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Analysis Integral indefinida

OpenMaths.com 1.1.4.7.1

Ver 01:03/02/2010

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.7 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.4

ANALYSIS

1.1.4.7.1

INTEGRAL INDEFINIDA

COPYRIGHT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla [email protected] INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

26/01/2010

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TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 2 Historia .................................................................................................................................. 2 Aplicaciones .......................................................................................................................... 3 NOCIONES BASICAS ............................................................................................................. 5 Función Primitiva .................................................................................................................. 5 Integral indefinida.................................................................................................................. 6 Propiedades de la Integral ..................................................................................................... 6 INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES ...................................................... 8 Integrales Inmediatas ............................................................................................................. 8 Otras intrales inmediatas ..................................................................................................... 11 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ........................................................................................... 12 Integración por descomposición .......................................................................................... 12 Colección de integrales por descomposición ................................................................... 12 Integración por cambio de variable (o sustitución) ............................................................. 13 Colección de integrales por cambio de variable .............................................................. 14 Integrales de la forma

∫

a 2 − x 2 dx ................................................................................ 17

Integración por partes .......................................................................................................... 19 Ejemplo 1............................................................................................................................. 19 Ejemplo 2............................................................................................................................. 19 Ejemplo 3............................................................................................................................. 20 Integrales Racionales ........................................................................................................... 21 INTEGRALES IRRACIONALES: ................................................................................. 27 INTEGRALES BINOMIAS ............................................................................................ 27 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS:......................... ¡Error! Marcador no definido. Integrales trigonométricas potenciales ................................................................................ 28 EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES ................ ¡Error! Marcador no definido.

| INTRODUCCIÓN 1

+

INTRODUCCIÓN La integración es un concepto matemático que junto con la diferenciación conforman las dos operaciones básicas del Cálculo Infinitesimal, o Cálculo diferencial o simplemente Calculus. Podemos introducir el concepto de Integral definida como el de un proceso de cálculo de áreas encerradas entre el gráfico de una curva, el eje cartesiano X y dos rectas verticales definidas por dos puntos a y b del eje X. A esta área se la denota como

∫

b

a

f ( x) dx . A este

concepto de integral como esta área también se le conoce como integral definida El concepto de término integral se puede también referir como el de antiderivada, es decir, como una función F cuya derivada sea la función f. En este caso se llama integral indefinida. Aunque la utilidad del cálculo integral es alta y variada, ésta no se presentará con toda su fuerza hasta tomar contacto con la integral definida. El objetivo de este unidad temática es mostrar las técnicas más comunes para el cálculo de integrales.

Historia Hubo matemáticos como Kepler, Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), e incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que de una u otra forma fueron precursores del concepto de integración, dado que utilizaron métodos para el cálculo de áreas que se aproximaban rudimentariamente al cálculo integral. Los conceptos de integración fueron introducidos por Isaac Newton(1642-1727) y Gottfried Leibniz(1646-1716) en los finales del siglo XVII de forma independiente. Aunque se especuló y hubo mutuas acusaciones sobre posibles plagios, finalmente es aceptado que ambos llegaron al mismo concepto por caminos separados, aunque hay que tener en cuenta que entre ellos había diálogo sobre los progresos que ambos realizaban, pero la polémica de quien estaba plagiando al otro llegó a desembocar en una enemistad entre ambos. Incluso Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo. Ambos creadores introdujeron el Cálculo Integral considerando los problemas inversos de sus cálculos. Newton debido a sus estudios sobre la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante. Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él. Partiendo del concepto de integral indefinida como básico, introdujo un sistema | INTRODUCCIÓN 2

+

completo de definiciones llevándola hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Laplace consideró las integrales con límites imaginarios. Esta rama del Cálculo Integral jugó un papel importante en la creación de la teoría de funciones de variable compleja como una de sus fuentes. Así en el transcurso del siglo XVIII se formó en el Cálculo Integral un conjunto de métodos, próximo a su actual contenido y nivel. Este Cálculo, además, dio comienzo a nuevas ramas del Análisis Matemático, como por ejemplo la teoría de las funciones especiales. De él se separaron y transformaron en campos matemáticos independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo variacional. El Cálculo integral sirvió, finalmente, como una de las fuentes de la teoría de las funciones analíticas. La definición rigurosa de la integral fue introducido por Bernhard Riemann mediante la descomposición hasta el límite de toda curva en pequeños rectángulos. A principios del siglo XIX aparecen más sofisticadas nociones de integral, y teorías asociadas como superficies integrales en espacios tridimensionales, integrales de formas diferenciales que juegan un papel fundamental en la geometría diferencial. Estas generalizaciones surgieron de las necesidades de las ciencias Físicas y juegan un papel básico en la formulación de muchas leyes físicas con especial relevancia en electrodinámica. Ya más actualmente, el concepto abstracto de Integral de Lebesgue, desarollado por Henri Lebesgue es uno de los más reseñables. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo XX, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. La actual simbología del cálculo infinitesimal también fue ideada por Gottfried Leibniz in 1675. El fue el que adaptó el símbolo integral, ∫, alargando la letra S de suma, debido a que el concepto de partida es que la integral es el sumatorio de pequeños cuadrados infinitésimos. No sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y : para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones. La notación de integral definida con límites superior e inferior fue usada por primera vez por Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa alrededor de 1819–20.

Aplicaciones Las aplicaciones más inmediatas del cálculo integral son la del cálculo de áreas bajo una curva así como los volúmenes de revolución. Sin embargo, el cálculo integral tiene una gran cantidad de aplicaciones prácticas en todas las ciencias, arquitectura e ingeniería. Citaremos algunas cuando menos curiosas: • •

Centros de gravedad. Equilibrio estático. Valor promedio de una función | INTRODUCCIÓN 3

+

• • • • •

Momentos de sistemas de masas en Física. Aplicaciones médicas para control del organismo de personas diabéticas, calculando el cambio promedio Aplicaciones térmicas que permiten controlar el flujo de calor en las viviendas situadas en determinadas zonas desérticas. Aplicaciones económicas para calcular ganancias de empresas por diferencias entre ingresos y costos. Incrementos de poblaciones de bacterias

| INTRODUCCIÓN 4

+

NOCIONES BASICAS Función Primitiva Definición: Función primitiva

→ se denomina función primitiva de f(x), a aquella otra Dada una función f : [ a, b ]  función que denotaremos por F(x), tal que F’(x) = f(x) en todo el intervalo de definición [a,b] F es primitiva de f ⇔ F’(x)=f(x) Ejemplo La función F(x) = sin x es una primitiva de f(x) = cos x puesto que (sen x)' = cos x. La función F(x) = ln │x│ es una primitiva de f(x) = 1/x puesto que ( ln│x│)' = 1/x. La función F(x) = x4 -1 es una primitiva de f(x) = x3 puesto que ( x4-1 )' = 4x3. Proposición: No unicidad de F Si F es la primitiva de f, cualquier otra función primitiva de f será de la forma F + k, donde k es cualquier constante real. Demostración Vamos a probar que si F y G son dos funciones primitivas de f ⇒ F y G se diferencian en una constante: F - G = k

F primitiva de f ⇒ F'(x) = f(x)  '  F '( x) − G '( x) = f ( x) − f ( x) = 0 ⇒ ( F ( x) − G( x) ) = 0 G primitiva de f ⇒ G'(x) = f(x)  Y la única función que tiene derivada 0 es la función constante k. Por tanto F(x) – G(x) = k Ejemplo 1 Las funciones F(x) = x4 +1 y G(x) = x4 – 1 son ambas primitivas de f(x) = 4x3 pues F’(x) = 4x3 G’(x) = 4x3 Ejemplo 2 Se sabe que F(x) = sin x es una primitiva de f(x) = cos x, por tanto, también son primitivas de f(x) las funciones G(x) = sin x + 5 H(x) = sin x + ln2

| NOCIONES BASICAS 5

+

Integral indefinida Definición: Integral indefinida de una función La integral indefinida (o simplemente integral) de una función f, y se representa por , es el conjunto de todas las primitivas de f. La expresión

∫ f ( x)dx

∫ f ( x)dx se lee “integral de f(x) diferencial x”

Definición: Integrando Dada

∫ f ( x)dx , a la función f se le denomina integrando.

Definición: Constante de integración Por lo anterior, si F es una primitiva de f se tiene que llama constante de integración.

∫ f ( x)dx = F ( x) + k , donde a k se le

Ejemplos

∫ cos x

dx = sin x + C

1

∫ x dx = ln x + C 2 ∫ x dx =

x3 +C 3

Propiedades de la Integral 1. 2.

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

Demostración 1.Si F(x) es una primitiva de f(x) ⇒ ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C1 ⇔ F '( x ) = f ( x ) Si G(x) es una primitiva de g(x) ⇒ ∫ g ( x ) dx = G ( x ) + C 2 ⇔ G '( x ) = g ( x ) Sumando (o restando) ambas igualdades nos queda

∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx = F ( x) + C

1

± G ( x ) + C2 = ( F ± G ) ( x ) + ( C1 + C2 )

(1)

Por las propiedades de la suma de derivadas: F’(x) ± G’(x) = (F ± G)’(x), con lo cual: | NOCIONES BASICAS 6

+

(F ± G)’(x) = f(x) ± g(x) lo que equivale a decir que F ± G es una primitiva de f ± g Por tanto, si ( F ± G ) '( x ) = f ( x ) ± g ( x ) ⇔

∫ ( f ( x) ± g ( x) ) dx = ( F ± G ) ( x) + C

(2)

Entonces (F+G) es una primitiva tanto en (1) como en (2) por lo que

∫ ( f ( x) ± g ( x) ) dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x) dx 2.Si F(x) es una primitiva de f(x) ⇒ ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ⇔ F '( x ) = f ( x ) Pero por las propiedades de las derivadas (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva de k · f(x). Por tanto, 

C

∫ k ⋅ f ( x)dx = k ⋅ F ( x) + C = k ⋅  F ( x) + k  = k ⋅ ∫ f ( x)dx

| NOCIONES BASICAS 7

+

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Integrales Inmediatas A partir de la tabla de funciones elementales podemos ahora completar su comprensión con los nuevos conceptos acabados de introducir. De la propia derivación de cada función elemental se deducen sus correspondientes integrales, llamadas integrales inmediatas. Es necesario aprender a usar de forma fluida estas integrales si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas. Función elemental

Derivada

Integral

Gráfico

Constante: f ( x) = k

f ' ( x) = 0

∫ kdx = kx + c

f ' ( x) = 1

x2 ∫ xdx = 2 + c

Identidad: f ( x) = x

Lineal: f(x)=mx+b

Potencial: f ( x) = x p

∫ (mx + b)dx =

f’(x)=m

f '( x) = px

mx 2 + bx + c 2

p −1

p ∫ x dx =

x p +1 +c p +1

p ∈ ; p ≠ −1

Parábola: f ( x) = ax 2 + bx + c f ' ( x ) = 2 ax + b

∫ (ax

2

)

+ bx + c dx =

ax 3 bx 2 + + cx + C 3 2

| INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 8

+

Raiz:

f ( x) = x

Inversa: 1 f ( x) = x

1

f ( x) = log a x

Exponencial: f ( x) = e x

Trigonométrica: f ( x) = cos x

x dx =

x3 3

+c

2

1

∫ x dx = ln x + c

1 x 1 f ' ( x) = ·lg a e x f ' ( x) =

f ( x) = e x

∫e

x

dx = e x + c

f ( x) = a x ·ln a

ax ∫ a dx = ln a + c a ≠ 1; a > 0

f ' ( x) = cos x

∫ senxdx = − cos x + c

x

Trigonométrica: f ( x) = sen x

∫

2 x

−1 f ' ( x) = 2 x

Logarítmica: f ( x ) = ln x

f ( x) = a

f ' ( x) =

2

f ' ( x) = − sen x

x

∫ cos xdx = senx + c

| INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 9

+

Trigonométrica: f ( x) = tg x

1 = .. cos 2 x = 1 + tg 2 x

Trigonométrica: f ( x) = arcsen x

f ' ( x) =

Trigonométrica:

f ' ( x) =

f ( x ) = arccos

x

f '( x) =

Trigonométrica: f ( x) = arctan x

f ' ( x) =

Trigonométrica: f ( x ) = arc sec x

f '( x) =

f ( x ) = arc csc x f ( x ) = arcc tan x

Valor absoluto f ( x) = x

 x si x ≥ 0 = − x si x < 0

f '( x) =

1 1− x2

−1 1− x

2

1 1+ x2

∫ f ( x)dx = − ln cos x + c

∫ arcsenxdx=

∫ arccos xdx =

1 1− x2

+c

−1 1− x2

1

∫ arctgxdx = 1 + x

2

+

+c

1 x x2 −1 −1

x x2 −1 −1 f '( x) = 1 + x2  1 si x ≥ 0 f ' ( x) =  − 1 si x
0 ⇒ se efectua el cambio:

ax 2 + bx + c = a .x + t .

c > 0 ⇒ cambio : 2. Si a < 0 ⇒  c < 0 ⇒ cambio :

ax 2 + bx + c = t.x + c ; ax 2 + bx + c = a (x − α )(x − β) = t(x − α ).

INTEGRALES BINOMIAS Son de la forma

∫ x ( a + bx ) dx m

n

donde m, n, p ∈ Q. Pueden ocurrir los casos

siguientes:

p > 0 : Desarrolla r por el binimio de Newton.  Si p ∈ Z ⇒  p < 0 : Cambio ⇒ x = t α , siendo α el m.c.m.  de los deno min adores de m y n.

De este modo se reduce el problema a una integral racional.  m + 1 n α  n  ∈ Z ⇒ Cambio : a + bx = t , siendo α el deno min ador de p.  Si  m +1

Si   n

n α n   + p ∈ Z ⇒ Cambio : a + bx = t .x , siendo α el deno min ador de p.  

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 27

+

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES Son de la forma ∫ sin n x ⋅ cos m xdx Pueden ocurrir los casos siguientes: Caso 1: n impar Hacemos el cambio de variable:  senx = 1 − t 2 .  cos x = t ⇒  − dt .  dx = 1− t2  n m ∫ sin x ⋅ cos xdx = ∫

−1

(1 − t 2 ) ⋅ t m n

1− t

2

dt = − ∫ (1 − t 2 )

n −1 2

⋅ t m dt

.... = {

n impar → n-1 par

Ejemplo 3 4 ∫ sin x ⋅ cos xdx ={

t = cos x ; dt =− sin xdx ; sin x = 1− t 2

−

(1 − t 2 ) ⋅ t 4 3

∫

−1 1− t

2

dt = − ∫ (1 − t 2 )

3−1 2

⋅ t 4 dt = − ∫ ( t 4 − t 6 ) dt = ...

cos5 x cos 7 x t5 t7 − +C = − − +C 5 7 5 7

Caso 2: n par y m impar Hacemos el cambio de variable: cos x = 1 − t 2 .  senx = t ⇒  dt .  dx = 1− t2 

Ejemplo

∫ sin

4

x ⋅ cos3 xdx = {

t = sin x ; dt = cos xdx ; cos x = 1− t 2

∫ t (1 − t ) 4

2 3

1 − t 2 dt = ∫ t 4 (1 − t 2 ) dt = ∫ ( t 4 − 2t 6 + t 8 ) dt = ... 2

cos5 x cos 7 x cos9 x t 5 2t 7 t 9 − + +C = − − + +C 5 7 9 5 7 9

Caso 3: n par m par En este caso aplicamos las fórmulas trigonométricas siguientes

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 28

+

1 − cos 2 x 2 1 + cos 2 x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 ⇔ sin 2 x = 2 cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2sin 2 x ⇔ sin 2 x =

Ejemplo 1 − cos 2 2 x x 1  1 − cos 2 x   1 + cos 2 x  2 2 2 x xdx dx sin ⋅ cos = = ∫ ∫  2   2  ∫ 4 dx = 4 − 4 ∫ cos 2 xdx = ... x 1 1 + cos 4 x x x 1 x x 1 dx = − − ∫ cos 4 xdx = − − sin 4 x + C − ∫ 4 4 2 4 8 8 4 8 32

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 29

+

U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∊∃ A⨯Bεαβηθλµξσφφδεε

·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘6⊕⊗⊛⋅♫♯ ⨁⨂✘✔×

| 30