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• Jesus Castaño Burgos

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METODO DE LAS DOS FASES

El procedimiento consiste en resolver el modelo en dos etapas o fases. En la primera, se busca obtener una SBF del modelo aumentado, que no incluya variables artificiales. Cuando en esta solución básica factible del MA, todas las variables artificiales valen cero, ella es una solución básica factible inicial del Modelo original y a partir de ahí se inicia la segunda fase del método simplex. Pero puede ocurrir que en la fase 1 no sea posible extraer todas las variables artificiales de la solución básica, presentándose los casos de: restricción redundante analíticamente, solución infactible, inexistencia de solución; situaciones que discutiremos más adelante. Fase I Minimizar la suma de las variables de Super-Avit ó Artificiales, usadas en el problema. Si Z = 0 , proceder con la fase II Si Z es diferente de cero, el problema no tiene solución Fase II Use la solución de la fase I como solución inicial factible de la fase II, teniendo en cuenta que todas las variables de Super-Avit ó Artificiales son iguales a cero.

EJEMPLO FASE I

Fíjese Que en la fase I , siempre será Minimizar la suma de todas las variables Artificiales que tenga el problema. A continuación procedemos a solucionar el problema planteado, usando el método simplex, ya sea manualmente ó mediante el software Winqsb. De forma manual, los resultados son los siguientes:

Fíjese Que aquí Z* = 0

FASE II Con la solución óptima de la fase I, planteamos el siguiente problema:

Fíjese que el nuevo problema no tiene la gran M, ya que han dejado de figurar las variables Artificiales, en atención a que ya sabemos que efectivamente son iguales a cero. La solución al nuevo problema se halla mediante el método simplex. Así:

SOLUCION

METODO MATRICIAL

El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de formaelástica y lineal. En inglés se le denomina direct stiffness method (DSM, método directo de la rigidez), aunque también se le denomina el método de los desplazamientos. Este método está diseñado para realizar análisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el más común en los programas de cálculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre).

EJEMPLO En la cubierta de la figura, determiar el valor de los momentos en los extremos de las barras, así como el momento máximo en ellas. (E=2.1·1011 N/m2, I=68000 cm4, A=56 cm2).

En primer lugar, definimos los nudos y los grados de libertad de la estructura.

Las características necesarias para calcular las matrices de rigidez se resumen en la tabla siguiente.

Calculemos la matriz de rigidez de los distintos elementos. SISTEMA LOCAL DE LOS ELEMENTOS ABY BC,

Elemento A,B

Que en coordenadas globales es:

Sistema local de los elementos BD Y CD

Elemento BC

Que en coordenadas globales es,

Elemento BD,

Que empleando la matriz de rotación

Permite obtener la matriz de rigidez en coordenadas globales,

Elemento CD. Este elemento solo puede trabajar a tracción o compresión (está articulado en los extremos y no tiene cargas transversales o momentos aplicados) por lo que su matriz en coordenadas locales es,

QUE EN COORDENADAS GLOBALES ES

Matriz a la que se llego por medio de

Luego la matriz de rigidez los distintos elementos ya estan calculadas. Las ensamblamos ahora para obtener la matriz de rigides global de la estructura.

Vector desplazamiento El vector de desplazamiento es

Por lo que el sistema de ecuaciones a resolver tendrá 9 ecuaciones. Vector de cargas El vector de cargas de los elementos AB y BC, se puede escribir directamente en coordenadas globales como

Que sustituyendo para cada una de las barras

El vector de carga del elemento BD, es más cómodo escribirlo en coordenadas locales y pasarlo después a globales.

El vector de cargas se calcula como

Ensamblando estos vectores se obtiene el vector de esfuerzos de empotramiento

Restando este vector al de las cargas aplicadas en los nudos, se tiene el vector de cargas a introducir en el sistema ecuaciones.

Por lo que el sistema de ecuaciones a resolver para calcular los desplazamientos

MODELO DE LAS DOS FACES Y MODELO MATRICIAL

JESUS CASTAÑO BURGOS KEYMER BARRIOS ESPAÑA EDER FLOREZ ARROLLO OSCAR LOPEZ MESTRA

ING. FREDY MARTÍNEZ

UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA DE SISTEMAS MONTERÍA 2014