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• kevin aguilera

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EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 2 Sección 960 Objetivo: El propósito de esta guía es distinguir entre las tres familias de distribuciones probabilísticas discretas más utilizadas frecuentemente, como lo son la binomial, la hipergeométrica y la de Poisson, a través de las características de cada una, para así calcular probabilidades, la media, la varianza y la desviación estándar. Instrucciones: Desarrolle paso a paso cada uno de los ejercicios propuestos y compárelos con la hoja de respuestas que se entregan al final de éste. Cualquier duda que resulten del desarrollo de estos ejercicios consúltelas con su profesor a través del e-mail. 1.

Calcule la media y la varianza de la siguiente distribución probabilística discreta. X 0 1 2 3

P(x) 0,20 0,40 0,30 0,10

Media Varianza X

P(x) 0,2 0,4 0,3 0,1

0 1 2 3

X*P(x) (X-u)^2*P(x) 0 0,34 0,4 0,04 0,6 0,15 0,3 0,29 1,3 0,81

R= Por lo tanto, la Media es de 1,3 y la varianza es de 0,81.

2.

Las tres tablas presentadas a continuación muestran “variables sus “probabilidades”. Sin embargo solo una de las tres es distribución probabilística. a)

¿Cuál es?

aleatorias” y realmente una

X P(x) 5 0,5 10 0,3 15 -0,2 0,4 R= La tabla del centro es la correcta, ya que es la 20 única que suma de P(x) es igual a 1, es decir, la suma de las probabilidades es igual a 1. b)

la

Utilizando la distribución probabilística correcta, encuentre que la probabilidad x es:

1) Exactamente 15. R= La probabilidad de que sea exactamente 15 es de P(x=15) = 0,2 = 20%. 2) No más de 10. R= La probabilidad de que sea no más de 10 es de P(x≤10) = P(5) + P(10) = 0,1 + 0,3 = 0,4. 3) Más de 15. R= La probabilidad de que sea más de 15 es de P(x>15) = 0,4. 3.

Sandra Concha es la propietaria y gerente de Café Bahía, y ofrece repetición gratis en todos los servicios de café. Reunió la siguiente información acerca del número de tales repeticiones. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar para la distribución del número de reposiciones de café. Rellenos Porcentaje 0 30 1 40 2 20 3 10 Rellenos 0 1 2 3

Porcentaje 0,3 0,4 0,2 0,1

X*P(x) 0 0,4 0,4 0,3 1,1

(X-u)^2*P(x) 0,36 0,00 0,16 0,36 0,89

R= La media es de 1.1; la varianza de 0,89 y la desviación estándar de 0,94. 4.

La siguiente tabla muestra la distribución probabilística para premios en efectivo de una rifa llevada a cabo en la tienda Falabella del Plaza Oeste Tobalaba. Premio (miles de $) Probabilidad 0 0,45 10 0,30 100 0,20 500 0,05

Si comprara usted un solo boleto, ¿cuál es la probabilidad de que gane: a) Exactamente 100? R= P(x=100) = 0,2 = 20%. b) Por lo menos 10? R= P(x≥10)=P(10)+P(100)+P(500)=0,3+0,2+0,05=0,55. c) No más de 100? R= P(x≤100) = P(100) + P(10)+P(0) = 0,95. d) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar para esta distribución Premio Probabilidad X*P(x) (X-u)^2*P(x) (miles de $) 0 0,45 0 1.037 10 0,3 3 433 100 0,2 20 541 500 0,05 25 10.215 48 12.226 R= La media asciende a 48 miles de $, la varianza es de 12.226 y la desviación estándar de 110,57. 5.

6.

En una situación binomial n = 5 y = 0,75. Determine las siguientes probabilidades utilizando la fórmula binomial. a)

x=2

b)

x=3

Una encuesta de corretaje reporta que 30% de los inversionistas individuales, ha utilizado a un corredor de descuento; esto es, uno que no cobra las comisiones completas. En una muestra seleccionada al azar de nueve inversionistas, ¿Cuál es la probabilidad de que: a)

P x  2 

exactamente dos de los individuos de la muestra hayan utilizado a un corredor de descuento? 9!  0.30 2 1  0.30 9 2 2! 9  2  !

R= (x=2) = 0,2668.

b) P x  4  

Exactamente cuatro de ellos hayan utilizado a un corredor de ese tipo? 9!  0.30 4 1  0.30 9  4 4!  9  4  !

R= P(x=4) = 0,1715. c) Ninguno haya recurrido a un corredor de descuento? P x  0 

90 9!  0.30 0 1  0.30  0!  9  0  !

R= P(x=0) = 0,0404. 7.

Una máquina cortadora Yamiani está produciendo 10% de partes defectuosas, lo que es anormalmente elevado. El ingeniero de control de calidad ha estado verificando la producción por medio del muestreo casi continuo desde que empezó la condición anormal. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 9 piezas: Siendo n = 9 y = 0,10

a)

exactamente 5 estén defectuosas?

b) 5 o más tengan defectos? R= La probabilidad de que 5 o más tengan defectos es de 0,0010. Esto fue determinado en base a la tabla de distribución binominal con n = 9 y 8.

= 0,10.

La Agencia de Turismo de Florida informa que un puente levadizo en particular, sobre la Gulf Intracoasta Waterway, queda levantado, bloqueando el tránsito de autos, 20% del tiempo. Usted ha de pasar en auto por la calzada una vez al día, en los próximos siete días, y desea predecir el número de los mismos en que el puente estará en la posición elevada, cuando usted se acerque. a)

¿Esta situación se adapta a la hipótesis de la distribución probabilística binomial? R= La situación antes mencionada se adapta a una distribución probabilística binomial dado que se sabe la cantidad de ensayos el cual serían los próximos 7 días, y la probabilidad de encontrar el puente levantado la cual será 0,2, es por ello que n=7 y = 0,2. b)

Utilizando la fórmula, ¿Cuál es la probabilidad de que esté en la posición elevada exactamente en cuatro de sus siete viajes?

c)

Use la fórmula, para determinar la probabilidad de que esté levantado exactamente 2 veces.

d)

Emplee la tabla de probabilidad binomial que figura en la tabla (Apéndice) binomial, para verificar sus respuestas a las partes b) y c).

R= Se utilizo tabla binomial obtenida en material bibliográfico para verificar resultados antes calculados. 9.

Se asegura que el 95% del correo de 1ª clase se entrega, dentro de Santiago, a los dos días de haber hecho el envío. Se mandan aleatoriamente seis cartas a diferentes sitios. a)

¿Cuál es la probabilidad de que las seis lleguen a su destino dentro de los dos días? (x=6)

b)

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco lleguen dentro de dos días? (x=5)

c) Determine la media del número de cartas que llegarán dentro de dos días. R= La media de una distribución probabilística viene dada por   n , por lo tanto, la media es de 5,7, esto conlleva que la media de cartas que se entregaran en dos días es de 5 cartas. d)

Calcule la varianza y la desviación estándar del número de cartas que llegará dentro de dos días.

R= La varianza se calcula   n 1    , por lo que sería 0,285; y la desviación estándar viene dada por la raíz de la varianza y seria 0,5338. 2

10.

En un estudio reciente se halló que 80% de las casas en Chile tienen televisión a color. En una muestra de 9 viviendas, ¿cuál es la probabilidad de que: a)

las nueve tengan televisión?

R= P(x=9) = 0,1342. b)

menos de 5 tengan posean dichos aparatos?

0,0196 X 0

P(x) 0

1 2 3

0 0,0003 0,0028

4

0,0165 0,0196

P ( x  0) 

9! 90 (0,80) 0 1  0.80  = 0,0000 0!  9  0 !

P ( x  1) 

9! 9 1 (0,80) 1 1  0.80 = 0,0000 1!  9  1!

P ( x  2) 

9! 9 2 (0,80) 2 1  0.80 = 0,0003 2!  9  2 !

P ( x  3) 

9! 9 3 (0,80) 3 1  0.80  = 0,0028 3!  9  3!

P ( x  4) 

9! 94 (0,80) 4 1  0.80 = 0,0165 4!  9  4 !

c)

más de 5 tengan televisión a color?

0,9143 X 6

P(x) 0,1761

7 8 9

0,30199 0,30199 0,1342 0,9143

d)

P ( x  6) 

9! 96 (0,80) 61 1  0.80 = 0.1761 6! 9  6 !

P ( x  7) 

9! 97 (0,80) 7 1  0.80  = 0.30199 7! 9  7 !

P ( x  8) 

9! 9 8 (0,80)8 1  0.80  = 0.30199 8! 9  8!

P ( x  9) 

9! 9 9 (0,80) 9 1  0.80  = 0.1342 9!  9  9 !

por lo menos siete de las casas cuenten con ella?

0,7382 X 7 8 9

P(x) 0,30199 0,30199 0,1342 0,7382

11.

P ( x  7) 

9! 97 (0,80) 7 1  0.80  = 0.30199 7!  9  7 !

P ( x  8) 

9! 9 8 (0,80)8 1  0.80  = 0.30199 8! 9  8!

P ( x  9) 

9! 9 9 (0,80) 9 1  0.80  = 0.1342 9!  9  9 !

Un fabricante de marcos para ventana sabe por larga experiencia, que 5% de la producción tendrá algún tipo de defecto menor que requerirá un ligero ajuste. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 marcos de ventana:

a) P ( x  0) 

ninguno necesite arreglo. 10! 10  0 (0,05) 0 1  0.05 0!10  0 !

R= P(x=0) = 0,599. b)

por lo menos 1 requerirá ajuste.

R= P>1 = 1-P(0) = 1-0.599 = 0,401. c)

Más de 2 necesitarán arreglo.

R= P0) = 1-P(0) = 1 – 0,5488 = 0,4512.

18.

La Sra. Villalobos está encargada de los préstamos en el Banco de Chile. Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar su préstamo, es 0,025. El mes pasado realizó 40 préstamos. ¿Cuál es la probabilidad de que:

n =40 y = 0,025; por lo tanto, µ= 1 a) 3 préstamos no sean pagados oportunamente? R= P(3) = 0,0613. b) por lo menos 3 préstamos no se liquiden a tiempo? R= P(x≥3) = 1 – P(x