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• Majes Rivas Burgos

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Escuela Preparatoria 1 Agosto/Diciembre 2019 Quinto Semestre Modelación Matemática II Unidad 1. Series y sucesiones Actividad 1. Sucesiones aritméticas Resultado de aprendizaje: Resuelve problemas de la vida cotidiana que involucren al modelo del “n-ésimo término” o “la sumatoria de n términos” de una sucesión aritmética.

/ Tiempo presencial: 360 min / Tiempo Independiente: 60 min / Valor: 8 puntos / Descripción de la Secuencia de Actividad:

1. Lee la siguiente información relacionada con las sucesiones numéricas y contesta lo que se te pide en cada inciso. Las sucesiones numéricas es un conjunto de números que cumplen con un modelo matemático, el cuál es generado por una o la combinación de varias operaciones aritméticas. En una sucesión de números como:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, … Se llama primer término (𝒂𝟏 ) al número que ocupa el primer lugar en la sucesión. En el ejemplo, el primer término es el número 5, es decir 𝒂𝟏 = 𝟓. Se llama segundo término (𝒂𝟐 ) al número que ocupa el segundo lugar en la sucesión. En el ejemplo, el segundo término es el número 10, es decir 𝒂𝟐 = 𝟏𝟎. Se llama tercer término (𝒂𝟑 ) al número que ocupa el tercer lugar en la sucesión. En el ejemplo, el tercer término es el número 15, es decir 𝒂𝟑 = 𝟏𝟓, etcétera. I.

Completa la siguiente sucesión de números:

9, _____, 27, 36, _____, _____, _____, _____, 81, _____, 99, _____, … II.

¿Cuál es la regla para obtener cualquier término de esta sucesión?

III.

Usando la regla que escribiste, ¿cuál es el término que está en el lugar 15? ______

IV.

¿Cuál es el valor de 𝒂𝟑𝟓 ? _______

V.

¿En qué lugar está el número 1 080? _______

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1

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial VI.

De las siguientes reglas, ¿cuáles son equivalentes a la que encontraste para obtener los términos de la sucesión? Subráyalas.  Sumar nueve al lugar del término.  Sumar nueve al término anterior.  Los múltiplos de nueve.  Multiplicar por nueve el lugar del término.

Las reglas sirven para obtener los términos de una sucesión. Se pueden dar a partir del lugar del término 𝒏, por ejemplo, multiplicar por cuatro el lugar del término 𝒏, o bien 𝒂𝒏 = 𝟒𝒏. 2. Lee la siguiente información relacionada con la sucesión como función y contesta lo que se te pide en cada inciso.

Definición de sucesión

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros o un subconjunto de él. Si el dominio es ℤ o un subconjunto infinito de él se le llama sucesión infinita; si, en cambio, es un subconjunto finito de ℤ se conoce como sucesión finita.

A) Escribe una expresión para el 𝑛-é𝑠𝑖𝑚𝑜 término {𝑎𝑛 } en cada una de las siguientes sucesiones. Primeros términos de la sucesión

I

{𝑎𝑛 } = {1, 3, 5, 7, … }

II

{𝑎𝑛 } = {2, 5, 10, 17, … , 101}

III

2 3 4 5 6 {𝑎𝑛 } = { , , , , … } 1 2 3 4 5

IV

1 1 1 1 1 {𝑎𝑛 } = { , , , , …} 2 4 8 16 32

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𝒏- é𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒂𝒏 = 𝒇(𝒏) 𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏 {𝒂𝒏 }

2

¿Es finita o infinita?

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial B) Escribe los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones:

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3

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 3. Lee la siguiente información relacionada con la sucesión aritmética y contesta lo que se te pide en cada inciso: GAUSS Y SU PROFESOR DE PRIMARIA Johann Karl Friedrich Gauss fue uno de los más grandes matemáticos de la historia. Su precocidad, en relación con las Matemáticas, se pone de manifiesto en las siguientes anécdotas: Antes de cumplir 3 años, Gauss se encontraba acompañando a su padre, el cual estaba preparando la nómina de los obreros que de él dependían. Gauss, que seguía con gran atención los cálculos de su padre, le dijo al terminar: "Padre, has hecho mal la cuenta, el resultado debe ser... ". El padre al repasar los cálculos comprobó con sorpresa que su hijo tenía razón, la cuenta la había realizado mal. La historia es todavía más sorprendente si tenemos en cuenta que Gauss aún no sabía leer. Por el año 1787, en la escuela primaria y con una edad de 10 años, Gauss tenía compañeros traviesos, los cuales arrojaban papeles, tizas, corrían de un lado a otro, etc. En ese momento, apareció el profesor y al observar el alboroto se enojó, por lo que ordenó a todos los niños que, como castigo, le sumaran todos los números del 1 al 100. El profesor pensó: ¡Qué idea más buena he tenido! ¡Durante un buen rato, me dejarán todos estos mocosos en paz! Nada más terminar el maestro el enunciado, nuestro pequeño genio se levantó del pupitre, y entregó la respuesta correcta: 5050. El profesor, asombrado, debió pensar que había puesto un número al azar, y se dispuso él mismo a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato, comprobó que, efectivamente, la suma pedida era 5050. No es que Gauss fuera un calculador extraordinario, es decir, que sea capaz de hacer sumas a la velocidad de una computadora. Sino que Gauss es uno de los mejores matemáticos de la historia, y los matemáticos no calculamos: pensamos... La tarea de Gauss fue sumar los siguientes números: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ⋯ + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 Pero nadie le obligaba a sumarlos en orden. Por lo que notó un hecho singular, si agrupaba los números por parejas, tomando el primero y el último, el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepenúltimo, etc., se obtenía lo siguiente: (1 + 100) = 101; (2 + 99) = 101; (3 + 98) = 101; 𝑒𝑡𝑐. Es decir, todas las parejas de números que se formasen suman 101. Ahora, como entre el uno y el 100 se pueden hacer 50 parejas con esa propiedad, se obtiene que 50 × 101 = 5050. Más tarde, aplicaría este mismo principio para calcular la suma de la serie geométrica y muchas otras series. El maestro quedó tan impresionado que, de su propio bolsillo, compró un libro de aritmética y se lo regaló a Gauss quien rápidamente lo leyó entusiasmado.

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Progresión aritmética o sucesión aritmética

Suma de los 𝒏 primeros términos en una progresión aritmética

La sucesión 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , es una progresión aritmética si existe un número real 𝑑, tal que para todo número natural 𝑛 se cumple que: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑑 Donde la diferencia común es 𝑑 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 . Además, el 𝒏-é𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 de la sucesión está dado por:

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅 Para todo 𝑛 > 1 Donde: 𝑎𝑛 : 𝑛- é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎1 : 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑: 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑚ú𝑛

Sea la progresión aritmética: 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 Entonces, la suma de los primeros 𝑛 términos está determinada por: 𝒏 𝑺𝒏 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ) 𝟐

Esta es la fórmula que obtuvo Gauss en la historia de “Gauss y su profesor de primaria”.

A) Los datos que se te proporcionan en la tabla pertenecen a sucesiones aritméticas. Escribe la expresión para el término general, o n-ésimo, 𝑎𝑛 , de cada sucesión aritmética. Datos

I

𝑎1 = 25, 𝑑 = 8

II

𝑎1 = −10, 𝑑 = −7

III

−43, −38, −33, −28, −23, …

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Término general o 𝒏- é𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒂𝒏 = 𝒇(𝒏) 𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏 {𝒂𝒏 }

5

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IV

3 2 𝑎1 = − , 𝑑 = 4 3

V

15,

23 9 , 8, , 1, … 2 2

B) Utiliza la fórmula de 𝒏-é𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐, para determinar la diferencia común 𝑑 en cada una de las siguientes sucesiones aritméticas. Diferencia común 𝒅

Términos de la sucesión

I

𝑎1 = 2 & 𝑎12 = 57

II

𝑎1 = 3 & 𝑎10 =

III

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𝑎1 =

21 4

19 & 𝑎15 = −3 3

6

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial C) Utiliza la fórmula de la suma de los 𝒏 primeros términos en una progresión aritmética, para la determinar el resultado de la suma desde el primer lugar hasta el término indicado en cada inciso. Términos de la sucesión

I

𝑎1 = 1 & 𝑎8 = 43

II

𝑎1 = −15 & 𝑎17 = 33

III

IV

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𝑎1 =

𝑎1 =

𝑺𝒏 =

1 & 𝑎15 = 2 4

2 7 & 𝑎20 = − 3 3

7

𝒏 (𝒂 + 𝒂𝒏 ) 𝟐 𝟏

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial D) En binas o equipos colaborativos, utilicen los datos que se te proporcionan en cada una de las sucesiones aritméticas finitas siguientes, para determinar lo que se les solicita.

Sucesión 1

Datos

Determina: 1, 7, 13, … , 𝑎23

𝒂𝟐𝟑

Resolución:

Datos Sucesión 2

𝑎1 = −15 & 𝑎20

125 =− 2

Resolución:

CSEMS

8

Determina: 𝒅

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Datos Sucesión 3

𝑎15

Determina:

9 1 = &𝑑 = 2 4

𝒂𝟏

Resolución:

Sucesión 4

Datos −39, −56, −73, … , −328

Resolución:

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9

Determina: 𝒏

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Sucesión 5

Datos 2 5 1 13 , , ,…,− 3 12 6 12

Determina: 𝑺𝒏

Resolución:

Sucesión 6

Datos 𝑆25 = 1 325 & 𝑑 = 4

Resolución:

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10

Determina: 𝒏

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Sucesión 7

Datos 𝑎1 = 2, 𝑑 = 3 & 𝑆𝑛 = 3 927

Resolución:

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Determina: 𝒏

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 4. Resuelve los siguientes problemas relacionados con las sucesiones aritméticas, utilizando las fórmulas aprendidas en esta actividad de aprendizaje.

Problema 1

Un teatro tiene 30 filas de asientos. Hay 12 en la primera fila, 14 en la segunda, 16 en la tercera y así sucesivamente (observa la figura). ¿Cuántos asientos hay en la última fila? Resolución

¿Cuántos asientos hay en la última fila?

Un arquitecto está preparando una oferta para construir un edificio de oficinas. El primer piso costará $1 500 000, en tanto que cada piso Problema 2 sucesivo costará una cantidad común más que el precedente. Si el séptimo piso costará $1 980 000, ¿De cuánto será la diferencia entre los costos del tercer piso y el cuarto piso? Resolución

¿De cuánto será la diferencia entre los costos del tercer piso y el cuarto piso?

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Problema 3

Una persona adquiere un automóvil nuevo. Después de los primeros 8 años de uso, el auto se devaluó, por lo que su costo en ese momento es de $60 000 en el mercado. Si la pérdida que sufrió el valor del auto fue de $10 000 por año, entonces ¿cuánto pagó para comprar el automóvil? Resolución

¿Cuánto pagó para comprar el automóvil?

Problema 4

El dueño de un centro comercial requiere que el estacionamiento tenga la siguiente disposición de lugares: La primera fila 50 y la última fila 8 para sus asociados. Si entre cada fila debe haber una diferencia de 6 lugares, ¿cuántas filas tendrá el estacionamiento? Resolución

¿Cuántas filas tendrá el estacionamiento?

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Problema 5

El estacionamiento de un centro comercial tiene la siguiente disposición de lugares: la primera fila tiene 50, la segunda 47, y cada fila subsiguiente tiene 3 menos que la anterior. Si la última tiene 23 lugares, ¿de cuántos lugares dispone el estacionamiento? Resolución

¿De cuántos lugares dispone el estacionamiento?

Problema 6

Una empresa va a repartir entre 18 de sus empleados $13 275, como bono de puntualidad. Si la diferencia entre cada uno de los bonos es de $75, determina cuánto recibió el trabajador más puntual. Resolución

¿Cuánto recibió el trabajador más puntual?

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Problema 7

Se van a colocar en filas los asientos para un auditorio, de tal manera que la primera tenga 20, la segunda 23, la tercera 26 y así sucesivamente. Si en total se colocaron 819 asientos, ¿cuántas filas se formaron? Resolución

¿Cuántos filas se formaron?

5. En plenaria revisar los procedimientos y resultados de los ejercicios anteriores.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Recursos y materiales Documento con ejercicios y problemas. Evidencia de aprendizaje: Ejercicios integradores propuestos por el profesor. CRITERIOS DE EVALUACIÓN/ACREDITACIÓN POR ADA % OBTENIDO

CRITERIO 1. Presentación y entrega del trabajo  El trabajo cumple con las condiciones mínimas de presentación (limpieza, claridad y orden).  El trabajo cumple con las indicaciones adicionales del profesor.  La entrega del trabajo se realizó en el horario acordado por el profesor. Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla una o ambas condiciones, queda a criterio del profesor la valoración total o parcial de dicha actividad. 2. Participación en clase  El alumno muestra una actitud respetuosa con sus compañeros de clase y con su profesor.  El alumno participa en las dinámicas realizadas por el profesor en el aula.  El alumno realiza las actividades presenciales y no presenciales que el profesor indica en el aula.  El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades presenciales y no presenciales. 3. Resolución de problemas y ejercicios de la actividad  El alumno presenta en todos sus ejercicios la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta.  El alumno realizó las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. Nota: Queda a criterio del profesor la distribución del 30% de cada una de las condiciones presentadas. 4. Ejercicios integradores propuestos por el profesor  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la respuesta correcta.

/5%

/20%

/75%

Instrumento de evaluación: Rúbrica para los ejercicios integradores. Referencias  Angel, A. (2008). Álgebra intermedia. Séptima edición. México: Pearson Educación.  Ávila, E., Quijano, M. y Trejo, J. (2004). Matemáticas 4 Precálculo. México: Mc Graw Hill  Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas. México: Pearson Educación.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Escuela Preparatoria 1 Agosto/Diciembre 2019 Quinto Semestre Modelación Matemática II Unidad 1. Series y sucesiones Actividad 2. Sucesiones geométricas Resultado de aprendizaje: Resuelve problemas de la vida cotidiana que involucren al modelo del “n-ésimo término” o “la sumatoria de n términos” de una sucesión geométrica.

/ Tiempo presencial: 360 min / Tiempo Independiente: 60 min / Valor: 8 puntos / Descripción de la Secuencia de Actividad:

1. Lee la siguiente información relacionada con la sucesión geométrica y contesta lo que se te pide en cada inciso: Una progresión o sucesión geométrica posee la característica de que cada uno de los términos posteriores al primero se obtiene multiplicando al anterior por un número fijo llamado razón común de la progresión 𝒓, donde:

Razón común

𝒓=

𝒂𝒏 𝒂𝒏−𝟏

A) Para cada una de las siguientes sucesiones geométricas determina la razón común 𝒓. I

5, 15, 45, 135, 675 …

𝒓= III

𝒓=

n-ésimo término de una progresión geométrica o sucesión geométrica

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II

2, −4, 8, −16, 32, …

𝒓= 1 1 1 1 1, , , , , … 2 4 8 16

IV

8 16 32 −6, 4, − , , − , … 3 9 27

𝒓= Para determinar el 𝒏-é𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐, 𝒂𝒏, de una sucesión geométrica se utiliza la siguiente fórmula:

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒓𝒏−𝟏 Para todo 𝑟 ≠ 0 Donde: 𝑎𝑛 : 𝑛-é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎1 : 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑟: 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial B) Escribe el valor de los términos 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 y 𝑎5 , con el valor de 𝑎1 y la razón común 𝑟 proporcionado en cada fila. Posteriormente escribe el valor de 𝑎𝑖 que se te pide.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Suma de los 𝒏 primeros términos en una progresión aritmética

La suma de los primeros 𝑛 términos 𝑺𝒏 de una sucesión geométrica está determinada por la fórmula:

𝑺𝒏 =

𝒂𝟏 (𝟏 − 𝒓𝒏 ) 𝒄𝒐𝒏 𝒓 ≠ 𝟏 𝟏−𝒓

Donde 𝑎1 es el primer término y 𝑟 la razón común.

C) Determina el valor de 𝑆𝑛 con los valores de 𝑎1 y 𝑟 correspondientes.

𝑺𝒏

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔

𝑺𝟏𝟐 = 𝒂𝟏 = −𝟐

𝒓=𝟑

𝑺𝟏𝟎 = 𝒂𝟏 = −𝟏 𝒓 = −𝟐

𝑺𝟏𝟓 = 𝒂𝟏 = −𝟖 𝒓 = −𝟏

𝑺𝟖 = 𝒂𝟏 =

𝟒 𝟑

𝒓=

𝟑 𝟐

𝑺𝟗 = 𝒂𝟏 =

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𝟏 𝟐

𝒓 = −𝟐

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

2. De manera individual, resuelve cada una de las siguientes ecuaciones y responde lo que se te indica. Ecuación 1

Ecuación 2

𝒙𝟒 = 𝟖𝟏

𝟓𝒙 = 𝟏𝟐𝟓

Ecuación 3

Ecuación 4

𝒙𝟓 = 𝟑𝟐

𝟒𝒙 = 𝟒 𝟎𝟗𝟔

Operación utilizada para el despeje de la ecuación 1 y 3:

Operación utilizada para el despeje de la ecuación 2 y 4:

Explica cuáles son las operaciones inversas de la potencia indicando su diferencia.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 3. Lee la siguiente información relacionada con el logaritmo y contesta lo que se te indica. El SURGIMIENTO DEL LOGARITMO Alrededor del siglo XVI, el establecimiento de relaciones funcionales fue útil para encontrar métodos menos complejos y tediosos de cálculo, tales como multiplicaciones y divisiones que requerían efectuarse en el comercio, la navegación y la astronomía. En esa época, Jhon Napier y Jobst Bürgi propusieron métodos de cálculo a partir de establecer la relación de correspondencia entre números de una sucesión aritmética y una sucesión geométrica, como la siguiente que identificó Arquímedes: Sucesión aritmética Sucesión geométrica

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

6 64

7 8 9 128 256 512

Tabla 1 – Relación numérica: logaritmos y antilogaritmos de base 2

En la antigüedad, a partir de tablas como la anterior fue posible realizar operaciones complejas de multiplicación, división, radicación y potenciación. Los números de la fila superior se denominaron logaritmos y los de la inferior, antilogaritmos. Napier definió el logaritmo de un número entero como el número de factores que se toman de la razón dada (posteriormente denominada base del logaritmo) para obtener el antilogaritmo. De modo que, la tabla 1 puede reescribirse como sigue: Logaritmos Antilogaritmos

1 21

2 22

3 23

4 24

5 25

6 26

7 27

8 28

9 29

Tabla 2 – Logaritmos y antilogaritmos de base 2, expresados en factores

Así, en la tercera columna de la tabla 2 se obtiene el siguiente logaritmo y antilogaritmo: 8 = 23

⇔

3 = log 2 8

En otras palabras,

Definición logaritmo

El logaritmo de un número 𝑏 en una cierta base 𝑎, es el exponente 𝑛 al que debe elevarse la base 𝑎 para obtener dicho número. En notación simbólica:

𝒃 = 𝒂𝒏

⟺

𝒏 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃

La base 𝑎 deber ser un número mayor a cero y distinto de uno. Los logaritmos permitieron simplificar gran cantidad de cálculos en distintos ámbitos de la ciencia y se fueron extendiendo mediante la generación de tablas de logaritmos de diferente base. Los logaritmos de base 10 suelen ser utilizados mayormente en cuestiones prácticas, debido a que 10 es la base de nuestro sistema de numeración. Se ha convenido en omitir expresar la base en este tipo de logaritmos, por ejemplo, log 3 representa el logaritmo del número 3 en base 10. Como dato adicional, en astronomía como en otras ciencias se utiliza una clase especial de logaritmos para efectuar cálculos, denominados logaritmos naturales (𝒍𝒏), también llamados logaritmos neperianos, debido a Jhon Napier quien los publicó por primera vez. Estos logaritmos tienen base 𝑒.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Emplea la definición de logaritmo para determinar el valor de 𝑛 en cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales. a)

2𝑛 = 4 096

d)

5𝑛 =

1 3 125

1 𝑛

b)

3𝑛 = 729

e)

10𝑛 =

1 𝑛

1 10 000

1

g)

(2) = 8

h)

(4) = 4096

j)

7 ∙ 2𝑛 = 28 672

k)

−6(3𝑛−1 ) = −1458

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22

c)

4𝑛 = 65 536

f)

7𝑛 =

i)

l)

1 117 649

2 𝑛

32

(3) = 243

3(5𝑛+2 ) 4

=

46 875 4

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 4. Determina el número de términos 𝑛 en cada sucesión geométrica finita, así como la sumatoria 𝑆𝑛 . Sucesión 1

Dato

2, 4, 8, … , 128

Resolución

𝒏=

Sucesión 2

𝑺𝒏 = Dato

4, 12, 36, … , 26 244

Resolución

𝒏=

CSEMS

𝑺𝒏 =

23

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Dato

1 1 1 1 , , ,…, 2 4 8 2048

Sucesión 3 Resolución

𝒏=

𝑺𝒏 = Dato

Sucesión 4

729 243 81 4 , , ,…, 64 32 16 9

Resolución

𝒏=

CSEMS

𝑺𝒏 =

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Para las sucesiones 5 y 6 considera lo siguiente: (𝑢𝑣)𝑛 = 𝑢𝑛 𝑣 𝑛 (−1)𝑛 = 1 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 (−1)𝑛 = −1 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 Sucesión 5

Dato

−2, 4, −8, … , −128

Resolución

𝒏= Sucesión 6

𝑺𝒏 = Dato

5, −15, 45, … , −885 735

Resolución

𝒏=

CSEMS

𝑺𝒏 =

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 5. Dados 𝑆𝑛 , 𝑎1 y 𝑟, determina el valor de 𝑛 en cada una de las siguientes series geométricas. Sucesión 1

Datos

𝑠𝑛 = 93, 𝑎1 = 3 & 𝑟 = 2

Resolución

𝒏=

Sucesión 2

Datos

𝑠𝑛 = 80, 𝑎1 = 2 & 𝑟 = 3

Resolución

𝒏=

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Datos Sucesión 3

𝑠𝑛 =

Resolución

121 1 , 𝑎1 = 9 & 𝑟 = 2 3

𝒏=

Sucesión 4

Datos

𝑠𝑛 = 32 769, 𝑎1 = 3 & 𝑟 = −2

Resolución

𝒏=

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 6. En binas o equipos colaborativos, utilicen los datos que se te proporcionan en cada una de las sucesiones geométricas siguientes, para determinar lo que se les solicita.

Sucesión 1

Datos

Determina: −9, −3, −1, …

𝒂𝟗

Resolución:

Datos Sucesión 2

256 1 024 𝑎5 = & 𝑎6 = 9 27

Determina: 𝒂𝟏

Resolución:

Datos Sucesión 3

Determina:

1 1 1 , , ,… 8 4 2

𝑺𝟏𝟗

Resolución:

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Sucesión 4

Datos −5, 10, −20, … , −327 680

Determina: 𝒏

Resolución:

Datos Sucesión 5

Determina:

1, −√2, 2, … 𝑆𝑛 = 63 − 63√2

𝒏

Resolución:

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Datos Sucesión 6

3 16 𝑎1 = & 𝑎6 = 2 81

Determina: 𝒓

Resolución:

7. Resuelve los siguientes problemas relacionados con las sucesiones geométricas, utilizando las fórmulas aprendidas en esta actividad de aprendizaje.

Problema 1

Un rollo contiene 300 metros de hilo para coser. Si se corta una y otra vez la cuarta parte del hilo, ¿cuál es el término general de la progresión que expresa la longitud del hilo que queda? Determina la cantidad de hilo que queda en el rollo después del décimo corte. Resolución

Respuesta:

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Problema 2

En el banco Bankaool inviertes $230 000 a una cuenta que da por concepto de interés 8.05% anual. Si mantienes esa cantidad y reinviertes el rendimiento, ¿cuánto dinero tendrás al final de 8 años? Resolución

Respuesta:

Problema 3

Una compañía de seguros presenta a un padre un fideicomiso para que su hijo de 8 años reciba una cantidad de $40 000 cuando tenga 22 años. Determina la cantidad inicial que debe destinar si se le ofrece un contrato con una tasa de 6% de interés compuesto anual, capitalizable semestralmente. Resolución

Respuesta:

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Problema 4

Miguel adquiere su primera tarjeta de crédito con el banco Santander, el promotor le aseguró que la tarjeta ideal para él, es el Crédito Light Santander que le ofrece un límite de $7 500 con una tasa mensual de 2.84%. Miguel no sabe de matemáticas, pero sí de lujos. En el primer mes, Miguel tiene un saldo de $4 000, al no tener dinero decide no pagar y dejarlo, total, considera que no habrá consecuencias. ¿Después de 18 meses, de no haber pagado ni usado la tarjeta, cuánto habrá crecido la deuda de Miguel? Datos

Resolución:

Problema 5

Una fábrica compra una máquina a un costo de $45 000, misma que se deprecia a razón de 30% al año. Encuentra el valor de la maquinaria después de 5 años. Resolución

Respuesta:

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Problema 6

A menudo muchos se divierten compartiendo contenido en WhatsApp, tales como videos, imágenes, frases graciosas o las típicas cadenas en la que ingeniosamente nos sacan una risa, o bien, son unas geniales bromas de WhatsApp. Una persona inició una cadena graciosa escribiendo a 3 de sus amigos indicándoles que cada uno enviase una copia a otras 3 personas y así sucesivamente. Si la cadena no se ha interrumpido cuando se envía el décimo juego de copias, ¿cuánto se gastó en el consumo de datos (MB) si cada copia pesa 20 Kb? Resolución

Respuesta:

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Problema 7

Don José pide un crédito en Elektra para adquirir una moto italika con valor de $23 599 a contado. La modalidad que eligió fue abonar durante un plazo de 6 meses lo que tuviera a la mano, con la condición de que la deuda aumentaría cada mes a una tasa de interés fija mensual. Si los abonos los realizó siguiendo una sucesión geométrica y al final del plazo paga un acumulado de $31 806.06, ¿cuál es la tasa de interés anual a los créditos por consumo de la tienda Elektra? Resolución

Respuesta:

Problema 8

La mamá de Josefina está endeudada, por lo que recurre, de emergencia, a su Coopel más cercano y presta a crédito $10 000 a una tasa mensual fija de 5.3%. Ella decide pagar lo que puede cada mes, por lo que después cierto tiempo devuelve en total la cantidad de $15 916.80. Si sus abonos siguen una sucesión geométrica ¿durante cuánto tiempo estuvo pagando el préstamo que realizó? Resolución

Respuesta:

CSEMS

34

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 8. En plenaria revisar los procedimientos y resultados de los ejercicios anteriores. Recursos y materiales Documento con ejercicios y problemas. Evidencia de aprendizaje: Ejercicios integradores propuestos por el profesor. CRITERIOS DE EVALUACIÓN/ACREDITACIÓN POR ADA % OBTENIDO

CRITERIO 1. Presentación y entrega del trabajo  El trabajo cumple con las condiciones mínimas de presentación (limpieza, claridad y orden).  El trabajo cumple con las indicaciones adicionales del profesor.  La entrega del trabajo se realizó en el horario acordado por el profesor. Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla una o ambas condiciones, queda a criterio del profesor la valoración total o parcial de dicha actividad. 2. Participación en clase  El alumno muestra una actitud respetuosa con sus compañeros de clase y con su profesor.  El alumno participa en las dinámicas realizadas por el profesor en el aula.  El alumno realiza las actividades presenciales y no presenciales que el profesor indica en el aula.  El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades presenciales y no presenciales. 3. Resolución de problemas y ejercicios de la actividad  El alumno presenta en todos sus ejercicios la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta.  El alumno realizó las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. Nota: Queda a criterio del profesor la distribución del 30% de cada una de las condiciones presentadas. 4. Ejercicios integradores propuestos por el profesor  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la respuesta correcta.

/5%

/20%

/75%

Instrumento de evaluación: Rúbrica para los ejercicios integradores. Referencias  Angel, A. (2008). Álgebra intermedia. Séptima edición. México: Pearson Educación.  Ávila, E., Quijano, M. y Trejo, J. (2004). Matemáticas 4 Precálculo. México: Mc Graw Hill  Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas. México: Pearson Educación.

CSEMS

35

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Escuela Preparatoria 1 Agosto/Diciembre 2019 Quinto Semestre Modelación Matemática II Unidad 2. Funciones trascendentales: exponencial, logarítmica y trigonométricas Actividad 3. Transformaciones de funciones Resultado de aprendizaje: Traza la gráfica de diversos modelos matemáticos a partir de las transformaciones de desplazamiento, reflexión y estiramiento de una función.

/ Tiempo presencial: 240 min / Tiempo Independiente: 60 min / Valor: 5 puntos / Descripción de la Secuencia de Actividad:

1. En el plano cartesiano que se te presenta, con color rojo, traza la gráfica de la función

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 , 𝑥 ∈ [−2,2] Posteriormente, utiliza el gráfico para trazar de azul la función

𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐, y de

color negro 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑, en el mismo plano cartesiano. Por último, con base a los gráficos realizados, completa la información del recuadro y resuelve el ejercicio.

¿Cómo afecta a la gráfica de 𝑓(𝑥) las transformaciones 𝑔(𝑥) & ℎ(𝑥)?

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Digamos que 𝑑 es un número positivo. Así, para graficar 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑑, desplace _____ unidades hacia __________ la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Mientras que, para graficar 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑑, desplace _____ unidades hacia __________ la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Desplazar verticalmente la gráfica de una función

Ejercicio. Considera la siguiente figura como la gráfica de cierta función 𝑓,

Realiza un bosquejo de la gráfica de 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥), y especifica la nueva posición de los puntos 𝐴(−2, −1), 𝐵(−1, 0), 𝐶(0, 1)& 𝐷(1, 0). 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝟒

𝒉(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝟑

Nueva posición de:

Nueva posición de:

A_______________ B_______________

A_______________ B_______________

C_______________ D_______________

C_______________ D_______________

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 2. En el plano cartesiano que se te presenta, con color rojo, traza la gráfica de la función

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 , 𝑥 ∈ [−3,3] Posteriormente, utiliza el gráfico para trazar de azul la función

𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟓)𝟐 , y

¿Cómo afecta a la gráfica de 𝑓(𝑥) las transformaciones 𝑔(𝑥) & ℎ(𝑥)?

de color negro 𝒉(𝒙) = (𝒙 + 𝟐)𝟐 , en el mismo plano cartesiano. Por último, con base a los gráficos realizados, completa la información del recuadro y resuelve el ejercicio.

CSEMS

38

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Desplazar horizontalmente la gráfica de una función

Digamos que 𝑐 es un número positivo. Así, para graficar 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐), hay que desplazar la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) a la __________ 𝑐 unidades. Mientras que, para graficar 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐), desplace la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) a la __________ 𝑐 unidades.

Ejercicio. Considera la siguiente figura como la gráfica de cierta función 𝑓,

Realiza un bosquejo de la gráfica de 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥), y especifica la nueva posición de los puntos 𝐴(1, 1), 𝐵(3, 1) & 𝐶(6, 4). 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙 − 𝟓)

𝒉(𝒙) = 𝒇(𝒙 − 𝟑) + 𝟐

Nueva posición de:

Nueva posición de:

A_______________ B_______________

A_______________ B_______________

C_______________

C_______________

CSEMS

39

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 3. En el plano cartesiano que se te presenta, con color rojo, traza la gráfica de la función

𝒇(𝒙) = √𝒙, 𝑥 ∈ [0,9] Posteriormente, utiliza el gráfico para trazar de azul la función

𝒈(𝒙) = −√𝒙, 𝑥 ∈ [0,9] y

¿Cómo afecta a la gráfica de 𝑓(𝑥) las transformaciones 𝑔(𝑥) & ℎ(𝑥)?

de color negro 𝒉(𝒙) = √−𝒙, 𝑥 ∈ [−9,0] en el mismo plano cartesiano. Por último, con base a los gráficos realizados, completa la información del recuadro y resuelve el ejercicio.

CSEMS

40

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Para realizar la gráfica de 𝑦 = −𝑓(𝑥), __________ la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el __________. Mientras que, para realizar la gráfica de 𝑦 = 𝑓(−𝑥), __________ la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el __________. Reflejar la gráfica de una función

Ejercicio. Considera la siguiente figura como la gráfica de cierta función 𝑓,

Realiza un bosquejo de la gráfica de 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥), y especifica la nueva posición de los puntos 𝐴(1, 1), 𝐵(3, 1) & 𝐶(6, 4). 𝒉(𝒙) = 𝒇(−𝒙 ) − 𝟐

𝒈(𝒙) = −𝒇(𝒙)

Nueva posición de:

Nueva posición de:

A_______________ B_______________

A_______________ B_______________

C_______________

C_______________

CSEMS

41

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 4. En el plano cartesiano que se te presenta, con color rojo, traza la gráfica de la función

𝒇(𝒙) = |𝒙|, 𝑥 ∈ [−3,3] Posteriormente, utiliza el gráfico para trazar de azul la función negro

𝟏

𝒉(𝒙) = |𝒙|, 𝟐

𝒈(𝒙) = 𝟑|𝒙|, y de color

en el mismo plano cartesiano. Por último, con base a los gráficos

realizados, completa la información del recuadro y resuelve el ejercicio.

¿Cómo afecta a la gráfica de 𝑓(𝑥) las transformaciones 𝑔(𝑥) & ℎ(𝑥)?

CSEMS

42

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Para graficar 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑥): Si 𝑎 > 1, ____________ verticalmente la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) por un factor de _____. Si 0 < 𝑎 < 1, ____________ verticalmente la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) por un factor de _____. Estirar y acortar verticalmente una gráfica

Ejercicio. Considera la siguiente figura como la gráfica de cierta función 𝑓,

Realiza un bosquejo de la gráfica de 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥), y especifica la nueva posición de los puntos 𝐴(−2, 1), 𝐵(−1, −2), 𝐶(1, 1) & 𝐷(3, −1). 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒇(𝒙)

𝒉(𝒙) = −𝟑𝒇(𝒙)

Nueva posición de:

Nueva posición de:

A_______________ B_______________

A_______________ B_______________

C_______________ D_______________

C_______________ D_______________

CSEMS

43

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 5. En el plano cartesiano que se te presenta, con color rojo, traza la gráfica de la función

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 , 𝑥 ∈ [−2,2] Posteriormente, utiliza el gráfico para trazar de azul la función 𝒈(𝒙)

𝟏

𝟐

= ( 𝒙) 𝟐

, 𝑥 ∈ [−4,4]

¿Cómo afecta a la gráfica de 𝑓(𝑥) las transformaciones 𝑔(𝑥) & ℎ(𝑥)?

y de color negro 𝒉(𝒙) = (𝟐𝒙)𝟐 , 𝑥 ∈ [−1,1] en el mismo plano cartesiano. Por último, con base a los gráficos realizados, completa la información del recuadro y resuelve el ejercicio.

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Para graficar 𝑦 = 𝑓(𝑏𝑥): Si 𝑏 > 1, ____________ la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) horizontalmente por un factor de _____. Si 0 < 𝑏 < 1, ____________ la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) horizontalmente por un factor de _____. Estirar y acortar horizontalmente una gráfica

Ejercicio. Considera la siguiente figura como la gráfica de cierta función 𝑓,

Realiza un bosquejo de la gráfica de 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥), y especifica la nueva posición de los puntos 𝐴(−2, −2), 𝐵(−1, 1) & 𝐶(2, 4). 𝟐 𝒈(𝒙) = 𝒇 ( 𝒙) 𝟓

𝒉(𝒙) = 𝒇(𝟐𝒙)

Nueva posición de:

Nueva posición de:

A_______________ B_______________

A_______________ B_______________

C_______________

C_______________

CSEMS

45

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 6. En binas o equipos colaborativos, utilicen lo aprendido en esta actividad para resolver cada uno de los siguientes ejercicios. Ejercicio 1. Relaciona las gráficas del plano cartesiano con el modelo matemático que describe su transformación.

𝟏 𝒇(𝒙 − 𝟑) 𝟐 Gráfica # _____

𝒂)

𝒄)

𝒆)

CSEMS

𝒃)

𝒚=

𝒚 = −𝒇(𝒙 + 𝟑)

Gráfica # _____

𝒚 = 𝒇(𝒙 − 𝟔) − 𝟑

𝒅)

Gráfica # _____ 𝟏 𝒚 = 𝒇 ( [𝒙 + 𝟐]) − 𝟐 𝟐 Gráfica # _____

𝒚 = 𝒇(−𝒙) + 𝟓

Gráfica # _____

46

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Ejercicio 2. A continuación se te proporciona la gráfica de 𝑓(𝑥).

Bosqueja la gráfica de las siguientes funciones:

CSEMS

𝑨(𝒙) = 𝒇(𝒙 + 𝟐) + 𝟏

𝑩(𝒙) = 𝒇(−𝒙)

𝑪(𝒙) = −𝟐𝒇(𝒙 − 𝟏) − 𝟏

𝑫(𝒙) = 𝒇(𝟐𝒙)

47

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 1 𝑥

Ejercicio 3. La siguiente gráfica representa a la función 𝑓(𝑥) = .

Utilice la gráfica de 𝑓(𝑥) para trazar las gráficas de las siguientes funciones: 𝟏 𝟏 𝑨(𝒙) = 𝑩(𝒙) = 𝟏 + 𝒙+𝟏 𝒙−𝟐

𝑪(𝒙) = −

CSEMS

𝟏 𝒙

𝑫(𝒙) =

48

𝟐 𝒙−𝟏

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Ejercicio 4. Explica cómo se obtiene la gráfica de 𝑔(𝑥) a partir de la gráfica de 𝑓(𝑥). A

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐

𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒

B

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐

𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟑)𝟐

C

𝒇(𝒙) = √𝒙

𝒈(𝒙) = 𝟑√𝒙

D

𝒇(𝒙) = |𝒙|

𝒈(𝒙) = −|𝒙 + 𝟐|

E

𝒇(𝒙) = √𝒙

F

𝒇(𝒙) = |𝒙|

CSEMS

𝒈(𝒙) =

𝟏 √−𝒙 − 𝟐 𝟑

𝒈(𝒙) = 𝟑|𝒙 + 𝟓| + 𝟐

49

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Ejercicio 5. A continuación, se te brinda una función 𝑓(𝑥) y se aplican a su gráfica las transformaciones indicadas. Escriba el modelo matemático, sin simplificar, para la gráfica transformada final. A

Para graficar la función 𝑔(𝑥) a partir de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , desplace hacia abajo 2 unidades y 3 unidades a la izquierda. Función

B

Para graficar la función 𝑔(𝑥) a partir de 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , desplace hacia arriba 4 unidades y 5 unidades a la derecha. Función

C

𝒈(𝒙) =

Para graficar la función 𝑔(𝑥) a partir de 𝑓(𝑥) = √𝑥, desplace 1 unidad a la derecha, acorte verticalmente por un factor de un quinto y refleje en el eje 𝑥. Función

D

𝒈(𝒙) =

𝒈(𝒙) = 1 𝑥

Para graficar la función 𝑔(𝑥) a partir de 𝑓(𝑥) = , refleje en el eje 𝑦, alargue 3

verticalmente por un factor de 3 y desplace hacia abajo 7 unidades. Función

𝒈(𝒙) = 3

E

Para graficar la función 𝑔(𝑥) a partir de 𝑓(𝑥) = |𝑥|, desplace a la izquierda 4 unidades, alargue verticalmente por un factor de 3 y desplace hacia arriba 5 unidades. Función

F

Para graficar la función 𝑔(𝑥) a partir de 𝑓(𝑥) = |𝑥|, desplace a la derecha 2 unidades, acorte verticalmente por un factor de 0.8 y desplace hacia abajo 12 unidades. Función

CSEMS

𝒈(𝒙) =

𝒈(𝒙) =

50

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 7. En plenaria revisar los procedimientos y resultados de los ejercicios anteriores. Recursos y materiales Documento con ejercicios y problemas. Evidencia de aprendizaje: Ejercicios integradores propuestos por el profesor. CRITERIOS DE EVALUACIÓN/ACREDITACIÓN POR ADA 1. Presentación y entrega del trabajo  El trabajo cumple con las condiciones mínimas de presentación (limpieza, claridad y orden).  El trabajo cumple con las indicaciones adicionales del profesor.  La entrega del trabajo se realizó en el horario acordado por el profesor. Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla una o ambas condiciones, queda a criterio del profesor la valoración total o parcial de dicha actividad. 2. Participación en clase  El alumno muestra una actitud respetuosa con sus compañeros de clase y con su profesor.  El alumno participa en las dinámicas realizadas por el profesor en el aula.  El alumno realiza las actividades presenciales y no presenciales que el profesor indica en el aula.  El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades presenciales y no presenciales. 3. Resolución de problemas y ejercicios de la actividad  El alumno presenta en todos sus ejercicios la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta.  El alumno realizó las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. Nota: Queda a criterio del profesor la distribución del 30% de cada una de las condiciones presentadas. 4. Ejercicios integradores propuestos por el profesor  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la respuesta correcta.

/5%

/20%

/75%

Instrumento de evaluación: Rúbrica para los ejercicios integradores. Referencias  Steward, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2007). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Quinta edición, México: Thomson.

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Escuela Preparatoria 1 Agosto/Diciembre 2019 Quinto Semestre Modelación Matemática II Unidad 2. Funciones trascendentales: exponencial, logarítmica, trigonométricas Actividad 4. La función exponencial Resultado de aprendizaje: Emplea el concepto de función exponencial en la resolución de problemas hipotéticos o reales, con argumentos congruentes y lógicos.

/ Tiempo presencial: 360 min / Tiempo Independiente: 60 min / Valor: 5 puntos / Descripción de la Secuencia de Actividad:

1. En binas, resuelvan la siguiente situación problemática. Situación problemática Cultivo de bacterias Un grupo de biólogos está investigando el crecimiento de una nueva bacteria. En un principio se tenía una muestra con una sola bacteria, posteriormente se observó que cada hora se reproducía partiéndose en dos (bipartición). a) Completa la siguiente tabla que relaciona el crecimiento de las bacterias con el paso del tiempo y bosqueja la gráfica que representa la situación. Tiempo Número de (Horas) bacterias 𝒕 𝑵 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔

CSEMS

52

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial b) ¿Cuál de las siguientes funciones representa el crecimiento de las bacterias con relación al tiempo?

I.

𝑁(𝑡) = 𝑡 2

II.

𝑁(𝑡) = 2𝑡

III.

𝑁(𝑡) = 2𝑡

c) De acuerdo con el modelo seleccionado, ¿cuántas bacterias habrá luego de un día?

d) Estima el tiempo que debe transcurrir para que el número de bacterias sea de cien mil.

e) Muestra cómo se obtiene la función seleccionada en el inciso b) utilizando la formula del n – ésimo término de una sucesión geométrica.

Función exponencial

CSEMS

Una función exponencial 𝑓 con base 𝑎 se define como 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , donde 𝑎 es una constante positiva mayor a 1 y 𝑥 es un número real. Este tipo de funciones se caracterizan por presentar un crecimiento lento inicial para un intervalo de valores 𝑥 en su dominio y luego un crecimiento más rápido conforme va aumentando el valor de 𝑥.

53

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 2. Con la ayuda de tu profesor, analiza cada una de las siguientes gráficas de funciones exponenciales de la forma 𝑦 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 > 1 y contesta lo que se te pide. FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE MAYOR A UNO 𝒇(𝒙)

= 𝒂𝒙

Modelo de la función exponencial

1) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

2) 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙

3) 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙

Si 𝒂 > 𝟏 en las gráficas se observa que: El dominio de la función es:

¿Es una función inyectiva, suprayectiva, biyectiva o ninguna de las anteriores?

El rango de la función:

¿Es creciente o decreciente?

Intersección(es) con el eje 𝑥:

Ecuación de la asíntota horizontal:

Intersección(es) con el eje 𝑦:

Anotaciones adicionales:

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Función exponencial con base positiva mayor a 1 Este tipo de función exponencial se caracteriza por crecer lentamente al inicio y luego un crecimiento más rápido conforme se avanza a la derecha. Para todos los números positivos 𝑎, la función 𝒙 𝒚 = 𝒂 , 𝒂 > 𝟎 presenta las características siguientes: Propiedades de 𝒚 = 𝒂𝒙 , 𝒂 > 𝟏

1. El dominio de la función exponencial es: _____________________ 2. El rango de la función exponencial es: _______________________ 3. La gráfica de la función exponencial pasa por el punto: __________ 4. La ecuación de la asíntota de la función exponencial es: _________ 5. La correspondencia de la función exponencial es: ______________ 6. La función exponencial es creciente si la base 𝑎 es positiva.

3. Con la ayuda de tu maestro y del ADA 3 “Transformaciones de funciones”, demuestra 1 𝑥

que la gráfica de funciones exponenciales de la forma 𝑦 = ( ) , 𝑎 > 1, se obtiene a 𝑎 partir de la transformación de reflexión 𝑓(−𝑥), posteriormente realicen la gráfica de 1 𝑥 2

𝑔(𝑥) = ( ) utilizando la gráfica de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 y completen los recuadros.

CSEMS

55

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Gráfica de 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

𝟏 𝒙 𝟐

Gráfica de 𝒈(𝒙) = ( )

El dominio de la función es:

¿Es una función inyectiva, suprayectiva, biyectiva o ninguna de las anteriores?

El rango de la función: Intersección(es) con el eje 𝑥:

¿Es creciente o decreciente?

Intersección(es) con el eje 𝑦:

Ecuación de la asíntota horizontal:

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Función exponencial con base entre cero y uno Este tipo de función exponencial se caracteriza por decrecer rápidamente y estabilizarse en valores más grandes de 𝑥. Para todos los números positivos 𝑎, la función 𝒙 𝒚 = 𝒂 , 𝒄𝒐𝒏 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 presenta las características siguientes: Propiedades de 𝒚 = 𝒂𝒙 , 𝒄𝒐𝒏 𝟎 𝟏

Una función logarítmica se caracteriza por representar una variación no constante de crecimiento en sus imágenes, primero rápidamente y después lentamente. Para todos los números positivos 𝑎 mayores a 1, la función 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 presenta las características siguientes: 7. El dominio de la función logaritmo es: _______________________ 8. El rango de la función logaritmo es: _________________________ 9. La gráfica de la función logaritmo pasa por el punto: ____________ 10. La ecuación de la asíntota de la función logaritmo es: ___________ 11. La correspondencia de la función logaritmo es: ________________ 12. La función logaritmo es creciente si la base 𝑎 es mayor a uno.

9. Con la ayuda de tu maestro y del ADA 3 “Transformaciones de funciones”, demuestra que la gráfica de funciones logarítmicas de la forma 𝑦 = log 1 (𝑥) , 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 1, se obtiene 𝑎

a partir de la transformación de reflexión −𝑓(𝑥), posteriormente realicen la gráfica de 𝑔(𝑥) = log 1 (𝑥) utilizando la gráfica de 𝑓(𝑥) = log 2 (𝑥) y completen los recuadros. 2

CSEMS

74

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Gráfica de 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙

𝟏 𝒙

Gráfica de 𝒈(𝒙) = (𝟐)

El dominio de la función es:

¿Es una función inyectiva, suprayectiva, biyectiva o ninguna de las anteriores?

El rango de la función: Intersección(es) con el eje 𝑥:

¿Es creciente o decreciente?

Intersección(es) con el eje 𝑦:

Ecuación de la asíntota horizontal:

CSEMS

75

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Función logarítmica de base entre cero y uno

Propiedades de 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 con 𝟎 < 𝒂 < 𝟏

Una función logarítmica se caracteriza por representar una variación no constante de decrecimiento en sus imágenes, primero rápidamente y después lentamente. Para todos los números positivos 𝑎 entre 0 y 1, la función 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 presenta las características siguientes: 1. El dominio de la función logaritmo es: _______________________ 2. El rango de la función logaritmo es: _________________________ 3. La gráfica de la función logaritmo pasa por el punto: ____________ 4. La ecuación de la asíntota de la función logaritmo es: ___________ 5. La correspondencia de la función logaritmo es: ________________ 6. La función logaritmo es decreciente si la base 𝑎 esta entre 0 y 1.

10. Con base en la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = log 4 𝑥 y las trasformaciones de funciones vistas en el ADA 3, traza de color azul la gráfica de 𝑔(𝑥) = log 4 (𝑥 + 3) + 2, y de color rojo la gráfica de ℎ(𝑥) = log 4(𝑥 − 5) − 3. Una vez tengas la gráfica de cada función, determina la ecuación de la asíntota vertical de cada una.

Asíntota vertical de 𝒈(𝒙):

CSEMS

Asíntota vertical de 𝒉(𝒙):

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 11. Con apoyo de las gráficas trazadas en el apartado 7 y 8 de esta ADA, traza la gráfica de las siguientes funciones. Posteriormente determina el dominio de la función, así como la ecuación de su asíntota vertical.

𝑨(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (−𝒙)

Dominio:

Asíntota vertical:

𝑩(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝒙 − 𝟑) + 𝟒

Dominio:

CSEMS

Asíntota vertical:

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

𝑪(𝒙) = 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟒 (𝒙)

Dominio:

Asíntota vertical:

𝑫(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟏 (𝒙) 𝟒

Dominio:

CSEMS

Asíntota vertical:

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

𝑬(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟏 (𝒙) − 𝟑 𝟑

Dominio:

Asíntota vertical:

𝑭(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟏 (−𝒙) − 𝟐 𝟓

Dominio:

CSEMS

Asíntota vertical:

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 12. En binas, resuelvan cada una de las siguientes situaciones problemáticas relacionadas con la función logarítmica. Utiliza lo aprendido en el apartado 5 de esta ADA. Problema 1 Para calcular el área de la superficie del cuerpo de una persona se utiliza la fórmula empírica:

𝐥𝐨𝐠 𝑨 = −𝟐. 𝟏𝟒𝟒 + 𝟎. 𝟒𝟐𝟓 𝐥𝐨𝐠 𝒎 + 𝟎. 𝟕𝟐𝟓 𝐥𝐨𝐠 𝒉 donde 𝐴 representa el área en metros cuadrados, 𝑚 la masa en kilogramos y ℎ la altura en centímetros de la persona.

d) Calcula el área de la superficie de una persona cuya masa es de 80 kg y de 170 cm de altura.

e) Calcula la masa de una persona cuya área de la superficie de su cuerpo es 1.4574 𝑚2 y de 147 cm de altura.

f)

CSEMS

Calcula la altura de una persona cuya área de la superficie de su cuerpo es 1.7860 𝑚2 y de 68 kg de masa.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 2

En sismología los logaritmos se emplean para calcular la intensidad de un sismo por medio del siguiente modelo matemático: 𝐴 𝐼𝑅 = log 𝑡 Donde: 𝐼𝑅 : Intensidad del sismo (Escala Richter). 𝐴: Amplitud (micrómetros). 𝑡: Periodo (tiempo en segundos que dura una oscilación). a) ¿Cuál es la intensidad de un sismo en la escala de Richter si su amplitud es de 8 000 micrómetros y su periodo de 0.09 segundos?

b) El terremoto del 85’ que se sufrió en la CDMX y sus alrededores tuvo una escala de 8.1 escala Richter. Si el periodo de oscilación fue de 2.01 × 10−5 𝑠, ¿De cuánto fue la amplitud (micrómetros) del temblor?

CSEMS

81

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 3

La magnitud de un sonido (𝑑) en decibeles está dada por la expresión 𝑑 = 10(log 𝑃 + 16), donde 𝑃 es la potencia 𝑤𝑎𝑡𝑡𝑠/ 𝑐𝑚2 . a) Determina la magnitud en decibeles de un sonido cuya potencia es de 0.0027 𝑤𝑎𝑡𝑡𝑠/𝑐𝑚2 .

b) Determina la potencia de un sonido cuya magnitud es de 120 decibeles.

c) Calcula la potencia de un sonido cuya magnitud es de 135 decibeles.

d) Determina el dominio y la ecuación de la asíntota horizontal de la función.

CSEMS

82

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 4

La tasa a la que se carga una batería es más lenta si la batería está más cerca de su carga máxima 𝐶0 , 0 ≤ 𝐶0 ≤ 100. El tiempo (en horas) requerido para cargar una batería descargada por completo hasta una carga 𝐶, 0 ≤ 𝐶 ≤ 100, se expresa como: 𝐶 𝑡 = −𝑘 ln (1 − ) 𝐶0 Donde 𝑘 es una constante positiva que depende de la batería. a) Para cierta batería, 𝑘 = 0.25. Si esta batería está totalmente sin carga, ¿cuánto tiempo tomará cargar hasta 90% de su carga máxima 𝐶0 ?

b) Estima la carga que alcanzará la batería luego de 15 min de carga.

c) Estima la carga que alcanzará la batería luego de 25 min de carga.

d) Determina el dominio de la función y la ecuación de la asíntota horizontal.

CSEMS

83

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 5

El potencial hidrógeno, mejor conocido por la sigla pH, es un número que se utiliza para describir la acidez o la basicidad de una sustancia química y se define por la ecuación 𝑝𝐻 = − log[𝐻 + ] donde [𝐻 + ] mide la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. a) Determina el pH de una cerveza si [𝐻 + ] = 6.4 × 10−5 .

b) Establece la concentración de iones de hidrogeno [𝐻 + ] de una sustancia química cuyo pH sea 3.4.

Problema 6

Utiliza la formula del área de la superficie del cuerpo de una persona para apoyar en la elaboración de un traje de buceo. Si la persona tiene una masa de 110 kg y una estatura de 169 cm, ¿cuántos metros cuadrados de neopreno se utilizarán para elaborar el traje de buceo?

13. En plenaria revisar los procedimientos y resultados de los ejercicios anteriores.

CSEMS

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Recursos y materiales Documento con ejercicios y problemas. Evidencia de aprendizaje: Ejercicios integradores propuestos por el profesor. CRITERIOS DE EVALUACIÓN/ACREDITACIÓN POR ADA % OBTENIDO

CRITERIO 1. Presentación y entrega del trabajo  El trabajo cumple con las condiciones mínimas de presentación (limpieza, claridad y orden).  El trabajo cumple con las indicaciones adicionales del profesor.  La entrega del trabajo se realizó en el horario acordado por el profesor. Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla una o ambas condiciones, queda a criterio del profesor la valoración total o parcial de dicha actividad. 2. Participación en clase  El alumno muestra una actitud respetuosa con sus compañeros de clase y con su profesor.  El alumno participa en las dinámicas realizadas por el profesor en el aula.  El alumno realiza las actividades presenciales y no presenciales que el profesor indica en el aula.  El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades presenciales y no presenciales. 3. Resolución de problemas y ejercicios de la actividad  El alumno presenta en todos sus ejercicios la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta.  El alumno realizó las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. Nota: Queda a criterio del profesor la distribución del 30% de cada una de las condiciones presentadas. 4. Ejercicios integradores propuestos por el profesor  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la respuesta correcta.

/5%

/20%

/75%

Instrumento de evaluación: Rúbrica para los ejercicios integradores. Referencias  Angel, A. (2008). Álgebra intermedia. Séptima edición. México: Pearson Educación.  Ávila, E., Quijano, M. y Trejo, J. (2004). Matemáticas 4 Precálculo. México: Mc Graw Hill  Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas. México: Pearson Educación.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Escuela Preparatoria 1 Agosto/Diciembre 2019 Quinto Semestre Modelación Matemática II Unidad 2. Funciones trascendentales: exponencial, logarítmica, trigonométricas Actividad 6. Gráfica de funciones trigonométricas: seno y coseno Resultado de aprendizaje: Traza la gráfica de funciones circulares de la forma 𝑦 = 𝑎 sen(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 𝑜 𝑦 = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 a partir de la transformación de la función: 𝑦 = sen 𝑥 𝑜 𝑦 = cos 𝑥.

/ Tiempo presencial: 360 min / Tiempo Independiente: 60 min / Valor: 5 puntos / Descripción de la Secuencia de Actividad:

1. Lee la siguiente información relacionada con la medida de los ángulos y contesta lo que se te indica.

Un arco de una circunferencia, denotado ̂ , es una porción de circunferencia como 𝐴𝐵 delimitada por dos puntos A y B. Su medida es en grados. Se dice que toda la circunferencia tiene un arco de 360°.

Un ángulo central en una circunferencia es aquel que tiene como vértice al centro de la circunferencia, donde sus lados son los radios de la circunferencia. El ángulo que forma tiene la misma medida que el ̂ que forma. arco 𝐴𝐵

r

80°

80° r

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Cuando la medida del arco ̂ coincide con la medida 𝐴𝐵 del radio 𝑟 de la circunferencia, el ángulo central recibe el nombre de radián (rad).

Como se puede apreciar en las siguientes imágenes, el perímetro de la circunferencia equivale a 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔, es decir, aproximadamente 𝟔. 𝟐𝟖𝟑𝟐 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔.

r

r

r

Completa la siguiente tabla con las equivalencias más usuales de grados a radianes: Grados

Radianes

Grados

30° 45°

90°

210° 𝝅 𝒓𝒂𝒅 𝟒

5𝜋 𝑟𝑎𝑑 4

𝜋 𝑟𝑎𝑑 3

240°

𝝅 𝒓𝒂𝒅 𝟐

270°

120°

5𝜋 𝑟𝑎𝑑 3

135°

7𝜋 𝑟𝑎𝑑 4

180°

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Radianes

5𝜋 𝑟𝑎𝑑 6

330°

𝝅 𝒓𝒂𝒅

360°

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𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 2. De manera individual y presencial lee la siguiente información relacionada al cálculo del valor de una razón trigonométrica. Posteriormente resuelve el ejercicio. Tal vez te ha pasado que en un ejercicio de trigonometría tienes bien el procedimiento, pero no te habías fijado que tu calculadora estaba en radianes (R) por lo que te arrojaba resultados incorrectos, pero ¿por qué sucede esto? Como has de suponer en este momento, la calculadora en su modo R está utilizando la equivalencia de que 180° es aproximadamente 3.1416 radianes, por lo tanto, los valores numéricos que escribes, la calculadora los toma como radianes y no como grados. Para comprobar lo anterior verifica que tu calculadora esté en modo grados (D), a continuación, escribe 𝑆𝑖𝑛(45°), ahora cambia a modo 𝜋 4

radianes (R) y escribe su equivalencia, es decir 𝑆𝑖𝑛 ( ). ¿Obtuviste lo mismo?

Ejercicio. Determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas de números reales, ya sea realizando la conversión de radianes a grados o configurando la calculadora a radianes. Grados

Radianes

𝐬𝐞𝐧(𝟒𝟓°) 𝐜𝐨𝐬 (

𝟕𝝅 ) 𝟏𝟎

𝐭𝐚𝐧(𝟏𝟎𝟎°) 𝐬𝐞𝐧 (

𝟓𝝅 ) 𝟖

𝐜𝐨𝐬(𝝅) 𝐭𝐚𝐧(𝟑𝟎𝟎°) 𝐬𝐞𝐧 (

𝟕𝝅 ) 𝟒

𝐜𝐨𝐬(𝟐𝟐𝟓°)

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Valor numérico

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 3. Configura tu calculadora en radianes (R) y completa la tabla de valores para las funciones 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) & 𝑔(𝑥) = cos(𝑥). Utiliza un decimal. Posteriormente traza las gráficas de cada una de las funciones.

𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐧(𝒙)

𝑥

0

𝜋 4

𝜋 2

3𝜋 4

𝜋

5𝜋 4

3𝜋 2

7𝜋 4

2𝜋

5𝜋 4

3𝜋 2

7𝜋 4

2𝜋

𝑦

𝒈(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

𝑥

0

𝜋 4

𝜋 2

3𝜋 4

𝜋

𝑦

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 4. Con la ayuda de tu profesor, analiza cada una de las siguientes gráficas de funciones circulares y contesta lo que se te pide.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Características de la función 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐧 𝒙 La gráfica que tiene la función seno se caracteriza por tener oscilaciones, cuyos valores, después de recorrer el círculo unitario una vez, se empiezan a repetir. Decimos entonces que la función es periódica. La amplitud de una oscilación es la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo. El periodo de una oscilación es el tiempo necesario para completar el ciclo. Recordemos que para recorrer el círculo unitario necesitamos 2𝜋 radianes; entonces, el periodo de la función seno es 2𝜋. La amplitud de éstos es 1, pues es la mitad de la distancia de −1 a 1.

Propiedades de 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙)

En resumen, la función 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) presenta las características siguientes: 1. El dominio de la función seno es: _________________________ 2. El rango de la función seno es: ___________________________ 3. La gráfica se repite cada ________________ unidades, es decir, su periodo es ________________. 4. La intersección de la gráfica con el eje 𝑦 es ________________. 5. Las intersecciones con el eje 𝑥 son ________________, donde 𝑛 es un entero, es decir, 𝑛 = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } 6. La paridad de la función seno es: _________________________ 7. La separación máxima de la gráfica de esta función y el eje 𝑥 es igual a ____. Esta separación máxima es la amplitud de la gráfica. 8. El valor máximo de la función es 𝑦 = 1 y se presenta cuando ___________________, donde 𝑛 es un entero. 9. El valor mínimo de la función es 𝑦 = −1 y se presenta cuando ___________________, donde 𝑛 es un entero.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Características de la función 𝒈(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 La gráfica que tiene la función coseno, también se caracteriza por tener oscilaciones, cuyos valores, después de recorrer el círculo unitario una vez, se empiezan a repetir. Por lo que también se dice que la función es periódica.

La función 𝒈(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 presenta las características siguientes: 1. El dominio de la función coseno es: _______________________. 2. El rango de la función coseno es: _________________________. Propiedades de 𝒈(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙

3. La gráfica se repite cada ________________ unidades, es decir, su periodo es ________________. 4. La intersección de la gráfica con el eje 𝑦 es ________________. 5. Las intersecciones con el eje 𝑥 son ________________, donde 𝑛 es un entero, es decir, 𝑛 = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } 6. La paridad de la función coseno es: _______________________. 7. La separación máxima de la gráfica de esta función y el eje 𝑥 es igual a ____. Esta separación máxima es la amplitud de la gráfica. 8. El valor máximo de la función es 𝑦 = 1 y se presenta cuando ___________________, donde 𝑛 es un entero. 9. El valor mínimo de la función es 𝑦 = −1 y se presenta cuando ___________________, donde 𝑛 es un entero.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 5. Utiliza la gráfica del patrón principal de la función seno y coseno, para trazar la gráfica de cada una de las siguientes funciones, para ello utiliza las transformaciones aprendidas en el ADA 3. Posteriormente, para cada función determina el periodo, amplitud, rango y las posiciones de los nodos, máximos y mínimos. 𝑨(𝒙) = 𝟒 𝐬𝐞𝐧 𝒙

Periodo:

Amplitud:

Rango:

Posición de los nodos:

Posición del(los) mínimo(s):

Posición del(los) máximo(s):

𝑩(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(−𝒙)

Periodo:

Amplitud:

Rango:

Posición de los nodos:

Posición del(los) mínimo(s):

Posición del(los) máximo(s):

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 𝑪(𝒙) = − 𝐬𝐞𝐧 𝒙

Periodo:

Amplitud:

Rango:

Posición de los nodos:

Posición del(los) mínimo(s):

Posición del(los) máximo(s):

𝑫(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝝅) − 𝟑

Periodo:

Amplitud:

Rango:

Posición de los nodos:

Posición del(los) mínimo(s):

Posición del(los) máximo(s):

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 𝑬(𝒙) = −𝟑 𝐬𝐞𝐧(𝒙 − 𝟐𝝅) − 𝟏

Periodo:

Amplitud:

Rango:

Posición de los nodos:

Posición del(los) mínimo(s):

Posición del(los) máximo(s):

𝑭(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙/𝟑)

Periodo:

Amplitud:

Rango:

Posición de los nodos:

Posición del(los) mínimo(s):

Posición del(los) máximo(s):

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 𝑮(𝒙) = 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝒙)

Periodo:

Amplitud:

Rango:

Posición de los nodos:

Posición del(los) mínimo(s):

Posición del(los) máximo(s):

𝑯(𝒙) = 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝝅𝒙) + 𝟑

Periodo:

Amplitud:

Rango:

Posición de los nodos:

Posición del(los) mínimo(s):

Posición del(los) máximo(s):

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 6. De manera individual lee la siguiente información relacionada con la gráfica de funciones circulares de la forma 𝑦 = 𝑎 sen(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 & 𝑦 = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑. Posteriormente, con la ayuda de tu maestro, realicen las gráficas de 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) & ℎ(𝑥). AMPLITUD

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

El efecto de la constante 𝒂 en la función 𝒚 = 𝒂 𝐬𝐞𝐧(𝒃𝒙 + 𝒄) + 𝒅 & 𝒚 = 𝒂 𝐜𝐨𝐬(𝒃𝒙 + 𝒄) + 𝒅

consiste en aumentar o disminuir los valores de la función 𝑦 = 𝑎 sen(𝑏𝑥 + 𝑐) & 𝑦 = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) sin afectar los valores de 𝑥, respectivamente. Es decir, la 𝒂 representa el estiramiento o el acortamiento vertical de las gráficas básicas de seno y coseno. Así, para calcular la amplitud utilizamos la fórmula:

𝒚𝒎á𝒙 − 𝒚𝒎í𝒏 𝑨 = |𝒂| = 𝟐

El efecto de la constante 𝒅 en la función 𝒚 = 𝒂 𝐬𝐞𝐧(𝒃𝒙 + 𝒄) + 𝒅 & 𝒚 = 𝒂 𝐜𝐨𝐬(𝒃𝒙 + 𝒄) + 𝒅

consiste en trasladar hacia arriba o abajo las gráficas de las funciones 𝑦 = sen 𝑥 & 𝑦 = cos 𝑥, sin afectar los valores de 𝑥, respectivamente. Es decir: 

Si 𝒅 es positivo, la gráfica se traslada 𝑑 unidades hacia arriba.



Si 𝒅 es negativo, la gráfica se traslada 𝑑 unidades hacia abajo.

PERIODO

DESFASE El desplazamiento de fase horizontal de las funciones

En general, el periodo 𝑷 de las funciones 𝒚 = 𝒂 𝐬𝐞𝐧(𝒃𝒙 + 𝒄) + 𝒅 & 𝒚 = 𝒂 𝐜𝐨𝐬(𝒃𝒙 + 𝒄) + 𝒅

𝒚 = 𝒂 𝐬𝐞𝐧(𝒃𝒙 + 𝒄) + 𝒅 & 𝒚 = 𝒂 𝐜𝐨𝐬(𝒃𝒙 + 𝒄) + 𝒅

se calcula por medio de la expresión:

𝑷=

es:

𝟐𝝅 |𝒃|

𝑫𝒇𝒂𝒔𝒆 = −

Donde |𝑏| es un número positivo, es decir,

𝒄 𝒃

En caso de que 𝑫𝒇𝒂𝒔𝒆 sea negativo, la gráfica de 𝑦 = 𝑎 sen(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 se puede construir desplazando hacia la izquierda Además, podemos afirmar lo siguiente:  Si 0 < |𝑏| < 1, entonces la gráfica una cantidad 𝒄/𝒃 a la función 𝑦 = 𝑎 sen(𝑏𝑥) + 𝑑. básica del seno o la del coseno se En caso de que 𝑫 𝒇𝒂𝒔𝒆 sea positivo, la amplía o dilata horizontalmente. gráfica de 𝑦 = 𝑎 sen(𝑏𝑥 + 𝑐) se puede |𝑏| > 0.



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Si |𝑏| > 1, entonces la curva básica del construir desplazando hacia la derecha una cantidad 𝒄/𝒃 a la función 𝑦 = seno o del coseno se contrae 𝑎 sen(𝑏𝑥) + 𝑑. horizontalmente. La función coseno, cumple también con lo expuesto sobre el desplazamiento de fase.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 7. Con apoyo del maestro, traza la gráfica de las funciones 𝑓, 𝑔 & ℎ. Determinen la amplitud, el desplazamiento vertical, el periodo y el desfase para cada función.

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DESPLAZAMIENTO VERTICAL

DESFASE

AMPLITUD

PERIODO

𝒙 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐧 ( + 𝝅) 𝟐

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

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100

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

DESFASE

AMPLITUD

PERIODO

𝒈(𝒙) = 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙 − 𝝅) + 𝟏

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

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101

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

DESFASE

AMPLITUD

PERIODO

𝝅 𝒉(𝒙) = −𝟑 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒙 + 𝟐𝝅) − 𝟏 𝟐

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 8. Determinar la amplitud, el periodo, el desfase y el desplazamiento vertical de las funciones trigonométricas siguientes: Amplitud: Función 1

Periodo:

𝜋 𝑦 = 3 sen (𝑥 − ) + 2 2 Desfase:

Desplazamiento vertical:

Amplitud: Función 2

Periodo:

𝜋 𝑦 = 2 cos (𝑥 + ) − 3 4 Desfase:

Desplazamiento vertical:

Amplitud: Función 3 1 𝜋 7 𝑦 = cos (𝜋𝑥 − ) + 2 3 2 Periodo:

Desfase:

Desplazamiento vertical:

Amplitud: Función 4

Periodo:

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𝑥 𝜋 𝑦 = −3 sen ( − ) − 1 2 2 Desfase:

Desplazamiento vertical:

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 9. Traza la gráfica de las siguientes funciones de la forma 𝑦 = 𝑎 sen(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 o 𝑦 = 𝑎 cos(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 a partir de la transformación de la función: 𝑦 = sen 𝑥 𝑜 𝑦 = cos 𝑥. Adicionalmente determina la amplitud, periodo, desface y el desplazamiento vertical de cada función.

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DESPLAZAMIENTO VERTICAL

DESFASE

AMPLITUD

PERIODO

𝒙 𝝅 𝑨(𝒙) = 𝟒𝐜𝐨𝐬 ( − ) + 𝟏 𝟐 𝟐

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

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DESPLAZAMIENTO VERTICAL

DESFASE

AMPLITUD

PERIODO

𝒙 𝝅 𝑩(𝒙) = − 𝐬𝐞𝐧 ( + ) + 𝟏 𝟐 𝟐

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

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DESPLAZAMIENTO VERTICAL

DESFASE PERIODO

𝟑𝒙 + 𝝅) + 𝟐 𝟒

AMPLITUD

𝑪(𝒙) = −𝟐 𝐜𝐨𝐬 (

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

DESFASE

AMPLITUD

PERIODO

𝝅 𝑫(𝒙) = 𝟑𝐬𝐞𝐧 (𝟒𝒙 − ) + 𝟐 𝟒

10. En plenaria revisar los procedimientos y resultados de los ejercicios anteriores.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Recursos y materiales Documento con ejercicios y problemas. Evidencia de aprendizaje: Ejercicios integradores propuestos por el profesor. CRITERIOS DE EVALUACIÓN/ACREDITACIÓN POR ADA % OBTENIDO

CRITERIO 1. Presentación y entrega del trabajo  El trabajo cumple con las condiciones mínimas de presentación (limpieza, claridad y orden).  El trabajo cumple con las indicaciones adicionales del profesor.  La entrega del trabajo se realizó en el horario acordado por el profesor. Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla una o ambas condiciones, queda a criterio del profesor la valoración total o parcial de dicha actividad. 2. Participación en clase  El alumno muestra una actitud respetuosa con sus compañeros de clase y con su profesor.  El alumno participa en las dinámicas realizadas por el profesor en el aula.  El alumno realiza las actividades presenciales y no presenciales que el profesor indica en el aula.  El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades presenciales y no presenciales. 3. Resolución de problemas y ejercicios de la actividad  El alumno presenta en todos sus ejercicios la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta.  El alumno realizó las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. Nota: Queda a criterio del profesor la distribución del 30% de cada una de las condiciones presentadas. 4. Ejercicios integradores propuestos por el profesor  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la respuesta correcta.

/5%

/20%

/75%

Instrumento de evaluación: Rúbrica para los ejercicios integradores. Referencias  Angel, A. (2008). Álgebra intermedia. Séptima edición. México: Pearson Educación.  Cantoral, R.; Montiel, G. (2014) Precálculo, un enfoque visual. Primera edición. México: Pearson Educación.  Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas. México: Pearson Educación.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Escuela Preparatoria 1 Agosto/Diciembre 2019 Quinto Semestre Modelación Matemática II Unidad 2. Funciones trascendentales: exponencial, logarítmica, trigonométricas Actividad 7. Problemas relacionados a la función seno y coseno Resultado de aprendizaje: Resuelve problemas de las ciencias naturales y sociales modelados con funciones trigonométricas (seno o coseno), considerando la pertinencia del uso de las TIC.

/ Tiempo presencial: 360 min / Tiempo Independiente: 60 min / Valor: 9 puntos / Descripción de la Secuencia de Actividad:

1. En binas o equipos colaborativos, resuelvan las siguientes situaciones problemáticas. Situación problemática 1 Una persona aspira y expira cada cuatro segundos. El volumen del aire en los pulmones varía entre un mínimo de dos litros y un máximo de cuatro litros. ¿Cuál de las ecuaciones siguientes es la mejor para describir el volumen de aire en los pulmones de la persona como una función del tiempo en segundos? Función 1

Función 3

𝜋𝑡 𝑦 = 2 + 2 sen ( ) 4 𝜋𝑡 𝑦 = 3 + sen ( ) 2

Función 2 𝑦 = 3 + sen ( Función 4

𝑦 = 2 + 2 sen (

Describe el procedimiento que utilizaron para obtener la respuesta.

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𝜋𝑡 ) 4

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𝜋𝑡 ) 2

Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Situación problemática 2 Si una persona tiene una presión sanguínea de 140 sobre 90, entonces su presión sanguínea oscila entre un máximo de 140 y un mínimo de 90. Con base en estos datos determinen: a) La ecuación para la línea media en torno a la cual oscila la presión sanguínea de la persona.

b) Supongan que el pulso de la persona es de 60 pulsaciones por minuto y escriban una función seno que represente su presión sanguínea en función del tiempo en segundos.

La frecuencia 𝑓 es el número de periodos o ciclos por unidad de tiempo en que ocurre un fenómeno, y es el recíproco del periodo, es decir,

𝒇=

𝟏 𝑷

La unidad de tiempo para medir la frecuencia 𝑓 es el 𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧, donde 1 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 1 𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 (𝐻𝑧) = 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Situación problemática 3 La posición 𝑑 de un objeto atado al extremo de un resorte que oscila verticalmente con movimiento armónico simple se describe por medio de la 𝜋 función 𝑑 = 8 𝑐𝑜𝑠 ( 4 𝑡), donde 𝑑 se mide en centímetros (cm) y 𝑡 es el tiempo medido en segundos 𝑠. Determina lo que se indica en cada inciso. a) El desplazamiento del objeto a los 3 segundos.

b) El desplazamiento del objeto a los 8 segundos.

c) El desplazamiento máximo del objeto.

d) El periodo de la función.

e) La frecuencia.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial 2. De manera individual, resuelve cada una de las situaciones problemáticas siguientes. Problema 1 Escribe una función seno que represente la oscilación de las mareas en una playa, si el punto de equilibrio es de 8 pies, la amplitud de 4 pies, el desplazamiento de fase de 5 horas (a la izquierda) y el periodo de 12 horas.

Respuesta:

Problema 2 Un adulto sentado inhala y exhala aire cada 3 segundos. La cantidad máxima de aire en los pulmones es 0.82 litros y la mínima de 0.08 litros. Supón que en 𝑡 = 0 los pulmones tienen la mínima cantidad de aire. Determina una función coseno que represente la cantidad de aire en los pulmones. Nota: La función buscada es de la forma 𝑦 = −𝐴 cos 𝐵𝑥 + 𝐷

Resultado:

Problema 3

Una boya en un muelle se balancea hacia arriba y hacia abajo. La distancia entre los puntos superior e inferior es de 160 cm. La boya se mueve desde un punto más alto hacia abajo, a su punto inferior, y de regreso a su punto de partida cada 12 segundos. Determina la ecuación del movimiento de la boya si suponemos que está en su punto de equilibrio en 𝑡 = 0 y el sentido de su ruta en ese momento es hacia abajo. (Recuerda: si la gráfica pasa por el origen y baja, entonces la ecuación periódica buscada es de la forma 𝑦 = −𝐴 sen 𝐵𝑥).

Resultado:

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 4

Problema 5

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5𝜋𝑡

La función dada por 𝑃(𝑥) = 100 − 20 cos ( 3 ) aproxima la presión sanguínea, 𝑃 (en milímetros), de mercurio en el instante 𝑡 (en segundos), de una persona en reposo. a) Determine el periodo de la función. b) Determine el número de latidos por minuto.

En un circuito de corriente alterna, la intensidad de la corriente 𝐼 medida en amperes (𝐴) se determina por la función 𝐼 = 40 sen(30𝜋𝑡 − 6𝜋) Donde 𝑡 es el tiempo en segundos. Determina la máxima intensidad de la corriente, el periodo de la corriente, la frecuencia de la corriente, el desfase de fase de la corriente.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

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Problema 6

Cuando afina un piano, un técnico golpea un diapasón de afinación para obtener una nota musical y produce un movimiento ondulatorio que puede aproximarse por 𝑦 = 0.001 sen(880𝜋𝑡), donde 𝑡 es el tiempo (en segundos). a) ¿Cuál es el periodo de la función? b) ¿Cuál es la frecuencia de la nota?

Problema 7

Una rueda de la fortuna se construye de tal forma que la altura, ℎ (en metros), desde el suelo, hasta un asiento sobre la rueda, en el tiempo 𝑡 (en segundos), se puede modelar por 𝜋 𝜋 ℎ(𝑡) = 16 + 15 sen ( 𝑡 − ) 10 2 a) Determine el periodo del modelo. ¿Qué le indica el periodo acerca del paseo en la rueda? b) Determine la amplitud del modelo. ¿Qué le indica la amplitud acerca del paseo en la rueda?

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 8

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En cierto punto del océano, el desplazamiento vertical del agua, debido a la acción de las olas, está dado por 𝜋 𝑦 = 3 sen [ 6 (𝑡 − 5)], donde 𝑦 se mide en metros y 𝑡 está en segundos. a) Determina la amplitud, el periodo y el desfase de la gráfica de esta acción de las olas. b) El desplazamiento vertical máximo y mínimo. c) La frecuencia en Hertz (Hz). d) Traza un ciclo completo de esta función.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 9

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La intensidad de la corriente 𝐼 que produce un generador de corriente alterna se describe mediante la ecuación 𝐼 = 30 sen(50𝜋𝑡 − 8𝜋) Donde 𝑡 es el tiempo en segundos e 𝐼 se mide en amperes. Determina lo que se pide en cada inciso. a) La intensidad de corriente máxima. b) El periodo de la función. c) La frecuencia en Hertz (Hz). d) Traza un ciclo completo de esta función.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Para una persona en reposo la velocidad, 𝑣 (en litros por segundo), de flujo de aire durante un ciclo respiratorio (el tiempo desde el inicio de una respiración hasta el inicio de la siguiente), está dada por: 𝜋𝑡 𝑣 = 0.85 sen ( ) 3 Donde 𝑡 es el tiempo (en segundos), la inhalación ocurre cuando 𝑣 > 0 y la exhalación cuando 𝑣 < 0. e) Determine el tiempo para un ciclo respiratorio completo. f) Encuentre el número de ciclos por minuto. g) Trace la gráfica de la función velocidad.

Problema 10

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Problema 11

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En un circuito de corriente alterna, la intensidad de la corriente 𝐼 medida en amperes(𝐴) se determina por la función 𝐼 = 30 sen(40𝜋𝑡 − 8𝜋) Donde 𝑡 es el tiempo en segundos. A partir de estos datos determina: a) La máxima intensidad de corriente. b) El periodo de la corriente. c) La frecuencia de la corriente. d) El desplazamiento de fase de la corriente. e) Traza un ciclo completo de esta función.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 12

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El voltaje 𝑉 de la toma de corriente domiciliaria está dado como una función del tiempo 𝑡 (en segundos): 𝑉(𝑡) = 𝑉0 cos(60𝜋𝑡) a) ¿Cuál es el periodo de la oscilación? b) ¿Qué representa 𝑉0 ? c) Bosqueja una gráfica de 𝑉 contra 𝑡 considerando un valor positivo para 𝑉0 . d) Si 𝑉0 = 1.5 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠, ¿cuál es el voltaje el tiempo 𝑡 = 30 𝑠?

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 13

Una compañía que fábrica equipos de aire acondicionado para carros tiene ventas dadas por la siguiente función: 𝜋 𝑉(𝑡) = 10 [1 − cos ( 𝑡)] 6 Donde 𝑡 es el tiempo en meses y 𝑉 está en miles de dólares. a) Construye la gráfica de la función para el intervalo de 12 meses [0,12]. b) ¿Cuál es el periodo de la función? c) ¿Cuál es la mínima cantidad de ventas y cuándo ocurre? d) ¿Cuál es la máxima cantidad de ventas y cuándo ocurre?

3. En plenaria revisar los procedimientos y resultados de los ejercicios anteriores.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Recursos y materiales Documento con ejercicios y problemas. Evidencia de aprendizaje: Ejercicios integradores propuestos por el profesor. CRITERIOS DE EVALUACIÓN/ACREDITACIÓN POR ADA 1. Presentación y entrega del trabajo  El trabajo cumple con las condiciones mínimas de presentación (limpieza, claridad y orden).  El trabajo cumple con las indicaciones adicionales del profesor.  La entrega del trabajo se realizó en el horario acordado por el profesor. Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla una o ambas condiciones, queda a criterio del profesor la valoración total o parcial de dicha actividad. 2. Participación en clase  El alumno muestra una actitud respetuosa con sus compañeros de clase y con su profesor.  El alumno participa en las dinámicas realizadas por el profesor en el aula.  El alumno realiza las actividades presenciales y no presenciales que el profesor indica en el aula.  El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades presenciales y no presenciales. 3. Resolución de problemas y ejercicios de la actividad  El alumno presenta en todos sus ejercicios la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta.  El alumno realizó las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. Nota: Queda a criterio del profesor la distribución del 30% de cada una de las condiciones presentadas. 4. Ejercicios integradores propuestos por el profesor  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta, en todos los ejercicios, la respuesta correcta.

/5%

/20%

/75%

Instrumento de evaluación: Rúbrica para los ejercicios integradores. Referencias  Cuéllar, J. (2016). Matemáticas IV. Cuarta edición. México: McGraw Hill Education.  Larson, R.; Hostetler, R. (2008) Precálculo. Séptima Edición. México: Reverté Ediciones.  Prado, C.; Quezada, M.; Santiago, R.; Gómez, J.; Aguilar, G.; Ruiz, B.; Rodríguez, G.; Florido, A. (2006) Precálculo. Enfoque de resolución de problemas. México: Pearson Educación de México, S.A. de C.V.  Steward, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2007). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Quinta edición, México: Thomson.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Escuela Preparatoria 1 Agosto/Diciembre 2019 Quinto Semestre Modelación Matemática II Problemario

Problema 1

Un arrecife de coral se erosiona a un ritmo de 6 cm por año. Si actualmente mide 50 metros de ancho, ¿cuánto medirá dentro de 30 años? Datos

Resolución:

Respuesta:

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Problema 2

Un constructor apila cierto número de bloques de granito de la siguiente manera: 15 bloques en la base y 2 menos en cada fila superior a la anterior. Si en la última fila superior colocó 1, encuentra el total de bloques que apiló. Datos

Resolución:

Respuesta:

Problema 3

Se apilarán 135 rollos de tela de tal manera que la base tendrá el doble de rollos que la última, y la diferencia de rollos entre cada una de las capas será de 1. ¿Cuántos rollos debe tener la última capa? Datos

Resolución:

Respuesta:

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Problema 4

Un individuo conviene en pagar una deuda de $36 000 en 40 pagos parciales anuales que forman una progresión aritmética. Cuando 30 de los pagos están cubiertos, el deudor fallece dejando una tercera parte de la deuda sin cancelar. Calcule el valor del primer pago. Datos

Resolución

Respuesta:

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Problema 5

Dos viajeros salen al mismo tiempo de dos ciudades A y B, y van al encuentro uno del otro. El que parte de A camina 1 Km el primer día, 2 Km el segundo día, 3 Km el tercer día, y así sucesivamente. El que parte de B camina 20 Km el primer día, 18 Km el segundo día, 16 Km el tercer día, y así sucesivamente. Si la distancia entre A y B es de 165 Km, ¿en cuántos días se encontrarán? Datos

Resolución:

Respuesta:

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Problema 6

La compañía de dulces La Pasita compró una máquina registradora a un precio de $12 000. Al cabo de 6 años la vendió en $5 520. La depreciación anual es constante, calcula el valor de la registradora al final de cada año. Datos

Resolución:

Respuesta:

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Problema 7

El lado norte de un tejado de una casa lo forman 476 tejas, ordenadas de tal forma que la primera hilera tiene 80 y la última 56. Determina el número de hileras y el de tejas que contiene cada hilera. Datos

Resolución:

Respuesta:

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Problema 8

Si el lado norte de un tejado consta de 𝑥 menos 50 hileras, y 𝑥 es el número de tejas que tiene la primera hilera. Si las hileras subsecuentes exceden en 4 tejas a la anterior, y el total de tejas utilizadas es de 576, determina el número de hileras y mediante una interpolación precisa el número de tejas de cada hilera. Datos

Resolución:

Respuesta:

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Introducción: La función logística describe mucho mejor que la exponencial lo que realmente ocurre con las poblaciones de seres vivos. En general, la función logística asociada a una exponencial es: N = cet, donde c, es la población inicial y “x”, es el tiempo. 𝑀

La Función Logística es 𝑁 = 1+𝑏𝑒−𝑐𝑡, donde M es la población límite, K = (M / c) - 1

Se difunde un rumor en una población de tamaño M. Sea 𝑁 = 𝑁(𝑡) el número de personas que conocen el rumor en el tiempo 𝑡, con 𝑏 y 𝑐 contantes, entonces:

Situación problemática 1 En una gran preparatoria de Yucatán con una matrícula de 4 500 estudiantes (Prepa Uno UADY obvio), un estudiante con especialidad en sociales está investigando la difusión de un rumor en la escuela. Cuando comienza su investigación, determina que 300 estudiantes conocen el rumor. Después de una semana, determina que 900 lo conocen. Estimar el número de estudiantes que conocen el rumor después de 4 semanas de comenzada la investigación, suponiendo un crecimiento logístico.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Situación problemática 2 ¡Guerra mundial Uay! En el estado de Yucatán de 2 millones de habitantes, un virus zombi se libera por culpa de los fuereños que llegan de visita al Estado. Cuando el virólogo yucateco comienza su investigación, determina que en total hay 1 500 personas infectadas. Después de una semana, determina que en total hay 40 000. A) Estimar el número de personas infectadas que habrá después de 3 semanas de comenzada la investigación, suponiendo un crecimiento logístico. B) Determina la ecuación de la asíntota horizontal y contesta: ¿qué sucede con la población infectada después de que transcurre una gran cantidad de semanas? Puedes apoyarte de un graficador.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 3

Un cultivo de 20 000 bacterias aumenta su población 25% por hora. ¿Cuántas bacterias se generan en la sexta hora? Datos

Resolución:

Respuesta:

Problema 4

Una compañía de autos tiene estimado vender 5 000 autos en 2017 y durante los 10 años siguientes incrementar en 5% anual las ventas con respecto al año anterior. Determina cuántos automóviles pretende vender la compañía en ese periodo. Datos

Resolución:

Respuesta:

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Problema 5

Una epidemia ataca a 2 500 habitantes de una población en 2014, y cada año que transcurre la clínica de salud de la entidad observa que las personas que padecen la enfermedad se incrementan en un 5%. ¿Cuántos habitantes habrán padecido la enfermedad para el 2020? Datos

Resolución:

Respuesta:

Problema 6

La población en México en el año 2000 está cuantificada en 100 millones de personas. Si para el año 2002 las autoridades registraron 104 millones de mexicanos, ¿a qué ritmo está creciendo la población de nuestro país? Si se mantiene este crecimiento, para el año 2010, ¿cuántos habitantes tendrá el territorio mexicano? Datos

Resolución:

Respuesta:

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 7

Durante el año 2005 cierto hospital atendió 5 110 partos; sin embargo, este número se incrementó 10% anual. ¿Cuántos partos estima el hospital atender desde 2006 hasta el año 2010? Datos

Resolución:

Respuesta:

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Problema 8

Se deja caer una pelota de caucho desde una altura de 12 metros. Se observa que rebota directo hacia arriba y hacia abajo, y que cada rebote sube exactamente las tres cuartas partes de lo que acaba de bajar. A) ¿Qué altura alcanzará la pelota después del séptimo rebote? B) ¿Qué distancia habrá recorrido la pelota desde el momento que es dejada caer si es atrapada al llegar a la cúspide del séptimo rebote? Datos

Resolución:

Respuesta: A) B)

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Problema 5

Una pizzería compra una motocicleta en $42 000 para el reparto de su mercancía. Se calcula que su vida útil será de 4 años y al final de ella su valor de desecho será de $15 000, determinada la tasa de depreciación anual de la motocicleta. Datos

Resolución:

Respuesta:

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Situación problemática 1 Para calcular el área de la superficie del cuerpo de una persona se utiliza la fórmula empírica log 𝐴 = −2.144 + 0.425 log 𝑚 + 0.725 log ℎ, donde 𝐴 representa el área en metros cuadrados, 𝑚 la masa en kilogramos y ℎ la altura en centímetros de la persona. a) Calcula el área de la superficie de una persona cuya masa es de 80 kg y de 170 cm de altura.

b) Calcula la masa de una persona cuya área de la superficie de su cuerpo es 1.4574 𝑚2 y de 147 cm de altura.

c) Calcula la altura de una persona cuya área de la superficie de su cuerpo es 1.7860 𝑚2 y de 68 kg de masa.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Situación problemática 2 El carbono 14 ( 14𝐶 ) es un isótopo radiactivo del carbono que utilizan los antropólogos para datar fósiles y objetos antiguos, es decir, para establecer el tiempo que existieron o se hicieron, respectivamente. La datación por carbono 14 se utiliza porque los seres vivos tienen dos tipos de carbono, el carbono 12 ( 12𝐶 ) y el carbono 14 ( 14𝐶 ). Mientras un organismo tiene vida la razón de 14𝐶 a 12 𝐶 es constante, pero al morir en tanto que la cantidad de 12𝐶 permanece igual, la de 14𝐶 decrece exponencialmente. Esta variación permite calcular la edad de los restos fósiles. La vida media (es decir, el tiempo que tarda una cantidad de sustancia en reducirse a la mitad) del carbono 14 es de 5 730 años. a) Determina la ecuación particular que relaciona la cantidad de carbono 14 presente en un fósil y el tiempo que transcurre desde que murió el organismo. Considera que 𝑃 = 𝑒 −𝑟𝑡 es la fórmula para calcular el decaimiento exponencial, donde 𝑃 es el porcentaje de carbono 14 que contiene el fósil u organismo muerto (en forma decimal,0 ≤ 𝑝 ≤ 1), 𝑟 es una constante y 𝑡 la cantidad de años que lleva muerto el organismo.

b) El cráneo de un organismo muerto contiene 15% del carbono 14 con respecto al que tenía al momento de fallecer. Estima hace cuántos años murió el organismo.

c) Determina la ecuación de la asíntota horizontal de la función y contesta: ¿qué sucede con el 14𝐶 de un organismo muerto cuando transcurre una gran cantidad de años?

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Situación problemática 3 El modelo

𝑥 𝑡 = 12.542 ln ( ) , 𝑥 > 1000 𝑥 − 1000 aproxima la duración de la hipoteca de una casa de $150 000 dólares a 8% en términos de pago mensual. En el modelo, 𝑡 es la duración de la hipoteca en años y 𝑥 es el pago mensual en dólares (vea la gráfica de la función). a) Use el modelo para aproximar la duración de una hipoteca de $150 000 dólares al 8% cuando el pago mensual es de $1 200 dólares.

b) Use el modelo para determinar el pago mensual de una hipoteca de $150 000 dólares al 8% mensual, si se desea saldar en 25 años.

c) Use el modelo para determinar el pago mensual de una hipoteca de $150 000 dólares al 8% mensual, si se desea saldar en 15 años.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 0

La tasa a la que se carga una batería es más lenta si la batería está más cerca de su carga máxima 𝐶0 , 0 ≤ 𝐶0 ≤ 100. El tiempo (en horas) requerido para cargar una batería descargada por completo hasta una carga 𝐶, 0 ≤ 𝐶 ≤ 100, se expresa como: 𝐶 𝑡 = −𝑘 ln (1 − ) 𝐶0 Donde 𝑘 es una constante positiva que depende de la batería. a) Para cierta batería, 𝑘 = 0.25. Si esta batería está totalmente sin carga, ¿cuánto tiempo tomará cargar hasta 90% de su carga máxima 𝐶0 ?

b) Estima la carga que alcanzará la batería luego de 15 min de carga.

c) Estima la carga que alcanzará la batería luego de 25 min de carga.

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial INTRODUCCIÓN: La ley del enfriamiento de Newton se emplea en diversas situaciones como las variaciones de temperatura, que son fundamentales, por ejemplo: en investigaciones de homicidios para determinar la hora de la muerte. Es así que si un cuerpo se enfría a partir de una temperatura 𝑇𝑖 hasta la temperatura de su entorno 𝑇0 , 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑚𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑛 °𝐶, la ley de enfriamiento de éste, está dada por la ecuación: 𝑇 − 𝑇0 = (𝑇𝑖 − 𝑇0 )𝑒 −𝑘𝑡 Problema 1

La temperatura corporal normal de una persona viva es de 37 °C. Inmediatamente después de la muerte el cuerpo comienza a enfriarse. Se ha determinado de manera experimental que la constante en la ley de Newton del enfriamiento es aproximadamente 𝑘 = 0.1947, asumiendo que el tiempo se mide en horas. Suponga que la temperatura del entorno es de 16 °C. a) Determina la función 𝑇(𝑡) que modela la temperatura con respecto a 𝑡 horas después de la muerte.

b) Si la temperatura del cuerpo es de 20°C, ¿cuánto tiempo transcurrió desde que falleció?

c) Determina la ecuación de la asíntota horizontal y contesta: ¿qué sucede con la temperatura del cuerpo después de que transcurre una gran cantidad de horas?

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial

Problema 2

Supongamos que una taza de café tiene una temperatura de 92 °C y se coloca en una habitación que tiene una temperatura de 21 °C. a) Determine la constante en la ley de enfriamiento de Newton 𝑘, si se sabe que después de 10 min la temperatura del café es 66 °C.

b) Determine la función que modela la temperatura del café en el tiempo 𝑡.

c) Calcule la temperatura del café después de 15 min.

d) ¿En qué momento el café se habrá enfriado a 38°C?

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Problema 3

En sismología los logaritmos se emplean para calcular la intensidad de un sismo por medio del siguiente modelo matemático: 𝐴 𝐼𝑅 = log 𝑡 Donde: 𝐼𝑅 : Intensidad del sismo (Escala Richter). 𝐴: Amplitud (micrómetros). 𝑡: Periodo (tiempo en segundos que dura una oscilación). a) ¿Cuál es la intensidad de un sismo en la escala de Richter si su amplitud es de 8 000 micrómetros y su periodo de 0.09 segundos?

b) El terremoto del 85’ que se sufrió en la CDMX y sus alrededores tuvo una escala de 8.1 escala Richter. Si el periodo de oscilación fue de 2.01 × 10−5 𝑠, ¿De cuánto fue la amplitud (micrómetros) del temblor?

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Problema 4

Si la contaminación en una laguna se detuviera, el nivel de contaminantes disminuiría según la fórmula: 𝐶(𝑡) = 𝐶0 𝑒 −0.3821𝑡 Donde 𝑡 es el tiempo en años y 𝐶0 es el nivel de contaminantes en el momento que dejó de haber contaminación. a) ¿Cuántos años tardarían en limpiarse el 70% de los contaminantes?

b) ¿Qué porcentaje 𝐶(𝑡)/𝐶0 de la contaminación inicial quedaría a los 8 años de haber iniciado la limpieza del lago?

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Problema 5

El potencial hidrógeno, mejor conocido por la sigla pH, es un número que se utiliza para describir la acidez o la basicidad de una sustancia química y se define por la ecuación 𝑝𝐻 = − log[𝐻 + ], donde [𝐻 + ] mide la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. a) Determina el pH de una cerveza si [𝐻 + ] = 6.4 × 10−5 .

b) Establece la concentración de iones de hidrogeno [𝐻 + ] de una sustancia química cuyo pH sea 3.4.

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Problema 6

En la escuela Preparatoria Uno de la UADY hay 4500 estudiantes, de los cuales 50 saben de un código de Uber de 100% de descuento. Después de un día, ya son 150 estudiantes que saben de dicho código. Estimar el número de personas que saben del código después de cinco días, suponiendo un crecimiento logístico.

Problema 7

Utiliza la formula del área de la superficie del cuerpo de una persona para apoyar en la elaboración de un traje de buceo. Si la persona tiene una masa de 110 kg y una estatura de 169 cm, ¿cuántos metros cuadrados de neopreno se utilizarán para elaborar el traje de buceo?

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Bachillerato General UADY Modalidad Presencial Problema 8

La magnitud de un sonido (𝑑) en decibeles está dada por la expresión 𝑑 = 10(log 𝑃 + 16), donde 𝑃 es la potencia 𝑤𝑎𝑡𝑡𝑠/ 𝑐𝑚2 . a) Determina la magnitud en decibeles de un sonido cuya potencia es de 0.0027 𝑤𝑎𝑡𝑡𝑠/𝑐𝑚2 .

b) Determina la potencia de un sonido cuya magnitud es de 120 decibeles.

c) Calcula la potencia de un sonido cuya magnitud es de 135 decibeles.

d) Determina la magnitud de un sonido cuya potencia es de 0.0020 𝑤𝑎𝑡𝑡𝑠/𝑐𝑚2 .

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Recursos y materiales Documento con ejercicios y problemas. Evidencia de aprendizaje: Ejercicios integradores propuestos por el profesor. CRITERIOS DE EVALUACIÓN/ACREDITACIÓN POR ADA 1. Presentación y entrega del trabajo  El trabajo cumple con las condiciones mínimas de presentación (limpieza, claridad y orden).  El trabajo cumple con las indicaciones adicionales del profesor.  La entrega del trabajo se realizó en el horario acordado por el profesor. Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla una o ambas condiciones, queda a criterio del profesor la valoración total o parcial de dicha actividad. 2. Resolución de problemas y ejercicios de la actividad  El alumno presenta en todos sus ejercicios la resolución mostrada por el profesor durante las sesiones de clase.  El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta correcta.  El alumno realizó las correcciones de sus ejercicios de acuerdo con la retroalimentación presentada de forma presencial o no presencial. Nota: Queda a criterio del profesor la distribución del 30% de cada una de las condiciones presentadas.

/100%

Instrumento de evaluación: Rúbrica para los ejercicios del problemario. Referencias  Carreño, X.; Cruz, X. (2002) Álgebra Arrayán. Segunda edición. Santiago de Chile: Arrayán Editores S.A.  Cuéllar, J. (2016). Matemáticas IV. Cuarta edición. México: McGraw Hill Education.  Larson, R.; Hostetler, R. (2008) Precálculo. Séptima Edición. México: Reverté Ediciones.  Prado, C.; Quezada, M.; Santiago, R.; Gómez, J.; Aguilar, G.; Ruiz, B.; Rodríguez, G.; Florido, A. (2006) Precálculo. Enfoque de resolución de problemas. México: Pearson Educación de México, S.A. de C.V.  Steward, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2007). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Quinta edición, México: Thomson.

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