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• Julieta Villagra

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Índice 1. La Trigonometría 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

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Generalidades y Antecedentes . . . . . . . . . . . . Segmento rectilíneo dirigido . . . . . . . . . . . . . Sistemas de coordenadas rectangulares . . . . . . . Vector de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generación de ángulos positivos y negativos . . . . Radián . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puntos notables de la circunferencia Trigonométrica Las seis funciones trigonométricas . . . . . . . . . . Medida de los arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliografía

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1. La Trigonometría 1.1. Generalidades y Antecedentes El origen de la palabra trigonometría proviene del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria). Los babilónicos y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes, para mejorar la exactitud en la navegación, en el cálculo del tiempo y los calendarios. El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas. A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría. A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el senx y series similares para el

cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

1.2. Segmento rectilíneo dirigido La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. En la Figura 1, observamos el segmento rectilíneo AB comprendido entre los extremos A y

B.

Figura 1: Segmento rectilíneo.

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La distancia dirigida del punto A al punto B indica, la longitud del segmento como el sentido de A a B y utilizaremos el símbolo AB para designar dicha distancia. Además, AB = −BA, pero la distancia entre dos puntos A y A, situados sobre una recta dirigida, es |AB|.

1.3. Sistemas de coordenadas rectangulares El sistema coordenado rectangular, consta de dos rectas dirigidas, llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre sí. La recta horizontal se llama eje x; en tanto la recta vertical es el eje y ; y su punto de intersección O, el origen. Estos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. La dirección positiva del eje x es hacia la derecha del origen y la dirección negativa del eje x es hacia la izquierda del origen; en cambio la dirección positiva del eje y , es hacia arriba del origen y la dirección negativa del eje y es debajo del origen, como se indica en la Figura 1.

Figura 2: Plano Coordenado.

Según Lehmann (2010) “Todo punto P del plano puede localizarse por medio del sistema rectangular. En efecto, se traza P A perpendicular al eje x y P B perpendicular al eje y . La longitud del segmento dirigido OA se representa por x y se llama abscisa de P ; la longitud del segmento dirigido OB se representa por y y se llama ordenada de P . Los dos números reales, x e y , se llaman coordenadas de P y se representan por (x, y). Las abscisas medidas sobre el eje x a la derecha de O son positivas y a la izquierda son negativas; las ordenadas medidas sobre y arriba de O son positivas y abajo son negativas”.

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Figura 3: Trazado del punto P .

Por ejemplo, localicemos los siguientes puntos P1 (1, 3), P2 (−2, 4), P3 (−1, −2) y P4 (1, 3) en el plano coordenado. Figura 4.

Figura 4: Localización de puntos en el plano.

La distancia entre dos puntos cualesquiera P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) en un sistema de coorde-

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nadas rectangulares está dada por la fórmula;

|P1 P2 | =

√

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Por ejemplo, la distancia entre los puntos P1 (1, −3) y P2 (−2, −1) está dada por

|P1 P2 | =

√ √ (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = (−2 − 1)2 + (−1 − (−3))2 = =

√ √ √ (−3)2 + (2)2 = 9 + 4 = 13

Figura 5: Distancia entre P1 y P2 .

1.4. Vector de posición El segmento dirigido que va del origen al punto P (x, y) se llama vector de posición de P . Su magnitud, llamada también radio vector de P , se representa por r, y es siempre positiva; su valor está dado por la fórmula r =

√

x2 + y 2 .

1.5. Generación de ángulos positivos y negativos Definición según Niles (1982): Un ángulo es la figura engendrada por la rotación de una semirrecta alrededor de su extremo, desde una posición inicial hasta una posición terminal. La amplitud de la rotación es la medida del ángulo. Un ángulo θ es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos semirrectas que se extienden desde P . El punto P es el vértice del ángulo y las semirrectas son los lados del ángulo. La semirrecta m, se llama el lado inicial (permanece fijo) y la segunda semirrecta n, se llama lado terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal. En trigonometría, agregaremos que el ángulo así definido tiene una medida que corresponde a

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la magnitud de rotación necesaria para llevar una semirrecta desde la posición de una de estas líneas hasta la de otra. Figura 6.

Figura 6: Ángulo.

Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo. Figura 7.

Figura 7: Ángulo positivo.

Una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo. Figura 8.

Figura 8: Ángulo negativo.

La medida de un ángulo puede ser hecha en grados sexagesimales o radianes. Un grado sexagesimal es la magnitud de un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo y cuyos lados interceptan un arco de longitud igual a

1 de la circunferencia. Un ángulo de un grado 360

puede ser dividido en 60 partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de minuto; cada minuto puede a su vez ser subdividido en 60 partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de segundo. Los símbolos familiares, , ′ , ′′ , sirven para designar grados, minutos y segundos, respectivamente.

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No hay límite para la magnitud de un ángulo. Si una semirrecta efectúa una revolución completa en sentido positivo, habrá generado un ángulo de 360. Dos revoluciones completas en el mismo sentido generarán un ángulo de 720.

Según Niles (1982): Los ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal, se llaman ángulos coterminales.

1.6. Radián Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo y cuyos lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio.

Relación entre grados y radianes: por geometría tenemos que los ángulos en el centro son proporcionales a los arcos que interceptan. Teniendo en cuenta la Figura anterior,

∠AOC ABC = ∠AOB AB

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∠AOC = 180, ∠AOB = 1 radián, y ABC es una semicircunferencia cuya longitud es πr. Se tiene así:

180◦ 1 radián

=

πr r

Por lo tanto π radián = 180◦ . Normalmente se utiliza como valor aproximado de π = 3, 14. Tenemos entonces que

1 radián =

180◦ π = 0, 0175 radianes = 57, 3◦ aproximadamente; y 1◦ = π 180◦

1.7. Puntos notables de la circunferencia Trigonométrica

Según Secchia y Pujol (1979), tenemos:

A origen de los arcos. R radio de la circunferencia considerada, adoptado como segmento de recta unidad (R=1). Ejes: (a) AA′ := eje de cosenos, diámetro principal, de origen O. (b) BB ′ := eje de senos, diámetro secundario, de origen O. (c) CC ′ := eje de cotangentes, de origen B .

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(d) DD′ := eje de tangentes, de origen A. (e) XX ′ := eje de secantes, de origen O. (f) Y Y ′ := eje de cosecantes, de origen O. Arcos: considerados a partir del origen A en ambos sentidos

′ A′ BM = −b < 0, donde b > 0 d = a > 0, AB\ Figura 9: AM

′ B ′ M = b > 0, donde a > 0 d = −a < 0, ABA \ Figura 10: AM

Los arcos en cada caso tienen igual extremo M . Cuadrantes: • Primer cuadrante I

[ AOB

• Segundo cuadrante II

\′ BOA

• Tercer cuadrante III

′ OB ′ \ A

• Cuarto cuadrante IV

′ OA \ B

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1.8. Las seis funciones trigonométricas

1. sen a = M P = OQ

3. tg a = AT

5. sec a = OT = OU

2. cos a = M Q = OP

4. cot a = BS

6. cosec a = OS = OV

1.9. Medida de los arcos Según Secchia y Pujol (1979), tenemos: 1. Sistema sexagesimal: Unidad de Arco: grado sexagesimal (1◦ ), es igual a circunferencia tiene 360◦ Submúltiplos: minuto sexagesimal (1′ ), es igual a Segundo sexagesimal (1′′ ), es igual a

1 de la circunferencia. La 360

1 del grado sexagesimal. 1◦ = 60′ . 60

1 del minuto sexagesimal. 1′′ = 60′ . 60

2. Sistema centesimal: Unidad de Arco: grado centesimal (1G ), es igual a ferencia tiene 400G

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1 de la circunferencia. La circun400

Submúltiplos: minuto centesimal (1M ), es igual a

100M . Segundo centesimal (1S ), es igual a

1 del grado centesimal. 1G = 100

1 del minuto centesimal. 1M = 100S . 100

3. Sistema radián: Unidad de Arco de longitud igual al radio de la circunferencia considerada, 1 Rad o 1 rad. La circunferencia tiene 2π rad. 4. Horario: Su unidad de medida es el ángulo de 1 hora, que equivale a la sexta parte del ángulo recto. Relaciones:

180◦ = 200G = π rad = 12hs Longitud de un arco a de una circunferencia de radio R:

L=

a◦ π aG π R = R = a rad R 180◦ 200G

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Bibliografía Baldor J., (2004):. Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Publicaciones Cultural, pág. 623, vígésima reimpresión. Dolce, O. y J. N. Pompeo, ):. Fundamentos de Matemática 9 Elementar Geometría Plana. Atual Editorial, pág. 382, séptima edición. Fernández,

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http://201.198.97.222/CI2412/GPS/1-Geodesia-Generalidades.pdf.. Lehmann, (2010), Ch. H.:. Geometría analítica. pág. 494, México, MX: Limusa. Núñez, P. y M. Ramírez, (2009):. Apuntes de Preparación para la Prueba de Selección Universitaria Matemática. pág. 228, segunda edición. Niels N., (1982):. Trigonometría Plana. segunda edición. Editorial Limusa. México. Secchia, A. y F. Pujol, (1979):. Ejercicios de trigonometría. Asunción, Paraguay. Wentworth, J. y D. Smith, (1978):. E.U.A. Serie Matemática Gin y Cia. pág. 478.

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