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Derivación de la Teoría de circuitos a partir de las ecuaciones de Maxwell José López Cervantes Resumen— En este trabajo se deriva la ley de Kirchhoff de voltajes y la ley de Kirchhoff de corrientes a partir de las leyes de Maxwell. Palabras Clave— Campo Eléctrico, Resistor, Capacitor, Inductor.

I.

L

INTRODUCCIÓN

ecuaciones de Maxwell permiten asimismo determinar numerosas leyes y teoremas en electrostática, magnetostática, electromagnetismo y en este caso la Teoría de Circuitos [1] por lo que nos permite investigar como varían los campo eléctrico y magnético en el espacio y tiempo. El electromagnetismo es una teoría de campos vectoriales, es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes físicas cuya descripción matemática son campos vectoriales dependiente de la posición en el espacio y tiempo. Por lo que la derivación de la teoría de circuitos se analiza a partir de las ecuaciones de Maxwell en su forma integral. A

Figura 1. Circuito RLC. Usando la ecuación (3) y usando la figura 1, el cual es un circuito RLC podemos obtener el campo eléctrico de cada uno de los elementos donde se asume que el campo magnético dentro del circuito es cero, por consiguiente se tiene la siguiente expresión: 1

2

3

4

∮ E· dl=∮ EV · dl+∮ E L · dl+∮ EC · dl+∮ E R ·dl = 4

1

2

3

Derivación de la segunda ley de Kirchhoff (voltaje) Para hallar la derivación analizaremos las ecuaciones de Maxwell en su forma integral:

∫ E· dS=

q enc (1) ε0

Campo eléctrico: Fuente de tensión

∫ B·dS=0 (2)

∫ E· dl=

Si el potencial es variante en el tiempo y si la función que lo describe depende de una variable (esto se debe a que consideramos que las interconexiones están hechas con alambres) el campo eléctrico será función de un potencial como una derivada unidimensional:

−d Φ B (3) dt d

∮ H·dl=∮ J· ds+ ε0 dt ∮ E· ds( 4) c

s

Se observan cuatro campos eléctricos producidos por cada elemento del circuito, donde la suma de todas las voltajes es igual al voltaje total suministrada. [3] Ahora obtendremos el campo eléctrico de cada componente.

s

EV =−∇ v ( t )=

−d v ( t ) ^ i(6) dx

dl=dx(7) Sustituyendo en la integral queda: 1

∮ EV · dl=−v (t)(8) 4

−d Φ B dt

siguiente fórmula: Campo eléctrico: inductor El flujo magnético que recorre a través de un hilo conductor es inversamente proporcional a la corriente donde las unidades son webers/Ampere que es igual a Henry; se obtiene el valor proporcional L o también llamado Auto inductancia [3] que está dada por la siguiente ecuación:

Φ L ( t )= B (9) i(t )

dv ( t ) 1 d q ( t ) 1 = = i(t )(14) dt c dt c Ahora, aplicando una integral en ambos lados de la ecuación para obtener el voltaje del capacitor, y dado los límites del capacitor están dados por el tiempo en que se descarga, el valor de tiempo en la corriente es una

t'

y

por tanto la fórmula queda: t

Al despejar el valor del flujo magnético y sustituirla en la ecuación (3) tenemos:

∫ E· dl=

−d(L ( t ) i ( t ) ) (10) dt

Para sacar el valor de la inductancia de la derivada la corriente que pasa por la bobina debe presentarse en bajas frecuencias, el cual generará un flujo magnético prácticamente constante, de esta manera puede salir de la derivada, al igualar el resultado de la ecuación (10) con la ecuación (8) , podemos tener el siguiente resultado:

v L ( t )=L

v C ( t )=

1 ∫ i ( t ' ) d t ' (15) c −∞ C

Campo eléctrico: resistencia Para encontrar el campo eléctrico de la resistencia se usa la ley microscópica de ohm y si tenemos que la densidad de

m 2 ; sus ecuaciones son

corriente está dada por A/

expresadas de la siguiente forma:

E (t)=

d i ( t ) (11) dt

J R=

J (t ) ( 16 ) σ

i R (t ) A n^ 2 (17 ) AC m

[ ]

Campo eléctrico: capacitor La capacitancia de un capacitor es un farad, y representa la habilidad de un capacitor de almacenar carga (coulombs) en presencia de un voltaje aplicado en sus terminales [4]. Esto está representado por la siguiente fórmula:

q (t) c ( t )= (12) v (t)

Así que integramos la ecuación (16) y sustituimos la ecuación (17) en (16) y obtenemos la siguiente expresión: 4

4

∮ E R · dl=∮ 3

3

4 JR i (t ) · dl=∮ n^ · dl(18) σ 3 AC σ

Dónde:

dl= n^ d LR (19) Se despeja v (t) y derivamos cada término:

d d q( t) v ( t )= (13) dt dt c (t)

La i(t) es la corriente que depende del tiempo y no depende del espacio así que pueda salir del integral, dl es igual al vector normal a la superficie por la derivada de la longitud del conductor,

Para sacar c (t) de la derivada supondremos que el tiempo de relajación dieléctrico (el cual modela el tiempo promedio en que el dieléctrico del capacitor tarda en orientar sus cargas para almacenar el campo eléctrico) es muy pequeño en comparación al periodo de la señal y dado que un Ampere es igual a la carga sobre segundo, se tiene la

que depende del espacio y

AC

es el área del conductor

σ

es la conductividad, por lo

que quedará de la siguiente manera:

4

4

∮ E R · dl=i ( t )∮ 3

3

n^ · n^ d LR (20) AC σ

prácticamente es una constante en el tiempo así que al derivar nos queda: n

4

∑ v i=0(25)

4

dL ∮ E R · dl=i ( t )∮ A σR (21) 3 3 C

i=1

Derivación de la primera Ley de Kirchhoff (corriente) Dónde: 4

d LR L =ρ =R (22) AC Cσ

∮A 3

ρ

es la resistividad del material, L es la longitud del

Para hallar la derivación utilizaremos la ecuación (4) en su forma integral, para este análisis haremos una hipótesis donde la señal del circuito es en bajas frecuencias y la longitud física de la resistencia, el tiempo de relajación magnética del inductor y el tiempo de relajación dieléctrica del capacitor sea mucho menor que la longitud de onda de la señal, de tal manera que la ecuación queda de la siguiente manera n

∑ i j =0(27)

material del cual se realiza la resistencia, por tanto sustituyendo (22) en (21) tenemos la siguiente ecuación:

j=1

v R ( t )=i ( t ) R(23) Ahora una vez obtenidos los valores de cada elemento pasivo y fuente se tiene la ley de voltajes de Kirchhoff donde la suma de todos lo voltajes es igual al voltaje total suministrada:

−d Φ B d i ( t )= ( 24) dt dt t 1 E· dl=−v ( t ) + Ri ( t ) + ∮ ∫¿ c −∞ c

' ' iC ( t ) d t + ¿ L

Dónde el campo magnético es muy pequeño, por lo que

II. CONCLUSIÓN En este trabajo se mostró que las leyes de Kirchhoff son un caso especial de las ecuaciones de Maxwell. Las leyes de Kirchhoff son válidas únicamente para bajas frecuencias. REFERENCIAS [1] [2] [3] [4]

José Miguel Miranda Pantoja, Ingeniería de microondas: técnicas experimentales, Prentice Hall, pág. 29. Guillermo García Talavera, “Análisis Fisicomatemático de redes Eléctricas” Editorial Limusa, México, 1998, pp. 13-33 “Relación entre Teoría de campos y Teoría de circuitos”, Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de la Plata Argentina, 2003, pp.1-5 Allan H. Robbins,”Análisis de circuitos Teoría y práctica” Cengage learning, cuarta edición, México, 2008, pp. 318-319.