yRiemann ecuaciones de CauchyRiemann ! 3.1 DERIVADAS ! ! ! (3.1) Dz Si f (z) es unívoca en una región del plano z, la
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yRiemann ecuaciones de CauchyRiemann !
3.1 DERIVADAS
! ! !
(3.1) Dz Si f (z) es unívoca en una región del plano z, la derivada de f (z) se define como siempre que este límite exista independientemente de la manera en que z o 0. Si es así, se dice que f (z) es diferenz Dzh z de z. Aunque diferenciabilidad implica ciable en z. En la definición dada en (3.1), ftambién suelef usarse en flugar (3.1) (z) lím Dz0 3.4). Dz continuidad, lo contrario no es verdad (vea el problema
Si f (z) es unívoca en una región del plano z, la derivada de f (z) se define como Temas para repasar especialmente f z Dz f z DERIVADAS para el 3.1 Examen Parcial 1: f (z) Dz0 lím
que este límite exista independientemente de la manera en que Funcionessiempre analíticas
!
z o 0. Si es así, se dice que f (z) es diferenciable en z. En la definición dada en (3.1), también suele usarse h en lugar de z. Aunque diferenciabilidad implica continuidad, lo contrario no es verdad (vea el problema 3.4).
3.2 FUNCIONES ANALÍTICAS
! !
Si la derivada f c(z) existe en todos los puntos z de una región , se dice que f (z) es analítica en y se refiere a una función analítica en . Como sinónimos de analítica suelen usarse también los términos regular y holomorfa. 3.2Se dice FUNCIONES ANALÍTICAS que una función f (z) es analítica en un punto z0 si existe una vecindad _z z0_ E en la que para todos suslapuntos exista Si derivada f c(z)f c(z). existe en todos los puntos z de una región , se dice que f (z) es analítica en y se refiere a una función analítica en . Como sinónimos de analítica suelen usarse también los términos regular y holomorfa. Se dice que una función f (z) es analítica en un punto z0 si existe una vecindad _z z0_ E en la que para todos sus puntos exista f c(z).
!
3.3deECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN Ecuaciones Cauchy-Riemann !
Una condición necesaria para que w f (z) u(x, y) iv (x, y) sea analítica en una región satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann
es que, en
,uyv
3.3 ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN
@u @v @u @v y) , iv (x, (3.2) Una condición necesaria para que w f (z) @xu(x, @y @y y) sea@xanalítica en una región es que, en , u y v satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann Si las derivadas parciales en (3.2) son continuas en , entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann son condiciones @u el problema @v @u3.5. @v suficientes para que f (z) sea analítica en . Vea , (3.2) @y funciones @y conjugadas. @x A las funciones u(x, y) y v (x, y) se les suele@xllamar Dada una u que tenga primeras derivadaslas parciales continuas enen una región conexa (vea la sección 4.6), puede v (dentro de constante Si derivadas parciales (3.2) son simple continuas en , entonces las ecuaciones de hallarse Cauchy-Riemann sonuna condiciones aditiva arbitraria) talf que u analítica iv f (z)ensea .analítica (vea los problemas 3.7 y 3.8). suficientes para que (z) sea Vea el problema 3.5. A las funciones u(x, y) y v (x, y) se les suele llamar funciones conjugadas. Dada una u que tenga primeras derivadas parciales continuas en una región simple conexa (vea la sección 4.6), puede hallarse v (dentro de una constante aditiva arbitraria) tal que u iv f (z) sea analítica (vea los problemas 3.7 y 3.8).
! !
Funciones armónicas 78 CAPÍTULO 3 !
!
DIFERENCIACIÓN COMPLEJA Y ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN
3.4 FUNCIONES ARMÓNICAS Si las segundas derivadas parciales de u y v respecto de x y y existen y son continuas en una región acuerdo con (3.2), se encuentra que (vea el problema 3.6)
@2 u @2 u 0, @x2 @y2
@2 v @2 v 0 @x2 @y2
, entonces, de
( (3.3)
En estas condiciones se sigue que la parte real y la parte imaginaria de una función analítica satisfacen la ecuación de Laplace, que se denota 2 2 22 2 @@2@2C C C @@2@2C C C @@2@2 2 22 2 22 2 @@@ o donde C C C 0 0 0
; ; ; 0 0 0
22 2 @y 22 2 @@2@2xx2 x @@2@2yy2 y @x @x@x @y@y
(3.4)
Al operador 2 se le suele llamar laplaciano. Funciones como u(x, y) y v (x, y) que satisfagan la ecuación de Laplace en una región armónicas y se dice que son armónicas en .
se denominan funciones
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!
3.5 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Sea z0 [figura 3-1] un punto P en el plano z y sea w0 [figura 3-2] su imagen Pc en el plano w mediante la transformación w f (z). Como se supone que f (z) es unívoca, el punto z0 se lleva a un solo punto w0. plano z y
1
plano w u
Q
(z0)
Q z )
!
Transformaciones plano-xy !" plano-uv! 42 CAPÍTULO 2 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD !
2.4 TRANSFORMACIONES Si w u iv (donde u y v son reales) es una función unívoca de z x iy (donde x y y son reales), se escribe u iv f (x iy). Si se igualan las partes reales y las imaginarias, se ve que esto equivale a u(x, y) y v
u
v (x, y)
(2.1)
Así, punto (x, y)3 delDplano z, como P COMPLEJA en la figura Y2-1, existe un punto 82dado un CAPÍTULO IFERENCIACIÓN ECUACIONES DE Ccorrespondiente AUCHY-RIEMANN(u, v ) en el plano w, como Pc en la figura 2-2. Al conjunto de ecuaciones (2.1) [o a su equivalente, w f (z)] se le llama transformación. Se dice que el punto 3.2 P se lleva o transforma en el punto Pc por medio de esa transformación, y a Pc se le conoce EJEMPLO 3 DIFERENCIACIÓN COMPLEJA Y ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN como la imagen 82 de P. CAPÍTULO a) f (z) (z 3)12 tiene un punto de ramificación en z 3. 2 2 EJEMPLO SiEJEMPLO w zz, 2) entonces u ivde ramificación (x iy)2 donde x2 zy2 2z 2ixy, la es transformación x2 y2, tiene puntos 2 y 0, decir, en z 1esy zu 2. b) f (z)2.2 ln(z 3.2 v
4.
5.
2xy. La imagen del punto (1, 2) del plano z es el punto (3, 4) del plano w. 12 punto singular aislado z0 es una singularidad removible de f (z) si límzoz Singularidades a) removibles. f (z) (z 3)Un tiene un punto de ramificación en z 3. 0 2 lím 2 continua en z , sino también anaf (z) existe. Alb)definir (z) sepuntos muestra que f (z) nodonde sólo zes ln(z z zoz 2)0 ftiene de ramificación uz 2 0, es0decir, en z 1 y z 2. 0) y f (z) f (z
lítica en z0. 4. Singularidades Un punto singular aislado z0 es una singularidad plano w removible de f (z) si límzoz0 plano removibles. z P' de f (z) EJEMPLO 3.3 puntoAl singular singularidad removible seneszz, pues en z0, sino también anaf (z)Elexiste. definirzf (z00) es una límzoz f (z) se muestra que f (z) no sólo continua 0 límzo0 (sen zz) lítica 1. en z0. Q Singularidades esenciales. singularidad no es unremovible polo o una se EJEMPLO 3.3 A El una punto singular z aislada 0 es unaque singularidad desingularidad f (z) Q' sen zz,removible pues P zz) 1. límzo0 (sen le llama singularidad esencial. x singularidad u 5. 3.4 Singularidades A una singularidad removible se EJEMPLO f (z) e1(z2) esenciales. tiene una esencialaislada en z que 2. no es un polo o una singularidad le llama singularidad esencial. Si una función tiene una singularidad aislada, esa singularidad es removible, es un polo o es una sin1(z2)
EJEMPLO 3.4 se f (z) una singularidad esencial z 2. gularidad esencial. A esto debee que atiene los polos se les suela llamarensingularidades no esenciales. De manera equivalente, z función z0 es una esencial si noesa es posible hallaresunremovible, entero positivo n tal oque Si una tienesingularidad una singularidad aislada, singularidad es un polo es una sinFigura 2-2 Figura n 2-1 límzoz0 (z zgularidad A o 0. A esto se debe que a los polos se les suela llamar singularidades no esenciales. De esencial. 0) f (z) manera equivalente, z dez0singularidad es una singularidad no punto es posible hallar un positivo7n tal que al infinito; veaentero las páginas 6. Singularidades al infinito. El tipo de f (z) esencial en z ƈsi[el n lím (z z ) f (z) A o 0. zoz 0 0 En general, una transformación, y 47]mediante es el mismo que el de f (1w)un enconjunto w 0. de puntos, como los puntos de la curva PQ de la figura 2-1,
al3infinito; vea las páginas 7 6. correspondiente Singularidades al tipo de flos (z) en z se lleva a un conjunto deinfinito. puntos, El que esde susingularidad imagen, como puntos de[ellapunto curva figura EJEMPLO 3.5 La función f (z) z3 tiene un polo de orden 3 en z ƈ, pues fƈ (1w) 1wPcQc tieneenunlapolo de y 47] es el mismo que el de f (1w) en w 0. 2-2. Las características de la imagen dependen, por supuesto, del tipo de función f (z), que en ocasiones se llama orden 3 en w 0. 3 de un función de transformación. Si f (z)3.5 es multivaluada, delorden plano z, zen general, lleva a1w más EJEMPLO La función f (z)un punto z3 tiene(ouncurva) polo de 3 en (1w) tiene un polo de ƈ, pues fse En el seplano presentan punto (o capítulo curva) en6 el ordenw.3 enmétodos w 0. para clasificar singularidades con series infinitas.
!
!
En el capítulo 6 se presentan métodos para clasificar singularidades con series infinitas.
3.12 FAMILIAS ORTOGONALES 2.5w Cf OORDENADAS CURVILÍNEAS Sea (z) 3.12 u(x, y)F AMILIAS iv (x, y) unaORTOGONALES función analítica, y f c(z) o 0. Entonces, las familias de curvas de un parámetro
c2
Dada la transformación w u(x, f (z)y)o,deivmanera equivalente, y), a (x,lasy)familias se le conoce como coory) B ,analítica, vu (x, u(x, y)y fy), C vo 0.v (x, Sea w f (z) (x, y) u(x, una función c(z) Entonces, de curvas de(3.15) un parámetro denadas rectangulares del punto P en el plano z, y a (u, v ) como coordenadas curvilíneas de P. donde B y C son constantes, son ortogonales, es decir,u(x, en el punto de intersección cada miembro de una familia y) B , v (x, y) C (3.15) [líneas continuas de la figura 3-3] es perpendicular a cada miembro de la otra familia [líneas punteadas de la figura donde B y C sonplano constantes, son ortogonales, es decir, en el punto de intersección cada miembro de una familia z plano w 3-3]. Las correspondientes curvas en el w, que son líneas los ejes u y[líneas v, forman también y imagen uparalelas = c2 de laa otra [líneas continuas de la figura 3-3] es plano perpendicular a cada miembro familia punteadas de la figura u familias ortogonales [vea la figura 3-4]. curvas imagen en el plano w, que son líneas paralelas a los ejes u y v, forman también 3-3]. Las correspondientes ! u = c1
u (x, y) =
familias ortogonales [vea la figura P 3-4]. plano z y plano z y
plano w u
!
P plano w u
x
u(x,
c y) = 1
u
x x
Figura 2-3
Figura 3-3
! !
u
Figura 2-4
Figura 3-4 Figura 3-4
Figura 3-3
u
En vista de esto, puede pensarse que si la función de llevado f (z) es analítica y f c(z) o 0, entonces el ángulo entre ! vista de esto, puede pensarse que si la función de llevado f (z) es analítica y f c(z) o 0, entonces el ángulo entre cualesquiera dosEn curvas C1 y C2 que se intersequen en el plano z será igual (en magnitud y en sentido) al ángulo cualesquiera dos curvas C1 y C2 que se intersequen en el plano z será igual (en magnitud y en sentido) al ángulo entre las correspondientes curvas imagen Cc1 y Cc2 que se intersequen en el plano w. Esta conjetura es correcta y lleva entre las correspondientes curvas imagen Cc1 y Cc2 que se intersequen en el plano w. Esta conjetura es correcta y lleva
2
O
O'
r
Figura 3-3 Figura 2-8
!
Figura 3-4 Figura 2-9
En vista de esto, puede pensarse que si la función de llevado f (z) es analítica y f c(z) o 0, entonces el ángulo entre cualesquiera C1 y C se intersequen enseelmueve plano z será igual magnitud y en sentido) al ángulo 2 que Comodos S curvas 1, se sigue que el punto imagen Pc3.14 en el plano w(en sobre la circunferencia de radio 1 con 83 APLICACIONES EN GEOMETRÍA Y MECÁNICA entrecentro las correspondientes curvas imagen Cc y Cc que se intersequen en el plano w. Esta conjetura es correcta y lleva 1 2 en el origen [figura 2-9]. Asimismo, cuando P se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj en un ! ángulo V, transformaciones Pc se mueve en sentido contrario a las del reloj en un ángulo 3V.dePor tanto, cuando P sus completa al tema de las conformes, tema demanecillas tanta importancia, desde el punto vista teórico y de apliuna revolución, Pc completa tres revoluciones. En términos de vectores, esto significa que el vector OcPc rota tres caciones, que dos capítulos de este libro (8 y 9) abordan este tema. ! veces más rápido que el vector OP.
2.4. Suponga que c1 y c2 son constantes reales. Determine el conjunto de todos los puntos del plano z que se llevan a) u c1, b) v c2 en el plano w mediante la función w z2. Ilustre considerando los casos 3.13a lasCrectas URVAS c1 2, 4, 2, 4 y c2 2, 4, 2, 4. Suponga que G (t) y D(t) son funciones reales de la variable real t, que se supone continua en t1 d t d t2. Así, las ecuaciones paramétricas Soluci ón
y
Dv
@vS R y @v h Dy @v Dx @v Dy e Dx y h Dy e2 Dx 2 o W 2 2 P @x @y @x @y S Q
T 2xy = 4 P 2xydonde = – 4 F2 o 0 y I2 o 0 cuando x o 0 y y o 0. Entonces, 2xy = 2 Z U b 2xy = –2 x @u @u @v @v i Dx i Dy eDx hDy Dw VDu iDv Y 2xy = –2 2xy = 2a @x @x @y @y 2xy = – 4 2xy = 4 X W
V o Z
u=2 u (2)
T o X e e e1 e1 i e2ie 0 0yh h h1 h1 i h2ih 0 cuando 0 x o 0 y y o 0. donde 2 2 De acuerdo con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, (2) se expresa como x x
x 2 – y2 = 4
u=4
u=2
u = –2
u = –4
x2 x 2 –y 2 –y = 2 x2 = –4 x2 – –2 –y y 2 2 = = 2 4
(t)2ixy, icde (t)modo z(t), yt22, v 2xy. Entonces, las rectas(3.16) z yf 2 2 Se tiene w u iv z2 (x iy)x2 xiy que ut1 x2t u c1 2 y2 v c del plano w corresponden, respectivamente, a las hipérbolas x c2 figura del plano y 1 y2)2xy definen una 2curva continua o arco en el plano z, que une los puntos a z(t1) y b cz(t [vea la 3-5].z, como se las z(t figuras 2-10 y 2-11. Siindica t1 o t2en pero z(t b, los puntos terminales coinciden y se dice que la curva es cerrada. Una 1) 2), es decir, a curva cerrada que en ninguna parte se interseque consigo misma se llama curva cerrada simple. Por ejemplo, la curva plano w 88 CAPÍTULO 3 curva DIFERENCIACIÓN COMPLEJA Y ECUACIONES DE CAUCHY de la figura 3-6 es una cerrada simple, mientras que la de la figura 3-7 no-R loIEMANN es. u plano z Si G(t) y D(t) [y por ende z(t)] tienen derivadas continuas en t1 d t d t2, se dice que la curva es una curva suave y F1 A ouna 0 y Icurva cuando x o y ycantidad o 0. infinita de arcos suaves se le llama curva suave a trozos o o un arcodonde suave. de0una 1 o 0compuesta y @v=@y sonsuave continuas, se tiene Q De ejemplo, igual manera, comode se un supone que @v=@x @v=@x @v=@y contorno. Por el borde cuadrado es una curva a trozos R o contorno. u=4
u = –2
U o Y
x
u = –4
@u @v @v @u x 2 – y2 = 2 Figura 3-5 Figura 3-7 i Dx Figura 3-6 i Dy eDx hDy Dw @x @x @x @x 2 2 x –y = –4 A menos que sex2especifique otra cosa,@usiempre @v que se hable de una curva simple cerrada se supondrá que es una – y2 = –2 i (Dx iDy) eDx hDy curva suave a trozos. @x @x
Figura 2-11
Figura 2-10
! !
x i y y tomar el límite cuando z o 0, se ve que
Al dividir entre z
!
2.5. Con los datos del problema 2.4, determine a) la imagen de la@vregión del primer cuadrante limitada por dw Dw @u f (z) lím i 2 2, xy 1, x2 y2 GEOMETRÍA 4dzy xy 2; b) la imagen 3.14x2 AyPLICACIONES EN YDz0 MECÁNICA Dz @x de la @xregión en el plano z limitada por todas las
Funciones armónicas u, v
y A z(t) sedelemanera puede que considerar unexiste vector posición la derivada y es única, escuyo decir,punto f (z) es analítica en . terminal describe una curva C, en un determinado sentido o dirección a medida varía deanalítica t1 a t2.en Siuna z(t)región y z(t . Compruebe t) P t) z(t) 3.6. Sea f (z) u ivque unatfunción que u y v son armónicas en z siz(t tienen representan losderivadas vectoresparciales posicióncontinuas de los puntos segundas en .P y Q, respecQ tivamente, entonces
Solució n
Dz
Dten Si f (z) es analítica
z(t Dt) z(t) Dt , las ecuaciones de Cauchy-Riemann
z(t) z(t t)
es un vector en dirección de 'z [figura 3-8]. Si lím @u to0 @v z t dzdt existe, este límite es un vector en dirección @x de@yla tangentey a C en el punto P y está dado por
dz dx dy i dt dt dt
Figura 3-8
@v @u @x @y
C
(1)
(2)
se satisfacen en . Si se supone que u y v tienen segundas derivadas parciales continuas, ambos lados de (1) se diferencian respecto a y y ambos lados de (2) respecto a x para obtener @2 u @2 v @x2 @x@y
(3)
@2 v @2 u 2 @y@x @y
(4)
y
de donde
!
3
@2 u @2 u 2 2 @x @y
es decir, u es armónica.
o
@2 u @2 u 0 @x2 @y2
x
!
y @v @u @x @y
(2)
se satisfacen en . Si se supone que u y v tienen segundas derivadas parciales continuas, ambos lados de (1) se diferencian respecto a y y ambos lados de (2) respecto a x para obtener @2 u @2 v @x2 @x@y
(3)
@2 v @2 u 2 @y@x @y
(4)
y
de donde @2 u @2 u 2 @x2 @y
o
@2 u @2 u 0 @x2 @y2
es decir, u es armónica.
PROBLEMAS RESUELTOS
89
De manera semejante, al diferenciar ambos lados de (1) respecto a y, y ambos lados de (2) respecto a x, se encuentra que
!
@2 v @2 v 0 @x2 @y2
! ! !
por lo que v es armónica. Más adelante (capítulo 5) se mostrará que si f (z) es analítica en , todas sus derivadas existen y son continuas en . Por tanto, no serán necesarios los supuestos anteriores. 83 3.14 APLICACIONES EN GEOMETRÍA Y MECÁNICA
3.7. a) Demuestre que u ex (x sen y y cos y) es armónica.
al tema de las transformaciones conformes, tema de tanta importancia, desde el punto de vista teórico y de sus apli-
caciones, que dos capítulos de este 9) abordan este tema. b) Encuentre v tal que f (z) u libro iv (8 seay analítica.
Curvas !
!
Solució n
3.13@u CURVAS (ex )(sen y) (ex )(x sen y y cos y) ex sen y xex sen y yex cos y a) @x Suponga y D(t) son funciones reales de la variable real t, que se supone continua en t1 d t d t2. Así, las @2 u que@ G (t) (ex sen y xex sen y yex cos y) 2ex sen y xex sen y yex cos y (1) ecuaciones @x2 paramétricas @x @u x f(t) ic(t) (3.16) t1 cos ty t2 y) x iyxe ex (x cos y y sen y zcos cos y ye x senz(t), y ex @y definen2 una curva continua o arco en el plano z, que une los puntos a z(t1) y b z(t2) [vea la figura 3-5]. @ u @ x x que la curva es cerrada. Una Si t1 ot2 pero z(t1cos ) yz(t ), x es sen decir, a exb,cos losy)puntos (2) (xex 2ye y xeterminales sen y coinciden 2ex sen y yse yedice cos y 2 @y @y curva cerrada que en ninguna parte se interseque consigo misma se llama curva cerrada simple. Por ejemplo, la curva 2 2 la 2de la figura 3-7 no lo es. de la figura 3-6 es (1) unaycurva cerrada simple, mientras (@2 u=@x ) (@que u=@y ) 0, por lo que u es armónica. Se suman (2) para obtener Si G(t) y D(t) [y por ende z(t)] tienen derivadas continuas en t1 d t d t2, se dice que la curva es una curva suave o unDe arco suave. con A una compuesta de una cantidad infinita de arcos suaves se le llama curva suave a trozos o b) acuerdo lascurva ecuaciones de Cauchy-Riemann, contorno. Por ejemplo, el borde de un cuadrado es una curva suave a trozos o contorno. @v @u (3) ex sen y xe x sen y yex cos y @y @x y y y
@v @u ex cos y xex cos y yez sen y @x @y
(4)
b
Se integra (3) respecto a y, manteniendo x constante. Entonces, a
v ex cos y xex cos y ex (y sen y cos y) F(x) yex sen y xe x cos y F(x) x
donde F(x) es una función real arbitraria de x. Figura 3-5 Figura 3-6 Se sustituye (5) en (4) y se obtiene
! ! !
x
Figura 3-7
A menos que se especifique otra cosa, siempre que se hable de una curva simple cerrada se supondrá que es una yex sen y xex cos y ex cos y F (x) yex sen y xe x cos y yex sen y curva suave a trozos. o F c(x) 0, y F(x) c, una constante. Entonces, de acuerdo con (5),
v ex (y sen y x cos y) c
En elAproblema 3.40 se presenta otro método. Y MECÁNICA 3.14 PLICACIONES EN GEOMETRÍA A z(t) se le puede considerar un vector posición cuyo punto terminal describe una curva C, en un determinado sentido o dirección a medida que t varía de t1 a t2. Si z(t) y z(t t) Soluci ó nlos vectores posición de los puntos P y Q, respecrepresentan 4 tivamente, Método 1 entonces
3.8. En el problema 3.7, encuentre f (z).
!
(5)
x
Se tiene
(x iy) u(x, y) iv(x, y): Dz z(t f (z) Dt)fz(t) Dt Dt
y P
z z(t t) z(t) Q
z(t) z(t t)
!
! !
Integración compleja y teorema de Cauchy
Integrales complejas de línea 4.1 INTEGRALES COMPLEJAS DE LÍNEA Sea f (z) continua en todos los puntos de una curva C [figura 4-1], la que se supondrá que tiene una longitud finita, es decir, C es una curva rectificable. y xk zk
zk–1
zn–1
b
C a
x1
x2 z1
xn
z2 x
Figura 4-1
La curva C se subdivide en n partes por medio de los puntos z1, z2,…, zn1, que se eligen arbitrariamente, y se establece que a z0, b zn. En cada arco que une zk1 con zk, [k de 1 a n] se elige un punto Kk y se forma la suma
Sn f (j1 )(z1 a) f (j2 )(z2 z1 ) f (jn )(b zn1 )
( (4.1)
Al escribir zk zk1 Dzk, la expresión anterior se convierte en
Sn
n k1
f (jk )(zk zk1 )
n
f (jk )Dzk
(4.2)
k1
Sea un aumento de subdivisiones del número n de manera que la longitud _ zk_ de la mayor de las cuerdas tienda a cero. Así, como f (z) es continua, la suma Sn tiende a un límite que no depende de la manera en que se haga la subdivisión; este límite se denota !b !b ! ! o (4.3) f (z) f dz (z) dz or or f (z)f dz (z) 112 CAPÍTULO 4 INTEGRACIÓN COMPLEJA Y TEOREMA DEdz CAUCHY a
a
C
C
que se conoce como integral compleja de línea o tan sólo integral de línea de f (z) a lo largo de la curva C, o integral definida de f (z) de a a b a lo largo de la curva C. En este caso, se dice que f (z) es integrable a lo largo de C. Si f (z) es analítica en todos los puntos de una región y si C es una curva que se encuentra en , entonces f (z) es continua 112 CAPÍTULO 4 INTEGRACIÓN COMPLEJA Y TEOREMA DE CAUCHY y por tanto integrable a lo largo de C. que se conoce como integral compleja de línea o tan sólo integral de línea de f (z) a lo largo de la curva C, o integral
4.2 INTEGRALES DE LÍNEA definida de f (z) de a a b aREALES lo largo de la curva C. En este caso, se dice que f (z) es integrable a lo largo de C. Si f (z)
es analítica todosy)los puntos de una región y si C es una curva los quepuntos se encuentra en ,C. entonces (z) es continua Sean P(x, y) en y Q(x, reales de x y y, continuas en todos de la curva Así, la fintegral real de Integrales reales de funciones línea y por tanto integrable a lo largo de C.
línea de P dx Q dy a lo largo de la curva C se define de manera similar a la integral compleja de línea y se denota ! ! (4.4) 4.2 INTEGRALES REALES LÍNEA [P(x,DE y) dx Q(x, y) dy] o P dx Q dy
C Sean P(x, y) y Q(x, y) funciones reales de x y y, continuas en todos Clos puntos de la curva C. Así, la integral real de lalínea segunda por brevedad. suavedey manera tiene ecuaciones paramétricas x G(t), y D(t), donde de P notación dx Q dysea usa lo largo de la curvaSiCCseesdefine similar a la integral compleja de línea y se denota ! t1 d t d t2, se observa que el valor!de (4) está dado por (4.4) P dx Q dy !t2 [P(x, y) dx Q(x, y) dy] o C [Pf(t), c(t)f (t) dt Qf(t), Cc(t)c (t) dt] la segunda notación se usa por brevedad. Si C es suave y tiene ecuaciones paramétricas x G(t), y D(t), donde t1 t1 d t dde t2,que se observa que el valor de dadosepor En caso C sea suave a trozos (o (4) porestá partes), aplican modificaciones adecuadas (vea el problema 4.1). !t2 [Pf(t), c(t)f (t) dt QfDE (t), cLÍNEA (t)c (t) dt] 4.3 RELACIÓN ENTRE INTEGRALES REALES t1 E INTEGRALES COMPLEJAS DE LÍNEA
!
En caso de que C sea suave a trozos (o por partes), se aplican modificaciones adecuadas (vea el problema 4.1). Suponga que f (z) u(x, y) iv (x, y) u iv. Así, la integral de línea compleja dada en (4.3) se expresa en términos de integrales reales de línea de la manera siguiente: REALES DE LÍNEA 4.3 RELACIÓN ENTRE INTEGRALES ! ! E INTEGRALES COMPLEJAS DE f (z) dz 5 (u LÍNEA iv)(dx i dy)
C la integral de línea compleja dada en (4.3) se expresa en términos Suponga que f (z) u(x, y) iv (x, y)C u iv. Así, ! ! de integrales reales de línea de la manera siguiente: ! ! u dx v dy i v dx u dy (4.5)
!
!
[P(x, y) dx Q(x, y) dy] o
C
(4.4)
P dx Q dy
C
la segunda notación se usa por brevedad. Si C es suave y tiene ecuaciones paramétricas x G(t), y D(t), donde t1 d t d t2, se observa que el valor de (4) está dado por !t2 [Pf(t), c(t) (t) dt Q f(t), c(t)cY(t)MÚLTIPLEMENTE dt] 113 4.6 RfEGIONES SIMPLEMENTE CONEXAS entre integrales reales de línea
Relación t e integrales complejas de pueden línea EnLas casopropiedades de que C sea suave a trozos (odescribirse por partes),desevarias aplican modificaciones adecuadas (vea problema anteriores maneras. Por ejemplo, si T, U y Velson puntos 4.1). sucesivos 1
de una curva, la propiedad c) se expresa como TUV f (z) dz VUT f (z) dz.. De igual manera, si C, C1 y C2 INTEGRALES representan curvasREALES de a a b, deDE aam y de m a b, respectivamente, resulta natural 4.3 RELACIÓN ENTRE LÍNEA C considerar C1 C2 C C1 C2 y expresar la propiedad d ) como E INTEGRALES COMPLEJAS DE LÍNEA ! ! ! Suponga que f (z) u(x, y) iv (x, y) u iv.f (z) Así, la integral de línea dz f (z) dz fcompleja (z) dz dada en (4.3) se expresa en términos de integrales reales de línea de la manera siguiente: ! C1 C2 ! C1 C2 f (z) dz (u iv)(dx i dy)
4.5 CAMBIO DE VARIABLES C
C
!
!
ucompleja dx v dy dxSuponga u dy que la curva C en el plano z corres(4.5) Sea z g([) una función continua de una variable [ ui viv. ponde a la curva Cc en el plano [ y que la derivada C gc([) es continua C en Cc. Entonces, Debido a esto, la expresión en (4.5) suele considerarse ! !una definición de la integral compleja de línea.
f (z) dz
f g(z )g (z ) dz
(4.6)
C 4.4 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES
Regiones
C
Esta condición sinyduda si g aesloanalítica regiónseque contenga a Cc. Suponga que f (z) g(z) se sonsatisface integrables largo deen C.una Entonces tiene: ! ! ! simplemente y múltiplemente conexas f (z) g(z) dz f (z) dz g(z) dz a) C
C
C
! 4.6 R!EGIONES SIMPLEMENTE Y MÚLTIPLEMENTE CONEXAS
Af (z) dz A f (z) dz donde A cualquier constante b) A una región se le llama simplemente conexa si toda curva simple cerrada [sección 3.13], que esté en , puede C C reducirse !ba un punto sin!asalirse de . Se dice que una región que no sea simplemente conexa es múltiplemente conexa. f (z) dz f (z) dz c) Por ejemplo, suponga que es la región definida por _z_ 2, región sombreada en la figura 4-2. Si * es una curva a simplemente cerrada en b [es decir, cuyos puntos estén en ], se ve que esta curva puede reducirse a un punto que se encuentre !b en , por !m lo que no!bse sale de , de manera que es simplemente conexa. Por otro lado, si es la región _ 2, región enpuntos la figura f (z) como dz 1 f (z)_zdz f (z) dzsombreada d )definida donde los a, 4-3, b y mentonces están enexiste C una curva simple cerrada * en que no se puede deformar a un punto sin salirse de , por lo que es múltiplemente conexa. a a m ! y y e) f (z) dz ML y C
2 z
2
de _f (z)_ en C, y L es la longitud de C. donde _f (z)_dM, es decir, M es una cota superior z
1 z
x
Figura 4-2
Figura 4-3
x
x
Figura 4-4
Por intuición, una región simplemente conexa es una región que no tiene “hoyos”, mientras que una región múltiplemente conexa es una región con “hoyos”. Las regiones múltiplemente conexas de las figuras 4-3 y 4-4, respectivamente, tienen uno y tres “hoyos”.
!
6
Toda continua cerrada no se interseque a sí misma y que tenga no longitud finita se llama curva de Jordan 114curvaCAPÍTULO 4 Ique NTEGRACIÓN COMPLEJA Y TEOREMA DE Co AUCHY [vea el problema 4.30]. Un teorema importante, aunque muy difícil de demostrar, que parece intuitivamente obvio es el siguiente. 4.7 TEOREMA DE LA CURVA DE JORDAN Teorema de la curva de Jordan. Una curva de Jordan divide el plano en dos regiones que tienen a la curva como Toda curva continua cerrada que que queda no se interseque a sídecir, misma y que tenga no longitud finita_zse_ llama curva de frontera común. La región, acotada [es que todos sus opuntos satisfacen M, donde M Jordan es una [vea el problema 4.30]. Un teorema demostrar, queexterior parecede intuitivamente obvio constante positiva], se llama interior importante, de la curva, aunque mientrasmuy quedifícil la otrade región se llama la curva. es el siguiente. Con el teorema de la curva de Jordan se muestra que la región interior de una curva simple cerrada es una región Teorema de la curva Jordan.es Una curvasimple de Jordan divide el plano en dos regiones que tienen a la curva como simplemente conexa cuyadefrontera la curva cerrada. frontera común. La región, que queda acotada [es decir, que todos sus puntos satisfacen _z_ M, donde M es una Convención respecto lainterior orientación de que una trayectoria cerrada constante positiva], sede llama de la curva, mientras la otra región se llama exterior de la curva. Con el teorema de la curva de Jordan se muestra que la región interior de una curva simple cerrada es una región simplemente conexa cuya frontera es la curva simple cerrada. 4.8 CONVENCIÓN RESPECTO DE LA ORIENTACIÓN
DE UNA TRAYECTORIA CERRADA Se dice que la frontera C de una región se recorre en sentido o en dirección positiva si un observador que la recorra
en esa dirección [y perpendicular al plano] tiene esta región a su izquierda. Esta convención produce las direcciones 4.8 CONVENCIÓN RESPECTO DE LA ORIENTACIÓN
que se indican mediante flechas en las figuras 4-2, 4-3 y 4-4. Con el símbolo especial DE UNA TRAYECTORIA CERRADA# Se dice que la frontera C de una región se recorre en sentido f (z) dzo en dirección positiva si un observador que la recorra en esa dirección [y perpendicular al plano] tiene esta región a su izquierda. Esta convención produce las direcciones C que se indican mediantede flechas en las figuras 4-3 C y 4-4. Con elpositivo. símbolo En especial se denota la integración f (z) alrededor de la 4-2, frontera en sentido el caso de una circunferencia [figura 4-2], la dirección positiva es la dirección en contra de #las manecillas del reloj. A la integral alrededor de C se le suele f (z) dz llamar integral de contorno. C
se denota la integración de f (z) alrededor de la frontera C en sentido positivo. En el caso de una circunferencia [figura 4-2], la dirección positiva es la dirección en contra de las manecillas del reloj. A la integral alrededor de C se le suele llamar de contorno. 4.9 integral TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO
Teorema Sean de P(x, Green el plano y) y Q(x,en y) funciones continuas con derivadas parciales continuas en una región
y en su frontera C. El
teorema de Green establece que
!! @Q @P dx dy @x continuas @y Sean P(x, y) y Q(x, y) funciones continuas con derivadas parciales en una región #
4.9 TEOREMA DE GREEN ENP dx EL PLANO Q dy
C
(4.7) y en su frontera C. El
teorema de Green establece que Este teorema es válido para regiones tanto como múltiplemente conexas. # simplemente conexas !! @Q @P dx dy P dx Q dy @x @y
(4.7)
C
Este teorema es válido para regiones tanto conexas como múltiplemente conexas. 4.10 FORMA COMPLEJA DELsimplemente TEOREMA DE G REEN
Teorema
Sea F(z, z) una función continua con derivadas parciales continuas en una región y en su frontera C, donde z x iy, z x iy son coordenadas conjugadas complejas [vea la página 7]. El teorema de Green se expresa en forma compleja 4.10 FORMA COMPLEJA DEL TEOREMA DE!!GREEN # @F deF(z,Cauchy Sea z) una función continua con derivadasF(z, parciales en z (4.8) dAuna región y en su frontera C, donde z ) dz continuas 2i 115 4.14 INTEGRALES DE FUNCIONES ESPECIALES @z x iy, z x iy son coordenadas conjugadas complejas [vea la página 7]. El teorema de Green se expresa en forma C compleja 4.11 EOREMA DE CAUCHY DE CAUCHY-GOURSAT donde dATrepresenta el elemento de área .dxEdy. #L TEOREMA !! @F (4.8). En el problema 4.56 se presenta una generalización dela2iexpresión (4.8) F(z, z ) dz Sea f (z) analítica en una región y en su frontera C. Entonces @z dA C # f (z) dz 0 ( (4.9) donde dA representa el elemento de área dx dy. En el problema 4.56 se presenta una generalización de la expresión (4.8). C Este teorema fundamental, que se llama teorema de la integral de Cauchy o simplemente teorema de Cauchy, es válido tanto para regiones simplemente conexas como para regiones múltiplemente conexas. Primero se demostró con el teorema de Green y la restricción de que f c(z) fuera continua en [vea el problema 4.11]. Pero Goursat dio una prueba en la que eliminaba esta restricción. Debido a esto, a este teorema también se le llama teorema de Cauchy-Goursat [vea los problemas 4.13 a 4.16] cuando se desea destacar la eliminación de la restricción.
4.12 TEOREMA DE MORERA Sea f (z) continua en una región simplemente conexa
#
y suponga que
f (z) dz 0
( (4.10)
C
!
alrededor de toda curva simple cerrada C en . Entonces, f (z) es analítica en . A este teorema, debido a Morera, se le conoce cómo 7 el recíproco del teorema de Cauchy. Este teorema se extiende a regiones múltiplemente conexas. En el problema 4.27 se da una prueba en la que se supone que f c(z) es continua en . En el problema 5.7 del capítulo 5 se da una prueba en la que se elimina esta restricción.
Este es teorema fundamental, quetrayectoria se llama teorema de laune integral independiente de la en que a y z.de Cauchy o simplemente teorema de Cauchy, es válido tanto para regiones simplemente conexas como para regiones múltiplemente conexas. Primero se demostró con el teorema que de Green y la dos restricción que f c(z) fuera en [vea el problema 4.11]. Pero Goursat TEOREMA 4.2. Suponga a y z son puntosde cualesquiera en continua y dio una prueba en la que eliminaba esta restricción. Debido a esto, a este teorema también se le llama teorema de !z Cauchy-Goursat [vea los problemas 4.13 a 4.16] cuando se desea destacar la eliminación de la restricción.
G(z)
Teorema de Morera
(4.12)
f (z) dz
a
G(z) esDE analítica en y Gc(z) 4.12Entonces, TEOREMA MORERA
f (z).
AlgunasSea veces haber confusión debido a que la variable de integración z en la expresión (4.12) es la misma f (z)puede continua en una región simplemente conexa y suponga que que el límite superior de integración. Como una integral definida sólo depende de la curva y de los límites de integra# ción, puede emplearse cualquier símbolo para la variable de integración y, por esto, a la variable se le llama variable f (z) dz 0 ( (4.10) ficticia o símbolo ficticio. Por tanto, la expresión en (4.12) se escribe de manera equivalente como C !z alrededor de toda curva simple cerrada C G(z) en . Entonces, f (z ) df (z) z es analítica en . (4.13)
A este teorema, debido a Morera, se le conoce cómo el recíproco del teorema de Cauchy. Este teorema se extiende a a regiones múltiplemente conexas. En el problema 4.27 se da una prueba en la que se supone que f c(z) es continua en el problema capítulo se da una prueba en laenque se elimina esta restricción. TEOREMA 4.3.. En Suponga que5.7 a ydel b son dos 5puntos cualesquiera y que F c(z) f (z). Entonces,
!b
4.15 ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE CAUCHY
117
(4.14)
f (z) dz F(b) F(a) ( 4.15 ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE CAUCHY Consecuencias del Teorema de a Cauchy 4.13 INTEGRALES INDEFINIDAS
Sea f (z) analítica en una región simplemente conexa . Entonces, son válidos los teoremas siguientes. Lo que escribe de la siguiente, conocida del cálculo elemental. Suponga que ftambién (z) y F (z)seson analíticas enmanera una región y que ya Fc(z) f (z). Entonces se dice que F (z) es una integral TEOREMA 4.1. que a y z son dos puntos cualesquiera en . Entonces, indefinida o unaSuponga antiderivada de f (z), y se escribe b b b b !! b oroor !!zb F F (z) (z) dzdz F(z) F(z) [F(z)] F(b) F(b) F(a) F(a) ( ( (4.15) a a [F(z)] dz (4.11) a a F(z) ff (z) (z) dz a a
a 1i 1i ! 2 2 2 Como en el caso de las variables reales, dos integrales indefinidas difieren esdzindependiente de la i trayectoria a y z.en una constante. A esto se debe que se EJEMPLO 4.2: 4z 2z 2 1 2 3i en 18 que 4i une agregue una constante arbitraria c en el lado derecho de la expresión (4.11). 3i 3i
d$
z TEOREMA 4.2. Suponga que y 2zson dos puntos en y EJEMPLO 4.1: Como 4 sen 6z 4 cualesquiera cos z,, se escribe d $ a23z dz 3z 4 sen 4 coslimitada z, TEOREMA 4.4. Sea f (z) una función analítica enz una por dos curvas simples cerradas C y C1 [donde ! 6zregión dz z ! 2 la4 sen C1 se encuentra en el interior de!C, (6z como figura 4 se cosmuestra z) dz 23zen z c4-6a)] y sobre estas curvas. Así, 4 sen # (6z 4 cos z)G(z) #dz 3z f (z) dzz c f (z) dz f (z) dz a
(4.12)
(4.16)
C 1 Entonces, G(z) es analítica en yCGc(z) f (z). 4.14 I NTEGRALES DE FUNCIONES ESPECIALES donde C y C se recorren en sentido positivo en relación condesus interioresz[en contrario a las 1 Algunas veces puede haber confusión debido a que la variable integración en sentido la expresión (4.12) es la misma manecillas del reloj en la figura 4-6a)]. que el límite superior de integración. Como una integral definida sólo depende de la curva y de los límites de integraCon los resultados de la página 80 [o por diferenciación directa] se obtienen los que se presentan en la figura 4-5 (sin 118 CAPÍTULO 4 INTEGRACIÓN COMPLEJA Y TEOREMA DE CAUCHY 118 CAPÍTULO 4 integración). INTEGRACIÓN COMPLEJA Y TEOREMA DE CAUCHY la constante de ción, puede emplearse cualquier símbolo para la variable de integración y, por esto, a la variable se le llama Esto muestra que si se desea integrar f (z) a lo largo de la curva C, la curva C puede sustituirse por cualquier curva variable ficticia o símbolo ficticio. Por tanto, la expresión en (4.12) se escribe de manera equivalente como y C1 siempre que 4-6a). y en la figura y f (z) seay analítica en la región entre C y C1, como !z G(z) f (z ) dz (4.13) C C a
TEOREMA
4.3.
Suponga que aCy1 b son dos puntos cualesquiera en C 1
!b
C
C
y queC2F c(z)
C1
Cf 2(z).
Entonces,
C1
f (z) dz F(b) F(a)
Cn
Cn
(4.14)
(
a
Lo que también se escribe de la manera siguiente, ya conocida del cálculo elemental. x
x
a)
b b !b !b b b oroor (z)(z) dzdz F(z) F(z) [F(z)] F(b) F(b) F(a) F(a)b) a) F F a a [F(z)] b) aFigura a
x
( (
x
(4.15)
4-6
Figura 4-6 TEOREMA 4.5. Sea función1ien analítica en una región por limitada por las curvascerradas simples que cerradas TEOREMA 4.5. Sea f (z) una función analítica una región limitada las curvas simples no seque no se 2 2 2 EJEMPLOsuperponen 4.2: 4z dz C2z 2 1 n,i donde 2 3i C18 4i C, , C , C ,. . . C C , , . . . , C se encuentran en el interior de C [como en la 1 2 3 1 2 n superponen C, C1, C2, C3,. . . Cn, donde C1, C2, . . . , Cn se encuentran en el interior de C [como en la a a
1i ! una f (z)
!
3i figura 4-6b)], y sobre estas curvas. Entonces, 3i figura 4-6b)], y sobre estas curvas. Entonces, # # en # limitada TEOREMA 4.4. Sea f (z) # una función # analítica # una región # por dos# curvas simples cerradas C y C1 [donde (4.17) C1 se encuentra elfinterior C, como curvas. Así, dz f (z) dz la f (z)4-6a)] dz y sobre estas(4.17) f (z) dz enf (z) (z) dz de f (z) dz sef (z) muestra dz fen (z) dzfigura # # C C1 C2 Cn C C1 C2 f (z) dz f (z)Cndz (4.16) Esto es una generalización del teorema 4.4. C C1 Esto es una generalización del teorema 4.4.
8
donde C y C1 se recorren en sentido positivo en relación con sus interiores [en sentido contrario a las manecillas del reloj en la figura 4-6a)].
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS RESUELTOS Esto muestra que si se desea integrar f (z) a lo largo de la curva C, la curva C puede sustituirse por cualquier curva
de Cauchy y teoremas relacionados Fórmulas integrales de Cauchy 5.1
FÓRMULAS INTEGRALES DE CAUCHY
Sea f (z) analítica sobre y en el interior de una curva simple cerrada C y sea a un punto en el interior de C [figura 5-1]. Entonces 1 f (z) f (a) dz (5.1) 2p i z a C
donde C se recorre en sentido positivo (contrario a las manecillas del reloj). Además, la n-ésima derivada de f (z) en z a es n f (z) dz n 1, 2, 3, f (n) (a) 2pi (z a)n 1
(5.2)
C
La expresión en (5.1) puede considerarse el caso especial de la expresión en (5.2) en el que n
0, si se define 0!
1.
y C a 5.2
ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES
145
5.2 ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES
145 5.2 ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES La siguiente es una lista de teoremas importantes que son consecuencia de las fórmulas integrales de Cauchy. 145 5.2 ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES x
Teorema deTEOREMAS Morera (recíproco del teorema de Cauchy) 5.21. A ALGUNOS LGUNOS IMPORTANTES 5.2 TEOREMAS IMPORTANTES Si f (z) es continua en una región simplemente conexa y si C f (z) dz 0 alrededor de toda curva simple
La siguiente siguiente es una unaClista lista de teoremasf importantes importantes queenson son consecuencia de Figura 5-1 cerrada en de , entonces (z) es analítica .consecuencia La es teoremas que de las las fórmulas fórmulas integrales integrales de de Cauchy. Cauchy. 2. Desigualdad de Cauchy 1. Teorema de Morera (recíproco del teorema de Cauchy) Los resultados dados en (5.1) y (5.2) se conocen como fórmulas integrales de Cauchy, y son importantes porque 1. Teorema de Morera (recíproco del teorema de Cauchy) Suponga que f función (z) es analítica en simplemente el interior y sobre una circunferencia C, 0tiene radio el r yvalor centro enfunción z a. f (z) dz
Si f (z) es continua en una región conexa y si alrededor de toda curva muestran que si una f (z) se conoce sobre una curva simple cerrada C, puede hallarse de la Si f (z) es continua en una región simplemente conexa y si CC f (z) dz 0 alrededor de toda curva simple simple Entonces, cerrada C en en entonces (z) en es analítica analítica en y los cerrada valores de todas,, sus derivadas todos los en puntos C entonces ff (z) es .. interiores de C. Por tanto, si una función de una variable M n en una región simplemente conexa , todas sus derivadas de compleja tiene primera derivada, es decir, es analítica, 2. Desigualdad de Cauchy Cauchy 145 (5.3) (a) n n 1,LGUNOS 2, TEOREMAS
fes(n)necesariamente 2. de 5.20, A IMPORTANTES ordenDesigualdad superior existen en . Esto no válido para funciones de variables reales. Suponga que que ff (z) (z) es es analítica analítica en en el el interior interiorr yy sobre sobre una Suponga una circunferencia circunferencia C, C, tiene tiene radio radio rr yy centro centro en en zz a. a. Entonces, donde M es una constante tal que _ f (z) _ M en C, es decir, M es una cota superior de _ f (z) _ en C. Entonces, 5.2 ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES M n n (n) Teorema Morera M 3.de Teorema de Liouville (a) que nn las fórmulas integrales de Cauchy. (5.3)
ff (n) (5.3) (a)
0, 0, 1, 1, 2, 2,de
n La siguiente es una lista de teoremas importantes son consecuencia r ! Suponga que para toda z en el plano complejo rn entero, i) f (z) es analítica y ii) f (z) es acotada, es decir, _donde f (z)_ MMes para alguna constante M. Entonces f (z) una constante. 1. Teorema de Morera (recíproco teorema Cauchy) una constante tal que quedel _ff (z) (z) _ M M de en C,es es donde M es una constante tal _ _ en C, es decir, decir, M M es es una una cota cota superior superior de de _ _ff (z) (z)__ en en C. C. f (z) dz
0 Si f (z) es continua en una región simplemente conexa y si alrededor de toda curva simple 4. Teorema fundamental del álgebra C 3. Teorema de Liouville 3. Teorema de Liouville 2 n cerrada C en , entonces f (z) es analítica en . a z a z a z P(z)
a Toda ecuación polinómica 0 de grado n t 1 en la que a o tiene 0 1 2 n n es0 decir, Suponga que que para para toda toda zz en en el el plano plano complejo complejo entero, entero, i) Suponga i) ff (z) (z) es es analítica analítica yy ii) ii) ff (z) (z) es es acotada, acotada, es decir, por lo menos una raíz. 2. Desigualdad de Cauchy (z)__ M M para para alguna alguna constante constante M. M. Entonces Entonces ff (z) (z) es __ff (z) es una una constante. constante. De estoque se sigue P(z) en0 tiene exactamente raíces, tomando en las multiplicidades Suponga f (z) esque analítica el interior y sobre nuna circunferencia C,cuenta tiene radio r y centro en zde las a. Teorema fundamental del álgebra Teorema 4.4.del raíces. valor medio de Gauss Teorema fundamental del álgebra Entonces, 22 nn aa11 zz aa2 zz P(z)
aa00 Toda ecuación ecuación polinómica polinómica P(z) 00 de aann zz Toda de grado grado nn t t 11 en en la la que que aann o o 00 tiene tiene M n 2 5. Teorema del valor medio de Gauss por lo menos una raíz. (n) por lo menos una raíz. (5.3) n 0, 1, 2,
f (a) n r y sobrennuna Suponga f (z) esque analítica el interior circunferencia con centro en a y de radio r. De esto estoque se sigue sigue que P(z) en tiene exactamente raíces, tomando cuenta las de De se P(z) 00 tiene exactamente raíces, tomando en enC, cuenta las multiplicidades multiplicidades de las las Entonces, f (a) es la media de los valores de en es C, decir, es decir, raíces. raíces. donde M es una constante tal que _f (z)_ Mf (z) en C, M es una cota superior de _f (z)_ en C. 2p Teorema del del valor medio medio de de Gauss Gauss de Liouville Teorema valor 1 u (5.4)r. f entero, a una reii) u es analítica f (a)
Suponga que que ffpara (z) es es analítica enplano el interior interior y sobre circunferencia C,ycon a y deesradio toda z en elen complejo fd(z) ii) fcentro (z) es en acotada, decir, Suponga (z) analítica el 2p y sobre una circunferencia C, con centro en a y de radio r. Entonces, f (a) es la media de los valores de f (z) en C, es decir, _f (z)_ Mfpara constante Entonces f (z) constante. Entonces, (a) esalguna la media de los M. valores de f0(z) enesC,una es decir, 6. Teorema del módulo máximo 4. fundamental del álgebra pp 22 2 una curva simple n 11zy sobre Suponga que f (z) es analítica en elf a(a) interior idénticamente aff2za re iiuu P(z) Toda ecuación polinómica 0 cerrada de gradoCnytque 1 ennolaesque an o 0 tiene 0 (5.4) a
a1módulo ddauun z (5.4) re f del (a) Teoremas deligual módulo máximo y mínimo 2 p a una constante. Entonces, el valor máximo de _ f (z) _ se encuentra sobre C. por lo menos una raíz. 2p 0 0 De esto se módulo sigue que P(z) 0 tiene exactamente n raíces, tomando en cuenta las multiplicidades de las 7. Teorema 6. Teorema del del módulo módulo mínimo máximo 6. Teorema del máximo raíces. Suponga que f (z) es analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada CCy yque f (z) o 0 en el interior Suponga que que ff (z) (z) es es analítica analítica en en el el interior interior yy sobre sobre una Suponga una curva curva simple simple cerrada cerrada C y que que no no es es idénticamente idénticamente de C. Entonces, _ f (z) _ asume su valor mínimo sobre C. igual unadel constante. Entonces, el valor valor máximo máximo de 5. Teorema valor medio de Gauss igual aa una constante. Entonces, el de __ff (z) (z)__ se se encuentra encuentra sobre sobre C. C. 8. Teorema del Suponga que f (z) es analítica 7. Teorema del argumento módulo mínimoen el interior y sobre una circunferencia C, con centro en a y de radio r. 7. Teorema del módulo mínimo Sea f (z) analítica en el interior y el sobre una simple cerrada C, salvo en C un número finito de polos en Entonces, f (a) es la media de en los deyycurva fsobre (z) en C, es decir, Suponga que que ff (z) (z) es es analítica analítica en interior sobre una curva simple Suponga elvalores interior una curva simple cerrada cerrada C yy que que ff (z) (z) o o 00 en en el el interior interior el interior de C. Entonces, _f (z)__ asume su valor mínimo 2psobre C. de C. Entonces, _ 1f (z) 1 iu 8. Teorema del argumento (5.5) (5.4) f a Nre f (a) dz Pdu 2p 2pi una f curva (z) simple cerrada C, salvo en un número finito de polos en Sea f (z) analítica en el interior y sobre ! C 9 0 el interior de C. Entonces, 6. Teorema módulo máximo donde N ydel P son, respectivamente, el número de ceros y el de polos de f (z) en el interior de C. 1 se presenta fy(z) Suponga que f (z) es analítica el interior sobre en una curva simple cerrada C y que no es idénticamente Una generalización de esteen teorema 5.90. (5.5) P dz Nelproblema igual a una constante. Entonces, el 2 valor f (z) de _f (z)_ se encuentra sobre C. pi máximo
5. 3. 5.