Momento de inercia de una esfera de radio R y masa M respecto al centro de gravedad y respecto a un eje diametral El vol
Views 129 Downloads 4 File size 66KB
Momento de inercia de una esfera de radio R y masa M respecto al centro de gravedad y respecto a un eje diametral El volumen de la esfera es V =
4 3 4 πR y su masa M = ρπR 3 . 3 3
El momento de inercia respecto al centro de gravedad se puede calcular como la suma de los momentos de inercia respecto a tres planos perpendiculares entre sí que se corten en él (planos diametrales) y una vez calculados éstos, por aplicación de las propiedades de los momentos de inercia, se calculan los momentos de inercia respecto a los diámetros. También se puede calcular el momento de inercia respecto al centro de gravedad, y una vez conocido éste, se calculan los momentos de inercia respecto a planos y ejes, por aplicación de las propiedades.
1º Método. Cálculo del momento de inercia respecto a los planos diametrales (plano que
divide a la esfera en dos partes iguales, planos XGY, YGZ y XGZ). El momento de inercia de la esfera respecto a un plano diametral es I plano =
∫∫∫ z dm 2
V
Se considera un elemento diferencial de
Z
volumen, que es un cilindro de radio r (0≤r≤ R), altura dz, situado a una distancia z (-R≤z≤ r
R) del plano XGY y cuya masa es
dr
dm = ρπr 2 dz
R
z
Y
Si se elige el elemento diferencial muy cerca del plano, z es pequeño y sin embargo el radio del cilindro es grande; por el contrario si se
X
elige elemento diferencial lejos del plano, z es grande y el radio del cilindro pequeño. Independientemente de la posición elegida se verifica la relación R 2 = r 2 + z 2 R
I plano
⎡ z3 z5 ⎤ = ∫∫∫ z dm = ∫ z ρπr dz = 2 ∫ z ρπr dz = 2 ρπ ∫ z ( R − z )dz = 2 ρπ ⎢ R 2 − ⎥ ⎣ 3 5 ⎦0 −R 0 0 V
I plano
R 5 (5 − 3) ⎛ 4πR 3 ⎞ R 2 MR 2 ⎟⎟ = = 2 ρπ = ⎜⎜ 15 5 ⎝ 3 ⎠ 5
R
2
R
2
2
R
2
2
2
2
2
Debido a la simetría, los momentos de inercia respecto a los tres planos son iguales, y su suma es el momento de inercia respecto al centro de gravedad I G =
3MR 5
y éste es la
semisuma de los momentos de inercia respecto a los 3 ejes diametrales, de donde I eje =
2MR 5
2º Método. Cálculo del momento de inercia respecto al centro de gravedad G
El momento de inercia respecto al centro de gravedad es I G = ∫∫∫ r 2 dm . V
Consideramos un elemento diferencial de volumen, situado a una distancia r (0≤r≤ R) de G, cuya masa es dm = ρdV = ρ 4πr 2 dr , por lo que el momento de inercia respecto al centro de gravedad es R
I G = ∫∫∫ r dm = ∫∫∫ r ρ 4πr dr = ρ 4π ∫ r dr = 2
V
2
2
4
0
V
ρ 4πR 5 5
⎛ ρ 4πR 3 ⎞ 3 2 3 ⎟⎟ R = MR 2 = ⎜⎜ 5 ⎝ 3 ⎠5
El momento de inercia respecto al Z
centro de gravedad de es la suma de
los
respecto
X
a
de
tres
inercia planos
perpendiculares entre sí que se
r G
momentos
Y
corten en él, en este caso XGY, YGZ y XGZ, y debido a la simetría éstos son iguales, por tanto
IG =
1 3 MR 2 = I XGY + I XGZ + I YGZ = 3I plano , de donde I plano = MR 2 5 5
Por otro lado el momento de inercia respecto a un punto, G por ejemplo, es la semisuma de los momentos de inercia respecto a tres ejes perpendiculares entre sí que se corte en él. En el caso de la esfera, los tres ejes perpendiculares que se cortan en G son los diámetros, y debido a la simetría los momentos de inercia respecto a ellos son iguales, por tanto IG =
3 1 3 2 MR 2 = (I GX + I GY + I GZ ) = I diametro por lo que I diametro = MR 2 5 2 2 5
1