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• Claudio Sebastián Fariña Villalobos

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Memoria de Calculo Escalera Tipo Caracol

1 Introduccion al Estudio

1.1 Geometria y Dimensionamiento

La geometria de la escalera sera una variable de entrada, se variará el material para la escalera, y se analizará la resistencia que tendra con su configuración a las cargas que se detallan mas adelante La geometria a analizar se detalla a continuación

Datos de Entrada

en Grados (deg)

H := 2500 mm D1 := 2000 mm D2 := 200mm A := 360deg

C := 12

Z := 40 mm

h :=

D1 - D2 2

h = 900 mm α :=

A C

α = 30 deg

p :=

H C

Altura del peldaño p = 208.333  mm

Usando el Programa en la web http://www.zhitov.ru/es/spiral_stairs/ Se detallan las siguientes medidas , todas las medidas en milimetros y los angulos en grados del sistema sexagesimal

p

2 Datos y consideraciones La estructura se analizara, como una columna central maciza, y que está unida a los peldaños por medio de algún elemento de fijación, ademas se analizará la inclucion de refuerzos en los extremos voladizos de los peldaños, por medio de cables de acero, que evitaran deformaciones excesivas , y que la escalera pierda su funcionalidad. 2.1 Cargas Estáticas

Para el caso de las cargas sobre los peldaños, se analizarán cargas puntuales situadas en el centro del peldaño, como también cercano al extremo. Los datos del problema son

2.1.1 Cargas Estáticas Puntuales, Caso 1 el ascenso de una persona de 150 Kg de peso, generará una carga puntual en un escalón a la vez. m1 := 150kg

g := 9.81

m

2

s

W1 := m1  g

W1 = 1.471 kN

La fuerza Aplicada en un peldaño sera de W1 donde la ubicacion de la fuerza esta separado b de la columna central, por lo cual se analizara variable Para el caso de la estructura se analiza que el peldaño se encuentra empotrado a la columa central

DCL P eldaño

Planteando las ecuaciones de equilibrio estático

1 ΣFx = 0 2 ΣFy = 0

3 ΣM = 0

2 R1 - W1 = 0

3 W1  b - M o = 0 Caso 1 b :=

cuando la fuerza se sitúa en el centro del peldaño

h 2

R1 := W1

R1 = 1.471 kN

5

M o1 := W1  b M o1 = 6.622  10  N mm La seccion se analiza en el empotramiento donde la seccion es de menor area y menor inercia, donde serán los esfuerzos mayores

2.2 Analisis de Esfuerzos 2.2.1Esfuerzo por cortante

Para una sección rectangular de medidas b x h sometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma, la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante máximas vienen dadas por: Se analiza la tension cortante según juvrasky b s := 100 mm

2  4y   3  Vy 1  2  h   τjuvrasky( y) :=

h s := Z  40 mm Vy := R 1

A := b s h s

2 A

Donde -hs/2 < y < hs/2 es la altura del punto donde se calculan las tensiones respecto al centro de la sección. Eso significa que para las secciones rectangulares . Gráficando 5

5.52 10 τ juvrasky( y)

5

5.515 10

5

5.51 10

5

5.505 10 - 0.02 - 0.01

0 y

0.01

0.02

Por lo tanto el esfuerzo cortante es maximo en el centro de la fibra neutra τjuvrasky( 0 ) = 0.552 MPa

τmax := τjuvrasky( 0 ) = 0.552 MPa

2.2.2Esfuerzo de Corte por Flexión Pura Navier σnavier =

Mo y I

b s := 100 mm

h s := Z  40 mm I :=

3

b s h s 12



σnavier1( y) :=

4

1600000 mm 3

M o1 y

La sección es variable, pero el perfil a analizar sera lo mas cercano al empotramiento en la columna, dado que en ese lugar esta siendo sometido a cortante y a un momento flector.

El esfuerzo por flexión de navier depende del punto vertical que se analice, en este caso va desde -hs/2 a hs/2

I

Dado que Mo e I son constantes en este caso, el esfuerzo varia como sigue Graficando

9

110

8

σnavier1( y)

510

0 8

- 510

9

- 110

- 0.4 - 0.2

0

El esfuerzo será mayor en h/2 y -h/2 y  hs  σ1trac := σnavier1  = 24.832 MPa 2



0.2

  -h s  σ1comp := σnavier1  = -24.832 MPa  2 

0.4

Caso 2

Cuando la fuerza está en el extremo mas alejado de la columna

b := h R1 := W1

R1 = 1.471 kN

6

M o2 := W1  b M o2 = 1.324  10  N mm

I :=

3

b s h s

5

4

0

0.2

I = 5.333  10  mm

12

σnavier2( y) :=

M o2 y I

Graficando

9

210

9

σnavier2( y)

110

0 9

- 110

9

- 210

- 0.4 - 0.2

y

0.4

 hs  σ2trac := σnavier2  = 49.663 MPa 2

 -h s  σ2comp := σnavier2  = -49.663 MPa  2 

Considerando Un Acero Sae 1020 con un limite de fluencia σfluencia := 210 MPa

Los puntos mas solicitados, en terminos numéricos son en el empotramiento en la parte mas alta de la fibra neutra y en la más baja, ambas de igual magnitud pero sometidas en distintas direcciones Para el caso 2 Para el caso 1 σ1trac = 24.832 MPa

σ2trac = 49.663 MPa

En tracción

σ2comp = -49.663 MPa

En Compresión

σ1comp = -24.832 MPa

Factor de seguridad en estas condiciones Fs1 :=

σfluencia

Fs2 :=

σ1trac

= 8.457

σfluencia σ2trac

= 4.228

Todos los peldaños estaran sometidos a estas cargas y coeficientes de seguridad, pues es la misma carga estatica considerada y además tienen la misma geometría. 3 Columna Central La geometría de la Columna es conocida y se analizara el pandeo Dextcol := 200 mm

Hcol := 2500 mm

Dintcol := 180mm Acol :=

π Dextcol 4

E := 205 GPa

2

-

π Dintcol 4

2

3

2

= 5.969  10  mm

Las condiciones de borde son empotrada libre Y la fuerza a la cual está sometida es a la reacción del peso, se analizará por tanto la condición 3

Fcol := R 1 = 1.471  10 N

Analisis de esfuerzos, dado que la columna estará sometida a compresión

Veamos que el esfuerzo en este caso es un esfuerzo normal Fcol σcol1 := = 0.247 MPa Acol Si se considera que hay una persona por peldaño, todas del mismo peso generarán una fuerza 10 veces mayor, ya que son 10 peldaños, como anteriormente se analizaron los peldaños por separado dado que eran iguales, se amplificará por 10 la fuerza y se buscara un facotr de seguridad prudente σcol10 :=

10 Fcol

= 2.465 MPa Dado que es menor a

Acol No sobrepasa el limite de fluencia

σfluencia = 210 MPa

Las columnas por lo general resisten esfuerzo por compresión, por lo que fallan es por pandeo, se analiza por tanto el posible pandeo de la columna La carga critica según euler es

Pcr =

N E I π L

Donde

2

2

5

E = 2.05  10  MPa N := 2

Pcr :=

N E Icol π L

Icol :=

π Dextcol 64

4

-

π Dintcol

2

2

7

Pcr = 1.749  10 N Dado que

3

Fcol = 1.471  10 N La columna no falla por pandeo Fcol < Pcr

64

4

L := 2500mm

El factor de Seguridad será

Pcr 4 Fscol := = 1.188  10 Fcol

Ahora el analizis debe darse para analizar el desplazamiento maximo por pandeo el cual viene dado por Se supone una columna recta, articulada en ambos extremos y sometida únicamente a la acción de dos cargas iguales de compresión de valor P, que actúan de forma excéntrica respecto al eje de la columna, con excentricidad e igual en ambos extremos

P := Fcol

Pe := Pcr

e := h = 900 mm δmax := e  1 

 

 π P  cos    2 Pe   1

δmax = -0.093 mm El signo menos significa que es hacia la izquierda

Dado que el pandeo maximo permitido es de 3 mm, cumple cabalmente y el diseño resiste y cumple su funcionamiento