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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE MATAMOROS

MATERIA: MATEMATICAS PARA LA INGENIERIA

PROFESOR: ING. MARCO ANTONIO DIAZ

ALUMNO: JULIO GPE. REYES ZAPATA

GRUPO: 1IMI1V

DERIVADA PARCIAL En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, matemática, etc.

Teorema (Regla de la cadena): Sea f(x,y) una función con derivadas parciales continuas de forma que “x” e “y” son, a su vez, funciones de otra variable independiente t, es decir, x= x(t), y = y(t), derivables ambas respecto a t. Entonces z = f(x,y) también es derivable con respecto a t.

Razón de cambio: El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.

Pendiente: En matemática se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal (la tangente inversa del valor de la "m" es el ángulo en radianes). P, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la Derivada de una función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y otros

elementos constructivos. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Sean P1 (x1; y1) y (x2; y2), P2 dos puntos de una recta, no paralela al eje Y; la pendiente:

Es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje X positivo.

Si la pendiente (m) es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva, si la pendiente es menor que 0 se dice que la pendiente es negativa, si la pendiente es igual a 0 la recta es paralela al eje (x) del plano cartesiano, y si la pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (y) del plano cartesiano.

Recta tangente a una curva en un punto: La recta tangente a una curva es la que coincide con la curva en un punto y con la misma derivada, es decir, el mismo grado de variación. El conocimiento de la recta tangente permitirá resolver problemas sencillos: en primer lugar, se podrán encontrar tangentes a cualquier función que se pueda derivar, en cualquier punto, como se observa en el primer ejemplo resuelto a continuación. En segundo lugar y como se puede ver en el segundo ejemplo, se puede utilizar como condición en problemas más complejos. La recta y=m∙x+b es tangente a la curva f(x) si cumple los siguientes requisitos: 1.Pasa por el punto de tangencia (a,(f(a)) 2.Tiene el mismo pendiente (mismo valor de la derivada) que la curva en el punto de tangencia: m=f´(a)

Entonces, se puede escribir la ecuación de la recta tangente de la siguiente forma:

y-f(a)=f´(a)∙(x-a) Nota: Siempre se encontraran tangentes a funciones polinómicas de orden superior a 1, o a funciones no polinómicas. La tangente a una recta sería la propia recta.

Regla de la cadena: una variable independiente: Si w = f(x, y) es diferenciable y x = g(t) e y = h(t) son derivables entonces

dw/dt = aw/ax dx/dt + aw/ay dy/dt

Sea w = x 2 y − y 2 , x = sen(t), y = et . Calcular dw/dt│t=0 de las dos formas siguientes: 1. Sustituyendo y derivando como una funci´on de una variable. 2. Aplicando la regla de la cadena. Dos objetos recorren trayectorias el´ıpticas dadas por las ecuaciones paramétricas x1 = 4 cos(t), y1 = 2 sen(t) (Objeto 1), x2 = 2 sen(2t), y2 = 3 cos(2t) (Objeto 2).

Leyes de diferenciación: Técnicas de diferenciación:

Derivadas Parciales de Orden Superior La extensión a funciones de varias variables del concepto de derivada de orden superior, aunque teóricamente no ofrece ninguna dificultad, presenta ciertas complicaciones de naturaleza formal que se hacen especialmente patentes a la hora de establecer las reglas habituales de cálculo. Las complicaciones (al menos las pedagógicas) son algo menores cuando se trabaja en dimensión finita, ya que entonces el uso de derivadas parciales permite considerar a las derivadas de orden superior como objetos más “tangibles”. Definiciones

Derivación Parcial Implícita En la matemática la derivada parcial implícita corresponde a una función que tiene diversas variables, en este caso es una derivada con respecto a una de las variables manteniendo todas las otras como constantes. Las derivadas parciales implícitas con usadas en los cálculos de vectoriales y geometría diferencial. La derivada parcial de una cualquier función f respecto a la variables x puede ser representada como:

Al completar la derivada se obtiene la una expresión que nos permite encontrar la pendiente de una recta tangente de una función en un punto dado.

VECTOR GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL Es necesario darse cuenta de que ∇f (x,y) es un vector en el plano y ∇F(x,y,z) es un vector en el espacio. El vector gradiente marcará la dirección de máxima variación de la función en cualquier punto. La derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector unitario que determina la dirección.

Vector unitario Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad. Normalizar un vector Normalizar un vector consite en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado.

Para normalizar un vector se divide éste por su módulo. Ejemplo: Si V es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

EXTREMOS DE FUNCIONES MULTIVARIABLES Al igual que las funciones de una variable, las de varias variables también tienen extremos relativos y absolutos. Un máximo (ó mínimo) absoluto es un valor para el que la función toma el mayor (ó menor) valor. Un punto es un extremo relativo si es un extremo en un entorno de dicho punto. Es decir, si es un extremo con respecto a los puntos cercanos. En esta sección estudiaremos analíticamente la existencia de extremos de funciones de dos variables en el dominio de la función (que consideramos abierto). Para ello usaremos cálculo diferencial.

Concepto de valor critico: Un valor crítico es un punto en la distribución del estadístico de prueba bajo la hipótesis nula que define un conjunto de valores que apoyan el rechazo de la hipótesis nula. Este conjunto se denomina región crítica o de rechazo. Por lo general, las pruebas unilaterales tienen un valor crítico y las pruebas bilaterales tienen dos valores críticos. Los valores críticos se determinan de manera que la probabilidad de que el estadístico de prueba tenga un valor en la región de rechazo de la prueba (cuando la hipótesis nula sea verdadera) sea igual al nivel de significancia (denotado como α o alfa).

Maximos y minimos de una función: Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio. Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Extremos Restringidos (Multiplicadores de Lagrange):

Metodos para calcular máximos y minimos en una función: Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función,analizaremos dos mecanismos:

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CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SUPRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.

obtener la primera derivada. igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

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El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función. se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo. Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados. sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.

Este procedimiento consiste en:

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calcular la primera y segunda derivadas igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada. Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo. Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo. sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

Multiplicadores de Lagrange: