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• Carolina Almanzar

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UNIDAD III

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

148

Orientaciones para el Estudio de la Unidad III

La tercera unidad está dirigida a profundizar en el conocimiento de los fundamentos del álgebra y sus aplicaciones al entorno del ser humano. Su apropiación adecuada le permite al participante verificar que las operaciones de potenciación y radicación vistas en la unidad I, le son útiles cuando se persiguen alcanzar nuevos aprendizajes. También podrán ver que ciertas situaciones del diario vivir pueden ser resueltas haciendo plan-teamientos con estas operaciones y que para la mismas se hacen extensivas muchas de las propie-dades que cumplen los sistemas de números ya tratados. Muchos hombres de ciencias y de la matemática nos dejaron tan importante legado, que les han servido a los seres humanos posteriores a apoyarse en sus teorías y conocimientos para producir numerosos inventos, y de este modo, ayudarse a tener una vida de mejor calidad. Inspirados en los legados de muchos hombres de ciencia, es que, iniciamos la unidad con una biografía de uno de los matemáticos que aportó sus conocimientos y que su uso hoy día, ha contri-buido al avance tecnológico del que disfrutamos.

MATEMÁTICA HOY

149

Esquema de Contenidos de la Unidad III

La tercera unidad se compone de dos temas y en cada tema se incluyen los contenidos que se sugieren sean abordados en el programa de estudio. El detalle aparece a continuación: Tema 1: POTENCIA Y OPERACIONES ALGEBRAICAS • Concepto y representación de potencias con expresiones del algebra. • Se tratan el cuadrado y el cubo de expresiones algebraicas. • Se analizan las propiedades o leyes fundamentales de la potencias para expresiones algebraicas. • Operaciones con potencias algebraicas. • Análisis de los cocientes notables. • Se planean ejercicios de aplicación y de fijación de conocimientos sobre el tema. • Inclusión de evaluación del tema como forma de que el participante verifique los aprendi-zajes logrados en el mismo. Tema 2: LA RADICACIÓN Y PROPIEDADES. • Concepto y representación de raíces de números reales en el álgebra. • Determinación de las leyes o propiedades de los radicales. • Raíz de una potencia con monomios. • Analizar la raíz de un producto de varios factores y del cociente de monomios. • Simplificación de radicales a su mínima expresión. • Suma y Resta de Radicales • Multiplicación de radicales con iguales y diferentes índices. • División de Radicales con iguales y diferentes índices. • Potencias de los Radicales • Raíz de un Radical. • Proceso de Racionalización de radicales. • Se planean ejercicios de aplicación y de fijación de conocimientos sobre el tema. • Inclusión de evaluación del tema como forma de que el participante verifique los aprendi-zajes logrados en el mismo.

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

150

Objetivos de la Unidad III

•

Definir y ejemplificar la potenciación.

•

Calcular la potencia de un monomio.

•

Determinar el cuadrado de un binomio.

•

Elevar al cubo un binomio.

•

Aplicar las propiedades o leyes de la potencia algebraica a situaciones práctica del diario vivir.

•

Realizar operaciones prácticas con potencias alge-braicas.

•

Definir y ejemplificar una expresión radical de ex-presiones algebraicas.

•

Enunciar las leyes o propiedades de los radicales.

•

Calcular la raíz de una potencia, de un producto de una expresión con monomios.

•

Simplificar radicales con expresiones algebraicas.

•

Realizar operaciones con cantidades que contienen radicales.

•

Analizar el proceso de racionalización de expresiones algebraicas.

•

Utilizar

la

expresiones

potencia

y

algebraicas

situaciones del diario vivir.

MATEMÁTICA HOY

la

radicación

para

de

representar

Tema 1 Potenciación y Radicación de Expresiones Algebraicas

Nicolás Tartaglia (1499-1557)

Nació en Brescia (Italia) en 1499. Su verdadero nombre era Nicolo Fontana; al parecer, «Tartaglia» era un apodo que se le adjudicó a consecuencia de su tartamudeo (tartaglia significa el que tartamudea). Una herida de infancia, recibida en la boca durante el saqueo de su ciudad natal (1512) por las tropas de Gastó de Foix, le impediría hablar bien durante el resto de sus días. Matemático que ideó el método de resolución de ecuacio-nes de tercer grado. El tratamiento de la ecuación cúbica ge-neral proporcionó, por vez primera, argumentos válidos para la aceptación de los números complejos. En 1546 publicó su obra más importante, Preguntas e in-ventos diversos. En ella se extiende acerca de cuestiones rela-cionadas con el álgebra y en la teoría de la ecuación de tercer grado; trata también de las matemáticas aplicadas a la balística y los explosivos y al levantamiento de planos. Muere en 1557 en la ciudad de Venecia cuando estaba a punto de publicar un libro relacionado con las reglas del alge-bra, la geometría, la aritmética, la física y numerosos ejemplos de las matemáticas aplicadas a los juegos de azar.

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

152

Tema 1 Potencia y Operaciones de Expresiones Algebraicas Objetivos operacionales: 1. Definir potenciación e identificar elementos. 2. Hallar la potencia de un monomio. 3. Calcular cuadrado y cubo de un binomio. 4. Elevar un binomio a una potencia entera y positiva. 5. Aplicar las propiedades de reales a la potencia. 6. Realiza ejercicios de evaluación y fijación de conceptos.

1.1 La Potenciación Es una operación algebraica que tiene por objetos dado la base y el exponente, hallar la potencia. Es la operación inversa a la radicación. Ejemplo: exponente

(5m)2 = (5*5)m1*m1 = 25m2 base

potencia

m1*m1 = m2 Las bases son iguales se suman los exponentes

1.2 Signos de las Potencias •

Toda cantidad negativa elevada a un exponente par, da como resultado una potencia positiva.

Ejemplo: = (-3) (-3) (-3) (-3) = 81 •

Toda cantidad negativa elevada a un exponente impar, el resultado o potencia es negativo.

Ejemplo: = (-3) (-3) (-3) (-3) (-3) = -243 MATEMÁTICA HOY

153

1.3 Potencia de un Monomio Para hallar la potencia de un monomio, se multiplica el coeficiente tantas veces, como indique el exponente y se multiplica el exponente de la parte literal por el exponente del monomio. Ejemplos: Hallar las potencias siguientes: a)

( 5m 2 n4 )3 = ( 5 × 5 × 5 )m 2×3 n 4×3 = 12125mm6n 12n

b)

( −3 x2 y 8 )3 = ( −3 ) ( −3 ) ( −3 ) x2×3 y 8×3 = −27x6 y24

6

12

c) −5m 2

2

( −5 ) ( −5)m2×2 25m4 =

=

4n 7

( 4) ( 4)n 7×2 16n14

1.3.1 Cuadrado de un binomio Esta parte de la multiplicación fue tratada como un caso particular de la multiplicación de polinomios. La vemos de nuevo a modo de repaso. Tomemos el binomio (x + y), elevémoslo al cuadrado (x + y)2 = (x + y) (x + y). Desarrollo:

( x + y )2 = x 2 + 2xy + y2 x+y x+y * x * x + xy xy + y * y x 2 + 2xy + y2 Del mismo modo se prueba que

Es decir la primera cantidad elevada al cuadrado más dos veces la primera por la segunda más las segunda al cuadrado.

( x + y )2 = x 2 + 2xy + y2

Haga la prueba siguiendo el patrón anterior.

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

154 Ejemplos: Hallemos la potencia de:

(

1) 4 x2 − 3 y 8

)2 = ( 4 x 2 )2 − 2 (4 x 2 )(3 y 8 ) + (3y8 )2

= 16 x4 − 24 x 2 y 8 + 9 y16 2 2) 1m

+

2n2

2

=

3 =

1

1m 2 2 2

+2

1m 2

2n

2

3

+

2n 2 3

2 4 2 4 2 4m + 3m n+9 n

1.3.2 Cubo de un binomio Tenemos el binomio (x + y), elevémoslo al cubo (x + y)3

(x + y) (x + y) (x + y)

Desarrollo: Paso a

x+y x+y × x × x + xy xy + y × y x 2 + 2xy + y2 (

Paso b

x 2 + 2x 2 y + y2 x+y × x 3 + 2x 2 y + xy2 + x 2 y + 2xy 2 + y3 x 3 + 3 x 2 y + 3xy 2 + y3

x + y )3 = x 3 + 3 x 2 y + 3xy 2 + y3

Es decir: Se eleva la primera cantidad al cubo, más tres veces la primera al cuadrado por la segunda, más tres veces la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda cantidad.

MATEMÁTICA HOY

155 De la misma manera se prueba que:

( x − y )3 = x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y3

Haga la prueba, siguiendo el patrón anterior.

Ejemplo: desarrolle: a)

( 2x + 3y ) 3 = ( 2 x ) 3 + 3( 2x ) 2 ( 3y ) + 3( 2x ) ( 3y ) 2 + ( 3y)3 = 8x3 + 3( 4x 2 )( 3y ) + 3( 2x )(9 y 2 )+ 27 y3 = 8 x3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y3

3

1

3

3

b) 7 a 2 − 4 b 5 3 = 7 a 2 3 − 3 7 a 2

343

=

27

27

a 6 − 196

1

2

4b

5

+3

9

3

2a

2

1

4b

5 2

−

1

5 3

4b

1

a 4 b 5 + 32 a 2 b10 − 64 b15

1.4 Propiedades o Leyes de los Exponentes Sean x e y, números reales y, m, n, números enteros, entonces: 1) xm × x n = xm +n

5) x

m

= xm − n

xn 2) ( xm )n = xm×n

6) x −n =

1 n

,x≠0

x 3) ( xy ) = x .y n

n

n

4)

x

y

=

x

n

x 7) x = x = x1−1 = x0 = 1 0

n n

8) 00 = ∞

y

De estas expresiones se deducen los enunciados siguientes: 1) Para multiplicar potencias de la misma base, se copia la misma base y se suman los exponentes. Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

156 Ejemplos: a) ( −8 ) 3 ( −8 ) 5 = ( −8 ) 3 +5 = ( −8)8 b)

12

13

4

4

1 2 +3

=

=

4

15 4

2) Para elevar una potencia a otra potencia, se copia la base y el exponente de esta se multiplica por la potencia. Ejemplos: a) ( 5x3

)2 = 52 x3*2 = 25x6 b) ( b3 )−2 = b−6 3) La División de potencia de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor. Ejemplo: 3

a) x = x3 −1 = x2 x y

b)

2

−5

=

−5

2

( 4 y)

4y

c) a

−5*2

y

y = 16 y

−10 2

1

y−10 − 2 = 1 y−12

16

16

= a−5 − ( –−32 ) = a−5 + 3 = a−2 = 1

– 3

aa

=

a2

3

4) Toda cantidad elevada a cero es igual a la unidad, siempre que la base no sea cero. En ge0

n

neral a × a = a Ejemplos:

0+n

n

0

= a , a ≠ 0 es decir: a =

an an

=1

a) mx ÷ mx = mx −x = m0 = 1 b) ( −3

MATEMÁTICA HOY

) 5 ÷ ( −3 ) 5 = ( −3 ) 5 −5 = ( −3 )0 = 1

157 5) La potencia es distributiva respecto a la multiplicación y la división Ejemplos: a) ( x × y )3 = x 3 × y 3 = x 3 y3 a

6

a6

b)

=

b6

b

6) Toda potencia de exponte negativo es igual al inverso de las primera potencia con exponente positivo. En general a − p × a p = a − p + p = a 0 = 1, a ≠ 0 es decir: a− p = a Ejemplos: a) 5−3 = 5

1 3

= 125 3

1 p

1

m

−

3 1 3 4=

b)

=

m4 m4

Las leyes de los exponentes son útiles para simplificar expresiones algebraicas como se observa en el ejemplo siguiente: ( 9x 25y47)4

= 65615x

3xy

8

16 7y

= 2,187 x8

− 5

y

16 −7

= 2,187x

3

y9

3x y

1.5 Operaciones con Potencias Multiplicación. a) Bases iguales: ya vimos que si las bases son iguales se copia la misma base y se suman los exponentes. Ej.

( a n ) ( a n +1 ) = a2 n+1

b) Bases diferentes: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de los literales que sean iguales. Ejemplos: 1)

( 4x5 b 2 ) ( −3 x 4 b 6 ) = −12x 9 b8

2) 3)

( 7xyz ) ( 2xy ) = 14x 2 y 2 z

( 23 ) 2 ( 32 )3 = 26 × 36 = 64× 729 = 46,656 Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

158

1.6 Cocientes Notables Son ciertos cocientes que se obtienen a través de reglas fijas y que pueden ser escritos por sim-ple inspección, es decir, sin necesidad de realizar la operación. Ejemplos: 1)

9m 2 − n2

= 3m

− n 3m + n Regla 1: la diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades. 2) Dividir: 1− k 4 entre 1− k 2 Solución: 1− k 4 = 1+ k 2 1− k 2

Regla 2: la diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas por la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades. Cocientes de la Suma o Diferencia de Cubos. Ejemplos: Dividir: 1)

8w3 + z3

= ( 2w ) 2 − 2w ( z ) + z 2 = 4w 2 − 2wz + z2 2w + z

Construya la regla :

MATEMÁTICA HOY

159

2)

1 − 64 p3

= 12 + 4 p + ( 4 p )2 = 1 + 4 p +16 p2 1 − 4 p

Regla 2:

Las reglas para los cocientes de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades, se deducen de esta manera: x3 + y 3 x+y

Dividiendo x3

x+ y

+ y3

− x3 − x 2 y −x2 y

x2 − xy + y2 + y3

x2 y + xy2 xy 2 + y3 − xy 2 − y3 0

•

De la misma forma se obtiene que x 3 − y3 x

2 2 − y = x + xy + y

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

160

Actividad 1)

Pruebe que el cociente

x 3 − y3

= x2 + xy + y2

x− y

2) Hallar la potencia de los siguientes monomios. a) ( 5a3 )2 = b) (− 8m

f) (4x3 )3 =

3 4

3

)

x

=

g) −

1

4

p

=

2 2

−y

c)

h) ( −xyz ) 5

=

=

2m d)

5

2 8k w

10

e)

3x −3 k

=

i)

x

4 =

p 8

2

j) (2x−3 ) = 4

=

4 3) Desarrolla los siguientes binomios.

a) ( x 4 + 2 y3 )2 = 3a

b)

2b

−

4

f)

g) 1 m − 1 n

2

=

5

e)

8

− 2kp2

( 4 − 3b)2 =

MATEMÁTICA HOY

2

=

23

c) ( 2x + 3y)3 = d) ( 7k

(−5 + 2 p5 )3 =

)3 =

h)

( a − 2b)3 =

i)

( p + q3 )2 =

j)

( y + z )3 =

161 4) Halla las potencias de:

f) 10m20

10m10

a) m 4 × m10 4

g)

2

b) 7 × 7

1 7 1 3 5p ÷ 8p

1a 88

h)

c) ( −3

) 5 × ( −3)2

d) ( −10)

20

÷

( −10)

17

5

1a

3

i)

( 3z )2 (4v3 )3

j)

( 2v )(−6w2 )4

e) −3m 2 ÷ −3m2 5) Expresa cada una de las expresiones con exponentes positivos.

a) a 3b−5 b)

g) 4 p−5 h) (3q2 )

( 4x)−2

i) (5wv−1 )2

c) 5x−4 d)

2

( −7x ) 4

−3

−3

k)

x l)

−3

e) 8

−3 −2

w−4

6) Multiplicar estas expresiones: a) (m 2 )m4 = ________________

f) (6b 2 )(8b 3 c) = _______________

b) 5x (3x3 ) = _______________

g) (9v 4 )(9v7 ) = ________________

c) ( a ) ( −3b )( 5a 2 b3 ) = ________

h) (2w 6 )(2w−2 ) = ______________

d) ( 2x )( −3 x6

) = ____________

i) k 2 .k 2 .k 2 .k 2 = ___________

( 4 p 2 ) ( 5 p6 ) = ____________

j) ( 2 p 4 )( 2 p3 ) = ______________

e)

1

1

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

162

Evaluación del tema 1, Unidad III 1) Completa la regla con la respuesta correcta. a)

Operaciones inversa a la radicación.

b)

Indica las veces que la base de multiplica por si misma.

c)

Resulta de elevar −5a2 al cubo

d)

Resulta de elevar (3x2 ) a la 4ta. Potencia.

e)

Es el resultado del desarrollo de (3x2 − 5y)3

2) Escribe V o F según sea verdadero o falso. a)

Toda cantidad negativa elevada a un exponente par, es negativo su resultado.

b)

Toda cantidad positiva elevada a un exponente impar, es positivo su resultado.

c)

Toda cantidad negativa elevada a un exponente impar, su potencia es positiva.

d)

En la multiplicación de potencias igual base, se copia la base y se dividen los expo-

nentes. e)

Toda cantidad elevada a un exponente negativo es igual a su reciproco.

3) Desarrollar. a) ( 4a 2 − 3b4 )3 =

b)

1x 2

−

2y 2

2

=

e) ( 5w − 2v)2 = f) ( p + q)

3

=

5

c) ( 2 p 2 + 5q2 )2 =

g) ( x + 3y)2 =

d) ( 4x 5 − 3xy)3 =

h) ( 2m + 4n)3 =

MATEMÁTICA HOY

163 4) Aplicar las propiedades correspondientes: a) ( − 5 x 2 )× ( −5 x)3 =

f) (3x 2 *4 y)2 = 6 a g) 4 a

b) ( a 8 )( a 4 )(a3 ) =

85 3

=

h) (3a2 )5 =

c) 6a 8 ÷ 6a5 = d) ( −2 m )8 ÷ ( 2m)9 =

i)

q 8 −2

5 1p

=

2 j) (w3 )(w 4 )(w 2 )(w) =

e) ( 4m 5 )0 ÷ ( 3m2 )2 = 5) Calcula sin efectuar división.

a)

27m 3 + 216n3

3m + 6n 9− 4 b) p = 3− p 2 c)

d)

25 y 2 − 36z4 5 y + 6z2 16 x4 − 64 y4

=

100v16 − 81w2

f)

10v 4 + 9w

2 g) 1− 49x

e)

1− 5a3

=

h)

=

i)

25 p 4 − 64q4 5 p 2 − 8q2 4 x2 −9 y2 = 2 x −3y a 2 − b2

27

=

j)

a+b

6. Evalúa cada expresión y escribe el resultado. a)

2

−2 −3

3

=

=

1+ 7x

4 x 2 + 8 y2 1−125a

=

f)

3

−1 −1

−4

−1 −1

3 +3

=

=

=

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

164 1

b)

0

=

0

g)

1

4

2 5

=

4

5 6 c) ( −2) − 3 = ( −2)−1

3 2 h) (3 )(3 ) = 32

(7 − 7)0 d)

42 =

70 −1

i)

=

1/ 2

2−3

1

e) 2 − 2 = j) 2−2 = 7. Obtener las potencias indicadas en cada caso. 33

f) − ( − 1)

=

a)

−1

=

5 b) ( − 9 x2 )2 =

g) (4a−3 )3 =

c) ( −5 )0 =

h) − ( − 4 m)2 =

3 −3

−

d)

i) (−9z )

=

3

3

= −5

4

=

5 9x2

e) −

−2

=

j) 2w−5

(

4

(2

j)) w ) = 8. Simplifica y elimina cualquier exponente negativa.

(

)

a) a 8 * a −5 * a−7 = 12

f) ( 5x)2 = 35y 8 x5

−13

=

b) 3 *3

g) −21y −1 x9 =

s 9 *t−2 c)

s7

=

MATEMÁTICA HOY

h)

(

2 3

)(

−5x y 3xy

−4

)

165 3

d)

4

−5

i) (s3 )−3 =

=

4 −7

e) ( x4 ) = −3

j)

10

4

=

10 9) Escribe un formula para la cantidad dada usando exponentes. a) El área A de un circulo es π veces el cuadrado del radio r.

4

b) El volumen V de una esfera es 3 π veces el cubo del radio r. c) El área A de un cuadrado es el cuadrado de la longitud L de un lado. d) El área A de un rectangulo es su lado “L” por la altura “h”. e) El volumen V de un cilindro circular recto es π veces al cuadrado del radio r veces por la altura h.

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

166

Tema 2 La Radicación y Propiedades Objetivos operacionales: 1. Definir en forma teórica expresión radical. 2. Identificar por medio de ejercicios los signos de las raíces. 3. Hallar la raíz de una potencia. 4. Calcular la raíz de un producto de varios factores. 5. Aplicar las propiedades reales de la potenciación. 6. Hallar las raíces de un monomio. 7. Simplificar radicales. 8. Realizar operaciones con radicales.

2.1 Radicales Muchos problemas de la ciencia, los negocios o la ingeniería son posibles su solución gracias a las raíces. En la vida práctica nos encontramos con situaciones donde por medio a la extracción de una raíz llegamos a solucionarlo. Por ejemplo, si conocemos el área de un terreno cuadrado, podemos calcular el valor de sus lados. En general, las raíces de los números reales se definen por el enunciado n x = r si y solo si r n = x . Aquí “x” y “r” son números reales positivos y “n” es un entero positivo.

También es posible que “x” y “r” sean reales negativos y “n” un entero positivo impar. La expresión n x se llama radical. n = índice radical; √ = signo radical; x = radicando. Algunos ejemplos: 3

1 1

216 = 6 ; − 25 = −5 ; 5 − 32 = −2 ; 4 16 = 2

MATEMÁTICA HOY

167

2.2 Leyes o Propiedades de los Radicales Sean m y n enteros positivos a e y números reales. Entonces 1)

(

2)

n

x

n

)

n

= x

xn = x, si n es impar. |x| si n es par.

3) n xm ym = n xm

n

ym

3) n x y = n x •n y

4)

n

5)

x

n

y

mn

x

=n

y

x = m*n x

6) n a m b p = a

m / n b p / n

Esto es cierto siempre y cuando las raíces representen números reales. Veamos algunas explicaciones y ejemplos:

2.3 Signos de las Raíces Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo que la cantidad subradical. Ejemplos: a) 3 8 a 3 = 2a

b) 3 −8 a 3 = −2a

c) 5 m10 = m2

Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo.

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

168 Ejemplos: a) 36k 2 = ±6k

b) 49m 8 = ±7m4

ya que ( 6 k ) × ( 6 k ) = 36k 2

ya que (7m 4 )× ( 7m 4 ) = 49m8

(− 7 m 4 )× ( − 7 m 4 ) = 49m8

( −6 k ) × ( − 6 k ) = 36k 2 2.4 Raíz de una Potencia

Para extraer la raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz. Previamente se le extrae la raíz a la parte real. Ejemplos: a) 64 m 2 b 8 = ±8mb4 16k 10 49 =

b)

c)

±4k5 7

( 32 ) = ( 32) 3

d)

5

5

12

12/3

x =x

5/5

= 32 4

= x

2.5 Raíz de un Producto de varios factores Se extrae la raíz de cada uno de los factores, o sea, se aplica la propiedad distributiva de las raíces. a) 16x4 × 49 y 8 = 16x 4 ×

b)

49 y 8 = ( 4x 2 )(7 y 4 ) = ±28x 2 y4

34 × 56 = 34/ 2 × 56/ 2 = 32 × 53 = 9 × 125 = 1,125

c) 64 × 81× 100 = 64x 81x 100 = 8× 9× 10 = 720

2.6 Cocientes de Radicales Se aplica a la ley correspondiente a la división de radicales, donde se observa que es distributiva. MATEMÁTICA HOY

169

49

a) 49 ÷ 7 =

=

7

b) 25 x

10

2

÷ 16x =

49

=

7

c)

9b 4

7

25 x10 16x

25 a 6

2

=

5x5

4x

=

5x4 4

d) 3

1 64

=

25 a 6 9b4

=

5a 3 3b 2

1

m15 = m5 4

2.7 Raíz de un Monomio Se extrae la raíz al cociente y se divide el exponente de cada letra por el índice de la raíz. Ejemplos: Hallar las raíces de: a) 3 −27x 9 y12 =

6

4 10

b) 2 81m n y =

−3x3 y4

±9m 3 n 2 y5

c) 256 a 4 b 8 = 28 a 4 b 8 = ± 2 4 a 2 b4 = 15 5 4 d) 3 − 8k = −2 k = −k = 64k 3 4k 2

±16a 2 b4

−1k4

4

2

2.8 Simplificar Radicales - ¿Qué es simplificar un radical? Es reducido a su más simple expresión. - ¿Cuándo podemos decir que un radical está simplificado? Cuando el exponente de la cantidad subradical o radicando es menor que el índice de la raíz. Como: 3 2, 3 5x2 , etc.

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

170 Observa como simplificamos los siguientes radicales.

Se descompuso 12 en los factores 22 × 3, luego se extrajo la raíz cuadrada a 4

a) 12 m 4 = 3 × 2 2 = 2 m2 3

4

y a m quedando 3 debajo del radical.

b) 50 = 5 2 × 2 m 2 = 5 m 2

c) 2 / 3 18 = 2 / 3 2 × 32 = 2 / 3 × 3 2 = 2 2

Actividad Simplifica los radicales que siguen a continuación:

27 =

d)

90a7 =

b) 250 =

e)

625 =

c) 16x8 y5 =

f) 75a 4 b6 =

a)

2.9 Operaciones con Radicales 2.9.1 Suma y resta de radicales Regla: si los radicales son semejantes, es decir de iguales índice se reducen los coeficientes numéricos o literales y al resultado se le acompaña del radical en igual índice.

Ejemplos: a) 5 3 + 8 3 + 4 3 = ( 5 + 8 + 4) 3 = 17 3 b)

3 4

5

2+

1 5

MATEMÁTICA HOY

5

2=

3 4

+

1 5

5

2=

15 + 4 20

=

19 5 2 20

171 c) 5 3 − 2 3 = ( 5 − 2) 3 = 3 3 d) 3a 2 − 7a 2 + 9b 5x − 11b 5x = ( 3a − 7a ) 2 + ( 9b − 11b ) 5x = −4 a 2 − 2b 5x

2.9.2 Multiplicación de radicales 1. Radicales de iguales índices: se multiplican las cantidades que están dentro del radical. Ejemplos: a)

3 × 6 = 3× 6 = 18

b) 5 3 x2 × 6 7 x 3 = 5 × 6

( 3 x 2 )( 7 x 3 ) = 30

21x5

• Radicales de Índices Diferentes: Los pasos a seguir son los siguientes: a) Buscamos el M.C.D de los índices de las expresiones radicales dada. b) Se divide el M.C.D entre el índice de cada radical, el cociente obtenido se le pone como exponente a cada radicando. c) Luego se multiplica siguiendo la regla para radicales de iguales índice. Ejemplos: a) 5 × 3 2* M.C.M de 2 y 3 = 6 *6÷2=3 *6÷3=2

5 = 6 53

Luego tenemos: 3

6 3

5 ×62

2

= 6 125 × 6 4 = 6 500

2 = 6 22

b) 3 x2 × 5 y4

* M.C.M de 3 y 5 = 15 * 15 ÷ 3 = 5 * 15 ÷ 5 = 3

3

x2 = 15 ( x

2

)5

Luego tenemos:

15 10

x × 15 y

5

y4 = 15 ( y

4

12

=

15 x

10 12

y

)3 Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

172

2.10 División de Radicales •

De iguales índices: se dividen las cantidades que están debajo del radical y si hay coeficientes estos se dividen entre si. Ejemplos: 81 81 = = 9=3 9 9

a)

12 3 x 2 12

b)

=

x2 3

3

=2

x

−2

6 x4 De índices diferentes: se procede igual que en la multiplicación buscando un M.C.D de

6 3 x4

•

los índices, luego se procede a dividir como se hizo anteriormente. Ejemplos: 3 a) 5 = 6 53 = 6 5 = 2 22 32 6 2

6

125 4

2 15 10 2 b) 3 x = x = 15 x =15 x−2

x4

5

15

x12

x4

2.11 Potencia de los Radicales Regla: se eleva la cantidad subradical a la potencia dada, luego se simplifica el radical si es posible. Ejemplos: a)

(3)

2

= 32

( ) =4

b) 4 2

2

c)

( x)

d)

( a)= 4

4

2

= 9=3 22 = 16 ( 2) = 32

= x4 = x2 × x2 = x2 3

MATEMÁTICA HOY

a12 = a12/2 = a6

173

2.12 Raíz de Radical Regla: se multiplican los índices, se procede en algunos casos al reducir el radical interior hasta llegar al último radical irreducible. Ejemplos: a) 3 64 = 6 64 = 6 26 = 26/ 6 = 21 = 2

b)2

4

23 22 = 24 4 25 = 24 × 4 24 × 2 = 24 × 2 4 2 = 25 × 4 2

= 8 26 = 26/8 = 23/ 4 = 4 23 = 4 8

c)

4

a a 4 = 4 a × a 4/2 = 4 a × a 2 = 4 a 3 = a 3/4 = 4 a3

2.13 Racionalización Es un procedimiento que se utiliza para eliminar fracciones con radicales en el denominador o en el numerador de una expresión matemática. a) Cuando el denominador es un radical monomio Ejemplo 1: Simplificar el denominador radical en la expresión =

4×

x7

( )( ) = x 7x7

4 x7

=

4

4 7

x

x7 x7

x14

Ejemplo 2: Racionalizar

2

5 Procedimiento:

2 × 5 =2 5 =2 5 5

5

52

5

b) Cuando el denominador no es radical monomio 3 4 + 5

- Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. - Recuerde: el conjugado es el mismo denominador con el signo del medio cambiado. Así el conjugado de

4 + 5 es

4− 5

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

174 Observa: 3

3

(

4+ 5 = 4 +

(4− 5) 3 4−3 5 5 )( 4 − 5 ) = ( 4 ) − ( 5 ) 2

3 4−3 5

2

=

4−5

Diferencia de cuadrado

=3 ( 2 ) − 3 5 = 6 − 3 5 = 3 5 − 6 −1−1

( x − 2) 7 x − 14 = = x + 2 ( x + 2 )( x − 2) ( x ) − 2 7

7

c)

2

7 x −14 x−4

=

2

Actividad 1. Hallar la raíz de: a) 36m 8 y

e)

3

10

81a6

b)

−8a 9 b15

100b8

f) 4 256 y24

25m8

c)

−100x 20 y 16

d)

16m4

g) 5 32a10 b20

h) 3 125v30

2. Realizar las siguientes operaciones:

f) 6a4 2a

a) 5 ab + 12 ab − 7 ab

g)

b) m 3 2a − 2 3 2a + 3 2a 6

6

2

c) 7 3a − 12 3a + 4 3a

7 d) 6 7 x2 ÷ 4 7 x2 e)

( 4 2x )(6

MATEMÁTICA HOY

4

x

)

3

2x

)

h) 3 81x6 ÷ 3 16x12 i)

5

( x )( 1

(

3

6÷ 3

j) 7

3

a

5x

4

)(9

5

a6

)

175 3. Racionalizar el denominador de estas expresiones. a) a 3 b)

5− 2 4+ x

3 a c) 2 − 3

1 3−4

g)

x x+ y

7 h) 5 a

3 x

d)

f)

i)

−9 −3 5

4. Aplicar la propiedad distributiva en cada caso y resuelve. a) 64 a10 × 6x8

d) 100 p4 ×81q12

100 y8

1

25x10

b) 3

9

c) 25 w × 16 m

1/ 2

b) (5x)3/ 4 c)

18

225x4 y 6 z10

18

×81x

f)

5. Expresa con signo radical a) m

16

64 v × 49 w

e) 23

8

d) 50m

400x12 y 18 z14

d) 50

m

3/10

3/10

e) x3/5 y 6/5 zm1/5

6m1/ 2 n3/ 2

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

176 6. Simplifica o reduce a su mínima expresión estos radicales:

a)

e) 3 27k 21

18

b) 5 12x8 y18

3 f) 8 16k 2 p8

1 c) 2 72w24

g) 4x3 y 2 × 49x 4 y2

20

d)10 45x y

MATEMÁTICA HOY

28

3 3 4 6 12 h) 4 ab × 64a b

177

Evaluación del tema 2, Unidad III 1. Encierra en un círculo la respuesta que responda correctamente. a) Es toda raíz indicada de un número o de una expresión algebraica. (Signo radical, expresión radical, potenciación). b) Si la raíz de una expresión radical es exacta, la expresión es: (Algebraica, racional, irracional). c) Las raíces pares de una cantidad positiva, tienen: (Signos contrarios, dobles signos, raíces exactas). d) Cuando se reduce un radical a su más simple expresión se realiza una operación llamada: (Simplificación, suma, resta). e) Procedimiento utilizado para eliminar el radical del denominador en fracciones radicales: (Simplificar, amplificar, racionalizar). 2. Calcular: a) 49m 8 n4 b) 3

1m17 8

f) 4 16v12 w16 g)

5

343a15 b 20 c25

c) 5 −343 p25

h) 3 −64 p18 q24

d) 3 729r 18 z21

i)

e) 144x8 y20

j) 900c 20 d 10 e4

576x30 y50

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

178 3. Une con una raya las expresiones que tengan igual valor o sea equivalentes.

1x4 4

a)

9x4 y6 25

b) 9a8

m4

c) 5 m20

3a4

36 d) y

1x6 16

4

e) 3 27m9

3m3

3 f) 5 x2 y3

6 y2

4. Aplicar las propiedades correspondientes:

a)

( 3x)4

b)

( 2m ) 4 ( 2m )8

64a8

f)

2

2

49b12

1 g) 3 x15 8

( 3m )4

c) 9× 16× 49

h)

d) 64 a 8 ÷ 8a6

i) 5 p4 q8

e)

(

3x2

)

4

5. Suma o resta estas expresiones radicales: a)

( 3 2 + 4)+ ( 2 2 − 3)

MATEMÁTICA HOY

(

5

)

27 j) 3 64 w18

2

179

b)

( 6 3 − 5 5 )− ( 3 3 + 8 5 ) 1

3

c) 2 a 2 − 4 b 3 +

(

3

) ( 8b

d) 8 a 3 − 5b 4 − e)

1 4a 2+ 5 3 4

− 6 a3

)

( 9 2 − 5 3 + 8 2 )+ ( 5 3 − 7 2 + 6 2 − 9)

6. Multiplica o divide:

(

a) 5 + 5a 4 )(3 6b2 ) 1 3 p9 6 1q8 b) 3 5

1 3 a c) 2 d)

2

5 ÷ a

6

25

5

( 3xy

3

)÷ ( 27xy

3

)

e) − 3 a 2 b1 × 4 ab3 7. Simplifica estas raíces, sigue las reglas vistas: a)

8

b) 3 c)

a5 3

4x2

d) 33 34 32 Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

180 8. Racionalizar el denominador de cada expresión:

2

a)

x

b) 5 − 3 2 3

5

c)

1+ 2 3

d)

3−2 2 5+3 2

9

e)

a3

9. Simplificar estos radicales. a) 8m 8 n12

1

b) 3 620 2m2 c) 5

15

45 p

d) 3x2 y 3 x 8 p24 e) 81m 4 n 2 p 6 q8 10. Hallar el valor numérico de cada radical.

a)

3

−64 =

b) 4 0.0001 = MATEMÁTICA HOY

f) g)

10a2 =

bc4 49 =

181

c)

5

1024 =

f)

3

−216 =

d)

4

1 1 ×4 = 9 9

i)

−144 =

e)

3

−64 27 =

j)

121 =

11. En cada ejercicio, prueba la igualdad: a) 5 2 − 3 50 + 7 98 = 39 2 b) 2

( 2 + 18 ) = 8

c) 5 8 − 3 18 = 2 d) 2 54 − 6 2 − 96 = −24 e) 5

2

50a 2 = 2a 2

12. Escriba una formula para la cantidad que se indica. Utiliza la notación radical. a) La longitud “L” de la arista de un cubo es la raíz cúbica del volumen r. b) La velocidad “V” de un satélite en una orbita circular alrededor de la tierra es igual a la raíz cuadrada del producto del radio “r” de la orbita y la aceleración de caída libre “g” en la orbita. 13. Responde falso o verdadero. a) b)

2 x + y = 2 x + 2 y para x, y ≥ 0

(a)

2

= a , para cualquier numero real a

Leonidas Rafael Uribe E. (M.A.)

182

c) Si n es par,

n

x es definida para cualquier numero real x

d) Si n es impar, 4n t es definida para cualquier numero real t

5a e)

2

=5 a

b 2b , para cualquiera de los números reales a y b, b ≠ 0

14. Hallar las raíces de cada una de estas potencias y escríbela. a)

28 ________________

f) 3 218 × 524 _________________

b)

36 × 42 ______________

g)

88 ÷ 28 __________________

c)

26 _______________

h)

x5 ___________________

d) 38 _______________ e)

32 × 58 _____________

MATEMÁTICA HOY

i) 3 a6

___________________

j) 3 256 x12 ÷ 81x4 __________