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INGENIERÍA MECATRÓNICA 8 IMTB CHRISTIAN ELIUT SALAZAR HERRERA GABRIEL GARCIA CORTINA Dr. MATEMÁTICAS PARA INGENIERÍA Ram

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INGENIERÍA MECATRÓNICA 8 IMTB CHRISTIAN ELIUT SALAZAR HERRERA GABRIEL GARCIA CORTINA Dr. MATEMÁTICAS PARA INGENIERÍA Ramos Arizpe Coahuila, México. Febrero 2019

Contenido I.

Conceptos de ecuaciones diferenciales ..................................................................................................... 3 1.

Definir los conceptos de ecuaciones diferenciales ................................................................................ 3

2.

Distinguir las notaciones para representar ecuaciones diferenciales. .................................................. 4

3. Clasificar una ecuación diferencial de acuerdo a su: tipo; ordinarias y parciales, orden, grado, linealidad, y tipo de solución. ......................................................................................................................... 5 4.

Explicar el proceso de comprobación que una función es la solución de una ecuación diferencial. .... 6

5.

Identificar la solución de una ecuación diferencial e software. ............................................................ 7

II.

Métodos analíticos .................................................................................................................................... 9 6.

Ecuaciones diferenciales primer grado. ................................................................................................ 9

7.

Ecuaciones lineales. ............................................................................................................................. 10

8.

Eliminación por adición o sustracción. ................................................................................................ 12

9.

Eliminación por sustitución. ................................................................................................................ 13

10.

Homogéneas. .................................................................................................................................. 14

11.

Exactas. ........................................................................................................................................... 14

12.

Bernoulli. ......................................................................................................................................... 15

III.

Trasformada de la place .......................................................................................................................... 16

1.

Definir el concepto y teoremas de valor inicial y final de la trasformada de Laplace. ........................ 16

2.

Explicar los métodos de solución de transformadas de Laplace directas e inversas: ......................... 17

3.

Solución de ecuaciones diferenciales mediante trasformadas de Laplace ......................................... 19

4. Explicar el proceso de solución de ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace y su inversa. ......................................................................................................................................................... 21 5.

Explicar el proceso de solución de la transformada de Laplace directas e inversas; .......................... 23

IV.

Conclusión ............................................................................................................................................... 26

V.

Bibliografía ............................................................................................................................................... 27

VI.

Software .................................................................................................................................................. 28

I.Conceptos de ecuaciones diferenciales 1. Definir los conceptos de ecuaciones diferenciales ¿Qué es una ecuación diferencial? Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial La frase de manera no trivial anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es

Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable. Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a 𝛾 como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma

para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma

Ejemplo La ecuación

es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales

Orden de una ecuación diferencial El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación. EJEMPLOS: 1. Son de Primer Orden: 2 - 4 – 8 2. Son de Segundo Orden: 1 – 3 – 6 – 7 – 9 3. Son de Tercer Orden: 5 Ecuación Diferencial lineal Una ecuación diferencial ordinaria de orden forma:

Donde los coeficientes

para

es lineal si se puede escribir de la

son funciones reales, con

. Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.

2. Distinguir las notaciones para representar ecuaciones diferenciales. La notación (´) prima se usa para denotar el número de la derivada siendo esta usada hasta tres prima (´´´) de ahí en adelante se utiliza notación numérica (Y) La anterior es una ecuación diferencial ordinaria, donde (Y) representa una función no especificada de la variable independiente (X), es decir Y´= dy/dx Es la derivada de Y con respecto a X. (d^2 x)/(dt^2) + 16x = 0 Una ecuación diferencial puede escribirse en diferentes notaciones para las derivadas. Se ejemplifican las notaciones para primera, segunda y tercera derivada: Notación de

Notación de Leibnitz

Notación de lagrange

Notación de cauchy o jacobi

Notacio de Newton

La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en determinar la función que al derivarse cumpla una determinada ecuación diferencial. Existen métodos específicos para la solución de las ecuaciones diferenciales de acuerdo a su clasificación, por lo que de inicio es importante identificar a las ecuaciones diferenciales de acuerdo a su clasificación.

3. Clasificar una ecuación diferencial de acuerdo a su: tipo; ordinarias y parciales, orden, grado, linealidad, y tipo de solución. La clasificación de las ecuaciones diferenciales y sus diferentes tipos:

4. Explicar el proceso de comprobación que una función es la solución de una ecuación diferencial. La condición y el proceso de una ecuación diferencial la condición inicial porque con frecuencia escribimos ecuaciones diferenciales para las cuales t= 0 es el “tiempo inicial”. La siguiente figura muestra diferentes gráficas de la forma P(t) =Ce kt con k ln 2. Las gráficas de la infinidad de soluciones de dP/dt kP de hecho llenan completamente el plano de dos dimensiones sin que haya dos que se intersecten. Más aún, la elección de cualquier punto P=0 en el eje P determina el valor de P(0). Debido a que una solución pasa exactamente a través de cada uno de estos puntos, vemos que en este caso la condición inicial P= (0) P0 determina una solución única de acuerdo con los datos proporcionados

Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los fenómenos naturales más interesantes involucra cambios descritos por ecuaciones que relacionan cantidades que cambian. Debido a que la derivada dx/dt = f(t) de la función f es la razón a la cual la cantidad x = f(t) está cambiando respecto de la variable t independiente, es natural que las ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir el universo cambiante. Una ecuación que relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas se llama ecuación diferencial.

5. Identificar la solución de una ecuación diferencial e software. Para resolver una ecuación diferencial EN GEOGEBRA, debe primero activarse la vista CAS, y se usa el comando ResuelveEDO[] , escribiendo la ecuación. Cada constante en las respuestas tiene un índice diferente para evitar confusiones. Resuelva

2𝑥𝑦 + 6𝑥 + (𝑥 2 − 4)

𝑑𝑦 =0 𝑑𝑥

Primero hay que acomodar la ecuación, sustituyendo la derivada por y'

2xy+6x+(x^2-4) y'=0 En la zona de entrada se escribe: Resuelve EDO [(2x*y+6*x+(x^2-4)y'=0] El resultado es:

Resuelva:

Se sustituye la derivada por y' y queda: y'=x-1+xy-y Se ingresa a Geogebra: ResuelveEDO[y'=x-1+x*y-y] la respuesta es:

II.Métodos analíticos 6. Ecuaciones diferenciales primer grado. Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden.

Durante muchos años los matemáticos se esforzaron por resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales. Debido a esto existen hoy en día muchas técnicas de solución, algunas de las cuales estudiaremos. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 1 ) = 0 que puede escribirse en la forma: 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 0 Se llama ecuación diferencial en variables separadas. Una ecuación de la forma: 𝑓1(𝑥)𝑔1(𝑦)𝑑𝑥 − 𝑓2(𝑥)𝑔2(𝑦)𝑑𝑦 = 0 Puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor 𝑓2(𝑥)𝑔1(𝑦) 𝑓1 (𝑥) 𝑔2 (𝑦) 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0 𝑓2 (𝑥) 𝑔1 (𝑦) Y al integrar obtendremos la solución

Ejemplo:

Dividiendo por el factor 𝑇𝑎𝑛(𝑦)(2 − 𝑒 𝑥 ) obtenemos.

Y al integrar.

Simplificando.

7. Ecuaciones lineales. Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:

Hay exactamente una solución. Un número infinito de soluciones. No existe solución.

Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución.

Eliminar una incógnita.

Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.

Los métodos de eliminación son.

1º. Por adición o sustracción.

2º. Por igualación. 3º. Por sustitución.

Eliminación por adición o sustracción. Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta:

a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita. b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo. c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene. d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.

Ejemplo:

Sea resolver el sistema: x-3y = 9 (1). 2x + y = -10 (2)

Solución:

Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene: 2x - 6y = 18 (3). Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x": -7y = 28. Se obtiene: y = -4. Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x":

x - 3y = 9. x - 3(-4) = 9. x + 12 = 9. x = -3. Por tanto: x = -3; y = -4.

8. Eliminación por adición o sustracción. Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta:

a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita. b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo. c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene. d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.

Ejemplo:

Sea resolver el sistema: x-3y = 9 (1). 2x + y = -10 (2) Solución: Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene: 2x - 6y = 18 (3). Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x": -7y = 28. Se obtiene: y = -4.

Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x": x - 3y = 9. x - 3(-4) = 9. x + 12 = 9. x = -3. Por tanto: x = -3; y = -4.

9. Eliminación por sustitución. ) Despéjese

una incógnita en una de las dos ecuaciones.

b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación. c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante. Ejemplo: Sea resolver el sistema: 3x + y = 22 (1). 4x - 3y = -1 (2). Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1). 3x = 22 - y. x = (22 - y) / 3 (3). Sustitúyase (3) en (2). 4 [(22 - y) / 3] - 3y = -1. 4 (22 - y) - 9y = -3. 88 - 4y - 9y = -3. -13y = -91. y = 7. Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y".

x = (22 - y) / 3 (3). x = (22 - 7) / 3. x = 5. Por tanto: x = 5; y = 7.

10.

Homogéneas.

Las ecuaciones homogeneas es una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma

Es homogénea, mientras que una ecuación del tipo

Con g(x) no idéntica a cero, es no homogénea. Por ejemplo, 2y + 3y– 5y = 0 es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden, en tanto que x2 y+ 6y + 10y = e es una ecuación diferencial lineal no homogénea de tercer orden. En este contexto, la palabra homogénea no se refiere a los coeficientes que son funciones homogéneas como en la sección 2.5; en cambio, sí tiene exactamente el mismo significado que en la sección 2.3. Veremos que para poder resolver una ecuación lineal no homogénea (7), primero debemos ser capaces de resolver la ecuación homogénea asociada (6). Para evitar repeticiones innecesarias a lo largo del texto, tendremos que recordar, de manera automática, los siguientes supuestos importantes cuando se enuncien definiciones y teoremas acerca de las ecuaciones lineales (6) y (7). En un intervalo común I, • Los coeficientes ai (x), i = 0, 1, 2, ... , n, son continuos; • El miembro g(x) del lado derecho es continuo, y

11.

Exactas.

La ecuación diferencial simple ydx + xdy = 0 es separable, podemos resolverla de manera alternativa si reconocemos que el lado izquierdo es equivalente al diferencial del producto de x por y, es decir, ydx + xdy = d(xy). Al integrar ambos lados de la ecuación obtenemos de inmediato la solución implícita xy = c. Si z = f (x, y) es una función de dos variables con primeras derivadas parciales continuas en una región R del plano xy, entonces su diferencial (también llamado diferencial total) es. 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Ahora, si f (x, y) = c, a partir de (1) se deduce que 𝜕𝑓

𝜕𝑓

𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑥

En otras palabras, dada una familia de curvas de un parámetro f (x, y) = c, podemos generar una ecuación diferencial de primer orden al calcular el diferencial. Por ejemplo, si x2 – 5xy + y3 = c, entonces (2) resulta en. (2x – 5y) dx + (–5x + 3y2) dy = 0. Para cumplir nuestros propósitos resulta más importante modificar el problema; es decir, dada una ED de primer orden como (3), ¿podemos reconocer que es equivalente al diferencial d(x2 – 5xy + y3) = 0?

12.

Bernoulli.

Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otra situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.

Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

Donde 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) son funciones reales y continuas en un intervalo.

La ecuación de Bernoulli.

se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución 𝑢 = 𝑦1−𝑛

III.Trasformada de la place 1. Definir el concepto y teoremas de valor inicial y final de la trasformada de Laplace.

2. Explicar los métodos de solución de transformadas de Laplace directas e inversas:

3. Solución de ecuaciones diferenciales mediante trasformadas de Laplace

4. Explicar el proceso de solución de ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace y su inversa.

5. Explicar el proceso de solución de la transformada de Laplace directas e inversas;

IV.Conclusión En este trabajo de investigación se consultaron métodos de ecuaciones diferenciales, y así mismo a su aplicación y simulación en software que no sabíamos utilizar para desarrollar modelos matemáticos, gracias a esto hemos desarrollado habilidades y conocimientos respecto a las matemáticas, ya que se utiliza en la mayor parte de las cosas de forma cotidiana, espero seguir desarrollado habilidades en distintos softwares y así tener mas conocimiento para mi crecimiento personal y profesional.

V.Bibliografía (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1geo/node3.html, s.f.) (ZILL, D. G. (s.f.). ECUACIONES DIFERENCIALES. En D. G. ZILL, ECUACIONES DIFERENCIALES.) (schaum. (2006). Calculo 5ta edicion . McGraWill)

VI.Software Método de población

Mezcla de colores

Números aleatorios