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• Paul Kevin Bautista Palacios

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Método bisección Primero inicio- introducimos la función crear un imput-grado de exactitud- ingresamos intervalos donde se encuentra la raíz valores donde fx1por fox2 (el x2 es mayor) se tiene que cumplí que es menor a cero donde seguimos al paso de abajo sino volvemos e ingresamos otros extremos u otro grado de exactitud y volvemos a evaluar para cumpli la teoría de bolsano- si cumple seguimos para hallar la raíz reemplezamos en esta formula si haces esto y se cumple el grado de exactitud signifca que ya con esa formula sacas la raíz pero si no se cumple tienes que determinar que fx1 por fxr tiene que ser menor o igual a0 si se cumple esto el fx2 remplazas por fxr luego te vas a esta formula hasta que cumpla la función.la primera interacion. Si te sale mayor a 0 remplzas el fx1 por el fxr y otra vez te vas a la formulas hasta que te salga el valor. Las iteraciones van a depender del grado de exactitud que quieres. Método falsa posición Inicio-ingresar la función fx1 le colocamos el error admisible .ingresamos los intervalosxa y xbluego aplicamos la teoría de semejanza de triangulos que fxa y fxb tienen opuestos por lo que ende la multiplicación tiene que ser menor a 0 si se cumple se tiene que seguir con el proceso si no se cumple se tiene que tomar otro intervalo hasta que se cumpla. Después se hace esta operación- después sigue para ver cuantas iteraciones se puede hacer o cuando acaba el proceso entonces se toma la función evaluada del intervalo que estamos hallando sea menor o igual que el error admisible. Si cumple el proceso el valor de xe se aproxima a la raiz acabaría el proceso. Si no cumple se sigue con el proceso. Se continua- se ve que intervalo se va a garrar el intervalo mayor o el menor. Y se sigue con la formula fxa*el fxe tiene que ser menor que 0 si este se cumple el fxb toma el valor de xc y si es no fxa toma xc y se rremplaza en la otra formula.un proceso cíclico hasta que nos de el resultado o se aproxime cuando cumple eso. Método Newton-Rhapson. El método Newton-Raphson, al igual que el método de bisección, es un algoritmo que busca la raíz de una función. Este algoritmo es un método abierto, ya que, no necesita un intervalo para empezar el algoritmo; solamente con introducir un valor inicial en “x”, el algoritmo eventualmente encontrara la raíz de la función, en otras palabras, la distancia del valor inicial solamente determinara el número de iteraciones que se necesiten para que el algoritmo encuentre la solución. El elemento principal del algoritmo es la fórmula de Newton-Raphson, la cual, partiendo de la fórmula de la derivada, llega a una x1  = x0  – ( f(x0) / f ’(x0) );  donde x1  representa una aproximacion  a la raiz. De manera gráfica, dado una “x”  inicial, se obtiene la derivada para sacar la tangente en ese punto. Después, se toma x1 como el punto donde la tangente cruza el eje x, si x1  no es la raíz, x0 toma ese valor y se repite el proceso. El algoritmo realiza el proceso dicho anteriormente, empieza tomando un valor inicial “x0”, el cual es dado por el usuario, posteriormente, evalúa un “x1” con la formula Newton-Raphson, y si ese punto no es la raíz, repite la iteración tomado “x0” como el “x1” hasta que el punto evaluado en la función sea muy cercano a cero.

A diferencia del método de bisección, este algoritmo, dado que es un método abierto, no tiene requisitos específicos para asegurar el funcionamiento correcto. Lo que si se tiene que tener en cuenta es que el valor inicial no esté en un punto de inflexión de la función, porque esto provocaría que la tangente sea cero, y, por consiguiente, provocaría que la formula NewtonRaphson se indetermine. El método se detiene se detiene si y solamente si la función evaluada en “x1” es cercano a cero, o simplemente se atora en un ciclo infinito cuando la formula Newton-Raphson se indetermina Metodo de la secante Al igual que el método Newton-Raphson, el método secante funciona entorno a una formula, en este caso, la fórmula de la secante; la cual, dado dos puntos como valores de entrada, el método calcula una secante para acercarse a la raíz. Gráficamente, funciona igual que Newton-Raphson, por excepción de que, en vez de calcular una tangente dado un punto, este calcula una secante dado dos puntos: x0 y x1. El punto en la gráfica, donde la secante de la iteración anterior cruza eje x, se convierte en x2 (o nuevo x0), y se calculara una nueva secante con x 1 y x2; este proceso se repetirá hasta que uno de los puntos evaluado en la función sea cero. Por ser método abierto, no tiene requisitos estrictos para que funcione, como es el caso del método bisección; sin embargo, dada una función donde su raíz sea un punto de inflexión, el método tendrá que hacer muchas más iteraciones, o incluso a nunca terminar, a comparación con los métodos bisección y Newton-Raphson. Además, los dos puntos dados no deben formar una línea paralela al eje x al calcular la secante, ya que esto provocaría que el método se itere indefinidamente. Metodo Punto Fijo FUNCION 1. Definir el error máximo a aceptar (Tol). 2. Definir una aproximación inicial cualquiera (Xo) 3. Definir el máximo número de iteraciones a realizar (MaxIter) 4. Reacomodar f(x) para obtener la ecuación: x = g(x) 5. Establecer a cero el contador de iteraciones (Iter) 6. Tomar Xo como primera aproximación de la raiz (Xr = Xo) 7. Repetir estos pasos: UNISANGIL - MÉTODOS NUMÉRICOS – Prof. Ing. Edgar Romero Rodríguez - Feb - 2005 Pág. 16 de 20 a. Guardar el valor de la aproximación anterior (Xa = Xr). b. Calcular una nueva aproximación: Xr = g(Xa)

c. Incrementar el número de iteraciones (Iter = Iter + 1) d. Si Xr ≠ 0 entonces calcular: Error = |Xr – Xa| / Xr. e. Si Error < Tol entonces Imprimir Xr como aproximación de la raíz y parar. f.Si Iter > MaxIter entonces Imprimir mensaje de error de que el proceso fallo y parar. g. Volver al paso 7.