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• Elvis Gutierrez Gonzales

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Pregunta 1.- (Teoría y Propagación de Errores)

La ley de Stefan-Boltzmann se utiliza para estimar la velocidad de cambio de la energía H para una superficie, esto es, H = AeσT4 donde H está en watts, A = área de la superficie (m2), e = la emisividad que caracteriza la propiedad de emisión de la superficie (adimensional), σ = una constante universal llamada constante de Stefan-Boltzmann (= 5.67 × 10–8 W m–2 K–4) y T = temperatura absoluta (K). Determine el error de H para una placa de acero con A = 0.15 m2, e = 0.90 y T = 650 ± 20. Compare los resultados con el error exacto. Repita los cálculos pero con T = 650 ± 40. Interprete los resultados. Solucion: Se sabe: 𝑑𝐻 = 4𝐴𝑒𝜎𝑇 3 𝑑𝑇 𝑑𝐻 = 4(0.15)(0.9)(5.67)(10)−8 6503 𝑑𝑇 𝑑𝐻 = 8.40846825 𝑑𝑇

De:

ΔH = |

𝑑𝐻 |ΔT 𝑑𝑇

ΔH = 8.40846825 ∗ 20 = 168.169365 Error Exacto: para T=650 +- 20 ΔH = ΔH =

𝐻 ´ ∗ 670 − 𝐻 ´ ∗ 630 2

8.40846825 ∗ 670 − 8.40846825 ∗ 630 2 ΔH = 8.40846825 ∗ 20 ΔH = 168.169365

Error Exacto: para T=650 +- 40 ΔH = ΔH =

𝐻 ´ ∗ 690 − 𝐻 ´ ∗ 610 2

8.40846825 ∗ 690 − 8.40846825 ∗ 610 2 ΔH = 8.40846825 ∗ 40 ΔH = 336.33873

Pregunta 2.- (Método Bisección y Regla Falsa) Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20 m3/s. La profundidad crítica y para dicho canal satisface la ecuación: 0  1

Q2 B gAc3

donde g = 9.81m/s2, Ac = área de la sección transversal (m2), y B = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan con la profundidad y por medio de B  3 y

A  3y 

y2 2

Resuelva para la profundidad crítica con el uso de los métodos a) gráfico, b) bisección, y c) falsa posición. En los incisos b) y c), haga elecciones iniciales de xl = 0.5 y xu = 2.5, y ejecute iteraciones hasta que el error aproximado caiga por debajo del 1% o el número de interacciones supere a 10. Analice sus resultados.

Solucion: Metodo de Biseccion:

Itera ción 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

a

b

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0781 0.1171 0.1367 0.1464 0.1464

40 20 10 5 2.5 1.25 0.625 0.3125 0.15625 0.15625 0.15625 0.15625 0.15625 0.15136

𝑥𝑖 20 10 5 2.5 1.25 0.625 0.3125 0.15625 0.07812 0.1171 0.1367 0.1464 0.1513 0.14892

F(a)

F(b)

F(xi)

F(a)f(xi)

F(b)f(xi)

Er

0.0042 0.0042 0.0042 0.0042 0.0042 0.0042 0.0042 0.0042 0.0042 0.0020 0.0009 0.0003 8.81E-5 8.81E-5

-0.821 -0.4720 -0.2551 -0.1314 -0.0651 -0.0308 -0.0133 -0.0046 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -5.01E-5

-0.472 -0.551 -0.131 -0.065 -0.030 -0.013 -0.004 -0.001 0.002 0.0009 0.0003 8.81E-5 -5.01E-5 1.9E-5

-0.002 -0.001 -0.0005 -0.0002 -0.0001 -5.68E-5 -1.95E-5 -7.98E-7 8.58E-6 1.858E-6 3.34E-8 3.21E-8 -4.41E-9 1.677E-9

0.3879 0.1204 0.0335 0.0085 0.0020 0.0004 6.16E-5 8.66E-7 -3.81E-7 -1.73E-7 -6.8E-8 -1.66E-8 9.42E-9 -9.53E10

1 1 1 1 1 1 1 1 0.3333 0.1428 0.0666 0.0322 0.0163

Iteracciones 1 2 3 4

a 0 20 20 20

b 40 20 20 20

xi 20 20 20 20

Metodo de Biseccion Ln 6.413 - Er 0.05°C f(a) f(b) f(xi) f(a) f(xi) 0.828371 0.0023259 0.3520974 0.2916675 0.352097 0.3520974 0.3520974 0.1239726 0.352097 0.3520974 0.3520974 0.1239726 0.352097 0.3520974 0.3520974 0.1239726

f(b) f(xi) 0.0008189 0.1239726 0.1239726 0.1239726

Er 0 0 0

Falsa posición:

Falsa posicion Iteracciones

a

b

1

0

40

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0 0 0 0 0 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959 0.14959

0.205320 0.14967 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598 0.149598

xi

f(a)

0.2053208 0.0042401 0.1496735 0.1495983 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982

0.0042401 0.0042401 0.0042401 0.0042401 0.0042401 6.972E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14

f(b) 0.821806 0.001576 -2.13E-06 -2.88E-09 -3.8E-12 -7.24E-14 -7.24E-14 -7.24E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14

f(xi)

f(a) f(xi)

f(b) f(xi)

-0.001576

-6.68E-6

0.0012955

-2.13E-06 -2.88E-09 -3.8E-12 -7.24E-14 6.972E-14 4.13E-14 -4.4E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 -4.4E-14 4.13E-14 4.13E-14 4.13E-14 -4.4E-14 4.13E-14 4.13E-14

-9.04E-9 -1.22E-11 -1.61E-14 -3.07E-16 2.956E-16 2.88E-27 -1.82E-27 1.706E-27 1.706E-27 1.706E-27 1.706E-27 1.706E-27 -1.82E-27 -1.82E-27 -1.82E-27 -1.82E-27 -1.82E-27 1.706E-27 1.706E-27 1.706E-27 -1.82E-27 1.706E-27 1.706E-27

3.362E-09 6.147E-15 1.094E-20 2.748E-25 -5.05E-27 -2.99E-27 3.182E-27 -1.82E-27 -1.82E-27 -1.82E-27 -1.82E-27 -1.82E-27 1.933E-27 1.933E-27 1.933E-27 1.933E-27 1.933E-27 -1.82E-27 -1.82E-27 -1.82E-27 1.933E-27 -1.82E-27 -1.82E-27

Er

0.3717913 0.0005029 6.798E-07 8.952E-10 1.707E-11 8.376E-12 3.159E-12 1.629E-12 7.891E-13 4.069E-13 2.098E-13 1.082E-13 5.566E-14 2.876E-14 1.392E-14 6.679E-15 3.34E-15 1.484E-15 7.421E-16 3.711E-16 1.855E-16 1.855E-16 NUMERO

Falsa posicion

Iteracciones

a

b

xi

f(a)

f(b)

f(b) f(xi) 1.272E1 0 40 40.112628 0.8283718 0.0023259 0.0005467 0.0004529 06 2 40.112628 40.112628 ------0.0005467 0.0005467 --------------------3 ------------------------------------------------4 -------------------------------------------------

Punto fijo:

Punto Fijo Iteracciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Xi 0 0.00424011 0.00411977 0.00412319 0.00412309 0.00412309 0.00412309 0.00412309 0.00412309

Ln 14.621- Er 0.05°C f(xi) Er 0.00424011 0.00411977 -0.02920956 0.00412319 0.00082827 0.00412309 -2.3506E-05 0.00412309 6.6706E-07 0.00412309 -1.8929E-08 0.00412309 5.3768E-10 0.00412309 2.068E-11 0.00412309 6.8933E-12

Punto Fijo Iteracciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ln 14.413- Er 0.05°C Xi f(xi) Er 0 0.82837178 0.82837178 0.80503656 -0.02898654 0.80503656 0.80568913 0.00080995 0.80568913 0.80567087 -2.2655E-05 0.80567087 0.80567139 6.3368E-07 0.80567139 0.80567137 -1.7725E-08 0.80567137 0.80567137 4.9547E-10 0.80567137 0.80567137 -1.3617E-11 0.80567137 0.80567137 2.4694E-13

f(xi)

f(a) f(xi)

Er

-------------------

Pregunta 3.- (Método de Interpolación de Lagrange) Suponga que se tiene un instrumento para medir la velocidad del paracaidista. Los datos obtenidos en una prueba particular son Tiempo, Velocidad medida v, s cm/s 1 800 3 2310 5 3090 7 3940 13 4755

Nuestro problema consiste en estimar la velocidad del paracaidista en t = 10 s para tener las mediciones faltantes entre t = 7 y t = 13 s. Estamos conscientes de que el comportamiento de los polinomios de interpolación tal vez resulte inesperado. Por lo tanto, construiremos polinomios de grados 4, 3, 2 y 1, y compararemos los resultados. X 1 3 5 7 13

F(x) 800 2310 3090 3940 4755

Función de x

Gráfico de tendencias 5000 0

0

5 10 Valores de x

15

X 7 13 5 3 1

F(x) 3940 4755 3090 2310 800

Funcion x

Gráfico de tendencias 5000

0 0

5 10 Valores de x

15

Valores centrados:

Función de x

Gráfico de tendencias 6000 4000 2000 0 0

5 10 Valores de x

15

Tendencias.

Gráfico de tendencias Función de x

5000 4000

3000 2000

Series1

1000 0 0

5

10

15

Valores de x

Polinomio de 1er orden 5000 4000 3000 f(x)

2000 1000 0 0

5

10

15

Polinomio de 2° orden 5000 4000 3000 f(x)

2000 1000 0 0

5

10

15

Polinomio de 3er orden 6000 5000 4000 3000

f(x)

2000 1000 0 0

5

10

15

•

Para el polinomio de primer orden se observa un valor estimado de la velocidad de caída del paracaidista muy congruente con el gráfico de las tendencias.

•

Para los polinomios de orden mayor el valor estimado de la velocidad de caída del paracaidista se sale del rango esperado.

Pregunta 4.- (Método de Gauss-Seidel) Una compañía de electrónica produce transistores, resistores y chips de computadora. Cada transistor requiere cuatro unidades de cobre, una de zinc y dos de vidrio. Cada resistor requiere tres, tres y una unidades de dichos materiales, respectivamente, y cada chip de computadora requiere dos, una y tres unidades de los materiales, respectivamente. En forma de tabla, esta información queda así: Componente Cobre Zinc Vidrio Transistores 4 1 2 Resistores 3 3 1 Chips de computadora 2 1 3 Los suministros de estos materiales varían de una semana a la otra, de modo que la compañía necesita determinar una corrida de producción diferente cada semana. Por ejemplo, cierta semana las cantidades disponibles de los materiales son 960 unidades de cobre, 510 unidades de zinc y 610 unidades de vidrio. Plantee el sistema de ecuaciones que

modela la corrida de producción y utilice el Método de Gauss-Seidel para resolver cuál es el número de transistores, resistores y chips de computadora por manufacturar esta semana. Solución: Entonces las ecuaciones serán TRANSISTORES =T , RESISTORES = R y CHIP= C 4𝑇 + 3𝑅 + 2𝐶 = 960 𝑇 + 3𝑅 + 𝐶 = 510 2𝑇 + 𝑅 + 3𝐶 = 610 Despejamos y aplicamos Gauss-Seidel: 𝑇=

960 − 3𝑅 − 2𝐶 4

𝑅= 𝐶=

510 − 𝑇 − 𝐶 3

610 − 2𝑇 − 𝑅 3

Empezamos en T=R=C=100 unidades y empezamos a iterar:

n

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

R 100 115 110.8333333 120.9722222 114.7453704 122.7121914 116.1349023 123.0511617 116.7131952 122.9777729 117.0394607 122.7982989 117.2823426 122.6011608 117.4908937 122.4102855 117.6795294 122.2313885 117.8529431 122.0652355 118.0131241

C 100 103.333333 97.2222222 102.314815 97.3302469 102.224794 97.6316015 102.138274 97.8608801 102.011224 98.039328 101.872043 98.1914836 101.735735 98.3280763 101.607264 98.453223 101.487694 98.5686796 101.376849 98.6754288

ERROR 100 103.333333 92.2222222 97.037037 88.5802469 94.3930041 87.4502743 93.366198 87.253134 92.9042432 87.3444102 92.6272502 87.510453 92.4146104 87.6873146 92.2300454 87.8573884 92.0625727 88.0165096 91.9084781 88.1642266

13.04% -3.76% 8.38% -5.43% 6.49% -5.66% 5.62% -5.43% 5.09% -5.07% 4.69% -4.70% 4.34% -4.35% 4.02% -4.02% 3.72% -3.72% 3.45% -3.43%

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

121.9113151 118.1612839 121.7688301 118.2983771 121.6369578 118.4252441 121.5149147 118.5426511 121.4019699 118.6513044 121.2974455 118.751857 121.2007139 118.8449128 121.1111942 118.9310308 121.0283487 119.0107282 120.9516798 119.0844838 120.8807269 119.1527405 120.815064 119.2159082 120.7542965 119.2743665 120.6980597 119.3284664 120.6460155 119.3785329 120.5978516 119.4248666 120.5532785 119.4677459 120.5120286 119.5074283 120.4738541 119.5441522 120.4385257 119.5781381 120.4058313 119.6095902 120.3755744 119.6386973 120.3475733 119.6656344 120.3216598 119.6905632 120.2976783 119.7136334 120.2754848

101.274216 98.7741924 101.179222 98.8655855 101.091306 98.9501629 101.009943 99.0284341 100.934647 99.1008696 100.864964 99.1679047 100.800476 99.2299419 100.740796 99.2873539 100.685566 99.3404855 100.634453 99.3896558 100.587151 99.4351603 100.543376 99.4772721 100.502864 99.5162443 100.465373 99.5523109 100.430677 99.5856886 100.398568 99.6165777 100.368852 99.6451639 100.341352 99.6716189 100.315903 99.6961015 100.29235 99.7187587 100.270554 99.7397268 100.250383 99.7591316 100.231716 99.7770896 100.21444 99.7937088 100.198452 99.8090889 100.183657

91.7661077 88.3010511 91.6344133 88.427706 91.5125534 88.5449262 91.399783 88.6534091 91.2954212 88.7538046 91.1988405 88.8467151 91.1094604 88.9326987 91.0267442 89.0122718 90.9501949 89.0859123 90.8793527 89.1540624 90.8137922 89.2171316 90.7531196 89.2754987 90.6969705 89.3295142 90.6450076 89.3795025 90.5969188 89.425764 90.5524152 89.4685764 90.5112297 89.5081969 90.4731148 89.5448634 90.4378415 89.5787963 90.4051981 89.6101993 90.3749884 89.6392611 90.3470309 89.6661561 90.3211579 89.691046 90.2972139 89.7140802 90.275055 89.735397 90.2545481

3.20% -3.17% 2.96% -2.93% 2.74% -2.71% 2.54% -2.51% 2.36% -2.32% 2.18% -2.14% 2.02% -1.98% 1.87% -1.83% 1.73% -1.70% 1.60% -1.57% 1.49% -1.45% 1.38% -1.34% 1.27% -1.24% 1.18% -1.15% 1.09% -1.06% 1.01% -0.98% 0.94% -0.91% 0.87% -0.84% 0.80% -0.78% 0.74% -0.72% 0.69% -0.67% 0.64% -0.62% 0.59% -0.57% 0.55% -0.53% 0.50% -0.49% 0.47%

73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123

119.7349835 120.2549459 119.7547419 120.2359383 119.7730273 120.2183479 119.7899493 120.2020688 119.8056097 120.1870035 119.8201026 120.1730614 119.8335149 120.1601587 119.8459272 120.148218 119.8574142 120.1371676 119.8680447 120.126941 119.8778827 120.1174769 119.8869872 120.1087183 119.8954129 120.1006128 119.9032105 120.0931116 119.9104266 120.0861696 119.9171048 120.0797452 119.9232851 120.0737997 119.9290046 120.0682976 119.9342977 120.0632056 119.9391962 120.0584933 119.9437294 120.0541323 119.9479247 120.0500965 119.9518072 120.0463615 119.9554002 120.042905 119.9587254 120.0397062 119.9618026

99.8233224 100.169964 99.8364946 100.157292 99.8486848 100.145565 99.8599662 100.134713 99.8704065 100.124669 99.8800684 100.115374 99.8890099 100.106772 99.8972848 100.098812 99.9049428 100.091445 99.9120298 100.084627 99.9185885 100.078318 99.9246581 100.072479 99.9302753 100.067075 99.9354736 100.062074 99.9402844 100.057446 99.9447366 100.053163 99.9488567 100.0492 99.9526697 100.045532 99.9561985 100.042137 99.9594641 100.038996 99.9624863 100.036088 99.9652831 100.033398 99.9678715 100.030908 99.9702668 100.028603 99.9724836 100.026471 99.9745351

89.7551246 90.2355702 89.7733814 90.2180072 89.790277 90.2017536 89.805913 90.1867117 89.8203833 90.1727914 89.8337747 90.1599088 89.8461676 90.1479868 89.8576367 90.1369536 89.8682506 90.1267429 89.8780733 90.1172936 89.8871636 90.1085487 89.8955761 90.1004558 89.9033615 90.0929663 89.9105664 90.0860351 89.9172342 90.0796208 89.9234048 90.0736846 89.9291154 90.068191 89.9344002 90.063107 89.939291 90.058402 89.9438172 90.0540479 89.948006 90.0500183 89.9518824 90.0462892 89.9554698 90.0428381 89.9587898 90.0396442 89.9618622 90.0366886 89.9647056

-0.45% 0.43% -0.42% 0.40% -0.39% 0.37% -0.36% 0.34% -0.33% 0.32% -0.31% 0.29% -0.28% 0.27% -0.26% 0.25% -0.24% 0.23% -0.22% 0.22% -0.21% 0.20% -0.19% 0.18% -0.18% 0.17% -0.16% 0.16% -0.15% 0.15% -0.14% 0.14% -0.13% 0.13% -0.12% 0.12% -0.11% 0.11% -0.10% 0.10% -0.10% 0.09% -0.09% 0.09% -0.08% 0.08% -0.08% 0.07% -0.07% 0.07% -0.06%

124 125 126 127

120.0367459 119.9646504 120.0340063 119.9672859

100.024497 99.9764336 100.022671 99.9781906

90.0339532 89.967337 90.0314218 89.9697722

Vemos que cada vez las iteraciones hacen q el porcentaje sea cero. Entonces podemos decir: 𝑇 = 120 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑅 = 100 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝐶 = 90 𝑐ℎ𝑖𝑝𝑠

0.06% -0.06% 0.06% -0.06%