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• Maribel Mamani Santander

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17. Para movimientos de gran rapidez en el aire, como el del paracaidista que se muestra en la fi gura 1.3.15, que está cayendo antes de que se abra el paracaídas la resistencia del aire es cercana a una potencia de la velocidad instantánea v(t). Determine una ecuación diferencial para la velocidad v (t) de un cuerpo de masa m que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. SOLUCION: 1. IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES RESPONSABLES DEL CAMBIO QUE SE PRODUZCA EN EL SISTEMA DATOS:  Cuerpo cayendo con una masa (m).  Aceleración con que cae el cuerpo  La gravedad  Resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad  ¿Determinar una ecuación diferencial para la velocidad v (t)? 2. FORMULACIÓN DE UN CONJUNTO DE PREMISAS RAZONABLES O HIPÓTESIS En este problema el paracaidista está cayendo hacia el suelo, por lo tanto, podemos tomarlo como un objeto en caída libre.  En el cual actúan 2 fuerza: el peso= mg donde m es la masa del cuerpo y g es la gravedad, como el cuerpo del paracaidista se dirige hacia el suelo entonces la dirección es positiva.  También tenemos la resistencia del aire = - kv² donde k es una constante proporcional de la resistencia del aire y v² es la velocidad instantánea que en este caso está al cuadrado y es negativa porque es opuesta a la caída del cuerpo. La suma de estas 2 fuerzas nos dará la fuerza neta = el peso + la resistencia del aire.  Además, la velocidad instantánea está relacionada con la aceleración usaremos la segunda ley de Newton F= ma donde m es la masa del cuerpo y a es la aceleración y como a = dv/dt entonces la formula quedaría F= m* dv/dt 3. REPRESENTACIÓN DE LA ECUACIÓN Al igualar la fuerza neta de esta forma con la segunda ley de Newton se obtiene una ecuación diferencial de primer orden para la v(t) de un cuerpo en tiempo t. Entonces tenemos: Segunda ley de Newton= F= ma = m*dv/dt Fuerza neta= el peso + resistencia del aire = mg – kv² La ecuación diferencial quedaría:

m

dv  mg  kv dt

4. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL MEDIANTE SEPARACIÓN DE VARIABLES

m

dv  mg  kv dt

Ecuación Diferencial de primer Orden.

mdv  dt mg  kv 2

1 * mdv mg  dt mg kv2  mg mg

Se multiplica por 1/mg en el numerador y denominador de la parte derecha de la ecuación

1 * mdv mg  dt mg kv2  mg mg 1 * dv g  dt kv 2 1 mg

Reduciendo términos

1 * dv g  dt kv 2 1 mg 1

Reduciendo términos

1 g

dv  dt kv 2 1 mg

1 g

dv    1   k v mg  

1

 kv 2 1   mg 

Sea u 

k

du 

2

 dt Reescribiendo término

k v  mg 

2

kv mg

* 1 dv

mg k mg

mg 1 k g

 kv 1   mg  2

k dv mg

mg

dv

 kv   1     mg 

2

   

2

 dt

du 1 u  tanh 1  c 2 1 u a a 2

 dt

du 1 u  tanh 1  c 2 1 u a a

2

kg

2

m 1 kv  tanh 1 c tc kg 1 mg

tanh 1

m* g k *g

kv kg t c m mg

mg  kg

 kg  kv  tanh  t  c  mg  m  v

mg  kg

m kg

 kg  mg tanh  t  c  m k  

Por tanto la velocidad con respecto al tiempo es:

v(t ) 

 kg  mg tanh  t  c  m k  

𝑎=

𝑑𝑡 𝑑𝑡

Según a la segunda ley de newton: 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 𝑚 Desde el punto de inicial de liberación: 𝑣 =

𝑑𝑠

𝑑𝑣 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑎=

𝑑𝑣 𝑑 2 𝑠 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2

𝑑𝑣 𝑑𝑡

Es una ecuación de 2do orden 𝑚

𝑑2 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑚𝑔 − 𝑘 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡

17. Para movimientos de gran rapidez en el aire, como el del paracaidista que se muestra en la fi gura 1.3.15, que está cayendo antes de que se abra el paracaídas la resistencia del aire es cercana a una potencia de la velocidad instantánea v(t). Determine una ecuación diferencial para la velocidad v (t) de un cuerpo de masa m que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. SOLUCION: 𝑑𝑡 𝑎= 𝑑𝑡 Según a la segunda ley de newton: 𝑑𝑣 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑚 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑠 Desde el punto de inicial de liberación: 𝑣 = 𝑑𝑡

𝑎=

𝑑𝑣 𝑑 2 𝑠 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2

Es una ecuación de 2do orden 𝑚

𝑑2 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑚𝑔 − 𝑘 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡

17. Para movimientos de gran rapidez en el aire, como el del paracaidista que se muestra en la fi gura 1.3.15, que está cayendo antes de que se abra el paracaídas la resistencia del aire es cercana a una potencia de la velocidad instantánea v(t). Determine una ecuación diferencial para la velocidad v (t) de un cuerpo de masa m que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. SOLUCION: 𝑑𝑡 𝑎= 𝑑𝑡 Según a la segunda ley de newton: 𝑑𝑣 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑚 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑠 Desde el punto de inicial de liberación: 𝑣 = 𝑑𝑡

𝑎=

𝑑𝑣 𝑑 2 𝑠 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2

Es una ecuación de 2do orden 𝑑2 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑚𝑔 − 𝑘 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 17. Para movimientos de gran rapidez en el aire, como el del paracaidista que se muestra en la fi gura 1.3.15, que está cayendo antes de que se abra el paracaídas la resistencia del aire es cercana a una potencia de la velocidad instantánea v(t). Determine una ecuación diferencial para la velocidad v (t) de un cuerpo de masa m que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. SOLUCION: 𝑑𝑡 𝑎= 𝑑𝑡 Según a la segunda ley de newton: 𝑑𝑣 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑚 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑠 Desde el punto de inicial de liberación: 𝑣 = 𝑚

𝑑𝑡

𝑎=

𝑑𝑣 𝑑 2 𝑠 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2

Es una ecuación de 2do orden 𝑚

𝑑2 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑚𝑔 − 𝑘 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡