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FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS E INGENIERÍA METALURGIA MECANICA PROFESOR: Herrera Uziel

ALUMNO: Vazquez Fuentes Erick Emmanuel

Tarea 1 y 2

06-09-17

Introducción para este trabajo ocuparemos ecuaciones que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables y mediante ecuaciones constitutivas podremos usar estas ecuaciones matemáticas en un problema real físico, pasa saber cómo se comporta una estructura aplicando un esfuerzo mediante dos casos, de una de una dimensión o dos dimensiones, para comparar los resultados y saber sus ventajas de una y otra como también su cercanía a la realidad.

Desarrollo Caso 1 Para el análisis de una viga en una dimensión, se consideró que la fuerza seria uniformemente distribuida en un punto vertical en el centro y que el área sea constante en toda la viga (fig. 1).

Fig.1.- análisis de una viga empotrada en la base inferior aplicando una fuerza P.

Se calculará un área promedio en nuestro análisis. 𝐴𝑜 =

(𝐴𝐴 + 𝐴𝐵 ) 2

Conociendo que hay una fuerza F en un área A, tenemos un esfuerzo. Obteniendo un área promedio 𝐴𝑜 y aplicando la segunda ley de newton desarrollaremos suma de esfuerzos, donde 𝜎 es el esfuerzo inicial en un punto de 𝑑𝜎

la viga y 𝜎 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 es el mismo esfuerzo más una diferencial de esfuerzo respecto a una distancia x, como se muestra en la fig. 2.

𝜎+

𝑑𝜎 𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝜎 Fig. 2.-Diagrama de esfuerzos en la viga.

considerando que el esfuerzo hacia arriba es positivo y hacia abajo negativo, la suma de esfuerzos queda: 𝜎𝐴 𝐴 − (𝜎𝐴 𝐴 +

𝑑𝜎𝐴 𝑑𝑥) = 𝑚𝑎 𝑑𝑥

Sabemos que la masa (m) se puede obtener de 𝑚 = 𝜌𝑣 , donde v es volumen y el volumen se puede descompones en A*dx, donde A es el área y dx es la diferencial de la longitud de la viga, entonces la ecuación cambia a:

𝜎𝐴 𝐴 − (𝜎𝐴 𝐴 +

Donde 𝑎

𝑑2 𝑢

=(

𝑑𝑡 2

𝑑𝜎𝐴 𝑑2 𝑢 𝑑𝑥) = (𝜌𝐴𝑑𝑥) ( 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑡

)

Como tenemos A y dx en ambos lados se anulan, entonces obtenemos: 𝑑𝜎 𝑑 2 𝑢 = 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 Se considera que el punto de esfuerzo deja de moverse después de la deformación, entonces

𝑑2𝑢 𝑑𝑡 2

= 0 , quedando: 𝑑𝜎 =0 𝑑𝑥

Usaremos una ecuación constitutiva para ayudarnos a relacionar la ecuación que obtuvimos con el módulo de elasticidad, en este caso usaremos la ley de Hooke: 𝜎 = 𝐸𝜀 ∴ 𝜀 =

𝑑𝑢 𝑑𝑥

𝑑𝑢 𝑑(𝐸𝜀) 𝐸 (𝑑 𝑑𝑥 ) = =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑2 𝑢 =0 𝑑𝑥 2

La ecuación final nos dice que el esfuerzo no va a variar con forme la altura de la viga, que permanecerá constante. Integrando la ecuación obtenemos: 𝑢 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 Que dice que la deformación será lineal en toda la estructura. Aplicando condiciones de frontera obtendremos las ecuaciones que rigen la deformación en una dimensión, que son: 𝜎 = 𝜎𝑎

𝑢(𝑥) =

𝜎𝑎 𝐸

𝑥

Donde: 𝜎𝑎 es el esfuerzo en 𝐴𝑜

Caso 2 En el segundo caso se considera que también el área es variable, por lo tanto el esfuerzo también es variable (Fig.3).

Fig. 3.- Viga cilíndrica con área variable.

como en el caso anterior, se selecciona un área transversal para la suma de esfuerzo (Fig. 4).

Fig.4.-Diagrama de esfuerzos de una viga con área variable.

La suma de esfuerzos quedaría como: 𝜎𝐴 − 𝜎𝐴 +

𝑑 (𝜎𝐴)𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑥

𝑑 (𝜎𝐴) = 0 𝑑𝑥

Sabiendo que la viga es un cilindro, el área se obtendrá de: 𝐴 = 𝜋𝑟 2

Tomando en cuenta que el radio disminuye de forma lineal se tiene que: 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑥

Donde:

𝑎 = 𝑟2

𝑏=

𝑟1 −𝑟2 𝐿

sabiendo que 𝐴 = 𝜋𝑟 2 , queda dA como:

𝑑𝐴 𝑑𝑟 = 2𝜋𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicando derivada de producto, en este caso es 𝜎 y A, la ecuación que obtenemos es: 𝜋𝑟 2

𝑑𝜎 𝑑𝑟 + 𝜎2𝜋𝑟 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicando algebra para quedar con términos semejantes. 𝜋𝑟 2

𝑑𝜎 𝑑𝑟 = −𝜎2𝜋𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝜎 −2𝜋𝑟𝑏 = 𝑑𝑥 𝜎 𝜋𝑟 2

𝑑𝜎 −2𝑏 = 𝑑𝑥 𝜎 𝑎 + 𝑏𝑥

e integrando para obtener el esfuerzo respecto x.

𝜎

∫ 𝜎𝑎

𝑥 𝑑𝜎 𝑏 = −2 ∫ 𝑑𝑥 𝜎 𝐿 𝑎 + 𝑏𝑥

𝑙𝑛|𝜎| = −2𝑙𝑛|𝑎 + 𝑏𝑥|

𝑙𝑛 |

𝜎 𝑎 + 𝑏𝑥 | = −2𝑙𝑛 | | 𝜎𝑎 𝑎 + 𝑏𝐿

Aplicando ley de los logaritmos. 𝜎(𝑥) = 𝜎𝑎 (

(𝑎 + 𝑏𝐿)2 ) (𝑎 + 𝑏𝑥)2

𝑟12 𝜎(𝑥) = 𝜎𝑎 ( ) (𝑎 + 𝑏𝑥)2

Y aplicando las condiciones de frontera, obtenemos: 𝑟1 𝜎(𝑥) = 𝜎𝑎 ( ) 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑈(𝑥) =

𝜎𝑎 𝑟12 𝑥 𝐸 𝑎 + 𝑏𝑥

Para comparar los 2 casos, tomares un ejemplo práctico de una viga de hierro colado con los siguientes datos: Módulo de elasticidad cortante:

Dimensiones

E=65 GPa

𝑅1 = 0.5 m

Fuerza

𝑅2 = 0.75 m

P=750 N

L= 6 m

Y un intervalo de X a L de 0.1

Resultados Esfuerzos 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

sigma 1 sigma 2

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9

Deformación 0.000012 0.00001

0.000008 Series2

0.000006

Series1

0.000004 0.000002 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Conclusión Estos cálculos nos ayudan a entender y visualizar mejor el fenómeno físico , que en este caso es deformación, para tener una idea de cómo se comportará el elemento al momento de aplicar una fuerza en algún punto, como también saber en que situaciones es mejor aplicar el caso 1 y en cuales el caso 2,en el caso uno seria para un cálculo rápido en situaciones que no requieran tanta precisión de la deformación, en cambio para el caso 2, ya son casos más especiales donde el mínimo cambio de la longitud o grosor del elemento pueda perjudicar un equipo o maquinaria.