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• Héctor Quiñonez

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Academia de Ciencias HARVARD “Dale éxito a tu Talento”

MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD)

El MCD de dos o más números cumple las siguientes condiciones:  Es un divisor común de los números  Es el mayor de todos Ejemplo #s DIVISORES 8 1,2,4,8 12 1,2,3,4,6,12 20 1,2,4,5,10,20 Divisores comunes: 1, 2,4

2.- Si el MCD (̅̅̅̅̅̅̅ Calcular: a x b Solución: Si se cumple:

1

)

̅̅̅̅̅̅̅̅

̇ → ̅̅̅̅̅̅̅ ̇

Criterio por 5: ̅̅̅̅̅̅̅ ̇ →a=5

MCD (8,12,20) = 4 El mayor número que divide a 8,12 y 20 a la vez es el 4 Observación

Criterio por 9: ̅̅̅̅̅̅̅ ̇ ̇ 10+2b= ̇ b=4 Nos piden: a x b: 5 x 4 = 20

Divisores del MCD (1,2,4)

3.- Hallar la suma de divisores comunes de los números 54 y 90

Divisores comunes de 8,12y 20

Solución:

# de divisores= # de divisores del MCD

Ejemplos:

MCD (54; 90) =18 =

1.- Hallar cuantos divisores comunes tienen los números 72 y 60.

La suma de divisores comunes es:

Solución: Al calcular el MCD (72; 60) = 12 Los divisores comunes son los divisores del MCD. 12 1, 2, 3, 4, 6,12 D (12) = 6 El # de divisores comunes es 6 Lic. Héctor G. Quiñonez Flores

Prof. de Aritmetica y Algebra

1

Academia de Ciencias HARVARD “Dale éxito a tu Talento” FORMAS PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD.

PROPIEDADES: 1.- El MCD nunca es mayor que una de los números.

1.- DESCOMPOSISCION SIMULTÁNEA

Ejm.

20 – 15 5 → MCD 4–3

MCD (15,20,40) = 5

PESI

2.- Si el menor de los números es divisor común de los otros números entonces el MCD será el menor numero.

2.- POR DESCOMPOSICION CANONICA

Ejm. 

MCD (9;18;36;90) = 9 Divisor común y menor

** Si: 32 = 𝟖̇

𝑩̇

MCD (20; 15) = 5

“Sea toman los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes” Ejm. Sean los números A= B= MCD(A; B) = 3.DIVISIONES SUCESIVAS ALGORITMO DE EUCLIDES

MCD(32;8)= 8 *** Si: 𝑨

𝑩𝑲

𝑨 ≥𝑩

O

Algoritmo de Euclides

MCD (A;B) = B

D d

3.- El MCD de 2 números primos entre si es la unidad.

r

→ D=d.q+r

q

Notación: D = Dividendo d = Divisor q = Cociente r = Residuo

Ejm.  MCD (k ; k + 1) = 1 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅  MCD (𝒂𝒃𝒄 𝒂𝒃 𝒄 𝟏 ) = 1

Propiedad:

 MCD (31 y 37) = 1 Si A y B son primos entre si (PESI) o primos relativos. MCD(A ; B) = 1

2

MCD(D;d) = MCD(d;r) Si disponemos: ← Cociente ← Divisor

2 Dividendo 20 Residuo 4

8

Divisiones sucesivas

20 4 Lic. Héctor G. Quiñonez Flores

Prof. de Aritmetica y Algebra

2 8 0

2 4

2

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En general

3

MCD (5A; 7B)=30 MCD (7A; 5B)=210 = Cocientes sucesivos

A

Hallar el MCD(A; B)

← MCD

B

0

Solución: MCD (5A, 7A, 7B, 5B)=MCD (30,210)

→ Residuos Sucesivos

] =30

MCD[ MCD (A; B) =

MCD(A, B) x ⏟

PROPIEDADES:

MCD(A; B)=30

=30

III.- MCD(A, B, C)=d

I.- MCD (A, B, C) = d Se cumple: A=p.d

** MCD (An, Bn, Cn) = dn

;

B= q.d

;

C= r.d

A, B y C son ̇

** MCD (

)=

p, q y r

II. - MCD (A; B; E; F) = MCD (M; N) Dónde: M= MCD (A; B); N= MCD (E; F) También: MCD(A;B; E; F)= MCD[

son PESI

IV.- Para 2 números A y B A B MCD q1 q2 PESI

] Dónde:

y

son PESI

Ejemplo 01 MCD (A; B)=36 MCD (B; C)=54 V.- Dados los números: A, B y C

Hallar el MCD de A; B; C Solución: MCD(A; B; B; C)=MCD (36; 54)

A= B= C= MCD(A, B, C)=

MCD(A; B; C)=18 Ejemplo 02 Lic. Héctor G. Quiñonez Flores

MINIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Prof. de Aritmetica y Algebra

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Academia de Ciencias HARVARD “Dale éxito a tu Talento” El MCM de un conjunto de números cumple dos condiciones: ** Debe ser un múltiplo común a los números ** Debe ser el menor de estos múltiplos comunes Ejemplo: ̇

̇ Múltiplos comunes MCM (4,6)=12

4

20 – 15 2 10 - 15 2 → MCM 5 - 15 3 5 - 5 5 1 - 1 MCM (20; 15) = 2x2x3x5= 60 2.- POR DESCOMPOSICION CANONICA

“Sea toman los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes” Eje. Sean los números

OBSERVACION Múltiplos comunes = múltiplos del MCM De (A, B, C) de A, B y C

A= B= MCM(A; B) = PROPIEDADES

PROPIEDADES 1.- El MCM nunca puede ser menor que alguno de los números. Ejemplo MCM (6, 9,27)=54

I.- MCM (A, B, C, D) = MCM (M, N) Donde M=MCM(A, B) N= MCM(C, D)

2.- Si el menor número es múltiplo de los otros entonces el MCM es el mayor número. Ejemplo: * * MCM (5, 10,15, )= 90 Mayor múltiplo común

II. - MCM (An; Bn; Cn) = n MCM (A; B; C)

III. - MCM (

)

** 28= ̇ = 4x7 MCM (28,4)=28

{

IV.-

** Para 2 números A y B A = ̇ = BxK 3.- El MCM de 2 números primos entre sí, es el producto de dicho números Ejemplos: ** MCM (K; K+1) = K (K+1) ** MCM (27; 29) = 27 x 29 ** Si A y B son PESI MCM (A; B) = A x B

RELACIONES ENTRE EL MCD Y MCM PARA DOS NUMEROS Se sabe: A B

d = MCD

PESI A=MCD. B=MCD. MCM= MCD x A x B = MCD x MCM

FORMAS PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCM. 1.- DESCOMPOSISCION SIMULTÁNEA

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OBSERVACION

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1. - MCD (A; B) =MCD (A+B; AxB) MCD(A;B)=MCD(A-B ; AxB )

MCD(7A,5B)=210 Hallar: MCD(A,B) a) 30 b) 50 c) 88

2.- MCD(A;B)=MCD(A ; m) Donde m= MCM(A;B)

PROBLEMA 08 Hallar: a + b + c Si: MCD[̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ] = 55 Además : “c” es impar a) 30 b) 50 c) 10 d) 20

EJERCICIOS DE APLICACION

PROBLEMA 01 Si el MCD (̅̅̅̅̅̅̅ ) = 45 Calcular : a x b a) 15 b) 16 c) 20 d) 24 PROBLEMA 02 Hallar la suma de divisores comunes de los números 54 y 90 a) 38 b)35 c) 39 d) 36 PROBLEMA 03 Calcular la suma de 2 numeros PESI si al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes 2.5,3 y 2 respectivamente. a) 123 b) 152 c) 118 d) 120 PROBLEMA 04 Al hallar el MCD de ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvieron como cocientes sucesivos. 1,2,1,2y3 Hallar: m + a + p a) 13 b) 15 c) 18 d) 16 PROBLEMA 05 La suma de 2 numeros es 972 y al determinar el mcd por el algoritmo de Euclides se obtiene los restos 30 ; 7 ; a ; b y 0 donde la diferencia entre a y b es 1. Hallar el mayor numero si los 2 primeros cocientes son iguales. a) 813 b) 815 c) 818 d) 816 PROBLEMA 06 Si: MCD (A,B) = 36 MCD(A;B)= 54 Hallar: MCD(A,B,C) a) 13 b) 15 c) 18 d) 81 PROBLEMA 07 SI: MCD(5A,7B)= 30 Lic. Héctor G. Quiñonez Flores

d) 86

PROBLEMA 09 Hallar la suma de dos números que cumplan que su MCD es 9 y el producto entre ellos es 1620. a) 300 b) 520 c) 81 d) 180 PROBLEMA 10 Hallar el producto de dos números cuya suma sea 192 y su diferencia no es mayor de 30. Además su MCD es 12. a) 9730 b) 950 c) 9072 d) 9786 PROBLEMA 11 Si el MCD de 15A y 25B es 560 y el MCD de 25A y 15B es 480. Hallar el MCD(A,B) a) 3 b) 5 c) 18 d) 16 PROBLEMA 12 Calcular el MCD de :

a) b) c) d)

PROBLEMA 13 Encontrar el MCD de: ⏟ y ⏟ (4) En base 4 a)⏟ c) ⏟

(4) (4)

b)⏟ d)⏟

(8)

(4) (4)

PROBLEMA 14 Hallar cuantos nultiplos comunes tiene 9 y 6 entre 180 y 360. Prof. de Aritmetica y Algebra

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a) 13 b) 15

c) 18 d) 9

a) 30

PROBLEMA 15 Hallar “n” en los numeros:

c) 26

d) 20

PROBLEMA 22 Si MCD (̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅) = 119 Hallar: MCD(̅̅̅ ̅̅̅) a) 3 b) 5 c) 6 d) 4

Sabiendo que el MCM de dichos numeros es 12 veces su MCD. a) 3 b) 5 c) 8 d) 2 PROBLEMA 16 Hallar el MCD de ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅ , sabiendo que el cociente entre su MCM y su MCD es 221. Además se sabe que el MCM de ellos es par. a) 3 b) 5 c) 6 d) 2 PROBLEMA 17 Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que tienen 210 , 300 y 420 litros de capacidad en envases que sean iguales entre si. ¿Cuál es la menor cantidad de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no desperdiciar aceite? a) 30 b) 50 c) 60 d) 20 PROBLEMA 18 El numero de paginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si se cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuántas paginas tiene el libro? a) 530 b) 550 c) 562 d) 524 PROBLEMA 19 El MCM de las edades de dos personas es el doble de “A” y el MCD de sus edades es la tercera parte. Si “A” nacio 24 años antes que “B”. ¿Cuántos años tiene A? a) 31 b) 70 c) 62 d) 72 PROBLEMA 20 Dos números A y B tienen 16 multiplos comunes menores que 10000. Sabiendo que el MCM de A y B tiene 18 divisores y que es divisible entre 34. Calcular A + B Si se sabe que A y B tienen 9 divisores comunes. a) 630 b) 560 c) 648 d) 5620 PROBLEMA 21 Si MCD(k – 4 ; 3k – 7 ; k - 5) = k – 10 Hallar el mayor de dichos números. Lic. Héctor G. Quiñonez Flores

b) 50

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PROBLEMA 23 Si el numero de naranjas que tiene un vendedor se cuanta de 15 en 15, de 18 en 18 y de 24 en 24 siempre sobran 11. Hallar el numero de naranjas si es el menor posible. a) 320 b) 351 c) 371 d) 391 e) 357 PROBLEMA 24 Se tienen 3 rollos de tela que miden 2442m, 2772m, y 3300m de longitud. Se quiere sacar rollos mas pequeños todos de igual longitud. ¿Cuántos de estos rollos como minimo se podrán obtener en total? a) 129 b) 137 c) 141 d) 131 e) 128 PROBLEMA 25 Hallar “k” si se sabe que: MCD(210k ; 300k ; 420k) = 1200 a) 20 b) 30 c) 35 d) 40 e) 25 PROBLEMA 26 Si se sabe que el cuadrado del MCM de 2 numeros es igual al cubo de su MCD y que la suma de estos números es 180. Hallar su MCD. a) 24 b) 56 c) 36 d) 72 e) 32 PROBLEMA 27 El cociente de 2 numeros es igual a su MCD. Si su MCM es igual a 81. El menor de dichos números es: a) 9 b) 18 c) 15 d) 81 e) 36 PROBLEMA 28 La suma de los cuadrados de 2 numeros es 676 y que uno de ellos es 12 veces su MCD. Hallar la diferencia de los números. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

PROBLEMA 29

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PROBLEMA 30

PROBLEMA 31

PROBLEMA 32

PROBLEMA 33

PROBLEMA 34

PROBLEMA 35

PROBLEMA 36

PROBLEMA 37

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