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Problemas Propuestos (Una Colecci´ on Selecta) Mec´ anica de Materiales

Jaime Molina P.

Publicaci´ on UMSA

´ MECANICA DE MATERIALES – MEC 221 1) Hallar la fuerza que soporta cada una de las barras de la estructura triangular equil´atera mostrada en la Figura, cuando la misma est´ a cargada en la forma en que se indica. Considere a la tres barras con id´entica longitud gen´erica y explote las condiciones de simetr´ıa para obtener una soluci´ on dir´ecta.

P

P

2) x

200 Kg

o

o

0 12

z

Determinar la componente My de momento de la fuerza aplicada mostrada sobre el elemento indicado, con respecto al eje de la flecha A–A que se ilustra en la Figura. nota: La fuerza aplicada es de caracter´ıstica general y la misma posee componentes seg´ un las tres direcciones espaciales x–y–z mostradas.

y 3 cm

60

10 c m

6 cm

A

A

3) Un vector contenido en un plano espacial viene expresado as´ı: ˆ ~ = Fx ˆı + Fy ˆ = Fu a ˆ + Fv b F

y

v

F 

b

u

j

a



x

i

ˆ son dos parejas de vectores unitarios perpendiculares ˆ, b donde ˆı, ˆ y a pertenecientes al plano que contiene el vector. Demostrar el cumplimiento de las siguientes relaciones entre las componentes de esta fuerza: Fu = Fx cos φ + Fy sin φ

Fx = Fu cos φ − Fv sin φ

Fv = −Fx sin φ + Fy cos φ

Fy = Fu sin φ + Fv cos φ

4) Con relaci´ on a la estructura de barras mostrada en la Figura, determinar las reacciones en los puntos de apoyo A y B. Considere que la carga aplicada tiene magnitud de 300 Kg, la longitud base de cualquiera de las barras tiene valor arbitrario conocido, y todos los ´angulos son de 45◦ ´o 90◦ .

P

B

A

5)

A 200 Kg

5 cm

El soporte ABC puede girar libremente en un plano horizontal alrededor del eje vertical que pasa por los apoyos A y B. Determinar las magnitudes de las fuerzas que se transmiten a la barra vertical que soporta estos apoyos, cuando en el extremo libre C del brazo se aplica la carga vertical mostrada.

C

5 cm

B

cm 10

30 c m

6) D

C 40 cm

40 cm

30 o

20 cm B

A

100 Kg

Sustituir la fuerza mostrada en la Figura, por otra fuerza que act´ ue en D, y un par o cupla, cuyas fuerzas act´ uen horizontalmente en B y C.

~ y −P ~ , las que tienen una distancia de separaci´ 7) Considere una cupla compuesta de dos fuerzas paralelas P on entre sus l´ıneas de acci´ on de magnitud “d ”. Demuestre que el vector momento que esta cupla genera viene de~ = ~a×P ~ , donde ~a es un vector con origen en cualquier punto de la l´ınea terminado por el producto vectorial: M ~ ~ . Adem´as, obtener una expresi´ de acci´on de −P y final en otro punto arbitrario de la l´ınea de acci´on de P on simple que valore la magnitud del momento hallado anteriormente, en t´erminos de la magnitud de cualquiera de las fuerzas y la distancia de separaci´ on entre sus l´ıneas de acci´on. 8) W C

W

r

Dos esferas id´enticas, de peso W y radio r se introducen en una caja, de modo que en condici´ on de reposo absoluto adquieren la configuraci´on mostrada en la Figura. Despreciando todo efecto de rozamiento entre estos cuerpos en contacto, determinar las magnitudes de las fuerzas que las esferas transmiten a la caja a trav´es de los puntos de contacto A, B y C.

45o

A

B

9)

x?

W A

B



b

Una varilla r´ıgida de peso despreciable y secci´on transversal de ´ınfima dimensi´on sostiene un peso conocido de posici´on ajustable. Adem´ as, se apoya en un peque˜ no rodillo en A (con ubicaci´on conocida) y por uno de sus extremos sobre una pared vertical excenta de rozamiento en B. Determinar la distancia x para un valor arbitrario de φ de modo que la varilla junto al peso que sostiene permanezcan en completo equilibrio est´ atico.

10) Considere un sistema de ‘n’ fuerzas, representadas en conjunto por los lados de un pol´ıgono plano y todas orientadas en sentido acorde (horario o anti–horario). Demostrar que este sistema es equivalente a un par o cupla, cuyo momento es igual a dos veces el ´ area del pol´ıgono que define el sistema de fuerzas considerado. Pruebe la validez de su demostraci´ on considerando por ejemplo n = 3 y las fuerzas de ´este sistema con id´entica magnitud.

´ MECANICA DE MATERIALES – MEC 221 1) E,A

W

Un peso W determinado se pone en contacto con un plano inclinado con pendiente β especificada y coeficiente de rozamiento µ conocido, y luego mediante un cable que abraza una polea es conectado a un contrapeso que cuelga verticalmente. Despreciando el peso del cable y el rozamiento del mismo con la polea, determinar el rango de valores admisibles para el peso w∗ del contrapeso, de modo que el sistema permanezca en condici´on de equilibrio est´ atico. Suponiendo que el cable tiene longitud L, ´area transversal A y m´odulo de elasticidad E; determinar su alargamiento para los dos valores extremos del rango determinado previamente para la magnitud del contrapeso.

,L

w*



?



2) Una placa de gruesa de secci´on transversal rectangular de espesor t (perpendicular al dibujo) tiene forma trapezoidal, y es colgada por una de sus aristas extremas como muestra la Figura. Las dimensiones de esta placa mostradas se asumen conocidas, as´ı como su peso espec´ıfico. Si en su extremo libre se aplica una carga de magnitud conocida, determinar el alargamiento vertical que surge en la placa a causa de la carga aplicada y el peso propio de la misma.

b

t



L

b 22 b/ ?

P

3) Dos barras AC y BC resisten una carga vertical P como se muestra. Ambas est´ a hechas del mismo material (m´odulo de elasticidad E y tensi´ on normal B admisible σadm ) y sus ´areas de secci´on transversal pueden ajustarse a cualquier valor deseado. La longitud L de la barra horizontal AC permanece E,  constante. Sin embargo, el ´angulo θ puede variar al desplazarse verticalA C  mente el punto de apoyo B y modificar la longitud de la barra BC al valor correspondiente a la nueva posici´on de B. Si se supone que la tensi´ on normal P L admisible es de id´entico valor en tensi´on que en compresi´on, y que ambas barras est´an completamente esforzadas hasta alcanzar tal valor; determinar la magnitud del ´angulo θ de modo que esta simple estructura tenga un volumen m´ınimo. adm

4)

2k 4k

k a ?

Una barra r´ıgida horizontal que cuelga verticalmente, est´a soportada por los tres resortes con coeficientes de rigidez diferentes pero conocidos, dispuestos con separaci´ on determinada como muestra la Figura. Hallar la ubicaci´on de la fuerza P (´esto es, el valor a) para que la barra permanezca horizontal luego de la deformaci´ on sufrida por los resortes. Con la fuerza aplicada en esta posici´on, cuanto descender´ a la barra r´ıgida ?.

P L

5) B

L

E, A

L

L

C

D

F

La barra r´ıgida CF de longitud conocida, est´a articulada en uno de sus extremos y soportada por los cables mostrados (todos estos elementos de peso despreciable). Estos cables tienen id´entica ´area de secci´ on transversal y el mismo m´odulo de elasticidad. Determinar la magnitud de la tensi´ on en cada cable cuando se ha aplicado la carga vertical mostrada en el extremo libre de la barra.

P

6) q L L

L E, A

Una barra r´ıgida de longitud conocida, est´a articulada en un extremo y soportada en su punto medio mediante una varilla articulada por ambos extremos, la cual tiene ´area de secci´on transversal y m´odulo de elasticidad conocidos. Si la barra es cargada mediante una fuerza linealmente distribu´ıda de intensidad constante de magnitud conocida, como muestra la Figura; determinar la tensi´ on en la varilla de soporte, as´ı como tambi´en el desplazamiento vertical del extremo libre de la barra r´ıgida horizontal.

7) El elemento mostrado en la Figura tiene peso espec´ıfico γ, tensi´on normal admisible σadm y ´ area inicial A0 , sobre la cual act´ ua una fuerza vertical concentrada de magnitud P conocida. Este elemento se apoya en su ´area inferior en una superficie horizontal inm´ ovil. Determinar una expresi´on para el ´area de su secci´on transversal en funci´ on de la altura: A(z), de manera que al interior de este elemento la tensi´ on normal interna sea constante e igual al valor de tensi´on normal admisible del material. Adem´ as, si este elemento tiene una altura H; determine la fuerza que se transmite a trav´es de su base hacia la superficie horizontal sobre la cual se apoya.

P A0 adm

z H

A(z) 

8)





L

L d x

9) Eslabones

Una cadena de bicicleta consiste en una serie de eslabones peque˜ nos, cada uno de 12 mm de longitud entre los centros de sus pernos (v´ease la Figura). Puede usted examinar la cadena de una bicicleta cualquiera y observe su construcci´on. F´ıjese en especial en los pernos pasadores que supondremos tienen 2,5 mm de di´ametro. Para resolver este problema debe hacer dos mediciones en la bicicleta: la longitud L del brazo del pedal, y el radio R de la estrella (la rueda dentada donde se aloja la cadena) denominada catarina. Con las dimensiones medidas, calcule: (a) La tensi´on que se transmite por la cadena cuando la fuerza aplicada al pedal es de 80 Kg, y (b) la tensi´on cortante promedio en cada uno de los pernos pasadores de la cadena.

Perno pasador

2,5 mm

12 mm

Cadena

T

P Estrella Brazo Pedal

Una varilla redonda de di´ametro d, peso espec´ıfico γ y longitud 2L, est´ a girando en torno a un eje que pasa por su centro con rapidez angular constante ω conocida. Deduzca una f´ormula para determinar la tensi´ on normal interna en la varilla, en funci´on de la distancia x al punto medio o eje de rotaci´on. Determinar tambi´en la magnitud de la tensi´ on normal interna m´axima soportada por esta varilla giratoria. Y como c´alculo final, hallar la longitud deformada de la varilla mientras la misma est´e rotando con la rapidez angular especificada.

R L

10) B

adm  seg adm

10 mm

B

B

6 mm

8 mm 4 mm

A

P 20 mm 24 mm

A

P 6 mm

Considere el sistema mostrado en la Figura como un problema de dise˜ no mec´anico. Las placas met´alicas servir´an para transmitir una fuerza aplicada en una de ellas (la placa A) hacia el apoyo r´ıgido mediante las otras dos placas (las placas B); las cuales se perforan para ser conectadas mediante un perno con su respectiva tuerca. Las placas son de cobre con tensi´on normal admisible de 1800 Kg/cm2 , mientras que el perno es de bronce con tensi´on cortante admisible de 1400 Kg/cm2 . Para las dimensiones indicadas en ambos esquemas, calcular la magnitud m´ axima de carga que podr´a aplicarse, considerando un factor de seguridad de dise˜ no mec´anico igual a 1,2 para cualquier tipo de solicitaci´on soportada por los elementos componentes de este sistema.

´ MECANICA DE MATERIALES – MEC 221 1) Dibujar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector internos para las vigas cargadas como muestran las Figuras. En cada caso determinar tambi´en la magnitud del esfuerzo cortante interno m´aximo y su ubicaci´ on; as´ı mismo el momento flector interno m´ aximo y su ubicaci´on a lo largo de la viga en an´alisis.

180 Kg/m

220 Kg

0,5 m

1m

310 Kg 410 Kg-m

0,5 m

0,5 m

240 Kg/m

1m

0,5 m

2) Una viga simplemente apoyada tiene un brazo vertical que se extiende desde ella, en el extremo del cual se conecta un cable que pasando por el borde de una polea sin rozamiento sostiene un peso en el final de su otro extremo, como muestra la Figura. Para los datos se˜ nalados, calcular los esfuerzos de reacci´on internos en la secci´on de corte sc mostrada, la cual est´ a justo a la izquierda del brazo vertical.

0,8 m SC

1m

1m

1m

260 Kg

3) En la Figura se muestra una viga curva (segmento circular de radio medio conocido) empotrada en un extremo y solicitada mediante una carga concentrada aplicada en su extremo libre, con la inclinaci´on se˜ nalada. Determinar los diagramas de los esfuerzos de reacci´on internos (esfuerzos normal, cortante y momento flector) en funci´on de la posici´on, especificada por el ´ angulo φ mostrado. Que magnitud tienen estos esfuerzos internos en la secci´ on media de la viga curva, cuando φ = π/4 ?.

P  SC

r 

4) R/2

En la Figura se muestra una viga curva semi–circular simplemente apoyada en sus extremos, que soporta una carga vertical en la posici´ on indicada. Esquematizar el diagrama de momento flector interno en funci´ on de la posici´on angular especificada por el ´angulo θ para este elemento estructural.

P

R 

5) q 2(x,u) 1

u

2

2u

u 0

x

1

u

2

Consideremos la funci´on de carga q−2 (x, u) que es mostrada en la Figura adjunta. Demostrar que cuando el valor de longitud ‘u’ tiende a cero, esta funci´on se convierte en un “par o cupla concentrada” situada en x = 0, y con valor de magnitud unitaria. La funci´on l´ımite establecida anteriormente – tambi´en llamada doblete unitario – situada en el punto x = a, es representada por: hx − ai−2 convencionalmente. Considerar una viga en voladizo, libre en x = 0 y empotrada en x = L; sometida a la carga q−2 (x, u) de la Figura (siendo u  L/2). Dibujar los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector internos, y discutir sus formas l´ımites cuando u → 0.

6) 2qL

q B

A L/2

x?

L/2

Para la viga mostrada en la Figura, la cual tiene longitud L determinada y est´ a cargada como se muestra (el valor q es conocido); determinar la ubicaci´on x del apoyo m´ovil B intermedio, de modo que la reacci´ on en el apoyo fijo articulado A de su extremo izquierdo se anule. En estas condiciones, hallar el valor de magnitud del momento flector interno m´ aximo y su ubicaci´on a lo largo de la viga.

7) Una viga de longitud L tiene como funci´ on de distribuci´on de momento flector interno a la expresi´ on descrita mediante funciones singulares siguiente:

M (x) =

q0 3L

2

q0 0L < x >3 − 3L < x − L/2 >3 − q20 < x >2 + q04L < x − L >1 + 5q24 < x − L >0

donde q0 es un valor constante espec´ıfico de fuerza por unidad de longitud, y x es la posici´on medida a lo largo de la viga desde su extremo izquierdo x = 0. Muestre un esquema f´ısico simple de la viga especificando el modo en el que est´a apoyada, juntamente con la carga aplicada a ella (incluyendo las fuerzas de reacci´on de apoyo). Verifique el equilibrio est´atico del sistema que haya establecido, para validar su soluci´ on.

8) q(x) = q0 sin

x a

a

L

x L

La viga de longitud L mostrada en la Figura, est´a cargada con una fuerza linealmente distribu´ıda con variaci´on senoidal como se indica. Determinar la ubicaci´on de los apoyos (´esto es, la dimensi´on ‘a’) de forma tal que el momento flector interno a la mitad de la longitud de la viga se anule. Tambi´en hallar la magnitud del esfuerzo cortante interno m´ aximo as´ı como su ubicaci´on. (Explote la simetr´ıa de la situaci´on planteada, para hallar una soluci´on directa).

9) y

El eje circular AD est´a apoyado en sus extremos en sendos cojinetes o rodamientos, y lleva dos poleas en B y C. La polea B tiene 20 cm 50 cm de di´ ametro mientras que la polea C tiene 30 cm de di´ametro. El eje A 30 cm transmite un m´aximo de 25 CV de potencia a rapidez angular de 1750 B z rpm. Las tensiones en las correas que abrazan las poleas est´an ajustadas C T1 D de modo que: T2 T1 T3 T3 = =2 x T4 T2 T4 Dibujar los diagramas de esfuerzo cortante, momento flector y momento torsor internos para el eje AD tomando valores redondeados (sin decimales). nota: La unidad de potencia rotacional caballo de vapor CV es el producto del par o momento torsor por la rapidez angular. Tiene como equivalencia: 1 CV = 75 Kg-m/seg. 30 cm

10) L

a

W

La tabla de un trampol´ın de piscina es soportada por un apoyo articulado fijo en un extremo y por un apoyo de rodillo intermedio pr´oximo al centro de la tabla, como se v´e en la Figura. C´omo se debe variar la distancia ‘a’ para que el momento flector m´aximo sea el mismo para cualquier peso del nadador que se pare dispuesto a saltar en el extremo libre de la tabla ?.

´ MECANICA DE MATERIALES – MEC 221 1) Las poleas A, B y C de la Figura adjunta tienen el mismo radio de 15 cm, y est´an conectadas mediante ejes de secci´on transversal circular y 3P longitudes determinadas donde: L = 20 cm. Sobre la periferia de todas las poleas act´ uan las fuerzas indicadas (todas ellas paralelas entre s´ı), r A B C donde P = 120 Kg. Se desea determinar: 3L 2L (a) La magnitud de la fuerza que act´ ua sobre la polea B, de modo que se preserve el equilibrio est´ atico. (b) El diagrama del momento torsional interno actuante sobre el eje. (c) La relaci´on que deben tener los radios del eje circular entre las secciones AB y BC para que la tensi´ on cortante m´axima tenga id´entico valor en ambos tramos. (d) La relaci´on de las deformaciones angulares transversales m´aximas de las dos secciones que tiene el eje que sostiene a las poleas. ?

2P

2) d 2a

Determinar las reacciones en los empotramientos de los extremos del arbol circular fabricado de un u ´ ´nico material con di´ametro constante y longitud determinada, el cual est´a sometido a la acci´on de los momentos torsores externos en las posiciones indicadas en la Figura adjunta.

M0

2M0

a

2a

3) Una barra prism´atica s´olida de secci´on transversal circular de radio R, longitud L y m´odulo de rigidez torsional GIp determinados, est´a empotrada en uno de sus extremos y sometida a la acci´on de un momento torsional distribu´ıdo por unidad de longitud de intensidad constante m0 que act´ ua L en toda su extensi´on; de modo que este elemento se comporte como eje. Obtener f´ormulas para determinar la deformaci´on angular transversal m´axima y la deformaci´on longitudinal m´axima que se presenta en este eje debido a la solicitaci´on actuante. R, GIp

m0

4) Un eje circular de radio R con extremos fijos, est´a perforada axialmente con una cavidad de radio 3R/5 hasta la mitad de su longitud como muestra la Figura. A que distancia “z” del extremo izquierdo debe aplicarse un par torsional M0 , a fin de que los pares reactivos en los soportes empotrados sean de id´entica magnitud ?.

z M0

R

3R/5

L/2

L/2

5) Una tuber´ıa circular de radio medio R y espesor de pared delgado e, se usa como eje de modo que el momento torsor interno tiene magnitud Mt conocido. Demostrar que la tensi´ on cortante m´axima producto de la solicitaci´on torsional a la que est´ a sometido este elemento en primera aproximaci´on posee magnitud determinada por la f´ ormula siguiente: Mt τm´ax = 2πeR2

e R Mt

6) Una tuber´ıa de acero cuyo di´ametro exterior es de 4 cm y di´ ametro interior de 3,6 cm, est´a empotrada en ambos extremos y tiene un brazo vertical en una ubicaci´on determinada. En los extremos de este brazo se aplican sendas fuerzas horizontales P como se muestra. Considerando las dimensiones indicadas en la Figura, determinar el valor permisible de magnitud de la cupla de fuerzas aplicada, si la tensi´on cortante l´ımite de fluencia del material es de 1800 Kg/cm2 y se adopta un margen de seguridad de dise˜ no mec´anico de 30 %.

P 8 cm

8 cm

P 24 cm

36 cm

7)

M0

?

R/2

R

L/2

L/2

En la Figura se aprecia un eje de secci´on circular linealmente variable con la posici´on de dimensiones determinadas, el cual est´ a empotrado en un extremo y soporta los momentos torsores mostrados. Que magnitud deber´a tener el momento torsor aplicado a la mitad de la longitud si se requiere que la deformaci´ on angular transversal absoluta del extremo libre sea de valor nulo.

8) 1,2 m

R

M

E

P

diam 8 cm

M E P C G R

motor eje polea contrapeso gabinete rodamiento

1,8 m

C

G

2275 Kg

El sistema elevador de un ascensor consta de los elementos mostrados en la Figura. Cuando cierto n´ umero de personas aborda la cabina o gabinete, este desciende verticalmente 5,2 mm. Suponiendo el eje o ´arbol de acero (G = 1, 8×105 Kg/cm2 ), determinar el peso de los pasajeros que subieron a este ascensor, suponiendo condici´on est´atica y que existen suficientes rodamientos para impedir la flexi´on del eje circular.

1815 Kg

9) El eje circular AD est´a apoyado en sus extremos en sendos cojinetes o rodamientos, y lleva dos poleas en B y C. La polea B tiene 20 cm 50 cm de di´ ametro mientras que la polea C tiene 30 cm de di´ametro. El eje A 3 0 cm transmite un m´aximo de 25 CV de potencia a rapidez angular de 1750 B  rpm. Las tensiones en las correas que abrazan las poleas est´an ajustadas C T1 D de modo que: T2 T1 T3 T3 = =2 z T4 T2 T4 Dibujar el diagrama de momento torsor interno para el eje AD tomando valores redondeados (sin decimales), y determinar la tensi´on cortante m´ axima que aparece al interior del eje debido a la solicitaci´on aplicada. Tambi´en determinar la deformaci´ on angular transversal m´axima producida en este elemento. Suponga que el eje es de acero de 4 cm de di´ ametro con m´ odulo de Young igual a 1, 8×105 Kg/cm2 . r

30 cm

10) r

Re

e

L

i z

Ri

Un eje compuesto de dos materiales est´a constru´ıdo por un elemento cil´ındrico interno odulo de elasticidad transversal Gi y i con m´ e de id´ un tubo cil´ındrico externo entica longitud con m´ odulo de elasticidad transversal Ge como se muestra en la Figura. En base a argumentos de simetr´ıa, demostrar que la distribuci´on de tensiodφ nes cortantes est´a todav´ıa determinada por: γ = r . As´ı mismo, dz demostrar que la distribuci´on de tensiones cortantes en la secci´ on transversal viene determinada por:

dφ dφ 0 < r < Ri τ = Ge r Ri < r < Re dz dz As´ı, el momento torsor actuante sobre esta secci´on en t´erminos de la tensi´on cortante puede ser escrito como: Z dφ Mt = r τ dA = (Gi Ipi + Ge Ipe ) dz A τ = Gi r

donde:

πRi4 π(Re4 − Ri4 ) Ipe = 2 2 son los momentos de inercia polares de las porciones materiales interna y externa respectivamente, que conforman este eje. Demostrar tambi´en que el ´angulo de deformaci´on transversal relativo entre los extremos del eje de longitud L como se muestra en la Figura, est´a dado por la relaci´on: Ip i =

φ=

Mt L Gi Ipi + Ge Ipe

y, la distribuci´on de tensiones cortantes, en t´erminos de estas propiedades del eje circular compuesto, puede ser escrita como:  Mt r  G IGi+G 0 < r < Ri e Ipe i pi τ=  Ge Mt r Ri < r < Re Gi Ipi +Ge Ipe

´ MECANICA DE MATERIALES – MEC 221 1) Un elemento en estado de solicitaci´on plana soporta las tensiones indicadas en la Figura. Hallar el valor de las tensiones que act´ uan sobre este elemento, si ◦ el mismo se lo hace girar un ´angulo de 30 en sentido anti–horario. Hallar las magnitudes de la tensi´on normal m´axima y m´ınima que este estado de tensiones determina y la orientaci´on para la cual se presentan estos valores caracter´ısticos. Determinar tambi´en la magnitud de la tensi´on cortante m´axima asociado a este estado de tensiones y la orientaci´on para la cual se presenta este valor singular.

340 580 30

o

1050

[Kg/cm2 ]

2) 420 Kg

4 mm

6 cm

860 Kg

860 Kg

Una placa rectangular de 4 mm de espesor est´a sometida a tensiones de tracci´ on en sus aristas perifericas, cuyas resultantes se indican en la Figura. Calcular las componentes normal y paralela de la tensi´on interna en el plano de la diagonal principal mostrada.

8 cm 420 Kg

3) z

El estado de tensiones en el punto cr´ıtico de un cuerpo solicitado mediante todo un sistema de fuerzas se muestra en la Figura, donde:

z

 xz

σx = −800

 yz

 xz



 yz y

 xy

σz = 700

τxz = −600 τyz = 900

[Kg/cm2 ]

Determinar el valor de tensi´on normal m´axima que act´ ua en este punto, juntamente con su orientaci´on espacial. Tambi´en hallar la tensi´ on cortante m´ axima, y la direcci´on espacial seg´ un la cual ´esta act´ ua.

 xy x

τxy = 1000

σy = 500

y

x

4) Al interior de un cuerpo cargado mediante un sistema de fuerzas determinado, en condici´on est´ atica de comportamiento, en un punto interno del mismo se sabe que una de las tensiones normales actuantes es igual a una de las tensiones principales; digamos, σy = σ1 = −600 Kg/cm2 . Adem´as se sabe que en el mismo punto, las tensiones cortantes principales valen: τab = 500, τac = 350 y τbc = 850 Kg/cm2 . Con estos datos, determinar el estado de tensiones original en el punto; es decir, hallar: σx , σz , τxy , τxz , τyz . 5) y y x 45

o

El tensor de tensiones en un punto al interior de un elemento de cierta m´ aquina, con respecto a un sistema coordenado cartesiano rectangular, est´a dado por el siguiente arreglo matricial:   500 100 0 [σ]x−y−z = 100 200 400 [Kg/cm]2 0 400 300

x z z

Determinar el estado de tensiones para un sistema coordenado x0 -y 0 -z 0 definido por rotaci´on del eje x, a trav´es de un ´ angulo de 45◦ en sentido antihorario alrededor del eje z, como se muestra en la Figura. Determinar tambi´en a las tensiones cortantes principales, estableciendo para cada una de ellas las direcciones espaciales seg´ un estas act´ uan. 6) Un tanque cil´ındrico de 1,8 m de di´ametro interior contiene un gas que est´ a a una presi´on de 8,2 Kg/cm2 por encima del valor de presi´ on amP biental atmosf´ e rica. El cuerpo del tanque est´ a constru´ ıdo de superficies d cil´ındricas de aluminio que se sueldan circunferencialmente, siendo los extremos del recipiente superficies de forma semiesf´erica, como se aprecia en la Figura. Si la tensi´ on normal admisible en la pared del tanque es 980 Kg/cm2 , y la tensi´on normal permisible perpendicular a la soldadura es de 820 Kg/cm2 ; determinar el espesor m´ınimo requerido para: (a) la parte cil´ındrica del recipiente, y (b) las superficies extremas o tapas de este tanque presurizado. Considere solamente tensiones de membrana en el an´ alisis asumiendo que el recipiente es de pared delgada. e i

Soldadura

7) Construir el c´ırculo de Mohr para un elemento en estado de solicitaci´on plana biaxial. Suponiendo σx > σy > 0 (τxy = 0). (a) Obtener a partir del c´ırculo de Mohr las siguientes ecuaciones de transformaci´on de tensiones:

y  y

y 

x 

x 

  x

σx0 =

 x

σx + σy σx − σy − cos 2φ 2 2

τx0 y0 = −

σx − σy sin 2φ 2

(b) Demostrar que las tensiones normales principales son precisamente: σ1 = σx y σ2 = σy . (c) Obtener las tensiones cortantes principales desde el c´ırculo de Mohr e ilustrarlas en un esquema de elemento orientado apropiadamente.

y 

8) 

z

 

dz





 d

dr

r

z 

d 

r

Suponga el campo de tensiones internas en un cuerpo s´olido con propiedades de continuidad; es decir, que el estado de tensiones en ´areas elementales infinitesimalmente adyascentes descrito en coordenadas cil´ındricas viene determinado por relaciones del tipo: ∂σr ∂σr ∂σr σr (r + dr, φ + dφ, z + dz) = σr (r, φ, z) + dr + rdφ + dz ∂r ∂φ ∂z τrφ (r + dr, φ + dφ, z + dz) = τrφ (r, φ, z) +

 

∂τrφ ∂τrφ ∂τrφ dr + rdφ + dz ∂r ∂φ ∂z

con ecuaciones similares en las otras direcciones. Demostrar que la condici´ on de equilibrio de traslaci´on espacial en estas coordenadas, aplicada a un elemento yz xy diferencial como el mostrado en la Figura (en el que act´ uan todas componentes de tensi´on existentes), conduce al y cumplimiento de las siguientes ecuaciones:

σr − σφ 1 ∂τrφ ∂τrz ∂σr + + + =0 ∂r r ∂φ ∂z r ∂τrφ 1 ∂σφ ∂τφz 2τrφ + + + =0 ∂r r ∂φ ∂z r ∂τrz 1 ∂τφz ∂σz τrz + + + =0 ∂r r ∂φ ∂z r C´omo se reducen estas ecuaciones para un estado plano de tensiones, contenido digamos en el plano r−φ (sistema . polar coordenado) ? 9) L A

G

d

M0

P0

El eje circular mostrado tiene propiedades materiales y geom´etricas conocidas, y ser´a sometido a la acci´on de una fuerza axial y un momento torsor aplicados en el extremo libre. En t´erminos de los datos mostrados en la Figura, cual debe ser la relaci´on M0 /P0 para que en un punto de la periferia del eje, como el punto A por ejemplo, la tensi´on cortante tenga la mitad de valor de magnitud que la tensi´on normal, En estas condiciones, cuanto vale la deformaci´ on angular axial m´axima del eje? .

10)

1200

400

1800

Un tanque cil´ındrico cerrado que contiene aire comprimido tiene un espesor de pared de 4 mm y un radio interno de 40 cm. Las tensiones en el recipiente para un elemento rotado a 45◦ tienen los valores mostrados en la Figura, medidos en [Kg/cm2 ]. Hallar el valor de la presi´ on del aire contenido en este recipiente herm´eticamente cerrado.

´ MECANICA DE MATERIALES – MEC 221 1) En un punto P de un medio s´ olido deformable, el tensor de tensiones [σ] relativo a los ejes P xyz tiene componentes conocidas. Sobre un elemento de a´rea dA(1) que tiene un vector normal unitario n ˆ 1 , el vector tensi´ on ˆ1 ˆ2 es ~t n ; y sobre un ´area elemental dA(2) con vector normal unitario n ˆ 2 , el vector tensi´on es ~t n . Demostrar que ˆ1 ˆ2 la componente de ~t n en la direcci´ on de n ˆ 2 , es igual a la componente de ~t n en la direcci´on de n ˆ 1. 2) En un punto P de un medio s´ olido deformable, el tensor representaci´on matricial siguiente:  σx 200 [σ] = 200 0 100 200

de tensiones [σ] relativo a los ejes P xyz tiene la  100 200 0

  donde σx no est´a especificado, y los valores proporcionados se miden en Kg/cm2 . Determinar la direcci´ on de n ˆ en P para la cual el plano perpendicular a este vector unitario estar´a completamente libre de tensiones; ´esto ˆ es ~t n = ~0. Cual es el valor requerido de σx para esta condici´on ?. 3) z

t

Demostrar que la suma de cuadrados de las magnitudes de los vectores tensi´ on sobre los planos coordenados es independiente de la orientaci´ on de los ejes coordenados; ´esto es, que la suma definida por:

k

~t ˆı ◦~t ˆı + ~t ˆ◦~t ˆ + ~t kˆ ◦~t kˆ

ti

t

j

donde “◦ ” denota el producto escalar de vectores, es un invariante. Esta propiedad indica que esta suma es de id´entico valor por ejemplo, para un sistema coordenado P x’y ’z ’ con el mismo origen y de ejes con orientaci´ on espacial diferente a los que tiene el sistema P xyz.

y

x

4) y

L

r

z

x

El tensor de tensiones en un cilindro circular de longitud L y radio r viene determinado por el arreglo de coeficientes aqu´ı indicado:   Ay + Bz Cz −Cy 0 0  [σ] =  Cz −Cy 0 0

(a) Verificar que en ausencia de fuerzas m´ asicas, las ecuaciones de equilibrio se satisfacen. (b) Demostrar que el vector tensi´ on se anula en todos los puntos sobre la superficie lateral curva del cilindro. 5) y Q 



P 

x

z

Ejes rotados P x’y ’z ’ son obtenidos a partir de ejes P xyz por una rotaci´ on de sentido dextr´ogiro (de mano derecha) alrededor de la l´ınea P Q, la cual subtiende ´angulos id´enticos con los ejes del sistema coordenado P xyz, como se muestra en el esquema adjunto. Determinar los coeficientes del tensor de tensiones en el sistema rotado, para el tensor de tensiones referido al sistema habitual com´ un siguiente:   300 0 600   0  [σ] =  0 0 Kg/cm2 600 0 −300 si el ´ angulo de rotaci´on es: (a) 120◦ , ´o (b) 60◦ .

6) El tensor de tensiones en un punto determinado con referencia al sistema xyz est´a dado por el arreglo de coeficientes aqu´ı indicado:   σ0 0 0 [σ] =  0 σ0 0  0 0 σ0

z’ z

x’

/4

/4

/4 y x

y’

donde σ0 es un valor constante conocido. Determinar el tensor de tensiones en este punto, pero ahora con referencia al sistema de ejes x’y ’z ’ mostrados en la Figura adjunta. Que conclusi´on se podr´ıa extractar del resultado obtenido ?.

  7) En el punto P , el tensor de tensiones est´ a dado en Kg/cm2 con respecto a los ejes P xyz por:

Caso 1:

  600 400 0 0  [σ] = 400 600 0 0 −200

Determinar para cada caso:

Caso 2:

  200 100 100 [σ] = 100 200 100 100 100 200

(a) Los valores de las tensiones normales principales. (b) Las direcciones principales de tensi´on.

8) Cuando se describe el tensor de tensiones en el punto P respecto del sistema de ejes principales P x∗ y ∗ z ∗ , el mismo tiene los siguientes valores:   200 0 0   0  [σ ∗ ] =  0 700 Kg/cm2 0 0 1200 Si la matriz de transformaci´ on entre los ejes principales y los ejes P xyz es:   −3/5 1 −4/5 1 [N ] = √  n2x n2y n2z  2 −3/5 −1 −4/5 donde n2x , n2y , n2z deben ser determinados; calcular el tensor de tensiones original [σ], referido al sistema coordenado habitual y com´ un P xyz. 9) 500 P

400

En la Figura adjunta se muestra el estado de tensiones en un un punto P de un cuerpo s´olido sometido  a unestado de tensi´on plana, donde los valores est´an medidos en Kg/cm2 . Especificar sin ning´ un tipo de ambig¨ uedad el tensor de tensiones en el punto de inter´es, referido al sistema coordenado mostrado.

200 z y

x

600

10) sy t xy y x

150

b

x 30 O

Una placa rectangular se halla sometida a un estado plano de tensiones (en el plano x – y). Se conoce que la m´axima tensi´on traccionante actuando sobre cualquier  superficie cuya normal est´a contenida en el plano x – y es 2 750 Kg/cm . Tambi´en se sabe que sobre una cara  que es perpendicular al eje x est´ a actuando una tensi´on compresiva de 150 Kg/cm2 y ninguna tensi´ on cortante. No se dispone de ninguna informaci´on expl´ıcita acerca de los valores de la tensi´on normal σy y τxy , actuando sobre la cara perpendicular al eje y.

a

Hallar las componentes de tensi´ on que act´ uan sobre las caras perpendiculares a los ejes a y b, los cuales est´ an localizados como se muestra en el diagrama adjunto. Presente sus resultados en un esquema no–ambig¨ uo de un elemento solicitado por las tensiones halladas.   11) El tensor de tensiones en el punto P de un medio s´olido deformable, dado en Kg/cm2 y relativo a los ejes P xyz est´a determinado por:   400 b b [σ] =  b 700 200 b 200 400   donde b no est´a especificado. Si σ3 = 300 Kg/cm2 y σ1 = 2σ2 , determinar: (a) los valores de las tensiones normales principales, (b) el valor del coeficiente b y (c) la direcci´on de la tensi´on principal σ2 . 12) El estado de tensiones referido a los ejes P xyz en el punto P de un medio s´olido deformable, est´ a especificado por:   900 1200 0    [σ] = 1200 −900 0  Kg/cm2 0 0 500 Determinar: (a) Las componentes de tensi´ on normal y tangencial (cortante), σ y τ respectivamente, sobre un plano en P cuyo vector normal unitario es: n ˆ = 51 (4 ˆı + 3 ˆ) (b) Verificar el resultado obtenido mediante la construcci´on de los c´ırculos de Mohr para un caso de estado tensional tri–dimensional.

13) La representaci´on del estado de tensiones referido a los ejes P xyz en el punto P de un medio s´ olido deformable, est´a determinada por:   290 0 0   [σ] =  0 −260 60 Kg/cm2 0 60 90 Descomponer esta matriz en sus partes esf´erica y desviadora, y determinar los valores de las tensiones principales desviadoras. 14) Consideremos que el segundo invariante del tensor de tensiones desviador est´a expresado en t´erminos de sus valores principales; ´esto es, IIσd = σ1d σ2d + σ2d σ3d + σ3d σ1d Demostrar que esta suma es el negativo de las dos terceras partes de la suma de los cuadrados de las tensiones cortantes principales, obtenidas por el tensor de tensiones referido al sistema de ejes secundarios. 15) En un punto P el tensor de tensiones referido a los ejes Oxyz est´a dado por:   1500 −100 0   0  [σ] = −1000 500 Kg/cm2 0 0 2000 Si elegimos unos nuevos ejes Ox’y ’z ’ mediante una rotaci´on respecto al origen, para la cual la matriz de transformaci´on es:   3/5 0 −4/5 0  [N ] =  0 1 4/5 0 3/5 Determinar los vectores tracci´on (tensi´on) de cada uno de los planos coordenados girados por la proyecci´ on de los vectores tensi´on de los ejes originales en las nuevas direcciones con primas. Determinar el tensor de tensiones [σ ’] respecto del nuevo sistema Ox’y ’z ’. Comprobar el resultado por la f´ormula de transformaci´on del tensor de tensiones de Cauchy. 16) El estado de tensi´on en todo un cuerpo est´a determinado por el tensor de tensiones:   0 Cz 0 0 −Cx [σ] = Cz 0 −Cx 0 donde C es una constante arbitraria. (a) Probar que las ecuaciones de equilibrio se satisfacen si las fuerzas m´ asicas son nulas. (b) Calcular el vector tensi´on en el punto P (4, −4, 7) del plano 2x + 2y − z = −7, y en la esfera x2 + y 2 + z 2 = 81. (c) Determinar las tensiones normales principales, las tensiones cortantes principales y las tensiones principales desviadoras en el punto P . (d) Representar los c´ırculos de Mohr del estado de tensiones en P . 17) En un cuerpo s´olido deformable, el campo espacial de tensiones internas relativo a los ejes Oxyz est´ a determinado por:   x2 y x(1 − y 2 ) 0 [σ] = x(1 − y 2 ) 31 (y 2 − 3y) 0  0 0 2z 2 Determinar:

(a) La distribuci´on espacial de fuerza m´asica, si las ecuaciones de equilibrio han de satisfacerse a trav´es de todo el campo. √ (b) Las tensiones normales principales en P ( a, 0, 2 a ). (c) Los invariantes del tensor de tensiones: Iσ , IIσ , y IIIσ en el punto P . (d) La tensi´on cortante m´axima actuante en P , y el vector normal unitario al plano en el cual ´esta act´ ua. (e) Los valores de las tensiones desviadoras principales en P . (f) La tensi´on cortante octah´edrica en el punto P . (g) El tensor de tensiones relativo a ejes rotados 60◦ con sentido anti–horario, respecto al eje P Q, el cual subtiende ´angulos id´enticos con relaci´on a los ejes del sistema coordenado P xyz.

´ MECANICA DE MATERIALES – MEC 221 1) En el caso de deformaci´on plana, en el cual cada punto se desplaza radialmente de forma sim´etrica rotacional desde el origen O, el campo de desplazamientos puede ser expresado por una sola componente de desplazamiento u en direcci´ on radial. Demostrar que las componentes de la deformaci´on referidas a un sistema polar coordenado (r, θ) con ejes asociados radial y tangencial, vienen determinadas por:



A

u A

r 

O

r =

du dr

θ =

u r

γr θ = 0

2) C

C

 B

D

B

 A



r 



v u A



D

r

r



Una deformaci´on general en estado plano, puede ser descrita en coordenadas polares expresando el desplazamiento de cada punto como un vector suma de una componente radial u y una componente tangencial v. Demostrar que en este caso las componentes de la deformaci´on, referidas al sistema polar coordenado (r, θ), son: ∂u r = ∂r 1 ∂v u θ = + r ∂θ r ∂v 1 ∂u v γr θ = + − ∂r r ∂θ r

3) En un estado plano de deformaciones que ocurre en el plano x – y, las componentes de deformaci´on asociadas con los ejes del sistema referencial coordenado rectangular (x, y) son: x = 8×10−4

y = 1×10−4

γxy = −8×10−4

Determinar la magnitud de las deformaciones unitarias principales y la orientaci´on de las direcciones principales de deformaci´on. 4) En un punto interno de un cuerpo que experimenta un estado plano de deformaci´on, las deformaciones unitarias principales son: 1 = 7×10−4

2 = 3×10−4

3 = −3×10−4

Determinar la magnitud de la componente deformaci´on angular m´axima en el punto de inter´es ?. Cual es la orientaci´on de los ejes que experimentan la m´ axima deformaci´on angular unitaria ?. 5)

y

Medidas en [mm]

La placa cuadrada de espesor despreciable mostrada en la Figura, se deforma como se indica en la Figura adjunta (donde los desplazamientos se muestran muy exagerados). Determinar las componentes de deformaci´on unitarias: x , y y γxy . Determinar tambi´en las deformaciones normales principales y las direcciones principales, mostr´andolas en un esquema gr´afico adecuado.

0,04

0,01 0,01

250 250 0,01

x

0,03

6) Un cuerpo experimenta un estado de deformaci´on plana en un plano paralelo al plano x – y de un sistema coordenado cartesiano rectangular. Las componentes de la deformaci´on asociadas con los ejes x y y son: x = −8×10−4

y = −2×10−4

γxy = −6×10−4

Mediante el c´ırculo de Mohr de deformaciones, determinar la magnitud de la deformaci´on angular unitaria m´ axima. Mostrar en un esquema, la ubicaci´ on de ejes para los cuales se presenta esta deformaci´on angular m´ axima. Mostrar tambi´en la forma de la deformaci´ on que adquiere un elemento que originalmente es un paralelep´ıpedo de espesor muy reducido, con sus caras paralelas al sistema original x – y.

7) En el interior de un medio s´ olido deformable, el campo de desplazamientos est´a determinado mediante: u = 41 (z − y)

v = 41 (x − z)

w = 14 (y − x)

Evaluar el tensor de deformaciones en el punto (x, y, z) = (1, −2, 1). Especificando un volumen referencial dV0 en el punto anteriormente indicado, debido al proceso de deformaci´on existente el mismo cambia hacia dV ; hallar la proporci´on porcentual de dicho cambio determinado mediante (dV /dV0 )×100, tambi´en llamado coeficiente de dilataci´ on volum´etrica porcentual. Asimismo, evaluar el cambio √ del ´angulo recto entre elementos lineales √ ˆ 14 y n ˆ 42. Explicar el originalmente a lo largo de los vectores unitarios n ˆ1 = 3 ˆ ı − 2 ˆ − k/ ˆ2 = ˆ ı + 4 ˆ − 5 k/ valor del resultado obtenido. 8) En un punto interior de un medio s´ olido deformable, el  5 −1 [] = −1 4 −1 0

tensor de deformaciones est´a determinado mediante:  −1 0 ×10−5 4

Evaluar los valores extremos (m´ aximo y m´ınimo) de las componentes de deformaci´on normal y cortante relativas en el punto de inter´es. Dibuje luego los c´ırculos de Mohr asociados con el estado de deformaciones previamente establecido e indique si los valores de (, γ) = (−2, 5)×10−5 asociados con un ´area infinitesimal que rodea al punto de inter´es, son valores compatibles y congruentes con el estado de deformaciones proporcionado. 9) Para una roseta en delta como la mostrada en la Figura adjunta, se encontraron las deformaciones relativas indicadas a continuaci´ on:

y

(θ0◦ ) = 2×10−4

(θ60◦ ) = 1×10−4

(θ120◦ ) = 1, 5×10−4

obtenidas mediante un proceso experimental. Determinar los coeficientes del tensor de deformaciones en el ´area cubierta por la roseta. Hallar los valores de las deformaciones normales principales y los valores extremos de la deformaci´on angular o cortante en el punto donde se efectuaron las mediciones anteriormente indicadas.

3=120o o

2=60

x 1=0o

10) y 3=90o

2=45o

x 1=0o

Una placa met´alica de acero comercial y reducido espesor es solicitada en su propio plano mediante un sistema de fuerzas especificado. Para determinar la resistencia mec´anica de la misma, se efect´ uan mediciones ◦ de deformaci´on relativa utilizando una roseta a 45 conformada por tres extens´ometros de filamento dispuestos geom´etricamente como se indica en la Figura adjunta. Las lecturas que fueron registradas mediante este instrumento de medici´on de elongaciones y/o contracciones lineales relativas son las siguientes: (0◦ ) = 1, 2×10−4

(45◦ ) = −0, 5×10−4

(90◦ ) = 0, 8×10−4

(a) Determinar el tensor de deformaciones referido al sistema rectangular impl´ıcito que determina el uso de este instrumento de medici´ on. (b) Busque en un manual los valores de las constantes el´asticas E, G y ν (m´odulo de elasticidad, m´ odulo de Young y coeficiente de Poisson; respectivamente) correspondientes al acero comercial, y mediante la ley de Hocke generalizada estimar el tensor de tensiones en el punto de medici´on. (c) Para los tensores de deformaci´ on y tensi´ on determinados en los incisos anteriores, hallar los valores extremos tanto de direcci´on normal como angular en ambos arreglos matriciales.

´ MECANICA DE MATERIALES – MEC 221 Imagine que dispone f´ısicamente de una l´amina plana muy delgada de aserr´ın aglomerado de madera (un pedazo de venesta), al que puede considerarlo un cuerpo s´olido plano, y se le ocurre conocer la ubicaci´ on del centro de masa y el momento de inercia respecto de un eje perpendicular a la l´ amina que atraviese la misma en un punto determinado (como el punto P, por ejemplo). Explique con relativo detalle el procedimiento pr´ actico experimental a seguir para determinar estas dos propiedades importantes de este cuerpo plano de geometr´ıa irregular.

1)

P

2) Hallar el momento de inercia de las secciones mostradas en la Figura, respecto del eje centroidal paralelo a la base. 5 5

Medidas en [mm] 55

60

5

5

60

60

3) H´ allese la relaci´on entre r y b para el ´area compuesta mostrada en la Figura, a fin de que el producto de inercia Ixy sea cero. Para la condic´ on de nulidad del producto de inercia, cuanto vale el momento de inercia de ´esta ´area con respecto al eje y ?. Exprese su resultado en t´erminos del radio r.

y

r

x b

4) Para las secciones planas mostradas en la Figura, determ´ınese el tensor de inercia de las mismas respecto del sistema de ejes x’y ’z ’. y

y

x

y

y

x a

z,

x

R

z,

a



x

5) Una placa met´alica de reducido espesor se corta con la forma geom´etrica mostrada en la Figura adjunta, donde r = 60 cm. Determinar la ubicaci´ on del centro de masa de este cuerpo s´olido plano. Hallar los momentos de inercia respecto a los ejes mostrados. Tambi´en determinar el producto de inercia respecto de estos ejes. Hallar los valores de los momentos de inercia principales y la orientaci´on de ejes principales, manteniendo inalterable la ubicaci´on del origen del sistema coordenado.

y

r r

r x

6) y

y

x

x

Calcular y comparar entre s´ı los valores m´aximos de los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales de una secci´on en forma de T invertida y otra en forma de cruz, formadas ambas por dos secciones angulares de 40×40×5 mm.

7) Un alambre de masa total m y secci´on transversal de dimensiones reducidas, es doblado en la forma mostrada en la Figura adjunta (la dimensi´ on ‘a’ est´a determinada). Hallar el momento de inercia respecto de la recta diagonal OP de este cuerpo lineal. Ser´a esta direcci´on, una de las direcciones principales de este cuerpo ?. Hallar el producto de inercia del cuerpo respecto del plano formado por la recta OP y el eje y.

z

a P

a O y

a x

8) z

x

Una esfera hueca de espesor despreciable, de masa 2m y radio r, est´ a conectada al extremo de una varilla de longitud 3r y masa m, cuyo otro extremo est´a articulado en un punto de un plano de inclinaci´ on β conocida. Para una configuraci´on est´atica en la que la esfera hace contacto con el plano inclinado, determinar el tensor de inercia de este conjunto con respecto al sistema mostrado, con origen en el punto de articulaci´ on y en el que los ejes x y y se hallan contenidos en el plano inclinado (el eje z, obviamente es perpendicular a ´este plano).

m, 3r

O

2m, r

y

 

9) m R r

Determinar el tensor de inercia respecto a los ejes principales para un cuerpo s´olido toroidal homog´eneo de masa m, radio interno R y radio de secci´on transversal circular r como el mostrado en la Figura. Cual es el valor del momento de inercia polar de este cuerpo ?. Verifique la ortogonalidad de los ejes principales que haya escogido.

10) Un cuerpo s´olido plano de geometr´ıa irregular tiene como valores de sus momentos y productos de inercia con respecto a cierto punto del espacio en el que se establece un sistema coordenado rectangular (x, y, z) los valores siguientes: Ixx = 8, 2

Iyy = 1, 6

Izz = 3, 4

Ixy = 2, 4

Ixz = −2, 8

Iyz = 5,4

medidos en un sistema de unidades compatibles. Determinar las direcciones principales y la magnitud de los momentos de inercia principales respecto de estas direcciones espaciales previamente determinadas.

´ MECANICA DE MATERIALES – MEC 221 1) Una viga est´a apoyada en una articulaci´on fija en uno de sus extremos y en un rodillo a la mitad de su longitud. Este elemento estructural soporta una carga linealmente distribu´ıda como se aprecia en la Figura. Para los datos especificados en el esquema adjunto mostrado, determinar la tensi´on normal m´axima que surge en la viga debido a la solicitaci´on aplicada a ella.

180 Kg/m

0,5 m

1m

0,5 m

4 mm

40 mm

4 mm 40 mm

2)

La viga simplemente apoyada mostrada en la Figura, tiene secci´ on transversal rectangular y longitud de dimensiones especificadas. b q q Este elemento debe ser dise˜ nado para soportar la carga indicada, F , seg sabiendo que el mismo tiene una tensi´on normal l´ımite de fluencia 2L L L conocida y se adoptar´a para su dise˜ no un coeficiente de seguridad de dise˜ no mec´anico de valor especificado. Cual deber´a ser el valor de magnitud m´axima de carga linealmente distribu´ıda de intensidad constante que podr´ a serle aplicada ?. a

0

0

3) La viga simplemente apoyada mostrada en la Figura tiene secci´ on recta transversal en forma de T, con las dimensiones indicadas; y es solicitada mediante una carga concentrada aplicada en la ubicaci´on mostrada a lo largo de la longitud de la viga. Determinar la relaci´on de proporci´ on existente entre la tensi´on normal m´axima y la tensi´on cortante m´ axima que surgen al interior de la viga, cuando la misma soporta est´ aticamente la carga aplicada.

P 2a

3a 10t

t t

10t

4) Una viga canal que tiene el perfil de secci´on transversal mostrado en la Figura (donde t = 4 mm), est´a simplemente apoyada en los extremos (longitud del claro L = 1, 4 m), y soporta una carga linealmente distribu´ıda de intensidad constante actuante en toda su longitud. Despreciando el efecto del esfuerzo cortante interno, determinar la magnitud m´ axima de carga aplicada que podr´a soportar, si la tensi´on l´ımite de fluencia del material es σF = 2400 Kg/cm2 y se adopta un margen de seguridad de dise˜ no mec´anico igual a 40 %.

q0 L 10t 5t

t

t

5)

Un perfil en L (invertida) va a usarse como viga en voladizo, empotr´ andola en uno de sus extremos. Este perfil tiene las dimensiones de secci´ on transversal mostradas en la Figura (a la izquierda), y tiene 80 cm de longitud estando y´a empotrado. Si en su extremo libre se aplica una carga concentrada de 200 Kg, seg´ un la direcci´on del eje centroidal principal 1 mostrado en la Figura (a la derecha); determinar la magnitud de la tensi´on normal m´axima soportada por esta viga, indicando de modo preciso el punto en el cual esta tensi´on extrema se presenta.

1

6 1

CG

8

Medidas en [cm]

28,5

o

2

1

6) e B

3e

C

h

P

D h

R b

Una banda de acero delgada y recta, de espesor h y ancho b est´ a sujeta a un bloque r´ıgido de radio R en la forma que se indica en la Figura, con 4e de longitud libre. En el extremo de la banda act´ ua una fuerza P suficiente para que dicha banda est´e en contacto con el bloque en una longitud e. Suponiendo que e