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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CINTALAPA

SEMESTRE: 4º. F UNIDAD: 2 MATERIA: INVESTIGACION DE OPERACIONES TRABAJO: METODO DE TRANSPORTE CARRERA: INGENIERÍA INFORMÁTICA. ALUMNO: MANUEL VICTOR HURTADO VALENCIA CATEDRÁTICO: VIOLETA GUADALUPE CINTALAPA DE FIGUEROA, CHIAPAS A 24 DE MARZO DEL 2020

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ÍNDICE PAG. INTRODUCCIÓN ___________________________________________________ 3 MÉTODO DE TRANSPORTE _________________________________________ 4 MÉTODO VOGEL ___________________________________________________ 5 MÉTODO MODI ____________________________________________________ 7 ALGORITMO DE TRANSPORTE _______________________________________ 9 MÉTODO HÚNGARO ________________________________________________ 10 DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE INICIO __________________________ 13 CÁLCULOS ITERATIVOS EN EL MODELO DE TRANSPORTE _______________ 16 MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES _________________________________ 28 SOLUCIÓN CON EL USO DEL MÉTODO HÚNGARO ______________________ 32 CONCLUSIÓN _____________________________________________________ 35 BIBLIOGRAFÍA _____________________________________________________ 36

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INTRODUCCIÓN El modelo de transporte de la P. L. tiene que ver con situaciones como las antes descritas. El objetivo es encontrar el costo mínimo de envío de una cantidad determinada de productos desde ciertos puntos geográficos llamados orígenes, hasta los puntos de distribución llamados destinos. Históricamente el problema de transporte data de 1941, cuando F. L. Hitchcook presentó un estudio titulado “The distribution of a product from several source to numerous localities”, que se considera el primer trabajo realizado que aborda el problema de transporte. Iniciamos la presente unidad definiendo las partes componentes del modelo general de transporte, continuamos con la construcción de un esquema descriptivo y las tablas asociadas al modelo de transporte que usaremos para obtener la solución óptima del problema, aplicando alguna de las tres técnicas más conocidas:   

Esquina noroeste. Vogel. Modi. 

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METODO DE TRANSPORTE El problema general del transporte se refiere a la distribución de mercancía desde cualquier conjunto de centro de suministro, denominados orígenes (fuentes), hasta cualquier conjunto de centros de recepción, llamados destinos, de tal forma que se minimicen los costos totales de distribución. Cada origen tiene que distribuir ciertas unidades a los destinos y cada destino tiene cierta demanda de unidades que deben recibir de los orígenes. Es una aplicación singular de la programación lineal cuyo objetivo es determinar el esquema de transporte que minimice el coste total de este, conocidos los costes unitarios desde el origen i hasta el destino j. Además, se sabe que el producto está disponible en una determinada cantidad b i en cada uno de los m orígenes, y es necesario que sea llevado a cada uno de los n destinos posibles en una cantidad demandada dj. La formulación de un problema de transporte, siguiendo un modelo de programación lineal será: Dónde: 

Z: función de costes totales que se desea minimizar.



cij: coste de transportar una unidad de producto desde el origen i (i=1, 2,..., m) hasta el destino j (j=1, 2,..., n).



xij: cantidad transportada de producto desde el origen i hasta el destino j.



bi: cantidad disponible de producto en cada origen i.



dj: cantidad demandada de producto en cada destino j.

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MÉTODO VOGUEL El método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mismos. Algoritmo de Vogel El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método. Paso 1 Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas. Paso 2 Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el «Paso 1» se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal). Paso 3 De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0). Paso 4: De ciclo y excepciones Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda, detenerse.

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Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos mínimos, detenerse. Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo, detenerse. Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado.

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MÉTODO MODI El algoritmo MODI conocido como el método de los costes ficticios, consiste en añadir a la matriz de costes una fila y una columna que recogen unos costos ficticios determinados arbitrariamente (los números MODI) tal que permite calcular los índices de mejora para las celdas o casillas no utilizadas sin tener que trazar todos los ciclos que requieren otros algoritmos. En general supone ahorros en tiempo debido a su rapidez y al fácil tratamiento de las soluciones degeneradas. La relación entre este método y el método simplex se puede explicar con base en las relaciones primal-dual. De acuerdo con la estructura especial de la programación lineal que representa el modelo de transporte, el problema dual asociado se escribe en la forma:

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Para resolver un problema de transporte utilizando el método MODI se siguen 5 pasos sencillos: Paso 1: Calcular los coeficientes de renglón y columna usando celdas llenas. Paso 2: Calcular el costo marginal de usar cada celda vacía. Paso 3: Seleccionar la celda vacía con el costo marginal más negativo. Paso 4: Encontrar la trayectoria de revisión y se llena la celda vacía al máximo que permita la trayectoria. Paso 5: Se repiten los pasos 1 al 4 hasta que todos los costos marginales sean igual a cero o positivos.

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ALGORITMO DE TRANSPORTE Algoritmo de transporte Se denomina algoritmo a un grupo finito de operaciones organizadas de manera lógica y ordenada que permite solucionar un determinado problema. Se trata de una serie de instrucciones o reglas establecidas que, por medio de una sucesión de pasos, permiten arribar a un resultado o solución. El modelo de algoritmo de transporte trata situaciones de envío de productos de lugares llamados puntos origen (fuentes de abastecimiento) a los puntos destino (fuentes de consumo), siendo su objetivo, determinar las cantidades óptimas de envío de las fuentes de abastecimiento a las fuentes de consumo que minimicen el costo total del transporte, al mismo tiempo que satisfagan tanto los límites de la oferta como los requerimientos de la demanda. El algoritmo de transporte organiza los cálculos en una forma más cómoda aprovechando la ventaja de la estructura especial del modelo de transporte. Pare esto sigue los mismos pasos que el método simplex, sin embargo en lugar de usar la tabla simplex normal se aprovecha la ventaja de la estructura especial del modelo de transporte para organizar los cálculos en una forma más cómoda. Se debe agregar que el algoritmo especial de transporte fue desarrollado por primera vez cuando la norma eran los cálculos a mano y se necesitaba de soluciones con método abreviado. El algoritmo de transporte se basa en la hipótesis que el modelo esta balanceado y eso quiere decir que la demanda total es igual a la oferta total. Si el modelo está desbalanceado siempre se podrá aumentar con una fuente ficticia o destino ficticio para restaurar el equilibrio o balance.

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MÉTODO HUNGARO El método húngaro es un algoritmo que se utiliza en problemas de asignación cuando se quiere minimizar el costo. Es decir, se usa para encontrar el costo mínimo al asignar varias personas a diversas actividades basadas en el menor costo. Se debe asignar cada actividad a una persona diferente. Un problema de asignación es un tipo especial de problema de programación lineal, donde el objetivo es minimizar el costo o el tiempo de completar una cantidad de trabajos por parte de varias personas. Una de las características importantes del problema de asignación es que solo se asigna un trabajo (o trabajador) a una máquina (o proyecto). Este método fue desarrollado por el matemático húngaro D. Konig. Por esta razón, se le conoce como el método húngaro para problemas de asignación. También es conocido como algoritmo de asignación de Kuhn-Munkres. Cualquier problema de asignación se puede resolver fácilmente aplicando este método que consta de dos fases: 

Con la primera fase se realizan reducciones de filas y reducciones de columnas.



En la segunda fase se optimiza la solución sobre una base iterativa.

El método húngaro consta de cuatro pasos. Los primeros dos pasos se ejecutan una sola vez, mientras que los pasos 3 y 4 se repiten hasta encontrar una asignación óptima. Se considera como dato de entrada a una matriz cuadrada del orden n por n, la cual debe contener solamente elementos no negativos. Para un problema dado, si el número de filas de la matriz no es igual al número de columnas se debe agregar una fila ficticia o una columna ficticia, dependiendo del caso. Los costos de asignación para esas celdas ficticias siempre se asignan como cero.

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Paso 1: restar los mínimos de cada fila Para cada fila de la matriz se selecciona el elemento con el valor más bajo y se lo resta de cada elemento en esa fila. Paso 2: restar los mínimos de cada columna De manera similar, se selecciona para cada columna el elemento con el valor más bajo y se lo resta de cada elemento en esa columna. Paso 3: cubrir todos los ceros con un mínimo número de líneas Se deben cubrir todos los ceros en la matriz resultante del paso 2 usando un número mínimo de líneas horizontales y verticales, ya sea por filas o columnas. Si se requiere un total de n líneas para cubrir todos los ceros, siendo n igual al tamaño n por n de la matriz, se tendrá una asignación óptima entre los ceros y por tanto el algoritmo se detiene. De lo contrario, si se requieren menos de n líneas para cubrir todos los ceros en la matriz, se continúa con el paso 4. Paso 4: crear ceros adicionales Se selecciona el menor elemento de la matriz (llamado k) que no esté cubierto por una de las líneas realizadas en el paso 3. Se resta el valor de k de todos los elementos que no están cubiertos por líneas. Posteriormente se suma el valor de k a todos los elementos que están cubiertos por la intersección de dos líneas. Los elementos que están cubiertos por una sola línea se dejan tal como están. Después de realizar este paso, se regresa al paso 3. Asignación óptima Una vez que se detenga el algoritmo en el paso 3, se elige un conjunto de ceros de tal manera que cada fila y cada columna tenga solo un cero seleccionado. INVESTIGACIÓ N DE OPERACIONES

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Si en este proceso de selección no existe un único cero en una fila o columna, se elegirá entonces uno de esos ceros. Se eliminan los ceros restantes en esa columna o fila, repitiendo lo mismo para las otras asignaciones también. Si no hay una única asignación de ceros significa que existen múltiples soluciones. Sin embargo, el costo seguirá siendo el mismo para los diferentes conjuntos de asignaciones. Se elimina cualquier fila o columna ficticia que se haya agregado. Los ceros elegidos en esta matriz final corresponden así a la asignación ideal requerida en la matriz original.

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DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE INICIO Ejemplo La chocolatería el antojito caliente tiene 3 sedes en la ciudad de Arequipa ubicadas en diferentes distritos (Paucarpata, Characato y Cerro Colorado), y debe transportar el chocolate a 4 destinos (San camilo, Plaza de Armas, Av Dolores y Yanahuara) los costos de transporte por unidad (en soles) así como la oferta y demanda se muestran en la siguiente tabla:

Tabla N°3 Modelo inicial del ejemplo. Básicamente se trata de determinar la cantidad de chocolate que debe transportarse de cada destino a cada fuente (Variables Xij) de modo que se satisfagan las restricciones de oferta y demanda y se minimice el costo del transporte. Para resolver el problema se debe determinar una solución básica de inicio a partir de la cual mediante la determinación de las variables de entrada y salida de la tabla se va iterando hasta llegar a la solución óptima. El método de la esquina noroeste o de la esquina superior izquierda, comienza en la esquina superior izquierda a la cual asigna el mayor valor posible sin exceder las restricciones de oferta y demanda.

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Tabla N°4 Método de la esquina noroeste. No se puede asignar un valor mayor a 10 debido a que la demanda para el destino 1 es de 10 unidades, como ya la demanda para el destino 1 (columna 1) está satisfecha salimos de esa columna hacia la siguiente columna.

Tabla N° 5 Cálculos del Método de la esquina noroeste. Asignamos 20 a la variable X 12 debido a que con ese valor la oferta alcanza el máximo valor posible y luego pasamos a la fila inferior debido a que la oferta de la fila 1 ya está completa, en caso de que la oferta y demanda alcancen el máximo al mismo tiempo se elige si se debe dar por completada la oferta o demanda y se pasa a la siguiente fila o columna (según sea el caso) colocando cero como valor para no exceder las restricciones. Aplicando el mismo procedimiento se encuentra la solución básica inicial INVESTIGACIÓ N DE OPERACIONES

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Tabla N°6 Solución básica inicial Método de la esquina noroeste. Se observa que el costo del transporte en esta solución básica de inicio viene dado por la suma del producto del número de unidades transportadas de la fuente i al destino j multiplicados por los costos Cij, las variables que no tengan valores en la tabla se asumen como cero al calcular el costo del transporte.

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CALCULOS ITERATIVOS EN EL MODELO DE TRANSPORTE Una vez encontrada la solución básica de inicio, se procede a aplicar el método de los multiplicadores, asociando los multiplicadores u i y vj a las filas i y las columnas j de la tabla del modelo de transporte

Tabla N°7 Solución básica inicial Método de la esquina noroeste. Ahora para cada variable básica, es decir, que este en la solución básica inicial obtenida por el método de la esquina noroeste, se procede a asociar los multiplicadores según la siguiente ecuación

Según la solución básica del ejemplo se obtiene

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Para resolver se iguala alguno de los ui a cero y se resuelve para los demás valores

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A continuación se usan los u i y vj obtenidos para evaluar las variables que no estén en la base con la siguiente expresión

Obteniendo

Tabla N°8 Valores de las variables no básicas por el método de los multiplicadores. Estos valores se representan en la tabla de transporte asignándolos a las variables que no estén en la solución básica inicial, quedando la nueva tabla de la siguiente forma

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Tabla N°9 Iteración N° 1 Modelo de Transporte. Luego para obtener la variable de entrada, se toma la variable no básica cuyo valor sea mayor

Tabla N°10 Variable de entrada Iteración N° 1. Es decir X31 es la variable de entrada, lo cual implica que se debe transportar desde la fuente 3 al destino 1 para minimizar los costos, es decir, en la siguiente iteración la variable X31 tendrá un valor asignado ∆. A incrementar el valor de X31 por ∆ se debe mantener el equilibrio en la oferta y demanda, lo cual se logra mediante construir un ciclo cerrado entre la variable entrante y las variables básicas, omitiendo los valores que aparecen en recuadros pequeños, la nueva tabla sería

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Tabla N° 11 Construcción del ciclo Iteración N° 1. Podemos apreciar que al sumar los nuevos valores tanto de las filas como de las columnas se conserva el equilibrio, se observa también que para cada fila o columna el ciclo empieza en un extremo y termina en el otro extremo que sea parte de la solución básica inicial. Ahora asignamos a ∆ el mayor valor posible de manera que ninguna de las variables básicas de la tabla anterior sea negativa, teniendo en cuenta las relaciones mostradas el mayor valor posible es ∆=10, y resolvemos para dicho valor, la variable básica que nos de cero será la variable de salida en caso de que dos variables básicas nos den cero elegimos cualquiera como variable de salida, este caso sucede en el problema que estamos resolviendo en el cual elegiremos a X 11 como variable de salida. Por ser X11 la variable de salida ya no colocamos su valor en la nueva tabla en cambio a pesar de que X22 nos dio cero como no es nuestra variable de salida mantenemos el valor de cero.

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Tabla N°12 Solución Básica Iteración N° 1. Iteración N° 2 Se repite el cálculo de los multiplicadores u i y vj teniendo en cuenta la nueva solución básica

Asignando a

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Obtenemos

Para las variables no básicas se evalúa

Obteniendo

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Tabla N°13 Valores de las variables no básicas por el método de los multiplicadores Iteración N° 2. Resultando en la siguiente tabla de transporte:

Tabla N°14 Iteración N° 2 Modelo de Transporte. La variable de entrada del modelo de transporte será la variable no básica que tenga el mayor valor, en este caso la variable de entrada es X 14 por tener el mayor valor, por lo tanto construimos el ciclo al igual que en la iteración anterior.

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Tabla N°15 Iteración N° 2 Construcción del ciclo. El mayor valor que puede asumir ∆ es 20, para dicho valor se obtiene

Tabla N°16 Iteración N° 2 Solución básica. Iteración N° 3 Se repite el cálculo de los ui y vj teniendo en cuenta la nueva solución básica

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Asignando a

Obtenemos

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Para las variables no básicas se evalúa

Obteniendo

Tabla N°17 Iteración N° 3 Valores de las variables no básicas por el método de los multiplicadores. Obteniendo la siguiente tabla de transporte

Tabla N°18 Iteración N° 3 Modelo de Transporte. Como todos los

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Son negativos en esta tabla la solución es óptima, por lo tanto la chocolatería debe transportar de la fuente 1: 10 unidades al destino 2 y 20 unidades al destino 4, de la fuente 2: 20 unidades al destino 2 y 30 unidades al destino 3 y de la fuente 3: 10 unidades al destino 1 y 10 unidades al destino 4, de esta forma satisface la oferta y demanda al costo mínimo.

Con un costo asociado de

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MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES Este método reproduce exactamente las mismas iteraciones del método de banquillo. La principal diferencia ocurre en la forma en que las variables no básicas se evalúan en cada iteración. Asociados a cada renglón i de la tabla existen multiplicadores Ui similarmente se asocia un multiplicador V j a cada columna de la tabla j. Para cada variable básica Xij de la solución actual, se escribe la ecuación U i +Vj = Cij. Esas ecuaciones proporcionan m+n-1 relaciones con m+n incógnitas. Los valores de los multiplicadores pueden ser determinados a partir de las ecuaciones suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores (usualmente se establece U1=0) y resolviendo el sistema de ecuaciones para encontrar los multiplicadores desconocidos. Una vez que se hace esto, la evaluación de cada variable no básica X pq está dada como: El criterio que se utiliza para seleccionar la variable que entra es el mismo que el método de banquillo (la mayor negativa). Ejemplo: Una compañía está considerando una demanda de 5 clientes utilizando artículos que tienen disponibles en 2 almacenes. Los almacenes cuentan con 800 y 1000 unidades respectivamente. Los clientes necesitan 200, 150, 200, 180 y 500 unidades respectivamente. Los costos de embarque por artículo de los almacenes de los clientes son:

Resuelva el modelo de transporte empleando. a) Una solución inicial por el método de aproximación de vogel.

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b) La solución óptima por el método de multiplicadores.

 

  DESTINO FICTICIO = 570 ARTÍCULOS 

 Para

encontrar el valor de los multiplicadores

Se acostumbra: 

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Para encontrar costos:

  Encuentre la solución óptima por el método de multiplicadores a partir de la siguiente tabla inicial. INVESTIGACIÓ N DE OPERACIONES

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SOLUCIÓN CON EL USO DEL MÉTODO HUNGARO El Método Húngaro consta de los siguientes pasos: Paso 1: En la matriz original de costo, identificar el mínimo de cada fila y restarlo de todos los elementos de la fila. Paso 2: En la matriz que resulte del Paso 1, identificar el mínimo de cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna. Paso 3: Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el Paso 2. A continuación presentaremos un ejemplo que muestra la aplicación del Método Húngaro que nos permite decidir la asignación de trabajadores a puestos de trabajo. Ejemplo Método Húngaro Un equipo de 3 ingenieros debe ser asignado para la realización de 3 tareas, donde cada ingeniero debe hacer una tarea. Se requiere encontrar la asignación de costo mínimo para lo cual se dispone de los costos asociados a que el ingeniero i realice la tarea j. Por ejemplo, 

 representa el costo correspondiente a que el ingeniero 1

asuma la tarea 1.

Aplicar el Método Húngaro para encontrar una asignación óptima de los ingenieros a las tareas. El Paso 1 del Método Húngaro requiere identificar el valor mínimo de cada fila. En el caso de la fila 1 dicho valor es $9 siendo el costo de que el ingeniero realice la tarea 3. En particular si se dispone de un problema de mayor tamaño, hacer uso de Excel facilita los cálculos tal como se muestra en la siguiente imagen: INVESTIGACIÓ N DE OPERACIONES

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A continuación se resta el mínimo de cada fila a cada uno de los valores de la fila respectiva, para obtener la matriz reducida:

La aplicación del Paso 2 produce los mínimos de cada columna según se observa en la tabla anterior. Al restar esos valores de las columnas respectivas se obtiene la siguiente matriz reducida:

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Las celdas con valor cero y color azul son la solución óptima. En consecuencia el ingeniero 1 realiza la tarea 2, el ingeniero 2 asuma la tarea 1 y el ingeniero 3 la tarea 3. Cada ingeniero realiza exactamente una tarea y el costo total de dicha asignación (valor óptimo) es de $9+$10+$8=$27. Los pasos presentados del Método Húngaro para el ejemplo anterior funcionaron bien debido a que los elementos cero de la matriz anterior permiten una asignación factible de ingenieros a tareas (en el sentido que las tareas se asignan de forma única a los ingenieros). No siempre esto es posible lograr una solución factible en la aplicación caso en el cual se requiere pasos adicionales para la aplicación del método.

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CONCLUSIÓN Ante la necesidad de administrar y distribuir, de manera eficiente, materiales escasos a las distintas operaciones en las que las empresas se ven reflejadas, es necesario aplicar las técnicas de la investigación de operaciones. Las técnicas desarrolladas han contribuido a empujar la rápida carrera que llevaba la investigación de operaciones, e incluso muchas de las técnicas hubiesen alcanzado un grado de desarrollo extraordinario. Se han presentado varios métodos para obtener una solución al problema de transporte u otro semejante.  Una consideración muy importante que hay que tener en cuenta con cualquier método que se utilice, es que el problema de transporte no siempre puede aislarse y resolverse dentro de sus propios límites.  El transporte es tan sólo una parte de todo el sistema de distribución de la compañía. Es muy difícil resolver el mejor programa de transporte en términos de servicio y bajo costo.  Esa área de la empresa requiere de una constante atención para incorporar los cambios que constituyan y una difícil tarea para cualquier grupo de investigaciones de negocios.

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BIBLIOGRAFÍA alejandra. (s.f.). wordpress. Recuperado el 11 de 04 de 2020, de https://alejandra090290.wordpress.com/problema-de-transporte/ Buitrago, O. Y. (6 de marzo de 2017). SciELO. Recuperado el 4 de abril de 2020, de SciELO: https://scielo.conicyt.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S071807642017000500004 Corvo, H. S. (s.f.). Lifeder. Recuperado el 4 de abril de 2020, de https://www.lifeder.com/metodo-hungaro/ Wolters Kluwer. (s.f.). guiasjuridicas. Recuperado el 4 de abril de 2020, de guiasjuridicas: https://www.guiasjuridicas.es/Content/Documento.aspx? params=H4sIAAAAAAAEAMtMSbF1jTAAASMTMwtTtbLUouLM_DxbIwMDS0ND Q3OQQGZapUt-ckhlQaptWmJOcSoAsC_qJjUAAAA=WKE

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