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Fundación Universitaria Panamericana - Compensar

Matemática Financiera

Andrés Roa Varón Banca Patrimonial – Davivienda

Economista Diplomado en Gestión Financiera Especialista Mercado de Capitales Especialista en Finanzas Candidato: Maestría Gerencia de Innovación Empresarial [email protected] Skype: Andres.Roa.v Twitter: @andresroav

Esta presentación es una herramienta de apoyo académico, de propiedad intelectual de su autor, Andrés Roa Varón. Fue preparada como material de los programas de Pregrado de la Facultad de finanzas de la universidad Panamericana. Las cifras presentadas fueron tomadas del diferentes fuentes, con fines exclusivamente académicos. Este material se entregará a los estudiantes para estudio personal exclusivamente, no está permitida su reproducción o uso diferente al aquí definido.

Andrés Roa Varón

Elementos 1. Calculadora, preferible financiera 2. Excel y la calculadora financiera son herramientas de apoyo, más no las herramientas centrales con las cuales se trabajará en el curso ya que éste estará fundamentado en aritmética básica.

Reglas de Juego • • • • • • • • •

Moddle E-Mail Contrato didáctico Guía de Matemáticas Financieras Sistema de calificación por Ciclos Ppt Modelo basado en Competencias Modelo Basado en Competencias XLS Material de apoyo Taller Generalidades (Matemáticas Básicas no Evaluable)

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Andrés Roa Varón

OBJETIVO GENERAL Matemática Financiera

Al terminar la unidad debe diferenciar entre monto, interés, tasa de interés, tiempo y capital, así como hacer los caculos respectivos para obtener cada concepto.

 Andrés Roa Varón

CONCEPTOS BÁSICOS Matemática Financiera

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Valor de Dinero en el tiempo Interés Tasa de Interés Equivalencia Símbolos y Significado Flujo de caja

 Andrés Roa Varón

Símbolos y Significado 1. 2. 3. 4. 5.

Valor Futuro = VF Valor Presente = VP Intereses = I Tasa de Interés = i Periodos de capitalización = n

Líneas de tiempo de valor Son un instrumento que permite llevar un problema a un formato grafico (Flujo grama, Diagrama de flujo) Permite identificar donde esta la pregunta Ingresos

Egresos

Interés Simple N 1. 2. 3. 4. 6. 12. 24 52 360 365 366

Año Semestres Cuatrimestre Trimestre Bimestre Meses Bi mensualidades Semanas Dias comerciales Dias calendario Dias reales

Proceso de toma de decisiones 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Definir el problema Analizar el problema Generación de alternativas de soluciones Evaluación de alternativas Implementar la solución Evaluar los resultados de la decisión

 Andrés Roa Varón

1. Concepto 2. Monto, Capital, Tasa de Interés y Tiempo 3. Tipos de Interés

Andrés Roa Varón

Interés Simple (I) • Cuando el valor de dinero en el tiempo (VDT) se utiliza sin capitalización de intereses es igual a Interés Simple. • Las utilidades de cada periodo no se reinvierten. • El ahorro no se consume. • Liquidación únicamente sobre el capital inicial. • Capital inicial o principal no varia. • El valor del interés es el producto de un capital multiplicado por un interés determinado en una fracción de tiempo determinado símbolo (I). • Es estático, Lineal, y no es exponencial.

Interés Simple VF = VP(1+i(n)) I = Intereses VF = Valor Futuro VP = Capital inicial i = Tasa de interés n = Período de tiempo

La expresión anterior permite calcular el capital inicial o valor presente (P), tasa de interes por pagar o por ganar, número de periodos, según la información con la que se cuente. Importante “En esta formula i es la tasa de una unidad de tiempo y n es él número de unidades de tiempo. Debe entenderse que si i es una tasa anual, n deberá ser él número de años, si i es mensual, n deberá expresarse en meses……………..”

Interés Simple Capital principal = Tiempo = Tasa de interés =

$100,000,000 6 meses 2% mensual

Mes

Capital Inicial ($)

Intereses generados ($)

Capital final ($)

1

100,000,000

2,000,000

100,000,000

2,000,000

2

100,000,000

2,000,000

100,000,000

4,000,000

3

100,000,000

2,000,000

100,000,000

6,000,000

4

100,000,000

2,000,000

100,000,000

8,000,000

5

100,000,000

2,000,000

100,000,000

10,000,000

6

100,000,000

2,000,000

100,000,000

12,000,000

100,000,000

12,000,000

Final en cuentas Total por cancelar

Intereses acumulados ($)

112,000,000

Interés Simple con Valor Futuro 1. Cuánto dinero acumulara Juliana Lopez dentro de 4 años si invierte hoy $7.000.000 a una tasa de interés simple del 2% mensual.

Flujo grama VF = $13.720.000 n = 4 años

i = 2% mensual VP = 7.000.000 • VF = VP (1 + i x n) • VF = 7.000.000 (1 + 2% (48)) • VF = $13.720.000 • Nota: Significa que se obtiene $6.720.000 adicionales a los 7.000.000 invertidos por Juliana en el periodo o mes cero.

Interés Simple Valor Presente 2. Lina Marulanda recibio $7.560.000 por una inversión que realizó hace doce trimestres en el Banco de Occidente; si la tasa acordada entre las partes es de 3% mensual simple, determinar el valor invertido.

I = 3% mensual VP =

VF = 7.560.000

N = 12 trimestres

• VP = VF/ (1 + i x n) • VP = 7.560.000/(1 + 3% (36)) = $3.634.615 • Nota : Este es el valor que invirtió Lina hace 12 trimestres es decir 36 meses.

Interés Simple Tasa de interés 3. Eva Rey recibío un crédito de $7.000.000 que debe pagar en 24 meses. Si al final del plazo cancela $9.520.000, calcular la tasa de interes simple.

VF = 9.520.000 n = 36 meses

i = 1,5% mensual i = ((VF/VP)-1/n)) VP = $7.000.000 i = ((9.520.000/7.000.000)- 1/36)) = 1.5% mensual simple

Interés Simple Tiempo/Periodo 4. Armando Mendoza recibío un préstamo de $7.000.000 de Beatriz Pinzón, si cancelo $10.500.000 y la tasa de interés fue del 2% mensual simple, calcular cual fue el plazo del préstamo.

VF = 10.500.000 i = 2% n = 25 meses n = ((VF/VP)-1/i) VP = $7.000.000 n = ((10.500.000/7.000.000)- 1/2%) = 25 meses

Ejercicios 5. Cuánto dinero tendrá acumulado Alejandro Sanz dentro de 5 años si ingresa hoy 30,000 euros al BBVA a una tasa de interés del 0,5% mensual simple. • Flujo grama VF = ? n = 5 años

i = 0,6% mensual VP = 30,000 • VF = VP (1 + i x n) • VF = 30,000 (1 + 0,5% (60)) • VF = $39,000

Ejercicios 6. Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente forma: $3.000.000 dentro de 6 meses, $4.000.000 dentro de un año y $5.000.000 en año y medio. Si la tasa de interés es del 10% semestral simple, determinar cuánto dinero le presto el Banco Santander a Sofía. Flujo grama VF = 7.560.000 3,000,000

4,000,000

5,000,000 Semestral

VP = ? • • • • •

i = 10%

VF = VP (1 + i x n) VP1 = 3,000,000/(1+0,10(1)) = 2,727,272 VP2 = 4,000,000/(1+0,10(2)) = 3,333,333 VP3 = 5,000,000/(1+0,10(3)) = 3,846,153 VP = 9,906,759

Ejercicios 7. Natalia París desea realizar por el continente europeo dentro de un año y se propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy ahorra $1.000.000; dentro de tres meses ahorrará $1.000.000; dentro de un semestre, ahorrará $1.500.000 y dentro de 10 meses, ahorrará $1.700.000 Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga al banco es de 1% mensual simple. Flujo grama VF = 7.560.000 0

1,000,000

3

1,000,000

6

1,500,000

VF = VP (1 + i x n) VF1 = 1,000,000(1+0,01(12)) = 1,120,000 VF2 = 1,000,000(1+0,01(9)) = 1,090,000 VF3 = 1,500,000(1+0,01(6)) = 1,590,000 VF4 = 1,700,000(1+0,01(2)) = 1,734,000 VF = 5,534,000

10

1,700,000

i = 1%

12

Meses

Ejercicios 8. Bianca Gambino cancelo hoy, en un pago único. $8.600.000 por un crédito que le fue otorgado del BBVA hace dos años a una tasa de interés del 3% mensual simple. Determinar cuál fue el valor del préstamo. Flujo grama

VF = 8,600,000 i = 3% mensual n = 24 meses

VP = 0 VF = VP (1 + i x n) VP = 8,600,000/(1+0,03(24)) VP = 5,000,000

Ejercicios 9. Se prestan $1.000. al 14 % anual, por 12 años ¿Cuánto dinero se debe al cabo de tres años si se utiliza interés simple VF =

Flujo grama i= n=

VP = VF = VP (1 + i x n) VP = 1,000(1+0,14(3)) = 1,420

Ejercicios 10. Marcela posee un capital de $60.000. Invierte 70% de su capital al 3.6% trimestral y el resto al 5.1% semestral. Cuanto recibe cada mes de interés total.

Flujo grama

VF = i= n= VP =

VF = VP (1 + i x n) 3.6%/3=1.2% Mensual 5.1%/6=0.85 Mensual VF = 42,000(1+0.012)(1)= 42,504 VF = 18,000(1+0.0085)(1)= 18,153 Interés total = 657

Ejercicios 11. Ramón tiene una deuda por $20.000 que debe pagar dentro de 12 quincenas. Si la operación fue pactada a una tasa de interés simple igual a la TIIE vigente al inicio del préstamo más 16 puntos porcentuales. Cuanto deberá pagar para saldar su deuda, sabiendo que la TIIE es igual 11.2%. VF = i= Flujo grama n= VP = VF = VP (1 + i x n) Interés =11.2% + 16% Puntos = 27.2% Anual VF = 20.000(1+0.272/24)(12)) = 22.720

Ejercicios 12. Francisco pidió prestado $100.000 a 6 meses de plazo y una tasa de interés simple de 24% anual. Calcular el valor presente de la deuda, 2 meses antes de su vencimiento. Flujo grama

VF = i= n= VP =

VF = VP (1 + i x n)

VF = 100,000 (1+(0,24%/12)(6)) = 112.000 VP=112000/1+(24%/12)(2)) = 107.692

Ejercicios 13. Cuál es el precio de contado de un teléfono celular que se paga dando un enganche del 10% del precio de contado y se firma un pagare a 2 meses por $1754.47 que incluye intereses a una tasa 39.15% anual VF =

Flujo grama

i= n= VP =

VF = VP (1 + i x n) VP = 1,754/(1+(39.15%/12)(2)) = 1,647 Precio de contado -10% = 1,647 0.90PC = 1,647 0.90PC = 1,647 1,647/0.90=1,830

Interés Compuesto

Andrés Roa Varón

Interés Compuesto (I) • En el interés compuesto, el interés (I) ganado en cada periodo (n) es agregado al capital inicial (P) para constituirse en un nuevo capital (S) sobre el cual se calcula un nuevo interés produciéndose lo que se conoce como capitalización la cual puede ser anual, trimestral, mensual, diaria; y se sigue aplicando hasta que vence la transacción de acuerdo a lo pactado. • Los problemas de interés compuesto deben expresarse i y n en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo. • Capital inicial cambia • Los intereses se capitalizan • Los intereses se convierten en capital • La tasa de interés se aplica sobre un capital diferente • Los intereses periódicos son siempre mayores

Interés Compuesto VF = VP(1+i)n I = Intereses VF = Valor Futuro VP = Capital inicial i = Tasa de interés n = período de tiempo La expresión anterior permite calcular el capital inicial o valor presente (P), tasa de interés por pagar o por ganar, número de periodos, según la información con la que se cuente. Importante “En esta fórmula i es la tasa de una unidad de tiempo y n es él número de unidades de tiempo. Debe entenderse que si i es una tasa anual, n deberá ser él número de años, si i es mensual, n deberá expresarse en meses……………..”

Interés Compuesto Capital principal = Tiempo = Tasa de interés =

$100,000,000 6 meses 2% mensual

Mes

Capital Inicial ($)

Intereses generados ($)

Capital final ($)

1

100,000,000

2,000,000

102,000,000

2

102,000,000

2,040,000

104,040,000

3

104,040,000

2,080,800

106,120,800

4

106,120,800

2,122,416

108,243,216

5

108,243,216

2,164,864

110,408,080

6

110,408,080

2,208,162

112,616,242

Total por cancelar

112,616,242

Intereses acumulados ($)

Interés Compuesto con Valor Futuro (VF)

14. Cuánto dinero acumulara Juan Pérez dentro de 5 años si invierto hoy $4.000.000 a una tasa de interés compuesto del 3% mensual. Flujo grama VF = i = 3% Mensual n = 5 años VP = 4,000,000 VF = VP (1 + i )n VF = 4.000,000 ( 1+0,03)60 = $ 23,566,412

Interés Compuesto con Valor Presente (VP) 15. Usted recibió hoy $6.691,13 euros del Banco Santander por un ingreso o inversión que realizó hace 5 años a una tasa de interés de 6% anual compuesto. Cuál fue el valor del dinero invertido. Flujo grama i = 6% Mensual n = 5 años VP = 0 VF = VP (1 + i )n VP = 6,691,13/ ( 1+0,06)5 = $ 5,000

VF = 6,691,13

Interés Compuesto con Tasa de Interés (i) 16. Antonio Beltrán recibió un crédito de $3,000,000 que debe pagar en 18 meses, si al final del plazo debe cancelar $3,850,000. Cual es la tasa de interés. Flujo grama i=? n = 18 meses VP = 3,000,000 i = [(VF/VP)^1/n – 1)] i = ((3,850,000/3,000,00)-1/ 18) = 1,4% mensual 3,850,000 = 3,000,000 (1+ i)18 3,8500,000/3,000,000 = (1+ i)18 1,283333 = (1+ i)18 18 1. 2833333 - 1 = 1.4% mensual

VF = 3,850,000

Interés Compuesto Tiempo (n) 17. Antonio Beltrán recibió un crédito del Banco Davivienda de $7,000,000, si cancelo $10,500,000 y la tasa de interés que se pacto fue de 2% mensual compuesto. Calcular cual fue el plazo del préstamo. VF = Flujo grama 10,500,000 i = 2% n=? VP = 7,000,000 n = [ln(VF/VP)]/Ln(1+i)

i = [(10,500,000/7,000,000)]/Ln (1+0,02) = 20,47 meses 10,500,000 = 7,000,000 (1+0,02)n 10,500,000/7,000,000 = (1+0,02)n Ln 1,5 = nLn(1,02) n = 20,47

Ejercicios

18. Armando Rico recibió hoy $3.450.000 del Banco Bogotá por una inversión que realizó hace tres semestres; si la tasa de interés es del 2% mensual compuesto, cuánto dinero invirtió Armando Flujo grama VF = 3,450,000 i = 2% Mensual n = 3 Semestres VP = 0 VF = VP (1 + i )n VP = 3,450,000/ ( 1+0,02)18 = 2,415,549

Ejercicios 19. Sofía Vergara recibió un préstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente forma: $3.000.000 dentro de 6 meses, $4.000.000 dentro de un año y $5.000.000 en año y medio. Si la tasa de interés es del 10% semestral Compuesto, determinar cuánto dinero le presto el Banco Santander a Sofía. Flujo grama

VF = 7.560.000 3,000,000

4,000,000

5,000,000 Semestral

VP = ? VF = VP (1 + i )n

i = 10%

VP1 = 3,000,000/(1+0,10)1 = 2,727,272 VP2 = 4,000,000/(1+0,10)2 = 3,305785 VP3 = 5,000,000/(1+0,10)3 = 3,756,574 VP = 9,789,631

Ejercicios 20. Natalia París desea realizar por el continente europeo dentro de un año y se propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueño: hoy ahorra $1.000.000; dentro de tres meses ahorrará $1.000.000; dentro de un semestre, ahorrará $1.500.000 y dentro de 10 meses, ahorrará $1.700.000 Cuánto dinero tendrá exactamente dentro de un año, si la tasa de interés que le paga al banco es de 1% mensual Compuesto. Flujo grama VF = 7.560.000 0

1,000,000

3

6

1,000,000 1,500,000

VF = VP (1 + i x n) VF1 = 1,000,000(1+0,01)12 = 1,126,825 VF2 = 1,000,000(1+0,01)9 = 1,093,685 VF3 = 1,500,000(1+0,01)6 = 1,592,280 VF4 = 1,700,000(1+0,01)2 = 1,734,170 VF = 5,546,960

10

1,700,000

i = 1%

12

Meses

Ejercicios 20. Catalina Gómez cancelo hoy, en un pago único. $12.750.000 por un crédito que le fue otorgado del Banco Santander hace tres años a una tasa de interés del 3% bimestral. Determinar cuál fue el valor del préstamo. Flujo grama

VF = 12,750,000 i = 3% Bimestral n = 3 Años VP = 0

VF = VP (1 + i )n VP = 12,750,000/( 1+0,03)18 = 7,489,285

Ejercicios

21. Calcular el valor acumulado después de 38 días, si se depositan $25.000.000 en una cuenta de ahorros que reconoce el 3% mensual. Flujo grama VF = ? i = 3% mensual n = 38 dias VP = 25,000,000 VF = VP (1 + i )n VF = 25,000,000( 1+0,03)38/30 = 25,953,772

Ejercicios 22. El sr Carlos Beltrán necesita disponer de $300.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece 3.5% mensual. Cuanto deberá depositar hoy para lograr su objetivo. Flujo grama VF = ? i = 3% mensual n = 38 dias VP = 25,000,000 VF = VP (1 + i )n VP = 300,000/( 1+0,035)6 = 244,050

Ejercicios 23. Si en el día de hoy se invierten $100 y después de una año y medio se tiene acumulado $200. Cuál es la tasa de interés.

VF = 200 i=?

VP = 100

n = año y medio

i = [(VF/VP)^1/n – 1)] i = ((200/100)-1/ 18) = 3,93% mensual 200 = 100 (1+ i)18 200/100 = (1+ i)18 2 = (1+ i)18 18 2 - 1 = 3,93% mensual

Ejercicios 24. Determine el monto compuesto después de 4 años, si se invierte $100.000 a una tasa del 18% con capitalización trimestral Flujo grama VF = ? i = 18% Capitalización Trimestral n = 4 años VP = 100,000

VF = VP (1 + i )n Interés = 18/4 = 4,5% Capitalizable cada trimestre El tiempo de inversión es de 4 años es decir 48/3=16 trimestres porque un ano costa de 4 trimestres. Periodos de capitalización son de 16 VF = 100,000(1+0,045)16 = 202,237

Ejercicios 25. Que cantidad de dinero se habrá acumulado al cabo de 10 años si se invierten $28.000 al 1% mensual con interés capitalizables cada bimestre. Flujo grama VF = ? i = 1% Mensual n = 10 años VP = 28,000

VF = VP (1 + i )n La tasa es 1% mensual pero se paga bimestral es decir 2% bimestral Tiempo de inversión 10 años, es decir 60 bimestres porque cada año costa de 6 bimestres

VF = 28,000(1+0,02)60 = 91,868

Ejercicios 26. Qué interés producirá un capital de 50.000 invertido al 15% anual compuesto cada 28 días, en 2 años. VF = ?

Flujo grama

i = 15% Anual n = 2 años VP = 50,000

VF = VP (1 + i )n Compuesto significa capitalizable cada 28 días 365/28=13.035 periodos de 28 días 15%/13.035 =1.15068% por periodo de 28 días En dos años= (2) x (13.035)=26.07 VF = 28,000(1+0,0115068)26,0717 = 67,377 donde 67,377-50,000 = 17,377 de intereses

Gracias