izquierdo del t´ unel interior. El producto se supone extendido sobre el aislante inferior. Cada una de las hip´otesis simplificatorias formuladas para el aire interior, los s´olidos y el producto en el modelamiento multidimensional se describen en las Tablas 3-7, 3-8 y 3-9 respectivamente.

3.3.2.

Ecuaciones gobernantes del aire interior

Al aplicar todas las simplificaciones y suposiciones planteadas para el modelo multidimensional, se obtienen las ecuaciones que modelan el comportamiento del aire interior. Estas ecuaciones gobernantes se pueden escribir en forma vectorial en coordenadas cartesianas: ~ =0 5·U    ~  ∂U ~ ~ ~ + ρU · 5 U = − 5 P + 5 · µ 5 U ρ ∂t  ∂T  ~ ρcp + ρcp U · 5 T = 5 · (λ 5 T ) ∂t  ∂Y  ~ ρ + ρU · 5 Y = 5 · (ρDv 5 Y) ∂t

(3-8) (3-9) (3-10) (3-11)

~ , la presi´on P , la temperatura T y la fracci´on Las 4 variables desconocidas son la velocidad U m´asica de humedad Y. En este modelo las ecuaciones toman en consideraci´on los t´erminos difusivos. Las condiciones iniciales y de contorno que permiten resolver las ecuaciones planteadas previamente se presentan en la Tabla 3-10. Estas condiciones de contorno se plantean para cada una de las superficies en contacto con el aire interior, en la mayor´ıa de estas se

3.3 Modelo multidimensional

25

Ambiente exterior

Cubierta

Conveccion y radiacion

Irradiacion solar

Salida del aire Aire

Entrada del aire

Ventiladores

H Flujo de humedad

111111111111111 000000000000000 000000000000000 111111111111111

1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 Colector solar

Zona de secado

y x

Figura 3-5.: Planteamiento multidimensional.

Tabla 3-7.: Hip´otesis simplificatorias del aire en el modelo multidimensional. An´alisis bidimensional en el plano x, y. Fluido incompresible debido a las bajas velocidades del aire. Flujo en convecci´on forzada. Fluido newtoniano. Disipaci´on viscosa despreciable. Medio no participante en radiaci´on. Cambio en la energ´ıa cin´etica y potencial despreciable debido al flujo horizontal. Trabajo por fuerzas superficiales o de eje despreciable. Influencia despreciable de la presi´on sobre la temperatura. No hay l´ımite de saturaci´on del vapor de agua en el aire seco. No hay generaci´on de calor.

26

3 Formulaci´on matem´atica

Tabla 3-8.: Hip´otesis simplificatorias de la placa absorbente, el aislante y la cubierta en el modelo multidimensional. An´alisis bidimensional en el plano x, y. Superficie impermeable. Superficie gris y difusa. No hay generaci´on de calor.

Tabla 3-9.: Hip´otesis simplificatorias del producto en el modelo multidimensional. An´alisis bidimensional en el plano x, y. Se desprecia la capilaridad l´ıquida. El fen´omeno de evaporaci´on se presenta u ´nicamente en la superficie del producto. No existe deformaci´on por el secado. Superficie gris y difusa. No hay generaci´on de calor.

3.3 Modelo multidimensional

27

Tabla 3-10.: Condiciones iniciales y de contorno del aire interior en el modelo multidimensional. Condiciones iniciales ~ =0 U T = Tamb , P = Pamb , Y = Yamb (valores conocidos) Condiciones de contorno En la entrada del aire (ventiladores) u = 0, v = vo (valor conocido) T = Tamb , Y = Yamb (valores conocidos) En la salida del aire

v = 0, P = Pamb (valor conocido) ∂u ∂n

=

∂T ∂n

Con la cubierta pl´astica

~ =0 U

y la placa absorbente

∂P ∂n

=

∂Y ∂n

=

∂Y ∂n

=0

=0

T = Ts (continuidad en la temperatura) 5 · (λ 5 T ) + q˙Rad = 5 · (λs 5 T ) Con el producto

~ =0 U ∂P ∂n

=0

T = Tpr (continuidad en la temperatura) 5 · (λ 5 T ) + q˙Rad = 5 · (λpr 5 T ) + 5 · (ρDv 5 Y)hf g 5 · (ρDv 5 Y) = 5 · (ρpr Da 5 M ) Relaci´on higrosc´opica (isoterma de sorci´on)

presentan condiciones de Neumann en las cuales no existe un cambio en la variable en la direcci´on normal a la superficie. La convecci´on se considera como una transferencia de calor por conducci´on en la capa de fluido m´as pr´oximo a la superficie. El proceso de secado se plantea como una condici´on de contorno en el aire y el producto que debe cumplir el balance m´asico del sistema. Este balance se resuelve num´ericamente mediante un acoplamiento en el flujo de humedad. Se debe establecer la relaci´on higrosc´opica que existe entre la humedad del producto y la humedad del aire en la superficie por medio de la isoterma de sorci´on del producto.

28

3 Formulaci´on matem´atica Acoplamiento Presi´ on-Velocidad Las ecuaciones de conservaci´on de la masa (Ec. 3-8) y la cantidad de movimiento (Ec.3-9) presentan el acoplamiento Presi´on-Velocidad. Si se quieren encontrar los valores de velocidades, es necesario llevar a cabo un planteamiento que resuelva el campo de presiones que tambi´en es desconocido. No hay una ecuaci´on espec´ıfica para la presi´on. Para flujos incompresibles, la presi´on es el campo que hace cumplir la ecuacion de conservaci´on de la masa. Por lo cual se implementa el Fractional Step Method como m´etodo para encontrar los campos de velocidad y presi´on en el fluido. El fondo te´orico del FSM tiene que ver con el teorema de descomposici´on de Helmotz-Hodge, el cual asegura que las ecuaciones de cantidad de movimiento pueden dividirse en dos partes, un vector sin divergencia y un gradiente de un campo escalar y que esta descomposicion es u ´nica. Como resultado, se puede usar el teorema para plantear un m´etodo expl´ıcito de proyecci´on en el cual se obtiene la soluci´on de las ecuaciones de cantidad de movimiento avanzando en el tiempo con una soluci´on aproximada que no toma en consideraci´on el t´ermino de gradiente de presiones. Pero como esta velocidad predictora no puede satisfacer la condici´on de incompresibilidad del fluido, el campo de presi´on que arroja los valores m´ınimos que hacen cumplir la incompresibilidad se determina mediante la soluci´on de la ecuaci´on de Poisson. La soluci´on de este acoplamiento mediante el FSM es de forma expl´ıcita temporalmente. A continuaci´on se demuestra brevemente. Por definici´on sea Π(·) un operador de proyecci´on. Este proyecta cualquier campo vectorial a un campo sin divergencia. 5 · Π(a) = 0 Aplicando este operador a la ecuaci´on 3-9: ! !     ~ ρ∂ U ~ ·5 U ~ +5· µ5U ~ Π + 5P = Π − ρU ∂t Puesto que el campo de velocidades es incompresible, el t´ermino transitorio permanece igual al proyectarse. ! ~ ~ ∂U ∂U Π ρ =ρ ∂t ∂t El t´ermino de gradiente de presi´on desaparece al aplicarse la proyecci´on. ! Π 5P

=0

Como resultado de la aplicaci´on del operador de proyecci´on a la ecuaci´on de cantidad de movimiento, el t´ermino transitorio sin divergencia es igual a la aplicaci´on del operador de

3.3 Modelo multidimensional

29

proyecci´on en el lado derecho de la ecuaci´on:     ~ ρ∂ U ~ ~ ~ = Π − ρU · 5 U + 5 · µ 5 U ∂t

!

Si ahora se despeja en la ecuaci´on de cantidad de movimiento, el t´ermino transitorio, que es igual a la aplicaci´on del operador de proyecci´on en el t´ermino difusivo y convectivo de la ecuaci´on: !         ~ ·5 U ~ +5· µ5U ~ − Π − ρU ~ ·5 U ~ +5· µ5U ~ − ρU = 5P se observa que tiene que haber un t´ermino que haga cumplir la condici´on de incompresibilidad para los t´erminos difusivos y convectivos planteada por el operador, por lo cual ese t´ermino 5P sale de forma natural para satisfacerla. El rol del gradiente de presi´on en flujos incompresibles es proyectar (o corregir) el campo vectorial de velocidades a un espacio sin divergencia. El campo vectorial que debe ser proyectado por el gradiente de presi´on se define ahora como:     ~ ) = − ρU ~ ·5 U ~ +5· µ5U ~ R(U (3-12) por lo que la ecuaci´on de momentum puede ser reescrita de la siguiente forma: ~ ρ∂ U ~ ) − 5P = R(U ∂t

(3-13)

Acoplamiento Temperatura-Velocidad Las propiedades f´ısicas: calor espec´ıfico, viscosidad din´amica, conductividad y viscosidad del aire h´ umedo dependen de la temperatura. Por lo tanto influir´an en la velocidad al estar presentes en las ecuaciones de conservaci´on de la cantidad de movimiento y de la energ´ıa. Este acoplamiento se resuelve de forma temporal expl´ıcita en el m´etodo de soluci´on. Acoplamiento Temperatura-Humedad Este acoplamiento se presenta cuando las propiedades f´ısicas del aire h´ umedo son dependientes de la humedad o temperatura. En este caso la difusividad del vapor de agua depende de la temperatura del aire y por tanto existe este acoplamiento impl´ıcito temporalmente.

3.3.3.

Ecuaciones gobernantes de los elementos s´ olidos

La ecuaci´on gobernante de los materiales s´olidos en el modelo multidimensional es la ecuaci´on de la energ´ıa: ∂T ρs cps = 5 · (λs 5 T ) (3-14) ∂t

30

3 Formulaci´on matem´atica

Tabla 3-11.: Condiciones iniciales y de contorno de los s´olidos en el modelo multidimensional. Condiciones iniciales

T = Tamb (valor conocido)

Condiciones de contorno Cubierta pl´astica con el aire exterior

5 · (λs 5 T ) + q˙Rad = α(T − Tamb )

Cubierta pl´astica y placa absorbente T = Ts (continuidad en la temperatura) con el aire interior

5 · (λ 5 T ) + q˙Rad = 5 · (λs 5 T )

Aislante con el aire exterior

5 · (λs 5 T ) + q˙Rad = α(T − Tamb )

Superficie de contacto interior

Tpr = Ts (continuidad en la temperatura)

entre el aislante y producto

5 · (λpr 5 T ) = 5 · (λs 5 T )

Esta ecuaci´on es la misma planteada para el modelo tramo a tramo. Se debe resolver mediante las condiciones iniciales y de contorno adecuadas planteadas en la Tabla 3-11. Estas condiciones bidimensionales son similares a las planteadas en el modelo tramo a tramo.

3.3.4.

Ecuaciones gobernante del producto

Las ecuaciones gobernantes del producto en el modelo multidimensional son la de la energ´ıa y de la humedad. ∂T = 5 · (λs 5 T ) ∂t

(3-15)

∂M = 5 · (ρs Da 5 M ) ∂t

(3-16)

ρs cps ρs

Las condiciones iniciales y de contorno se plantean en la Tabla 3-12.

Acoplamiento Temperatura-Humedad En el producto se presenta un cambio en la energ´ıa interna del t´ermino transitorio debida al cambio en la humedad. Adem´as, la difusividad del agua en el producto depende de la temperatura. Este acoplamiento se resuelve de forma impl´ıcita.

3.4 Formulaci´on general

31

Tabla 3-12.: Condiciones iniciales multidimensional. Condiciones iniciales

y

de

contorno

del

producto

en

el

modelo

T = Tamb , M = Mo (valores conocidos)

Condiciones de contorno Superficies de contacto interior Tpr = Ts (continuidad en la temperatura) del producto

5 · (λpr 5 T ) = 5 · (λs 5 T ) ∂M ∂n

Producto con el aire interior

=0

T = Tpr (continuidad en la temperatura) 5 · (λ 5 T ) + q˙Rad = 5 · (λpr 5 T ) + 5 · (ρDv 5 Y)hf g 5 · (ρDv 5 Y) = 5 · (ρpr Da 5 M ) Relaci´on higrosc´opica (isoterma de sorci´on)

3.4.

Formulaci´ on general

3.4.1.

Ecuaci´ on general de convecci´ on - difusi´ on

Las ecuaciones gobernantes de los modelos se pueden generalizar en la ecuaci´on de convecci´on - difusi´on, cuyos principios gobiernan los fen´omenos f´ısicos presentes en este problema [35, 10]. 
∂φ  ~ ρ + ρU · 5 φ = 5 · Γ 5 φ + ξ (3-17) ∂t Cada uno de los t´erminos de la Ec. 3-17 se describen en la Tabla 3-13. Los valores de φ, Γ y ξ se presentan en la Tabla 3-14. Para los materiales s´olidos se desprecian los t´erminos convectivos al no existir un flujo de material en el interior de los mismos. Siendo ρs la densidad de los s´olidos en el caso de la ecuaci´on general de convecci´on - difusi´on.

3.4.2.

Termodin´ amica del aire h´ umedo

Se modela el flujo de aire dentro del secador como un sistema compuesto por aire seco y vapor de agua, describi´endolo mediante la densidad del aire h´ umedo ρ. La densidad parcial del vapor de agua en el aire se define mediante la fracci´on m´asica del vapor de agua en el flujo, Y, multiplicada por la densidad del aire h´ umedo [41]. El ratio de humedad o humedad absoluta, w, se define como la relaci´on entre la masa de vapor y la masa de aire seco [41]. Se puede plantear la fracci´on m´asica de humedad en t´erminos de la humedad absoluta a partir de la Ec. 3-18. ρ − ρa Y= (3-18) ρa (1 + w)

32

3 Formulaci´on matem´atica

Tabla 3-13.: T´erminos de la ecuaci´on general de convecci´on - difusi´on. Nombre T´ermino acumulativo T´ermino convectivo T´ermino difusivo

Definici´on ρ ∂φ ∂t  ~ ·5 φ ρU
5· Γ 5φ 

T´ermino fuente

ξ

Tabla 3-14.: Variables de la ecuaci´on general de convecci´on - difusi´on. Ecuaci´on

φ

Γ

ξ

Continuidad

1

0

0

Momento en la direcci´on x

u

µ

− ∂P ∂x

Momento en la direcci´on y

v

µ

− ∂P ∂y

cp T

λ cp

g˙

Concentraci´on de humedad en el aire

Y

ρDv

0

Concentraci´on de humedad en el s´olido

M

ρ s Da

0

Energ´ıa

3.4 Formulaci´on general El rango de presiones en el secador solar es muy bajo, por lo cual el aire y el vapor de agua se consideran gases ideales. Se puede reemplazar la densidad descrita en la ecuaci´on de los gases considerando que la masa molar del agua es Mv = 0,018, la masa molar de aire es Ma = 0,029 y la suma de las presiones parciales del vapor Pv y del aire seco Pa son la presi´on total del gas P . 0,62198Pv w= (3-19) P − Pv Al definir la humedad relativa RH como la relaci´on entre la presi´on de vapor y la presi´on de saturaci´on de vapor a las mismas condiciones Psv se puede encontrar la ecuaci´on de humedad absoluta del aire h´ umedo en funci´on de la humedad relativa. Esta relaci´on se describe por medio de la Ec. 3-20. 0,62198Psv RH w= (3-20) P − Psv RH

3.4.3.

Ecuaciones gobernantes de la radiaci´ on

La radiaci´on t´ermica junto con la convecci´on son las condiciones de contorno m´as importantes de la ecuaci´on de la energ´ıa de los elementos s´olidos. Principalmente la radiaci´on solar, la cual es el factor exterior al secador que tiene mayor influencia su comportamiento al aportar la energ´ıa necesaria en el proceso de secado. Al suponer que el fluido no participa en la radiaci´on, el an´alisis de radiaci´on t´ermica de las superficies de los s´olidos debe relacionarse con las dem´as superficies participantes. Para esto se debe realizar un an´alisis cuantitaivo de la radiaci´on t´ermica involucrada en el dominio del problema mediante la modelaci´on de este fen´omeno. El espectro de radiaci´on electromagn´etica se puede dividir en zonas de longitudes de onda bajas, altas y de radiaci´on t´ermica, comprendida entre las longitudes de onda 0,1µm y 100µm. Dentro de la zona de radiaci´on t´ermica se distinguen varias franjas; la ultravioleta, con longitudes de onda menores a 0,4µm; la visible, con longitudes de onda entre 0,4µm y 0,7µm; y la infrarroja, con longitudes de onda mayores a 0,7µm. La radiaci´on solar total sol q˙Rad se modela como la radiaci´on t´ermica comprendida en la franja de longitudes de onda de 0,3µm a 0,7µm, al suponer que las caracter´ısticas de emisi´on del sol se aproximan a la de un cuerpo negro a una temperatura de aproximadamente 5800K que tiene un m´aximo de emisi´on en la longitud de onda de 0,5µm. La cubierta pl´astica de polietileno negro estabilizado a la radiaci´on ultravioleta refleja todo el espectro de radiaci´on t´ermica menor a 0,3µm, adem´as los valores emitidos por la radiaci´on solar en este espectro son m´ınimos al ser reflejados por la atm´osfera terrestre, por lo tanto la radiaci´on ultravioleta no se considera en el an´alisis de radiaci´on. La radiaci´on t´ermica comprendida en la franja infrarroja cumple un papel fundamental en la descripci´on de las interacciones de los s´olidos del secador con el ambiente exterior, principalmente en la cuantificaci´on de las p´erdidas t´ermicas radiativas. La radiaci´on se describe por lo tanto como una condici´on de contorno de la ecuaci´on de la

33

34

3 Formulaci´on matem´atica energ´ıa los elementos s´olidos mediante el m´etodo de las radiosidades, separando el an´alisis de las radiosidades infrarrojas del an´alisis de las radiosidades solares [22]. infra sol q˙Rad = q˙Rad + q˙Rad

(3-21)

Las radiosidades solares no dependen del valor de temperatura de la superficie, simplificando su an´alisis. Por el contrario, las radiosidades infrarrojas dependen de la cuarta potencia de la temperatura de la superficie participante y est´an ligadas no linealmente a la soluci´on del campo de temperatura en los s´olidos. El m´etodo de las radiosidades indica que el calor neto de radiaci´on en la superficie participante es la diferencia entre el valor de radiosidad ˙i,j saliente y el valor de irradiaci´on g˙ i,j entrante. Por notaci´on se indica el super´ındice sol para el espectro solar del an´alisis de radiosidades. q˙Rad = ˙ − g˙ + ˙sol − g˙ sol

(3-22)

Seg´ un el m´etodo de las radiosidades, para la banda infrarroja de radiaci´on t´ermica la radiosidad de la superficie i, j depende de la temperatura de la superficie por medio de la Ley de Stefan-Boltzman y de la cantidad de irradiaci´on reflejada por esta: 4 ˙i,j = εi,j σTi,j + (1 − εi,j )g˙ i,j

(3-23)

La irradiaci´on infrarroja que incide sobre la superficie i, j depende de las dem´as superficies participantes por medio de la configuraci´on geom´etrica del recinto: g˙ i,j =

N X

F[i,j][n,j] ˙n,j

(3-24)

1

La radiaci´on solar se supone constante e incidente verticalmente al secador, por lo tanto, los valores de irradiaci´on exterior se toman en cuenta u ´nicamente en la cubierta horizontal exterior. Para la superficie interior Si,j de la cubierta pl´astica transparente mostrada en la Figura 3-6 se debe considerar el calor transmitido de la irradiaci´on solar incidente sobre la cara exterior de la superficie, que sumada con la irradiaci´on reflejada componen la radiosidad de la superficie: sol sol sol ˙ sol (3-25) ˙sol i,j i,j = Ri,j g˙ i,j + TRi,j g∗ sol sol g˙ i,j indica la cantidad de irradiaci´on solar reflejada por la superficie. El El t´ermino Ri,j sol ˙ sol on incidente en la cara anterior de la superficie que t´ermino TRi,j g∗ i,j indica la irradiaci´ atraviesa el material. Donde la transmisividad en la banda solar TRsol i,j de la superficie transsol sol en la parente i, j se puede escribir en t´erminos de la absortividad Ai,j y refectividad Ri,j banda solar de la superficie. sol sol TRsol (3-26) i,j = (1 − Ri,j − Ai,j ) sol sol sol sol ˙ sol ˙sol i,j i,j = Ri,j g˙ i,j + (1 − Ri,j − Ai,j )g∗

(3-27)

3.4 Formulaci´on general

35

111111111111111111 000000000000000000 000000000000000000Si,j 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 sol sol 000000000000000000 111111111111111111 TR i,j g*i,j 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 sol sol 000000000000000000 111111111111111111 R i,j gi,j 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 j sol 111111111111111111 000000000000000000 i,j 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 sol g 000000000000000000 111111111111111111 i,j 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 j 000000000000000000 111111111111111111 i,j 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 g

i,j

Figura 3-6.: Radiosidades solares e infrarrojas. Cuando la superficie no es transparente, como en la placa absorbente o el producto, se desprecia el t´ermino de transmisi´on. La irradiaci´on solar de la superficie i, j es la suma de las radiosidades de otras superficies participantes interactuando con ella: sol g˙ i,j

=

N X

F[i,j][n,j] ˙sol i,j

(3-28)

1

La interacci´on entre las superficies se define geom´etricamente mediante los factores de vista F[i,j][n,j] . Para casos bidimensionales los factors de vista entre las N superficies interiores se puede calcular mediante la expresi´on de Hottel 3-29 [22]. P P Hilos cruzados − Hilos no cruzados S2 F[2][1] = S1 F[1][2] = (3-29) 2 desde la superficie 1 abandona la radiaci´on t´ermica que incide sobre la superficie 2. Este an´alisis resulta en un sistema de ecuaciones que involucra las radiosidades de todas las superficies participantes en la radiaci´on.

4. Propiedades f´ısicas y coeficientes emp´ıricos En este cap´ıtulo se presentan las propiedades f´ısicas y coeficientes emp´ıricos encontrados y validados en la literatura, los cuales se usan en la descripci´on de los estados e interacciones de los flu´ıdos y los s´olidos y completan la definici´on del sistema de ecuaciones gobernantes.

4.1.

Coeficientes emp´ıricos

Para obtener los coeficientes de las ecuaciones de transferencia de calor por convecci´on y de fricci´on existen en la literatura correlaciones emp´ıricas encontradas mediante trabajos te´oricos y experimentales [22, 7]. Estas relaciones emplean grupos adimensionales para solucionar los problemas. Las propiedades f´ısicas necesarias para evaluar los coeficientes emp´ıricos se determinan a una temperatura promedio entre la temperatura de la superficie y la temperatura del flujo de aire (temperatura de pel´ıcula).

4.1.1.

Coeficiente de transferencia de calor por convecci´ on forzada usado en el modelo tramo a tramo

Se debe establecer el coeficiente de transferencia de calor por convecci´on forzada que se usa en la descripci´on de la transferencia de calor entre el aire interior y las superficies interiores del t´ unel en el modelo tramo a tramo. Al no existir una correlaci´on emp´ırica para el flujo forzado dentro de ´areas transversales triangulares no equil´ateras, se usan las expresiones propuestas para tubos circulares con la longitud caracter´ıstica adecuada (di´ametro hidra´ ulico). Para el caso de flujo laminar se usa la expresi´on emp´ırica de conductos de secci´on circular con valor de temperatura constante en la pared [22]. Nu = 3,66

(4-1)

Para flujo turbulento se usa la expresi´on propuesta por Dittus-Boelter para tubos circulares con flujo turbulento [22]. Nu = 0,023 Re0,8 Pr0,4

(4-2)

El coeficiente de transferencia de calor por convecci´on es el mismo para todo el per´ımetro interior del t´ unel.

4.1 Coeficientes emp´ıricos

4.1.2.

37

Coeficiente de transferencia de calor por convecci´ on natural

En el modelo tramo a tramo y en el modelo multidimensional se presenta una convecci´on natural con el aire ambiente exterior al secador. Distintos casos de convecci´on natural suceden en las superficies exteriores, por lo cual se debe usar la correlaci´on emp´ırica adecuada en cada caso. Para el caso general de convecci´on natural en una superficie se usa la expresi´on de Mc Adams [22]: Nu = C(Gr · Pr)m K

(4-3)

Los valores de C, m y K dependen del r´egimen de flujo y de la configuraci´on geom´etrica de la superficie. A continuaci´on se muestran los distintos casos que se presentan en los modelos del secador solar: • Para las superficies verticales en el modelo multidimensional, se usa la relaci´on para una placa calentada vertical cuyos coeficientes se presentan en la Tabla 4-1:

Tabla 4-1.: Coeficientes para el caso de placa calentada vertical [49]. R´egimen Laminar 109 > Gr · Pr Turbulento 109 < Gr · Pr C

0,8

m

0,25

K

0,0246 0,4

!0,25

!0,4

1 Pr 6

1 1+(1+ √1 )2

2

(1+0,494 Pr 3 )

Pr

• Para la cubierta pl´astica en el modelo tramo a tramo, es necesaria la relaci´on de placa calentada moderadamente inclinada mirando hacia arriba [49], esta relaci´on es la multiplicaci´on del coeficiente K de la relaci´on para placa calentada vertical, por el coseno del ´angulo de inclinaci´on de la cubierta pl´astica. cos θ = q

H

(4-4)

H 2 + ( W2 )2

Todos los dem´as valores de los coeficientes permanecen iguales. • Para la cubierta pl´astica horizontal en el modelo multidimensional se usa la relaci´on de placa calentada horizontal mirando hacia arriba cuyos coeficientes se muestran en la Tabla 4-2.

38

4 Propiedades f´ısicas y coeficientes emp´ıricos

Tabla 4-2.: Coeficientes para el caso de placa calentada horizontal [49]. R´egimen Laminar 109 > Gr · Pr

Turbulento 109 < Gr · Pr

C

0,54

0,14

m

0,25

0,333

K

1

1

• Para el aislante inferior se usa la relaci´on de placa calentada horizontal mirando hacia ´ abajo [49]. Unicamente para flujo laminar (109 > Gr · Pr): C = 0,27, m = 0,25, K = 1. Aproxim´andose al caso laminar si se presenta un r´egimen turbulento.

4.1.3.

Coeficiente de fricci´ on

En la evaluaci´on del coeficiente de fricci´on al interior del tunel en el modelo tramo a tramo, se usa la expresi´on semi-emp´ırica obtenida para flujos viscosos incompresibles al no ser un flujo supers´onico [49]. Las relaci´on depende de la rugosidad de las paredes del ducto, as´ı como del r´egimen de flujo al interior del conducto. Para una secci´on circular se usa la relaci´on: f = C Rem

(4-5)

Donde los coeficientes C y m para una rugosidad superficial de una superficie suave aproximada a 0.004 se muestran en la Tabla 4-3. Tabla 4-3.: Coeficientes para la relaci´on de fricci´on [49]. R´egimen Re < 2000

4.2.

5 · 103 < Re < 3 · 104

3 · 104 < Re < 3 · 106

C

16

0,096

0,078

m

−1

−0,25

−0,25

Propiedades f´ısicas

Propiedades f´ısicas de fluidos Para describir las propiedades f´ısicas del fluido se usan las relaciones mostradas en la Tabla 44. La difusividad se usa para calcular los coeficientes difusivos en la ecuaci´on de la humedad. Las expresiones para la difusividad se obtienen a partir de la ecuaci´on de Arrhenius. Las relaciones emp´ıricas de presi´on de saturaci´on de vapor son u ´tiles en la evaluaci´on del ratio de humedad en funci´on de la humedad relativa del aire. En la Figura 4-1 se presenta una gr´afica de la presi´on de saturaci´on del vapor con respecto a la tempertaura seg´ un las relaciones emp´ıricas empleadas.

4.2 Propiedades f´ısicas

39

Tabla 4-4.: Propiedades f´ısicas de fluidos [47].

Propiedad Propiedades del agua l´ıquida   kg ρw m 3  2 Dw ms   J hf g kg   J cpw kg K Propiedades del vapor de agua  2 Dv ms   cpv kgJ K   Psv P a (233,1 < T < 273,15) (610,78 < Psv ∨ Pv < 12,83)   Psv P a (273,15 < T < 336,15) (610,78 < Psv ∨ Pv < 22670,52)   Psv P a (336,15 < T < 383,15) (22670,52 < Psv ∨ Pv < 143292,9) Propiedades del aire h´ umedo   µ mkgs   W λ mK  cp

J kg K



Propiedades del aire seco   kg ρa m 3   µa mkgs   λa mWK   cpa kgJ K

Expresi´on y referencia ρw = 658,2 + 2,509 T − 4,606 · 10−3 T 2

[16]

Dw = 2,16 · 10−7 exp( −1119 ) T

[16]

hf g = 3161360 − 2460 T

[16]

cpw = 4181

[16]

T 2 Dv = 2,92 · 10−5 ( 313 )

[16]

cpv = 1873

[22]

  −273,15) Psv = 610,78 exp 21,874(T 0,9615 T +2,3662

[41]

  17,269(T −273,15) = 610,78 exp T −35,85

[41]

  17,269(T −273,15) Psv = 610,78 exp 1,01585 T −41,179

[41]

µ = 1,718 · 10−5 + 4,62 · 10−8 (T − 273)

[45]

λ = 0,0244 + 0,7673 · 10−4 (T − 273)

[45]

Psv

cp = 999,2 + 0,1434(T − 273) + 1,101 · 10−4 (T − 273)2 −6,7581 · 10−8 (T − 273)3 ρa = µa =

P 287,14 T

2,5393·10−5

√

[45]

[47] T 273

1+ 122 T

[47]

λa = 0,159 · 10−2 + 0,912 · 10−4 T − 0,268 · 10−7 T 2

[47]

cpa = 1037,6 − 0,2117 T + 3,947 · 10−4 T 2

[47]

40

4 Propiedades f´ısicas y coeficientes emp´ıricos 140000

Presion de saturacion de vapor (Pa)

120000

100000

80000

60000

40000

20000

0 220

240

260

280

300 Temperatura (K)

320

340

360

380

Figura 4-1.: Presi´on de saturaci´on de vapor. Propiedades f´ısicas de s´ olidos Las propiedades f´ısicas de los s´olidos se usan en la descripci´on energ´etica e higrosc´opica, e incluyen las caracter´ısticas radiativas de las superficies. Las propiedades se presentan en la Tabla 4-5. Estas se han propuesto en la literatura como un valor promedio al tener en cuenta que su variaci´on con respecto a variables como la temperatura, la composici´on o el estado del material son m´ınimas. Diversos estudios [13, 2] contienen las propiedades f´ısicas de la planta arom´atica menta, las cuales se han usado satisfactoriamente y pueden aproximar las propiedades f´ısicas del Toronjil, teniendo en cuenta que su composici´on y comportamiento vegetal son muy similares en comparaci´on con otros productos org´anicos. Temperatura del cielo La temperatura del cielo es u ´til en el an´alisis de las radiosidades infrarrojas con el ambiente exterior [32], se calcula como: Tc = 0,552(Tamb − 273,15)1,5 + 273,15

(4-6)

4.2 Propiedades f´ısicas

41

Tabla 4-5.: Propiedades f´ısicas del los s´olidos. Placa colectora Valor   kg 8055 ρpl m 3   λpl mWK 16,26   480 cppl kgJ K

Referencia

Valor Referencia

[22]

Toronjil   kg ρpr m 3   W λpr m K   cppr kgJ K

[22] [22]

920

[22]

0,495

[22]

3600

[22]

εpl

0,17

[6]

εpr

0,96

[22]

Asol pl

0,81

[6]

Asol pr

0,6

[22]

sol Rpl

0,19

[6]

sol Rpr

0,4

[22]

Aislante   kg ρil m 3   λil mWK   J cpil kg K

Cubierta pl´astica 290

[22]

0,05

[22]

1320

[22]

εil

0,5

[22]

εpc

0,63

[21]

Asol il

0,5

[22]

Asol pc

0,05

[21]

Rilsol

0,5

[22]

sol Rpc

0,15

[21]

5. Isoterma de sorci´ on y cin´ etica de secado 5.1.

Isoterma de sorci´ on

La descripci´on de la relaci´on humedad en equilibrio mediante el modelo de isoterma de sorci´on de Halsey fue investigada y definida experimentalmente por Cuervo en 2011 para el secado de hojas de Toronjil [11]. Este modelo describe adecuadamente la curva de la isoterma de sorci´on del Toronjil a una temperatura del aire de 313K. Los coeficientes encontrados experimentalmente por Cuervo se muestran en la Tabla 5-1. Meq = Xm

−A
n1 log10 (aw )

(5-1)

La relaci´on empleada est´a definida para 313 K, pero tal como se observa en la Figura 51, la isoterma ajusta los resultados para el rango de temperaturas 298 K − 333 K al no presentarse una variaci´on significativa de los valores de humedad. Cuervo report´o un ajuste de R2 = 0,9774 para una humedad relativa de hasta 80 %, pero el modelo no garantiza una exactitud semejante para valores mayores. Tabla 5-1.: Valores de los par´ametros del modelo de isoterma de sorci´on de Toronjil [11]. Modelo

Halsey

5.2.

Constante

313 K

Xm

0,1619

A

0,1496

n

1,517

χ2

0,0007

R2

0,9774

Cin´ etica de secado

La cin´etica de secado en el modelo tramo a tramo se define mediante una relaci´on emp´ırica de capa fina o mediante la analog´ıa de Chilton-Colburn. En ambos casos es necesario emplear la isoterma de sorci´on para describir el estado higrosc´opico del producto.

5.2 Cin´etica de secado

43

Humedad de equilibrio (kg H2O/ kg Producto seco)

0.4

0.35

Halsey 313K Experimental 298K Experimental 313K Experimental 323K Experimental 333K

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4 0.5 Humedad relativa del aire

0.6

0.7

0.8

0.9

Figura 5-1.: Isoterma de sorci´on.

5.2.1.

Relaci´ on semi-emp´ırica de secado de capa fina

Existen diferentes modelos que describen el ratio de secado del Toronjil (ver Tabla 2-2). Seg´ un los trabajos experimentales realizados por Cuervo, uno de los m´as ajustados es el de Lewis [11]. M = (Mo − Meq ) exp(−kt) + Meq

(5-2)

Los coeficientes del modelo de Lewis de cin´etica de secado de capa fina de Toronjil encontrados experimentalmente por Cuervo se muestran en la Tabla 5-2. Las diferentes curvas de secado para cada una de las temperaturas se muestran en la Figura 5-2. Para valores de temperatura diferentes a los establecidos por las curvas de cin´etica de secado se interpola linealmente.

5.2.2.

Coeficiente convectivo de transferencia de masa

Para el modelo tramo a tramo de analog´ıa de Chilton - Colburn la rata de masa transferida al aire J˙ puede ser calculada multiplicando el coeficiente convectivo de transferencia de masa β con la fuerza motr´ız y el area considerada en la superficie S [44]. En este caso se define la fuerza motr´ız en t´erminos de la fracci´on de humedad del aire (ver Tabla 2-3). J˙ = βρ(Y − Y∞ )S

(5-3)

44

5 Isoterma de sorci´on y cin´etica de secado

Tabla 5-2.: Valores de los par´ametros del modelo de cin´etica de secado de capa fina de Toronjil [11]. Modelo

Constante

303 K

313 K

323 K

333 K

k

0,0011

0,003

0,0062

0,0123

χ2

0,0675 0,0107

0,0167

0,0015

R2

0,987

0,9926

0,9989

Lewis

0,9969

1 Lewis 303K Lewis 313K Lewis 323K Lewis 333K

0.9 0.8

Ratio de secado

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

10000

20000

30000

40000

50000 60000 Tiempo (s)

70000

Figura 5-2.: Cin´etica de secado.

80000

90000

100000

5.2 Cin´etica de secado

45

Para calcular el valor del coeficiente de transferencia de masa por convecci´on se usan correlaciones emp´ıricas encontradas mediante trabajos te´oricos y experimentales que emplean grupos adimensionales para solucionar las ecuaciones de transporte [22, 7, 44]. Uno de estos n´ umeros adimensionales es el n´ umero de Sherwood Sh, an´alogo al n´ umero de Nusselt Nu, el cual indica la relaci´on entre la difusi´on y la convecci´on en el fluido en el caso de difusi´on m´asica. El n´ umero de Schmidt Sc, por otra parte, indica la relaci´on entre la rata de difusi´on por la viscosidad y la rata de difusi´on molecular o m´asica. Nu =

αL λ

−→ Sh =

βL D

Cp µ ν −→ Sc = λ D Donde L es la logitud caracter´ıstica, D es la difusividad y ν es la viscosidad cinem´atica. Muchos estudios se han llevado a cabo para determinar las correlaciones para los coeficientes convectivos para diferentes geometrias, regimenes de flujo y aplicaciones. La correlaci´on emp´ırica para encontrar el coeficiente superficial de transferencia de masa por convecci´on queda definida por la Ec. 5-4. La analog´ıa establece que para cada caso los coeficientes C, m y n de las correlaciones emp´ıricas para la transferencia de calor son los mismos en la transferencia de masa. Sh = C · Rem · Scn (5-4) Pr =

6. Metodolog´ıa de la soluci´ on num´ erica Las ecuaciones gobernantes de los modelos planteados se resuelven mediante t´ecnicas num´ericas. En este cap´ıtulo se demuestra la discretizaci´on de las ecuaciones gobernantes por el m´etodo de los vol´ umenes finitos. Se describen los algor´ıtmos de soluci´on que contienen el mapa de c´alculo de las relaciones y los tratamientos num´ericos adecuados para resolver el sistema de ecuaciones algebra´ıcas. Adem´as, se realiza un trabajo de verificaci´on de los tratamientos num´ericos implementados en la soluci´on de las ecuaciones gobernantes.

6.1.

Modelo tramo a tramo

El m´etodo de soluci´on consiste en discretizar todo el dominio del t´ unel de secado en tramos, los cuales funcionan como vol´ umenes finitos [8]. El m´etodo resuelve los valores en cada tramo hasta completar la longitud total del t´ unel en la direcci´on del flujo. Los valores soluci´on de las ecuaciones de un tramo, son los valores de entrada en el siguiente. Se deben por tanto conocer las condiciones de entrada en el primer tramo. Estos valores se especifican en las condiciones iniciales y de contorno del modelo.

En la Figura 6-1 se muestra la discretizaci´on espacial del secador solar. En la figura se resalta un tramo interior, la l´ınea punteada es el volumen del aire interior en el tramo. Para el aire, los vol´ umenes finitos abarcan toda el ´area transversal interior del t´ unel. El aire tiene Nx vol´ umenes de longitud 4x. La longitud del volumen depende del n´ umero de tramos en los cuales se realice el an´alisis y se divida la longitud total del secador. La discretizaci´on de las ecuaciones gobernantes del aire interior es unidimensional en la direcci´on x, obteniendo los valores discretos en los nodos situados en las superficies del volumen del aire. Para los s´olidos se realiza adicionalmente una discretizaci´on en la direcci´on y en cada tramo. La discretizaci´on incluye la placa absorbente o el producto en contacto con el aire interior y el aislante inferior en contacto con el ambiente exterior. Los s´olidos tienen jp − 1 vol´ umenes de longitud 4y. El nodo de la cubierta se designa con el sub´ındice m.

6.1 Modelo tramo a tramo

47

m

i=1

2

3

i

Nx

i+1

jp j ja j=1

∆y

i=1 2

y

3

Nx−1

i i+1 ∆x

Lcol

Lsec

x

Figura 6-1.: Discretizaci´on tramo a tramo.

6.1.1.

Aire interior Pi

Ti,m

τ i,m qconv

Ti Si

Ti+1 S i+1 ∆x y qconv

x z

τi,jp

Ti,jp

Figura 6-2.: Volumen discretizado del aire interior.

Un volumen discretizado del aire interior se muestra en la Figura 6-2. Las superficies transversales del volumen se definen con el vector normal a cada cara:

48

6 Metodolog´ıa de la soluci´on num´erica Superficie Si+1 : ~ni+1 Superficie Si :

  1 =  0

  −1 ~ni =   0

El volumen se calcula como Vi = Si · 4x. Se define la superficie en contacto con la cubierta como Si,m y la superficie en contacto con la placa absorbente o producto como q Si,jp (ver Figura 6-3). Estas superficies tienen un ´area de Si,jp = W ·4x y Si,m = 4x·2·

( W2 )2 + H 2 .

C S i,m* S i,m

S

i,jp 111111111111111 000000000000000 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 S 1,i

y

z

Figura 6-3.: Vista transversal del t´ unel de secado para el modelo tramo a tramo. Para discretizar las ecuaciones gobernantes del aire interior (Ec. 3-1, 3-2, 3-3 y 3-4) se deben integrar en el volumen de control considerando las condiciones iniciales y de contorno planteadas. La demostraci´on de la integraci´on de la ecuaci´on de la convecci´on - difusi´on se muestra en el Anexo A, resultando en la discretizaci´on general. La notaci´on con sub´ındices para indicar la posici´on y con super´ındices para el instante de tiempo es empleada en las ecuaciones discretizadas. Los valores de las variables que se eval´ uan en el centro geom´etrico del volumen son el promedio de los valores conocidos en las superficies del volumen: n+1 φn+1 i+1 + φi n+1 ¯ φ = 2

φn + φni φ¯n = i+1 2 Y estos valores se designan con una barra de promedio.

(6-1) (6-2)

6.1 Modelo tramo a tramo

49

Ecuaci´ on de continuidad Con la ecuaci´on de continuidad se encuentra la componente de velocidad en el eje x en la superficie i + 1 del volumen. n+1 {ρuS}n+1 =0 i+1 − {ρuS}i

(6-3)

por tanto la velocidad queda en t´erminos de: un+1 i+1 =

{ρuS}n+1 i n+1 {ρS}i+1

(6-4)

Ecuaci´ on de la cantidad de movimiento en la direcci´ on x La discretizaci´on del t´ermino convectivo se discretiza como se muestra en el Anexo A. El t´ermino de gradiente de la presi´on se discretiza de la siguiente forma: Z

Z − 5 P dV =

Z

Z

−P ~ndS =

V

S

P dS − i

P dS

(6-5)

i+1

Z −P ~ndS ≈ {P S}i − {P S}i+1

(6-6)

S

El t´ermino de la divergencia de las tensiones cortantes se discretiza igualmente aplicando el teorema de la divergencia sobre valores de tensi´on cortante que se presentan en las superficies laterales del conducto. Z Z Z Z 5 · (~τ )dV = ~τ · ~ndS = − τ dS − τ dS (6-7) V

S

i,m

i,jp

Z ~τ · ~ndS ≈ −{τ S}i,m − {τ S}i,jp

(6-8)

S

La tensi´on cortante τ puede desbribirse en t´erminos del coeficiente de fricci´on f , el cual se calcula a trav´es de correlaciones emp´ıricas [7]. τ =f

ρ¯u¯2 2

(6-9)

Sustituyendo los t´erminos y reordenando: n+1 2

n+1 Pi+1

=

{P S}n+1 − fi,jp ρ¯u¯ i

2

n+1 2

Si,jp − fi,m ρ¯u¯

2

Si,m + {uρuS}n+1 − {uρuS}n+1 ¯u¯ i i+1 − ρ

n+1 −¯ un

4t

Vi

Si+1 (6-10)

50

6 Metodolog´ıa de la soluci´on num´erica Ecuaci´ on de la energ´ıa El flujo de calor que entra a trav´es de las superficies del volumen de control q˙ es un flujo de calor debido a la convecci´on con las superficies interiores del t´ unel Si,jp y Si,m . n+1 n+1 q˙ = αI (Ti,jp − T¯n+1 ) + αI (Ti,m − T¯n+1 )

(6-11)

Temperatura

Siendo αI el coeficiente de transferencia por convecci´on entre las superficies del t´ unel y el aire interior. Este coeficiente se eval´ ua de las relaciones emp´ıricas planteadas en el cap´ıtulo de correlaciones emp´ıricas, con las condiciones del aire y los s´olidos en el tramo. Definiendo como positivo el calor de convecci´on entrante, Ti,m es la temperatura de la cubierta, Ti,jp es la temperatura de la superficie inferior y T¯ es la temperatura media del volumen en el tramo considerado.

Ti,j Ti,jp

hf

hg hv Entalpia

Figura 6-4.: Diagrama de entalp´ıa del agua. En la evaporaci´on el agua l´ıquida deja el producto causando una reducci´on en la entalp´ıa del producto, esta agua se evapora y entra a la corriente de aire alcanzando sus condiciones termodin´amicas. El calor g˙ asociado al proceso de alcanzar las condiciones del aire es la diferencia entre la entalp´ıa del vapor en el aire y la entalp´ıa del vapor saturado hv − hg ˙ debe tener una carga (ver Figura 6-4). Por lo tanto, el flujo m´asico de agua evaporada J, n+1 energ´etica de cpv (T¯n+1 − Ti,jp ), siendo Ti,jp la temperatura de la superficie del producto. Al integrar la ecuaci´on de la energ´ıa sobre el volumen, la ecuaci´on discretizada de la energ´ıa se

6.1 Modelo tramo a tramo

51

plantea de la siguiente forma: ρ¯c¯p

T¯n+1 − T¯n n+1 Vi + {uρcp T S}n+1 = i+1 − {uρcp T S}i 4t

n+1 n+1 ˙ pv (T¯n+1 − T n+1 ) αI (Ti,jp − T¯n+1 )Si,jp + αI (Ti,m − T¯n+1 )Si,m − Jc (6-12) i,jp Como los valores promedios T¯n+1 incluyen el valor de la temperatura en las superficies, se despeja la ecuaci´on resultante. n+1 n {Ti+1 + Tin+1 − Ti+1 − Tin }

ρ¯c¯p Vi 24t

˙ pv T n+1 (Si,jp + Si,m ) Jc i+1 + 2 2 ˙ pv T n+1 Jc i n+1 n+1 n+1 I (Si,jp + Si,m ) I ˙ pv T n+1 = α (Ti,jp Si,jp + Ti,m Si,m ) − Ti α − + Jc i,jp 2 2 Despejando: a n+1 Ti+1 = b donde, ρ¯c¯p Vi n a = {uρcp T S}n+1 + {Ti+1 + Tin − Tin+1 } i 24t n+1 n+1 I +{uρcp T S}n+1 + Ti+1 α i+1 − {uρcp T S}i

(6-13) (6-14)

n+1 (Si,jp + Si,m ) ˙ pv (T n+1 − Ti ) + Jc i,jp 2 2 ˙ pv (Si,jp + Si,m ) Jc b = {uρcp S + ρ¯c¯p + αI + }n+1 2 2 i+1

n+1 n+1 +αI (Ti,jp Si,jp + Ti,m Si,m ) − Tin+1 αI

Ecuaci´ on de la especie humedad ˙ Como este El flujo m´asico de entrada al volumen es la evaporaci´on del agua del producto J. flujo se eval´ ua mediante la cin´etica de secado, simplemente se toma en consideraci´on como un flujo positivo entrante al volumen de aire. Al igual que en la discretizaci´on de la ecuaci´on de la energ´ıa, el valor de fracci´on m´asica de humedad en la superficie i + 1 participa en el promedio del valor del t´ermino transitorio. Por lo tanto se debe despejar del balance: n n (Yn+1 + Yn+1 i i+1 − Yi − Yi+1 )

ρ¯V n+1 = J˙ + {ρuYS}n+1 i+1 − {ρuYS}i 24t

(6-15)

Organizando: Yn+1 i+1

=

ρ¯V + (Yni + Yni+1 − Yn+1 ) 24t {ρuYS}n+1 + J˙ i i ρ¯Vi 24t

+ {ρuS}n+1 i+1

(6-16)

Cuando no se presenta el proceso de secado, no hay flujo de humedad a trav´es de las superficies de contorno del volumen de control, entonces no hay un cambio en el valor de humedad del aire interior: n+1 Yn+1 i+1 = Yi

52

6 Metodolog´ıa de la soluci´on num´erica

6.1.2.

S´ olidos

La ecuaci´on de la energ´ıa (Ec. 3-5) se integra en cada uno de los s´olidos. Se requieren condiciones de contorno adecuadas para resolverlas. Cubierta pl´ astica

11 00 g*

i,m

1 j0 i,m

Ti,m j 11 00 11 00 gi,m i,m

1 0 g* i,m

sol

1 0

j sol

i,m

1 j*0 i,m sol

1 0

g sol

i,m

i,m 00 11 qconv

11 00 qconv

y x

Figura 6-5.: Discretizaci´on cubierta pl´astica. El espesor de la cubierta pl´astica es del orden de los 200 µm, por lo que esta se aproxima a una superficie sin volumen. Al integrar la ecuaci´on de la energ´ıa se deben considerar las condiciones de contorno inferiores (superficie en contacto con el aire interior) y las superiores (superficie en contacto con el aire exterior). Estas condiciones de contorno son condiciones convectivas y radiativas. Como se plante´o previamente, la radiaci´on t´ermica se describe en la superficie mediante una radiaci´on e irradiaci´on en la banda infrarroja y solar. n+1 n+1 0 = −αI (Ti,m − T¯in+1 )Si,m − αi,m (Ti,m − Tamb )Si,m + (g˙ i,m − ˙i,m )Si,m sol ˙ i,m − ∗ ˙ i,m )Si,m + (g˙ i,m ˙ sol ˙ sol +(g∗ − ˙sol i,m )Si,m + (g∗ i,m − ∗ i,m )Si,m

(6-17)

Despejando la temperatura de la cubierta: sol ˙ sol ˙ sol ˙ i,m − ∗ ˙ i,m + g˙ i,m − ˙sol αI T¯in+1 + αi,m Tamb + g˙ i,m − j i,m + g∗ i,m i,m − ∗ i,m + g∗ = I i,m α +α (6-18) Los coeficientes superficiales de transferencia de calor por convecci´on se encuentran al evaluar las correlaciones emp´ıricas para convecci´on forzada en el interior y natural en el exterior. n+1 Ti,m

Placa absorbente y aislante La formulaci´on de la discretizaci´on en los materiales s´olidos inferiores se realiza de igual forma mediante la integraci´on de las ecuaciones gobernantes en los vol´ umenes discretos mostrados en las Figuras 6-6 y 6-7. Un volumen interior de la discretizaci´on espacial mostrado en la

6.1 Modelo tramo a tramo

53

Figura 6-6 se define como VP = 4y · Ss · W . Las superficies norte Ss y sur Sn del volumen tienen un ´area superficial 4x · W .

1 0

qconv

T i,jp

1 0 00 11 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 epl 1 1 0 1 0 Sn 1 0 1 0 Ss 1 0 1 0 11 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 eal 1 1 0 1 0 1 0 1 0 11 00 y

jp

N j

P S

T i,1 qconv 1 0 i,1

x

00 11 sol sol 11 1 00 11 g i,jp00 ji,jp g0 j i,jp i,jp

ja

11 00 j i,1

g0 1 i,1

j=1

Tamb

z

Figura 6-6.: Discretizaci´on unidimensional para la ecuaci´on de la energ´ıa de la placa absorbente y el aislante. Para discretizar la ecuaci´on de la energia se debe integrar en todo el volumen de discretizaci´on (ver Anexo A). Resultando en:  ∂T n+1  ∂T n+1 TPn+1 − TPn ρ¯s c¯ps VP = λs Sn − λs Ss 4t ∂y n ∂y s

(6-19)

Las derivadas de los flujos difusivos se aproximan num´ericamente mediante una diferencial num´erica de primer orden:  ∂T  TN − TP = ∂y n δP N  ∂T  TP − TS = ∂y s δP S Reemplazando: TPn+1 − TPn TNn+1 − TPn+1 TSn+1 − TPn+1 ρ¯s c¯ps Vp = λn Sn + λs Ss 4t δP N δP S

(6-20)

54

6 Metodolog´ıa de la soluci´on num´erica donde la conductividad t´ermica en la superficie se eval´ ua mediante una media arm´onica de los valores en los nodos. δP N λn = δP n δnN + λN λP λs =

δP S + δsS λS

δP s λP

Al organizar la ecuaci´on y agrupar los t´erminos que multiplican a las temperaturas en coeficientes, se encuentra la expresi´on de discretizaci´on para los vol´ umenes interiores: aS TSn+1 − (aoP + aN + aS )TPn+1 + aN TNn+1 = −aoP TPn donde: aN =

δP n λP

(6-21)

Sn + δnN λN

Ss + δsS λS ρ¯s c¯ps aoP = VP 4t La discretizaci´on es v´alida para cualquier volumen dentro del dominio. Al ser una discretizaci´on de nodos centrados, la densidad y el calor espec´ıfico son promedios del volumen de control. Esta discretizaci´on tiene la ventaja de describir un u ´nico material en el volumen cuando se presentan interfases de dos materiales diferentes. Al evaluar la conductividad t´ermica en las caras mediante una media arm´onica se describen mejor las propiedades de transporte cuando existen interfases entre materiales distintos. aS =

δP s λP

Las condiciones de contorno son espec´ıficas en cada caso, para todas las superficies de los s´olidos se tiene que incluir la condici´on de radiaci´on t´ermica y de convecci´on. Para el nodo inferior (i, 1) del aislante, el cual no tiene volumen, se tiene una condici´on de frontera convectiva y radiativa infrarroja, y una conducci´on de calor con el nodo interior del material. Tomando como positivos los valores que entran a la superficie, la discretizaci´on resulta en: n+1 n+1 Ti,2 − Ti,1 n+1 Sn − αi,1 (Ti,1 − Tamb )Ss + (g˙ i,1 − ˙i,1 )Ss = 0 δP N Agrupando en coeficientes:

λn

n+1 n+1 −(aN + αi,1 Ss )Ti,1 + aN Ti,2 = −αi,1 Ta Ss − g˙ i,1 Ss + ˙i,1 Ss

(6-22)

(6-23)

Para el nodo superior (i, jp) de la placa absorbente existe una condici´on de frontera convectiva con el aire interior y una condici´on radiativa t´ermica infrarroja y solar. n+1 n+1 − Ti,jp Ti,jp−1 n+1 sol λs − ˙sol Ss − αI (Ti,jp − T¯n+1 )Sn + (g˙ i,jp − ˙i,jp )Sn + (g˙ i,jp i,jp )Sn = 0 δP S Agrupando en coeficientes: n+1 n+1 sol Sn + ˙sol aS Ti,jp−1 − (aS + αI Sn )Ti,jp = −αI T¯n+1 Sn − g˙ i,jp Sn + ˙i,jp Sn − g˙ i,jp i,jp Sn

(6-24)

(6-25)

6.1 Modelo tramo a tramo

6.1.3.

55

Producto

La discretizaci´on en el producto es diferente a la discretizaci´on de la placa absorbente (ver Figura 6-7). El producto se considera como un volumen completo al definirse la cin´etica de secado para todo el volumen de producto. Igualmente se tiene un nodo en la superficie en contacto con el aire interior. qconv 1 0 1 Jconv 0 epr

eal

x

i,jp

i,jp i,jp i,jp

T ja+2

0 1 11 00 0 1 0 1 0 11 0 1 Sn 0 1 0 1 Ss 0 1 0 1 0 1 0 1 11 00

y

1 11 00 11 100 0 sol 0 sol g j j g ja+2 ja j

N P S

j=1

Ti,1 i,1 1 0

qconv T amb

j0 1 i,1

1 g0 i,1

z

Figura 6-7.: Discretizaci´on unidimensional del producto y el aislante. Ecuaci´ on de la energ´ıa en el producto La discretizaci´on de la ecuaci´on de la energ´ıa para los vol´ umenes interiores y la superficie exterior del aislante es la misma que la realizada anteriormente para los elementos s´olidos. Por otra parte, la condici´on de contorno de la superficie del producto considera el calor de evaporaci´on del agua que la atraviesa. La energ´ıa espec´ıfica de cambio de fase o vaporizaci´on ˙ Lo cual resulta es hg − hf = hf g (ver Figura 6-4). La rata de agua que se evapora es J. ˙ f g . Por lo tanto, la ecuaci´on en un calor de vaporizaci´on de la humedad del producto Jh discretizada de energ´ıa en la superficie del producto resulta en lo siguiente: n+1 n+1 − Ti,ja+2 Ti,ja+1 n+1 I ¯ n+1 sol ˙ f g = 0 (6-26) −Ti,ja+2 )Sn −Jh −˙sol Ss +(g˙ i,jp −˙i,jp )Sn +(g˙ i,jp i,jp )Sn +α (T δP S n+1 n+1 sol ˙ Ss + ˙sol aS Ti,ja+1 − (aS + αI Sn )Ti,ja+2 = −αI T¯n+1 Ss − g˙ i,jp Ss + ˙i,jp Ss − g˙ i,jp i,jp Ss + Jhf g (6-27)

λs

La Ec. 6-27 indica que el calor transferido desde el aire m´as la energ´ıa proveniente de la radiaci´on, est´a asociado al calor de evaporaci´on del agua en el material. Ecuaci´ on de la humedad en el producto La ecuaci´on de la humedad (Ec. 3-7) solamente aplica para el producto. El producto se encuentra dispersado en un colch´on de espesor conocido sobre el aislante. Para la superficie inferior del producto, que se supone en contacto con el aislante, se tiene una condici´on

56

6 Metodolog´ıa de la soluci´on num´erica de impermeabilidad. El flujo de humedad se define en un u ´nico volumen de producto sobre el cual ocurre el fen´omeno de evaporaci´on Vpr = epr ·∆x·W (ver punteado en la Figura 6-7). • Relaciones semi-emp´ıricas de secado de Toronjil La humedad de la capa fina de producto Min+1 se eval´ ua en cada instante mediante n+1 la Ec. 2-1. Donde Meq,i es la humedad de equilibrio del producto a las condiciones del aire de secado encontrada mediante la relaci´on de isoterma de sorci´on (Ec. 5-1). El flujo de humedad en la superficie se obtiene integrando la ecuaci´on de humedad en el producto con la condici´on de contorno evaporativa: Z Z Z ∂M ρpr dV = 5 · ()dV ˙ = ˙ · ~ndS (6-28) C ∂t C S Se puede reemplazar el cambio en la humedad del producto (ver Ec. 2-1) en la integral: Z Z ρpr −k(M − Meq )dV = ˙ · ~ndS (6-29) C

S

Integrando la ecuaci´on y suponiendo un flujo hacia el aire con signo negativo. −k(Mi − Meq,i )ρpr Vpr = −S ˙ n

(6-30)

n+1 J˙n+1 = ρpr Vpr k(Min+1 − Meq,i )

(6-31)

• Analog´ıa de Chilton-Colburn La discretizaci´on de la ecuaci´on de humedad del producto se obtiene integrando la ecuaci´on de humedad en el volumen del producto con la condici´on de contorno evaporativa: Z Z Z ∂M ρpr dV = 5 · ()dV ˙ = ˙ · ~ndS (6-32) C ∂t C S ρpr

Min+1 − Min Vpr = −S ˙ n ∆t

Min+1 = Min −

˙ J∆t ρpr Vpr

(6-33) (6-34)

El flujo de humedad por analog´ıa de Chilton-Colburn se define en la Ec. 5-3. La humedad del aire en la superficie del producto Y se aproxima a la humedad relativa de equilibrio del agua l´ıquida en la superficie del producto encontrada mediante la isoterma de sorci´on 5-1. Una vez obtenida la humedad relativa de equilibrio en la superficie del producto, se usan las relaciones 3-20 y 3-18 para encontrar la fracci´on m´asica del vapor de agua en la superficie del producto.

6.1 Modelo tramo a tramo

6.1.4.

57

Radiaci´ on

Para realizar un an´alisis de la cantidad de energ´ıa transferida mediante la radiaci´on es necesario definir la geometr´ıa de las superficies del secador que se van a analizar y adem´as suponerlas como superficies grises y difusas. Tambi´en es necesario suponer que las superficies tienen propiedades radiantes, radiosidades e irradiaciones uniformes en toda el ´area superficial. En el planteamiento tramo a tramo se suponen 2 superficies interiores en el t´ unel de secado (ver Figura 6-3), las cuales son: • Superficie interior de la cubierta pl´astica Si,m • Placa absorbente o producto Si,jp Igualmente para la secci´on exterior del t´ unel de secado, las superficies exteriores participantes son: • Superficie exterior de la cubierta pl´astica Si,m∗ • Superficie exterior del aislante Si,1 • Cielo C Factores de vista La evaluaci´on de los factores de vista involucra las superfices mencionadas en el apartado anterior y se calcula mediante la Ec. 3-29. El c´alculo de los factores de vista de las superficies se muestra en la Tabla 6-1. Para la superficie exterior, se aproxima el cielo a un ´area infinitamente m´as grande que el ´area de la cubierta del secador. Por medio del teorema de la reciprocidad se encuentran los u ´nicos factores de vista que no son triviales.

Tabla 6-1.: Valores de los factores de vista del modelo tramo a tramo. Superficie

Si,m 1− √

Si,m∗

Si,jp √

C

0

0

W H 2 +( W )2 2

0

Si,m∗

0

0

0

0

1

Si,jp

1

0

0

0

0

Si,1

0

0

0

0

0

C

0

0

0

0

1

Si,m

2

2

W H 2 +( W )2 2

Si,1

58

6 Metodolog´ıa de la soluci´on num´erica M´ etodo de las radiosidades Una vez calculados los factores de vista entre las superficies se procede a plantear el sistema de ecuaciones de radiosidades. Para las superficies Si,m y Si,jp del interior de cada tramo se define el sistema de radiosidades infrarrojas como: 4 εi,m σTi,m + (1 − εi,m )g˙ i,m = ˙i,m

(6-35)

F[i,m][i,m] ˙i,m + F[i,m][i,jp] ˙i,jp = g˙ i,m

(6-36)

+ (1 − εi,jp )g˙ i,jp = ˙i,jp

(6-37)

˙i,m = g˙ i,jp

(6-38)

4 εi,jp σTi,jp

Al suponer el cielo como un cuerpo negro cuya emisividad es 1, en la superficie Si,m∗ exterior de la cubierta del secador se el sistema a lo siguiente: 4 ˙ i,m = ∗ ˙ i,m εi,m σTi,m + (1 − εi,m )g∗

σTc4

˙ i,m = g∗

(6-39) (6-40)

Para la superficie exterior inferior del aislante: 4 εi,1 σTi,1 + (1 − εi,1 )g˙ i,1 = ˙i,1 4 σTamb

(6-41)

= g˙ i,1

(6-42)

Las anteriores ecuaciones conforman el sistema de radiosidades infrarrojas para las superficies participantes de la radiaci´on t´ermica en cada tramo. En cuanto a la radiaci´on en la banda solar (ver 3-27 y 3-28), se plantea el siguiente sistema de ecuaciones de las radiosidades para las superficies interiores del secador en cada tramo: sol sol sol sol ˙ sol Ri,m g˙ i,m + (1 − Ri,m − Asol i,m )g∗ i,m = ˙i,m

(6-43)

sol sol F[i,m][i,m] ˙sol i,m + F[i,m][i,jp] ˙i,jp = g˙ i,m

(6-44)

sol sol Ri,jp g˙ i,jp ˙sol i,m

= ˙sol i,jp sol = g˙ i,jp

(6-45) (6-46)

Al haber supuesto que la radiaci´on solar e infrarroja tiene una incidencia perpendicular del exterior, la radiaci´on que transpasa la cubierta pl´astica se vuelve difusa en el interior. Para la superficie exterior de la cubierta del secador: sol sol sol sol ˙ sol ˙ sol g∗ Ri,m i,m i,m + (1 − Ri,m − Ai,m )g˙ i,m = ∗

(6-47)

˙ sol g∗ i,m

(6-48)

IT =

(6-49) Donde IT es la irradiaci´on solar total. El resto de las superficies exteriores no involucran radiaci´on solar.

6.2 Procedimiento de programaci´on

6.1.5.

Algoritmo de soluci´ on

Para la soluci´on del sistema de ecuaciones se utiliza el m´etodo num´erico de Newton-Raphson, el cual encuentra la soluci´on al sistema de ecuaciones algebra´ıcas planteado en cada tramo. Este m´etodo realiza un bucle iterativo para solucionar las ecuaciones. La convergencia del bucle iterativo se controla mediante un criterio de diferencia entre los valores calculados sucesivamente. Al solucionar los valores en cada tramo, estos ser´an las condiciones conocidas a la entrada del siguiente tramo. El algor´ıtmo general se presenta en la Figura 6-8. A continuaci´on se indican algunas precisiones del algoritmo. Para la soluci´on del sistema de ecuaciones resultante de la discretizaci´on unidimensional del s´olido se implementa el m´etodo Tridiagonal Matrix Algorithm (TDMA), el cual se usa en matrices que tienen tres diagonales. Este m´etodo encuentra el valor de la variable desconocida de cada fila en t´erminos de la siguiente fila realizando una sustituci´on hacia adelante. Posteriormente resuelve el valor de la u ´ltima variable, encontrando asi los valores de las variables anteriores mediante la sustituci´on hacia atr´as de los valores conocidos [22]. En cuanto a la soluci´on de la radiaci´on en las superficies, la radiaci´on t´ermica infrarroja es funci´on de la cuarta potencia de la temperatura de la superficie, pero no hay forma anal´ıtica de aislar las temperaturas por fuera del balance de energ´ıa, por lo cual es necesario realizar el c´alculo de los valores de radiosidades independiente del balance energ´etico en las superficies. Los valores de radiosidades e irradiaciones deben ser luego reemplazados en los balances de energ´ıa para as´ı obtener los valores de temperaturas de las superficies. En contraste, se puede realizar el c´alculo de las radiosidades solares anterior a la resoluci´on del t´ unel, puesto que en este c´alculo no intervienen las temperaturas de las superficies y los valores s´olo cambiar´an si var´ıa la radiaci´on solar en el tiempo.

6.2.

Procedimiento de programaci´ on

Los c´odigos de programaci´on computacional que contienen los algor´ıtmo de soluci´on de los modelos planteados, operan de la misma forma y se constituyen a grandes razgos de los mismos componentes, por lo cual se realiza su explicaci´on general a continuaci´on. Las entradas de datos del c´odigo son los valores geom´etricos del secador, las condiciones iniciales, las propiedades termof´ısicas de los componentes, y la informaci´on metereol´ogica. Esta informaci´on metereol´ogica indica las condiciones del ambiente exterior, espec´ıficamente el valor de temperatura y humedad relativa del aire y la radiaci´on solar incidente en cada instante de tiempo. Se deben adem´as establecer los par´ametros num´ericos de soluci´on del modelo. Estos par´ametros num´ericos incluyen: la cantidad de vol´ umenes de control, los criterios de estabilidad, el n´ umero de iteraciones permitidas en los bucles de soluci´on de sistema de ecuaciones y de tiempo, los criterios de parada de los bucles de soluci´on y de tiempo y alg´ unos otros par´ametros como el factor de relajaci´on. El c´odigo arroja los resultados de las ecuaciones

59

60

6 Metodolog´ıa de la soluci´on num´erica

Inicio

Entrada de datos Calculos previos Valores de entrada

Tamb, RHamb, IT

n+1 n+1 *FR ( T i+1 −T i+1 ant ) n+1 i+1 ant n+1

T i+1 nue = T

Solucion del sistema de radiosidades infrarrojas Solucion de ecuaciones del aire Determinar propiedades fisicas del aire interior Determinar numeros adimensionales Evaluar coeficiente de friccion Evaluar coeficientes convectivos de transferencia de calor y masa Evaluar humedad en equilibrio y flujo de humedad mediante cinetica de secado Resolver humedad, velocidad, presion y temperatura del aire n+1

n+1

T i+1

Ti+1 ant