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PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I

Ing. Nataniel Linares Gutiérrez

CAPITULO III CARACTERIZACION DEL TAMAÑO DE PARTICULAS

3.1. OBJETIVO. Al concluir el estudio del presente capítulo, usted estará capacitado en la toma de muestras para diferentes fines por diversos métodos, efectuar análisis granulométricos para evaluación de operaciones unitarias de reducción de tamaño, así como a partir de los datos de laboratorio representar el análisis granulométrico mediante modelos matemáticos. 3.2. INTRODUCCION. La evaluación de las características de las partículas de mineral es muy vital en el Procesamiento de Minerales, donde tiene mucho que ver con la forma y tamaño y este proceso de reducción de tamaño tiene como finalidad “liberar” los diferentes minerales valiosos de los no valiosos. El análisis de tamaño de partícula en una Planta Concentradora debe realizarse empleando métodos que sean exactos y seguros y como normalmente las partículas procedentes de los diversos productos de las operaciones de reducción de tamaño tienen una gama de características, lo cual hace imposible lograr una descripción precisa de tales productos, por ende, será necesario tener en cuenta, lo siguiente: • • • • • •

El tamaño de partícula. El tamaño promedio de todas las partículas. La forma de las partículas. La gama de tamaños de partículas. Los minerales que ocurren en las partículas La asociación de los minerales en las partículas.

Para obtener un buen ensaye de tamaños de partículas es necesario contar también con una buena muestra, la cual debe ser representativa y ello depende del método de muestreo que se utilice. MUESTRA. En Procesamiento de Minerales, una muestra es una pequeña porción de un lote de mineral, el cual contiene todos los componentes químicos y mineralógicos, en la misma proporción que existen en el original. 3.3. MUESTREO. El muestreo es una operación de control metalúrgico que obligatoriamente se hace en toda Planta Concentradora que consiste en la obtención de pequeñas muestras que representan todas las cualidades del tonelaje tratado, es decir, el muestreo conduce a la obtención de una muestra representativa que permite estimar a través de ella, todas las características de un gran conjunto de mineral del que fue extraída. En consecuencia, esta operación se ejecuta con el propósito de investigar, controlar y establecer las condiciones en que se desarrollan todas las operaciones de un proceso metalúrgico extractivo. Los elementos básicos considerados en cualquier procedimiento de muestreo son: • Definir la característica a investigar. • Grado de precisión requerido. • Características de la población. 1

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• Tamaño de la muestra requerida. Por consiguiente, así como es importante hacer un buen muestreo que permita obtener datos confiables, reviste también trascendental importancia la preparación de las muestras la cual se puede definir como un conjunto de operaciones que deben hacerse para llevar la muestra desde su forma original hasta la forma apropiada para los estudios y/o análisis que se efectuarán con ella. Así por ejemplo, la muestra se toma para ejecutar lo siguiente: • • • •

Análisis granulométrico y mineralógico. Ensaye químico. Análisis microscópico o mineragráfico. Estudios metalúrgicos. BOJETIVOS

ETAPAS

Anál isi s de tamaño

Anál isi s Quími co

PROCEDIMIENTOS

Distribución de masa de las f racciones de tamaño

  

Tamizado (seco o húmedo) Elutriación (cyclosizer) Análisis de la variedad de partículas finas.

Distribución de los elementos en las varias fracciones de tamaño de partícula

  

Agrupamiento de fracciones de tamaño. Tamizado (seco o húmedo) Análisis de los elementos orgánicos e inorgánicos.

Modo de interpretación

Estudio Mi neral ógico

Identif icación de constituy entes contenidos en las f ases y ev aluación del grado de liberación



Estudio metalúrgico 

Concentración de los minerales Extracción del metal

  

Separación en líquidos pesados. Análisi por difracción de rayos X. Análisis: mayoría de elementos constituyentes de la muestra. Observación: Óptica, microscópica equipada con microscopio electrónico de barrido



 

Pruebas de concentración de flotación, gravimétrica, electromagnética, etc. Pirometalurgia, hidrometalurgia, etc.

Caracterización de las muestras en procesamiento de minerales

Las muestras que deben someterse a preparación en la industria de los minerales o mineralurgia pueden provenir de Mina y de Planta Concentradora y por lo tanto se clasifican en dos grupos: 1. Muestras de mineral sólido y seco: De mina tomadas por el departamento de geología y de Planta Concentradora de algún punto de las etapas de chancado, cribado y almacenamiento. 2. Muestras de pulpa: De Planta Concentradora, tomadas de algún punto de la molienda, clasificación, flotación, espesamiento, filtrado y secado. Si la muestra es sólida seca, se sigue el siguiente procedimiento: Chancado

Molienda

Ensaye

Si la muestra está como pulpa, se ejecuta el siguiente procedimiento:

2

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Espesamiento

Filtrado

Secado

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Disgregación

Ensaye

Los factores que hacen difícil un muestreo de minerales son entre otros los siguientes: • • • •

Gran variedad de constituyentes minerales en la mena. Distribución dispareja de los minerales en la mena. Variación en tamaño de las partículas constituyentes. Variación en dureza en los distintos minerales.

3.3.1. PESO DE MUESTRA. El peso que debe tener una muestra variará en función del tamaño de partícula y se puede determinar por el método ideado por Gy, el cual toma en cuenta el tamaño de partícula de mineral, el contenido y el grado de liberación de los minerales y la forma de la partícula. Este método está identificado por la siguiente fórmula:

M 

Cd 3 s2

(3.1)

Donde: M C d s

= = = =

Es el peso mínimo necesario de muestra en g. Es la constante de muestreo para el mineral del que se toma la muestra, en g/cm 3. Es la dimensión de las partículas más grandes en el mineral que se va a muestrear. Es la medida del error estadístico que se puede tolerar en el ensaye de la muestra, o el error que se comete durante el muestreo.

El término s se usa para obtener una medida de la confiabilidad en los resultados del procedimiento de muestreo. La constante de muestreo C es específica para el material del que se toma la muestra, teniendo en cuenta el contenido mineral y su grado de liberación. Está dado por: C = fglm Donde: f g l m

= = = =

Es un factor de forma. Es factor de distribución de partícula. Es un factor de liberación. Es un factor de composición mineralógica.

3.3.2. METODOS DE MUESTREO. Generalmente en una Planta Concentradora, las muestras pueden ser tomadas por dos métodos, a saber: 1. Muestreo manual o a mano. 2. Muestreo mecánico o a máquina. 3. Muestreo en línea (control automático). 1. El muestreo manual es llevado a cabo por personal de Planta Concentradora o del laboratorio químico, es lento y caro, con una pronunciada tendencia a error y algunas veces se presta para el fraude. Este puede hacerse por: 3

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Muestreo mediante tenazas. Muestreo mediante tubos o dispositivos en espiral Muestreo mediante cono y cuarteo. Paleo fraccionado o alternado. Rifleado.

Este tipo de muestreo se justifica sólo cuando es ocasional o temporal y donde el material es pegajoso y difícil de manejar. La obtención de una muestra de laboratorio metalúrgico para realizar análisis granulométrico, análisis químico y/o mineralógico se puede realizar mediante diversas técnicas. Sin embargo, un requisito previo es una buena mezcla de la mena y esta mezcla previa se efectúa con un paño roleador. Cuando la muestra es de peso grande, el roleo es hecho por dos personas que sujetan el paño, el cual descansa en el piso, por dos de sus extremos, haciendo rodar el material de una esquina a otra. La operación se repite hasta que se considere haber alcanzado una buena homogeneización de la muestra, es decir, durante varios minutos. Cuando la muestra es pequeña, menor a 3 Kg., la operación puede ser realizada en paño roleador sobre una mesa y por una sola persona. En algunos casos y para muestras de varias decenas de Kg., se utiliza mezcladores mecánicos. Un esquema general de las etapas de un proceso de muestreo se muestra en la figura 3.1, en la cual se resume todo lo antes expresado.

Incremento 1 Incremento 2

Muestra general

Lote

Filtrado Secado Chancado Pulverizado Reducción de la muestra

Ensaye

Datos

Incremento N

Muestreo

Preparación de la Muestra

Medición

Fig. 3.1. Esquema general de las etapas de un proceso de muestreo. 

Coneo y Cuarteo.

Este método es probablemente el más antiguo de todos los métodos de muestreo probabilístico, limitado en la actualidad su uso a lotes de menos de una tonelada, con mena de tamaño máximo de partícula de 50 mm. Los pasos típicos a seguir en la ejecución de este procedimiento se muestra en la figura 3.2 y consisten en: 4

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1. El mineral se extiende sobre una superficie plana, fácil de limpiar. Si la cantidad de mena a muestrear es muy grande, si la apila formando un cono mediante una pala, haciendo caer cada palada exactamente en el vértice de cono, para conseguir una adecuada distribución de las partículas en la superficie del cono. Esta operación se repite 2 a 3 veces con el propósito de dar además una distribución granulométrica homogénea en todo el cuerpo del cono. 2. Seguidamente, la mena se distribuye para formar primero un cono truncado, distribuyendo radialmente las partículas con una paleta o con la palma de la mano, luego se continua hasta alcanzar la altura de una torta circular plana y simétrica en concordancia al paso anterior. 3. Finalmente, la torta circular plana se divide en 4 partes mediante el trazado de dos diámetros perpendiculares entre sí 

Paleo Fraccionado y Alternado.

El paleo fraccionado es el más barato y sencillo de los métodos masivos de muestreo el cual consiste en mover el lote mediante una pala, ya sea en forma manual o mecánica, separando una muestra formada por una palada de cada N, logrando así una relación de corte t = 1/N. Este método puede dividirse en tres formas de llevarse a cabo: ➢ ➢ ➢

Paleo fraccionado verdadero. Paleo fraccionado degenerado. Paleo alternado.

Fig. 3.2. Esquema de operación en el método de Coneo y Cuarteo.

En el paleo fraccionado, las palas extraídas de un lote se depositan en la parte superior de N montones, los cuales, al terminar con el lote M se convierten N muestras potenciales de igual volumen. Esto se muestra en la figura 3.3.

Paleo fraccional con N = 5

Fig. 3.3. Representación esquemática del paleo fraccionado verdadero. En paleo fraccionado degenerado, cada n-ésima palada se deposita en el montón 1 y el resto, n-1 paladas del ciclo, se depositan en el montón 2; en consecuencia, el montón 1 es la muestra predeterminada y el montón 2 es el rechazo. Ver figura 3.4 5

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Fig. 3.4. Representación esquemática del paleo fraccionado degenerado. En el paleo alternado se ha caracterizado por N = 2 y una relación de muestreo t = ½, tal como se muestra en la figura 3.5 En este método existe la posibilidad de una desviación mayor cuando se muestrean menas gruesas, ya que una porción menor o mayor de ellos puede quedar en una de las fracciones.

Fig. 3.5. Representación esquemática del paleo alternado. 

Rifleado.

El partidor de Rifles se le conoce también como partidor de Jones, el cual consiste en un ensamble de un número par de chutes idénticos y adyacentes, normalmente entre 12 y 20. Los chutes en ángulo de 45 o más con el plano horizontal y se colocan alternadamente opuestos para que dirijan el material a dos recipientes ubicados bajo ellos. La mena se alimenta por medio de una bandeja rectangular con el que se la distribuye uniformemente sobre su superficie. Cada bandeja o recipiente recibe una muestra potencial, tal como se muestra en la figura 3.5. Cuando la bandeja se descarga muy rápido y muy cerca de uno de los lados del partidor Jones, es posible que uno de los juegos de chutes derrame hacia el otro juego, lo cual en este caso, resulta una de las muestras potenciales con más peso que la otra. En la figura 3.6, se muestra el uso correcto de este aparato. El rango normal de uso del partidor Jones, es el siguiente: • • • •

El tamaño de partícula es de alrededor de 15 mm. El peso de lote desde 100 gramos hasta algunos cientos de kilos. El peso de muestra, hasta unos cuantos gramos. El material debe ser totalmente seco.

Fig. 3.5. Cortador Jones o de Rifle 6

Fig. 3.6. Empleo correcto del Cortador Jones

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2. El muestreo a máquina se lleva a cabo en equipos denominados muestreadores mecánicos que en su mayoría son automáticos, los cuales operan por el movimiento de un mecanismo colector a través del material a muestrearse que cae de una faja transportadora o tubería. En estos equipos es importante que: • • • • •

El frente del mecanismo colector o cortador se presente en ángulos rectos a la corriente. El cortador cubra la corriente El cortador se mueva a velocidad constante. El cortador sea bastante grande para pasar la muestra. El intervalo de tiempo debe ser predeterminado.

3.4. TAMAÑO Y FORMA DE LAS PARTICULAS. Un mineral al ser fracturado, aun cuando originalmente haya sido regular, está formado por una gama de partículas de formas distintas e irregulares que no pueden ser definidas con exactitud, por lo que se opta por adoptar una forma aproximada a fin de darle una descripción adecuada que se le conoce como el diámetro nominal dn Este diámetro se define ya sea en función de una propiedad real de la partícula como su volumen o el área de su superficie. Esto es: 1. Diámetro de superficie

ds 

S

4. Diámetro de Stokes.

(3.2)



2. Diámetro de volumen.

dv  3

6V



d st 

18v  ( s  l ) g

(3.5)

5. Diámetro de superficie específica

(3.3)

d vs 

dv 3 ds2

(3.6)

3. Diámetro del área proyectada.

da 

4 Ap



(3.4)

Como podemos ver, es importante definir el diámetro nominal utilizado, siempre que se mencione el tamaño de partícula, puesto que, en las diversas etapas de conminución/clasificación y concentración de minerales, el tamaño de partícula constituye una de las variables de mayor importancia operacional. El comportamiento del mineral a través de las etapas de trituración/cribado, molienda/clasificación, flotación y separación sólido-líquido, dependen en gran medida del tamaño de las partículas tratadas en cada una de estas etapas del proceso. Por lo tanto, tamaño de partícula es una medida representativa de su extensión en el espacio, que dependiendo de la técnica de medición empleada, se puede caracterizar el tamaño de partícula en función de su área superficial, su volumen, su masa, siendo posible asimismo definir relaciones matemáticas de equivalencia entre las distintas metodologías, tal como se muestra en las relaciones matemáticas que se presentan arriba.

3.5. ANALISIS GRANULOMÉTRICO. El análisis granulométrico es una operación de control metalúrgico que tiene por objeto estudiar la composición granular de las mezclas de minerales con el fin de conocer el tamaño promedio de 7

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partículas, su volumen y su superficie, además, en la medida de lo posible, debe conocerse la forma aproximada de la partícula, tal como: • • • • • • • • • •

Acicular: Forma de aguja. Cristalina: Forma geométrica libremente formada en un medio fluido. Angular: Forma puntiaguda. Dentrítica: Ramificaciones en forma cristalina. Fibroso: Regular o irregularmente filamentado. Escamoso: En forma de hojas o láminas. Granular: Tiene aproximadamente una misma forma irregular equidimensional. Irregular: Carece de cualquier simetría. Modular: Tiene forma redonda irregular Esférica: Forma globular.

En el análisis granulométrico se trata de cubrir una variedad muy amplia de tamaño de partículas, teniendo en cuenta que esta variedad sea una de las de mayor importancia industrial, sobre todo cuando se trata de la liberación de los minerales valiosos para ser separados o concentrados, tal como se muestra en la figura 3.7.

Fig.3.7. Separación de un lote de partículas en varias fracciones de tamaño En concordancia de lo antes mencionado, los métodos utilizados para realizar el análisis granulométrico se seleccionan con esa finalidad. Uno de estos métodos se dan a continuación: Método Prueba de tamizado Elutriación Microscopía (óptica) Sedimentación (gravedad) Sedimentación (centrífuga) Microscopía electrónica

Escala utilizada en micrones 100 000 a 10 40 a 5 50 a 0,25 40 a 1 5 a 0,05 1 a 0,005

Por tanto, los fines particulares del análisis granulométrico de los minerales son: • Determinación de la gama de tamaño de partículas. • Separación de ellas de acuerdo con su tamaño. Operacionalmente, un análisis granulométrico completo, consiste en hacer pasar un peso determinado de mineral representativo de la muestra original, por una serie de tamices o mallas ordenadas de arriba hacia abajo, es decir, de la malla de mayor abertura a la de menor abertura, tal como se muestra en la figura 3.8. 8

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Fig. 3.8. Procedimiento del tamizado Terminada la operación después de un tiempo predeterminado, se pesa el mineral que se retiene en cada malla, el cual nos servirá para determinar el porcentaje en peso de cada fracción de tamaño.

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Para un mejor tamizado se suele lavar la muestra, a fin de retirar todos los finos que pueden estar adheridos a las partículas más grandes y así el tamizado sea más exacto. Esta operación se lleva cabo con material seco o húmedo y las mallas se agitan para exponer todas las partículas a las aberturas. Este movimiento es impartido por un equipo denominado Ro Tap, el cual se muestra en la fig. 3.10.

Fig. 3.10. Ro Tap de malla vibratoria. El tiempo que se utiliza varía de 15 o más a 7 minutos, según el tipo de mineral metálico o no metálico. 3.5.1. TAMICES Y SELECCION DE TAMICES. Los tamices son depósitos generalmente de forma cilíndrica en cuyo fondo llevan una malla que es una trama de alambre de distintas aberturas. Estas mallas se designan por el tamaño nominal de la abertura, que es la separación central nominal de los lados opuestos de una abertura cuadrada o el diámetro nominal de una abertura redonda. Las telas de alambre de las cribas se tejen para producir aberturas cuadradas normalmente uniformes dentro de las tolerancias necesarias. La tela de alambre en las cribas con una abertura nominal de 75 m y las más grandes es de tejido simple, mientras que en las telas con aberturas menores de 63 m, los tejidos pueden ser cruzados. Malla

Tejido como entrelazado

Tejido como textura

1

Alambres de urdimbre y trama de igual sección, espaciado y material

2

Alto rendimiento

Alambre de urdimbre de sección más gruesa que el alambre de trama

3

Rectangular

Alambres de urdimbre y trama espaciados en forma distinta

4

Alambres de urdimbre y trama de diferente sección, los alambres más finos se colocan lado a lado

6

Cuadrada A cuatro tablas

Plana A cuatro tablas

Tejido holandés Tejido holandés invertido Plana Triangular

A cuatro tablas

10

Imagen No.

Alambres de urdimbre y trama de la misma sección, espaciado y material

Plana

Rectangular

Descripción de la textura

5

7

Los alambres más finos son de Tejido holandés de alta menor sección que el diámetro de porosidad la esfera tangencial a los alambres que forman la malla

8

Tejido holandés

9

Tejido holandés invertido

Los alambres más finos están imbricados

10

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Fig. 3.11. Tejidos de la tela de alambre de la malla del tamiz

La serie de tamices se estandarizan de acuerdo a una progresión geométrica, siendo una razón de

2

10

4

para la serie normal, 2 para la serie doble y la serie 10 que hace posible una clasificación más estrecha de las partículas. Así, para la serie normal, si se denomina por x i al tamaño de la abertura de la malla de un tamiz, tendremos la siguiente serie:

2 xi = Malla inmediata superior. xi -1 = xi = Abertura de malla base. x i + 1 = xi /

2 = Malla inmediata inferior. 11

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. . xi - 4 = 2 212 = 300 m xi -3 = 2 150 = 212 m xi - 2 = 2 106 = 150 m xi -1 = 2 75 = 106 m xi = 75 m xi + 1 = 75/2 = 53 m xi + 2 = 53/2 = 38 m xi + 3 = 38/2 = 27 m

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malla base

m48 m65 m100 m150 m200 m270 m 400 m 600

Como podemos ver, cada uno de estos tamices se puede identificar por un número. Pero desde 1962 los tamices se designan por el tamaño de la abertura, que ofrece directamente al operario la información que necesita. Asimismo se conocen las siguientes series: • • • • •

Serie TYLER Serie ASTM-E-11-61 Serie AFNOR Serie BSS-410 Serie DIN-4188

 Americana  Americana  Francesa  Británica  Alemana

Cuando no se tiene mallas o las partículas son mayores a 4” se mide la longitud más grande, tal como se muestra en el esquema a)

a) Formas de dimensionar una partícula mineral

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b) Producción de partículas

c) Esquema físico de un tamiz

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3.5.2. PRESENTACION DE LOS RESULTADOS DE UN ANALISIS GRANULOMETRICO. Los datos obtenidos de un análisis granulométrico pueden ser presentados mediante un arreglo como el que se muestra en la tabla 3.1. Tabla 3.1 Presentación de datos de análisis granulométrico. NUMERO MALLA

DE ABERTURA DE MALLA EN m xi xo x1 x2 x3 x4 . . . xn - 1 xn xn + 1

PESO RETENIDO EN g wi 0,00 w1 w2 w3 w4 . . . wn - 1 wn wn + 1 W

TOTAL

% RETENIDO PARCIAL f(xi) 0,00 f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) . . . f(xn - 1) f(xn) f(xn - 1) 100,00

% RETENIDO ACUMULADO G(xi) 0,00 G(x1) G(x2) G(x3) G(x4) . . . G(xn - 1) G(xn) G(xn + 1) -

% PASANTE ACUMULADO F(xi) 100,00 F(x1) F(x2) F(x3) F(x4) . . . F(xn.-1) F(xn) F(xn + 1) -

En esta tabla se nota lo siguiente: (3.7)

5) F(xi) =  fj = 100 - G(xi)

(3.11)

2) W =  wi

(3.8)

6) G(xi) =  fj = f(x1) + f(x2) + . + f(xi)

(3.12)

3) f(xi) = (wi/W)x 100

(3.9)

1) xn + 1 = 0

ciego

4)  f(xi) = 100 • • •

(3.10)

7) G(xn + 1) = 100

(3.13)

8) G(xi) + F(xi) = 100

(3.14)

f(xi).- Es el porcentaje en peso de mineral retenido en cada malla, referido al peso total de mineral tamizado, considerado como muestra representativa. G(xi).- Es el porcentaje acumulado retenido, es decir, está constituido por todo el mineral que tiene un tamaño de partícula mayor que la abertura del orificio de una malla X cualquiera de la serie de tamices tomada. Es el mineral rechazado por esta malla. F(xi).- Es el porcentaje acumulado pasante, es decir, está constituido por todo el mineral que tiene un tamaño de partícula menor que la abertura del orificio de una malla X cualquiera de la serie de tamices tomada. Es el mineral que pasó a través de esta malla.

Para realizar un buen análisis granulométrico se debe lavar la muestra en la malla más conveniente, por ejemplo m10 para mineral grueso y m200 o m400 para mineral fino, tal como se muestra en la figura 3.9.

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250 m = 0,02 g 180 m = 1,32 g 125 m = 4,23 90 m

= 9,44 g

63 m

= 13,10 g

45 m

= 11,56 g

Ciego

= 4,87 g

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Aquí podemos ver, que el material retenido en cada malla, se ha retirado y luego pesado, cuya suma es igual al peso de la muestra W = 44,54 g. A partir de este par de valores se construye el anterior cuadro.

Tabla. 3.2. Resultados del análisis granulométrico Nº

60 80 115 170 250 325 -325

Abertura de malla Tyler Intervalo de tamaño en Abertura m nominal, m 1 2 +250 250 -250 +180 180 -180 +125 125 -125 +90 90 -90 +63 63 -63 +45 45 -45 -45

Peso gramos

% Parcial f(x)

% Ac. Ret. G(x)

% Ac. Pas. F(x)

3 0,02 1,32 4,23 9,44 13,10 11,56 4,87 W = 44,54 g

4 0,045 2,964 9,497 21,194 29,412 25,954 10,934

5 0,045 3,009 12,506 33,7 63,112 89,066 100,00

6 99,955 96,991 87,494 66,300 36,888 10,934 -------

La tabla 3.2 muestra lo siguiente: 1. El intervalo de tamices empleados en la prueba. 2. Los tamaños de abertura nominal de los tamices que se usan en la prueba. 3. El peso de material en cada intervalo de tamaños, por ejemplo, 1,32 g de material pasó a través de la malla de 250 m, pero quedó retenido sobre la malla de 180 m; por lo tanto , el material está comprendido entre la gama de tamaños –250 +180 m. 4. El peso de material retenido en cada tamaño nominal se expresa como un porcentaje del peso total, denominado porcentaje parcial retenido o f(x). 5. El porcentaje acumulado retenido en cada malla o G(x), por ejemplo, el 12,506% de material es +125 m; es decir, no pasó esta malla. 6. El porcentaje acumulado pasante por cada malla, por ejemplo, el 87,494% de material pasó el tamiz 115, por lo tanto es menor de 125 m en tamaño. 3.5.3. REPRESENTACION GRAFICA DEL ANALISIS GRANULOMETRICO. Convencionalmente, los datos obtenidos de un análisis granulométrico son representados en la escala horizontal, el tamaño de partícula en micrones y en la escala vertical, la cantidad de la característica, que puede ser: G(xi), F(xi) o f(xi). La representación gráfica más utilizada en el procesamiento de minerales es el ploteo de: F(x), G(x) o f(x)

Escala aritmética o logaritmica

vs

Tamaño de partícula

Escala logaritmica

En el primer caso, el gráfico obtenido tendrá la siguiente forma:

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A N Á LISIS GR A N U LOM ÉT R IC O

R e su l t a d o s d e l a n á l i si s g r a n u l o m é t r i c o

100

100

90 80 70 60 50 40

10

30 20 10 0

1

10

100

1000

10

Tamaño de partícula, micrones

Fig. 3.12. Representación en papel semi-logaritmo.

Tamaño de partícula, micrones

Fig. 3.13. Representación en papel log-log.

Fig. 3.14. Comparación de escalas 3.5.4. REPRESENTACION MATEMATICA DEL ANALISIS GRANULOMETRICO. 16

1000

Porcentaje Acumumulado Pasante, F(x)

F(x)

Porcentaje Acumulado Retenido, G(x)

Porcentaje acumulado Pasante, F(x)

G(x)

100

Ta ma ño de pa r t í c ul a , mi c r one s

T A M A Ñ O D E P A R T Í C U L A EN M I C R ON ES

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Los resultados de un análisis granulométrico pueden ser generalizados y correlacionados por expresiones matemáticas denominadas “funciones de distribución de tamaños” que relacionan el tamaño de partícula (abertura de malla), con un porcentaje en peso, que generalmente es el acumulado retenido o el pasante. Existen más de 06 funciones de distribución de tamaño, pero las más utilizadas en procesamiento de minerales son tres: 1. Función de distribución de Gates-Gaudin-Schuhmann (G-G-S). 2. Función de distribución de Rosin -Rammler (R-R). 3. Función de distribución de los tres parámetros.

1.- Función de distribución de Gates-Gaudin-Schumann (G-G-S). Esta función se obtiene de comparar o relacionar los valores del porcentaje acumulado pasante F(x i) con el tamaño de partícula o abertura de malla de la serie utilizada. El modelo matemático propuesto es:

F( x )

x  100   xo 

a

(3.15)

Donde: F(x) = % en peso acumulado pasante por cada malla. x

= Tamaño de partícula en micrones.

xo

= Módulo de tamaño el cual indica el tamaño teórico máximo de partículas en la muestra.

a

= Módulo de distribución.

Una forma habitual de representar la distribución granulométrica G.G.S es un gráfico log-log, tal como se muestra en la fig.3.4, donde en las ordenadas se plotea el log F(x) y en las abscisas se plotea el log(x), y como podemos ver, es una línea recta, la cual se origina debido a que:

100  F( x )   a  x a  xo  es transformada en el papel logarítmico en:

100  log F( x )  log  a   a log x  xo 

(3.16)

donde si hacemos un cambio de variable, tendremos: Y = log F(x) X = log x

100  a   xo 

A = log 

 Constante.

De donde se obtiene el valor de xo mediante la siguiente expresión: log 100 - a log xo = A 17

PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I

xo  10

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 2 A     a 

 pendiente de la recta

B = a Luego: Y = A + BX

(3.17)

que es la ecuación de una línea recta. 100

Porcentaje Acumulado pasante (escala log)

F(x)

m

10 m = b

log[100/xoa] xo 1 1

10

100

1000

Tamaño de partícula en micrones (escala log)

Fig. 3.12. Representación gráfica del modelo G.G.S. Cuando se examina la curva, se notará que cuánto más grande sea el valor de “a “, más uniforme será el producto y más pequeño será el dispersión del material en los tamaños muy finos y muy gruesos. Esta representación sobre una escala log-log agranda considerablemente la región abajo del 50 % en la curva acumulativa de finos, especialmente abajo de 25 %. Sin embargo ésta se contrae severamente arriba de la región de 50 % y especialmente arriba de 75 %, lo cual constituye la mayor desventaja de este método.

2.- Función de distribución de Rosin-Rammler (R-R). Al efectuar un análisis granulométrico de algún producto de reducción de tamaño de partícula mineral, se obtiene un conjunto de datos experimentales de tamaño de partícula o abertura de malla y su respectivo porcentaje acumulado fino o pasante, los cuales se ajustarán a una distribución de RossinRammler, si cumplen la siguiente expresión:

F( x ) Donde: 18

   x  m     1001  exp        x r      

(3.18)

PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I

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F(x) = Porcentaje acumulado pasante. xr = Es el módulo de tamaño m = Es el módulo de distribución. Esta ecuación se puede escribir también como:

F( x )

  x m  100  100 exp       xr  

o

  x 100  F( x )  100 exp      x r 

G( x )

m

  

  x m  100 exp       x r  

x 100  exp   G( x )  xr 

(3.19)

m

Aplicando logaritmo natural a ambos lados tenemos:

 100   x  ln     G( x )   x r 

m

Luego, aplicando logaritmo decimal a ambos lados, se obtiene:

 100  log ln    m log x  m log xr  G( x ) 

(3.20)

si se gráfica el log ln[100/G(x)] vs log x se obtendrá una línea recta de la forma: Y = A + BX hacemos:

si

Y = log ln[100/G(x)] A = - m log xr De donde se obtiene el valor de xr.  A  

xr  10  m  B = m X = log x Luego: Y = A + BX que es la ecuación de una línea recta. 19

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Como el método es tedioso para graficar, existe un papel especial para hacer el gráfico de este modelo, llamado papel de Rosin - Rammler, en el cual se plotea directamente x y G(x). En comparación con el método log-log de G.G.S, la gráfica de R-R agranda las regiones abajo del 25 % y arriba del 75 % del acumulativo de finos y se contrae en la región de 30 a 60 %. Sin embargo, se ha demostrado que esta contracción es insuficiente para causar efectos adversos. En este gráfico se aprecia que para x = xr F(x) = 100 [1 - exp(-1) ] = 63,21 G(x) = 100 exp(-1) = 36,79 0,1

99,99 F(x)

36,79

63,21

x = xr 99,99

Porcentaje Acumulado Pasante

Porcentaje acumulado retenido

G(x)

0,1 Tamaño de partícula en micrones

Fig. 3.13. Representación gráfica de la función R-R.

3.- Función de distribución de tres parámetros. Esta función fue deducida por C. Harris y está dada por:

  x F ( x)  1  1     x m

  

s

  

r

(3.21)

Donde: s = Parámetro de distribución de tamaño. r = Parámetro de sesgamiento de distribución. xm = Tamaño máximo de partícula. 3.6. APLICACIONES DE LOS GRAFICOS DE ESTAS FUNCIONES. Se tienen las siguientes aplicaciones 1. En la determinación de las eficiencias comparativas de unidades de chancado y molienda. 2. Las áreas superficiales de las partículas se determinan mediante el análisis de malla. 20

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3. La estimación de la potencia requerida para chancar y/o moler una mena desde un tamaño de alimentación hasta un tamaño de producto determinado. 4. El cálculo de la eficiencia de clasificación por tamaños de un clasificador o hidrociclón se estima con acertada precisión. 5. El cálculo de la eficiencia de molienda por mallas. 6. El cálculo del D50 para el transporte de pulpas. Existen otros métodos de poder clasificar las muestras minerales, tales como: • • • • •

La elutriación. La microscopía. De resitencia eléctrica. Por rayo láser. Análisis de tamaños de partícula en línea o sobre la marcha. (En Planta Concentradora)

ANALIZADORES DE PARTICULAS POR DIFRACCIÓN LÁSER Los analizadores de partículas por difracción láser de longitud de onda individual y múltiple son sistemas automatizados que ofrecen una reproducibilidad inigualable. Estos analizadores novedosos tienen la capacidad de medir un rango amplio de tamaño de partículas que se extiende desde 0.04 a 2000 µm utilizando la tecnología patentada de PIDS. El LS 13 320 es la innovación de La Serie LS. El software cumple el requisito 21 CFR Parte 11, el cual ha sido diseñado para satisfacer y superar el estándar internacional (ISO/DIN 13320 - I Análisis de Tamaño de Partícula). Además, en sólo cuestión de segundos, ofrece mayor rapidez en el intercambio de módulos. El software proporciona 4 niveles de seguridad y un número de funciones que simplifican el proceso de medición y provee ayuda única al cliente.

21

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Equipos donde se lleva a cabo la reducción de tamaño y la liberación del mineral valioso

22

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3.7. PROBLEMAS DE APLICACIÓN. 1. Se tomó una muestra del alimento fresco a un molino de barras para análisis granulométrico. El peso seco de la muestra es de 2 320 g. Los resultados obtenidos se muestran en el cuadro # 1. Abertura de malla N En m 1” ¾” ½” 3/8” m4 10 14 20 28 35 48 65 100 150 200 -200 TOTAL

Peso en gramos wi 36,65 96,74 417,14 239,65 408,08 367,95 81,43 71,68 66,35 69,37 57,77 50,11 45,04 35,96 23,43 252,65 2 320,00

1. Determine la representación gráfica. 2. Determine los modelos de G-G-S y R-R. 3. Haga una interpretación de los resultados.

SOLUCION Para poder representar en forma gráfica y para determinar los modelos G.G.S y R.R se debe construir el cuadro N 2. Cuadro N 2. Cálculos del Análisis Granulométrico. Abertura de malla 1 2 N m 1.5” 1” 25 000 ¾” 19 000 ½” 12 500 3/8” 9 500 m4 4 750 10 1 700 14 1 180 20 850 28 600 35 445 48 300 65 212 100 150 150 106 200 75 -200 -75 TOTAL

Peso 3 g 0,00 36,65 96,74 417,14 239,65 408,08 367,95 81,43 71,68 66,35 69,37 57,77 50,11 45,04 35,96 23,43 252,65 2 320,00

% Parcial 4 f(xi) 0,00 1,58 4,17 17,98 10,33 17,59 15,86 3,51 3,09 2,86 2,99 2,49 2,16 1,94 1,55 1,01 10,89 100,00

% Ac. Retenido 5 G(xi) 0,00 1,58 5,75 23,73 34,06 51,65 67,51 71,02 74,11 76,97 79,96 82,45 84,61 86,55 88,11 89,11 100,00

% Ac.Pasante 6 F(xi) 100,00 98,42 95,83 76,27 65,94 48,35 32,49 28,98 25,89 23,03 20,04 17,55 15,39 13,45 11,90 10,89 0,00

23

PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I

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Para obtener el valor de f(xi) utilizamos la siguiente fórmula:

f ( xi ) 

wi 36,65 x100  x100  1,579  1,58% w 2320 

96,74 x100  4,169  4,17% 2320

y así sucesivamente… El valor de G(xi) se obtiene de la siguiente relación: G(xi) = f(x1) + f(x2) + f(x3) + … + f(xi) G(x1) = 1,58. G(x2) = 1,58 + 4,17 = 5,75. G(x3) = 1,58 + 4,17 + 17,98 = 23,73 . . . El valor de F(xi) se obtiene de G(xi) + F(xi) = 100 F(xi) = 100 - G(xi) F(x1) = 100 - 1,58 = 98,42 F(x2) = 100 - 4,17 = 95,83

exp calc

ANALISIS GRANULOMETRICO

100.00

% ACUMULADO PASANTE

90.00 80.00 70.00 60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 10.0

100.0

1000.0

10000.0

100000.0

TAMAÑO DE PARTICULA EN MICRONES

Fig. 3.15. Curva del análisis granulométrico en escala semi-log 2. Determinación de los modelos G.G.S y R.R. 24

PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I

A.

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Determinación del modelo G.G.S. Este modelo o función de distribución está definida por:

 x  F  100   xo 

a

ANALISIS GRANULOMETRICO

exp calc

% ACUMULADO PASANTE

1000.00

100.00

10.00

1.00 10.0

100.0

1000.0

10000.0

100000.0

ABERTURA DE MALLA EN MICRONES

Fig. 3.16. Curva GGS experimental y ajustada Al linealizar la expresión, aplicando logaritmo decimal obtenemos:

log F ( x)  log

100  a log x xo a

Y = A + BX  Es una línea recta. Mediante regresión lineal, por el método de mínimos cuadrados encontramos las constantes de esta línea recta, éstas son: A = 0,28379 B = 0,3878 = a r = 0,9987  coeficiente relativo de correlación. Cálculo del valor de xo. Log100 - 0,3878 log(xo) = 0,28379 xo = 26 m En consecuencia, la función de distribución granulométrica G.G.S queda expresada por: 25

PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I

 x  F ( x)  100 14489 

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0, 4291

B. Determinación de la función R-R. Este modelo está definido por la expresión

   x  m    F ( x )  1001  exp      x      r    Al linealizar esta expresión se obtiene la siguiente relación:

 100  logln    m log x r  m log x  G( x)  que también representa a un línea recta, es decir:

 100  Y  log ln    G( x)  A   m log( x r ) B = m Del mismo modo, mediante el método de mínimos cuadrados, encontramos los valores de las constantes. Esto es: A = - 2,1120 B = 0,564 r = 0,9767 A partir de estos valores calculamos el valor de xr: - 0,564 log xr = - 2,1120 xr = 5 555 m En consecuencia, la función de distribución R-R es:

   x  0,564   F ( x)  1001  exp      5555      

26

PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I

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2. Se ha tomado una muestra del rebose de un hidrociclón, la cual fue debidamente manipulada, a fin de tenerla en estado seco y después de un cuarteo se obtuvo un peso de muestra de 850 g para análisis granulométrico, cuyos datos se dan en la siguiente tabla: Malla Peso, g

28 0,17

35 4,165

48 23,205

65 57,885

100 84.575

150 89,420

200 78,2

270 63,41

400 48,365

- 400 400,605

Se pide determina las funciones granulométricas GGS y R-R y hacer el comentario correspondiente. Solución. En primera instancia confeccionaremos el cuadro de análisis granulométrico siguiendo el procedimiento del problema anterior. Cuadro 3. Análisis granulométrico Abertura de malla Nº µm 20 850 28 600 35 425 48 300 65 212 100 150 150 106 200 75 270 53 400 38 - 400 - 38

Peso, g wi -0,17 4,165 23,205 57,885 84,575 89,42 78,2 63,41 48,365 400,605 850,00

% Parcial f (xi) --0,02 0,49 2,73 6,81 9,95 10,52 9,20 7,46 5,69 47,13

% Acum. Ret. G(xi) --0,02 0,51 3,24 10,05 20,00 30,52 39,72 47,18 52,87 100,00

% Acum. Pas. F(xi) 100,00 99,98 99,49 96,76 89,95 80,00 69,48 60,28 52,82 47,13 0,00

Por definición, la ecuación GGS está dada por la siguiente expresión:

x  F ( x)  100 i   x0 



La cual transformamos en una línea recta, llevando a su forma logarítmica, es decir:

 100  log F ( xi )   log xi  log    x0  Es decir, Y = BX + A que es la expresión de una línea recta, que resulta de un cambio de variable, tal como se muestra a continuación:

Y  log F ( xi ) X  log xi B  100  A  log     x0  Ahora, aplicando regresión lineal por el método de los mínimos cuadrados tenemos que: 27

PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I

 X Y   X Y A N  X   X  2

i

i

i

B  

i

2

2

i

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N  XY   X  Y N  X 2   X 

2

El coeficiente de correlación correlativa está dado por la siguiente expresión:

r

N  X

N  XY   X  Y 2



  X  x N  Y   Y  2

2

2



R2 = r 2

Ahora, a partir del cuadro 3 construimos el cuadro 4 Cuadro 4. Datos para la regresión por mínimos cuadrados xi

F(xi)

600 425 300 212 150 106 75 53 38

99,98 99,49 96,76 89,95 80,00 69,48 60,28 52,82 47,13

logxi Xi

logF(xi) Yi

XiYi

X i2

Yi 2

2,778 2,629 2,477 2,326 2,176 2,025 1,875 1,724 1,5797 19,5897

1,9999 1,9977 1,9857 1,9540 1,9030 1,8418 1,7802 1,7228 1,6733 16,8584

5,5557 5,2519 4,9186 4,5450 4,1409 3,7296 3,3378 2,9701 2,6433 37,0929

7,7173 6,9116 6,1355 5,4103 4,7349 4,1006 3,5156 3,0359 2,4954 44,0571

3,9996 3,9996 3,9430 3,8181 3,6214 3,3922 3,1691 2,9680 2,7999 31,7021

X

i

Y

i

X Y

Con estos valores calculamos las constantes regresionales.

44,0571x16,8585  19,5897 x37,0929  1,2615 9 x44,0571  (19,5897) 2 9 x37,0929  19,5897 x168584 B  0,281   9 x44,0571  (19,5897) 2 9 x37,0929  19,5897 x16,8584 r  0,9513 [9 x44,0571  19,5897 2 ]x[9 x31,7021  16,8584 2 ] A

R2 = 0,9049 Y el valor de x0 está dado por:

x0  10

(

21, 2615 ) 0, 281

 424,73  425m

Luego la función GGS está dada por:

 x  F ( x)  100   425  28

0, 281

i i

X

2 i

Y

i

2

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Luego establecemos el siguiente cuadro comparativo Abertura de malla Nº µm 28 600 35 425 48 300 65 212 100 150 150 106 200 75 270 53 400 38 - 400 - 38

% Acum.. Pasante F(xi) 99,98 99,49 96,76 89,95 80,00 69,48 60,28 52,82 47,13

% Ac Pas. Calc. F(xi)1 110,175 100,000 90,676 82,247 74,628 67,691 61,420 55,71 50,739

Curva teórica y práctica

Curva teórica y práctica

120

100

110 100 90 80 70

F(xi)

60

F(xi)1

50 40 30 20 10 0

% Acumulado Pasante F(x) y F(x)1

% Acumulado Pasante F(x) y F(x)1

Diferencia F(xi)1 - F(xi) 10,195 0,54 - 6,084 - 7.703 - 5,372 - 1.789 1,14 2,89 3,609

F(xi) F(xi)1

10

10

100

1000

Tamaño de partícula en micrones

10

100

1000

Tamaño de partícula en micrones

Ahora resolviendo para la función de Rosin-Ramler (R-R), cuya expresión es matemática es:

   x  m    F ( x)  1001  exp      )   x r       m   x  F ( x)  100  100 exp       xr     x m  100  F ( x)  100 exp       x r     x m  G ( x)  exp     100   x r    x 100  exp  G ( x)  xr

  

m

Aplicando logaritmo natural tenemos:

 100   x    ln   G ( x)   x r

  

m

29

PROCESAMIENTO DE MINERALES – MINERALURGIA I

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Ahora aplicando logaritmo decimal tenemos (base 10):

 100    m log x  m log xr log ln   G ( x)  Al hacer un cambio de variable tenemos:

 100   Y  log ln   G ( x)  Bm A  m log xr Que origina también una línea recta de la forma: Y = BX + A. Luego construimos el siguiente cuadro. logx X 2,778 2,629 2,477 2,326 2,176 2,025 1,875 1,724 1,5797 19,5897

X

Logan(100/G(x) Y 0,9303 0,7225 0,5352 0,3613 0,2067 0,0744 - 0,0346 - 0,1242 - 0,1956 2,4760

Y

i

i

XY 2,5844 1,8994 1,3257 0,8404 0,4498 0,15066 - 0,0648 - 0,2141 - 0,3089 6,6625

X Y

i i

X2 7,7173 6,9116 6,1355 5,4103 4,7349 4,1006 3,5156 3,0359 2,4954 44,0571

X

2 i

Con estos datos procedemos a calcular las constantes regresionales y las del modelo, así:

44,0571x2,2,476  19,5897 x6,6625  1,67986 9 x44,0571  19,5897 2 9 x6,6625  19,5897 x2,476 Bm  0,9319 9 x44,0571  19,5897 2 9 x6,6625  19,5897 x2,476 r  0,9657 [(89 x44,0571  19,5897 2 ) x(9 x1,9073  2,476 2 )] A

R 2  0,9326 Luego:

 1,67986  0,9319 log xr 1,67986 log xr  0,9319  1, 67986  

xr  10  0,9319   63,477    x  0,9319 G ( x)  100 exp       63,477   30

Y2 0,8654 0,5220 0,2864 0,1305 0,0427 0,0055 0,0012 0,0154 0,0382 1,9073

Y

i

2

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Ing. Nataniel Linares Gutiérrez

Para comparación construimos el siguiente cuadro. µm 600 425 300 212 150 106 75 53 38

G(x) 0,02 0,51 3,24 10,05 20,00 30,52 39,72 47,18 52,87

G(x)1 Calc. 0,03 0,28 1,42 4,61 10,76 19,94 31,09 42,94 53,80

G(x)1 - G(x) 0,01 - 0,23 - 1,82 - 5,44 - 9,24 - 10,58 - 8,63 - 4,24 0,93

Valores de G(x) real y calculado

Ln100/G(x) 8.517 5,278 3,429 2,297 1,609 1,186 0,923 0,751 0,637

Ln100/G(x)1 8,111 5,878 4,254 3,077 2,229 1,612 1,168 0,845 0,619

10,000

50

40

G(x)

30

G(x)1

20

Ln(100/G(x) y ln(100/G(x)1

% Acumulado retenido G(x) y G(x)1

60

Serie1

1,000 10

100

1000

Serie2

10

0 10

100 Tamaño de partícula en micrones

1000

0,100 Tamaño de partícula en micrones

Curva de R-R del análisis granulométrico Observando los dos análisis observamos vemos que la distribución R-R representa mejor los datos experimentales.

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