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LEIDY MARIBEL PINCHAO 316063 Introducción Existen otros métodos para resolver ecuaciones diferenciales que son más eficientes debido a que presentan relaciones de concurrencia, generando así una solución más aproximada a la solución, son los llamados métodos de runge-kutta. METOS DE RUNGE-KUTTA Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran la exactitud del procedimiento de la serie de Taylor sin necesitar el cálculo de derivadas de orden superior como se realizó en los anteriores métodos. Los métodos RK de cualquier orden se deducen mediante el desarrollo de la serie de Taylor. Existen muchas variaciones, las cuales tienen la forma: (Chapra, 2006) 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ∅(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , h)ℎ

(1)

Donde ∅(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , h)ℎ se conoce como ecuación función de incremento, que puede interpretarse como una pendiente representativa del intervalo y su forma general es. ∅ = 𝑎1𝑘1 + 𝑎2𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑘𝑛

(2)

Donde las a representan constantes y las k son: 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )

(3)

𝑘2 = 𝑓(𝑥𝑖 + 𝑝1 ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞11 𝑘1 ℎ)

(4)

𝑘3 = 𝑓(𝑥𝑖 + 𝑝2 ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞21 𝑘1 ℎ + 𝑞22 𝑘2 ℎ)

(5)

𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖 + 𝑝𝑛−1 ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞𝑛−1,1 𝑘1 ℎ + 𝑞𝑛−12 𝑘2 ℎ + ⋯ + 𝑞𝑛−1,𝑛−1 𝑘𝑛−1 ℎ)

(6)

p y q son constantes. Lo que vuelve eficientes a estos métodos son las k ya que son relaciones de recurrencia. Dependiendo el orden de n, se tiene RK de primer orden, segundo…cuarto y más. Métodos de Runge-Kutta de segundo orden Los métodos de segundo orden siguen la siguiente expresion: 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (𝑎1𝑘1 + 𝑎2𝑘)h

(7)

Donde k1 y k2 correspondes a las ecuaciones 3 y 4 respectivamente. Los valores de a1,a2,p1,q11 se evalúan al igualar la ecuación 7 con la expansión de Taylor hasta el término de segundo orden, se debe satisfacer lo siguiente. (8) 𝑎1 + 𝑎2 = 1 (9) 𝑎1 𝑝1 = 1/2 (10) 𝑎2 𝑞11 =1/2 Dependiendo el valor que tome a2 se tienen diferentes formas de RK2, para este caso se toma el siguiente método: Página 1 de 5

Método de Heun con un solo corrector (a2 = 1/2). 1 1 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (2 𝑘1 + 2 𝑘2)h 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) 𝑘2 = 𝑓(𝑥𝑖 + 𝑝1 ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞11 𝑘1 ℎ) Métodos de Runge-Kutta de tercer orden Una versión común es: 1 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (𝑘1 + 4𝑘2 + 𝑘3)ℎ 6 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) 1 1 𝑘2 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑘1 ℎ) 2 2 𝑘3 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 − 𝑘1 ℎ + 2𝑘2 ℎ)

(11) (12) (13)

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Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden. Es probablemente uno de los procedimientos más difundidos, y a la vez, más exacto para obtener soluciones aproximadas del problema. Se presenta una versión común ya que hay infinitas versiones: 1 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)ℎ 6 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) 1 1 𝑘2 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑘1 ℎ) 2 2 1 1 𝑘3 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑘2 ℎ) 2 2 𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 ∓ ℎ)

(18) (19) (20) (21) (22)

Problema: Considere un calentador de tanque agitado. Es un tanque cuadrado de 0,5 m de lado y 2 m de altura y se llena con agua a 20 ° C. el agua se alimenta al tanque a una velocidad de flujo de 1 L / s y sale al mismo caudal desde la parte superior del tanque. La temperatura del agua interna es de 20 ° C en el tiempo = 0 s. el agua en el tanque se calienta con una bobina que contiene vapor cuyo coeficiente global de transferencia de calor basado en el área exterior de la bobina es de 200 [W/mK]. El área exterior de la bobina a través de la cual se produce el intercambio de calor es de 1m2. La temperatura del vapor es de 250 ° C. la capacidad de calor específica del agua es 4184[J/KgK].  ¿Después de cuánto tiempo es la temperatura de salida del agua 28 ° C?  Cuál es la temperatura máxima que se puede alcanzar en el tanque.

Resultados En la Tabla 1 se representa los datos suministrados en el problema

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Tabla 1. Datos del problema. Dato Valor

Dato

𝑚̇

𝐽 4184 ⁄𝑘𝑔 · 𝐾 3 0.001 𝑚 ⁄𝑠 𝑘𝑔 1 ⁄𝑠

𝑇1

20°𝐶

𝐻 𝑂 𝐶𝑝 2

𝑄̇

Valor 𝑈𝐴

200 𝑊⁄𝐾

𝑉

0.5𝑚3

𝑀

500𝑘𝑔

𝑇𝑠

250°𝐶

Método Analítico:  Tiempo para que el agua llegue a una temperatura de 28ºC: Primero, se despeja la ecuación: 𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝑚̇ 𝑈𝐴 (𝑇 − 𝑇) 𝑀𝐶𝑝 = 𝑚̇𝐶𝑝 (𝑇1 − 𝑇) + 𝑈𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇) ∴ = (𝑇1 − 𝑇) + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑀 𝑀𝐶𝑝 𝑠

(7)

Luego, se reemplazan los valores suministrados en la Tabla 1 y se simplifica teniendo en cuenta unidades 𝑘𝑔 200 𝑊⁄𝐾 𝑑𝑇 1 ⁄𝑠 (20°𝐶 − 𝑇) + (250°𝐶 − 𝑇) = 𝐽 𝑑𝑡 500𝑘𝑔 500𝑘𝑔 × 4184 ⁄𝑘𝑔 · 𝐾 𝑑𝑇 1 = 2 × 10−3 𝑠 −1 (20°𝐶 − 𝑇) + 𝑠 −1 (250°𝐶 − 𝑇) → 𝑑𝑡 10460 𝑑𝑇 1 25 𝑇[°𝐶] −1 = ( °𝐶𝑠 −1 − 2 × 10−3 𝑠 −1 𝑇[°𝐶]) + ( °𝐶𝑠 −1 − 𝑠 ) 𝑑𝑡 25 1046 10460

𝑑𝑇 = 0.064º𝐶𝑠 −1 − 0.0021𝑠 −1 𝑇 𝑑𝑡

(8)

Se obtiene la ecuación (4), que representa el perfil de temperaturas dentro del tanque. Se observa que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, de variables separables: 𝑑𝑇 = 𝑑𝑡 0.064º𝐶𝑠 −1 − 0.0021𝑠 −1 𝑇 Se realiza la integral desde 20°C hasta 28°C y el tiempo entre 0 y t

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𝑡 𝑑𝑇 = ∫ 𝑑𝑡 −1 − 0.0021𝑠 −1 𝑇 20 0.064º𝐶𝑠 0 Haciendo sustitución se tiene que 𝑢 = 0.064º𝐶𝑠 −1 − 0.0021𝑠 −1 𝑇 𝑑𝑢 = −0.0021𝑠 −1 𝑑𝑇

∫

Se cambian los límites de integración a 𝑢 = 0.022 y 𝑢 = 0.0052. 0.0052

−∫ 0.022

𝑡 0.022 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 1 0.022 = ∫ 𝑑𝑡 ⟶ 𝑡 = ∫ ⟶𝑡= ln 𝑢 | 0.0052 0.0021𝑢 0.0021 0.0052 𝑢 0.0021 0

1 (ln 0.022 − ln 0.0052) ⟶ 𝑡 = 686.85 0.0021 𝑑𝑇  Temperatura máxima: Se sabe que cuando la temperatura es máxima 𝑑𝑡 = 0, se puede tomar la ecuación (8) se iguala a 0 y se soluciona para T 𝑡=

𝑑𝑇 = 0.0639°𝐶𝑠 −1 − 0.002095𝑠 −1 𝑇 ⟶ 0.0639°𝐶𝑠 −1 − 0.002095𝑠 −1 𝑇 = 0 𝑑𝑡 0.064°𝐶𝑠 −1 𝑇= ⟶ 𝑇 = 30.48°𝐶 0.0021𝑠 −1 Tabla 1. Resultados del tiempo en segundos suministrados por Matlab con h=0.05 Solución analítica Método RK2-Heun Método RK3 Método Rk4 685.8711 685.8713 685.8711 685.8711 La siguiente grafica muestra la variación del tiempo respecto a la temperatura

Figura 1. Comparación entre la solución analítica, y los métodos RK.

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DISCUSIÓN DE RESULTADOS Antes de aplicar la solución con cualquier método RK, se debe realizar el cálculo utilizando la solución analítica ya que me permite obtener la solución verdadera para poder comparar y no cometer errores de convergencia, ya que depende del tamaño de paso que se emplee, con grandes tamaños de paso puede ocurrir que el error sea cada vez más grande, por tal motivo entre más pequeño sea el tamaño de paso, la iteraciones se vuelven más seguras, y la solución se asemeja más a la real. Con la solución analítica se obtiene que después de 685.8711 segundos la temperatura del agua de salida alcanza una temperatura de 28°C y que la temperatura máxima que puede alcanzar el tanque es de 30.493 °C. Utilizando el método de Heun sin iteración (RK2), con un tamaño de paso de 0.005 el valor de tiempo cuando ha llegado a 28°C es de 685.8713 segundos. Y utilizando el método de RK3 el tiempo calculado es de 685.8711 segundos, por último analizando con el método RK4 el valor del tiempo es de 685.8711 segundos. Haciendo una comparación es notable que los métodos de RK3 y RK4 realizan una muy buena aproximación. Sin embargo sí se requieren resultados más exactos se puede usar métodos de RK de orden superior. En la figura 1 se denota que es más visible y se acerca más la función trazada con el método de RK4 ya que este método debido a que tiene más relaciones de concurrencia se hace mas eficiente. CONCLUSIONES La resolución de problemas de ingeniería está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se requieren respuestas prácticas, utilizar los métodos de RK nos genera soluciones muy cercanas al valor real. Los métodos de RK cuanto mayor sea el orden mayor será la exactitud ya que tienen más relaciones de concurrencia lo que los vuelve más eficientes, es decir que la ecuación de recurrencia del RK4 representa un promedio de las k (pendientes) para establecer la mejor pendiente.

Bibliografía Chapra, S. C. (2006). metodos de Runge-Kutta. En R. P. Canale, Métodos numéricos para ingenieros (J. E. Brito, & M. d. Roa Hano, Trads., quinta edicion ed., págs. 740-750). Printed in Mexico: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

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