Mathematics SL - Course Companion - SPANISH - Oxford 2015
Programa del diPloma del iB oxford L O Ñ AP S E M at e M á t i c a s NE N Ó I SR E V Ni v e l L I B R O D E L
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Programa
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diPloma
del
iB
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L O Ñ AP S E
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y
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sean
otro
no
otros
no
alumno
tenga
ilustraciones,
infor máticos,
para
o
distintos
requisitos
del
Diploma
de
conducta
improcedente
revistas.
incluyen
●
evaluación
misma
Otras manera
de
medios del
electrónicos
trabajo
correo
de
cualquier
salir
acción
beneciado
consecuencias
alumno
(por
autorizado
indebida
a
documentación
sobre
los
ejemplo,
la
durante
que
sala
un
le
permita
injustamente,
de
resultados
introducir
examen,
examen
relacionada
o
y
a
un
que
de
material
conducta
falsicar
con
CAS).
v
Capí tulo
6
Patrones,
progresiones
Contenidos y
Capí tulo
1
Funciones
series
6.1
1.1
Introducción
1.2
El
dominio
función
1.3
en
Notación
y
a
las
el
un
funciones
recorrido
plano
de
car tesiano
14
1.5
Funciones
inversas
16
6.2
Progresiónes
aritméticas
164
6.3
Progresiones
geométricas
167
6.4
La
notación
las
series
Funciones
funciones
(Σ)
y
y
170
6.5
Series
aritméticas
172
Series
geométricas
175
6.7
Series
convergentes
y
sumas
de
términos
178
ecuaciones
6.8
Aplicaciones
de
patrones
aritméticos
32
y
2.1
Resolución
de
2.2
La
cuadrática
ecuaciones
cuadráticas
geométricos
El
triángulo
ecuaciones
2.4
Grácos
2.5
Aplicaciones
de
cuadráticas
funciones
las
Pascal
y
el
desarrollo
binomio
184
41
cuadráticas
43 Capí tulo
de
de
38 del
de
181
34 6.9
fórmula
Raíces
sumatoria
21
cuadráticas
2.3
de
6.6
innitos 2
162
8
compuestas
Capí tulo
progresiones
13
Funciones
de
y
una
funcional
Transformación
Patrones
4
1.4
1.6
160
2
7
Lími tes
y
derivadas
194
funciones
cuadráticas
7.1
Límites
7.2
La
y
convergencia
196
53 n
Capítulo
3
Probabilidad
3.1
Deniciones
3.2
Diagramas
7.3
Más
7.4
La
7.5
Razones
Diagramas
reglas
7.6
La
7.7
Más
regla
la
regla
Venn
del
del
3.4
Probabilidad
3.5
Diagramas
4
espacio
condicionada
árbol
Funciones
de
Resolución
4.3
de
exponenciales
107
109
exponenciales
Propiedades
de
4.6
Propiedades
Ecuaciones
4.8
Aplicaciones
y
los
logaritmos
logarítmicas
4.7
de
los
logaritmos
logarítmicas
Capí tulo
5
de
y
las
orden
una
y
movimientos
racionales
y
221
sus
grácos
230
sobre
extremos
y
problemas
optimización
Capí tulo
8.1
8
240
Estadística
Análisis
descriptiva
unidimensional
8.2
Presentación
8.3
Medidas
de
posición
de
dispersión
8.4
Medidas
8.5
Frecuencia
8.6
Varianza
y
Capí tulo
9
de
los
datos
257
central
260
267
acumulada
desviación
254
256
271
típica
127
9.1
9.2
Más
131
9.3
Área
140
Integración
Antiderivadas
sobre
e
9.4
Teorema
9.5
Área
276
la
integral
Volumen
racionales
147
dos
de
indenida
indenidas
denidas
fundamental
Integrales
y
290
integrales
entre
9.6
lineal
y
integrales
9.7
Funciones
208
derivadas
recta
142
5.3
y
215
cambio
derivada
143
Recíprocos
La
cadena
superior
de
recíproca
5.1
5.2
la
122
funciones
logarítmicas
Funciones
función
115
118
exponenciales
exponenciales
vi
ecuaciones
exponenciales
Funciones
de
y
Funciones
4.4
derivación
200
89
103
4.5
x
85
probabilidad
100
4.2
de
77
logarí tmicas
Potencias
derivada
muestral
producto
de
4.1
la
68
de
Capí tulo
de
y
64
de
sobre y
tangente
62
de
3.3
recta
del
cálculo
cur vas
otros
con
problemas
297
302
309
313
revolución
denidas
291
318
movimiento
321
Capí tulo
10.1
10
Análisis
Diagramas
de
ajuste
10.2
La
10.3
Regresión
recta
10.4
Cómo
Capí tulo
11.1
de
de
la
339
cuadrados
correlación
del
362
triángulo
rectángulo
11.2
Aplicaciones
triángulo
11.3
la
trigonometría
de
los
ejes
de
Capí tulo
12
Vectores
12.1
Vectores:
12.2
Suma
y
12.3
Producto
12.4
Ecuación
12.5
Aplicaciones
Capí tulo
13
básicos
de
vectores
escalar
de
los
Utilización
del
13.2
Resolución
13.3
Identidades
13.4
Representación
recta
círculo
de
círculo
de
de
ecuaciones
radio
unidad
gráca
de
Traslaciones
Combinación
con
13.7
y
las
estiramientos
de
Modelizaciones
seno
seno
que
y
y
coseno
utilizan
14
Análisis
con
Grácos
hallar
de
los
hallar
la
1.5
Resolución
1.6
Grácos
forma
trigonométricas
14.1
Derivadas
14.2
Más
de
trigonométricas
práctica
14.3
Integral
14.4
Un
del
repaso
lineal
con
1.7
Resolución
Cómo
seno
al
y
tema
el
coseno
del
1.9
Grácos
máximo
Cómo
1.12
Cómo
462
1.13
Grácos
1.14
Grados
469
1.15
Grácos
1.16
Resolución
478
510
de
de
Evaluación
505
lineales
572
572
pendiente
sistemas
de
una
recta
de
ecuaciones
de
ecuaciones
cuadráticas
ecuaciones
un
punto
de
y
una
de
hallar
combina
asíntota
la
función
funciones
horizontal
una
inversa
588
trigonométricas
590
regresión
y
que
exponencial
Uso
de
la
Uso
de
transformaciones
1.19
Uso
sinusoidal
2.1
Cómo
2.2
Dibujo
de
máximos
función
deslizadores
función
cuadrática
para
la
pendiente
2.3
Puntos
Cómo
2.5
Grácos
592
594
modelizar
596
en
punto
2.4
591
para
exponencial
hallar
585
logarítmicas
ecuación
cuadrática
una
584
589
funciones
de
583
585
radianes
de
578
punto
logaritmos
1.17
un
o
exponenciales
1.18
una
cuadráticas
mínimo
577
579
funciones
hallar
de
573
574
sistemas
local
1.10
movimiento
570
ceros
funciones
hallar
1.11
500
gráca
576
1.8
496
derivadas
de
de
456
funciones
funciones
de
operaciones
pantalla
lineales
494
las
y
568
gráca
454
funciones
exploración
de
Cómo
modelizar
Capí tulo
la
1.1
Cómo
483
562
562
564
Problemas
Resolución
las
coseno
exploración
tema
de
1.3
las
557
564
del
1.4
transformaciones
funciones
funciones
de
la
556
inter na
académica
calculadora
de
556
exploración
evaluación
evalúa
407
funciones
trigonométricas
se
17
la
de
420
usando
trigonométricas
la
de
520
exploración
1.2
448
funciones
13.6
con
radio
circulares
13.5
Capí tulo
446
unidad
el
389
391
437
circulares
La
Comienzo
430
vectores
Funciones
13.1
la
16
16.7
426
vectorial
de
538
Registros
404
conceptos
diferencia
normal
Elección
380
circulares
distribución
16.5
386
sectores
La
16.6
seno
y
15.3
373
coseno
triángulo
527
Cómo
del
arcos
binomial
Capí tulo
aleatorias
Probidad
del
un
distribución
16.3
teorema
de
Variables
La
16.4
teorema
Área
15.1
369
El
518
15.2
Acerca
El
Radianes,
Distri buciones
Criterios
11.4
11.6
15
probabi lidad
16.1
11.5
11.7
de
16.2
coordenadas
trigonometría
Capí tulo
363
del
rectángulo
Utilización
en
de
345
349
Trigonometría
Trigonometría
332
334
óptimo
mínimos
medimos
11
bidimensional
dispersión
598
la
hallar
de
tangente
una
y
a
una
cur va
mínimos
derivada
derivadas
numérica
numéricas
599
600
602
603
vii
2.6
Uso
de
3.1
Cómo
la
derivada
hallar
el
segunda
valor
de
una
3.2
Cómo
Cálculo
hallar
el
área
bajo
del
producto
del
ángulo
4.2
Cálculo
5.1
Ingreso
de
listas
5.2
Ingreso
de
datos
en
cur va
escalar
entre
de
la
dos
vectores
datos
una
tabla
Dibujo
a
5.4
Dibujo
a
5.5
5.6
de
a
Dibujo
de
par tir
5.8
Cálculo
a
par tir
de
Cálculo
Uso
5.11
Cómo
5.12
Cálculo
de
5.13
Cálculo
de
de
5.14
del
los
usar
las
5.15
valores
Cálculo
de
Diagramas
de
tabla
de
Capí tulo
18
de
de
caja
y
rango
frecuencias
intercuar til
estadísticos
C
binomiales
probabilidades
conociendo
de
X
valores
de
de
Operaciones
Simplicación
de
X
2.1
Desarrollo
reducción
de
números
y
a
la
unidad
648
cientíca
650
651
de
2.2
Fórmulas
2.3
Resolución
2.4
Sistemas
dos
paréntesis
y
657
662
de
de
ecuaciones
ecuaciones
lineales
lineales
2.5
Expresiones
2.6
Resolución
666
exponenciales
de
inecuaciones
2.7
Valor
616
2.8
Suma
absoluto
617
3.1
El
3.2
Transformaciones
618
3.3
Congr uencia
619
3.4
Semejanza
620
3.5
Puntos,
rectas,
planos
planas
(bidimensionales)
resta
664
con
incógnitas
y
645
646
estimación
factorización
614
667
668
669
de
fracciones
algebraicas
670
teorema
de
Pitágoras
673
geométricas
674
676
678
y
ángulos
682
621
3.6
Figuras
622
3.7
El
propiedades
684
624
3.8
Perímetro
685
conociendo
dispersión
y
usando
dispersión
usando
Área
3.10
Volúmenes
627
3.11
Geometría
4.1
Grácos
629
4.2
Análisis
de
632
633
de
expresiones
primos,
deniciones
3.9
una
previos
círculo:
625
una
estadística
raíces
Fracciones
Notación
Conjuntos
643
de
683
r
1.1
1.4
1.10
1.11
a
probabilidades
1.2
Números
610
612
estadísticos
grácos
1.3
Conjuntos
Redondeo
bigotes
estadísticos
Conocimientos
contienen
1.8
615
640
proporción
1.9
y
frecuencias
de
parámetros
datos
Diagramas
página
que
686
cuer pos
Capí tulo
y
y
áreas
de
la
supercie
tridimensionales
688
car tesiana
692
estadísticos
de
datos
699
703
19
708
Práctica
para
la
pr ueba
1
708
Práctica
para
la
pr ueba
2
712
634
divisores
múltiplos
viii
caja
probabilidades
página
5.16
tabla
de
y
método
607
frecuencias
lista
parámetros
n
los
una
de
frecuencias
Porcentajes
608
frecuencias
lista
una
5.9
de
parámetros
una
5.10
de
diagrama
una
de
tabla
diagrama
un
de
de
El
613
histograma
un
de
lista
una
par tir
de
Cálculo
par tir
un
de
bigotes
histograma
una
de
par tir
Razón
1.7
612
un
de
Dibujo
a
5.7
de
par tir
1.6
606
de
frecuencias
5.3
1.5
integral
denida
4.1
605
y
Respuestas
716
Índice
784
637
y
decimales
638
temático
Acerca
Este
libro
cubre
programa
capítulo
de
del
de
completamente
Matemáticas
está
lección
libro
dividido
con
las
en
el
Nivel
actual
Medio.
secciones
siguientes
en
para
Cada
formato
características:
Sugerencias
Consejos
Teoría
exploraciones
están
examinador
Curiosidades
Exploración
lo
en
sí
poderoso
misma
utilidad
en
otras
reconocida
resultan
y
como
desarrollaron
ha
cesado
instr umento
que
de
disciplinas.
las
de
un
valioso,
objeto
enseñanza
5000
desde
y
posee
estudio
Los
matemáticas
aproximadamente
no
libro
del
y
por
como
y
su
nuevo
de
través
cada
su
profesor
lo
guiará
a
Donde
en
sus
así
el
especial
de
los
con
contenidos
evaluación
en
las
Laurie
un
de
equipo
en
pr ueba
2
de
la
de
el
se
y
equipo
a
la
vida
El
Se
de
incluye
Fensom
35
ha
de
años.
Se
en
hojas
que
integra
que
los
el
más
1
talleres
y
y
revisión
Nota:
como
ser
los
enseñado
IB
en
la
el
IB,
Kemp
ha
del
director
y
Se
un
página
trabajar
existe
orden
se
muestra
En
el
según
también
alter nativo.
mediante
TI-Nspire.
de
de
el
la
uso
sitio
ampliación
ejercicios
matemática
El
enfoque
recursos
se
para
ha
utilizado
útiles
de
20
y
años.
Es
de
web
y
es
como,
ejercicios
un
por
resueltos.
campo
creciente
contextualizado
tecnológicos
adapten
a
permite
contextos
toda
la
de
vida.
utilizado
los
el
en
alumnos
el
estilo
matemáticos.
estilo
los
a
formal
de
exámenes
prepararse
del
IB
También
para
se
ha
redacción
del
IB,
para
para
dichas
ayudar
a
pr uebas.
en
jefa
del
currículo
contenidos
y
de
además
talleres
es
en
responsable
línea
para
el
de
IB.
examinadora
examinadora
NM.
Es
Paul
La
para
el
Rondie
ha
enseñado
matemáticas
para Programa
del
Diploma
en
el
Sevenoaks
además
como
durante
10
años.
Ha
sido
examinador
par te jefe
de
equipo
de
examinadores
para
ambas
currículo.
cursos
durante
de
aproximadamente
como
escuela
coordinador
Nexus
enseñado
Diploma
del
área
de
en
Matemáticas
evaluación
inter na.
de
del
revisión
contenidos
de
Ha
y
moderador
integrado
currículo
talleres
NM
y
en
es
el
comité
responsable
línea
para
de
el
de
IB.
Inter national
para
desempeñó
en
matemáticas
durante
20
matemática
Inter national
examinador
se
una
y
Stevens
ha
enseñado
el
programa
de
Singapur.
Ruamr udee
Es
pueden
ejemplos
los
términos
empleado
alumno
matemáticas
trabajó
del
desempeñó
Programa
Es
sección
Conocimiento.
pero
per tinente,
alumnos
matemáticas
Edward
incluye
del
seguir
material
cambiante.
Jill
School
cada
la
problemas
del
podrían
enseñado
por
y
cotidiana,
examinadores
del
Matemáticas
se
en
El
aplicaciones
autores
Matemáticas
ha
matemáticas
integrados
alumno
los
educación
pr uebas
Jim
las
ha
matemáticos
libro
que
los
pr ueba
de
de
generar
el
y
del
y
comprensión.
Teoría
de
calculadora
School
responsable
diseñaron
dicultad,
análisis
y
las
amplia
desarrollo
resolución
Colorado,
principal
en
crítico.
Buchanan
Denver,
Se
la
en
de
inter na.
conceptos
preguntas
Acerca
de
los
la
pensamiento
identica
la
énfasis
de
aplicaciones
también
en
ética
propuesta
resulta
aprendizaje
comprensión
la
la
aquellas
(www .oxfordsecondary .com/ib-matematicas),
hace
desarrollo
través
el
posibilidad
la
área
y
la
ejemplo,
curriculares
todos
requisito
puesto
de
y
CPG.
de
capítulo
de
secuencia
solución
sumerios
aprendizaje
años
de
belleza
entonces.
alumno
actualizaciones
cober tura
a
de
una
avanzar
habilidades
la
y las
las
para
aplicación
La El
emplearse
claramente
nal
El
histórica
matemáticas
más
exámenes
Conocimiento
de
Las
de
inter nacionalismo,
al del
puede
preguntas
conanza
para
del
las
práctica
reforzar
Investigaciones
que
la
School
de
Matemáticas
el
comité
de
en
en
años.
el
Tailandia.
NM
del
revisión
el
9
Trinity
años.
High
Es
y
líder
del
de
el
Programa
School,
examinadora
responsable
comité
para
de
talleres
revisión
responsable
College
del
en
Euless,
para
y
ha
del
Texas,
examen
Jill
de
en
durante
Matemáticas
formado
currículo.
el
Diploma
NM,
par te
fue
del
lectora
Cálculo
AP
Board.
1
Funciones
1
OBJETIVOS
DEL
2.1
Funciones:
2.2
Grácos
CAPÍTULO:
dominio,
de
recorrido;
funciones
funciones
hechos
a
mano
y
compuesta,
con
identidad
calculadora
de
e
inversa
pantalla
gráca
−1
(en
adelante,
CPG),
T ransformaciones
2.3
de
transformaciones
Antes
Qué
de
sus
máximos
grácos,
y
mínimos,
traslaciones,
asíntotas,
simetrías,
el
graco
de
(x)
f
estiramientos
y
compuestas
comenzar
necesitamos
saber
Comprobemos
nuestras
habilidades
y
1
Situar
puntos
en
un
eje
1
a
Sitúe
estos
puntos
en
un
plano
cartesiano.
2
de
D
C
coordenadas
A(, 3),
B(5, −3),
C(4, 4),
D(−3, 2),
1
A
Por
ejemplo:
Situar
los
E(2, −3), 0 –2
puntos
A(4, 0),
1
2
3
4 2
–1
B(0, −3),
y
F(0, 3).
x
–1
b
Escriba
C(−, )
y
A
las
–2
1,5
D(2, )
coordenadas
B
de
–3
E
H 1
en
un
plano
puntos A
los
car tesiano. –4
0,5
hasta 2
Sustituir
valores
en
una
H
expresión
Por
ejemplo:
B
D
C
0
Sabiendo que x = 2, y = 3 –2
x
–1
1
2
3
–0,5
y z = −5, hallar el valor de:
–1
2
a
4x
+
2y
y
b
−
G
3z
–1,5
a
4x
b
y
+
2y
=
4(2)
+
2(3)
=
8
+
6
=
14 F
2
3
3z
Resolver
Por
–2
2
−
=
(3)
−3(−5)
ecuaciones
ejemplo:
=
9
+
15
=
24
lineales
Resolver
6
−
4x
2
=
Sabiendo
que
x
=
4,
y
=
6
y
z
=
−10,
halle:
2x
0
+ 5
2
a
4x
+
3y
z
b
−
3y
c
y
−
z
d
yz
6
−
4x
=
0
,5
=
x
⇒
6
=
4x 3
⇒
x
=
Resuelva: x
,5
y
a
3x
−
6
=
6
5x
b
+
7
=
−3
4
Usar
la
CPG
2
para 4
obtener
el
+ 6 = 11
c
6
gráco
4
Obtenga
el
gráco
de
estas
funciones
en
la
de 2
CPG una
0 –6
Por
en
el
dominio
dado.
Después,
ejemplo:
–4
x
–2
2
4
aproximadamente
6
las
funciones
en
Representar
–4
a
y
=
2x
b
y
=
10
−
3,
−4
≤
x
≤
7
grácamente
–6
f (x)
=
2x
−
,
–6
≤
x
≤
productos
de
ejemplo:
−2
2
x
+
x
Funciones
−
x
≤
x
≤
3
5
Desarrollar
y
=
x
–
3,
–3
≤
(x
+
3)
(x
−
Desarrolle:
2) a
(x
+
4)
(x
+
5)
c
(x
+
5)
(x
−
4)
2
=
≤
binomios 5
Por
2x,
2
c
Desarrollar
−
6 –8
5
dibuje
función
6
b
(x
−
1)
(x
−
3)
papel.
La
Estación
Espacial
Inter nacional
ha
estado
orbitando
la
Tierra
[
Estación
Espacial
Internacional
más
de
5
¿cuántos
espacial
se
sepa
veces
la
no
en
por
hemos
es
tan
qué
día
durante
visto?
difícil
Localizar
como
dirección
más
a
de
años;
simple
podría
mirar.
0
vista
parecer,
Aunque
la
sin
la
embargo,
estación
siempre
estación
y
viaja
cuando
a
una
–
velocidad
a
de
aproximadamente
Gracias
a
brillantes
se
sus
y
desplaza
,
7,7 km s
390
enormes
ello
por
hace
el
está
km
alas
que
cielo
en
una
por
las
encima
solares,
sea
de
es
bastante
órbitas
de
una
fácil
más
nuestras
de
las
bajas
posibles,
cabezas.
“estrellas”
distinguirla
a
más
medida
que
noctur no.
d
La
relación
t
=
da
la
velocidad
de
la
estación
espacial,
donde Uno
22 744
t
es
el
tiempo
medido
en
horas
y
d
es
la
distancia
recorrida
en
de
los
primeros
matemáticos
estudiar
el
en
concepto
kilómetros. de
A
esta
de
relación
cómo
una
matemática
función
se
le
llama función
matemática
puede
y
es
emplearse
solo
para
un
ejemplo
describir
función
lósofo
Nicolás
(1323–1382).
con
cantidades
situación.
variables
En
el
francés
Oresme
T rabajó
una
fue
este
capítulo
exploraremos
las
funciones
y
cómo
se
las
puede e
aplicar
a
una
amplia
variedad
de
situaciones
dependientes
independientes.
matemáticas.
Capítulo
1
3
.
Introducción
Investigación:
En
algunos
negocios
Si
y
hay
así
2
países
las
es
las
funciones
saludos
costumbre
personas
personas,
a
se
habrá
que
saluden
1
con
las
durante
manos
las
estrechando
saludo;
si
hay
3
reuniones
las
de
manos.
personas,
habrá
3
saludos,
sucesivamente.
a
¿Cuántos
b
Copie
y
saludos
complete
Número
de
habrá
esta
entre
4
personas?
tabla:
personas
Número
de
saludos
Quizás
2
resulte
intentar
grupo
3
esto
de
de
la
En
este
útil
con
un
compañeros
clase.
4
5
6
7
8
9
caso,
no
10 corresponde
los
Sitúe
c
los
puntos
en
un
plano
car tesiano
con
el
puntos,
de
personas
en
el
eje
y
el
número
de
saludos
para
x
el
número
de
saludos,
en
el
eje
una
fórmula
S,
en
con
número
Relaciones
Distancia
de
y
(m)
personas,
n
funciones
T iempo
La
(s)
tabla
muestra
empleado 100
por
el
un
tiempo
estudiante
15
para 200
34
300
60
400
88
correr
cier tas
distancias.
Otra
forma
ordenados:
ordenado
Las
Los
tiene
paréntesis
Una
5),
dos
relación
En
en
Funciones
que
información
34),
(300,
componentes
la
es
forma
un
(x,
por
y
en
una
es
mediante pares
(400,
un
88).
orden
coma
y
Cada
par
especíco.
encerradas
y)
conjunto
palabras,
estos
60)
dadas
separadas
componen
otras
tanto
esta
(200,
están
en
relación
números
especial.
4
representar
componentes
entre
➔
de
(00,
una
de
pares
relación
cualquier
números
ordenados.
no
gr upo
vengan
tienen
de
nada
números
expresados
números
función
enteros
del
trabajando
y
solo
Escriba
porque
número
estamos
d
unir
de
es
como
una
pares.
(discretos).
➔
El
es
dominio
el
componentes
El
dominio
de
anteriormente
➔
El
los
es
pares
{00,
es
recorrido
componentes
El
recorrido
{5,
34,
60,
Ejemplo
Halle
el
de
conjunto
(valores
el
formado
x)
de
ordenados
200,
300,
conjunto
(valores
los
de
pares
de
los
por
primeras
ordenados.
mencionados
Las
400}.
“el
formado
y)
las
pares
de
los
ordenados
por
pares
las
llaves
{
}
conjunto
simbolizan
de”.
segundas
ordenados.
mencionados
anteriormente
es
88}.
dominio
a
{(1, 4),
b
{(−2, 4),
(2, 7),
y
el
recorrido
(3, 10),
(−1, 1),
de
las
siguientes
relaciones:
(4, 13)}
(0, 0),
(1, 1),
(2, 4)}
Respuestas
a
El
dominio
es
El
recorrido
El
dominio
El
recorrido
{1,
2,
3,
4}
Primeras
componentes
de
los
pares
ordenados
es
{4,
7,
10,
13}
Segundas
componentes
de
los
pares
ordenados
b
➔
Una
{−2,
es
función
elemento
del
es
es
del
misma
Ejemplo
¿Cuáles
no
1,
0,
una
de
la
puede
primera
1,
2}
4}
relación
dominio
recorrido
función
{0,
−1,
de
la
función.
haber
No
repetir
4
dos
y
en
matemática
función
Para
dos
1
valores
pares
que
una
asocia
un
relación
ordenados
haya
dos
ordenados
exactamente
que
pares
los
aunque
que
a
cada
elemento
sea
una
tengan
la
componente.
de
los
siguientes
conjuntos
de
a
{(1, 4),
(2, 6),
(3, 8),
(3, 9),
(4, 10)}
b
{(1, 3),
(2, 5),
(3, 7),
(4, 9),
(5, 11)}
c
{(−2, 1),
(−1, 1),
(0, 2),
(1, 4),
pares
ordenados
son
funciones?
(2, 6)}
Respuestas
a
No
es
una
función
componente
b
en
el
Es
una
3
Es
aparece
la
dos
veces
dominio.
función.
componentes
c
pues
una
función.
componentes
Todas
son
Todas
son
las
primeras
distintas.
las
primeras
distintas.
Obser ve
que
algunos
de
no
los
impor ta
valores
de
que
y
sean
iguales
Capítulo
1
5
Ejercitación
¿Cuáles
1
estos
a
{(5, 5),
b
{(−3, 4),
c
{(4, 1),
d
{(−1, 1),
e
{(−4, 4),
f
{(1, 2),
Para
2
de
y
(4, 4),
(4, 2),
(3, 3),
diagrama,
si
la
(2, −1),
(−2, 8)}
(5, 2)}
identique
el
una
dominio
y
el
recorrido
función.
y
b
y
funciones?
(3, −1)}
(−3, 7),
es
son
(2, 8)}
(4, 2),
relación
ordenados
(4, 5)}
(1, 7),
(−3, 6),
(3, 2),
pares
(1, 1)}
(4, 4),
(1, 6),
(−4, 5),
de
(2, 2),
(0, 5),
(4, 3),
(0, 3),
(2, 2),
cada
conjuntos
(−1, 6),
establezca
a
1A
2
Escriba
las
2
1
coordenadas
como
1
pares
1
Revea
3
la
emplea
entre
La
2
tabla
un
la
pueden
Es
posible
relación
rectas
4
de
página
estudiante
de
la
ver ticales
es
que
y
2
o
3
la
cantidad
distancias.
tiempo
el
y
empleado
funciones
recta
una
cr uzan
la
de
¿Es
tiempo
la
una
que
relación
función?
vertical
de
no
muestra
ciertas
el
relaciones
pr ueba
par ticular
que
correr
recta
representar
usar
en
4
recorrida
la
1
–1
la
distancia
prueba
Se
3
ordenados.
x
0 –1
x
0
ver tical
función,
en
planos
para
mediante
car tesianos.
determinar
el
trazado
si
una
de
Las
el
gráco.
coordenadas
plano
deben
➔
Una
relación
cor ta
al
recta
gráco
una
en
función
más
de
si
un
cualquier
punto.
Esta
recta
es
ver tical
no
al
la prueba de la
car tesiano
sus
nombres
matemático
René
de
las
siguientes
relaciones
son
funciones?
y
a
b
y
y
c
y
=
|x|
0 0
x
0
Funciones
x
x
{
6
francés
Descar tes
(1596 – 1650).
vertical
Ejemplo
¿Cuáles
es
y
Continúa
en
la
página
siguiente.
Respuestas
a
y
b
c
y
y
Cor ta
0
a
Es
una
función.
Ejercitación
1
¿Cuáles
a
0
x
de
Es
b
una
x
x
0
función.
No
c
es
una
dos
veces.
función.
1B
las
siguientes
relaciones
b
y
son
funciones?
y
c
y
T race
o
3
imagine 2
rectas 1
0
x
0
x
ver ticales
x
en
el
–1
gráco.
d
e
y
y
f
y
Si
el
gráco
“punto
tiene
lleno”
•,
un
esto
2
indica
que
el
valor
1 x
0
está 0
1
incluido
en
la
x
función.
x
0
Si
el
gráco
2
–1
tiene
un
“punto
–2
hueco”
que
el
, °
valor
incluido
en
no
la
indica
está
función.
y
y
y
g
esto
h
i
3 2
2
2 1
1
1
0
x 1
2
3
4
0
5
x 1
–1
x
0 –4
–3
–2
–1
–1
–2
–2
–2
2
Use
la
CPG
para
dibujar
aproximadamente
los Indique
grácos
de
las
siguientes
cor ta
a
y
e
¿Representan
=
x
f
¿Serán
b
y
todas
=
x
+
todos
las
en
su
gráco
dónde
la
recta
rectas.
2
c
ellos
rectas
y
=
2x
−
funciones?
funciones?
3
d
y
Explique
¿Por
=
su
al
eje
x
y/o
al
eje
y.
4
respuesta.
qué?
Capítulo
1
7
Dibuje
3
aproximadamente
la
región
y
mundo
diferentes
−2}
para
(–∞,
4]
x
es
menor
x
está
o
igual
que
4
{x : x
≤
3)
comprendido
entre
{x : −3
y
3
no
a
3
incluyendo
a
−3
≤
x
0,
la
ecuación
tendrá
dos
raíces
reales que
distintas.
con
una
dos
ecuación
raíces
reales
2
●
Si
b
●
Si
b
–
4ac
=
0,
la
ecuación
tendrá
–
4ac
0
△
=
signica
b
–
dos
4ac.
raíces
reales
distintas.
raíces
distintas.
emo
2
Halle
tiene
el
valor
dos
o
los
raíces
valores
reales
de
k
para
los
cuales
la
ecuación
2x
–
kx
+
3
=
0
distintas.
Respuesta
2
b
–
4ac
>
0
Para
que
la
ecuación
tenga
dos
raíces
2
(–k)
–
4(2)(3)
>
0
distintas,
se
necesita
que
△
>
0.
2
k
–
24
>
0
2
k
>
24
Para
|k|
>
|k|
>
Puede
24
usar
el
valor
absoluto
más
acerca
opere 2
con
la
raíz
cuadrada
información
cuando
en
del
valor
vea
la
sección
desigualdad. k
>
6
2
o
k
0,
la
ecuación
tendrá
dos
raíces
reales
distintas.
–
4ac
=
0,
la
ecuación
tendrá
dos
raíces
reales
iguales.
–
4ac
0,
x
y
a ln x,
sus
x
grácos:
> 0
a
Relación
x
x
entre
estas
lna
funciones:
log
x
x a
a
= e
; log
a
=
x;
a
=
x,
x
> 0
a
x
2.7
Resolución
2.8
Aplicaciones
y
de
1
ecuaciones
de
resolución
an
Qué
de
las
de
la
habilidades
ecuaciones
forma
a
referidas
en
x
=
b,
a
la
a
y
=
b
representación
situaciones
de
la
potencias
saber
gráca
sencillas
con
exponente
1
funciones
nuestras
4
Evaluar
habilidades
Evalúe:
⎛ 4
ejemplo:
de
real
Comprobemos
positivo
Por
vida
omnzr
necesitamos
Evaluar
de
3
⎛ ⎞
⎞
3
⎜ ⎝
4
⎟
⎜
⎠
⎝
⎟ 2
⎠
4
3
=
3
×
3
×
3
×
3
=
8 3 3
⎛
Por
ejemplo:
0,001
2 ⎞
Evaluar ⎜ ⎝
⎟ 5
⎠
3 3
2
2
2 × 2 × 2
=
2
5
8
=
=
3
5× 5× 5
5
Convertir
125
números
a
la
forma
exponencial
2
Indique
n
Por
ejemplo:
Hallar
n
sabiendo
que
2
el
valor
de
n
en
n
=
28
7
5
estas
ecuaciones:
n
=
343
=
625
3
=
gráco
de
243
7
28
=
2
,
entonces
n
=
n
7
2
3
Transformar
grácos
3
Transforme
el
y
=
x
Por
ejemplo:
Dado
el
gráco
de y
gráco
de
=
x
,
dibujar
2
aproximadamente
el
y
=
y 2
y
=
x
+
3
8
6
4
2
2
y
=
x
x –3
100
–2
–1
Funciones
0
1
2
3
exponenciales
y
logarítmicas
x
para
2
2
+
3
obtener
el
gráco
de
y
=
(x
− 2)
Facebook,
la
gigantesca
Usuarios
y
red
de
Facebook
600
celebró
aniversario
de
200
en
con
su
sexto
)senollim
social,
febrero
más
de
ne(
millones
Había
00
en
de
crecido
millones
agosto
de
desde
los
registrados
2008,
300
200
100
0
y
90-ciD
80-ciD
70-ciD
60-ciD
ascenso
50-ciD
desde
un
400
40-ciD
experimentado
enorme
usuarios.
sedadinU
450
500
x
diciembre Fechas
de
2004,
millón
cuando
de
solo
tenía
miembros.
(Fuente:
http://www .facebook.com/press/info.
php?timeline) Este
gráco
número
se
ha
Un
un
de
muestra
usuarios
incrementado
crecimiento
rmno
pendiente
de
en
con
este
el
Facebook
el
tiempo.
tipo
(cier tamente
xonn .
aumenta
crecimiento
número
de
cómo
de
a
todo
usuarios
la
par
Si
de
momento
en
ese
se
la
es
sigue
tasa
de
hasta
el
febrero
recorrido
crecimiento.
aproximadamente
de
de
la
La
200)
es
cur va,
tasa
su
de
proporcional
al
momento.
Capítulo
4
101
Un
buen
modelo
para
representar
los
datos
sobre
los
usuarios Podemos
de
Facebook
también
usar
es: el
modelo
para
hacer
x
n
=
,32
×
, predicciones
donde
meses
n
es
el
número
después
de
de
usuarios
diciembre
de
en
millones
y x
es
el
número
de
del
2004.
de
futuro
acerca
crecimiento
Facebook.
Este
procedimiento
se
conoce
x
Podríamos
usar
la
fórmula
n
=
,32
×
,
para
estimar
el
número como
de
usuarios
en
una
fecha
determinada
o
hallar
la
fecha
en
la
que
se ¿Qué
alcanzó
un
número
determinado
de
“extrapolación”.
problemas
cuando
Encontraremos
y
su
opuesto,
muchos
el
otros
ejemplos
rmno
de
crecimiento
(donde
xonn
la
de
exponencial
este
a
medida
que
seguimos
el
recorrido
de
la
se
usan
tipo
pendiente
otros
Mom
Gw
Imagine
que
doblado
50
Doble
1
toma
una
propuso
un
veces.
qué
gran
¿Qué
hoja
de
sucede
este
problema
pedazo
altura
papel
de
cree
(de
al
papel
que
plegar
en
y
su
lo
el
libro
dobla
alcanzaría
cualquier
tamaño)
a
estimar
futuro?
factores
cur va).
necesitamos
ingón:
modelos
para
crecimientos
¿Qué
decrece
surgen
usuarios.
el
considerar?
papel
The
una
Tipping
y
otra
Point.
vez
hasta
haberlo
plegado?
por
la
mitad
tantas
veces
como
sea
posible.
2
Complete
espesor
Puede
la
del
siguiente
plegado
suponer
que
tabla
para
mostrar
el
número
de
dobleces,
el
número
Se
hoja
equivale
a
1
muestran
a
continuación
Número
de
×
de
papel
tiene
un
espesor
de
aproximadamente
10
km.
Número
de
dobleces
capas
0
1
los
primeros
Espesor
registros:
(km)
T an
alto
como
−7
1
×
10
Una
hoja
de
papel
−7
1
2
2
×
10
2
4
4
×
10
3
8
4
16
−7
Una
tarjeta
de
crédito
5
6
7
8
9
3
¿Cuántos
dobleces
siguientes
4
102
T an
Apenas
¿Qué
como
más
altura
Funciones
necesitaría
hacer
para
que
el
plegado
maneras?
alto
una
alto
tendrá
capas
y
formado.
cada
−7
que
de
mesa
que
el
exponenciales
un
hombre
plegado
y
después
logarítmicas
de
50
dobleces?
resulte
de
las
0,1
mm,
el
Probablemente
consiga
hacer
cerca
de
seis
o
siete
dobleces
antes
de ¿Depende
que
no
pueda
plegar
más
el
papel.
En
el
séptimo
doblez
el
proceso
ya
estará
tan
gr ueso
como
este
libro,
después
de
3
el
aproximadamente
la
altura
de
una
mesa
y
después
de
5
papel
más
alto
que
aproximadamente
Después
de
la
3
y
el
plegado
“números
de
la
50
hombre.
3 m:
dobleces
millones
Tierra
El
de
un
de
km.
¡la
el
Después
altura
papel
Esto
es
de
una
tendría
de
7
casa
una
tendrá
de
dos
altura
aproximadamente
tamaño
una
con
el
será que
mucho
del
plegado del
tendrá
este
plegado
altura
de
se
comienza?
Inténtelo
pisos!
aproximada
la
distancia
entre
Sol.
de
de
papel
es
capas”
progresión
un
de
son
ejemplo
papel
una
de
forman
función
del
crecimiento
exponencial.
una rogrón.
número
de
Los
Los
términos
dobleces, n,
donde
n
f
(n)
=
f
(n)
es
En
2
una fnón rmno xonn
este
capítulo
exponenciales
.
La
aprenderemos
y
sus
inversas,
más
acerca
de
funciones
llamadas fnon ogr m .
pon
potencia
es
una
multiplicación
forma
reiterada
abreviada
de
un
de
número
representar
por
sí
una
mismo.
5
La
El
expresión
3
en
esta
,
3
por
ejemplo,
expresión
es
la
representa
y
el
5
es
3
×
el
3
×
3
×
3
×
3.
xonn
Es
más
sencillo
4
También
podemos
usar
una
variable
como
base,
por
ejemplo:
escribir
x
que
4
x
=
x
×
x
×
x
×
x
x
Propiedades
de
las
×
x
×
x
×
x
potencias
Multiplicación
5
Simplicar
5
x
x
3
×
x
3
×
x
=
(x
=
x
=
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x)
x
×
×
x
(x
×
×
x
x
×
×
x)
Quitar
x
los
paréntesis
8
5
Por
lo
tanto,
x
3
×
x
(5 + 3)
=
x
8
=
x
Obser ve m
➔
a
n
×
a
que
en
m+n
=
a
5
x
3
×
son
x
las
iguales.
podemos
5
x
bases
No
simplicar
3
×
y
,
por
usando
5
x
dos
3
×
y
ejemplo,
esta
5
=
x
propiedad.
3
y
Capítulo
4
103
División Simplicar
5
Simplicar
x 5
÷
x
x
x
÷
x
x 2
x
=
= x x
lo
tanto,
3
x
=
x
5
Por
factores
comunes
x x
3
x
los
3
x
÷
x
×
x
=
x
(5−3)
x
=
x
=
x
Obser ve
que
no
2
podemos
5
m
➔
a
n
÷
m
a
=
x
n
de
5
5
pues
las
bases
son
iguales.
potencia
Simplicar(x
(x
y
a
no
Potencia
simplicar
3
÷
3
)
3
)
=
(x
=
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
x)
×
x
=
x
×
×
x
(x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x
x)
×
×
x
(x
×
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x
×
x)
x
5
=
x
5
Por
lo
tanto,
m
➔
(a
=
n
(x
3
)
5×3
5
=
x
mn
)
=
emo
a
2
Desarrolle
(2xy
3
)
No
olvide
elevar
a
que
la
debe
potencia
R indicada 2
(2xy
3
)
2
=
(2xy
2
)
×
(2xy
los
números
2
)
×
(2xy
)
No
es
necesario
mostrar
este
paso que
guran
en
el
inter medio. paréntesis 3
=
3
2
×
2
x
×
(y
3
)
3
=
8x
Elevar
al
cubo
cada
uno
de
los modo
del
Recuerde
1
2
x
×
2
x
4
hace
de
3p
×
2p
q
( xy
2
)
×
(x
3
y)
(x
2
y
)(xy
)
las
constantes
2
÷
7
x
2a
3
÷
2a
7
2a
x
3
÷
(2a)
además
entresí,
de
y
variables. 2
2 xy
Simplique:
3
3
La
(x
4
2
)
(3t
potencia
3
3(x
cero
2
Simplicar
3
)
x
2
÷
x
2
x
2
=
x
2
0
=
x
2
x
2
x
= 1
Pero 2
x
0
En
consecuencia,
Funciones
x
=
exponenciales
y
logarítmicas
(los
3
3
5
x
y
multiplicar
Simplique:
con
e
4
números) 2
x
2 2
2
2
104
lo
factores
4A
Simplique:
3
que
paréntesis los
1
mismo
6
y
factores
Ejercitación
del
2
y
2
)
2
(−y
3
)
las
0
➔
a
=
Cualquier
T oda
base
distinta
de
cero
elevada
a
la
potencia
0
es
igual
a
.
nula
es
Exponentes
la
1
1
2
2
potencia
a
x
a
× x
es
Entonces, 1
1
,
ro
2
x
× x
2
x
0
2
x
×
x
= (
x )
con
¿Cómo
=
¿qué
1 2
x
sucede
Pero
cero.
1
+ 2
la
cero
1.
cualquier
potencia
1
Usando
no
racionales Cero
Simplicar
a
igual
base
0
?
deberíamos
x
decidir
a
qué
es
igual?
1
2
Por
lo
x
tanto,
=
x
¿Quién
1
1
3
De
forma
3
x
similar,
1
3
3
× x
debería
decidir?
× x
=
x
y
3
x
×
3
x
×
3
3
x
= (
x )
=
x
1
3
y
por
lo
3
tanto
x
=
x
Puede
suponer
1
siempre
n
que
a
es
n
a
➔
=
a
positiva,
cuando
considere
las
raíces
Raíces
pares 3
que
3
2
x
6
=
3
2
x
×
2
=
x
a.
x
6
Dado
de
6
Simplicar
x
x
2
×
2
× x
x
2
× x
2
=
x
6
3
=
x
1
m n
m
a
➔
=
emo
Sin
usar
(
m n
m
n
a
)
=
(
)
a
n
=
a
la
calculadora,
Evaluar
evalúe:
signica
“calcular
4
el
valor
de”.
1
⎛
2
36
1
⎞
3
⎜ ⎝
⎟ 27
⎠
R
1 1
n
2
36
=
36
=
Dado
que
Dado
que
6
n
a
=
a
4 4
1
⎛ ⎛
1
⎞
3
⎜
⎞ 1
⎛
⎞
n
3
m
⎟
= ⎜ ⎝
27
⎟
⎜ ⎜
⎠
⎝ ⎝
27
⎟
⎟
⎠
⎠
(a
mn
)
=
a
4
1
⎛
⎞
= ⎜
⎟
3
⎝
27
⎠
4
⎛ 1 ⎞ =
⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
1 =
81
Capítulo
4
105
Exponentes
negativos
3
Simplicar
x
5
÷
x 3
x
x
×
x
×
x
5
÷
x
= x
×
x
×
x
× x × x
1
= x × x
1
= 2
x
3
También
5
x
÷
x
3−5
=
x
−2
=
x
1 2
En
consecuencia,
x
= 2
x
1
Necesita
n
➔
a
aprender
las
= n
propiedades
a
potencias
emo
están
de
Sin
usar
la
calculadora,
evalúe:
2
⎛
3
⎞
−2
6
⎜ ⎝
⎟ 4
⎠
R
1
1
1
2
n
6
Usar
=
=
a
=
2
n
36
6
a
2
⎛
3
1
1
⎞
=
= ⎜ ⎝
⎟ 4
2
⎠
⎛
3
⎜ ⎝
⎞
⎟ 4
⎠
9
⎛
⎜ ⎝
⎞
⎟ 16
⎠
16 =
9
Ejercitación
4B
✗ 1
Evalúe:
1
1
2
3
2
9
3
125
64
2 2
⎛
3
2
8
8
⎞
3
⎜
⎟
⎝
27 ⎠
Evalúe: 2
−3
1
5
2
4
32
2
4
⎛
3
(
2
)
64
⎞
3
3
⎜
⎟
⎝ 125 ⎠
106
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
81
en
de
pues
el
las
no
cuadernillo
fórmulas.
emo
Aquí
Simplique
estas
expresiones:
“simplique”
1
2
0
−3
5d
2
6x
÷
(2x
3
3
)
⎛
6
27 a
9v
⎜
⎝
signica
2
⎞
que
deben
16w
escribir
solamente
R
0
usando
exponentes
0
5d
=
5
×
1
−3
=
2
6x
estas
⎠
expresiones
se
⎟
4
÷
5
Usar
3
(2 x
−3
)
=
6x
a
=
m
6
÷
8x
6
Usar
positivos.
1
n
(a
mn
)
= a
3 9
m
x
=
=
Usar
a
n
÷
m
a
=
–
n
a
9
8
4 x
1
1
1 1
3
6
6
=
( 27a
= 27
)
n
6
3
3
27 a
m
m n
3
(a
a
Usar
)
= (a
)
2
= 3a
1
1
2
⎛
4 2
⎞
9v
⎜
4
⎝ 16w
⎞
⎜
⎟
1
2
n
Usar
=
⎟
⎛ 16w
⎠
2
9v
⎝
a
= n
a
⎠
1
4
(16w
2
2
)
4w
=
= 1
3v 2
(9v
Ejercitación
Simplique
1
2
)
4C
estas
expresiones
exponenciales:
1
1
2
( 64 a
16 x
)
q
estas
3
8
En
este
ejercicio,
3
asegúrese
de
que
sus
q
Simplique
27c
1, 5
2
2
3
q
8
4
6
3
d
2
4
respuestas
exponentes
expresiones:
tengan
positivos.
3
x
a
3
.
2
2
6x
y
÷
2
y
4
2
b
Las
2
1
2
a
3
25 x
b
Roón
ecuaciones
3
8x
on
exponenciales
son
xonn
ecuaciones
en
las
que
la
x
incógnita
es
un
exponente;
por
ejemplo:
5
=
25. y
x
Se
puede
escribir
emo
ecuación
exponencial
en
la
forma a
=
b
x –1
Resuelva
una
3
5x
=
3
R
x
1
3
x
5x
=
− 1 =
Ambos
3
5x
miembros
potencias
de
exponentes −1 =
3,
son
de
por
la
lo
ecuación
tanto,
los
son
dos
iguales.
4 x
1
x
=
− 4
Capítulo
4
107
emo
Para
este
ejemplo
3x+1
Resuelva
3
=
81. y
muchas
de
siguientes
las
preguntas,
R
necesita
aprender
3 x +1
3
=
81
=
3
estas 3 x +1
Escribir
81
como
potencia
de
3 0
2
Igualar 3x
potencias.
4
3
+ 1 =
los
0
=
1
1
4
=
2
2
=
2
3
=
4
3
1
=
3
=
3
9
2
3
2
x
=
1
2
3x
3
exponentes
3
=
8
3
=
16
3
=
32
3
=
64
=
128
=
1
7
=
5
7
=
27
=
81
=
243
=
1
=
7
= 1
4
2
4
5
2
5
6
Ejercitación
4D
2
7
2
Resuelva
1
en
x
estas
ecuaciones.
0
x
✗
5
1−2x
2
=
32
3
=
0
243 1
5
2
x
2 x
2x−1
3
=
27
5
−
25
=
0
2
5
5
x
7
2
=
25
7
=
125
7
=
625
3
1 1
1
= 4
49
Resuelva
2
en
x−3
3
9(3
5
x
estas
ecuaciones.
2−x
=
3x
3
5
2
x−2
=
25
1 3 x +1
2−3x
)
=
x−1
=
4
x
9
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
x +1
Resuelva 8( 2
3
emo
x
)
=
2
2
3
5
Resuelva
3x
= 24
R
3
Dividir
ambos
miembros
por
3
5
3x
= 24
3
Multiplicar
5
x
el
exponente
por
a
recíproco,
dado
que
−
b ×
= 1
−
5
b 3
5 3
(
5
x
)
3
= 8
5
3
x
(
=
2
)
3 3
Reemplazar
−5
x
=
2
1 x =
32
108
su
=8
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
8
por
2
a
=
49
=
343
3
Ejercitación
Resuelva
1
en
4E
x
estas
ecuaciones.
4
5
2x
=
162
x
−
−2
x
=
27x
16
8x
=
0
f
27x
3
=
−2
(8x)
−3
=
Resuelva
2
32
−3
81x
en
x
estas
=
64
ecuaciones.
1
1
2
3
x
=
2
x
3
4
x
= 12
2
1
=
4
x
= 16
1
3
1 4
5
x
3x
f
=
=
6
8
Resuelva
3
en
x
estas
ecuaciones.
3
2
2
3
x
=
125
=
192
x
=
2
3
x
.
216
Fnon
Grácos
y
9x
=
16
xonn
propiedades
de
las
funciones
exponenciales
➔
Una
fnón
es
xonn
una
función
de
la
T ambien
forma
podemos
x
x
f
(x)
donde
=
a
escribir
es
un
número
ingón:
Usando
una
f
:
x
→
a
a
los
positivo
grácos
calculadora
aproximadamente
real
de
de
pantalla
grácos
de
(o
sea, a > 0)
y
funciones
gráca
estas
(en
a
≠
exponenciales
adelante,
funciones
.
CPG),
1
dibuje
exponenciales.
Piense
acerca
del
x
y
=
3
y
=
5
dominio,
recorrido,
x
intersecciones
con
los
x
y
=
10 ejes,
Obser ve
los
tres
y
grácos.
cada
¿Qué
puede
deducir
acerca
de
la
función
asíntotas,
forma
compor tamiento
gráco
de
cuando
exponencial, x
tiende
a
innito.
x
f (x)
=
a
,
cuando
Cualquiera
sea
el
a
>
1?
valor
positivo
de
a
en
la
y
x
formula
la
f (x)
misma
=
a
,
el
gráco
siempre
x
tendrá
f(x)
=
e
forma.
x
f (x)
=
a
es
una
fnón
rmno
xonn
1 (0, 1)
0
x
Capítulo
4
109
x
El
de
omno
f
(x)
=
a
es
el
conjunto
de
todos
los
números
reales.
El
rorro
es
el
conjunto
de
todos
los
números
reales
positivos.
La
El
cur va
no
gráco
valor
La
de
x
cor ta
se
con
puntos
base
es
veamos
está
a
al
eje x
a
medida
que
el
eje
y
es
.
(0,)
y
(,a)
per tenecen
al
gráco
de
la
⎟
siempre
los
una
CPG,
creciente.
grácos
comprendida
funciones
más
⎠
ingón:
Usando
vez
f
gráco
a
el
,
−1 ,
⎝
Ahora
cada
1 ⎞
⎜
El
x
decrece.
⎛
función
eje
aproxima
intersección
Los
al
de
las
entre
0
funciones
y
cuando
la
.
grácos
dibuje
exponenciales
de
funciones
aproximadamente
los
grácos
exponenciales
de
2
estas
exponenciales.
x
y
=
3
es
equivalente
–x
y
=
3
y
=
5
x
1
y
⎛ 1 ⎞
=
o
–x
y
=
x
3
⎜
⎟
⎝
3 ⎠
,
–x
y
=
10
por
x
¿Qué
puede
deducir
acerca
de
la
función
exponencial,
f (x)
=
a
lo
está
a
>
Cualquiera
1,
sea
a
par tir
el
valor
de
estos
positivo
tres
de
grácos?
a,
el
gráco
de
−x
f
(x)
=
tendrá
a
–x
f(x)
=
siempre
esta
forma.
y
a
(0, 1) 1
x
0
x
f
110
(x)
=
a
es
Funciones
una
fnón
exponenciales
y
rmno
logarítmicas
xonn .
la
base
comprendida
,
entre
cuando
tanto,
0
y
1.
a
La
función
Una
de
las
exponencial
bases
exponenciales
que
es
la
hallaremos
base
ingón:
Cuando
se
invier te
en
base e
con
frecuencia
en
funciones
e
interés
dinero
se
compuesto
ganan
intereses.
n t
r
⎛
Usamos
la
A = C
fórmula
⎜
monto
nal
expresada
número
¿Qué
1
total
ocurre
Una
del
(capital
en
+
persona
las
n
es
el
C
es
el
intereses,
capital,
número
de
capitalizaciones
invier te
durante
¿Cuánto
calcular
donde
A
es
el
r
es
la
tasa
capitalizaciones
de
en
interés
el
año
y
t
el
años.
cuando
100%
para
⎟ n ⎠
intereses),
decimales,
de
⎞
1 +
⎝
1
dinero
1
libra
se
esterlina
a
hacen
una
más
tasa
de
y
más
frecuentes?
interés
año.
tendrá
si
se
capitaliza
solo
n
1
una
vez
en
el
año?
100
P
=
1,
r
=
100%
=
=
1,
=
1,
t
=
100
1
1 ⎞
⎛
A
=
C
⎜
1
+
¿Cuánto
C
=
1,
2
(dado
que
r
=
1
y
n
=
1)
1 ⎠
⎝
=
⎟
r
dinero
=
tendrá
100%
=
1,
n
si
se
=
4,
capitaliza
t
=
trimestralmente?
1
4
1 ⎞
⎛
A
=
⎜
1
+
⎝
2
Copie
y
⎟
=
2,44140625
4 ⎠
complete
Capitalización
la
siguiente
Cálculo
tabla:
Monto
cifras
nal
que
(escriba
lee
en
la
todas
las
calculadora)
1
1 ⎞
⎛
1 +
Anual
⎜
2
⎟ 1
⎝
⎠
2
1 ⎞
⎛
Semestral
1 + ⎜
2,25
⎟ 2
⎝
⎠
4
1 ⎞
⎛
T rimestral
1 + ⎜ ⎝
⎟ 4
2,44 140 625
⎠
Mensual
Semanal
Diaria
Horaria
Cada
minuto
Cada
segundo
Capítulo
4
111
El
monto
nal
crece
a
medida
que
el
inter valo
entre
capitalizaciones Un
decrece,
pero
los
incrementos
resultan
cada
vez
menores
y
el
no
nal
El
converge
valor
de
e
hacia
es
e
es
un
con
número
aquí
Con
e
=
un
una
y
un
hay
embargo,
828
de
459
obvio
obser ve
1
2,7828
y
lo
es
matemáticas,
denomina e
un
expresado
como
fracción
ni
como
decimal
exacto.
número
puesto
que
tiene
ramas.
mno
20
cifras
045
en
esta
onn
ro
esta
36…
secuencia
que
le
da
de
un
1
+ 2 × 1
decimales,
235
serie
1
+ 1
sus
se
rron.
patrón
1
1 +
de
en
valor
aproximado
de e:
1
+ 3 × 2 × 1
números.
valor
+
+ ...
4 × 3 × 2 × 1
5 × 4 × 3 × 2 × 1
Jacobo Podría
irracional
ser
orrnn.
281
Sin
=
este
puede
ejemplo.
No
e
varias
aproximación
2,718
A
impor tante
mmá,
hrmoo
He
en
valor.
aproximadamente
excepcionalmente
aplicaciones
un
número
monto
preguntarse
acerca
de
la
conexión
entre
esta
serie
y
el
valor
Bernoulli
de e
(1654-1705) [La
página
de
Teoría
del
Conocimiento
al
nal
de
este
capítulo
uno reexiones
y
discusiones
sobre
la
belleza
en
las
fue
contiene
de
los
grandes
matemáticas.]
matemáticos
familia
x
➔
El
gráco
de
la
función
exponencial f
(x)
=
e
es
un
gráco
de
crecimiento
exponencial
y
el
gráco
de f
(x)
=
e
de
es
un
decrecimiento
suizo.
investigaba
problema
del
exponencial.
interés
y
compuesto,
y
trató
de
hallar
el
x
f(x)
=
n
e
=
1 ⎞
⎛
–x
y
límite
e
de ⎜
1 +
⎝
cuando
a
n
innito.
teorema
(0, 1) 1
para
x
0
n ⎠
tiende
Usó
del
x
0
el
y
límite
binomio
debía
3.
Este
Transformaciones
de
funciones
la
forma
general
del
gráco
de
una
grácos
otras
112
del
capítulo
funciones
Funciones
usar
para
las
reglas
ayudar nos
exponenciales.
exponenciales
y
de
logarítmicas
a
2
fue
como
la
transformaciones
dibujar
aproximación
función hallada
podemos
estar
entre
exponenciales primera
conocemos
que
proceso
considerado
exponencial,
el
demostrar
comprendido
que
⎟
1 (0, 1)
Ahora
la
gráco
el
de
origen
Cuando
x
de
Bernoulli,
de
aproximadamente
para
e.
➔
f
(x)
de
o
f
±
k
es
(x),
hacia
k
una
traslación
unidades
hacia
ver tical
y
arriba
(x
de
o
f
±
k)
(x),
hacia
es
k
una
traslación
unidades
la
hacia
y
horizontal
la
=
(x)
es
=
f(x
es
simetría
del
la
de
f
eje
pf
(x)
es
un
eje
=
f
(x),
de
f(x)
=
f(x)
–f(x)
de
f
(x) =
f(–x)
y
=
estiramiento
ver tical
razón
=
2f(x)
p
y
f
(qx)
es
un
f(x)
y
y
de
2)
x
simetría
del
=
y
(x)
y
respecto
+
derecha.
la
respecto
(−x)
2
izquierda
y
f
+
f(x)
y
−f
f(x)
abajo.
y
f
=
=
f(x)
estiramiento y
=
f(2x)
1
horizontal
de
f
(x),
de
razón
y
=
f(x)
q
emo
y
x
El
diagrama
En
los
muestra
mismos
ejes,
el
gráco
dibuje
de
f
(x)
=
2
8
aproximadamente
x−2
el
gráco
de
g (x)
=
6
2
4
2
x
0 –3
R
y
–1
Hallamos
g(x)
traslación
de
la
1
mediante
f(x)
de
2
3
una
unidades
hacia
derecha.
8
El
gráco
de
g(x)
pasará
por
el
punto
6
1
⎛ 4
⎜ ⎝
0,
⎞ ⎟
4
⎠
2 (0, 1)
Ambos
x
0 –3
–1
1
3
4
5
más
al
grácos
eje
x
a
se
aproximan
medida
que
el
más
valor
y
de
1
4
x
decrece.
Capítulo
4
113
Ejercitación
1
Dado
el
4F
gráco
de
aproximadamente
claramente
las
f
(x),
el
f (x)
=
sin
gráco
usar
de
intersecciones
x
y
la
g (x)
con
calculadora,
en
los
los
ejes
mismos
y
las
x
2
g (x)
=
ejes,
mostrando
asíntotas.
x
2
+
3
f (x)
=
x
3
g (x)
=
3
y
y
8
8
6
6
4
4
2
2
x
0 –3
dibuje
–1
1
x
0 –3
3
–1
1
–2
–2
–4
–4
–6
–6
–8
–8
–10
–10
x
3
x
⎛ 1 ⎞
⎛
1 ⎞ x
f
(x )
= ⎜ ⎝
⎟ 2
(x )
= ⎜
⎠
⎝
⎟ 2
f (x)
=
x+1
e
g (x)
y
8
8
6
6
4
4
2
2
x
–1
–3
(x )
–1
1
–2
–4
–4
–6
–6
–8
–8
–10
–10
x
f
= ⎜ ⎝
⎟ 3
=
2
⎝
f
(x )
⎟ 3
2 x
⎛ 1 ⎞ f
⎜
⎠
3
x
x
⎛ 1 ⎞
(x )
x
0
3
–2
⎛ 1 ⎞
e
y
0 –3
=
⎠
=
⎜
⎛ 1 ⎞
g(x )
⎟
=
⎝ e ⎠
⎠
y
⎜
⎟
⎝ e ⎠
y
8
8
6
6
4
4
2
x
0 –3
2
114
Indique
Funciones
–1
–3
–1
–2
–4
–4
–6
–6
–8
–8
–10
–10
el
dominio
y
exponenciales
el
y
recorrido
logarítmicas
x
0
3
–2
de
cada
1
función g (x)
3
de
la
pregunta
1.
.
pro
o
ogr mo
3
Obser ve
2
es
Por
la
esta
base
lo
igualdad:
y
tanto,
escribimos
3
es
el
=
8
exponente
decimos
como
2
que
8
log
=
el
o
el
ogr mo
ogr mo
en
base
2
de
8
es
3
y
lo
Log
de
3.
es
la
abreviatura
logaritmo.
2
En
general,
siempre
que
a
>
0:
x
➔
Si
b
=
a
entonces
log
b
=
x
a
o,
La
si
b
es
a
a
la
posibilidad
simplicar
emo
Evalúe
los
potencia x,
de
entonces x
cambiar
enunciados
de
una
es
el
forma
referidos
a
logaritmo
a
la
otra
de b en
base a
permite
logaritmos.
log
125.
5
Respuesta
x
=
log
125
Escribir
‘x
=’
expresión
logarítmica
5
x
5
=
125
=
5
exponencial
=
3
Igualar
x
5
x
Cambiar
la
ecuación
a
la
f or ma
3
emo
Evalúe
los
exponentes
0
log
4. 64
Respuesta
x
=
log
4
64
x
64
3
(4
=
4
x
)
Cambiar
a
la
f or ma
1
exponencial
3
=
4
Escribir
3x
=
1
Igualar
x
=
y
1
64
los
despejar
como
4
exponentes
x
3
Ejercitación
✗ 1
Evalúe
log
estas
49
4G
expresiones:
log
7
2
Evalúe
5
5
estas
log
64
log
1 9
2
expresiones:
1
1
4 2
log
3
log
125 5
log
8 32
log
3 3
81
Capítulo
4
115
emo
Evalúe
log
4.
4
Respuesta
x
=
log
4
Escribir
‘x
=’
expresión
logarítmica
4
Cambiar
x
4
=
4
=
1
la
ecuación
a
la
f or ma
exponencial x
1
Igualar
En
general,
➔
log
a
para
=
cualquier
valor
de a,
el
los
exponentes
logaritmo
en
(4
=
base
a
4
)
de
a
es
a
emo
Evalúe
log
1.
5
Respuesta
x
=
log
1
Escribir
la
ecuación
en
f or ma
5
exponencial
x
5
x
=
1
=
0
Cualquier
tanto,
➔
el
log
número
logaritmo
=
(distinto
de
en
de
0)
elevado
cualquier
base
a
la
es
0
es
igual
a
,
por
0.
0
a
Ejercitación
✗
1
4H
Evalúe:
log
6
log
6
log
1
log
8
Algunas
1
¿Qué
log
que
no
ocurre
log
se
1
f
log
puede
cuando
1
b
logarítmicas
las
n
n
2
expresiones
signica
10
10
están nn, lo
cual
evaluar.
intenta
evaluar
la
siguiente
expresión?
(−27)
3
Primero
x
=
escriba
log
la
ecuación.
(−27)
3
Luego,
reescriba
la
ecuación
en
forma
exponencial.
x
3
Esta
=
−27
ecuación
Solamente
➔
log
b
no
no
tiene
podemos
está
solución.
hallar
denido
logaritmos
para
cualquier
a
116
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
de
números o o
base a
si
b
es
negativo.
lo
.
¿Cuál
2
es
el
valor
de
log
0?
3
Primero
x
escriba
=
log
una
ecuación.
0
3
Reescríbala
en
forma
exponencial.
x
3
Esta
➔
=
0
ecuación
log
0
no
no
está
tiene
solución.
denido.
a
El
ejemplo
emo
3
ilustra
otra
propiedad
de
los
logaritmos.
5
Evalúe
log
2
2
Respuesta
5
x
=
log
2
Escribir
la
ecuación
logarítmica
2
x
2
Reescribir
5
=
en
f or ma
exponencial
2
Resolver x
=
5
n
➔
log
(a
)
=
n
a
Resumen
Dado
a
>
de
las
propiedades
de
los
logaritmos
0
b
●
Si
●
log
●
log
x
=
a
entonces
log
x
=
b
a
a
=
=
0
a
a
●
log
b
no
está
denido
si
b
es
negativo
a
●
log
●
log
0
no
está
denido
a
n
(a
)
=
n
a
emo
Halle
el
valor
de
x
si
log
x
=
5.
2
Respuesta
log
x
=
5
=
x
Reescribir
=
32
Resolver
2
5
2
x
Ejercitación
1
Escriba
estas
2
x
=
ecuaciones
Escriba
x
=
en
forma
estas
log 2
8
exponencial
logarítmica:
5
2
f or ma
4I
9
en
x
=
ecuaciones
x
=
4
3
en
log 3
forma
27
x
=
b
10
x
=
a
x
=
log
exponencial:
x
=
log 10
1000
b
a
Capítulo
4
117
Resuelva
3
log
x
estas
=
ecuaciones:
3
log
4
x
=
4
log
3
64
=
2
x
1
log
6
=
log
x
x
=
−5
2
2
.
Fnon
ogr m
ingón:
funciones
inversas
x
¿Qué
clase
de
función
inver tiría
una
función
exponencial
tal
como
f
:
x
a
2
?
x
↦
x
Copie
y
x
complete
−3
esta
−2
tabla
1
de
0
valores
1
para
2
la
función
y
=
2
3
x
f :
f
es
la
2
signica
función
que
que
a
1 x
y
cada
x
le
asigna
2
8
x
La
fnón
los
valores
Copie
y
de
nr
de
x
e
complete
y
=
2
hará
que
se
intercambien
y.
esta
tabla
de
valores
para
la
inversa
de
la
aproximadamente
el
x
función
y
=
2
1
x 8
y
−3
Usando
estas
tablas
de
valores,
dibuje
gráco
x
de
y
=
¿Qué
Ahora
2
y
el
de
su
inversa
en
el
mismo
sistema
de
ejes
coordenados.
obser va?
hallaremos
la
fórmula
del
gráco
de
la
función
inversa.
x
➔
Para
x
e
y
hallar
y
algebraicamente
reordene
la
la
expresión,
función nr,
intercambie
despejando y.
f :
x
↦
2
manera
es
de
otra
escribir
x
Para
obtener
la
función
inversa,
f
y
=
2
y
es
x
−
,
de
f
:
x
:
2
x
Escriba
y
=
2
x
=
2
x
=
ylog
el
exponente
al
y
log
Intercambiar
2
2
Aplicar
x
e
y
logaritmos
en
base
2
en
ambos
2
que
hay
a
base
la
obtener
Por
lo
tanto,
y
=
log
x
Dado
que
log
2
2
=
2
1
Por
lo
tanto,
f
:
x
log
x 2
x
➔
En
general,
si
f
:
x
a
1
entonces
f
:
x
log
x a
x
y
=
x
log
es
la
inversa
de
y
=
a
a
118
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
que
elevar
miembros
x
2
para
El
gráco
de
y
=
log
x
es
la
simetría
del
x
gráco
y
y
=
a
a
x
de
y
=
a
respecto
de
la
recta
y
=
x y
=
x
=
log
(0,1) y
x a
x (1,0)
➔
Una
función
logarítmica,
f
( x)
=
log
x,
tiene
las
siguientes
a
Se
atribuye
a
John
propiedades: Napier
●
El
dominio
●
El
recorrido
es
el
conjunto
de
todos
los
números
reales
(1550–1617)
positivos. muchos
es
el
conjunto
de
todos
los
números
de
primeros
●
La
●
El
cur va
no
cor ta
al
eje
●
Cor ta
●
El
y
es
al
una
eje
gráco
x
es
asíntota
en
Transformaciones
Una
vez
que
logarítmica,
examinar
podemos
grácos
Ejercitación
1
Dada
la
¿Diría
creciente.
de
conocemos
los
ver tical.
.
siempre
la
funciones
forma
usar
de
trabajos
y sobre
eje
los
reales.
lo
que
otras
general
que
inventó
los
logaritmos
los
descubrió?
o
que
logarítmicas
del
gráco
aprendimos
funciones
logaritmos.
en
el
de
una
capítulo
función
para
logarítmicas.
4J
función
f
( x)
=
log
x,
describa
la
y
a
transformación
requerida
en
cada
caso y
=
log
x a
para
obtener
el
g ( x)
=
log
g ( x)
=
log
gráco
(x)
−
de
g(x).
2
a
0
x (1, 0)
(x
−
2)
a
g ( x)
=
2log
x
a
PREGUNTA
2
Dibuje
TIPO
EXAMEN
aproximadamente
el
gráco
de y
=
−2log(x
−
)
sin
usar Cuando
la
la
indicada,
Incluya
en
su
gráco
las
intersecciones
con
los
dos
3
no
está
los
logaritmos
ejes son
(si
base
calculadora.
en
base
10.
existen).
Dibuje
aproximadamente
el
gráco
de
y
=
log
(x
+
)
+
2
y
2
rotule
4
El
claramente
dibujo
muestra
cualquier
el
asíntota
gráco
de
y
=
en
log
el
x.
gráco.
y
a
Halle
el
valor
de
a
(27, 3)
0
(1, 0)
x
−1
5
Sabiendo
que
f
(x)
=
log
x,
halle
f
(2).
3
Capítulo
4
119
Logaritmos
en
base
y
inversa
10
x
=
log
x
es
la
de
y
=
0
.
Este
es
un
logaritmo
impor tante
0
puesto
que
es
calculadora.
logaritmos
en
lugar
uno
A
los
de
los
logaritmos
decimales,
de
únicos
y
que
en
podemos
base
podemos
0
omitir
se
la
hallar
los
con
conoce
base
y
solo
la
como
escribir
log x
x
log 0
La
calculadora
emo
Use
la
tiene
una
tecla
para
“log”.
calculadora
para
evaluar
log
2
con
una
aproximación
de
3
cifras
decimales.
Respuesta
log
2
=
*Logarithms
1.1
0,301
con
aproximación
de
log
una
3
0.30103
(2)
10
cifras
decimales.
1/99
Logaritmos
El
ogr mo
naturales
nr,
log
x
(log
en
base
e),
es
el
otro
logaritmo
e
impor tante.
Escribimos
ln x
en
lugar
de
x.
log
La
calculadora
tiene
una
tecla
e
para
“ln”.
emo
ln 4
Use
la
calculadora
para
evaluar
Asegúrese
de
cerrar
ln 2 el
Respuesta
contrario,
ln 4 In(4)
2
número
la
In(2)
hallará
ln
⎜
4
⎞ ⎟
⎝ In2 ⎠
1/99
Ejercitación
1
Use
la
4K
calculadora
aproximación
log 3
de
3
para
cifras
log 4
(cs).
ln
f
log 5
ln 5
2
2
log 3
h
exponenciales
y
5
4
ln 4
(log 3)
Funciones
expresiones
signicativas
log 5
120
estas
4log 2
g
evaluar
logarítmicas
de
lo
calculadora
2.
⎛
ln 2
después
4;
*Logarithms
1.1
=
paréntesis
del
con
una
➔
y
=
ln x
es
la
inversa
de
la
x
función
exponencial
y
=
e
x
y
y
=
e
y
=
x
(0, 1) y
=
In x
x (1, 0)
Esta
relación
nos
da
x
➔
log
(a
tres
log
)
=
x
y
impor tantes:
x a
a
resultados
=
x
a
x
ln(e
lnx
)
=
x
y
e
=
x
log (0
emo
3
log x
)
=
x
y
(0
)
=
x
Resuelva
de
x
estas
cifras
ecuaciones
dando
su
respuesta
una
aproximación
signicativas.
x
x
e
con
=
2,3
ln x
=
–1,5
10
=
0,75
log x
=
3
Respuestas
x
e
=
2,3
x
ln(e
)
=
ln2,3
=
0,833
x
ln x
=
–1,5
=
e
lnx
Escribir
(3 cs)
en
de
logaritmo
natural
–1,5
e
f or ma
x
Usar
ln
(e
)
=
x
y
evaluar
lnx
x
=
0,223
(3 cs)
Usar
(e
)
=
Usar
log(10
Usar
10
x
y
evaluar
x
10
=
0,75
=
log 0,75
x
log(10
x
)
x
log x
=
=
−0,125
3
=
x
=
emo
=
x
y
evaluar
3
log x
10
)
(3 cs)
log x
10
=
x
y
evaluar
Intercambiar
x
e
y
1000
1 2x
Dada
f (x)
=
e
,
−1
halle
f
(x).
3
Respuesta
1 2x
f
(x)
=
e 3
1 2x
y
=
e 3
1 2y
x
=
e 3
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
4
121
2y
3x
=
e
2y
ln(3x)
=
ln e
ln(3x)
=
2y
x
Usar
ln(e
)
=
x
1
ln(3x)
=
Despejar
y
y
2
1 –1
Entonces,
f
(x)
=
ln(3x),
x
>
0
2
Ejercitación
1
Resuelva
4L
estas
signicativas
ecuaciones
donde
sea
dando
x
e
e
las
respuestas
x
=
1,53
con
3
cifras
3
cifras
necesario.
x
e
=
0,003
e
=
1
1 x
x
=
5e
=
0,15
2
2
Resuelva
estas
signicativas
ecuaciones
donde
sea
dando
las
respuestas
con
necesario.
1 x
x
10
=
2,33
x
10
=
0,6
x
10
=
1
10
= 2
3
Halle
4
x
si:
log x
Sin
=
usar
log
2
la
log x
calculadora,
12
log
5
Sin
5
−1
evalúe
log x
estas
=
0
log x
4
ln
usar
la
calculadora,
3
evalúe
e
estas
e
expresiones:
1
5
ln e
−5,1
ln4
5
=
expresiones:
5
5
=
log 100
ln1
ln e
ln
3
e
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
2x−1
−1
6
Dada
f
(x)
=
e
,
7
Dada
f
(x)
=
e
f
(x)
=
ln 3x,
halle
f
(x)
e
indique
su
dominio.
0,25x
,
−2
≤
x
≤
4,
indique
el
dominio
y
el
recorrido
−1
de
f
−1
8
Dada
9
Dadas
x
>
0,
halle
f
(x).
x
f
(x)
=
ln(x
−
1),
x
>
1,
y
g(x)
=
2e
,
halle
(g
f
)(x).
°
.
pro
Podemos
deducir
las
o
propiedades
ogr mo
de
los
p
ecuaciones
exponenciales
x
=
p
x
entonces
p
a
a
=
log
y
x
por
lo
tanto
=
log
y
=
=
a
y
q
=
log
y a
p
xy
e
q
e
=
a
y
q
q
a
× a
xy
=
p
p+ q
=
a
+ q
a
122
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
a
logaritmos
a
par tir
de
las
y
de
log
aquí
xy
=
log
a
Esta
en
expresión
x
+
log
a
resulta
y a
verdadera
para
logaritmos
en
cualquier
base,
consecuencia: Obser ve
log xy
➔
log
x
+
log
y
=
log
≠
que
log x
×
log y
xy x
y
que
log
log
x
log
y
≠
y
x p
=
a
q
p
÷ a
=
q
a
y
x
por
lo
tanto
log
=
p
− q
a
y
x
y
de
log
aquí
=
log
a
x
− log
a
y a
y
x
➔
log
x
–
log
y
=
log y
n
p
x
=
(a
n
pn
)
=
a
n
por
lo
log
tanto
x
=
pn
a
n
y
de
log
aquí
x
=
n log
a
x a
n
➔
n
log
x
Podemos
=
log
x
incluso
deducir
1
➔
el
siguiente
resultado
clave
a
par tir
de
la
tercera
propiedad.
1
log
=
log
a
x
=
−1 ×
log
a
x
=
− log
x
a
a
x
Todas
base
estas
y
por
propiedades
lo
propiedades
tanto
puesto
Matemáticas
emo
las
NM
que
del
se
cumplen
bases
no
pueden
para
logaritmos
omitirse.
aparecen
en
el
en
Necesita
cuader nilo
cualquier
aprender
de
estas
fórmulas
de
IB.
1
Exprese
log
5
+
log
2
36 2
log
10
como
un
único
logaritmo.
2
2
Respuesta
1
log
5
+
log
2
36
log
2
10 2
2
1
n
2
=
log
5 + log 2
=
log
36
5 + log
30 2
10
n log
2
6 2
2
= log
log
2
log
x
= log
a
x a
10 2
log
10
log x
+ log
y = log xy
2
x =
log
3 2
log x
log y =
log
y
Capítulo
4
123
Ejercitación
1
Exprese
log
4M
como
5
+
un
log
único
6
logaritmo:
log
24
3log
–
log
2
2log
f
log
8
–
4log
2
1
log
49
x
–
2log
y
x
–
log
y
–
log
2
g
2
log
x
+
Exprese
2 log
como
y
un
−
3 log
único
xy
logaritmo:
3
log
6
+
2log
2
3 − log 2
4
log
40
− log
3
2
15 + 2 log 3
3
5
log
4
+
2log
a
3 − 2 log a
6
2ln3
–
ln18
a
1
3ln2
–
2
4log
f
x
+
log
2
y
− 5 log
2
z 2
3
3
Halle
el
log
valor
2
+
de
log
6
cada
expresión
18
(cada
log
6
24
–
respuesta
log
2
3
es
un
número
log
2 8
2
+
entero).
log
32 8
1
2log
3
+
log
6
24
log
36 − log
15 + 2log
5
6
2
emo
0
Sabiendo
que
a
=
log
x,
b
=
log
5
⎛
log
escriba
en
⎟ 2
⎜ y
y
c
=
log
z, 5
⎞
x
⎜
5
y 5
3
función
de
a,
b
y
c
⎟
z
⎝
⎠
Respuesta
⎛
⎞
x
2
log 5
⎜
⎟ 2
⎜ y
3
=
log
x
log
5
y
3
z
5
⎟
z
⎝
⎠
1
2
2
=
x
log
y
(log
5
3
+
z
log
5
)
5
1
=
log
x
− 2log
5
y
− 3log
5
z 5
2
1
=
a − 2b
− 3c
2
Ejercitación
PREGUNTA
1
4N
TIPO
Sabiendo
que
p
EXAMEN
=
log
a
y
q
=
log
2
y/o
q
b,
halle
expresiones
2
para: b 3
log
ab
2
log
a
a
2
b
log
b
2
log 2
a
124
Funciones
exponenciales
y
log 2
2
logarítmicas
en
función
de
p
z
Sean
2
x
=
log P,
y
=
log Q
y
z
=
log R.
3 2
⎛
Exprese
log
Escriba
QR
donde
estas
a
y
b
en
⎟
2
⎝
3
⎞
P
⎜
función
expresiones
son
de
x,
y
y
z
⎠
en
números
la
forma a
+
blog x
enteros
100
log10x
log
log
x
log
2
x
PREGUNTAS
TIPO
x
EXAMEN
a
27
Sabiendo
4
que
y
,
log
escriba
y
en
la
forma
y
=
pa
+
q
3
81
donde
p
y
q
son
números
enteros
a
determinar.
1
log
Escriba
5
en 3
la
forma
a
+
blog
2
x
donde
a
y
b
son
enteros.
3
27 x
x xln2
Muestre
6
Obser ve
que
que
la
e
=
2
pregunta
6
de
la
ejercitación
4N
ilustra
el
resultado
general
x
xlna
=
a
e
Cambio
A
veces
de
se
fórmula
necesita
que
Suponga
base
cambiar
permite
que
quiere
la
base
de
un
logaritmo
y
existe
una
hacerlo.
evaluar
log
a
utilizando
logaritmos
en
b
otra
base,
c
y
Si
y
=
log
a
entonces
a
=
b
b
y
Comenzamos
Aplicamos
con
a
=
logaritmos
b
en
base
c
en
ambos
miembros:
y
log
a
=
log
c
log
b
c
a
=
ylog
c
b
c
log
a c
y
= log
b c
Pero
y
=
log
a
por
lo
tanto
b
Esta
➔
Fórmula
del
cambio
de
útil
log
a
la
c
log
a
fórmula
resulta
base: puesto
mayoría
que
de
las
=
b
log
b
calculadoras
solo
c
Esta
fórmula
cambiar
un
se
puede
logaritmo
usar
a
para
evaluar
cualquier
un
logaritmo
o
para
calculan
logaritmos
base
o
10
en
e.
base.
Capítulo
4
125
emo
Use
la
fórmula
del
cambio
de
base
para
evaluar
log
9
con
3
cifras
4
signicativas.
Respuesta
log 9
log
9
Cambiar
=
el
logaritmo
a
la
base
10
Para
logaritmos
en
4
log 4 base
Usar =
la
calculadora
para
evaluar
la
1, 58 (3 cs)
omite.
respuesta
emo
log
3
=
a
y
log
x
6
=
b
x
Halle
log
6
en
función
de
a
y
b
3
Respuesta
log
6 x
log
6 =
Usar
la
f ór mula
del
cambio
de
base
3
log
3 x
b = a
Ejercitación
1
Use
con
la
4O
fórmula
una
del
cambio
aproximación
de
de
3
base
cifras
para
evaluar
estas
expresiones
signicativas.
⎛ 1 ⎞
log
7
log
5
2
⎜ ⎝
log
⎟ 7
(0,7)
3
⎠
7
log
e
log
7
2
7
3
Sabiendo
que
log
x
=
y,
exprese
log
3
PREGUNTA
3
Si
log
2
TIPO
log
=
x
y
log
log
6
=
y,
log
24
log
y
su
=
en
función
2
log
12
f
log
función
CPG
log
Sabiendo
de
x
e
=
para
x
dibujar
y
=
3
aproximadamente
2log
estos
x
5
que
log
log
a
=
b,
exprese
y
a
en
función
y
=
log
de
a
16
2
y
=
log
1
a
Funciones
exponenciales
y
=
log
1
16
4
126
y
2
4
e
y:
4
y
x
36
2
de
2
6
4
5
halle
6
a
Use
en
a
6
2
4
x 9
EXAMEN
a
10,
y
logarítmicas
a
b
grácos.
el
10
se
.
eon
Resolución
Podemos
En
la
eran
usar
sección
iguales
resolver
de
xonn
ecuaciones
logaritmos
4.2
o
para
resolvimos
podían
ecuaciones
ecuaciones
ecuaciones
En
exponenciales
ogr m
exponenciales
resolver
igualarse.
y
esta
en
exponenciales.
exponenciales
sección
las
que
donde
las
aprenderemos
las
bases
son
bases
cómo
números
distintos.
emo
x
Resuelva
5
=
9.
Respuesta
Elija
logaritmos
en
x
5
=
9
=
log
base
10
o
logaritmos
x
log
5
9
Aplicar
logaritmos en ambos miembros naturales
x log
5
=
log
9
Ahora
bajar
el
x
la
poder
exponente usar
Reordenar
log 9
para
su
CPG.
ecuación
= log 5
x
=
1,3652…
x
=
1,37
(3
cs)
Controlar
respuesta
emo
la
pregunta
requiere
una
exacta
x + 1
x
Resuelva
si
6
=
3
ln a
dando
su
respuesta
en
la
forma
ln b
donde
a
y
b
son
enteros.
Respuesta
x
x+1
6
=
3
x
ln 6
x
x +1
=
ln 6
ln 3
=
(x
Aplicar
+ 1) ln 3
Bajar
los
Aplicar x
x
ln 6 −
x
ln 6
ln 3
x (ln 6 − ln 3)
=
=
=
x
ln
en
ambos
miembros
exponentes
propiedad
distributiva
para
ln 3 + ln 3
eliminar
los
paréntesis
Agrupar
los
tér minos
ln 3 en
x
ln 3 Factorizar
y
dividir
ln 3
x
=
(ln 6
ln 3 )
ln 3
x
=
a
ln a
ln 2
ln b
=
ln
b
Capítulo
4
127
emo
3x
Resuelva
e
1−x
=
5
,
dando
su
respuesta
en
forma
exacta.
Respuesta
3x
1 – x
e
Usar
=
5
=
ln 5
3x
=
(1–
3x
=
ln 5
3x
3x
+
x (3
x ln 5
+
ln
x)
=
ln 5
=
ln 5
ln 5)
–
e
=
naturales
dado
que
x
ln 5
Bajar
x ln 5
Aplicar
los
exponentes
propiedad
eliminar
Agrupar
ln 5
x
logaritmos
x
1 – x
ln e
los
Deje
para
un
paréntesis
los
Factorizar
distributiva
tér minos
y
en
se
x
su
logaritmo,
exige
exacta.
dividir
=
(3 + ln5)
Ejercitación
1
Resuelva
4P
estas
ecuaciones
para
hallar
el
valor
de x
con
3
cifras
signicativas.
x
2
x
=
5
3
x
=
50
5
x+1
=
17
7
=
16
x x
1
−3
2
f
=
3,2
×
x
10
e
g
5
=
6
e
h
=
0,11
3
9
PREGUNTA
2
2x−1
7
TIPO
Resuelva
estas
EXAMEN
ecuaciones
para
hallar
el
valor
de x
con
3
cifras
signicativas.
x
x+2
x −3
2x −5
2−x
2
e
=
5
3
3x −1
=
emo
3
3
4e
f
=
5
7
x −1
=
(0,5)
−0,001x
3x −2
x
=
4
x
x +3
3
=
244
g
35e
=
95
ln a
x −1 x+2
Resuelva
3
×
6
=
2
×
3
,
dando
su
respuesta
en
la
forma
x
=
,
donde
ln b
a,
b
∈
Z
Respuesta
x
ln (3
×
–
6
ln 3
ln 3
+
+
+
(x
ln (6
–
ln (2
×
3
=
ln 2
+
ln(3
=
ln 2
+
(x
–
–
ln 6
xln 3
ln 3)
=
=
=
ln 2
ln 2
ln 2
+
+
+
+
natural
en
ambos
miembros
)
x ln 3
ln 9
logaritmo
2
2)ln 3
2ln 3
+
Aplicar
)
x
– 1
)
–
x(ln 6
=
1) ln 6
x ln 6
x ln 6
x + 2
)
x
ln 3
1
+
+
+
2ln 3
ln 6
ln 6
–
–
ln 3
Agrupar
los
tér minos
en
x
y
factorizar
ln 3
⎛ 108 ⎞ ln
⎜
⎟
⎝ x
ln 36
⎠
3
=
Este
=
⎛ ln
6
⎞
resultado
ln 2 ln a
⎜
a
⎟
ln
⎝ 3 ⎠ ln b
128
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
b
no
puede
simplicarse
respuesta
más.
una
como
dado
que
respuesta
Ejercitación
PREGUNTAS
Resuelva
1
4Q
TIPO
estas
EXAMEN
ecuaciones
para
hallar
el
valor
de x
con
3
cifras
signicativas.
x
x
7 × 3
5
=
25
x – 1
×
4
3
=
3
×
estas
×
x
2x
2
Resuelva
2
7
ecuaciones
3
2x – 1
=
x
5
x – 1
4
para
3
×
2
x
=
4
×
5
x + 2
=
2
hallar
×
7
el
valor
de x
en
la
ln a
forma
x
,
=
donde
a,
b
∈
ln b
x + 2
2
5
x – 3
=
x
5
=
en
2 x
−
(6
4
3
x
=
×
6
x
8
×
7
–1
)(2
x + 2
)
=
2(4
)
x:
x
e
=
Resolución
Las
2
x
e
×
3 – 2x
3
Resuelva
3
5
x
x + 1
×
0
de
ecuaciones
ecuaciones
logarítmicas
que
x
–
3(2
)
=
0
logarítmicas
presentan
logaritmos
de
igual
base
El
argumento
expresión
en
ambos
miembros
de
la
igualdad
pueden
resolverse
igualando
emo
de
los
la
gura
los
entre rgmno
es
que
paréntesis
logaritmos.
2
Resuelva
log
(x
)
=
log
a
(3 x
+ 4)
a
Respuesta
2
log
(x
)
=
log
a
(3x
+
4)
a
2
x
=
3x
=
0
+
4
Igualar
los
argumentos
2
x
(x
−
−
3x
4)(x
x
=
+
4
Debemos
1)
o
=
x
Resolver
ambas
recordar
que
no
original
emo
Resuelva
ecuación
cuadrática
−1
que
ambas
la
0
=
Reemplazando
ecuación
caso,
4
vericar
dmo
negativo.
−
se
es
x
=
posible
4
obtienen
soluciones
son
soluciones
y
x
=
son
calcular
−
en
argumentos
posibles.
el
logaritmo
ambos
de
un
miembros
positivos;
por
número
de
ende,
la
en
este
posibles.
ln(12 −
x )
=
ln x
+ ln( x
− 5)
Respuesta
ln(12
−
x)
=
ln x
ln(12
−
x)
=
ln x (x
+
ln(12
−
x)
=
ln(x
ln(x
−
−
5)
5)
2
−
5x)
2
12
−
x
=
x
−
5x
Igualar
argumentos
2
x
(x
−
−
4 x
6)(x
x
=
6
−
+
o
2
2)
x
=
=
=
0
Resolver
0
la
ecuación
cuadrática
−2
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
4
129
Cuando
x
y
(x
−
x
Cuando
x
y
(x
Por
−
lo
=
5),
x
=
5),
6,
ambos
son
−2,
son
tanto,
1
log
los
x
=
6
en
(x )
log
argumentos,
es
la
x
=
las
log
(6 x
ecuaciones:
− 1)
ln( x
log
+ 1)
=
ln(3 −
x )
2
(2
x )
log
(6 x
1)
5
log
x
− log
(x
3
Algunas
solución.
siguientes
5
única
EXAMEN
2
soluciones
4R
TIPO
Resuelva
las
negativos.
Ejercitación
PREGUNTA
Vericar
argumentos,
positivos.
− 1)
=
log
3
veces
(2 x
+ 3) +
log
2
(x
(x
− 1)
Resuelva
resulta
(x
−
más
sencillo
resolver
una
ecuación
logarítmica
2)
=
3.
Respuesta
(2x
–
1)
=
3
5
3
b
5
=
2x
–
1
Dado
que
log
x
=
b
⇒
x
=
a
a
125
emo
Resuelva
=
2x
–
2x
=
126
x
=
63
1
0
log
x
+
log
2
(x
−
2)
=
3.
2
Respuesta
log
x
+ log
2
(x
− 2)
=
3
− 2 )] =
3
2
log
[x (x
Se
usa
la
primera
propiedad
de
2
2
log
página
(x
− 2x )
=
3
=
2
123.
2
2
3
− 2x
x
b
Dado
que
log
x
=
b
⇒
x
=
a
a
2
− 2x
x
=
8
2
x
(x
− 2x
+ 2)( x
x
=
− 8
− 4)
−2
o
x
=
0
=
0
=
4
x
y
(x
−
2 )
positivos. x
130
=
Funciones
4
es
+ 1)
+ 1)
5
log
(x
3
log
log 2
exponentes.
emo
=
2
la
única
exponenciales
solución
y
logarítmicas
deben
ser
números
la
usando
Ejercitación
Resuelva
1
log
(x
en
−
4S
x
estas
2)
=
ecuaciones:
2
log
9
(2x
−
1)
=
3
log
1
(3 −
x )
= 5
3 2
2
Resuelva
log
en
(x
x
estas
− 5) +
log
6
log
ecuaciones:
x
(2x
−
3)
–
2
Sabiendo
(4x
−
5)
TIPO
una
par tir
x
log
+
log
que
x
8)
–
log
=
(x
−
5)
=
4
2
0
+
log
de
lo
log
para
anterior
(2x
+
(2 x
+ 7)
=
log
2
expresión
2
4
−
EXAMEN
2
A
(4x
7
PREGUNTAS
halle
log
2
log
7
3
=
6
7)
o
=
A
en
de
A 2
función
cualquier
de
x
otro
modo,
resuelva
2
2
Resuelva
log
x
+
log
4
4
= 2
x
Aquí
cambiar
2
5
Resuelva
log
x
+
log
2
.
primero
x
la
fnon
Material
de
disponible
xonn
y
forma
modelos
exponencial
He
aquí
de
y
decrecimiento
crecimiento
emplean
algunas
y
de
línea:
Hoja
Reducción
de
a
la
lineal
exponencial
exponenciales.
los
modelos
de
crecimiento
y Dos
decrecimiento
4:
decrecimiento
funciones
aplicaciones
ampliación
en
ogrm ejercicios
Los
base.
= 9
4
aon
Crecimiento
necesitará
áreas
de
las
matemáticas
exponencial. que
aparentan
estar
totalmente
Biología desconectadas
●
Crecimiento
de
micro-organismos
en
un
exponenciales
●
Población
●
Propagación
podrían
ser
las
de
cultivo y
probabilidades.
humana Pero,
de
un
examine
este
problema.
vir us Un
grupo
de
personas
salen
Física a
●
Cadena
de
reacciones
almorzar
sombreros
●
Transferencia
de
y
luego
toman
sus
nucleares al
azar .
¿Cuál
es
la
calor probabilidad Podría
elegir
de
que
ninguno
alguno
Economía tome de
●
Los
diagramas
estos
su
propio
demostrarse base
Potencia
de
exploración
es
probabilidad
. e
procesamiento
(Podría
explorar
esto
una
vez
que
computadores haya
●
esta
1
matemática. de
que
de
informática su
●
Puede
temas
piramidales como
Tecnología
sombrero?
Crecimiento
del
tráco
de
profundizado
el
tema
de
las
Inter net probabilidades.)
en
otras
que
áreas
estén
¿Puede
de
pensar
conocimiento
asombrosamente
conectadas?
Capítulo
4
131
Crecimiento
emo
La
exponencial
población
de
una
ciudad,
A(t),
en
miles,
se
modeliza
mediante
la
(0,02)t
función
Use
A(t )
este
=
¿Cuál
era
¿Cuál
es
cada
30e
modelo
la
el
donde
para
t
responder
población
porcentaje
de
de
la
es
a
el
número
estas
ciudad
de
años
después
de
2010.
preguntas:
en
crecimiento
el
de
año
la
2010?
población
de
la
ciudad
año?
¿Cuál
será
¿Cuándo
la
la
población
población
en
de
el
la
año
2020?
ciudad
alcanzará
los
60
000
habitantes?
Respuestas
0
A(0)
La
30
=
30e
=
30
t
es
el
2010,
población
en
2010
era
número
por
lo
de
años
tanto,
t
=
después
de
0
de
000.
(0,02)
A(1)
=
30e
Escribir
una
población
( 0 , 02 )
ecuación
un
año
para
después
la
de
2010
30 e ( 0 , 02 )
=
e
Calcular
el
factor
de
multiplicación
30
=
La
1,0202...
población
2,02%
cada
crece
un
año.
( 0 , 02 ) ×10
A (10 )
En
de
30e
=
36, 642 ...
2020
36
En
=
la
población
2020,
t
=
10.
será
642.
( 0 , 02 ) t
60
=
30e
2
=
e
Cuando
( 0 , 02 ) t
A(t)
=
la
población
logaritmos
( 0 , 02 ) t
=
ln e
ln 2
=
0, 02t
Bajar
el
Resolver ln 2
t
=
0, 02
t
La
=
34, 657...
población
después
es,
132
será
de
34,66
durante
2044.
Funciones
de
60 000
años,
exponenciales
y
esto
logarítmicas
de
60
000,
60.
Aplicar ln 2
es
exponente
en
t
en
ambos
miembros
Decrecimiento
emo
Una
exponencial
cazuela
se
saca
del
hor no
y
se
enfría
de
acuerdo
con
el
modelo
−0,1t
de
fórmula
T (t)
temperatura
¿Cuál
Si
la
es
=
en
la
85e
,
donde
temperatura
temperatura
transcurrirá
t
es
el
tiempo
en
minutos
y
T
es
la
°C.
de
hasta
la
que
de
la
cazuela
habitación
la
cazuela
es
cuando
de
se
25°C,
alcance
la
saca
¿cuánto
temperatura
del
hor no?
tiempo
ambiente?
R
0
T (0)
=
=
La
es
85e
Cuando
85
t
temperatura
de
de
la
=
la
cazuela
se
saca
del
hor no,
0.
cazuela
85°C.
0 ,1t
85e
T
= 25
25
=
25
si
la
habitación
5
temperatura
es
de
de
la
25°C.
0 ,1t
e
=
=
85
17
5 0 ,1t
ln
e
=
Aplicar
ln
logaritmos
en
ambos
17
miembros
5
0 ,1t
=
ln
17
=
t
=
1,22377...
12,2
(3
cs )
Resolver
La
cazuela
temperatura
de
12,2
Se
invier te
con
t
ambiente
luego
minutos.
Ejercitación
1
en
alcanzará
4T
una
suma
capitalización
Escriba
la
de
450
euros
al
3,2%
de
interés
compuesto,
anual.
fórmula
para
el
valor
de
la
inversión
luego
de n
años.
¿Después
los
2
En
600
las
etapas
infectadas
¿Cuánta
de
cuántos
años
el
valor
superará
por
primera
vez
euros?
primeras
personas
de
gente
y
de
una
cada
resultó
día
epidemia
el
de
número
infectada
en
los
sarampión
aumentó
un
siguientes
había
100
10%.
espacios
tiempo?
Después
¿Cuánto
de
dos
tiempo
días
pasará
hasta
Después
que
se
de
infecten
una
250
semana
personas?
Capítulo
4
133
3
Los
Por
incendios
cada
hora
incrementa
Si
se
¿en
4
han
fuego
un
tiempo
de
un
se
propagan
sin
control,
de
el
manera
área
de
exponencial.
la
quema
se
15%.
quemado
realizó
Después
de
en
cuánto
José
forestales
0
se
salto
saltar
hectáreas
estarán
en
del
y
el
quemando
paracaídas
avión,
fuego
su
para
se
sale
0 000
nes
velocidad
en
control,
hectáreas?
de
el
de
caridad.
tiempo t
segundos
−1
después
de
que
su
paracaídas
se
abrió
era v
,
m s
donde
−0,063t
v
=
9
+
Dibuje
¿Cuál
el
aproximadamente
era
velocidad
de
el
gráco
José
en
el
de
v
en
instante
función
en
el
de
que
t.
se
abrió
paracaídas?
fue
altura
muy
su
aterrizó
que
menor
velocidad
posible
si
se
lanzó
desde
una
grande?
después
de
45
segundos,
¿cuál
fue
la
velocidad
a
la
la
velocidad
que
aterrizó?
¿Cuánto
la
¿Cuál
Si
29e
tenía
tiempo
cuando
se
le
llevó
abrió
alcanzar
el
la
mitad
de
paracaídas?
b
5
Dos
variables
Cuando
de
El
a
y
n
=
x
2,
y
x
n
=
están
32
y
relacionadas
cuando
n
=
3,
por
x
=
la
fórmula
08.
Halle
x
=
los
a
×
n
valores
b
geólogo
terremoto
estadounidense
Charles
Richter
denió
la
magnitud
de
un
como:
I
M
=
log S
M
es
por
la
la
magnitud
amplitud
epicentro
La
del
intensidad
Explore
en
(en
en
decimales), I
mm,
tomada
terremoto)
de
un
y
S
es
terremoto
profundidad
la
es
por
la
la
un
intensidad
estándar
escala
intensidad
sismógrafo
(S)
de
es
un
del
terremoto
ubicado
a
terremoto
0,001
100
(medida
km
del
“estándar”.
milímetros.
Richter .
Intensidad
Escala
de
Richter
134
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
Suave
0–4,3
Moderado
4,3–4,8
Intermedio
4,8–6,2
Fuer te
6,2–7,3
Catastróco
7,3+
ero
1
Evalúe
log
rón
287.
5
2
Resuelva
estas
ecuaciones:
2x+3
3
x−1
3
=
Resuelva
log x
log
90
estas
+
(x
6)
–
− 13 )
log
5
ln
(4x
–
7)
log
log
x
=
=
)
=
x
3
=
5
(x
= 1
+
2)
=
log
x
5
(log
x ) 2
4 log
10 x
PREGUNTAS
Las
×
2
10
4
2
2
x
(
2
2x
3
5
2
=
ecuaciones:
log (3 x
+
3x
5
TIPO
funciones
f
EXAMEN
y
g
están
denidas
como
2x
f (x)
=
e
para
todo
x
real
3
g ( x )
=
ln x
para
x
>
0
2
Indique
el
recorrido
Explique
por
Halle
las
expresiones
Halle
una
Resuelva
qué
de
f
(x)
ambas
y
g(x)
funciones
tienen
inversa.
–
expresión
de
las
para
funciones
( f
g)(x)
y
( g
°
la
ecuación
( f
f
–
(x)
inversas f
y
g
(x).
)(x).
°
g)(x)
=
( g
°
f
)(x).
°
0,08t
5
El
número,
donde
t
es
n,
el
Halle
la
¿Cuánto
de
insectos
número
de
población
tiempo
ero
en
una
días
de
la
colonia,
después
colonia
transcurre
de
está
de
por n
comenzada
después
antes
dado
que
de
la
50
la
=
4000e
obser vación.
días.
población
se
duplique?
rón
✗ x +2
4 x
1
Resuelva
⎛
3
25
1
⎞
= ⎜ ⎝
⎟ 125
⎠
x +1
2
Halle
el
valor
exacto
de
x
que
satisface
la
ecuación
(5
x
)(7
2 x +1
)
=
3
log a
Dé
su
respuesta
en
la
forma
donde
a,
b
∈
Z
log b
⎛ 1 ⎞ 3
Halle
el
valor
exacto
de
2 log
27
+
3
log 3
⎜
⎟
−
log
3 3
⎝ 3 ⎠
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
1 4
Escriba
4 log
x
+
log
3
y 3
− 5 log
z
como
un
único
logaritmo.
3
3
5
Resuelva:
log
log
(
4 x
− 1) =
( 2 log x ) 3
=
log x +1
4
log
(
(x 2
x
− 1) =
− 2) +
2
log
1
(x
− 1)
= 3
2
Capítulo
4
135
PREGUNTA
6
Si
m
=
TIPO
log
4
y
EXAMEN
n
=
log
x
log
8,
halle
expresiones
en
función
de
m
y
n
para:
x
8
log
4
2
log
x
16
log
x
32
8
3(x−1)
7
La
función
Describa
f
está
una
denida
serie
de
para
todos
los
transformaciones
valores
por
las
reales
cuales
de x
el
por
f
gráco
(x)
de y
=
=
e
f
+
2.
(x)
x
pueda
obtenerse
PREGUNTAS
a
TIPO
par tir
del
gráco
de y
=
e
EXAMEN
−1
8
Halle
la
función
inversa
f
(x)
2x
f
(x)
=
si:
3x
3e
f
(x)
=
0
f
(x)
=
log
(4x)
2
9
Resuelva
a
y
b
este
son
sistema
números
de
ecuaciones
reales
en a
y
b,
sabiendo
que
positivos.
1
log
64 +
log
a
b
=
8;
log
a
=
ba
2
ResuMeN
del
capítulO
4
pon
Propiedades
m
●
a
n
× a
=
m
●
a
●
÷ a
(a
las
potencias
a
n
m
de
m+ n
m
=
n
n
a
mn
)
=
a
0
●
a
=1
1
n
n
a =a
●
1
m m
n
●
(a
)
(
=
a
m
m 1
m
n
)
=
(
)
a
n
(
=
n
a
)
n
= a
1 n
●
a
= n
a
Funciones
●
Una
exponenciales
fnón
xonn
es
una
función
de
la
forma
x
f
(x)
=
a
donde
●
El
omno
●
El
rorro
●
El
gráco
de
a
la
es
es
un
número
función
el
real
positivo
exponencial
conjunto
de
todos
es
los
el
(esto
es, a
conjunto
números
de
reales
>
0)
y
todos
a
≠
los
.
números
reales.
positivos.
x
de
la
función
exponencial f (x)
=
e
es
un
gráco
de
crecimiento
−x
exponencial
y
el
gráco
de
f
(x)
=
e
es
un
gráco
de
decrecimiento
exponencial.
y
y
x
f(x)
=
e –x
y
=
e
(0, 1) 1 (0, 1)
x
0
0
x
Continúa
136
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
en
la
página
siguiente.
logrmo
Propiedades
de
los
logaritmos
log
b
x
●
Si
b
entonces
a
x
a
●
log
a
= 1
a
●
log
1 =
0
a
●
log
b
no
está
denido
para
cualquier
base a
si
b
es
negativo
a
●
log
no
está
denido
a
n
●
log
a
=
n
a
Funciones
●
Para
x
e
logarítmicas
hallar
y
y
algebraicamente
luego
reordene,
la
inversa
despejando
la
En
general,
si
f
:
x
entonces
a
una
función,
intercambie
1
x
●
de
variable y
f
x
log
x a
x
y
=
log
x
es
la
inversa
de
y
=
a
a
x
●
y
=
ln x
es
la
inversa
de
la
función
exponencial y
=
e
x
y
y
=
e
y
=
x
(0, 1) y
=
In x
x (1, 0)
x
●
log
(a
log
)
=
x
y
a
x a
=
x
a
x
ln(e
lnx
)
=
x
y
e
=
x
log (0
x
log x
)
=
x
y
Propiedades
●
log x log
●
log x
●
log x
●
log
y
(0
de
=
)
=
los
x
logaritmos
log xy
x
−
log
y
=
log y
n
=
n log x
1
log x
x
Fórmula
del
log
cambio
de
base
a c
●
log
a
=
b
log
b c
Capítulo
4
137
t or
l
la
conomno
z
“Las
y
del
matemáticas
música
más
supremas,
admirables
erigidas
en
Herbert
Los
soon
¿Alguna
que
había
¿Fue
o
vez
se
ha
resuelto
simplemente
porque
su
sentido
un
y
por
la
el
límite
la
belleza
Westren
mmá
simplicidad
entre
del
todo
lo
y
la
inevitabilidad
maravilloso
de
la
de
la
ciencia
poesía
y
toda
ar te”.
Turnbull
(1885–1961)
matemáticos,
1929
n
satisfecho(a)
haber
le
tienen
grandes
problema
resolución
por
la
forma
en
matemático?
llegado
pareció
a
la
respuesta
eciente,
correcta
elegante
y
hasta
hermosa?
Considere
estas
Desarrolle
soón
y
+
y
dos
resoluciones
simplique
(x
+
y
del
+
problema:
z)(x
–
y
–
z)
(x
+
=
x²
–
xy
=
x²
–
2yz
=
x²
–
(y²
=
x²
–
(y
soón
z)(x
–
xz
–
+
+
–
y
–
+
y²
xy
–
2yz
z)
–
y²
–
yz
+
xz
–
yz
–
z²
(x
+
=
(x
=
x²
y
+
+
z)(x
(y
+
–
y
z))(x
–
z)
–
(y
+
z))
z²
+
(y
+
z)²
z²)
z)²
“La
matemática
pura
es,
a
manera,
poesía ■
¿Cuál
solución
es
arrojan
el
mismo
resultado,
por
lo
tanto
ninguna
que
la
otra.
las
lógicas”.
es Albert
mejor
la
mejor?
ideas
Ambas
de
su
Sin
embargo,
la
solución
2
es
Einstein
más (1879–1955)
elegante
138
Teoría
del
y
demuestra
Conocimiento:
la
más
belleza
de
perspicacia
las
que
matemáticas
la
solución
.
“La
esencia
hrmo
de
las
y
n:
matemáticas
no
es
complicar
cosas
Stan
Gudder,
catedrático
He
aquí
moo
las
cosas
simples
t
eon
mno
sino
simplicar
las
complicadas”.
de
matemáticas,
algunas
Universidad
ecuaciones
de
Denver
famosas
2
Ecuación
Segunda
de
ley
Einstein:
de
E
Newton:
=
F
mc
=
ma
k
Ley
de
Boyle:
V
= p
Ecuación
de
Schrödinger:
Hψ
=
E ψ
m
m
1
Ley
de
la
gravitación
universal
de
Newton:
F
=
2
G 2
r
¿No
resulta
universo
Estas
en
la
asombroso
usando
ecuaciones
Luna
Inter net
y
■
han
traerlo
Estas
son
del
solo
podamos
vuelta,
y
a
poner
cuer po
como
al
el
estas?
hombre
desarrollar
comprender
cinco
describir
matemáticas
ayudado
de
inalámbrica
funcionamiento
que
ecuaciones
la
el
humano.
ecuaciones:
¿cuál
es
su
favorita?
■
¿Es
posible
descubran
que
un
día
absolutamente
●
¿Una
las
matemáticas
la
teoría
que
y
la
ciencia
explique
todo?
teoría
que
completamente
explique
todos
los
y
relacione
fenómenos
físicos
conocidos?
●
¿Una
teoría
resultado
pudiera
¿No
sería
”
La
algo
ley
que
de
que
tenga
cualquier
llevarse
a
el
poder
de
predecir
experimento
el
que
cabo?
maravilloso?
de
Boyle
ascienden
explica
a
la
por
qué
supercie
las
del
burbujas
aumentan
su
tamaño
a
medida
agua.
Capítulo
4
139
Funciones
5
racionales
ObjetivOs del capítulO:
1
La
2.5
función
x
recíproca
x
≠
0,
su
gráco
y
la
propiedad
de
coincidir
x
con
La
su
inversa
función
Asíntotas
racional
Qué
1
de
las
Por
+
b
cx
+
d
y
y
su
gráco
ver ticales
funciones
racionales
a
1
Multiplicar
los
polinomios
Desarrolle
−4(2x
−
)
y
−2(3x
3x
−
)
=
2
vida
real
los
−
nuestras
+
):
2
habi lidades
polinomios:
5)
6(2x
−
3)
2
−x (x
+
x (x
3)(x
−
7)
+
x
2
(x
+
3)
8)
3
+
3x (x
+
(x
−6x
2
la
2
2
−2(3x
de
Comprobemos
saber
polinomios
ejemplo:
situaciones
omnzr
necesitamos
Desarrollar
ax
horizontales
Aplicación
an
x
)
=
3x
Representar
+
3x
grácamente
2
Dibuje
las
siguientes
rectas
en
un
gráco:
y
rectas
horizontales
y x y
=
=
x
=
0,
y
=
0,
x
=
3,
x
=
−2,
y
=
−3,
2
4
3
ver ticales 2 y
Por ejemplo:
Representar
y
=
x,
y
=
y
las
−x,
x
=
x
–x
y
=
4
x
rectas
=
=
–2
2,
y x
=
=
–2
–1 –4
x
=
−,
y
=
−2
y
=
3
e y
en
el
mismo
gráco
y
3
Reconocer
y
describir
3
Describa
las 8
una
trasformaciones
traslación
y
=
3
x
B
6
Por
ejemplo:
Hallar
que
las
le
asignan
a 4
3
traslaciones
que
le
y
asignan
=
x
las 2
2
a
y
=
x
las
funciones
A
y
B
funciones
B
A
y
B
y
2
y
A
es
un
horizontal
a
la
a
A
=
x
2
de
derecha.
2
La
escriba
A
función
x
0
unidades
–4
x
0
desplazamiento
–2
2
4
correspondiente
6
las
fórmulas
correspondientes.
–4
–6
A 2
B
es
es
y
un
=
(x
−
–8
2)
desplazamiento
unidades
hacia
arriba.
ver tical
La
de
función
2
correspondiente
140
Funciones
racionales
a
B
es
y
=
x
+
3.
3
¿Sabemos
cuántas
almacenar
calidad
del
embargo,
puede
en
un
reproductor
ajuste
una
canciones,
de
idea
almacenar
álbumes,
sonidos
de
La
grabación
y
aproximada
36
horas
o
MP3?
la
es
860
un
demás
respuesta
duración
que
y
de
la
depende
canción.
reproductor
minutos
de
podemos
MP3
música.
de
la
Sin
de
Esto
4GB
es
aproximadamente:
2000
canciones
de
4
minutos
o
000
canciones
de
8
minutos
o
4000
canciones
de
2
minutos
cada
una
8000
Esto
nos
lleva
a
la
función
s
=
donde
s
es
el
número
de
m
canciones
y
m
es
el
número
de
minutos
que
dura
una
canción.
k
Esta
función
es
un
ejemplo
de
la
función
recíproca
f
(x )
=
. x
En
este
(en
adelante,
y
otras
capítulo
funciones
ax
f
(x )
para
la
explorar
racionales
calculadora
los
que
grácos
pueden
de
de
ser
pantalla
las
gráca
funciones
expresadas
en
recíprocas
la
forma
+ b
=
. cx
los
utilizaremos
CPG)
Examinaremos
asíntotas
horizontales
y
verticales
para
+ d
grácos
de
esas
funciones
y
el
dominio
y
recorrido
de
las
mismas. Capítulo
5
141
.
Rroo
ingón:
representación
gráca
de
productos
Pensemos
Por
y
en
ejemplo:
añada
pares
24
más
x
de
1,
pares
12
de
24
12
8
3
y
1
2
3
8
esos
pares
x
2,
8
x
cuyo
3,
3
producto
x
8.
es
Copie
la
24.
tabla
números.
x
Muestre
números
como
coordenadas
en
un
gráco
con Se
0
≤
x
≤
24
y
0
≤
y
≤
denomina
24. omormno
Ahora
y
haga
lo
muéstrelos
Explique
lo
mismo
en
que
el
con
números
gráco
obser va
negativos
(p.ej.,
−12
×
−2) xrmo
a
acerca
apariencia
de
●
El
valor
de
x
cuando
y
se
hace
más
grande
●
El
valor
de
y
cuando
x
se
hace
más
grande
se
lo
a
➔
El
compor tamiento
extremo
de
su
de
un
número
es
que
en
direcciones.
gráco
El
recíproco
medida
continúa
ambas
El
un
de: gráco
●
la
también.
dividido
por
el
número
cero
no
número. tiene
recíproco
ya
1
que
1
Por
ejemplo,
el
recíproco
de
2
es
.
no
está
denido.
0
2 ¿Qué
El
recíproco
de
una
fracción
resulta
ser
ejemplo,
el
recíproco
es
de
÷
7
recíproco
Un
número
El
recíproco
3
de
multiplicado
por
su
su
CPG
para
1
÷
0?
3
es
7
muestra
=
1
.
le
inver tida.
4
×
4
10
es
de 10
➔
4
=
4
El
fracción
3
3
Por
la
recíproco
o
4.
1
es
igual
a
.
1
Por
ejemplo:
3
×
=
emo En
1
Halle
el
recíproco
de
una
1570
traducción
de
la
obra
de
de
2 Euclides, Elementos 2
(300
a.C.), se
llamó
R reciprocali a
1
2
las
5
Escribir
=
2
como
una
fracción
impropia
cantidades
geométricas
2 en 5
Recíproco
de
proporción
Inver tirla
5
2
5
podemos
hallar
recíprocos
de
términos
−
El
rroo
de
x es
o x
x
= 1
2
algebraicos.
Al
1
➔
2 ×
Vericar :
También
inversa.
2
=
recíproco
5
de
x
×
x
=. número
variable
llama
o
de
una
también
"inverso
multiplicativo".
142
Funciones
racionales
un
−
y
se
lo
erón
Halle
1
los
5A
recíprocos:
2
3
2
los
−1
h
3
g
2
2
Halle
3
f
3
2
−3
recíprocos:
El
6,5
x
3a
2x f
5
cada
por
su
recíproco
ya
se
usaba
en
la
de
la
por
lo
menos
+ 1
x
t
3d
cantidad
x
término
4y
d
h
3x
2
g
Multiplique
3
y
recíproco.
tercera
edición
1
Muestresu Encyclopaedia
procedimiento. Britannica
3
6
4
¿Cuál
es
el
recíproco
del
recíproco
de
¿Cuál
es
el
recíproco
del
recíproco
de x?
la
función
Halle
y
¿Qué
cuando
¿Alcanzará
48
xy
=
x
con
cuyo
producto
Esta
es
Halle
x
4800
el
valor
alguna
cuando
y
de
y
48 000
cuando
x
se
vuelve
más
vez
el
valor
0?
la
función
grande? se
usó
en
¿Qué
f
¿Alcanzará
.
l
sucede
con
x
4800
el
valor
alguna
fnón
de
la
vale:
480
la
Explique.
página
48
1.
vale:
investigación
es
4?
que
y
números
24:
480
sucede
dos
3d
Para
5
para
describir
4
(1797),
2c
vez
de
el
x
cuando
valor
0?
142.
48 000
y
se
vuelve
más
grande?
Explique.
rro
k
La
fnón
rro
es
f (x)
=
donde
k
es
una
constante.
x
Todos
los
grácos
de
funciones
ingón:
Utilice
la
CPG
para
recíprocas
grácos
dibujar
los
de
grácos
tienen
formas
funciones
de
esta
similares.
recíprocas
investigación.
2
1 1
Obtenga
el
gráco
de
las
siguientes
funciones:
f ( x)
=
g ( x)
=
efecto
produce
cambiar
el
valor
del
Obtenga
el
gráco
de
las
siguientes
funciones:
f ( x)
=
efecto
produce
cambiar
el
signo
x
2
g ( x)
del
=
3
h( x )
=
x
x
¿Qué
=
numerador?
1 2
h( x )
x
x
¿Qué
3
x
numerador?
4 3
Copie
y
complete
esta
tabla
para
f ( x)
=
: x
x
0,25
0,4
0,5
1
2
4
8
10
16
f (x)
¿Qué
obser va
Dibuje
el
Dibuje
la
acerca
gráco
recta
y
de
=
de
la
x
los
valores
de
x
y
f(x)
en
la
tabla?
función.
en
el
mismo
gráco.
4
Dibuje
la
simetría
de
f ( x)
=
con
respecto
a
la
recta
y
=
x
f
¿Qué
obser va?
x
1
g
¿Quélediceestoacercadelafuncióninversa
f
?
Capítulo
5
143
Asíntotas
Los
la
grácos
página
los
ejes
Los
de
43
pero
ejes
las
funciones
consisten
nunca
son
los
asíntotas
f
todos
tocan
del
(x),
en
ni
g(x)
dos
los
y
h(x)
cur vas.
en
la
Las
investigación
cur vas
se
de
acercan
a
cor tan.
gráco.
La
palabra
se
deriva
asíntota
del
asymptotos,
➔
Si
una
cur va
se
acerca
más
y
más
a
una
recta
pero
nunca
la signica
toca,
esa
recta
se
denomina
griego
que
“que
no
cae
no junto”.
y
=
b
es
una
asíntota
de
la
función
y
=
f
(x) y
A
medida
que
x
→ ∞,
f
(x )
=
f (x)
→ b
y
El
símbolo
→
signica
“tiende
=
b
a”.
La
k
➔
El
gráco
de
cualquier
función
recíproca
de
la
forma
y
=
recta
horizontal
tiene y
=
b
es
una
asíntota
x
horizontal
como
➔
El
asíntota
gráco
de
vertical
una
a x = 0
función
y
como
recíproca
asíntota
se
horizontal
del
gráco
a y = 0.
de
y
=
f(x)
La
función
llama héro
y ●
El
eje
x
es
la
asíntota x
=
0, el
eje
y, es 6
horizontal.
una
y
= x
●
El
eje
y
es
la
asíntota
tiene
4 y
=
recíproca
k
asíntota
muchas
–x
aplicaciones
en
ver tical. 2
los ●
El
dominio
y
el
la
son
todos
los
algoritmos
de
recorrido
informática,
x
números
–4
4
6
par ticularmente
reales
excepto
el
y
=
0, el
eje
x, es relacionados
●
Lasdosramasdel
–4
gráco
una
respecto
=
la
de
rectay
=
números.
–6
resulte
−x interesante
y
=
−x
e
y
=
x
son
los
ejes
En
se
el
capítulo
dibuja
la
de
esta
vimos
simetría
función.
que
de
f
para
mayor
dibujar
respecto
investigar
de estas
simetría
la
x
de
Quizás
●
con
asíntota teoría
y
sonsimétricas
los
cero.
de
la
la
inversa
recta
y
=
de
x.
Si
la
función f
aplicaciones
con
profundidad.
(x),
realizamos
1
una
simetría
de
f
(x)
respecto
=
de
la
recta
y
=
x,
obtenemos
el
x
mismo
gráco
que
para
f
(x).
La
➔
La
función
recíproca
on
on
nr
fnón
rro,
1 f(x)
=
,
es
uno
de
los
x
La
fórmula
de
la
función
en
la
investigación
de
la
página
42
es ejemplos
más
simples
24
xy
=
24.
Esta
se
puede
escribir
como
y
y
=
es
una
función de
una
función
que
x
recíproca.
Tiene
un
gráco
similar
al
que
se
mostró
coincide
inversa.
anteriormente.
144
Funciones
racionales
con
su
El
diseño
del
Asymptote
¡T ambién
que
hotel
V iceroy
Architecture,
cuenta
recorre
emo
Yas
el
con
se
una
centro
del
de
basa
pista
Abu
en
de
Dhabi,
modelos
carreras
por
el
estudio
matemáticos.
de
Fórmula
1
hotel!
✗ Para
cada
función:
●
Escriba
●
Dibuje
●
Indique
las
ecuaciones
de
el
dominio
y
el
el
asíntotas
horizontales
y
ver ticales.
gráco.
recorrido.
9
y
las
aproximadamente
9
=
y
=
+ 2 x
x
R
Las
asíntotas
son
x
=
0
e
y
=
0.
y
=
2.
y
20
15
10
5
x
0 –6
–4
–2
2
4
6
–5
–10
–15
–20
Dominio
x
Recorrido
Las
∈
y
R,
∈
asíntotas
x
R,
≠
y
son
x
0
≠
0
=
0
e
y
El
gráco
6
gráco
4
unidades
de
de
f(x)
f(x)
en
+
pero
la
2
es
igual
al
desplazado
dirección
del
2
eje
y.
2
x –30
–20
–10
–2
–4
–6
Dominio
x
Recorrido
∈
y
R,
∈
x
R,
≠
y
0
≠
2
Capítulo
5
145
Ejercitación
1
Dibuje
en
5B
distintos
grácos:
5
y
6
=
y
=
xy
x
=
Es
8
impor tante
resolver
12 2
En
el
mismo
gráco
muestre
y
12
=
e
y
3,
Dibuje
aproximadamente
el
gráco
las
y
preguntas
4
tanto
analíticamente
x
medios
1
4
.
=
x
3
saber
x
f
de
(x )
=
y
escriba
(por
algebraicos
sus y
x
grácos,
aplicando
asíntotas. transformaciones)
como
utilizando
la
1
Dibuje
aproximadamente
el
gráco
f
de
(x )
=
+ 2
y
escriba CPG.
x
sus
4
asíntotas.
Identique
la
asíntota
horizontal
y
la
dominio
el
ver tical
de
las
siguientes
recorrido
de
cada
Puede
funciones
e
indique
el
y
resultar
dibujar
3
20
y
=
y
5
El
está
entre
ujo
y
las
el
islas
reujo
maelstrom
La
+ 2
y
=
de
tercer
de
las
Jura
velocidad
del
x
remolino
y
Scarba
mareas
resultante
desde
pueden
agua
grácos.
− 2
x
Corr yvreckan,
los
4
=
x
útil
una.
más
en
el
oírse
las
costas
oeste
a
circundante
grande
16
del
de
sumado
km
de
aumenta
a
mundo,
Escocia.
al
r ugido
El
del
distancia.
medida
que
250
se
acerca
al
centro
y
se
modeliza
mediante
v
donde
=
v
d −
es
la
velocidad
centro
en
Use
0
≤
agua
en
m s
y
d
es
la
distancia
desde
el
metros.
su
d
del
CPG
≤
50
y
para
0
≤
v
obtener
≤
el
gráco
de
la
función
para
200.
−1
¿A
qué
¿Cuál
distancia
la
velocidad
es
de
10 m s
? [
es
la
velocidad
del
agua
a
100 m
del
centro?
Se
de
6
La
fuerza
(F)
necesaria
para
levantar
un
objeto
de
cree
dijo:
que
Arquímedes
“Dadme
apoyo
y
un
punto
moveré
el
una mundo”
1500
masa
de
1500
kg
se
modeliza
mediante
F
=
donde
l
l
es
la
longitud
mide
en
de
la
palanca
en
metros
y
la
fuerza
se
Newtons.
N
Dibuje
aproximadamente
el
gráco
para 0
≤
l
≤
6
y
0
≤
F
≤ 5000
la
es
el
símbolo
unidad
Newton.
¿Cuánta
¿Qué
fuerza
longitud
siguientes
146
Funciones
debería
de
palanca
fuerzas?
racionales
aplicar
si
tuviera
necesitaría
1000 N
si
una
palanca
pudiera
2000 N
de
ejercer
2
m?
las
3000 N
de
de
fuerza,
.
Fnon
¿Hemos
notado
la
ron
manera
en
la
que
cambia
el
sonido
de
la
sirena
de La
un
auto
policial
o
de
bomberos
a
medida
que
se
acercan
a
frecuencia
sonido
La
frecuencia
obser vada
es
superior
a
la
frecuencia
emitida
acercamiento,
es
idéntica
en
el
instante
de
paso
y
es
se
hercios
el
tiempo
que
se
aleja.
A
esto
se
lo
llama
(Hz),
la
menor cantidad
durante
mide
durante en
el
de
nosotros?
efecto
Doppler.
de
ondas
por
La segundo.
fórmula
viaja
para
hacia
frecuencia
nosotros
330
f
la
obser vada
de
sonido
cuando
la
fuente
es:
f
= 1
330
v
donde:
−
●
330
●
f
●
f
es
la
frecuencia
●
v
es
la
velocidad
es
es
la
la
velocidad
frecuencia
del
sonido
obser vada
en
en
m s
Hz.
f
es
una
función
emitida.
de
la
fuente.
racional.
g(x )
➔
Una
fnón
ron
es
una
función
de
la
forma
f
(x )
h(x)
nunca
puede
ser
= cero,
ya
que
un
valor
h( x )
donde
g
y
h
son
polinomios. dividido
está
En
la
este
curso
forma
px
+
g(x)
q,
y
h(x)
por
lo
serán
que
exclusivamente
investigaremos
funciones
funciones
lineales
racionales f
por
cero
no
denido.
de
(x)
donde:
ax
f
(x )
+ b
= cx
emo
+ d
−1
Un
vehículo
bocina
con
se
una
desplaza
hacia
frecuencia
de
nosotros
8000
Hz.
a
96
km
¿Cuál
es
h
la
y
hace
sonar
frecuencia
su
del
−1
sonido
que
oímos
si
la
velocidad
del
sonido
es
330 m
s
?
Las
unidades
velocidad
ser
las
toda
Respuesta
deben
mismas
en
ecuación.
Podemos
−1
96 km h
la
de
redondear
−1
=
96 000 m h
96 000 −1
96 000 m h
números
horaametrosporsegundo
una
1hora=3600segundos
aproximada.
para
obtener
respuesta
−1
=
=
26,7 m s
3600
330
Frecuencia
Conver tirkilómetrospor
observada
f
=
330
v
330 × 8000
=
330
=
26, 7
8700 Hz (3 cs)
Capítulo
5
147
ingón:
grácos de funciones racionales 1
1
Utilice
Copie
la
CPG
para
obtener
el
gráco
de
y
y
=
y
x
y
complete
la
x
2
1
1
,
=
y
=
2
x
+
=
3
x
+
3
tabla:
Función
Asíntota
Asíntota
racional
ver tical
horizontal
Dominio
Recorrido
1
y
= x
1
y
= x
2
1
y
= x
+
3
2
y
= x
+
3
¿Qué
efecto
produce
el
cambio
las
en
¿Qué
obser va
acerca
de
¿Qué
obser va
acerca
del
dominio
f
¿Qué
obser va
acerca
del
recorrido
el
denominador
asíntotas
y
el
y
en
la
asíntota
ver tical?
horizontales?
valor
el
de
valor
la
de
asíntota
la
ver tical?
asíntota
horizontal?
k
Funciones
racionales
de
la
forma y
= x
−
b
1
k
Una
función
racional
y
no
, donde
= x
k
y
b
son
constantes,
tendrá
está
denido.
0
b Examinaremos
una
asíntota
ver tical
cuando
el
denominador
sea
igual
a
0,
es
más
cuando
La
x
=
detalladamente
b
asíntota
horizontal
será
el
eje
x
en
la
de
T eoría
sección
del
Conocimiento
del
emo
esto
decir,
al
nal
capítulo.
1
Identique
Indique
Dibuje
la
asíntota
horizontal
y
la
ver tical
y
de
= x
el
dominio
y
el
3
recorrido.
aproximadamente
la
función
con
la
ayuda
de
la
CPG.
Respuestas
El
eje
x
( y
Un
=
0)
es
la
asíntota
horizontal.
x
=
3
es
la
asíntota
Dado
será
ver tical.
x
{
Funciones
racionales
cero,
función
El
148
que
el
el
numerador
gráco
nunca
toca
denominador
=
es
de
al
nunca
esta
eje
cero
x.
cuando
3.
Continúa
en
la
página
siguiente.
tema
para
interesante
explorar
concepto
de
es
el
innito.
Dominio
x
Recorrido
∈
y
R,
∈
x
R,
≠
y
3
≠
0
y
8
6
1
4 y
= x
–
3
2
x
0 –4
–2
–2
–4
–6
–8
Ejercitación
1
Identique
5C
la
asíntota
horizontal
y
dominio
el
la
ver tical
de
las
siguientes
recorrido
de
cada
La
funciones
e
indique
el
y
pregunta
resolverse
1
y
=
y
x
=
+ 1
+ 2
y
f
x
− 2 x
y
g
x
5
+ 2 x
el
álgebra
le
dice
+ 1
Dibuje
aproximadamente
cada
función
“utilizar
indique
el
dominio
y
el
recorrido
de
se
un
analítico”),
y
h
=
aunque
se
− x
con
la
ayuda
de
la
cada
puede
+
la
CPG
para
CPG vericar
e
esto
método
usar
2
usando
(a
=
+ 1
deberá
=
4
=
+ 1
y
4
= x
=
4
4
y
y
x
4
2
1
1
una.
los
resultados
una. obtenidos.
4
y
y
=
4
=
+1 x
x
y
=
− 8 x
+ 5 Utilice
1
y
=
+ 3 x
y
y
3
− 2
Cuando
=
y
h
cae
y
=
x
un
rayo,
la
luz
instantáneamente.
Pero
aproximadamente
331 m s
el
la
ventana
visualización
de
correcta.
4
=
+ 12
CPG
+ 4 x
+ 2
= 4 x
y
f
− 6 x
1 g
con
=
7
su
5
6
+ 5 3x
alcanza
sonido
los
del
ojos
6
casi
tr ueno
viaja
a
−1
se
ven
afectadas
tiempo
que
por
tarda
el
la
.
Sin
embargo,
temperatura
sonido
en
del
recorrer
las
aire
un
ondas
sonoras
circundante.
kilómetro
se
El
modeliza
1000
t
mediante
=
donde 0, 6c
temperatura
Dibuje
Si
desde
en
4
en
oír
En
el
grados
−20 °C
el
a
a
el
tiempo
en
segundos
y c
es
la
el
gráco
de t
para
las
temperaturas
40 °C.
un
tr ueno,
mismo
es
Celsius.
aproximadamente
estamos
t
+ 331
kilómetro
¿cuál
es
conjunto
de
la
de
distancia
y
temperatura
ejes, dibuje
tardamos
del
aire
3
segundos
circundante?
aproximadamente
1
y
=
x
+
2
e
y
.
= x
relaciones
entre
Compare
los
dos
grácos
y
establezca
+
la
función
lineal
y
su
recíproca.
1
Ahora
haga
lo
mismo
para
y
=
x
+
1
e
y
= x
+ 1
Capítulo
5
149
Funciones
racionales
de
la
forma y
ax
➔
Toda
función
racional
de
la
forma
y
gráco
de
toda
función
racional
y
y
una
Utilice
la
CPG
x
y
=
, x
+
Copie
y
grácos
para
x
+
1
x
+
3
mostrar
,
complete
los
de
b
+ b
un
gráco
+ d
+ b
tiene
una
asíntota
+ d
y
la
2x
=
e x
+
funciones
grácos
2x
=
3
y
+
ver tical.
ingón:
cx
tiene
= cx
horizontal
b
hipérbola.
ax
El
+
= cx
llamado
ax
=
y
racionales
2
de:
− 1
=
3
x
+
3
tabla:
Función
Asíntota
Asíntota
racional
ver tical
horizontal
Dominio
Recorrido
x
y
y
= x
+
3
x
+ 1
x
+
= 3
2x
y
= x
+
2x
y
3
1
= x
+
3
¿Qué
obser va
acerca
de
¿Qué
obser va
acerca
del
las
asíntotas
dominio
y
el
horizontales?
valor
de
la
asíntota
ver tical?
y
➔
La
asíntota
ver tical
ocurre
para
el
valor
de x
que
hace
cero 4
al
denominador. 3
a
➔
La
asíntota
horizontal
es
la
recta
y
= a
c y
2
= c 1
Para
hallar
la
asíntota
horizontal
ax
y
se
deberá
despejar x
x
+ b
–6
=
–4
–2
–1
cx
d
+ d x –2
y ( cx
+ d )
=
ax
+ b
− ax
=
b − dy
x
=
–3
cyx
b
dy
cy
La
es
asíntota
decir,
horizontal
se
cuando: a
cy
=
a
o
y
=
c
150
Funciones
racionales
a
produce
cuando
el
denominador
es
cero,
= c
emo
x
Para
la
función
y
+ 1
:
= 2x
Dibuje
Halle
Indique
4
aproximadamente
la
asíntota
el
el
horizontal
dominio
y
el
gráco.
y
la
ver tical.
recorrido.
Respuestas
y
4
3
2 x
y
+
1
= 2x
–
4
1
x
0 –8
–6
–2
–4
2
4
6
8
–1
–2
–3
Asíntota
ver tical
x
=
Asíntota
horizontal
Cuando
2
2x
−
4
=
a
=
=
1,
c
=
2,
Dominio
x
∈ ,
x
≠
=
2.
y = c
2
x
a
1
y
0,
2
1
Recorrido
y ∈ ,
y
≠ 2
Ejercitación
1
Identique
funciones
x
y
Una
la
asíntota
indique
el
y
y
dominio
el
2x
y
cada
función
con
su
x
=
y
x
de
las
recorrido
de
cada
y
−3 x
+ 2
−4 x
− 5
siguientes
una.
34 x
=
1
y
+ 2
2
16 x
y
x
1
x
3
=
y
= x
8
6
6
4
4
2
2
x
0 –4
–2
–2
–4
–6
y
8
–6
+ 4
y
–8
2
=
gráco:
= x
ver tical
3x
3
y
la
+ 2
=
5
horizontal
+ 2
= x
2
e
5D
2
4
6
8
0 –4
x
–2
–2
–4
–6
Capítulo
5
151
y
8
8
6
6
4
4
2
2
x
0 –4
3
Dibuje
y
x
y
el
–6
–4
–2
2
–2
–2
–4
–4
–6
–6
cada
función
con
la
ayuda
de
la
4
CPG
6
e
8
indique
el
recorrido.
x
+ 2
y
= x
x
0 –8
–2
aproximadamente
dominio
y
x
=
4 x
+ 3
y
7
=
+ 3
Utilice
3x
la
obtener
9x
y
−3 x
+ 1
= 3x
y
y
f
4 x
Escriba
x
5
=
−4
y
negocio
en
estiman
función
Leandro
su
que
Escriba
Escriba
oo
función
Recuerde
función
de
romo
cada
en
y
=
que
$450
C(x)
debe
racional
una
asíntota
surstas
instalar
el
el
camiseta,
respuesta.
ver tical
en
que
el
tienen
un
total
de
producir
costo
de
instalación.
permita
cuando
y
$5,50.
costo
considerar
A(x)
la
equipo
costará
para
de
vericar
3.
para
camiseta
lineal
una
tenga
y
4
2x
camisetas
Costará
estampar
una
que
gráco
función
=
−
horizontal
diseñan
garaje.
una
camisetas.
racional
asíntota
y
el
la
=
4 x
para
+ 2
4 x
= −x
una
Cristian
y
y
4
una
y
y
12
x h
= 2x
4
5x
=
2
3x g
+ 10
CPG
8
se
calcular
x
el
producen x
camisetas.
¿Cuál
es
Escriba
Halle
el
dominio
de
A(x)
en
el
contexto
del
problema?
Explique.
Dibuje
la
asíntota
ver tical
de
A(x). aproximadamente
la
asíntota
horizontal
para A(X ).
¿Qué
signicado
gráco
este
valor
PREGUNTA
6
La
regla
en
TIPO
de
para
“Tomar
la
contexto
del
problema?
EXAMEN
Y oung
medicamento
dosis
el
es
para
una
los
manera
niños
de
calcular
mayores
de
dos
la
dosis
años,
de
un
basada
en
la
adultos.
edad
Multiplicar
este
del
niño
número
en
años
por
la
y
dividirla
dosis
para
por
su
edad
más
2.
adultos”.
at
Esto
se
modeliza
mediante
la
función n
donde
= t
para
niño
152
niños,
en
Funciones
a
es
años.
racionales
la
dosis
para
adultos
en
n
es
la
+ 12
mg
y
t
es
la
edad
el
tiene
del
dosis
de
la
función.
Haga
100
una
mg
tabla
para
Utilice
los
Utilice
el
de
valores
de
2
a
12
años
con
una
dosis
de
adultos.
valores
gráco
de
para
para
dibujar
calcular
la
el
gráco
dosis
de
estimada
la
función.
para
un
1
niño
de
años.
7 2
Escriba
¿Qué
de
7
El
la
signica
costo
Un
promedio
la
valor
es
de
anual
asíntota
de
la
horizontal.
asíntota
horizontal
en
la
regla
de
costo
un
nuevo
una
refrigerador
la
electricidad
cuesta
refrigerador
incluye
Desarrolle
de
que
consume
un
$92.
refrigerador
total
el
el
de
Y oung?
refrigerador
ecuación
en
el
que
costo
del
$550.
dura
15
Determine
años.
ar tefacto
función
que
función
del
muestre
número
y
el
de
el
Puede
de
costo
anual
suponer
que
electricidad.
costo
años
anual
desde
de
un
que
se
lo
compró.
Dibuje
aproximadamente
adecuada?
Puesto
Rotule
que
esta
los
es
ejes
una
la
función.
para
función
¿Cuál
indicar
la
racional,
será
una
ventana
escala.
determine
sus
asíntotas.
Explique
del
f
el
signicado
de
la
asíntota
horizontal
en
el
contexto
refrigerador.
Unaempresaofreceunrefrigeradorquecuesta$1200,
armaquevaadurar
porlo
pero
menos20años.¿Vale
esterefrigeradorladiferenciadeprecio?
ero
rón
Material
✗
de
disponible
de
PREGUNTA
TIPO
ejercicios
Una
cada
función
con
su
f
(x )
1
=
ii
f
1 −
f
(x )
x v
f
(x )
f
y
asíntotas
x
− 2
x
− 4
x
vi
f
(x )
x
+ 2
x
+ 4
=
y
y
+ 1
(x ) =
3
=
x
iii
x
=
4x
(x ) =
x + 2
iv
Hoja
Fracciones
gráco.
2 i
línea:
5:
EXAMEN continuas
1
ampliación
en
8 6
6 4
4 2
2
x
0 –8
–6
–4
–2
2
4
6
8
–2 x
0 –4
–2
2
4
6
8
10
–2 –4
–4 –6
–6
Capítulo
5
153
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
y
y
6 8
4 6
2 4
2 x
–2
x
0 –4
–3
–2
–1
1
2
3
4 –4
–2
–6 –4
y
f
y
6 6
4 4
2 2
x
0 –10
x
0
–8
–6
–4
–2
2
4
–2
–4 –4
–6 –6
5 2
Dadas
f
(x )
f
(x )
=
x
3
Dibuje
Determine
Halle
Para
y
el
cada
la
asíntota
dominio
una
de
y
el
estas
la
f
x
aproximadamente
el
x
1
=
(x )
+ 3
= 3
+ 1
x
función.
ver tical
y
recorrido
funciones,
la
de
horizontal
la
de
la
función.
función.
escriba
las
asíntotas,
el
dominio
recorrido.
y
y
8
6
5
4 f (x)
6
=
6 x
+
4
f (x)
=
2
–
3 4
x
2 x
0 –6
–4
–2
–2 x
0 –6
–4
–2
–4
–2
–6
–4
–8
–6
–8
y
y
6
8
4
6
2
4
–3 f (x)
2 f (x)
=
– x
+
=
+ x
–
5
1
2
6 2 0
x
x
0 4
154
Funciones
racionales
–4
–2
–6
–4
–8
–6
6
4
Un
un
gr upo
n
Si
de
c
de
semana
costo
de
en
Dibuje
Explique
esta
el
gráco
está
de
de
regalarle
salud.
para
cada
escriba
número
la
El
su
vale
profesor
cuesta
estudiante
una
de
a
y e
ecuación
un
vale
por
$300.
representa
para
mostrar
el
el
estudiantes.
función.
restricción
sobre
el
recorrido
y
el
dominio
de
dada
por:
1
=
,
x
∈
R,
x
≠
−2
+ 2
Halle
la
asíntota
horizontal
Halle
la
asíntota
ver tical del
Escriba
las
del
cualquier
f
x
spa
costo
estudiantes,
2x
(x)
quiere
función.
función
f
un
el
función
La
en
representa
número
5
estudiantes
Halle
las
coordenadas
del
del
gráco
de y
=
f
(x).
gráco.
punto
P
donde
se
cor tan
asíntotas.
los
puntos
de
intersección
del
gráco
con
los
ejes
car tesianos.
A
par tir
las
de
lo
asíntotas
ero
PREGUNTA
1
Dibuje
de
la
anterior,
mediante
TIPO
dibuje
líneas
gráco
f
(x )
=
Indique
el
el
gráco
dominio
y
el
(x )
Una
de
f
− 8
(x )
con
la
f
(x )
+
f
(x )
= x
que
a
desde
una
esta
Londres
distancia
de
f
información
a
5
6
= x
vuela
ayuda
2
=
7
están
Muestre
función
8
=
que
cada
x
aerolínea
Y ork,
mostrando
− 5
x
2
(x),
recorrido.
3
f
f
EXAMEN
x
=
punteadas.
6
de y
rón
aproximadamente
CPG.
el
f
(x )
=
+ 3
− 2 x
+ 4
Nueva
5600
puede
km.
escribirse
5600
como
v
donde
=
v
es
la
t −1
velocidad
t
es
el
media
tiempo
en
del
avión
aproximadamente
0
1200
Si
v
el
≤
vuelo
promedio
y
0
dura
del
km h
y
horas.
Dibuje
≤
en
≤
t
10
≤
el
gráco
de
la
función
para
20.
horas,
¿cuál
es
la
velocidad
avión?
Capítulo
5
155
PREGUNTAS
3
Las
de
TIPO
personas
tiempo
con
que
22, 2 s
m
EXAMEN
se
piel
sensible
exponen
a
deben
la
luz
ser
solar
cuidadosos
directa.
La
con
la
cantidad
relación
+ 1428
= s
donde
nos
m
da
la
persona
≤
s
el
tiempo
máxima
con
Dibuje
0
es
piel
un
Halle
la
y
minutos
cantidad
sensible
gráco
≤ 120
en
0
≤
s
es
tiempo
sol
sin
aproximado
m
cantidad
de
al
y
el
valor
que
puede
dañarse
para
de
la
esta
escala
pasar
del
sol,
una
piel.
relación
cuando
≤ 300
de
minutos
que
puede
estar
expuesta
la
piel,
cuando:
s
4
=
10
¿Cuál
Explicar
El
alcalde
gripe
las
es
en
s
la
qué
de
=
la
ciudad
a
m
El
por
s
=100
horizontal?
representa
Bangkok.
máscaras
40
asíntota
esto
para
suministró
costo
(c)
ciento
en
de
una
mascarillas
bahts
la
persona
con
durante
tailandeses
población
piel
está
de
un
sensible.
brote
de
suministrar
dado
por
750 000 m
c
= 100
Elija
m
una
escala
adecuada
aproximadamente
Halle
el
La
de
el
20%
de
la
población.
¿Sería
según
5
costo
posible
función
f
(x)
=
Dibuje
Utilizando
su
El
156
El
Funciones
valor
a
la
totalidad
de
la
respuesta.
≠
2
gráco,
de
de
racionales
90%
mascarillas
su
a:
la
cur va
de f
para
asíntotas.
ecuación
valor
dibujar
como:
aproximadamente
sus
La
x
5
mostrando
para
5
,
2 + 2x
el
Explique
dene
1 f
CPG
mascarillas
suministrar
se
su
función.
50%
modelo?
(x)
utilice
suministrar
el
este
la
y
de
la
la
escriba:
cada
asíntota
intersección
intersección
con
con
el
el
eje x
eje y
−3
≤
x
≤
5,
población,
ResuMeN
del
capítulO
5
Rroo
●
El
●
Un
de
rroo
número
un
número
multiplicado
es
por
su
dividido
por
recíproco
ese
es
número.
igual
a
.
1
Por
ejemplo:
3
×
=
3
1 −
●
El
de
rroo
x
es
o
−
x
y
x
x
×
=.
x
l
●
fnón
Si
la
●
una
cur va
cor ta,
El
rro
esa
gráco
se
acerca
recta
de
una
se
más
y
más
denomina
función
a
una
recta,
pero
nunca
no
recíproca
de
la
forma
k
y
=
tiene
a
x
=
0
como
asíntota
ver tical
y
a
y
=
0
como
asíntota
x
horizontal.
●
El
■
gráco
El
eje
de
x
una
es
la
función
asíntota
recíproca
es
una héro.
y
horizontal. x
=
0, el
eje
y, es
6 ■
El
■
Tanto
eje
y
es
la
asíntota
ver tical.
una
asíntota
4
el
dominio
como
el
recorrido
son
todos
los
y
=
–x
2
números
reales
menos
el
cero. f
■
Las
dos
ramas
del
gráco
son
simétricas x –4
respecto
de
y
=
y
=
y ■
=
x
e
y
−x
4
6
0, el
eje
−x.
son
los
ejes
de
simetría
de
esta
=
una y ●
La
función
recíproca
Fnon
on
on
=
Una
–6
nr
ron
fnón
ron
es
una
función
de
la
forma
f
(x )
y
= 4
h( x )
donde
g
y
h
asíntota
x
g(x ) ●
x, es
–4
función.
son
polinomios. 3
ax ●
Toda
función
racional
de
la
forma
y
tiene
= cx
gráco
llamado
+ b
un
a y
+ d
2
= c
hipérbola.
1
●
La
asíntota
ver tical
se
produce
en
el
valor
de x
que
x
0 –6
hace
que
el
denominador
sea
–4
–2
cero. –1
a ●
La
asíntota
horizontal
es
la
recta
y
d x
= –2
= c
c
–3
Capítulo
5
157
t or
del
conomno
sm
Fron
Los
antiguos
nmrón
g
egipcios
solo
utilizaban
3
En
fracciones
con
,
=
■
Escriba
+
4x
2x
cada
4x
expresión
algebraica
,
2
3
4
como
3
Esto
álgebra:
por
,
ejemplo
numerador
signica
que
en
lugar
de
fracción
egipcia.
ellos 4
una
4
5
7
23
3x
4x
4x
24x
escribían
+ 2
.
Todas
la
forma
sus
fracciones
se
4
expresaban
en
y
se
las
llama
n
fron
¿Dónde
n r
cree
que
esto
podría
ser
2
Se
representaban
números
tales
útil?
como 7
como
sumas
de
2
+
7
la
unitarias
).
4
fracción
no
veces
=
(así,
las
limitaciones
de
+ 7
¿Es
posible
escribir
cualquier
no
fracción
como
una
fracción
7
válido). 5
Por
podía
7
era
son
fracciones?
28
misma
dos
¿Cuáles
estas
2
utilizarse
(por
=
ejemplo,
Además,
fracciones
sería
ejemplo, 8
■
Escriba
+ 2
como
. 8
fracciones
unitarias:
5
5
2
6
6
8
5
7
{
En
un
inca,
los
nudos
las
quipu
en
cuerdas
representan
números.
”
El
papiro
contiene
copiada
antiguo.
158
Teoría
del
Conocimiento:
sistemas
de
numeración
matemático
una
de
tabla
otro
de
Rhind
de
1650
fracciones
papiro
200
años
a.C.
egipcias
más
t ro
Las
gn
y
años
babilónica
con
Muhammad
ningún
Los
sifr
■
un
árabes
se
aparece
pequeño
llamaron
¿Quién
■
¿Qué
se
■
Haga
una
■
Obser ve
utilizó
Ahora
■
En
■
Los
la
el
lista
que
un
intente
antiguos
podía
investigar)
este
lugar
era
los
griegos
que
no
y
en
es
la
años,
{0}
son
fuese
del
sucede
si
dividimos
cero
■
¿Qué
sucede
si
dividimos
cualquier
■
¿Qué
sucede
si
dividimos
cero
{
Los
un
mayas
debía
las”.
nombre
el
culturas
sistema
por
por
{0,
es
{
1,
2,
3}.
}.
9
+
x
año
de
=
1
qué
3²
a.C.
maya
e
del
y
de
ecuación
el
año
con
el
Zenón
1
3x
=
d.C.
cero
(un
y
0.
¿Y
se
buen
el
año
cero?
preguntaban
tema
para
cero.
inca?
decimal?
¿Es
cualquier
cosa?
por
la
hacer
paradojas
tentativo
cosa
y
positivo
o
negativo?
cero?
cero?
utilizaban
símbolo
caracol
en
Las
uso
¿Qué
cero
las
de
el
seguros
■
el
cálculo,
diferentes?
algo.
¿Dónde
cero
otro
tenemos
■
está
El
un
palabra cero.
ecuación
estaban
par te
y
¿Cómo
el
(vacío).
de
vez?
■
entendían
las
de
nada?
nada
nada
dependen
un
decenas,
subconjuntos
Resuelva
de
en
preser var
sifr
más
eso?
subconjunto
esto.
las
hace
ausencia
si
nuestra
primera
los
cero
en
la
que,
de
“para
círculo
por
todos
que
ser
el
cero
contaban
comentó
en
de
ya
representar
tiempo,
antes
de
esto
a
el
cero
numeración
cómo
para
círculo
que
usaba
¿Signica
■
con
signica
■
hindú
alKhwarizmi
convir tió,
¿Esto
e
sistemas
número
utilizarse
nr
n?
culturas
2000
frn
c
¿Hy
de
un
marino
representar
el
para
cero.
Capítulo
5
159
Patrones,
progresiones
y
6 series
ObjetivOs
1.1
del
capítulO:
Progresiones
aritméticas
progresiones
geométricas
geométricas;
la
notación
y
series;
y
de
suma
series
nita
de
geométricas;
series
suma
aritméticas;
nita
e
innita
de
series
sumatoria.
Aplicaciones
n
El
1.3
teorema
del
binomio:
desarrollo
de
(a +
b)
,
n ∈ N;
cálculo
de
los
coecientes
⎛ n ⎞
del
desarrollo
de
la
potencia
de
un
binomio
usando
el
triángulo
de
Pascal
y
⎜
⎝
an
Qué
1
y
Por
saber
ecuaciones
despejar
lineales
Comprobemos
y
cuadráticas
1
variables
ejemplo:
⎠
omnzr
necesitamos
Resolver
⎟
r
Resolver
la
ecuación
Resuelva
3x
–
p(2
2
5
–
cada
=
p)
5x
=
nuestras
habilidades
ecuación:
+
7
–15
n
n(n
–
4)
=
2
+
9
=
41
2
n
–
4n
=
2
4n
–
2
=
0
2
Despeje
k:
2
–
n
(n
–
6)(n
n
Por
2)
–2,
n
ejemplo:
ac
b
2
=
+
=
=
b
ac
–
=
0
=
6
Despejar
b
en
esta
3
fórmula
3
Reemplazar
6m
2pk
Si
T
=
+
–
8k
5
2x
=
=
(x
30
3
+
3y),
=
5
y
=
halle
el
valor
valores
conocidos
en
x
=
3
e
y
ejemplo:
Usando
la
4
fórmula
4
A
y
=
q
3p
=
–
0q,
hallar
el
valor
,5
4
A
=
3p
–
x
=
4,7
e
0q
de
A
si
p
=
2
Usando
la
–2
fórmula
de
m
si:
x
=
5
e
y
=
3
x
=
3
e
y
=
–2
x
=
–5
4
A
160
=
1
–
3(2)
A
=
3(6)
A
=
48
A
=
33
Patrones,
–
T
fórmulas
x
Por
de
cuando:
3
+
0(,5)
–
y
= 2
5
5
progresiones
e
y
series
m
=
2
3
–
y
,
halle
el
valor
Las
bacterias
en
esta
cápsula
de
Petri
crecen
y
se
reproducen;
en
este
[
Crecimiento
bacterias
caso,
su
masa
total
se
duplica
cada
dos
horas.
A
las
8
de
la
cápsula
la
masa
2
La
medirá
masa
usarse
de
En
mide
8
2
de
horas,
pueden
gramos;
gramos
las
para
este
3
horas
capítulo
resultar
inmediato
y
la
o
lo
útiles
●
Predecir
la
masa
●
Calcular
●
Predecir
●
Calcular
la
●
Calcular
cuánto
cuánto
cuánto
Por
cápsula
de
las
0
sigue
medirá
un
bacterias
patrones.
6
patrón
en
la
un
tomará
total
podemos
país
durarán
tiempo
que
Los
predicciones
ejemplo,
de
tiempo
los
hacer
tiempo
distancia
las
gramos,
a
de
una
Petri
las
que
cápsula
podría
después
horas.
para
población
a
de
sucesivamente.
en
24
tanto,
estudiaremos
mediato.
la
así
bacterias
predecir
2
y
por
en
mañana
en
20
usar
un
reservas
recorrerá
tomará
para
para
el
nos
futuro
patrones
para:
años
cancelar
las
patrones
de
una
que
préstamo
un
recurso
pelota
una
bancario
que
inversión
natural
rebota
se
duplique
Capítulo
6
161
.
pron
ingón:
Joel
decide
Ahorra
semana
y
Copie
comenzar
$20
la
así
y
y
Número
ahorrar
de
dinero
dinero.
semana,
$25
la
segunda
semana,
$30
la
tercera
sucesivamente.
complete
semana
rogron
ahorro
a
primera
y
cuánto
de
la
siguiente
ahorra
en
tabla
total
para
mostrar
durante
Ahorro
T otal
semana
semanal
ahorrado
1
20
20
2
25
45
3
30
75
las
cuánto
ocho
ahorra
primeras
Joel
4
5
6
7
8
a
¿Cuánto
ahorrará
¿Cuánto
dinero
¿Cuánto
tiempo
Intente
escribir
semana.
número
T rate
f
que
de
En
la
cada
que
de
de
en
ahorrará
le
la
una
el
al
semana?
cabo
ahorrar
fórmula
M
a
10.
Joel
tomará
Sea
para
monto
de
al
el
un
ahorra
en
la
17.
?
año?
menos
monto
que
¿Y
$1000?
de
dinero
cada
que
semana
Joel
y
n
ahorra
el
semana.
escribir
ahorró
Joel
una
Joel.
Sea
fórmula
T
el
para
total
de
el
mono
sus
o
ahorros
y
n
de
el
dinero
número
semanas.
investigación
semana
ahorra
a
anterior,
forman
medida
una
que
los
montos
rogrón.
el
tiempo
de
Los
pasa
dinero
montos
forman
que
Joel
totales
otra
ahorra
de
dinero
progresión
diferente.
➔
Una
en
He
aquí
8,
162
rogrón
un
orden
algunas
,
4,
800,
400,
,
4,
9,
5,
0,
7,
5,
Patrones,
…
25,
20,
de
progresiones:
200,
6,
nmér
par ticular
00,
…
…
25,
…
progresiones
y
series
es
un
patrón
acuerdo
con
de
números
una
regla.
por
semanas.
dispuestos
➔
Cada
número
o
elemento
de
una
progresión
se
denomina
tér mino
En
la
progresión
término
es
También
,
8,
el
,
4,
tercer
podemos
7,
…,
término
usar
la
el
es
primer
4,
notación
y
u
así
término
es
8,
el
segundo
sucesivamente.
para
denotar
el
enésimo
n
término
Por
de
lo
una
progresión,
tanto,
para
u
,
8,
,
donde
4,
7,
n
es
…
un
se
entero
podría
positivo.
decir:
Algunas
=
u
8,
=
u
2
=
4,
y
así
letras
Se
puede
cada
continuar
término
8,
,
4,
veces,
es
el
tres
7,
patrón
si
unidades
20,
23,
nos
damos
mayor
que
cuenta
el
valor
de
que
del
el
valor
término
distintas
esta
progresión,
u
para
a
los
representar
anterior:
una
26
se
podría
escribir: u
=
8
y
u
=
u
n+
+
términos
valor
una
del
fórmula
término
rr:
el
valor
de
cada
Por
podríamos
3
n
a
t
n
es
de
progresión.
usar
Esta
de
de
ejemplo,
Para
usamos
sucesivamente.
3
término
depende
del
anterior.
o
x
n
término
para
n
representar
de
el
enésimo
una
progresión.
En
es
la
la
progresión
mitad
del
800,
400,
término
200,
00,
…,
el
valor
de
cada
término
anterior.
En
este
caso,
=
u
800
y
u
=
u
n+
n
2
emo
Escriba
una
fórmula
recursiva
para
el
enésimo
término
de
cada
progresión
9,
15,
2,
6,
21,
18,
27,
54,
…
…
Respuestas
u
=
9
y
u
1
=
u
n+1
+
6
Sumar
6
para
llegar
de
un
tér mino
al
n
siguiente
u
=
2
y
u
1
=
3u
n+1
Multiplicar
por
3
para
llegar
de
un
n
tér mino
al
siguiente
A
Muchas
veces
resulta
más
útil
escribir
veces
esto
denomina
némo
érmno
n
rogrón .
Con
una
fórmula
valor
En
del
la
hallar
el
valor
de
un
término
sin
necesidad
la
“regla
general, general
podemos
de
conocer
el
para
enésimo
,
4,
9,
6,
25,
…,
cada
término
término”.
es
un
cuadrado Recordemos
2
Una
el
anterior.
progresión
perfecto.
se
la fórm gnr
El
primer
fórmula
término
general
para
es
el
que
n,
la
2
,
el
segundo
enésimo
2
término
,
y
de
así
sucesivamente.
esta
progresión
es
posición
será
del
término,
siempre
un
2
u
=
n
número
entero.
No
n
En
la
progresión
5,
0,
5,
20,
25,
…,
cada
término
es
un
múltiplo
podríamos
tener
un
3
de
5.
El
primer
término
es
5
×
,
el
segundo
5
×
2,
y
término
así
‘
-ésimo’
o
un
4
sucesivamente.
esta
progresión
Una
es
u
fórmula
=
general
para
el
enésimo
término
de
término
‘7,5-ésimo’.
5n.
n
Capítulo
6
163
emo
Escriba
una
fórmula
general
para
el
enésimo
término
de
cada
progresión
4,
8,
1
12,
16,
1
1
1
,
,
3
,
,
6
9
…
…
12
Respuestas
u
=
4n
Cada
tér mino
es
un
múltiplo
de
4.
n
1
u
=
Los
denominadores
son
múltiplos
n
3n
de
Ejercitación
1
Escriba
3,
7,
11,
3,
4,
6,
1
3
,
u
=
15,
9,
13,
…
,
…
los
y
u
=
3(u
=
n
4
2,
64,
5,
4,
–10,
8,
…
20,
–40,
…
6,0;
6,01;
6,012;
6,0123;
…
términos
u
)
en
cada
=
3
y
progresión.
u
=
u
n +1
1
+1
n
)
u
=
x
y
u
n 1
1
u
n
3
una
4,
2,
(u
n +1
Escriba
1,
progresión.
2
u
y
1
3
cuatro
n
3
=
cada
f
primeros
n +1
u
de
11
1
términos
7
8
10
tres
…
,
5
Escriba
6A
próximos
5
,
2
2
los
3.
6,
fórmula
8,
recursiva
para
…
cada
1,
progresión.
3,
9,
27,
… Para
32,
16,
8,
…
7,
12,
17,
22,
…
hallar
primer
el
término,
reemplazamos 4
Escriba
los
cuatro
primeros
términos
de
cada
n
=
1;
progresión. para
hallar
el
segundo,
n
u
=
3
u
n
=
−6n
+
3
n
usamos n
u
=
1
u
=
2,
y
así
n
n
Escriba
=
n
2
n
5
n
una
fórmula
general
para
el
sucesivamente.
enésimo
término
de
cada
progresión.
2,
64,
4,
1
2 ,
2
6
La
6,
32,
8,
3 ,
3
…
16,
8,
…
1,
7,
3,
12,
9,
17,
27,
f
x,
2x,
3x,
…
22,
…
4x,
…
4
,
,
4
progresión
progresión
…
5
de
1,
1,
2,
3,
5,
8,
13,
…
se
conoce
como
la
Fibonacci.
Escriba
el
15.°
Escriba
una
término
fórmula
de
la
progresión
recursiva
para
la
de
Fibonacci.
progresión
de
Fibonacci.
[
.
progrón
Fibonacci,
conocido
r mé
Leonardo
En
la
progresión
8,
,
4,
7,
…,
el
valor
de
cada
término
es
tres
(italiano,
1250).
unidades
mayor
rogrón
164
Patrones,
que
el
r mé
progresiones
anterior.
o
y
Esta
sucesión
series
progresión
aritmética.
es
un
ejemplo
de
también
como
de
c.
Pisa
1170–c.
➔
En
una
progresión
aritmética,
los
términos
crecen
o
decrecen
En
el
Papiro
Ahmes,
en
un
valor
constante.
Este
valor
se
denomina frn
o
que
de
data
d.
aproximadamente
La
diferencia
puede
ser
un
valor
positivo
o
negativo.
del
año
1650
aparecen
Por
,
4,
7,
…
En
esta
progresión, u
=
8
y
=
35
=
4
=
c
d
=
ejemplos
30,
25,
20,
…
En
esta
progresión, u
En
esta
progresión, u
progresiones
3.
35,
C.,
ejemplo: de
8,
a.
aritméticas.
y
d
=
–5.
4;
4,;
4,2;
4,3;
…
y
d
=
0,.
c,
2c,
3c,
4c,
…
En
esta
progresión,
u
y
d
=
c
Para
cualquier
progresión
aritmética, u
=
u
n+
Podemos
hallar
diferencia,
En
una
=
u
d,
al
cualquier
término
progresión
primer
término
de
la
+
d
n
progresión
sumando
la
anterior.
aritmética:
término
u
=
u
=
u
2
u 3
u
d
+
d
=
(u
2
=
+
d
=
(u
3
=
d)
+
d
=
u
+
d
=
+
(u
4
+
2d
2d)
+
d
=
u
5
+
u
4
u
+
u
+
3d
+
4d
+
3d)
+
d
=
u
…
…
=
u
u
n
➔
+
(n
–
)d
Podemos
hallar
aritmética
el
usando
enésimo
la
término
=
fórmula: u
u
n
emo
de
una
+
(n
progresión
–
) d.
Halle
el
Halle
una
12.º
término
expresión
de
la
para
progresión
el
enésimo
aritmética
13,
19,
25,
…
término.
Respuestas
u
=
13
y
d
=
Deter minar
6
estos
valores
obser vando
la
1
u
=
13
+
(12
–
1)6
progresión
12
=
u
=
13
+
Para
66
n
79
=
el
12
12.º
en
tér mino,
la
reemplazar
f ór mula
12
u
=
u
n
u
=
13
+
(n
–
1)6
+
(n
–
1) d
1
Para
el
enésimo
tér mino,
reemplazar
n
=
13
+
6n
–
6
los
valores
de
u
y
d
en
la
f ór mula
1
u
= n
6n
+
7
u n
=
u
+
(n
–
1) d
1
Capítulo
6
165
emo
Si
Halle
el
número
de
términos
de
la
progresión
84,
81,
78,
…,
una
progresión
12.
continúa
indenidamente
Respuesta
u
=
84
y
d
=
–3
Deter minar
estos
valores
obser vando
hay
último
y
no
término,
1
u
=
84
+
(n
–
1)(–3)
=
12
la
es
progresión
una
progresión
n
Reemplazar
los
valores
de
u
y
d
innita.
en
Si
la
1
la
f ór mula
u
= u
n
84
–
Hay
3n
+
25
=
75
es
n
=
25
nita.
Para
cada
el
Halle
una
3,
36,
5,6;
5,
1
una
46,
enésimo
…
6,8;
…,
…
de
términos
en
255
, ..., 14
8
25,
100,
f
x,
5m,
8m,
…,
55,
87,
+
…
74,
a,
x
…
+
2a,
…
progresión:
4,8;
5,0;
250,
f
x,
5,2;
…;
38,4
221,
192,
…,
–156
80m
3x
+
3,
5x
+
6,
…,
19x
+
progresión
aritmética,
u
=
48
y
9
término
40,
x
cada
término.
4
emo
En
el
…
6,2;
15,
para
5
2m,
progresión.
expresión
9,
41,
,
2
n
término.
número
7 ,
15.º
6,
10,
en
progresión:
Halle
el
Resolver
6B
Halle
2
la
12
tiene
3n
en
=
progresión
87
términos
3n
+ (n – 1)d
=
Ejercitación
1
–
y
la
u
=
75.
Halle
el
primer
12
diferencia.
Respuesta
u
+
3d
=
u
9
48
u
+
3d
=
75
habría
3d
=
27
veces.
d
=
9
u
+
(9
–
1)9
=
Para
48
+
72
=
48
u
=
–24
la
1
1
primer
término
diferencia
166
que
del
9.°
Patrones,
es
es
–24
y
la
9.
progresiones
y
series
sumar
hallar
1
u
El
llegar
tér mino
al
12.°,
12
= 9
Para
f ór mula
el
termina
o
1
3
la
dif erencia
primer
tér mino,
tres
usar
27
último
una
término,
progresión
Ejercitación
Una
1
progresión
término
31,6.
PREGUNTA
En
2
6C
una
aritmética
Halle
TIPO
la
tiene
primer
término
aritmética,
la
diferencia
3
Halle
el
valor
de
x
4
Halle
el
valor
de
m
el
la
progresión
Esta
gomér ,
➔
En
una
o
en
primer
la
en
2,
razón,
6,
u
=
37
y
u
r,
x,
8,
…
al
rzón
puede
4.
término.
aritmética
progresión
3,
aritmética
m,
13,
3m
–
6,
…
gomér
54,
...,
es
cada
un
término
ejemplo
se
obtiene
triplicando
de rogrón
geométrica.
gomér ,
rogrón
=
21
progresión
la
8,
sucesión
denomina
Por
el
progresión
multiplicando
La
y
progron
anterior.
15.°
EXAMEN
progresión
Halle
En
y
diferencia.
10
.
19
anterior
por
un
cada
término
valor
se
constante.
obtiene
Este
valor
se
o r
ser
positiva
o
negativa.
ejemplo:
,
5,
25,
25,
…
u
=
y
r
=
5
=
3
y
r
=
–2
=
8
=
k
3,
–6,
2,
–24,
…
u
1
8,
27,
9,
3,
…
u
y
r
=
3
2
k,
k
3
,
k
4
,
k
,
…
u
y
r
=
k
Para
cualquier
progresión
geométrica, u
=
(u
n+
cualquier
razón,
Para
término
la
progresión
Podemos
calcular
multiplicando
al
anterior
por
la
r.
cualquier
u
de
)r.
n
=
primer
=
u
=
u
progresión
geométrica:
término
u 2
×
r
×
r
2
u 3
=
(u
2
×
r)
×
r
=
u
×
r
2
u
=
u
4
×
r
=
(u
3
×
r
3
)
×
r
=
u
×
r
×
r
3
u
=
u
5
×
r
=
(u
4
×
r
4
)
×
r
=
u
…
…
n
=
u n
➔
u
×
–
r
Podemos
hallar
el
enésimo
término
de
una
n
geométrica
usando
la
fórmula u n
=
u
(r
–
progresión
).
Capítulo
6
167
emo
Halle
el
9.°
término
de
la
progresión
1,
4,
16,
64,
…
Respuesta
u
=
1
y
r
=
4
Deter minar
estos
valores
obser vando
1
la
9
u
–
1
progresión
8
=
1(4
)
=
1(4
=
1(65 536)
)
Para
el
9.°
tér mino,
reemplazar
9
n
n
=
9
en
la
f ór mula
u
=
u
n
u
=
–
(r
1
)
1
65 536
9
emo
Halle
el
12.°
término
de
la
progresión
7,
–14,
28,
–56,
…
Respuesta
u
=
7
y
r
=
–2
Deter minar
estos
valores
obser vando
1
la
12
u
–
1
=
7((–2)
=
7(–2048)
progresión
11
)
=
7((–2)
Para
)
el
12.°
tér mino,
reemplazar
12
n
n
=
12
en
la
f ór mula
u
= n
u
=
u
(r
1
–14 336
12
Ejercitación
1
Para
cada
16,
1,
8,
progresión,
4,
10,
6D
…
100,
…
halle
la
– 4,
25,
2
2,
6x,
emo
En
una
18x
razón
12,
10,
7
,
…
a
f
y
a
4,
b
…
5
,
a
3
b
,
…
progresión
la
término.
…
2
geométrica,
u
=
864
y
u
1
Halle
7.°
–36,
6
b,
el
=
256.
4
razón.
Respuesta
4
u
=
u
4
–
1
(r
)
3
=
1
u
(r
)
Reemplazar
=
864(r
y
u
)
=
256
n
256
en
4
u n
8
=
u
–
(r
1
)
1
3
r
=
=
864
27
8
r
=
3
Resolver
27
2
r
= 3
168
=
Patrones,
progresiones
4,
u
=
864,
1
3
256
n
1
y
series
en
r
la
f ór mula
–
1
)
emo
Para
que
la
el
progresión
enésimo
geométrica
término
5,
resulte
15,
45,
mayor
…
que
halle
el
menor
valor
de
n
tal
50 000.
Respuesta
u
=
5
y
r
=
3
n
1
1
Deter minar u
=
5
×
–
u
y
r
obser vando
la
1
3
n
progresión
Reemplazar
u
=
5
y
r
=
3
en
la
1
n
f ór mula
u
=
u
n
Se
puede
pantalla
para
(r
la
gráca
la
1
)
1
usar
hallar
ingresar
–
el
calculadora
(en
valor
f ór mula
de
adelante,
de
n.
CPG)
Primero
para
u
en
n
una
función.
representa
Obser var
de
los
El
9.°
=
10,
dado
que
u
>
50 000
la
tal
tér mino
es
x
98
la
variable
como
tabla
primeros
tér mino
n
n,
Sea
n
es
se
para
que
muestra.
ver
los
valores
tér minos
32
805,
y
el
10.°
415.
y
10
u
1,
resultar
conveniente
n
más
usar
n
u
(r
1
S
u
1
)
1
o
=
S
(1
r
) ,
=
donde
r
≠
la
primera
fórmula,
n
n
r
1
1
r evitando
con
un
así
trabajar
denominador
negativo.
emo
Calcule
la
suma
de
los
12
primeros
términos
de
la
serie
1
+
3
+
9
+
...
Respuesta
u
=
1
y
r
=
3
Reemplazar
los
1
1
(3
S
valores
de
u
,
r
y
n
en
1
12
1
la
f ór mula
)
=
12
3
n
1
u 1
S 531 440
(r
)
n
r
=
1
= 1
2
=
265 720
Capítulo
6
175
emo
Halle
8192
el
+
número
6144
Calcule
la
+
de
términos
4608
suma
…
+
de
los
+
de
la
Las
serie
geométricas
1458.
menudo
términos.
de
Respuestas
u
=
8192
y
r
=
Hallar
r
dividiendo
u
por
u
2
8192
n
3
⎛
Reemplazar
los
n
f ór mula
u
=
u
n
729
3
⎛
=
tal
nieve
de
Koch.
–
conocidos
en
1
(r
)
1
1
⎞
= ⎜ 4096
⎟ 4
⎝
⎠
6 6
3
3
⎛
=
6
3
6
=
729
y
4
=
4096
⎞
= ⎜
6
4096
4
=
n
de
1
valores
⎠
n
1
copo
1
la
–
fractales,
el
a
⎟ 4
⎝
n
ven
estudio
⎞
⎜
729
se
el
4
1458 = 8192
8192
en
3
=
1
1458
los
como 6144
series
También
⎟ 4
⎝
podemos
resolver
esta
⎠
ecuación
usando
(Véase
ejemplo
logaritmos.
6
=
el
19.)
7
7
⎛
3
⎛ 8192 ⎜ 1
⎜
⎝
S
4
⎝
⎞ ⎞ ⎟
⎟
⎠
⎠
Reemplazar
=
los
valores
de
u
7
,
r
y
n
en
1
3 1
la
f ór mula
4
[
n
u ⎛ 14 197
⎞
⎜
1
Copo
de
nieve
de
) Koch
= n
⎟
16 384
⎝
(r
1
S
8192
r
1
⎠
= 1
También
4
=
28 394
y
Ejercitación
1
usando
Calcule
el
sum
podemos
las
calcular
funciones
(suma)
de
la
seq
sumas
(secuencia)
CPG.
6I
valor
de
S
para
cada
serie
geométrica.
12
2
0,5
64
+
–
1,5
32
Calcule
el
+
+
4,5
16
–
valor
+
8
…
+
de
0,3
(
…
S
para
cada
x
+
0,6
+ 1) +
+
1,2
(2x
+
+ 2
)
…
+
(
4 x
+
4
)
+
...
serie.
20
16
0,25
+
0,75
+
2,25
+
…
8
9
3
–
6
+
PREGUNTA
12
–
TIPO
24
+
+
+
4
+
…
3
2
…
log
a
+
log
(
a
4
)
+
log
(
a
8
)
+
log
(
a
)
+
...
EXAMEN Hasta
3
Para
cada
serie
el
hemos
Halle
el
Calcule
momento
geométrica:
número
de
visto
términos. progresiones
la
series
1024
2,7
+
1536
+
2304
+
…
+
aritméticas
10,8
+
43,2
+
…
+
125
25
5
tipos
de
1 progresiones
+
128
176
590,49
Patrones,
+
y
series
+ ... +
+
64
¿Existen
2764,8 otros
y
26 244 geométricas.
+
y
suma.
32
625
196,83
progresiones
y
+
65,61
series
matemáticas?
+
…
+
0,01
se
usan?
¿Cómo
emo
Una
Para
la
serie
geométrica
3 + 3
2
+ 6 + 6
2
determine
+ …,
el
vieja
hindú
valor
de
n
para
el
cual
S
>
fábula
menor
cuenta
que
500.
n
un
príncipe
tan
quedó
fascinado
con
Respuesta
un
u
=
3
y
r
=
Reemplazar
2
los
nuevo
juego
de
valores
1
ajedrez
n
3
S
conocidos
2
(
en
la
f ór mula
de
pidió
a
su
n
)
inventor
=
>
Ingresar
500
la
ecuación
de
S
que
eligiera
en
n
n
2
que
S
1
1
su
la
recompensa.
El
CPG
hombre
dijo
que
Recordemos:
quería
En
la
CPG,
la
X
arroz
“n”,
el
número
f1(x)
representa
un
grano
de
representa
de
tér minos,
en
el
primer
y
cuadrado
del
tablero
S n
de
ajedrez,
granos
Obser var
las
la
sumas
tabla
de
los
para
ver
primeros
n
cuatro
y
así,
en
en
cada
suma
de
los
12
Esto
es
y
que
la
suma
de
primeros
tér minos
traer
aproximadamente
13,
dado
que
S
>
500
y
13
S
400.
n
25,6
2
38,4
+
+
9
Una
57,6
+
14
–
42
0,02
+
126
–
378
+
...
+
0,2
+
2
…
+
27
serie
Halle
+
…
32
+ 3
2
+
8
…
la
geométrica
razón
y
el
tiene
valor
tercer
de
término
1,2
y
octavo
término
291,6.
S 0
En
3
una
serie
geométrica,
S
=
20
y
S
4
Halle
la
razón
si
r
>
=
546,5.
7
1.
“A
PREGUNTA
TIPO
1 4
Halle
la
razón
para
la
serie
1 +
geométrica
A
partir
de
lo
anterior,
halle
el
mínimo
8
valor
+
anterior”
...
16
de n
que
para
el
cual S
>
800.
es
una
304,
la
y
suma
En
6
serie
una
la
geométrica,
suma
de
los
serie
11
de
los
la
6
de
primeros
primeros
geométrica,
suma
los
3
primeros
términos
es
previa
términos
1330.
este
Halle
es
10
veces
la
la
suma
suma
de
de
los
los
2
4
r
.
>
1,
halle
sr
la
aquí
2
+
tres
1
240
1
Para
+
onrgn
–
series
0,5
60
+
cada
Halle
Use
15
una
la
su
series
75
–
3,75
de
términos.
y
m
2
¿Obser va
3
Ahora
la
ejercicios
línea:
6:
Hoja
Finanzas
nno
érmno
+
30
+
12
+
...
series:
r
para
calcular
valores
algún
use
ampliación
en
convergentes
los
valores
de
S
,
S
10
los
de
disponible
...
+
estas
razón,
CPG
Escriba
resolver
geométricas:
…
+
para
apar tado.
razón.
ingón:
He
usar
respuesta
primeros
primeros
de
Si
advier te
términos.
Material
términos
lo
nos
debemos
nuestra
n
En
5
de
3 +
12
par tir
EXAMEN
completos
patrón?
CPG
para
¿Por
que
qué
calcular
obser va
cree
el
que
valor
de
,
20
la
sucede
S
S
15
en
para
pantalla
de
su
calculadora.
esto?
cada
serie.
50
¿Cree
Para
cada
usted
una
que
de
el
las
resultado
series
de
la
de
su
calculadora
investigación
es
correcto?
deberíamos
Explique
por
qué
o
por
qué
no.
haber pro
notado
que
los
valores
de
,
S
S
0
debe
a
que
cuando
una
serie
y
S
5
están
muy
próximos.
Esto
se
20
Supongamos
geométrica
tiene
una
razón r
tal
caminamos
|r|
decreciente
(1, ∞),
dado
(−∞, −1)
No
(−1, 0),
f
podemos
creciente
0.
en
que
y
(0, 1)
′(x)
de
la
derivada
segunda
hacia
cerca
de
c,
segunda
derivada
de
f
existe
f
es
ende,
f
cóncava
cerca
posee
de
c.
un
cerca
mínimo
relativo.
Si
0,
2
Si
f
″(c)
−2
máximo
0
→
mínimo
que
que
el
valor
se
crítico
podría
usar
12
da
un
también
mínimo
la
comprobación
relativo
3
de
12
48
y
=
y
=
=
números
emo
Una
sus
que
el
primera.
segundo
número
4
12
x
Los
derivada
Hallar
48
⇒
la
son
12
y
4.
parcela
lados.
El
rectangular
cuar to
encierran
el
lado
área
para
de
tierras
la
máxima.
de
parcela
Halle
cultivo
es
el
una
área
está
pared
encerrada
de
por
piedra.
un
Halle
vallado
las
de
180 m
dimensiones
en
de
tres
la
de
parcela
máxima.
Respuesta
Elaborar
un
cantidades a
diagrama
que
se
van
y
a
asignar
variables
a
las
deter minar
a
l
Escribir
A
=
2a
la
+
l
a
=
180
⇒
l
=
180
–
2a
ser
Usar
una
función
para
el
área,
la
cantidad
que
va
maximizada
la
otra
inf or mación
dada
para
reescribir
la
2
A
=
(180
A′( a )
–
2a)a
=
= 180 − 4 a
180 − 4 a
=
0
180a
–
2a
función
Hallar
=
la
la
el
área
derivada
minimizada
donde a
para
y
de
luego
derivada
usando
se
la
solamente
función
deter minar
que
los
dos
va
a
variables
ser
puntos
críticos,
anula
45
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
7
245
A′′( a )
=
A′′( 45)
Usar
−4
=
−4
1
se
rota
alrededor
del
eje
x.
x
Si
El
a
→
∞,
el
sólido
volumen
del
se
conoce
el cuerno de Gabriel.
como
sólido y
generado
por
revolución 3
alrededor
del
eje
x
está 2
a
dado
π∫
por
y²dx.
Puede
1
mostrarse
1
que
el
área
de x
1
la
supercie
del
2
3
4
a
sólido
-1
está
dada
por
a -2
2π∫
1
+
(y ′)²dx
1
-3
■
Use
una
hallar,
CPG
con
volumen
una
y
el
del
de
la
a
y
de
para
tabla.
volumen
acerca
aproximación
área
anteriormente
copia
para
los
A
del
la
de
cuatro
supercie
valores
dados
continuación
área
de
la
del
lugares
sólido
de a.
elabore
supercie,
a
decimales,
el
descripto
Escríbalos
una
en
conjetura
medida
que a
una
acerca
se
innito.
1
a
Volumen
a
=
π∫ 1
(
dx
Área
de
la
supercie
=
2π∫ 1
1
1
a
² )
x
[
1 x
+
4
]
dx
x
10
100
1000
10 000
100 000
1 000 000
a
■
→
∞
Volumen
Según
los
necesitará
■
¿Cuánta
→
resultados
para
de
llenar
pintura
se
Área
el
su
tabla,
cuer no
necesitará
de
¿cuánta
de
para
la
supercie
pintura
→
se
Gabriel?
cubrir
su
supercie?
Paradojas
Un
resultado
Gabriel
es
un
que
desafía
ejemplo
de
a
la
lógica
paradoja.
se
llama
Investigue
paradoja.
algunos
El
cuerno
otros
de
ejemplos
de
paradojas.
Capítulo
9
331
Análisis
10
ObjetivOs
del
Correlación
5.4
capítulO:
lineal
de
momento-producto
óptimo;
variables
de
interpretación
Ecuación
5.4
de
la
bidimensional
recta
bidimensionales;
Pearson, r;
diagramas
matemática
de
regresión
y
de
de
y
de
coeciente
dispersión,
de
correlación
rectas
de
ajuste
contexto.
sobre
x;
uso
de
la
ecuación
para
realizar
predicciones.
an
Qué
1
omnzr
necesitamos
Calcular
potencias
saber
positivas
Comprobemos
sencillas
1
ejemplo:
Evaluar
5
3
2
3
7
4
3
habilidades
Evalúe:
4
Por
nuestras
3
=
3
×
3
×
3
×
3
=
8
3
3
⎛
Por
ejemplo:
2 ⎞
Evaluar ⎜ ⎝
7
⎟ 5
1 ⎞
⎛
⎠
⎜
⎟ 2
⎝
⎠
3 3
⎛
2 ⎞
⎜ ⎝
2
×
2
×
2
5
×
5
×
5
=
=
⎟ 5
2
4
3
5
⎠
3
⎛
8
⎜
⎞
⎟ 4
⎝
⎠
= 3
f
125
2
Escribir
números
en
forma
exponencial
2
0,001
Indique
el
valor
n
Por
ejemplo:
2
2
Hallar
n,
si
2
=
8
ecuaciones:
n
×
×
2
=
2
=
16
=
243
=
343
=
625
8 n
3
3
2
=
n
8
7
n
n
=
5
3 n
(–4)
=
–64
n
f
⎛
1 ⎞
⎜
⎟
⎝
332
Análisis bidimensional
2
⎠
1
= 8
de
n
en
las
siguientes
En
956,
un
establecer,
solar
y
el
con
del
lo
tanto,
país
de
que
la
que
gr upo
datos.
8
una
que
se
estaba
tasas
fue
de
y
la
altas
que
antes
fue
ocupamos
estudia
se
con
es
entre
el
del
n
de
los
los
del
la
estados
ubicados
de
tasas
el
de
al
una
de
con
la
sur.
Las
x
y
unidades
adultos
y
los
contienen
por
las
El
pares
peso
de
estaturas
de
de
de
como
de
par te
estudiar
todos
tomar
de
la
los
hombres
los
y
son
pares
los
(x, y)
pesos
de
ozono.
tarea
piel.
Allí
de
basadas
la de
vr()
Población
muestreo
hombres
compuestos
Hombres
adultos
Estatura
Unidimensional
Hombres
adultos
Peso
Unidimensional
Hombres
adultos
Estatura,
Bidimensional
peso
los
muestra.
mnon
variables
y ,
población.
adultos.
los
los
norte
miembros
decisiones
luz
no
de
cuidadosa
cáncer
en
latitud
al
análisis nmnon .
mnon
nuestra
análisis
de
y
muestreo
datos
todos
individuos
➔
el
Y
capa
la
entre
la
situados
en
a
piel
Unidad
estatura
primero
exposición
cáncer
agujero
de
fue
relacionada
resultado
dene
una
queremos
Lancaster,
tasa
solar:
comparación
oón
que
relación
que
luz
Lancaster
Una mr
Supongamos
de
más
Oliver
fuertemente
bastante
datos
nos
una
Observó
cantidad
esto
de
capítulo
dijimos
en
con
recolección
el
piel.
Australia
descubrimiento
En
un
de
registraban
olvidemos
El
en
australiano,
fundamentos,
cáncer
caucásicos
por
estadístico
(x, y)
en
se
un
ocupa
de
conjunto
la
de
relación
entre
los
datos.
Capítulo
10
333
En
este
datos
y
capítulo
usando
usando
buscaremos
grácos,
una
escala
para
ingón:
La
torre
pronto
Las
del
comenzó
décimas
1975
la
de
a
que
torre
de
la
inclinarse
se
dan
milímetros,
torre
describir
la
campanario
medidas
asociaciones
representando
estaba
a
la
hacia
un
a
Pisa
la
par tir
2,9642
de
muestran
de
los
metros
conjuntos
por
medio
de
de
una
ecuación
relación.
de
fue
costado:
continuación
medidas
de
inclinada
de
dos
relación
fuerza
catedral
inclinada
entre
una
Pisa
construida
ahí
la
2,9
su
en
y
nombre.
inclinación
metros.
respecto
1178
de
Así,
la
en
en
ver tical.
Año
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
Inclinación
642
644
656
667
673
688
696
698
713
717
725
742
757
¿Parecería
Si
es
¿Hay
así,
pruebas
¿Existe
.
la
inclinación
rápido
de
alguna
¿Puede
Una
que
¿cuán
que
está
la
fórmula
predecir
la
de
inclinación
que
presentar
con
en
el
la
el
tiempo?
inclinación
cambia
permita
inclinación
dgrm
forma
aumenta
aumentando
de
la
torre
signicativamente
calcular
un
valor
con
con
aproximado
el
de
el
transcurso
transcurso
la
Los
rón
datos
bidimensionales
es
mediante
un
(también
rón
llamados
nubes
se
usan
para
investigar
posibles
relaciones
de
entre
forma
grado
o
variables
relacionadas
con
un
mismo
de
relación
el
hecho
puntos
de
que
propósito
en
qué
➔
de
que
emplean
representan
muy
una
relación
los
dos
horizontales
Sin
afecta
variables
a
la
a
y
los
grácos
ver ticales
embargo,
diagrama
de
para
tienen
dispersión
de
líneas,
en
situar
el
nombre
Para
dibujar
debemos
un
situar
gráco
en
un
de
poder
una
muestra
El
establecer
hacer
sobre
variable,
basándonos
en
sabemos
la
de
lo
que
otra.
de orrón
dispersión,
gráco
de
predicciones
Para
➔
entre
correlaciones
es
un
otra.
recibe
el
“suceso”.
similares
datos.
Un
variable
entre
son
ejes
a
especíco.
medida
La
dispersión
medir
variables.
objetivo
diagramas
de
asociación
dos
dos
Los
es
orrón
rón
grm
puntos)
tiempo?
futuro?
una
➔
del
tiempo?
inclinación?
La grm
del
la
los
el
ejemplo
torre
Pisa,
de
inclinada
pensamos
de
que
y
valores
(x,
mediante
y)
de
la
tabla
pequeños
de
la
datos
círculos.
inclinación
con
El
el
tiempo
patrón
determinado
por
los
aumenta
tiempo.
es
la
El
variable
círculos
nnn .
puede
dar nos
alguna
indicación
inclinación
dependiente
acerca
de
la
r
estar
en
r
334
el
depende
correlación.
del
La
La
Variable
debe
nnn
eje
horizontal
nn
Análisis bidimensional
en
y
la
el
eje
tanto,
0
ver tical.
tiempo,
Variable
independiente
x
de
la
por
cantidad
inclinación
variable
lo
es
la
nn
➔
Una
tendencia
muestra
una
general
ascendente
correlación
en
el
patrón
de
los
círculos
o
y
El
valor
de
la
variable
dependiente
crece
a
medida
que
crece
7
6
el
valor
de
la
variable
independiente.
5
4
3
2
1
0
➔
Una
tendencia
muestra
La
variable
una
general
descendente
correlación
dependiente
en
el
patrón
de
los
x 1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
círculos
ng
decrece
a
medida
que
crece
la
y
variable
7
independiente.
6
5
4
3
2
1
0
➔
Un
conjunto
tendencia
de
círculos
podría
indicar
dispersos
una
que
no
correlación
presentan
cercana
x
ninguna
a ro
y
7
6
5
4
3
Los
diagramas
una
correlación.
de
correlación
de
dispersión
Los
nos
siguientes
permiten
son
evaluar
ejemplos
de
la
fuerza
distintos
0
y
10
10
9
9
9
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
0
x 3
Correlación
crece
a
4
5
6
7
positiva
medida
que
8
9
10
fuer te:
crece
y
x
y
10
2
2
1
grados
positiva:
y
1
de
1
0
x 1
2
3
Correlación
4
5
6
7
positiva
8
9
10
moderada
0
x 1
2
3
Correlación
4
5
6
7
positiva
8
9
10
débil
x
Capítulo
10
335
Los
siguientes
son
ejemplos
de
distintos
grados
de
correlación
negativa:
y
y
y
10
10
10
9
9
9
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0 2
3
4
Correlación
a
0
x 1
medida
No
5
7
8
negativa
que
todas
6
crece
las
9
x
10
fuer te:
1
y
decrece
2
3
4
Correlación
5
6
7
negativa
8
9
0
10
x 1
2
3
Correlación
moderada
4
5
6
7
8
negativa
9
10
débil
x
correlaciones
son
lineales.
y
10
9
8
Los
puntos
en
este
gráco
responden
a
una
7
6
forma
aproximadamente
lineal. 5
4
3
2
1
0
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
9
8
7
Los
puntos
en
este
gráco
se
representarían
6
5
mediante
una
cur va. 4
Existe
una
correlación
no
n
3
entre
2
las
variables.
1
0
x
Causalidad
➔
Que
exista
correlación
necesariamente
He
a
aquí
la
ejemplo:
escuela
una
del
un
signica
la
primaria
correlación
calzado,
y
el
que
talla
el
positiva
mayor
entre
dos
uno
de
conjuntos
sea
zapato
vocabulario
fuer te.
En
vocabulario
causado
de
de
otras
del
los
los
de
datos
por
el
otro.
estudiantes
estudiantes
palabras,
estudiante.
a
no
que
van
presentan
mayor
Ahora,
número
es
fácil
La
oposición
entre
“causalidad”
ver
que
la
talla
de
zapato
y
el
vocabulario
no
tienen
“correlación”
nada
que
ver
la
una
con
el
otro,
pero
sí
existe
una
fuer te
las
variables.
La
razón
es
que
existe
el
punto
edad.
Los
estudiantes
de
grados
superiores
tendrán
tallas
para
de exploración.
zapato
336
más
grandes
Análisis bidimensional
y
a
menudo,
mayor
de
un for onfón : par tida
la
puede
correlación
ser
entre
y
absolutamente
vocabulario.
una
emo
Represente
estos
datos
en
un
diagrama
x
1
2
3
4
4
6
6
6
7
8
y
1
3
3
5
6
7
5
6
8
9
¿Se
Describa
trata
de
el
una
tipo
relación
y
la
lineal
fuerza
de
o
la
no
de
dispersión.
lineal?
relación.
Respuestas
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x 2
Esta
es
4
una
6
8
relación
n
Comparar
con
Existe
una
o
Describa
correlación
de
presentada
dispersión
en
cada
uno
de
los
siguientes
dispersión.
x
y
0
x
y
0
de
anteriores
10A
y
0
diagrama
fr
la
diagramas
el
ejemplos
correlación
Ejercitación
1
los
x
y
0
x
y
0
x
Capítulo
10
337
2
Para
los
siguientes
conjuntos
de
datos:
¿Se
trata
de
una
correlación
¿Se
trata
de
una
relación
lineal
¿Se
trata
de
una
relación
fuer te,
positiva,
o
no
de
moderada,
y
4
3
3
2
2
1
1
0
0
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
10
f
y
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x 1
2
3
4
complete
variables
correlación
variable
5
6
7
estas
8
9
correlación
independiente
negativa,
Análisis bidimensional
y
entonces
la
a
y
entonces
variable
dependiente
medida
variable
independiente
la
x
oraciones.
positiva,
independiente,
0
10
independiente,
variables
x
y
10
0
338
5
6
5
las
4
7
6
Si
3
8
7
2
9
8
las
x 1
10
9
la
y
5
4
Si
nula?
6
5
y
o
7
6
débil
8
7
Copie
o
9
8
3
negativa,
10
9
correlación
lineal?
10
una
que
medida
dependiente
que
una
crece
dependiente
dependiente
a
muestran
…………………
muestran
crece
la
una
variable
…………………
no
hay
asociación?
Esta
4
tabla
muestra
Año
Lluvia
Muestre
Describa
En
Esta
5
y
en
Tennessee,
en
cm,
desde
2000
a
2008.
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
51
39
44
31
33
30
28
21
datos
en
un
diagrama
de
dispersión.
correlación.
general,
tabla
caída
42
estos
la
lluvia
2000
caída
la
¿qué
muestra
ha
un
ocurrido
gr upo
de
con
la
caída
amigos
con
de
sus
lluvia
desde
el
calicaciones
año
en
2000?
matemáticas
ciencias.
Amigo
T omás
Daniel
Luisa
Pablo
Diego
Juana
Lucas
José
Matemáticas
85
75
66
80
70
95
90
60
Ciencias
75
65
40
72
55
88
80
40
1
Dibuje
un
2
Describa
diagrama
la
de
correlación
ingón:
la
dispersión
en
para
términos
torre
de
representar
fuerza,
inclinada
de
estos
dirección
datos.
y
forma.
Pisa
(continuación)
Elabore
un
diagrama
de
dispersión
para
los
exror
datos
de
la
investigación
de
la
torre
en
de
Pisa
presentada
al
comienzo
de
este
Describa
¿Qué
la
un
con
la
inclinación
a
medida
.
los
salvar
los
l
es
que
concreto,
tendencia
mantendrá
sobre
que
datos
mayor
(o
tenemos.
menor)
En
este
signica
en
la
suponer
inclinación
que
se
años?
Investigue
por
valor
que
la
los
un
correlación.
ocurre
pasan
punto
los
caso
estimar
capítulo.
que
signica
inclinada
a
últimos
la
torre
peligros
r
avances
inclinada
de
la
en
de
los
constante.
esfuerzos
Pisa.
Comente
extrapolación.
ómo
y
➔
Una
r
dispersión
variables
y
para
ómo
hallar
mostrar
su
la
se
dibuja
dirección
tendencia.
en
sobre
la
Esta
un
diagrama
asociación
recta
de
entre
ajuste
de
dos
óptimo (x, y)
puede
➔
Para
recta
luego
usarse
dibujar
que
una
de
ella
de
ella.
Se
puede
de
referencia
y
se
calcula
media
de
recta
permita
encima
el
de
el
un
de
a
media
coordenadas
óptimo
número
y
de
a
la
de
ojo,
de
puntos
mejor
per tenezca
la
predicciones.
ajuste
número
lograr
hallando
las
hacer
equilibrar
con
que
para
que
trazado
recta.
las
los
se
dibuja
puntos
hay
que
por
situando
Este
es
por
0
x
debajo
un
punto
el no mo
coordenadas x
puntos.
una
hay
y
la
El
punto
escribe
(
medio
x
y
se
)
Capítulo
10
339
emo
¿Existe
una
comidas
relación
entre
los
gramos
de
grasa
t o
Hamburguesa
Hamburguesa
con
Cuar to
de
libra
Cuar to
de
libra
Hamburguesa
Sandwich
Pollo
F ilet
de
queso
con
queso
gigante
tostado
pollo
frito
de
pescado
Pollo
a
la
parrilla
Pollo
a
la
parrilla
Halle
la
Halle
la
Elabore
Sitúe
una
el
total
de
calorías
de
las
rápidas?
com
Alitas
y
el
de
media
del
un
de
medio
ajuste
gramos
número
diagrama
punto
recta
los
de
en
de
de
de
calorías
260
13
320
21
420
30
530
31
560
31
550
34
590
25
500
28
560
20
440
5
300
grasa.
calorías.
dispersión
su
Total
(g)
9
liviano
media
gr
para
diagrama
de
estos
datos.
dispersión
y
úselo
para
dibujar
óptimo.
Respuestas
247
Media de los gramos de grasa
= De
11
de
Total
gramos
de
aquí
grasa
= =
Número de
22, 45
(x,
comidas
y )
=
& & (22, 45;
& 457, 27)
5030
Media del
número de calorías
=
Media del
número de
calorías
11
Total =
457, 27
del
número de
Número de
y
calorías
= A
comidas
la
“recta
de
ajuste
óptimo”
también
Calorías
se
El
punto
(0,0)
no
la
llama
r
necesariamente
600
per tenece
a
la
recta
de
rgrón.
El
ajuste
500
cientíco
óptimo. Punto
medio
( x,
El
punto
medio
sí
y
estadístico
per tenece
y )
británico
400
a
la
recta
y
además
debe
Francis
(1822–1911)
aproximadamente
300
el
mismo
puntos
a
cada
lado
de
la
regresión
misma.
200
siglo
100
0 10
20
Gramos
340
Análisis bidimensional
30
de
40
grasa
acuñó
el
número
término
de
Galton
quedar
XIX.
en
el
Ejercitación
La
1
de
siguiente
una
hoja
tabla
de
árbol
de
la
relación
mango,
entre
medidos
la
en
longitud
y
el
ancho
milímetros.
35
50
78
80
95
105
118
125
136
145
Ancho
25
30
38
50
36
42
52
48
58
62
Halle
Elabore
La
el
tabla
punto
un
Estatura
de
Elabore
ajuste
tabla
La
un
Horas
Aumento
las
años
de
medio.
estaturas
de
recta
y
los
pesos
de
diez
edad.
Juan
Laura
Diego
Ana
Iván
Luca
182
173
162
178
190
161
180
172
167
185
73
68
60
66
75
50
80
60
56
72
estatura
el
la
punto
una
Abel
media
que
de
pase
muestra
aumento
por
el
El
el
peso
las
y
punto
número
en
calicación
dispersión
estudio
en
el
dibuje
Sara
siguiente
de
muestra
diagrama
y
por
y
Ema
óptimo
matemáticas
dispersión
Luis
(kg)
Halle:
de
pase
dieciséis
(cm)
La
que
siguiente
Nombre
Peso
medio.
diagrama
óptimo
estudiantes
3
muestra
Longitud
ajuste
2
10B
de
medio
dibuje
una
recta
de
medio.
horas
calicaciones
dedicadas
de
los
a
estudiar
estudiantes.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
1
3
7
9
9
8
10
14 ¿Cuáles
Halle
el
Elabore
punto
un
riesgos
medio.
diagrama
de
dispersión
y
dibuje
una
recta
Un
de
óptimo
que
pase
por
el
punto
de
tema
para
ajuste
son
los
extrapolar?
interesante
explorar
extrapolación
Describa
¿Qué
la
en
la
los
correlación.
modelos
puede
es
medio.
decir
acerca
del
número
de
horas
dedicadas
nancieros
o
a climáticos.
estudiar
La
ecuación
por
Los
el
datos
recta
➔
La
la
primarios
de
raramente
ecuación
r
aumento
de
se
en
ajuste
ajustan
deberemos
diagrama
ajuste
el
recta
aproximadas.
cuyo
y
las
calicaciones?
óptimo
que
pasa
medio
Generalmente,
predicciones
la
de
punto
datos
exacta.
de
matemáticas
de
a
una
recta
conformar nos
Normalmente,
dispersión
con
tendremos
parece
de
manera
hacer
un
ajustarse
a
conjunto
una
recta,
óptimo.
de
la
recta
rgrón ,
se
de
ajuste
puede
óptimo,
utilizar
para
también
hacer
llamada
predicciones.
Capítulo
10
341
emo
A
de
continuación
una
se
asignatura
muestran
escolar,
Estudiante
Trabajo
de
Examen
Ana
no
clase
nal
asistió
Halle
la
Halle
la
Elabore
al
las
notas
calicados
de
10
un
en
máximo
el
de
trabajo
100
de
clase
y
en
el
examen
nal
puntos.
Liz
Juan
Uma
Félix
Juana
Axel
Raúl
Luca
Ana
Luis
95
66
88
75
90
82
50
45
80
84
95
59
85
77
92
70
40
50
Aus
80
examen
nal.
No
incluya
media
de
las
notas
del
trabajo
media
de
las
notas
del
examen
un
estudiantes
sobre
diagrama
de
dispersión
y
sus
de
notas
en
el
cálculo
del
punto
medio.
clase.
nal.
dibuje
una
recta
de
ajuste
óptimo
que
pase
por
el
punto
medio.
Halle
la
Utilice
ecuación
la
de
ecuación
la
de
recta
la
de
recta
regresión.
de
regresión
para
estimar
la
nota
de
Ana
en
el
examen
nal.
Respuestas
Total
Media
de
notas
del
trabajo
de
clase
de
notas
del
trabajo
de
clase
= Número
de
estudiantes
675
Media de notas del
trabajo de clase
=
=
75
9
Total de notas del examen
Media de notas del
examen
final
final
= Número
de
estudiantes
648
Media de notas del examen
final
=
=
72
9
100 lan
80
nemaxe
Punto
medio
60
led
40
atoN
20
0 20
40
Nota
del
60
trabajo
80
de
100
clase
y
Usando
el
punto
medio
y
las
notas
de
Uma,
tenemos
y 2
Usar
m
donde x
(x
, y
1
)
=
(75, 72);
(x
1
, y
2
)
=
(88, 85)
m
, y
1
=
1
) es el punto medio
1
y (x
, y
2
88
La
y
–
) es cualquier
2
75
ecuación
72
1
2
72
=
x 2
(x 85
1
=
=
1(x
de
–
la
recta
punto
de
y
=
la
recta.
Usar
es:
−
y
m(x
1
75)
− x
) para
1
la ecuación de la recta.
y
=
y
=
x
–
80
3
–
3
=
77 La nota del trabajo de
La
nota
estimada
del
examen
nal
de
Ana
es
77. clase de Ana era 80.
El
uso
dentro
de
la
del
recta
rango
Generalmente
342
Análisis bidimensional
de
de
es
regresión
un
más
para
conjunto
conable
de
predecir
datos
que
la
se
un
valor
llama
que
está
nroón.
extrapolación.
Sea x = 80.
Ejercitación
PREGUNTAS
1
Una
10C
TIPO
enfermedad
cientíca
afecta
seguimiento
Temperatura
Porcentaje
Dibuje
punto
Halle
Use
de
2
Los
llamada
especializada
inver nadero
un
EXAMEN
del
(x
de
un
a
la
tizón
en
está
agricultura
enfermedad.
porcentaje
de
afectadas
diagrama
de
desea
Con
hojas
(y)
en
riesgo
saber
ese
n,
en
a
qué
diseña
afectadas
a
las
plantas
medida
un
la
distintas
74
76
78
80
12,3
9,5
7,7
6,1
4,3
2,3
con
una
recta
de
tomate.
temperatura
para
ecuación
ecuación
estudios
de
de
de
la
para
recta
de
estimar
mercado
ventas
(miles
Ventas
de
para
las
regresión
que
pase
por
el
el
regresión.
porcentaje
a
estrenar
Halle
el
precio
medio
Halle
la
media
del
Dibuje
que
pase
a
el
en
de
de
punto
de
estrenar
el
las
número
diagrama
por
inversiones
£)
de
casas
un
en
casas
de
hojas
afectadas
a
una
temperatura
año
de
bienes
raíces
diferentes
revelaron
precios
las
durante
siguientes
el
año
la
ecuación
de
180
200
220
240
260
280
126
103
82
75
82
40
20
casas.
de
ventas.
dispersión
con
una
recta
de
regresión
medio.
la
recta
de
regresión.
su
ecuación
para
estimar
el
número
vendido
de
de
en
línea:
ejercicios
el
análisis
y
ejercitación
sobre
la
recta
de
coordenada
intersección
hizo
un
estudio
para
investigar
la
relación
entre
la
edad
en
un
niño,
x,
y
el
tiempo
en
que
puede
correr
un
kilómetro,
t.
eje
datos
de
niños
de
edades
entre
7
y
18
años.
La
la
recta
de
regresión
resultó
ser
y
x x.
= 20
Inter prete
el
valor
de
y
el
punto
de
intersección
con
el
eje
y
es
con
la
altura
la
=
recta
0,
y
cuando
habrá
casos
la
2
pendiente
la
ecuación
1
de
de
Se
de
recolectaron
y
años
el
de
Más
regresión
La
Se
10:
bidimensional
£230 000.
ejemplos
emo
ampliación
en
casas sobre
valuadas
de
disponible
Hoja
Use
pasado.
160
Material
Halle
Más
hacer
medio.
la
su
Precio
del
75 °F .
cifras
Una
temperaturas.
72
dispersión
de
experimento
70
°F)
hojas
poniendo
y
en
los
no
tenga
que
este
Deberemos
Respuesta
valor
sentido.
cautelosos
ser
a
la
hora
1
En
el
contexto
de
la
pregunta,
podemos
La
pendiente
es
−
.
Esto
de
interpretar
el
2
decir
que
que,
en
cumple,
promedio,
el
niño
por
tarda
cada
30
año
segundos
signica
de
1
en
que
x,
por
hay
cada
una
aumento
disminución
signicado
de
intersección.
esta
A
veces,
1
(medio
minuto)
menos
en
el
correr
de
en
valor
x
=
0
es
y.
2
un
kilómetro.
punto
es
de
no
esta
intersección
pertinente
años
Para
puesto
puede
pregunta,
con
que
correr
un
el
un
eje
y
niño
imposible
el
no
de
kilómetro.
0
El punto de intersección con el eje
una
y es (0,20), lo que signica que
peligrosa,
cuando x es 0, y es 20.
rango
o
representa
extrapolación
de
fuera
los
del
datos.
Capítulo
10
343
emo
Una
bióloga
hectárea,
la
x,
ecuación
pendiente
quiere
y
el
de
y
el
estudiar
número
la
recta
punto
de
de
de
la
relación
pájaros
entre
por
regresión
y
intersección
el
número
hectárea,
obtiene
con
el
y
eje
y.
=
y
8
e
de
Con
+
árboles
este
5,4x.
n,
por
calcula
Indique
la
Vemos
interprételos.
estas
Respuesta
La
siguen
pendiente
podremos
punto
que
de
no
es
tienen
cada
punto
En
1
de
caso
Una
de
días
de
horas
x,
y
Un
de
a
la
al
7
Un
a
+
es
por
cada
pájaros
(0,8),
por
lo
árbol
más
que
que
por
agregamos,
hectárea.
signica
que,
recta
El
en
en
áreas
el
que
un
mismo
eje
de
que
que
sociales
que
=
una
la
0,5
persona
persona
son
y
el
per tinentes.
sobre
el
deportes, x,
a
sus
está
tareas
dada
relación
conoce
la
entre
fuma
está
que
pendiente
el
número
escolares, y.
por y
entre
culpable
la
y
número
el
de
=
40
–
0,3x
número
un
persona, y.
de
delito,
Se
encontró
6x
relación
de
dedica
declarada
que
datos
practica
la
si
la
porqué.
relación
sido
+
el
recogió
investigar
ha
la
la
indique
inter prételos
indique
criminales
y
e
estudiante
quiere
es
y,
estudiante
persona
de
situaciones,
el
por
enferma
ecuación
número
día, x,
en
el
de
es
gr upo
de
a
y
de
las
su
=
quiere
negocio
–5
+
y
de
el
paquetes
número
año, y.
la
recta
El
de
de
doctor
regresión
es
cada
de
calicaciones
recta
en
de
Análisis bidimensional
investigar
año, x.
el
La
número
ecuación
de
de
clientes, y,
la
recta
de
100x
profesores
calicación
la
patines
matemáticas
de
ciencias,
y,
regresión
y
los
y
=
la
y
de
exámenes
ciencias
que
calicación
–10
+
0,8x
y
que
hectárea.
2,4x
comparar
344
5,4
pájaros
ciencias
investiga
llegaron
dieron
con
conclusión
regresión
Un
de
ecuación
la
8
y
siguientes
policía
una
año
eje
per tinentes,
el
vendedor
que
La
ser
cigarrillos
=
las
año
médico
llega
5
de
número
la
hay
conclusión
de
el
que
de
en
quisieron
habían
todas
un
patrón:
nn
10D
que
que
el
días
y
por
jefe
que
4
no
de
Un
con
árboles,
profesora
veces
3
una
signica
promedio
intersección
Llegó
2
Esto
un
intersección
Ejercitación
Para
5,4.
esperar
que
interpretaciones
tomado.
matemáticas,
x,
es
por
el
de
la
la
aumento
cada
aumenta
unidad
x
.
El
Rgrón
término rgrón
de
otros
contextos.
examinar
ambas
padre
tener
la
están
alto
dirección
describir
a
hay
para
la
al
media.
de
trazarla
y ,
la
los
óptimo
presentará
El
clases
lo
la
La
tanto,
el
recta
es
que
de
de
de
primera
hijos.
un
que
,0.
Un
bajo,
ahora
para
supuesto,
retrocede
usa
diferente
vez
Por
padre
hijos
se
la
un
medio
que
solo
e
menor
él;
los
entre
elaborar
punto
porque
por
bastante
tiende
a
en
para
cur vas.
fuerte
regresión)
la
de
modo
padres
“regresión”
inclinación
positiva
hallar
de
bajos
un
utilizó
de
estatura
ajustes
la
se
de
pendiente
más
término
de
inexactitudes
por
pero
él.
que
estaturas
Podemos
datos,
(recta
las
ro
estadística
método
de
torre.
en
hijos
que
correlación
ilustrar
ajuste
tener
problema
una
inclinación
un
entre
altos
muchas
Volvamos
que
más
a
mnmo
usa
relacionadas,
tiende
hijos
se
Es
relación
pasa
torre
el
Pisa.
diagrama
y
dibujar
por
contamos
óptimo
de
número
el
de
un
está
Sabemos
años
y
la
dispersión
una
punto
con
ajuste
de
recta
medio.
punto
de
La
recta
para
dibujada
“a
ojo”.
y
Existe
recta:
otro
los
recurso
para
mejorar
el
trazado
de
la
ro
Punto
obser vado
(x
y )
i
Residuo
=
y
– i
Punto
de
i
y p
predicción
(x
y
p
0
➔
Se
llama
gráco
El
residuo
del
El
del
al
es
la
a
la
distancia
ecuación
positivo
si
el
de
ver tical
entre
un
x
punto
y
el
regresión.
punto
está
por
y
encima
gráco.
residuo
El
ro
de
) p
es
negativo
si
el
punto
está
por
Residuo
positivo
Residuo
negativo
Residuo
cero
debajo
gráco.
residuo
es
0
solo
cuando
el
punto
per tenece
gráco.
0
La
La
ecuación
recta
de
de
la
regresión
recta
de
de
mínimos
regresión
cuadrados
de y
usa
la
sobre
fórmula
x
x
que
ya
y (3, 5)
5
conocemos,
y
–
=
y
m(x
–
x
),
pero
incor pora
el
método
de
los
r
mínimos
cuadrados
para
hallar
un
valor
adecuado
para
4
la
(1, 3)
pendiente,
m.
3
p
2
➔
La
recta
de
minimiza
regresión
la
suma
de
de
mínimos
los
cuadrados
cuadrados
de
los
es
aquella
q
que
1
residuos.
(2, 1)
2
Remitiéndonos
aproxime
a
al
cero
diagrama,
tanto
como
el
objetivo
sea
es
hacer
que p
2
+
q
2
+
r
se
x
0 1
2
3
4
5
posible.
Capítulo
10
345
La
fórmula
La
que
fórmula
de
resulta
para
regresión
es
hallar
un
la
tanto
complicada:
pendiente
(m)
de
la
La
primera
aplicación
de
regresión
que
se
del
concepto
conoce
es
el
recta método
de
los
mínimos
que
publicado
cuadrados
es: fue
por
Legendre
S xy
➔
m
,
=
en
donde
1805,
y
por
Gauss
cuatro
años
2
(S
) x
más
tarde.
aplicaron
(∑ S
=
∑
xy
x
)(∑
y
Legendre
el
método
y
Gauss
al
problema
de
) y
xy −
determinar,
a
par tir
de
obser vaciones
n astronómicas,
las
órbitas
de
los
2
2
(S
(∑
2
)
=
x
∑
x
x
)
cuerpos
alrededor
del
Sol.
−
n
∑
emo
es
“S”
la
y
letra
se
la
usa
instrucción
Use
la
fórmula
ecuación
(3,5)
del
de
la
de
la
recta
diagrama
regresión
de
de
de
regresión
la
página
mínimos
que
pasa
cuadrados
por
los
para
puntos
hallar
(1,3),
sumar
la
(2,1)
y
la
los
como
para
datos.
signica
todos
345.
griega
∑ xy
suma
valores
de
xy
Respuesta
(∑ S
=
∑
xy
x
)(∑
y
)
2
x
xy
y
xy
Los
x
tér minos
n
6
=
20
×
1
3
3
1
2
1
2
4
3
5
15
9
6
9
20
14
en
la
f ór mula
9
– 3
=
2
2
(S
)
(∑
2
2
=
x
x
La
suma
de
) cada
columna
x
∑
n
2
6
=
14
– 3
=
La
2
ecuación
regresión
de
la
recta
de
es:
S xy
y
–
=
y
2
(S
x
(x
x
)
La
recta
de
regresión
) de
y
se
puede
sobre
x,
que
2
y
–
3
=
(x
–
2)
El
punto
medio
(
x ,
y
)
es
usar
para
(2, 3).
2 estimar
y
Ahora
de
la
=
x
+
que
recta
1
valor
hemos
de
visto
cómo
regresión,
de
funciona
ahora
en
la
fórmula
adelante
para
la
de
pantalla
gráca
(en
adelante,
podremos
CPG)
para
usar
y
espera
ecuación
346
que
de
en
la
Análisis bidimensional
los
recta
exámenes
de
se
regresión.
use
la
CPG
para
las
secciones
5.16
capítulo
Se
el
la
hallarla. 5.15
➔
sabiendo
x
ecuación
Véanse
calculadora
y,
de
hallar
la
17.
en
el
emo
La
tabla
muestra
aeropuer to
Use
su
de
la
distancia
Changi,
calculadora
aproximadamente
con
la
recta
Escriba
la
de
en
kilómetros
Singapur,
para
un
ajuste
ecuación
a
doce
y
las
Distancia
Use
la
vuelo
ecuación
de
178
370
138
612
94
1216
278
409
158
1502
258
946
198
998
188
189
98
787
179
210
138
737
98
dibujar
diagrama
de
dispersión
óptimo.
de
para
576
destinos.
la
recta
de
ajuste
óptimo.
Tarifa
estimar
el
costo
de
un
1000 km.
Respuestas
y
=
0,117x
+
83,3
Generalmente,
resultados
costo
=
=
(0,117
×
1000)
+
Costo
83,3
=
Dólares
$200,30
a
se
tres
$(0,117
y
deberá
cifras
×
aproximar
distancia
centavos,
los
signicativas.
con
dos
+
83,3)
cifras
decimales
Ejercitación
Para
realizar
10E
esta
ejercitación
se
requiere
el
uso
de
la
CPG. No
1
Se
y
administra
se
mide
la
medicación
medicación
por
concentración
a
inter valos
de
en
goteo
a
sangre
una
un
de
hora.
par tir
no
doctores
de
que
existirá
una
relación
lineal
entre
las
x
(horas)
Concentración
Muestre
la
recta
Escriba
Halle
de
la
3,5
los
de
la
y
0
1
2
3
4
5
6
2,4
4,3
5,0
6,9
9,1
11,4
13,5
datos
ajuste
en
un
diagrama
de
predecir
después
de
ecuación,
si
lineal.
idea
la
El
8
la
horas
puesto
relación
proceso
a
que
continuará
de
tratar
variables.
de
T iempo
esta
sabemos
siendo
creen
buena
concentración
paciente
dicha
Los
sería
dispersión
predecir
fuera
del
un
valor
rango
de
que
datos
está
se
llama
xroón
con
óptimo.
ecuación
de
concentración
la
en
recta
de
sangre
regresión.
de
la
medicación
después
horas. Capítulo
10
347
2
La
tabla
siguiente
malayos
(MYR)
Antigüedad
Costo
recta
el
de
Escriba
Estime
de
MYR)
precio
ajuste
la
el
los
(años)
(miles
Muestre
muestra
durante
del
valor
del
primeros
automóvil
siete
años
de
Jai
en
después
miles
de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
25
21
19
18
15
12
10
automóvil
en
un
diagrama
de
de
ringgits
comprarlo.
dispersión
con
la
óptimo.
ecuación
de
la
recta
de
regresión.
1
el
costo
del
automóvil
de
Jai
luego
de
4
años. 2
Suponga
la
ecuación
de
3
La
Jai
no
cuida
será
transcurridos
tabla
de
que
un
siguiente
gimnasio
semana
y
Horas
para
su
automóvil.
estimar
el
costo
Explique
del
por
automóvil
qué
después
años.
muestra
el
bien
el
número
número
de
horas
de
personas
de
ejercicio
que
que
se
hicieron
hicieron
socios
durante
la
pasada.
de
de
Luis
Ana
Lía
Pía
Juan
José
Raúl
Iván
Liz
Ema
7
8
9
1
5
12
2
10
4
6
5
3
5
10
5
3
8
2
8
7
socios
ejercicio
Muestre
útil
50
Persona
Meses
muy
los
datos
en
un
diagrama
de
dispersión
con
la
recta
de
ajuste
óptimo.
Halle
Si
la
ecuación
Nino
ha
ejercicio
¿Podría
Nadia
4
Los
El
la
(cm)
diagrama
la
estatura,
de
y
estatura
de
Vuelva
a
ver
Halle
Dibuje
por
el
Halle
Use
y
el
la
su
tres
estimar
como
preocupados
con
el
60
86
90
91
94
95
=
y
7,95
a
los
usa
50
la
mostró
la
+
datos
recta
0,3833
años
recta
comente
de
la
estime
si
de
del
porque
una
cuántas
de
El
de
horas
de
de
baja
sus
positiva
de
porqué.
su
edad.
estaturas.
entre
cuadrados
quiere
la
edad
resultó
predecir
intervención
hacerlo.
hizo
el
para
fuerte
mínimos
alguna
para
ejercicio
Explique
parece
médico
prescribe
este
Sara
registro
regresión
EDAD .
no
horas
gimnasio?
asociación
regresión
sobre
torre
cuántas
siguiente
57
dispersión
meses,
socia
51
Analice
la
(hormonas
predicción
procedimiento.
inclinada
de
Pisa.
medio.
de
dispersión
con
una
recta
de
regresión
medio.
ecuación
ecuación
Análisis bidimensional
para
cuenta
diagrama
punto
hace
48
punto
un
regresión.
36
luego
los
de
pasada.
años
están
niña
Sara
crecimiento),
médico
dos
nalmente,
ESTATURA
del
348
de
de
(meses)
desde
ecuación
después
pediatra
ser
5
la
recta
semana
Sara
Un
de
usar
la
de
Estatura
la
hizo
la
socio
padres
Edad
y
sido
de
de
la
para
recta
de
estimar
la
regresión.
inclinación
en
1990.
que
pase
.
Hasta
ver
si
cómo
este
hay
momento
una
caracterizado
correlación.
débil,
Ahora
y
o
x
orrón
un
(correlación)
o
hemos
fuer te.
sobre
usado
positiva
También
de
nos
hemos
relación
como
moderada
regresión
mmo
y
abocaremos
entre
negativa,
dicho
Luego
usamos
a
diagrama
que
dos
y
recta
clasicar
la
si
no
la
con
fuerza
de
hemos
puede
ecuación
nes
La
para
hay
correlación
hallamos
la
dispersión
variables.
cero,
la
de
de
la
ser
recta
de
predictivos.
una
correlación
Karl
numéricamente.
Se
utilizan
varias
escalas
para
tal
n;
Pearson
nosotros
(1857–1936)
estudiaremos
un
coeciente
de
correlación
desarrollado
primer
Karl
depar tamento
estadística e
on
orrón
momno-roo
(denotado
con
r)
es
una
medida
de
la
correlación
entre
X
e
ampliamente
Y,
que
da
un
valor
entre
usado
en
las
ciencias
+
como
y
–
una
inclusive.
medida
de
la
dependencia
n
entre
dos
de
en
1911.
la la
relación
entre
variables. dos
es
variables
lineal,
este
no
entonces
coeciente
y
y
y
de
correlación
no
representa
adecuadamente
fuerza
entre
x
0
Correlación
positiva
perfecta
r
x
0
lineal
No
=
hay
correlación
r
=
Correlación
1
algunos
conjuntos
negativa
de
datos
más
y
sus
valores
de
las
la
lineal
perfecta
r
=
−1
valor
de
r,
el
de r :
correlación
Pearson, =
relación
variables.
coeciente
r
la
x
0
0
El
aquí
de
Es
Si
fuerza
en
College
dos Londres,
variables
de
pron
University
He
el
Pearson. universitario
➔
fundó
por
de
de
indica
la
0,7 r
=
0,3
fuerza
entre
de
dos
la
relación
conjuntos
de
datos.
Capítulo
10
349
Para
la
correlación
negativa,
los
valores
de r
también
r
r
➔
La
fórmula
=
=
son
negativos:
–0,3
–0,7
para
hallar
el
coeciente
de
correlación
es:
S xy
r
= S
S x
y
donde
2
(∑ S
= xy
∑
x
y
)(∑
(∑
) 2
,
xy −
S
=
∑
x
x
x
)
Deberíamos
esta
n
n
fórmula
sección 2
(∑
2
S
=
∑
y
y
y
)
−
n
➔
Una
forma
Valor
0
0
y
(1
−
>
2x)
0
para
2
x
+ 1 3
11
3( 2 x
3
(x
todo
+ 3)
donde
h
está
denida,
1)
la 4
3
10x
12
x
+
x
2
12x
−
3x
−
18x
−
5
15
e
pendiente
de
h
es
siempre
4x
;
4x;
4e positiva.
1
y
13
=
2
−
(x
− 1)
3 3
6
e
x
;
(
ln x
)
14
a
6
b
8
ln x ; x
y
14
=
x
−
1
2
6
15
−9n
+
3,5
3
7
x
; 9x
+ 2; 1
4πr
17
7
Ejercitación
7M
3
2
16
(9 x
+ 2)
3
1 x 2
4
x ;
8
2x
x
+ 3; 3
4
18
2
2
4
(2x Investigación:
cálculo
4
9 la
derivada
de
una
+ 3
)
2
180x
3
3e
+
24x
de
5x
3
;
−3n
x
+
3x;
(6n
+
5)
función 3
3
20(x
+
2
3x)
(3x
+
3)
compuesta 8
4
3
3
1
f
a
(x)
=
(2
=
8
−
x
10
2
−
3
2
4 x 3
x)
2x
+
e
;
4x
; 12 x
e
x
3
−
6x
x Ejercitación
3
7L 5
2
f
′ (x)
=
−2
+
12x
−
2
3x 2
1
3
8x
(2x
−
3)
x
4
+
2x (2x
−
3)
2
f
b
′ (x)
=
3(2
−
x)
·
(−1)
3
o
6x (2x
−
1)(2x
−
6
3)
1
2
2
f
a
(x)
=
(2x
+
1)
7
2
−x
=
Es
igual
a
0.
+ 2x
2
2
4x
+
4x
+
dy
x
x
e
=
8
f
′ (x)
=
8x
+
f
′ (x)
=
2(2x
x
e
−
e
dx
4 8x
2
3 b
+
1)
·
2
2
d
2
(x
y x
+ 3)
=
e
=
e
=
e
x
+
e
−
e
2
dx 2
3
f
a
(x)
=
2
(3x
+
1) −x
1
4
x
=
+ 1
3
o
+ 3
4
d
1
y x
3
2
9x
+
6x
+
2
(2 x
2
+ 1)
(2 x
2
+ 1)
(2 x
x
3
+ 1)
dx
3
f
′ (x)
=
+
36x
2x
4
d
y x
2 x
2
f
b
′ (x)
=
2 x
e
2(3x
+
1)
·
x
+
e
4
e
(6x)
dx
5 1
2 x
2 x 2
4
La
derivada
compuesta
de
es
una
la
función
(e
+ e
)
Cuando
n
es
2
n
6x
d
y x
de
la
función
exterior
6
con
la
función
− e
y
cuando
n
2x
a
x
= e 3
respecto
impar,
derivada
1
dx
interior n
1
multiplicada
por
la
derivada
d
y x
7
n
es
par,
= e
x
+ e
n
x
de
la
función
4
5
f
(x)
=
dx
interior.
2
(x
ln x
+ x
x
3
−2(e
)
x
− e
x
)
−2 e
8
=
x
10
8
+ 3x
+ 3x
2x
(e
dy
− 1)
x
1
9
o x
12
2
2x
=
2
2
6
(e
+ x
+ e
)
(e
+ 1)
dx
x
2
11
f
9
′ (x) = 12x
+ 30x
7
+ 24x
d
5
y
+ 6x −2 x
2 =
+ 3 2
9 4
f
′ (x) =
3(x
2
+ x
2
2
3
)
·
(4x
+ 2x)
3
dx (x
x
2
− 3x
− 2) 3
d 8
=
6
+ 2x
3(x
4
+ x
10
=
9
3(4x
+ 10x
11
9
7
+ 8x
x
2
(x
+ 30x
+ 2x
7
+ 24x
3
2
+ 3)
+
4x
(x
3
4
dx
2
x
2
+ 3) 4
)
d 5
12x
1
5
5x
=
6 =
1
+ 2x) 5
11
y
3
)(4x
5
+ 6x
y
3
24 =
+ 12 x
4
5
dx
o
x
1
n
2 2
(x
d
+ 3)
n
y
(
1)
n !
=
Ejercitación
7K
n
dx
2
x
5
1
x
11
4
;
3x
+
a
(2 x
n +1
x
2 x
2 )e
2x; 18
4
5(3x
4
+
2x)
3
(12x
+
2)
b
2
c
y
10 8
5
3
2
4x
;
2
2x
+
3x
+
2
2(2x
1;
−
1
=
2(x
−
2)
25 x
2
+
3x
+
)
(4x
+
3)
1
3
12
e
o
0
Respuestas
2
Ejercitación
7N
2
a
4 pies
b
s (2)
d
Sea
una
aceleración
de
2 m s
2
1
1,4 m;
a
21 m
=
−16(2)
+
40(2)
+
4 T iempo
=
1
−64
+
80
+
4
=
Celeridad
1
(s)
9,8 m s
b
Velocidad
20 pies (m s
1
)
(m s
)
2
c 1
9,8 m s
c
1
;
0 m s
−16t
i
+
40t
+
4
=
20
1
;
−9,8 m s
0
−10
10
1
−8
8
2
−6
6
3
−4
4
4
−2
2
; 1
La
pelota
se
mueve
t
ii
hacia
=
,2 s 2
arriba
en
un
1 s,
en
reposo ds
d
en
2 s
y
hacia
abajo
en
=
i
−32t
+ 40
3 s. dt
1
2
a
4000
b
−111
litros;
1778
litros/min;
litros
40 pies s
ii
5
durante
s
iii
el
inter valo
de
0
3
20
minutos,
el
iv
agua
v(t)
a
=
a
Acelera
la
b
Aminora
c
Acelera
marcha.
del
la
marcha.
s′(t)
t
drenada
2
está
e
siendo
29 pies
4
a
t
t (e
(1)
la
marcha.
)
tanque = 2
d
t
(e
a
una
razón
promedio
litros
por
la
marcha.
de
3
t
111
Aminora
)
(1
e
minuto.
a
Acelerando
la
marcha.
t )
=
b
2t
Aminorando
la
marcha.
e
−89
c
litros/min;
en
t
1
20
minutos,
el
agua
está
v (t )
Ejerci tación
7P
= t 3
e
siendo
drenada
del
1
tanque 1
b
a
v (t)
=
8 t
−
12t,
t
≥
0
segundo 2
a
una
89
V ′ (t )
d
0
razón
litros
≤
t
es
f
(2)>
de
CPG
2
1
9 ,
⎞
⎛
⎟,
⎜
⎠
⎝
−2
3
9
+
2
f
es
(2)
e
el
⎠
(2)
=
0,
>
f
dado
′(2);
cóncavo
0;
y
f
que
el
hacia
′ (2)
0.
Por
velocidad
lo
es
tanto,
siempre
1
62,5 km h
2
$1,86
3
a
Discreta
b
5,76
a
Continua
b
90
c
83,4
20
oremúN
v
10
0 30
45
60
75
revisión
con
a
No
b
1
c
8
d
No
a
minutos
Continua
17
y
c seroseforp
existe.
2
≤
m