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S.E.P.

S.N.E.S.T.

D.G.E.S.T.

S.E.V.

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LAS CHOAPAS “CAMPUS ZARAGOZA”

CARRERA: INGENIERÍA CIVIL.

ASIGNATURA: MECANICA DE SUELOS APLICADA

TAREA: TEORIA DE BOUSSINESQ.

ALUMNO: LEONEL RAMÍREZ FRANCISCO. PROFESOR: ING. MARIA DEL CARMEN GUADARRAMA POSADA

ZARAGOZA, VER.

18 DE SEPTIEMBRE DE 2019

INGENIERIA CIVIL 5° SEMESTRE

ÍNDICE Ecuaciones de Boussinesq ……………………………………………………………………….3 Esfuerzos provocados en un punto de una masa de suelo por una carga concentrada…..3 Distribución de esfuerzos bajo una carga concentrada………………………………………..4 Graficas esfuerzo-deformación …………………………………………………………………..5 Distribución de esfuerzos con carga lineal de longitud finita…………………………………..8 Distribución de esfuerzos bajo una superficie rectangular uniformemente cargada………10 Carga rectangular de longitud infinita…………………………………………………………..11

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Ecuaciones de Boussinesq Las siguientes ecuaciones fueron obtenidas por Boussinesq en 1885 empleando la teoría de la elasticidad y son válidas para la aplicación de una carga concentrada sobre la superficie de una masa de suelo homogénea ( las propiedades mecánicas son constantes en cualquier posición ) , semi-infinita ( se extiende infinitamente por debajo de la superficie de la masa ),isótropa y linealmente elástica (la deformación es directamente proporcional a la carga o esfuerzo, recuperándose en forma lineal la posición original del material al quitar la carga ).

Esfuerzos provocados en un punto de una masa de suelo por una carga concentrada.

La figura que a continuación se ilustra, representa los esfuerzos provocados en un punto de una masa de suelo por una carga concentrada actuante “P” según la vertical; las coordenadas del punto en el que se calculan los esfuerzos son(x, y, z), r es la distancia radial de A´ al origen O, y Ψ es el ángulo entre el vector posición (R) de A y el eje Z.

1.- Esfuerzos provocados en un punto de una masa de suelo por una carga concentrada.

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Los esfuerzos del punto A pueden escribirse como: 𝜎_𝑧 = (3𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝜎𝜃=−(−1−2𝜇) 𝜎

𝑟=

3𝑃 cos 2𝜋𝑍 2

𝛹)/(2𝜋 𝑍^3 ) = (3𝑃 𝑍^3)/(2𝜋 𝑅^5 )

𝑃 [cos 2𝜋 𝑍 2

𝑃 [3 cos 2𝜋 𝑍 2

𝜏𝑟𝑧=

5

3 𝛹 sin

2 𝛹−

cos 2𝛹 ] 1+cos 𝛹 2𝛹 ] 1+cos 𝛹

2 𝛹(1−2𝜀𝜇)cos

2 𝛹 sin 𝛹

El incremento del esfuerzo vertical a una profundidad z y a una distancia horizontal r del punto de aplicación de la carga P se calcula mediante la expresión:

Distribución de esfuerzos bajo una carga concentrada En general, los suelos muestran una ley fenomenológica de tipo elasto-plástico no lineal:

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Graficas esfuerzo-deformación De hecho, a pesar de que los suelos no cumplen con las cuatro condiciones de la teoría de Boussinesq, la aplicación de los resultados de esta teoría es satisfactoria para fines prácticos: las fórmulas de Boussinesq tienen su aplicación más frecuente en el cálculo de asentamientos de suelos sujetos a consolidación, tales como arcillas y suelos compresibles, en las que fórmulas basadas en hipótesis teóricas, como la de la elasticidad perfecta , no pueden aplicarse por distar en mucho la realidad del comportamiento de los suelos en general. Así, el incremento de esfuerzo vertical puede calcularse en forma adimensional ya que: 5 2

𝜎𝑍

𝑍2 3 1 = [ ] 𝑟2 𝑃 2𝜋 1+(𝑍)

Si igualamos el segundo miembro a una cantidad, el incremento podría quedar como: 𝜎𝑍 =

𝑃 𝑃 𝑍2 0

A continuación, se presenta una tabla de valores de P0 en función de la relación r/z . Para encontrar el valor de un esfuerzo normal vertical, 𝜎𝑧 del punto de aplicación de la carga al punto de la superficie (A´) exactamente arriba del punto

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de la masa en que se mide el esfuerzo, y dividir este valor de r, entre la z o profundidad correspondiente al plano en que se calcula el esfuerzo. Con el valor de esta relación r/z se selecciona el valor que le corresponde de y se calcula el esfuerzo aplicando la ultima ecuación obtenida.

Valores

1.1- Valores de influencia para el caso de carga concentrada de Tabla influencia para el caso de carga concentrada. 𝜎𝑧

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𝑃 𝑃0 𝑧

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Distribución de esfuerzos con carga lineal de longitud finita La carga única concentrada cuyo efecto se ha analizado en base a la fórmula de Boussinesq, no es el único caso práctico: por ejemplo, a continuación, se menciona el caso de una carga lineal de longitud finita. En la siguiente figura se ilustra una carga lineal, uniformemente distribuida a lo largo de Y, de p unidades de carga por la unidad de longitud.

distribución de esfuerzos con carga lineal de longitud finita

De la figura, de acuerdo con el elemento diferencial de la carga: 𝑑𝑝 = 𝑝𝑑 d𝜎z =

3dp z 3 2𝜋 R5

La resultante ¨R¨ es igual a:

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R = √X 0

2

R 5 = (X0 d𝜎z =

3z 3 p 2𝜋

y0

𝜎z = ∫ 0

2

+ Y0

2

+ Y0

+ Z2 5

+ Z 2 )2

dy 2

(X0

3z 3 p 2𝜋

2

+ Y0

5

+ Z 2 )2

dy (X0

2

2

+ Y0

5

+ Z 2 )2

Integrando a lo largo de la línea de carga resulta 𝜎z =

p y0 2𝜋 (x0 + z 3 ) (X 0

2

1 + Y0

2

+

Z2)

(

X0

2

1 + Y0

2

+

Z2

+

2 X0

2

+ z2

)

Introduzcamos dos útiles parámetros m=

x0 z

n=

y0 z

El valor del esfuerzo normal será entonces: 𝜎z =

p 1 n 1 2 ( 2 + 2 ) 2 2 2 2 z 2𝜋 (m + 1)√m + n + 1 m + n + 1 m + 1

Lo cual en forma adimensional puede expresarse como: 𝜎z

z 1 n 1 2 = ( 2 + 2 ) 2 p 2𝜋 (m2 + 1)√m2 + n2 + 1 m + n + 1 m + 1

El segundo miembro de esta expresión puede igualarse a el esfuerzo normal queda:

0

, con lo que finalmente

p 𝜎z = p0 z El valor de 0 ha sido tabulado por Fadum para diferentes valores de m y n, en las gráficas que a continuación se presentan .Para encontrar el valor de un esfuerzo en cualquier punto A debido a una carga lineal de longitud finita, utilizando la gráfica, basta medir las distancias x e y, tal como se definen en la figura que dio origen a esta serie de disertaciones, y dividir estas distancias, y dividir estas distancias entre la profundidad z para obtener los valores de m y n respectivamente. Con estos, la

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gráfica proporciona el valor de influencia 0, y el esfuerzo se encuentra mediante la última formula mencionada.

Distribución de esfuerzos bajo una superficie rectangular uniformemente cargada. Otro caso que se presenta frecuentemente en la práctica es el que sucede cuando se tiene una carga uniforme sobre una carga rectangular, con W unidades de carga por unidad de área, tal como se muestra en la siguiente figura, en donde se pretende calcular el esfuerzo , bajo una superficie cargada y una profundidad de z.

Distribución de esfuerzos bajo una superficie rectangular uniformemente cargada

Carga rectangular de longitud infinita

Las fórmulas que nos definen los esfuerzos y el cortante máximo son:

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𝜎z =

p (𝛼 + sin α) 𝜋

𝜏máx =

p sin α 𝜋

. . . siendo el ángulo que forma el punto A respecto a las aristas del rectángulo cargado. A continuación se ilustra una gráfica que da los valores de y para los diferentes puntos del medio semi-infinito.

Distribución de esfuerzos verticales y cortantes máximo bajo una carga rectangular de longitud infinita.

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