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CUADRO COMPARATIVO SISTEMA LINEAL

SISTEMA NO LINEAL

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí ni en el denominador.

DEFINICIÓN

En matemáticas, los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema físico, matemático o de Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de incógnitas representan una recta en el plano. Si la movimiento, evolución o comportamiento que ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación regulan su comportamiento son no lineales. En gráfica es un plano en el espacio. particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal. Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables. Es decir es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.

Cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.

las ecuaciones simultáneas son lineales, es decir, que se puedan A las ecuaciones algebraicas y trascendentes que expresar en la forma general. no se pueden expresar de esta forma se les llama 𝑓(𝑥) = 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2+⋯+ 𝑎𝑛 𝑥𝑛 − 𝑏 = 0 ecuaciones no lineales. Por ejemplo, Donde la b y las a son constantes 𝑥 2 + 𝑥𝑦 = 10 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 = 57

EJEMPLOS

3x + 2y + 6z = 6 incógnitas Representación grafica incógnitas x + y + z = 1 Representación gráfica incógnitas −x + 2y = 3

es una ecuación lineal con 3 • Las ecuaciones de campo de Einstein que describen el campo gravitatorio dentro de la teoría de la relatividad general. de una ecuación lineal con 3 • Las ecuaciones de Navier-Stokes de la dinámica de fluidos, cuya complejidad las ha de una ecuación lineal con 2 convertido en un problema matemático famoso (de hecho un problema peculiar ligado a estas ecuaciones constiye uno de los problemas del milenio propuestos por el Instituto Clay). •La óptica no lineal •El sistema del tiempo atmosférico en la Tierra. •El balanceo de un uniciclo robot •La ecuación de transporte de Boltzmann •La ecuación de Korteweg-de Vries

FORMA

•La ecuación no lineal de Schrödinger Que satisface las siguientes propiedades: Una ecuación no lineal es una ecuación de la Aditividad: f(x+y)=f(x)+f(y) forma(u)=0 para un valor desconocido de U. Homogeneidad: f(ax)=a f (x). Dos reglas que tomadas a conjunto se conoce como principio de superposición.

PROPIEDADES

ENTRADA Y SALIDA

Las ecuaciones lineales no homogéneas de orden dos o Las ecuaciones no lineales no poseen esta superior tienen la propiedad de que una combinación propiedad de superposición. lineal de soluciones también es una solución.

Cualquier aumento en 𝑥 provova un aumento o disminución en 𝑦 dependiendo del valor de la pendiente.

𝑿𝒚𝒀

𝑥 No siempre es el causante del incremento de 𝑦. Al considerar el ejemplo: 𝑦 = (5 − 𝑥)2 𝑦 Disminuye en valor cuando 𝑥 se aproxima a 5, pero en el caso contrario disminuye.

Representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir:f(x)=mx+b

Una función cuadrática es una función en la forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0). Su grafica se llama una parábola.

GRAFICA

𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 Tiene su vértice en coordenada x −

𝑏 2 = =1 2𝑎 2

La coordenada y del vértice es 𝑦 = (1)2 − 2(1) − 8 = −9 La intersección en y de la gráfica es c=-8, y las intersecciones en x son las soluciones de 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0 (𝑥 + 2)(𝑥 − 4) = 0, 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑥 = −2𝑦4. 𝑆𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜.

Tiene varias soluciones: SOLUCIÓN

Tiene solución única

Solución única Número finito de soluciones

Número infinito de soluciones No tiene solución

Métodos Directos

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Método de Gauss(por reducción) Método de Cramer(por determinantes) Por inversión de la matriz Método de Gauss-Jordan(por eliminación) Por sustitución

Método de la Bisección Método de punto fijó Método de Newton Método de la secante Método de aproximaciones sucesivas Método de la regla falsa Método de Interpolación Inversa

Métodos Iterativos Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel

TIPOS DE ECUACIONES

RELACIONES DE ENTRADA Y SALIDA

DIFERENCIAS EN EL GRÁFICO

Cada ecuación toma su forma basado del grado más alto o el exponente de la variable. Por ejemplo, en el caso donde y = x ³ - 6x + 2 el grado de 3 da esta ecuación le da el nombre "cúbica". Cualquier ecuación que tiene un grado no superior a 1 recibe el nombre "lineal". En general, "x" es considerada como la entrada de una ecuación e "y" es considerada como la salida. En el caso de una ecuación lineal, cualquier aumento en la "x" o bien provoca un aumento o una disminución en "y" dependiendo del valor de la pendiente Un gráfico muestra el conjunto de soluciones para una ecuación dada. En el caso de ecuaciones lineales, el gráfico siempre será una línea

EXCEPCIONES

Con excepción del caso de las líneas verticales (x = una constante) y de las líneas horizontales (y = una constante), existirán ecuaciones lineales para todos los valores de "x" e "y"

BENEFICIOS

Las relaciones lineales se pueden explicar mejor mediante ecuaciones lineales, donde el aumento en una variable causa directamente el aumento o disminución de la otra. Por ejemplo, el número de galletas que comes en un día podría tener un impacto directo en tu peso como se ilustra mediante una ecuación lineal.

De lo contrario, llamaremos ecuación "no lineal" a las ecuaciones cuadráticas, sinusoidales o cualquier otro tipo

En contraste, en una ecuación no lineal, "x" puede no siempre causar el incremento de "y". Por ejemplo, si y = (5 - x) ², "y" disminuye en valor cuando "x" se aproxima a 5, pero disminuye en caso contrario. . Por el contrario, una ecuación no lineal puede parecerse a una parábola si es de grado 2, una forma de x curvada si es de grado 3, o cualquier otro tipo de curva. Mientras que las ecuaciones lineales son siempre rectas, las ecuaciones no lineales a menudo presentan curvas. Las ecuaciones no lineales, por otro lado, no puede tener soluciones para ciertos valores de "x" o "y". Por ejemplo, si y = sqrt (x), entonces "x" sólo existe entre 0 e infinito y también "y", ya que la raíz cuadrada de un número negativo no existe en el sistema de números reales y no hay raíces cuadradas que den como resultado un número negativo Sin embargo, si se analiza la distribución de células en mitosis, una ecuación exponencial no lineal encajaría mejor con los datos.

FORMA

Ecuación cuya variable tiene un grado no superior a 1, es decir, su exponente es máximo 1.

Ecuación cuya variable es cuadrática, cúbica, sinusoidales1 o cualquier otro tipo.

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

𝑥 ENTRADA Y SALIDA 𝐗𝐲𝐘

Cualquier aumento en 𝑥 provova un aumento o disminución en 𝑦 dependiendo del valor de la pendiente.

no siempre es el causante del incremento de 𝑦. Al considerar el ejemplo: 𝑦 = (5 − 𝑥)2 𝑦 disminuye en valor cuando 𝑥 se aproxima a 5, pero en el caso contrario disminuye.

GRAFICA

1

Línea recta con pendiente constante

Ecuación cuya gráfica representa la ecuación seno.

Es una curva. De una forma si se trata de una ecuación cuadrática, pero varía dependiendo del grado o tipo de ecuación. La pendiente no es constante

SOLUCIÓN

Tiene solución única

Ejemplo:

Con el método iterativo la ecuación 𝑎𝑥 = 𝑏 tiene única solución si el 𝐷𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0. Por ende, si un proceso iterativo converge hacia la solución exacta 𝑥, entonces la convergencia es global, es decir, para cualquier aproximación 𝑋𝑜 el proceso iterativo siempre converge a la misma solución.

Tiene varias soluciones: 1. 2. 3. 4.

Solución única Número finito de soluciones Número infinito de soluciones No tiene solución

Ejemplo:

La ecuación 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 tiene una π 3π

solución única en el intervalo [ , 2

2

], tres

soluciones en el intervalo [0,2π], un conjunto infinito de soluciones en el intervalo (−∞, ∞ ) y ninguna solución en el intervalo (0, π). La convergencia en un proceso iterativo generalmente tiene carácter local; es decir, para dos diferentes aproximaciones iniciales un proceso iterativo 𝑥𝑘 puede converger a distintas soluciones del problema.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Métodos directos: se obtiene la solución en un número finito de soluciones aritméticas. Ejemplo,

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Método de aproximaciones sucesivas Método de Bisección Método de la Secante

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Método de Gauss o eliminación de Gauss Regla de Cramer o solución por determinantes Método por matrices Método de factorización LU o triangular

Métodos Iterativos: se aplican cuando el orden de la matriz es grande

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Método de Gauss-Seidel Método de Jacobi

• • •

Método de la Regla Falsa Método de Newton Raphson Método de Interpolación Inversa