• Author / Uploaded
• Saul Kys Syk

• Categories
• Triángulo
• Trigonometría
• Funciones trigonométricas
• Circulo
• Geometría

Citation preview

CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS INDUSTRIALES Y DE

SERVICIOS No. 33 SISTEMA ABIERTO DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL (S A E T I) NOMBRE DE LA ALUMNA: LAURA ISABEL SERRA ALVARADO

PERIODO LECTIVO: A07-N07 NOMBRE DE LA MATERIA: MATEMÁTICAS II CLAVE DE LA MATERIA: 9 N° DE CONTROL A0970031 ASESOR: JUANA LIDIA MORENO FECHA DE INGRESO 06-02-2007 ESPECIALIDAD: ADMINISTRACIÓN.

1

2

NOMBRE DE LA MATERIA: MATEMÁTICAS II

CLAVE DE LA MATERIA: 9

No. DE CONTROL: A0970031 ASESOR: JUANA LIDIA MORENO FECHA DE INGRESO 06-02-2007

ESPECIALIDAD: ADMINISTRACIÓN.

3

I N D I C E

GEOMETRÍA EUCLIDIANA---------------------------------------------------------------- 3 INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA---------------------------------3-4 HISTORIA DE LA GEOMETRÍA-----------------------------------------------------------5 CONCEPTOS BÁSICOS-----------------------------------------------------------------------6 PROPOSICIONES VERDADERAS----------------------------------------------------------7,8 RECTA--------------------------------------------------------------------------------------------9 NOMENCLATURA Y NOTACIÓN DE RECTAS----------------------------------------9,10 ÁNGULOS---------------------------------------------------------------------------------14,15,16,17 DEFINICIÓN, CLASIFICACIÓN, NOTACIÓN Y MEDIDAS DE ÁNGULOS------18,19 DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS--------------------------------------------------------20,21 TRIÁNGULOS-----------------------------------------------------------------------------------22 DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS-----------------23,24 RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO----------------------------------25 DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS---------------------------------------------------------26,27 TEOREMA DE PITÁGORAS---------------------------------------------------------------28,29,30 POLÍGONOS-------------------------------------------------------------------------------------31 DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS-------------------32 DIAGONALES Y ÁNGULOS INTERNOS DE UN POLÍGONO CÓNCAVO--------33,34 CIRCUNFERENCIA----------------------------------------------------------------------------35 DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y ELEMENTOS EN UNA CIRCUNFERENCIA--------36 TRIGONOMETRÍA------------------------------------------------------------------------------37 DEFINICIÓN DE TRIGONOMETRÍA Y RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS----37 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS-------------------------------------38 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS---------------------------------------------------------39 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER-----------40 MAGNITUD---------------------------------------------------------------------------------------40 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS------------------------------------------------------41 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES---------------------------42 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS—43-46 LEYES DE SENOS Y COSENOS----------------------------------------------------------47,48,49 CONCLUSIÓN-------------------------------------------------------------------------------------50 BIBLIOGRAFÍA-----------------------------------------------------------------------------------51

4

UNIDAD III 3.

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

3.1

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA.

EUCLIDES: (Siglos IV – III a. C.) matemático griego. Fue un sabio que floreció hacia el año 300 a. C. y que publicó numerosas obras científicas, destacándose entre ellas los célebres Elementos, considerados un tratado de Geometría que conservan después de más de dos milenios todo su valor y que por su difusión extraordinaria le permiten competir con las obras cumbres de la literatura universal; la Biblia, la Divina Comedia, el Quijote. Otros matemáticos posteriores a Euclides completaron la obra contenida en los elementos. Notable entre ellos fueron Arquímedes y Apolunio de Pérgamo. Los Elementos de Euclides están constituidos por trece libros En el libro primero de los Elementos se introducen los términos o mencionan los entes de que ha de ocuparse la Geometría: punto, recta, figura, etc. Considerados como definiciones, pueden ser criticadas desde el punto de vista lógico. Los postulados establecen la existencia de los términos: “Hay una recta que pasa por dos puntos”, etc. Las nociones comunes se refieren a la igualdad o desigualdad de las magnitudes cosas: “Dos cosas iguales a una tercera cosa son iguales entre sí”, etc. A partir de estos elementos se deducen una multitud de teoremas. El primer libro se cierra con la demostración del teorema de Pitágoras y de su recíproco. El libro II contiene 10 proposiciones sobre “Álgebra Geométrica” y la solución de triángulos acutángulos y obtusángulos con el teorema de Pitágoras. El libro III, comprende el estudio de la circunferencia y sus propiedades El libro IV se refiere a la inscripción y circunscripción de polígonos a una circunferencia. Los libros V y VI son un estudio sobre la teoría general de las proporciones. En el libro VII se expone la teoría del máximo común divisor ( mediante el algoritmo de las divisiones sucesivas)

5

En el libro VIII se exponen propiedades de las proporciones continuas y de las progresiones geométricas. En el libro IX figuran tres de los más importantes teoremas de toda la Aritmética. El primero de ellos “La serie de los números primos es ilimitada”, el segundo da “La suma de los términos de una progresión geométrica” y el tercer teorema, es una formula para calcular “los números perfectos” (caracterizados porque resultan iguales a la suma de sus divisores). En el libro X hay numerosas proposiciones sobre los irracionales, y se dan métodos geométricos para resolver ciertas ecuaciones de segundo grado y bicuadradas. En el libro XI esta dedicado al estudio de los cuerpos redondos, destacando la esfera, cilindro y cono. El libro XII incluye los siguientes teoremas. -Dos círculos está entre sí como los cuadrados construidos sobre sus respectivos diámetros. -Una pirámide es equivalente a la tercera parte de un prisma de igual base y altura. -Un cono es equivalente a la tercera parte de un cilindro de igual base y altura. -Dos esferas están entre sí como los cubos construidos sobre sus respectivos diámetros. El libro XIII de los Elementos está totalmente dedicado a los poliedros regulares (da la construcción de los poliedros regulares: Tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro). Euclides demostró que sólo podían existir cinco poliedros regulares (llamados “sólidos cósmicos” por los pitágoricos).

6

3.1.1

HISTORIA DE LA GEOMETRÍA

La Geometría Babilonia.- Mientras que en Astronomía los asirio-babilonicos lograron un desarrollo notable, en la Geometría sus conocimientos prácticos no fueron ni abundantes ni profundos. Tenían un conocimiento correcto del área de triángulos y cuadrílateros y del volumen de prismas rectos. La Geometría Egipcia.- Se le atribuye a los egipcios la prioridad en las ciencias Matemáticas, especialmente en la Geometría. Según Heródoto, atribuía el origen de la Geometría a la necesidad de medir las tierras de labranza, si el Nilo en sus crecidas se llevaba alguna parte de ellas, los agricultores evaluaban la parte arrastrada y decidan, según lo que quedaba, el impuesto a pagar al rey. Desde época muy lejana, que se remonta a más de veinte siglos antes de nuestra era, construyeron los egipcios las grandes pirámides. Un pueblo que emprende obras de esa importancia debe haber poseído extensos conocimientos en Matemáticas prácticas y en Astronomía, pues esas importantes construcciones están perfectamente orientadas. Las pirámides de Gizeh son nueve, tres muy grandes y seis muy pequeñas. Según Heródoto, cien mil hombres trabajaron durante 30 años en la construcción de la gran pirámide. Es al faraón Keops (IV dinastía, 2800 - 2700 a.C.) a quien se le atribuye la edificación de la gran pirámide. En consecuencia la gran pirámide es frecuentemente llamada pirámide de Keops. De los papiros egipcios deos son los más importantes, el de Rhind y el de Moscú. En el primero se encuentran reglas para la solución de problemas con el uso de fracciones y en el segundo aparecen dos problemas geométricos. Del análisis de los papiros se desprende que los egipcios conocían el teorema de Pitágoras por lo menos en su caso particular del triángulo de lados 3,4,5.

7

3.1.2

CONCEPTOS BÁSICOS.

Axioma.- Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración. Ejemplo: El todo es igual a la suma de sus partes. Postulado.- Es una proposición no tan evidente como un axioma pero que también se admite sin demostración. Ejemplo: Dos cantidades iguales a una tercera, son iguales entre sí. Teorema.- Es una proposición cuya verdad es demostrable. Ejemplo: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Corolario.- Es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo. Ejemplo: Del teorema: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos”, se deduce el siguiente corolario: “La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un recto”. Lema.- Es una proposición previa a un teorema que simplifica la demostración de éste. Ejemplo: Para demostrar el volumen de una pirámide se tiene que demostrar antes el lema que dice: “Un prisma triangular se puede descomponer en tres tetraedros equivalentes”.

8

3.1.3

PROPOSICIONES VERDADERAS.

Axioma 1: Cosas iguales a las mismas iguales son iguales o congruentes unas a otras.

Dados

, = 30º

,

2=30º entonces

=

Axioma 2: Una cantidad puede sustituirse por su igual en cualquier expresión o ecuación (axioma de sustitución) Si

x = 7y

y= x +2

Entonces sustituyendo x por el valor de 7 Y=7+2

y=9

Axioma 3: El todo es igual a la suma de sus parte .

B

C

AB

o AC>

BC

Axioma 5: Cualquier cantidad es igual así misma (identidad). Luego x = x,