Descripción completa
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Bloque
Matemáticas I Raciel López Reyes
Matemáticas I
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Reforma Integral
Directorio Fidel Herrera Beltrán Gobernador del Estado de Veracruz
Matemáticas I
Primera Edición: 2010 ISBN Trámite en Proceso Todos los derechos reservados
Reynaldo Escobar Pérez Secretario de Gobierno
Víctor A. Arredondo Álvarez Secretario de Educación de Veracruz
Rafael Ortíz Castañeda Subsecretario de Educación Media Superior y Superior
Créditos Asesoría Académica
Gonzalo Jácome Cortés
Cándido Navarro Ramírez Director General de Telebachillerato
José Manuel Rivera Arau Subdirector Técnico
Asesoría Pedagógica
Gonzalo Jácome Cortés Correción de estilo
Alicia Mora Rodríguez Diseño Editorial
Rosa E. Ferrer Palacios Subdirectora de Evaluación Escolar
Gonzalo Jácome Cortés Jefe del Dpto. Técnico Pedagógico
Héctor Antonio Martínez Ortiz Jefe de la oficina de Recursos Materiales
Greisy del C. Ramos de la Cruz Diseño de Portada
José Crisóforo Rodríguez Díaz Formación
David Reyes Utrera Oscar Méndez Huitrón Adolfo Aróstegui Pérez Matemáticas I Primera Edición: 2010 Todos los derechos reservados.
Adolfo Aróstegui Pérez Jefe de la oficina de Ediciones
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Dirección General de Telebachillerato
Bloque
Matemáticas I
Matemáticas I
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Reforma Integral
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Dirección General de Telebachillerato
Bloque
Índice Presentación ...............................................................................................................................................................................
Bloque I
Resuelve problemas aritméticos y algebraicos ...................................................................................................................................... Evolución histórica de los números ........................................................................................................................................................ Números reales ............................................................................................................................................................................................ Representación numérica a lo largo de la historia ................................................................................................................................ Identifica formas distintas de representación de números positivos ................................................................................................ Números enteros ......................................................................................................................................................................................... Números racionales .................................................................................................................................................................................... Clasificación de las fracciones .................................................................................................................................................................. Identifica y reconoce números reales y variables algebraicas ............................................................................................................. Porcentajes ................................................................................................................................................................................................... Jerarquización de operaciones numéricas al ejecutarlas .................................................................................................................... Identifica y reconoce números reales y variables algebraicas ............................................................................................................ Identifica formas distintas de representación de números reales ..................................................................................................... Calcula el valor numérico de una expresión algebraica ...................................................................................................................... ¡A trabajar tu proyecto! .............................................................................................................................................................................
Bloque II
Utiliza magnitudes y números reales ...................................................................................................................................................... Identifica formas distintas de representación y operaciones con números reales ......................................................................... Signos de relación ....................................................................................................................................................................................... Signos de agrupación ................................................................................................................................................................................. Definición de igualdad ............................................................................................................................................................................... Suma o adición de números enteros ....................................................................................................................................................... Sustracción o resta de números enteros ................................................................................................................................................. Multiplicación o producto de números enteros .................................................................................................................................... Leyes de los signos para la multiplicación .............................................................................................................................................. División de números naturales ................................................................................................................................................................. Suma o resta de fracciones ........................................................................................................................................................................ Multiplicación de fracciones ..................................................................................................................................................................... División de fracciones ................................................................................................................................................................................ Identifica los elementos de los subconjuntos de los números reales ................................................................................................ El conjunto de los números reales ............................................................................................................................................................ Ubica en la recta numérica números reales y sus simétricos, su valor absoluto y relaciones de orden ...................................... Valor absoluto ............................................................................................................................................................................................... Relaciones de orden .................................................................................................................................................................................... Símbolos de desigualdad ............................................................................................................................................................................ Propiedades de las relaciones de orden ................................................................................................................................................... Reconoce la solución de desigualdades o inecuaciones .......................................................................................................................
Matemáticas I
9 13 15 15 16 17 17 18 18 19 20 24 25 26 28 31 35 35 35 35 36 37 38 42 45 46 49 50 50 56 56 57 58 59 60 61 61
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Reforma Integral Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas ........................................................................................ Axiomas de los números reales ................................................................................................................................................................... Comprende el significado de razón, taza y proporción ......................................................................................................................... Razón ............................................................................................................................................................................................................... Tasas ................................................................................................................................................................................................................ Interés simple ................................................................................................................................................................................................. Fórmula del interés simple .......................................................................................................................................................................... Interés compuesto ......................................................................................................................................................................................... Identifica formas distintas tales como: razones, tasas, proporciones y varaiciones ......................................................................... Interpreta la propiedad fundamental de las proporciones .................................................................................................................... Reconoce variaciones directas e inversas, asi como modelos de variación proporcional directa inversa ................................... Variación proporcional directa ................................................................................................................................................................... Variación proporcional inversa .................................................................................................................................................................. Proporciones compuestas ........................................................................................................................................................................... ¡A trabajar tu proyecto! ................................................................................................................................................................................
61 62 63 63 64 64 64 65 67 68 69 69 72 78 83
Bloque III
Realiza sumas y sucesiones de números ................................................................................................................................................... 85 Sucesiones y series aritméticas ................................................................................................................................................................... 87 Identificación gráfica de la sucesión aritmética ...................................................................................................................................... 90 Sucesiones y series geométricas ................................................................................................................................................................ 94 Progresión geométrica ................................................................................................................................................................................ 94 Identificación gráfica de la sucesión geométrica .................................................................................................................................... 98 ¡A trabajar tu proyecto! ............................................................................................................................................................................... 100 Evaluación de los bloques I, II, III ............................................................................................................................................................. 101
Bloque IV
Realiza transformaciones algebraicas I .................................................................................................................................................... 105 Lenguaje algebraico ..................................................................................................................................................................................... 107 Expresión verbal y expresión escrita ........................................................................................................................................................ 108 Término algebraico y sus partes ................................................................................................................................................................ 109 Clasificación de los términos algebraicos ................................................................................................................................................ 112 Reducción de términos semejantes .......................................................................................................................................................... 112 Clasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos ......................................................................................... 114 Definición de polinomio ............................................................................................................................................................................. 114 Grado de una expresión algebraica ........................................................................................................................................................... 116 Orden de una expresión algebraica ........................................................................................................................................................... 117 Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios en una variable ............................................................. 125 Definición de igualdad .............................................................................................................................................................................. 125 Propiedades de la igualdad ....................................................................................................................................................................... 128 Suma .............................................................................................................................................................................................................. 130 Resta ............................................................................................................................................................................................................. 134 Leyes de los exponentes .......................................................................................................................................................................... 135 Leyes de los radicales ............................................................................................................................................................................... 142
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Bloque Multiplicación de polinomios ................................................................................................................................................................ Multiplicación de monomios ................................................................................................................................................................. Multiplicación de un polinomio por un monomio ............................................................................................................................ Multiplicación de polinomios por polinomios ................................................................................................................................... Identifica el producto de binomios aplicando patrones de productos notables .......................................................................... Definición de producto notable ............................................................................................................................................................ Binomios conjugados .............................................................................................................................................................................. Triángulo de Pascal .................................................................................................................................................................................. ¡A trabajar tu proyecto! ...........................................................................................................................................................................
Bloque V
Realiza transformaciones algebraicas II ............................................................................................................................................... Reconoce trinomios cuadrados perfectos como producto de factores lineales .......................................................................... Binomio con un término común del tipo ax2 + bx + c ..................................................................................................................... Binomio con un término común del tipo de la forma ax2 + bx +c................................................................................................... Cubo de un binomio ............................................................................................................................................................................... Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos. ............................................................... Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes susceptibles de ser simplificados ........................... Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la división de polinomios ........... División de un monomio por otro monomio ..................................................................................................................................... División de un polinomio por un monomio ....................................................................................................................................... División de un polinomio por un polinomio ...................................................................................................................................... División sintética ...................................................................................................................................................................................... ¡A trabajar tu proyecto! ............................................................................................................................................................................
Bloque VI
Realiza ecuaciones lineales I .................................................................................................................................................................. Ecuaciones lineales .................................................................................................................................................................................. Analiza y modela situaciones emplenado ecuaciones lineales ........................................................................................................ Identifica la relación en funciones y ecuaciones lineales .................................................................................................................. Reconoce la ecuación en dos variables ................................................................................................................................................ Técnicas para graficar la función lineal ................................................................................................................................................ Identifica los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una función lineal .............................. Pendiente de una recta ........................................................................................................................................................................... ¡A trabajar tu proyecto! .......................................................................................................................................................................... Evaluación de los bloques IV, V, VI ....................................................................................................................................................
Bloque VII
Realiza ecuaciones lineales II ................................................................................................................................................................... Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2x2) mediante las gráficas de funciones lineales .............................................................................................................................................................................. Reconoce la solución de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2) ................................................................................................. Métodos numéricos y analíticos ............................................................................................................................................................. Métodos de reducción algebraica ...........................................................................................................................................................
Matemáticas I
144 144 144 146 151 151 153 158 163 165 167 167 168 170 171 175 183 183 184 185 187 189 191 193 196 203 208 210 213 214 217 219 223 225 232 232 234
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Reforma Integral Método por suma o resta ........................................................................................................................................................................... Método de igualación ................................................................................................................................................................................. Método de reducción ................................................................................................................................................................................. Método numérico por determinantes .................................................................................................................................................... Ubica e interpreta situaciones que implican un sistema de ecuaciones de 2 x 2 ........................................................................... ¡A trabajar tu proyecto! ..............................................................................................................................................................................
Bloque VIII
Realiza ecuaciones lineales III ................................................................................................................................................................. Comprende los métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones ............................................................................................... Solución de un sistema de ecuaciones lineales de 3 x 3 ...................................................................................................................... Método numérico por determinantes .................................................................................................................................................... Método por cofactores .............................................................................................................................................................................. Regla de Cramer ......................................................................................................................................................................................... Método algebraico de sustitución ........................................................................................................................................................... ¡A trabajar tu proyecto! ..............................................................................................................................................................................
Bloque IX
Resuelve ecuaciones cuadráticas I .......................................................................................................................................................... Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas incompletas ........................................................................................ Identifica ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable ............................................................................................ Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas .................................................................................... Despeje de la variable cuadrática ............................................................................................................................................................ Extracción de factor común ..................................................................................................................................................................... Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas .................................................................................... Describe el procedimiento de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable ............................................................................................................. Fórmula general para la solución de ecuaciones cuadráticas ............................................................................................................. Identifica raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas ...................................................................................... Evaluación del bloque IX .......................................................................................................................................................................... ¡A trabajar tu proyecto! ..............................................................................................................................................................................
Bloque X
Resuelve ecuaciones cuadráticas II ......................................................................................................................................................... Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas ........................................................................................................ Describe la función cuadrática en la forma estandar, para trazar su gráfica .................................................................................... Comprende el efecto del parámetro α en el ancho y concavidad de la parábola, y asocia las intersecciones x de ésta con las raíces Intersección de la parábola con los ejes coordenados ......................................................................................................................... Evaluación del bloque X ............................................................................................................................................................................ ¡A trabajar tu proyecto! ............................................................................................................................................................................. Bibliografía ..................................................................................................................................................................................................
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234 236 238 240 249 245 247 249 249 249 249 255 259 265 267 269 272 274 274 276 277 279 283 287 291 294 295 297 298 299 301 305 307 308
Dirección General de Telebachillerato
Bloque
Presentación Las matemáticas surgen con la necesidad del hombre por evolucionar, sirviéndole de base para la solución de la mayor parte de sus problemas cotidianos. Prácticamente todas las ramas del conocimiento humano emplean sus herramientas y conceptos. No hay que olvidar la estrecha relación de las matemáticas con la ciencia y la tecnología. Mientras que el desarrollo de la ciencia plantea problemas interesantes para investigar, las matemáticas se lo retribuyen con herramientas poderosas para el análisis de datos. Con la tecnología sucede lo mismo; mientras que las matemáticas aportan a la tecnología los diversos métodos de resolución de problemas, ésta genera mejores aparatos o dispositivos para realizar los cálculos con mayor precisión. En la actualidad, las matemáticas juegan un papel central en la cultura moderna, porque facilitan la comprensión básica en la formación científica. Los estudiantes deben percatarse de que las matemáticas forman parte del trabajo científico, comprendiendo que la naturaleza del pensamiento matemático es indispensable para el desarrollo de las diferentes ideas y habilidades de esta disciplina, por lo que este conocimiento debe ser reconstruido por ellos mismos. Con el fin de atender las necesidades actuales, el Programa Sectorial 2007-2012, ha señalado como objetivo estratégico “Elevar la calidad de la educación para que los estudiantes realcen su nivel de logro educativo, cuenten con medios para tener acceso a un mayor bienestar y contribuyan al desarrollo nacional”. La estrategia para su logro es “Establecer las competencias para la vida y el trabajo que todos los estudiantes de bachillerato deban desarrollar y que sean la unidad común que defina los mínimos requeridos para obtener un estudio del bachillerato general, contenidos y actividades de enseñanza y aprendizaje dirigidas al desarrollo de competencias, tanto para la vida como para el trabajo”.1 Para el logro de este objetivo, la Subsecretaría de Educación Media Superior se abocó a dar inicio a la Reforma Integral de la Educación Media Superior, con el propósito de establecer un Sistema Nacional de Bachillerato en un marco de diversidad, donde participan todas aquellas instituciones que imparten o coordinan la educación media superior en sus diferentes tipos. En Telebachillerato no nos quedamos atrás; cada una de las materias se reestructuró bajo el esquema de esta reforma, adoptando un enfoque educativo basado en competencias. Precisamente en la materia de Matemáticas I, donde el desarrollo personal y social de los futuros ciudadanos se debe orientar a través de las competencias, ya sean genéricas: de desarrollo personal, social, académico y laboral; disciplinares básicas y/o extendidas, que les permitan participar en la sociedad del conocimiento y específicas, logrando insertarse en el mercado laboral mediante las competencias profesionales básicas o extendidas. La asignatura de Matemáticas I está organizada en diez bloques de conocimiento, con el fin de facilitar la formulación y/o resolución de situaciones o problemas de manera integral en cada uno, y de garantizar el desarrollo gradual y sucesivo de distintos conocimientos, habilidades, valores y actitudes en el estudiante.
1
Programa de estudios para la materia de Matemáticas I. DGB.
Matemáticas I
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Reforma Integral
En el Bloque I se inicia el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números positivos; en el Bloque II se extiende lo anterior al conjunto de los números reales, incluyendo comparaciones mediante tasas, razones, proporciones y la variación proporcional como caso simple de relación lineal entre dos variables; en el Bloque III se estudian sucesiones y series (aritméticas y geométricas) de números, bosquejando funciones discretas (lineales y exponenciales); en los Bloques IV y V se estudian operaciones con polinomios en una variable y factorizaciones básicas y de trinomios (incluyendo productos notables y expresiones racionales); en los Bloques VI, VII y VIII se analizan, respectivamente, los sistemas de ecuaciones 1 x 1, 2 x 2, y 3 x 3, en estrecha conexión con la función lineal; y, finalmente, en los Bloques IX y X se estudian las ecuaciones cuadráticas en una variable y su relación con la función cuadrática.
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Dirección General de Telebachillerato
Matemáticas I Bloque VI Resuelve ecuaciones lineales I
Bloque VII Resuelve ecuaciones lineales II
Bloque VIII Resuelve ecuaciones lineales III
Bloque IX Resuelve ecuaciones cuadráticas I
Bloque X Resuelve ecuaciones cuadráticas II
Bloque IV Realiza transformaciones algebraicas I
Bloque III Realiza sumas y sucesiones de números
Bloque II Utiliza magnitudes y números reales
Bloque I Resuelve problemas aritméticos y algebraicos
Bloque V Realiza transformaciones algebraicas II
Matemáticas I
Estructura conceptual general
Bloque
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Reforma Integral
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Bloque I
Bloque I Resuelve problemas aritméticos y algebraicos
Unidades de competencia •
•
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números positivos y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales, para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Matemáticas I
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Reforma Integral De lo que sabes Nombre del docente: Fecha: Nombre del alumno: Grupo: INSTRUCCIONES GENERALES Instrucciones para 1. La siguiente evaluación no tiene algún efecto, sólo sirve como referencia para el docente: determinar el grado de conocimientos previos de cada alumno. Instrucciones para Lee con atención cada uno de los cuestionamientos y contesta sinceramente. el alumno: Propósito: Determinar los conocimientos previos de cada alumno. Sección: 1 Instrucción: Subraya la opción correcta. Valor de cada reactivo: Un punto. 1. Símbolo de los números enteros: a) Z b) N 2. Representa una fracción propia: a) 3 b) 3 4 2 3. Su cociente representa a un decimal periódico: a) 3 b) 2 5 2 4. Su cociente representa el 50%. 5 a) 3 b) 3 5
c) E
d) Q
c)
4 4
d) 5
c)
1 3
d) 1
c)
7 4
d) 3
1 2
4
6
5. Un televisor costaba $3,200.00, pero lo compraron en $2,720.00, ¿cuál fue el porcentaje de descuento?: a) 15% B) 20% c) 18% d) 12% 6. Resultado de simplificar: 8 - 3(6 -2 x 2) = a) 8 b) 10 c) 2 d) -16 7. Resultado de la operación: -2 – (-3) = a) 5 b) -1 c) 1 d) 6 8. Resultado de la operación: 2 3 −
a) −
6 15
3
b)
+ − = 5
1 15
9. Resultado de la siguiente operación: -(-5)(1) = a) -5 b) 6 1 1 10. Resultado de la siguiente operación − − − = 2 3 5 1 a) − b) − 6 6
14
−
c)
c) 1
c)
5 6
1 15
d) −
19 15
d) 5
d)
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Dirección General de Telebachillerato
Bloque I Bloque
I
Resuelve problemas aritméticos y algebraicos
Evolución histórica de los números El concepto de número surgió como resultado de la necesidad práctica de contar objetos. En el inicio se contaba con la ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras, semillas, etc. La serie de números naturales era limitada, pero como la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representaba un gran reto, éstos necesitaron ser representados simbólicamente, desarrollándose así los diferentes sistemas de numeración para las distintas civilizaciones. Tras la primera revolución del hombre, cuando surgieron las primeras civilizaciones de agricultores y las ciudades, también hizo su aparición una ciencia trascendental: la Aritmética, la cual es una rama de las matemáticas que nos ayuda a resolver cualquier tipo de problema numérico, utilizando las distintas operaciones: sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. Para resolver un cierto problema es imprescindible conocer, tanto a los números (su clasificación, la relación que guardan entre sí), como la manera en que se efectúan las operaciones en las que se ven involucrados. Los números representan una cierta cantidad, y éstos, a su vez, son representados por ciertos símbolos, mismos que han adquirido diferentes formas y aspectos desde los orígenes de la humanidad en las distintas civilizaciones. Desde el punto de vista general, sólo existen dos tipos de números; los reales, con los cuales estamos familiarizados en la vida cotidiana, y los imaginarios, que fue necesario introducirlos para la solución de problemas específicos, y que se verán posteriormente. A continuación, conoceremos a los números reales y todos sus aspectos para solucionar problemas comunes.
Números reales Te has preguntado dónde vive el número cinco, cuánto pesa, cuánto mide, de qué color es, etc. Sabemos que nunca encontrarás respuesta a esta interrogante, puesto que los números sólo son entes; realidades que existen sólo en nuestra imaginación, son unidades abstractas que representan una cantidad, y juegan un papel muy importante en nuestra vida, porque a través de ellos podemos representar ciertas cantidades. De lo que sí estamos plenamente seguros es que los números existen y pueden ser representados de distintas maneras, de acuerdo con las diferentes culturas; no interesa cómo sean, lo importante es saber su comportamiento.
5
4+1
7-2
15/3
√25
Figura 1.1
Matemáticas I
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Reforma Integral Representación numérica a lo largo de la historia Los conocimientos de las matemáticas han tenido una influencia determinante en la ciencia, en la sociedad y en los avances, tanto científicos como tecnológicos. Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Sin embargo, los hindúes, desarrollaron un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Posteriormente, los árabes dieron a conocer este sistema en Europa a partir del siglo VII d. C. Por eso, nuestras cifras se llaman indo-arábigas. Cultura
Representación numérica1
Egipcios Griegos
Romanos Indo-arábigos
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Chinos
Babilonios Mayas
Actividad 1.1 Observa las siguientes figuras:
1. ¿Cuántos ángulos, tanto internos como externos, tienen cada una de las figuras?______________________________________________________________ 2. ¿Qué puedes deducir al respecto? ________________________________________ ____________________________________________________________________
16
1
La representación numérica a lo largo de la historia. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html
Dirección General de Telebachillerato
Bloque I Identifica formas distintas de representación de números positivos Precisamente, los números indo-arábigos fueron establecidos de acuerdo con la cantidad de ángulos. Con el paso del tiempo, el hombre ha introducido nuevos números, que son útiles para demostrar ciertas operaciones; los ha clasificado, los ha dividido y hasta ha especulado con ellos. La construcción de los números reales es algo complejo que ha hecho, no un hombre, sino la humanidad entera, rebasando los conceptos matemáticos conforme sus necesidades y su curiosidad lo han llevado. Lo primero que hace el hombre es contar, para ello necesitó construir un sistema numérico, evolucionando de esta forma primitiva de representar objetos o cosas reales, a través de símbolos, naciendo así el primer conjunto de números llamados naturales, estos números son utilizados para contar, y se representan mediante la letra N.
1, 1+1, 2+1, 3+1, 4+1,… 1, 2, 3, 4, 5… Figura 1.3 Números naturales.
Después del uno, el número siguiente se construye anexando uno al anterior, hasta un número indefinido, que se encuentra en el infinito, denotado por el siguiente símbolo (∞). Número natural es aquello que tienen en común todos los conjuntos similares. Por ejemplo, los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; tienen en común la propiedad de estar constituidos por seis elementos. Diremos, en este caso, que los conjuntos A y B representan al número natural 6, o bien, representan la cantidad seis. De modo similar, todos los conjuntos que poseen un solo elemento, es decir, los conjuntos unitarios representarían al número 1, los conjuntos con dos elementos representarán al número 2 y así sucesivamente. El conjunto vacío, el que no posee elementos, representa al cero (0). Una de las funciones que realiza el cero “0”, es ayudarnos a identificar la posición que un dígito tiene. De este modo, se obtiene la sucesión de números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, … que es una sucesión infinita. N = {1, 2, 3, 4, 5, 6… + ∞
Números enteros Si efectuamos la unión del conjunto que contiene cero elementos {0} con el conjunto N de los números naturales, obtenemos el conjunto de los “números enteros positivos”: {0, 1, 2, 3, 4… a}. Ahora, si incluimos un elemento inverso por cada número natural, obtendremos el conjunto de los “números enteros negativos”: {-4, -3, -2, -1}. Para terminar, si unimos ambos conjuntos, obtendremos como resultando el conjunto de los números enteros, denotados por: Z = {–a …-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… + ∞}
Matemáticas I
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Reforma Integral Números racionales Conforme la cultura humana evolucionó, crecieron sus necesidades matemáticas, requiriéndose de una numeración adecuada para cada situación. Al tomar medidas se hizo notorio el hecho de que los números naturales o enteros no solucionaban el problema, pues se necesitaban las fracciones, entonces, surgió el desarrollo de los números fraccionarios, en general, racionales, denotados aún por la letra Q, y que se forman al dividir un par de números enteros con denominador distinto de cero. Como podemos ver, la división exacta de números naturales no resulta posible en todos los casos, puesto que no siempre existe un número natural que al ser multiplicado por el divisor coincida con el dividendo. Por lo tanto, necesitamos ampliar el campo numérico, introduciendo las fracciones o quebrados. Algunos también dan el nombre de números racionales. Un número racional es aquel que puede expresarse como cociente de dos enteros. Los sistemas numéricos son inclusivos, porque en el conjunto de los racionales están incluidos los enteros positivos y negativos, el cero y las fracciones positivas y negativas.
1 3 5 3 7 , , − , , − 2 4 3 1 5 Figura 1.4 Números racionales
Una fracción es la relación que existe entre dos números naturales (a, b), que se acostumbra escribir como a . El b número a se llama numerador y el número b, denominador, estableciéndose así un cociente. El denominador nunca debe ser cero, puesto que la división entre cero no se encuentra definida.
Clasificación de las fracciones Existen diferentes tipos de fracciones, para conocerlas las clasificaremos de la siguiente manera: Tipo de fracción Comunes
Definición
Ejemplo
Su denominador no es la unidad seguida de ceros.
Decimales
Su denominador es la unidad seguida de ceros.
Propias
Su numerador es menor que el denominador.
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Dirección General de Telebachillerato
Bloque I Impropias
Su numerador es mayor que el denominador.
Unitarias
Su numerador es igual al denominador.
Mixtas
Constan de una parte entera y una parte fraccionaria.
Identifica números decimales en distintas formas (enteros, fracciones y porcentajes) Los números decimales se obtienen al dividir dos números enteros cuyo resultado no es otro entero. Para escribir una fracción o quebrado en notación decimal, se sigue el principio fundamental de la numeración decimal, según el cual toda cifra escrita a la derecha de otra representa unidades diez veces menores que las que representa la anterior.
Actividad 1.1 Con la ayuda de tu calculadora, realiza las siguientes operaciones decimales. 1.
4 = 10
2.
4 = 100
3.
4 = 1000
4. 40 = 100 40 5. = 1000 400 6. = 1000 Compara los resultados de los quebrados de los incisos 1, 4 y 6. 1. ¿Qué puedes concluir al respecto?
2. ¿Qué otras fracciones son equivalentes?
Matemáticas I
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Reforma Integral Para leer un decimal se enuncia primero la parte entera, si es que existe, y a continuación la parte decimal, dándoles el nombre de las unidades inferiores. 2.18 6.0019 0.09769
Dos unidades, dieciocho centésimas. Seis unidades, diecinueve diezmilésimas. Nueve mil setecientos sesenta y nueve cienmilésimas
Algunos decimales son periódicos. a)
1 = 0.33333333333333333... 3
b)
1 = 0.1666666666... 6
Los cuales se denotan con una línea superior en la parte periódica.
c)
_ 1 = 0.3 3
1 = 0.16 6 Nótese que únicamente al seis del inciso "d" se le colocó el guión en la parte superior, debido a que sólo éste es periódico. d)
Otros decimales son no periódicos o finitos: e) 1 = 0.5 2 f) 1 = 0.25 4
Porcentajes Los números decimales sin la parte entera representan un porcentaje, siempre y cuando el numerador sea más pequeño que el denominador; de lo contrario, éste será mayor al cien por ciento. Ejemplo Sea la siguiente fracción: a) 3 = 0.5 6
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Bloque I Para saber qué porcentaje es tres de seis, se debe realizar la operación y posteriormente multiplicarla por 100. 3 = 0.5 6 (0.5)(100) = 50% b)
6 = 0.75 8 (0.75)(100) = 75%
El número seis representa el 75% de ocho. c)
4 = 0.571428571 7
Para este caso, es necesario establecer cuántos decimales queremos estimar en nuestro porcentaje. Si determinamos sólo dos decimales, el porcentaje quedará de la siguiente manera: 4 = 0.5714 7 (0.5714)(100) = 57.14% Entonces, el número cuatro representa el 57.14% de siete.
Has comprendido ¿Qué porcentaje representa el ocho del cinco en la siguiente relación? 8 5
Ejemplo Un sistema de cómputo se vende en $6,500.00. Si el precio de lista es de $7,200.00, calcular el porcentaje de descuento. En este caso, $6,500.00 es el precio de venta, $7,200.00 es el precio normal y el descuento debe ser el producto de $7,200.00 por el porcentaje de descuento. Podemos definir que p represente el porcentaje de descuento, expresado como decimal. A continuación sustituimos el precio de venta por $6,500.00 y el precio normal por $7,200.00 en la fórmula: (modelo matemático).
Matemáticas I
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Reforma Integral Precio de venta = precio normal – descuento. Al sustituir los valores, obtenemos: 6500.00 = 7200.00 − 7200.00 p 6500.00 − 7200.00 = 7200.00 − 7200.00 − 7200.00 p −700.00 = −7200.00 p −700.00 p= −7200.00 p = 0.0972 Si esta cantidad la multiplicamos por 100, obtendremos el porcentaje de descuento. p = (0.0972)(100) = 9.72%
Actividad I. Actividad para realizarse en grupos de cuatro alumnos. Si Martín compra un auto de contado, obtendrá un descuento de $12,000.00. El costo con pago de contado es de $187,000.00. 1. ¿Cuál es el modelo matemático que relaciona el precio de venta con el precio normal y el descuento? 2. ¿Cuál es su precio normal? 3. ¿Qué porcentaje del precio normal es el descuento? Si Martín lo paga en 36 mensualidades, debe pagar $220,000.00 por el auto. 4. ¿Cuál es el modelo matemático que permite realizar este cálculo? 5. ¿Cuánto debe pagar extra? 6. ¿Qué porcentaje representa la cantidad extra sobre el precio normal?
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Bloque I Ejercicios Determina qué porcentaje representa cada una de las siguientes relaciones. Np. 1 2 3 4 5
Relación 3 4 6 9 7 8 3 5 4 7
Resultado a dos cifras
Porcentaje
Problemas 1. El total del tiraje del libro de Matemáticas I fue de 60,000 ejemplares, si por cada libro he de recibir el 2%, por concepto de regalías, ¿cuánto recibiré si me pagan sólo una cuarta parte? 2. Una recámara cuesta, normalmente, $3,500.00. Está en oferta a $2,700.00, ¿cuál es el porcentaje de descuento? 3. El dueño de una librería compra un libro usado, en $150.00 y lo vende en $210.00. Calcula el porcentaje de aumento. 4. El dueño de una tienda de regalos compra muñecos de peluche a $20.00 y los vende a $30.00. Calcula el porcentaje de aumento.
Matemáticas I
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Reforma Integral 9. Un joven, con $210.00 en el bolsillo, baja de su automóvil en el camino a casa para comprar rosas por el cumpleaños de su novia. Si cada rosa cuesta $12.00 y los gastos de envío son $15.00, ¿cuántas rosas puede comprar? 10. Para mudarse a otra ciudad, se puede alquilar un camión por $300.00 diarios, más $5.00 pesos por kilómetro. Si se usa un camión por dos días, ¿cuántos kilómetros puede recorrer a un costo de $850.00? 11. Un estudiante gana $120.00 diarios por entregar paquetes por las noches. Se le paga a razón de $5 por cada 2 paquetes entregados, ¿cuántas entregas deberá hacer diariamente para aumentar su ingreso a $160.00 diarios?
Jerarquización de operaciones numéricas al ejecutarlas Para realizar una cierta operación aritmética, se debe simplificar primero el contenido de los símbolos de agrupamiento más internos; luego los siguientes y así sucesivamente. La multiplicación y la división se efectúan antes que la adición y sustracción, procediéndose en ambos casos, de izquierda a derecha, obedeciendo el orden jerárquico de los signos de agrupación: primero los paréntesis ( ), después los corchetes [ ], concluyendo con las llaves { }. Ejemplo 1.13 a) 10 - 2 x 4 = 10 - 8 Nótese que no se resta el 2 del 10, sino que primero se efectúa la multiplicación. b) 8 - 3(6 -2 x 2) = 8 - 3(6 - 4) = 8 - 3(2) = 8-3x2 =8-6 = 8 -2 Simplifica primero lo que está entre paréntesis. 8 - 3(6 -2 x 2) = 8 - 3(6 - 4) = 8-6 =2 c)
{
}
{
} {
}
= 3 6 + 2 8 − 4 = 3 6 + 2 4 = 3{6 + 8} = 3{14} = 42
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} {
3 6 + 2 8 − 2 ( 3 − 1) = 3 6 + 2 8 − 2 ( 2 )
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Bloque I Ejercicios Simplifica las siguientes operaciones aritméticas, de acuerdo con el orden jerárquico establecido. No. 1. 2. 3. 4. 5.
Operación
Resultado
{ } 3 + {−2 − 3 + 2(3 − 5) + 2} −1 + {−1 − 1 − 2(1 − 2) + 1} 3 − {−1 + 2 − 3(2 − 3) + 1} 1 + {−1 − 1 + 2(1 − 2) − 1} 2 − 3 − 4 + (3 − 5) − 1
Identifica y reconoce números reales y variables algebraicas El interés y curiosidad del hombre lo llevó a descubrir nuevos números; por ejemplo, aquellos que representaban una cierta cantidad de gran utilidad, pero que no podían obtenerse como el cociente de dos números. Entonces, introdujo los números irracionales, que se representan mediante la letra I. Ejemplo de ello lo es la medida de la línea inclinada en el triángulo de la figura, que es igual a √2 , cuando las líneas horizontal y vertical son iguales a la unidad. Este número, que en realidad es igual a 1.414213562…, no puede representarse mediante un simple cociente, pero sí es un valor numérico. Otro ejemplo, lo es π, este número que tiene un valor de 3.141592654....., no es más que la cantidad de veces en que cabe el diámetro en la circunferencia. También, la longitud de la diagonal de un pentágono o cualquier polígono regular, tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818).
Matemáticas I
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Reforma Integral La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas. Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales. Tenemos, entonces, que un número irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos enteros, y pueden ser positivos o negativos. √2 = 1.4.1421356....] π ≠ 4.14159265....] 3 √5= 1.70997594....] Números irracionales (con decimales infinitos, no repetitivos).
Identifica formas distintas de representación de números reales
Actividad Completa la siguiente tabla, denotando cada uno de los números como un cociente. NÚMEROS REALES -5
0
25% 1 4
0.333... 0.666 333 1000
25 16
7
2 3+ 4
3
27
− 36 4
3 10
1. ¿Cuáles números no pueden ser representados como el cociente de dos números? 2. ¿Por qué? 3. ¿Cómo se les llama a este tipo de números?
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Bloque I Ejercicios Completa la siguiente tabla. No.
Número
1.
-3
2.
1.2546783425....
3.
Tipo Irracional
11
4.
14
5.
7 2
6.
7 5
7.
0.283428342834....
8.
−2
9.
3i
10.
4 – 2i
11.
3.245245245....
12.
0.1111111111....
13.
-7
3 5
Fraccionario negativo
14. 15.
Matemáticas I
- 8
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Reforma Integral Calcula el valor numérico de una expresión algebraica Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de contar sus pertenencias y representarlas mediante números, también surgió el álgebra, donde ahora las cantidades son representadas por otros símbolos, los cuales pueden reemplazar cualquier valor. El gran desarrollo del álgebra se debió a los matemáticos árabes y, específicamente, a Al-Hwarizmi (Siglo IX d. C.), quien sentó las bases del álgebra actual, la cual se considera como una rama de las matemáticas que tiene por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades. El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético; mientras que en aritmética las cantidades cuentan con una manera definida de representarse (números), en álgebra, las cantidades se simbolizan mediante letras que pueden interpretar cualquier valor numérico que se les asigne. En pocas palabras, en aritmética las cantidades únicamente pueden reproducirse a través de números, y en álgebra, las cantidades se simbolizan mediante números o letras. La evaluación de expresiones es el proceso que consiste en sustituir los valores numéricos asignados para cada una de las incógnitas o letras (variables) que representan a ciertos números, y que al efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente. Para realizar una operación numérica se debe operar en primera instancia, lo que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de una raya de fracción. Posteriormente, se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que se presenten de izquierda a derecha, para finalizar con las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha. La jerarquía de las operaciones algebraicas es similar a las operaciones aritméticas, con el siguiente procedimiento: 1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de una raya de fracción. 2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que se presenten de izquierda a derecha. 3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha. Ejemplos a) Resuelve 2x2yz3, cuando x = 2, y= 3 y z = 1 (2)(2)2(3)(1)3 = (2)(4)(3)(1) = 24 b) Evaluar 4 bx 3 cuando b = 8 y x = 2 4 (8)(2)3 = 4 (8)(8) = 4(8) = 32 8a 5b 2 2a 2 b c) Evaluar + − 2 x
y
x y
cuando a = 1, b = 2, y = 4 y x = 3.
8(1) 5(2)2 2(1)2 (2) 8(1) 5(4) 2(1)(2) 8 4 96 +180 − 4 272 5 + − = + − = +5 = = =7 2 3 (3) (4) 3 4 (9)(4) 3 36 36 36 9 4
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Bloque I
Ejercicios Resuelve los siguientes ejercicios cuando a = 2, b = 1, c = 4, d = 3, m = ½, n = 2/3, p = ¼, x = 0, según el caso. 1. (a + b) c - d = 2. (a + b)(b - a) = 3. (b - m)(c - n) + 4a2 = 4. (2m + 3n)(4p + b2) = 5. (4m + 8p)(a2 + b2)(6n - d) = 6. (c -b)(d - c)(b - a)(m - p) = 7. b2(c + d) -a2(m + n) + 2x 8. 2mx + 6(b2 + c2) - 4d2 = 8m 16 p
+ 9. a = b 9n
10. x + m(ab + dc - ca) = 11.
4(m + p) a 2 + b 2 ÷ a c2
12. (2m + 3n + 4 p)(8 p + 6n + 4m)(9n + 20 p) 13. c 2 (m + n) − d 2 (m + p) + b 2 (n + p) = 14.
15. (4p+2b)(18n-24p)+2(8m+2)(40p+a)= d 2 5+ 2 bx m 16. d −b p2 a+
17. (a + b) c 2 + 8b − m n 2 a+c 6n + ÷ (c + d) p b 2
18.
19. 3(c − b) 32n − 2(d − a) 16 p − 20.
Matemáticas I
6abc 3mn cdnp + − 2 8b 2(b − a) abc
2 n
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Reforma Integral Ejercicios
1
1 1
1 1
1
2
21. b 2 + + + + + = a b b c n m 22. (2m+3n)(4p+2c)-4m2n2 23.
b2 −
c
3 − n 2ab − m b − m
24. 5ab = 25.
2bc 2
26.
4a = 3bc
27. 28. 29.
2m
n2
24mn
2 n2 p2 2 4 2 3 ab m = 3
30. 24m2n3p
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Bloque Problemas
¡A trabajar tu proyecto!
PROYECTO 1: Formen equipos de 6 personas tal que socialicen entre sí con cuánto dinero cuentan para su semana, y cómo deben distribuir sus gastos para que les alcance. • Realicen una tabla comparativa de gastos-producto-costo. • Calculen los gastos alumno-semana. • Comparen el consumo de los mismos productos en la casa y en la escuela. • Calculen la diferencia y analicen el ahorro al consumir productos caseros. • Analicen el impacto de sus gastos en la economía familiar. PROYECTO 2: Realiza un registro de lo que gastes durante una semana, especificando el rubro al que corresponde cada gasto. En equipo de 4 o 5 integrantes, reúnan los resultados obtenidos y realicen lo siguiente: a) Sumen los gastos realizados por los integrantes del equipo correspondientes a cada rubro. b) Ordenen los resultados de manera ascendente, ¿en qué rubro gastaron más? ¿en qué rubro gastaron menos? c) Realicen una gráfica que muestre los gastos por rubro realizados por el equipo. d) Sumen el total de gastos de todos los integrantes del equipo y de todos los rubros. e) Calculen qué porcentaje de sus gastos corresponde a transporte. f) Calculen qué porcentaje de sus gastos corresponde a material de papelería. g) Calculen qué porcentaje de sus gastos corresponde a alimentos. h) Expresen los porcentajes anteriores en números fraccionarios y en números decimales. i) Si, entre todos los integrantes del equipo, hubieran ahorrado el 8% de sus gastos, ¿a cuánto hubiera ascendido el total de gastos del equipo? j) Comparen con los compañeros de otros equipos y saquen una conclusión grupal acerca de los resultados obtenidos.
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Reforma Integral
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