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Las matemáticas son fáciles

Unidad I

Teoría de conjuntos e intervalos

Prof.: Christiam Huertas www.mathesm.blogspot.com 27/02/2012

Prof.: Christiam Huertas

1

UNIDAD

Teoría de conjuntos, desigualdades e intervalos

I

Capítulo 1 Teoría de conjuntos En la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. En matemática a tal colección se le llama conjunto, en tanto que a los objetos que lo componen se les llama elementos. En consecuencia, el concepto de conjunto es simplemente una generalización de una idea que ya es algo común en la cotidianidad. Conjuntos 1.1 Intuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupación, reunión o colección de objetos reales o ideales, a los cuales se les denomina elementos del conjunto. Ejemplo 1 Ejemplos de conjuntos 1. Los cinco primeros números impares. 2. Las 5 vocales. 3. Los días de la semana. 4. Los alumnos del aula 605. A los conjuntos generalmente se les representa con letras mayúsculas y a sus elementos separados por comas ( , ) y encerrados por llaves: { }. Notación

Notación de un conjunto { Nombre del conjunto

Prof.: Christiam Huertas

} Elementos del conjunto 2

Ejemplo 2 Ejemplos de conjuntos y su representación 1. El conjunto de los cinco primeros números impares. { } 2.

El conjunto de las vocales. {

3. 4.

}

El conjunto de los días de la semana. {

}

El conjunto de los alumnos del aula 605. {

}

1.1.1 Relación de pertenencia Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece ( ) a este conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece ( ) a dicho conjunto. Notación

Notación de la relación de pertenencia Elemento Conjunto {

Ejemplo 3 Dado el conjunto   

{

}

}, afirmamos que:

pertenece el conjunto pertenece el conjunto no pertenece el conjunto

Notación: Notación: Notación:

Ejemplo 4 Dado el conjunto { { } proposiciones son verdaderas?      

{ }}.

¿Cuántas

de

las

siguientes

{ } { }

{{ }}

Prof.: Christiam Huertas

3

Solución Como los elementos del conjunto son: { }  (V) { }  (V) { }  (V)  (F)  (V)  {{ }} (F)

{ }. Podemos concluir que:

Determinación de un conjunto 1.2 Determinar un conjunto es especificar o señalar en forma precisa, cuales son los elementos que lo conforman sin que existan ambigüedades.

Por extensión o en forma tabular

Por comprensión o en forma constructiva

Es cuando se señala a cada uno de sus Es cuando se menciona una o más elementos del conjunto. características comunes y exclusivas de los elementos del conjunto. Ejemplo 5

Determinación de un conjunto por extensión y comprensión respectivamente

Los cinco primeros números naturales. { }

{

Las estaciones del año. {

{

}

Los cinco primeros números pares. { }

Número cardinal 1.3 El número cardinal de un conjunto diferentes que posee el conjunto. Notación

{

} } }

nos indica la cantidad de elementos

Notación de número cardinal o

Se lee: cardinal del conjunto . Prof.: Christiam Huertas

4

Ejemplo 6 Ejemplos de conjuntos y su respectivo cardinal. { }, su cardinal es 1. En el conjunto { }, su cardinal es 2. En el conjunto { }, su cardinal es 3. . } { }}, su cardinal es 4. { { } { .

1.4

. .

Representación gráfica de conjuntos

1.4.1 Diagramas de Venn – Euler Los diagramas de Venn-Euler representan a los conjuntos mediante regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas (triángulos, rectángulos, circunferencias, elipses, etc.). Ejemplo 7 El conjunto figura.

Representación de un conjunto por un diagrama de Venn-Euler { } se puede representar mediante la siguiente 𝐴

𝑎

𝑚

Ejemplo 8 Representación de un conjunto por un diagrama de Venn-Euler { } se puede representar mediante la El conjunto siguiente figura. 𝐵 𝑢 𝑎 𝑖 𝑒

𝑜

1.4.2 Diagramas de Carroll Es un diagrama que consiste en rectángulos divididos por segmentos. Se usan para graficar conjuntos disjuntos. Prof.: Christiam Huertas

5

Ejemplo 9 Representación de un conjunto por el diagrama de Carroll En una reunión asistieron hombres y mujeres, además se observó que un grupo de dichos asistentes son casados. Representar a través de un diagrama los conjuntos mencionados. Solución Definimos los conjuntos: Diagrama de Carrol para los subconjuntos definidos: : conjunto de los hombres : conjunto de las mujeres : conjunto de los solteros : conjunto de los casados

𝑆

𝐶

𝐻 𝑀

Note que los 4 conjuntos son disjuntos.

Relaciones entre conjuntos

1.5

1.5.1 Inclusión Se dice que un conjunto esta incluido en el conjunto elementos de son también elementos del conjunto .

, si y solo si los

Notación Si esta incluido en , se denota por: Se lee:    

Diagrama 𝐵

esta incluido en . esta contenido en . es un subconjunto de . contiene al conjunto .

𝐴

∙𝑥

Ejemplo 10 Diagrama

Dados los conjuntos { } { } Notamos que todos los elementos de están incluidos en . Por lo tanto, Prof.: Christiam Huertas

𝐵 𝐴

∙

∙

∙ ∙

∙

∙

6

Ejemplo 11 Dados los conjuntos { } {

Diagrama

𝑀 𝑁

}

Se sabe que toda gallina es un ave. Por lo tanto, .

1.5.2 Igualdad de conjuntos Dos conjuntos y son iguales cuando tienen los mismos elementos sin importar el orden. Notación

Ejemplo 12 Conjuntos iguales Dados los conjuntos { } y { Vemos que tanto como es igual al conjunto .

tienen los mismos elementos. Entonces el conjunto

Ejemplo 13 Conjuntos iguales Dados los conjuntos { } y { Vemos que tanto como es igual al conjunto .

}

}

tienen los mismos elementos. Entonces el conjunto

Ejemplo 14 Conjuntos iguales Dados los conjuntos { Verifique que .

} y

{

}

Solución Prof.: Christiam Huertas

7

Un elemento

de

debe cumplir que Diagrama 𝐴 𝐵 ∙ ∙

⏟

Luego,

{

}

1.5.3 Conjuntos comparables Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro. Ejemplo 15 Conjuntos comparables Dados los conjuntos { } y { } Vemos que y son comparables, ya que al menos esta incluido en .

Diagrama 𝐵

𝐴 ∙

∙ ∙

∙ ∙

1.4.4 Conjuntos disjuntos Conjuntos disjuntos son conjuntos que no tienen NINGÚN elemento común entre ellos. Ejemplo 16 Conjuntos disjuntos Dados los conjuntos { } y { } y

son disjuntos, porque no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo 17 Dados los conjuntos { } y y

{

}

no son disjuntos, porque tienen el elemento común .

Prof.: Christiam Huertas

8

Ejemplo 18 Dados los conjuntos { { Obviamente

1.6

y

𝑃

}

𝑄

}

son disjuntos.

Clases de conjuntos

1.6.1 Conjunto finito Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos, por lo tanto, el proceso de contar sus elementos termina en algún momento. Ejemplo 19 Ejemplos de conjuntos finitos { }  {  { 

} } {

}

1.6.2 Conjunto infinito Un conjunto es infinito, si posee una cantidad ilimitada de elementos, es decir, el proceso de contar sus elementos nunca termina. Ejemplo 20 Ejemplos de conjuntos infinitos { }  {  { } 

1.7

}

Conjuntos especiales

1.7.1 Conjunto vacío o nulo Es aquel conjunto que no posee elementos. Notación { } o Prof.: Christiam Huertas

9

Ejemplo 21 Ejemplos de conjuntos vacíos {  { }  { } 

}

1.7.2 Conjunto unitario o singletón Es aquel conjunto que solo posee un elemento. Ejemplo 22 Ejemplos de conjuntos unitarios { } { }  { }  { 

{ } }

{ }

1.7.3 Conjunto universal Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto. Notación Se denota generalmente con la letra Ejemplo 23 Ejemplo de conjunto universal Dados los conjuntos { } { } Los siguientes conjuntos pueden ser considerados universos que contiene a los conjuntos anteriores. { {

Prof.: Christiam Huertas

𝕌 𝐴

𝐵

} }

10

Conjuntos numéricos 1.8 La evolución de la humanidad trae por consecuencia la construcción de nuevos conocimientos como también la evolución de estos, entre ellos la evolución de los conjuntos numéricos. El hombre comienza de los conjuntos numéricos más básicos, y a medida que se presentan nuevos desafíos como también debido a necesidades se van creando nuevos conjuntos. Los conjuntos numéricos son conjuntos infinitos que tienen características específicas. Los más importantes son: 1.8.1 Conjunto de los números naturales Surgieron de la necesidad del ser humano de contar objetos. Se denota mediante el símbolo y está formado por los números naturales. {

}

1.8.2 Conjunto de los números enteros Se denota mediante el símbolo y está formado por los números enteros. {

}

Este conjunto se subdivide a la vez: Conjunto de números enteros positivos Se denota por y está formado por los números enteros positivos. {

}

Conjunto de números enteros negativos Se denota por y está formado por los números enteros negativos. {

}

Observación El número 0 es entero, pero no es positivo ni negativo. 1.8.3 Conjunto de los números racionales Está constituido por todas las fracciones de enteros, con denominador distinto de 0. Se le representa mediante el símbolo y se define como Prof.: Christiam Huertas

11

{

Todo número racional

}

se puede representar como un número decimal finito o

infinito periódico. Ello se logra simplemente efectuando la división entre

y .

1.8.4 Conjunto de los números irracionales Está constituido por todos los números decimales infinitos y no periódicos. Se le representa mediante el símbolo y se define como {

}

Ejemplo 22 Ejemplos de números irracionales    

√ √

… es un número irracional. … es un número irracional. … es un número irracional trascendente. … es un número irracional trascendente.

1.8.5 Conjunto de los números reales Se le representa mediante el símbolo y está formado tanto por los números racionales como por los irracionales. 1.8.6

Diagrama de Venn-Euler de los conjuntos numéricos

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12

Operaciones entre conjuntos 1.9 A continuación presentamos las operaciones más comunes entre conjuntos, con su diagrama de Venn correspondientes. 1.9.1 Unión de conjuntos La unión de dos conjuntos y es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de con todos los elementos de . Notación

Definición {

Ejemplo 24 Dados los conjuntos { } { } La unión de {

y

𝐴

}

𝐵

∙

∙

𝕌

∙

∙

es: }

1.9.2 Intersección de conjuntos La intersección de dos conjuntos y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. Notación

Definición {

Ejemplo 25 Dados los conjuntos { } { } La intersección de { }

𝐴

y

es:

𝐵

∙ ∙

}

∙

𝕌

∙

1.9.3 Diferencia de conjuntos La diferencia de dos conjuntos y (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos de pero que no pertenecen a . Prof.: Christiam Huertas

13

Notación

Ejemplo 26 Dados los conjuntos { } { } La diferencia de { }

y

Definición {

𝐴

}

𝕌

𝐵

∙

∙

∙

∙

es:

1.9.4 Complemento de un conjunto El complemento de un conjunto es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal pero no al conjunto .

C

Notación o ̅ o o

Definición {

}

Ejemplo 27 Dado el conjunto { } Considerando como universo a { } el complemento de es: { }

1.9.5

𝕌 ∙𝑖

𝐴 ∙𝑎

∙𝑜

𝐴𝑐 ∙𝑒

∙𝑢

Aplicaciones

Ejemplo 28 En una fiesta donde había 70 personas, 10 eran hombres que no les gusta la cumbia, 20 eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número de hombres que gusta de la cumbia es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música, ¿a cuántos les gusta la cumbia? Solución Definimos los conjuntos: Prof.: Christiam Huertas

14

: conjunto de los hombres : conjunto de las mujeres : conjunto de personas que les gusta la cumbia : conjunto de personas que no les gusta la cumbia. Consideremos el diagrama de Carroll: 𝐶 𝐻

𝑁𝐶

𝒙

𝑀

𝟑𝒙

Por dato el total de asistentes es de 70 personas; es decir:

Pero la cantidad de personas que les gusta la cumbia es:

.

Ejemplo 29 Cierto número de medallas de Oro, Plata y Bronce es distribuido entre 100 atletas en una competición deportiva. Se sabe que 45 atletas reciben medallas de Oro, 45 reciben medallas de Plata, 60 reciben de Bronce, 15 reciben medallas de Oro como de Plata, 25 atletas reciben medallas de Plata y Bronce, 20 reciben medallas de Oro y de Bronce, 5 reciben de Oro, Plata y Bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron medallas? Solución Llenamos los datos considerando: : atletas que ganaron oro. : atletas que ganaron plata. : atletas que ganaron bronce. Se debe cumplir: 𝒙 De donde . Es decir, no recibieron medallas 5 atletas. Prof.: Christiam Huertas

15

Capítulo 2 Desigualdades El conjunto de números reales esta ordenado. Esto significa que podemos comparar cualesquiera dos números reales que no sean iguales mediante desigualdades y decir que uno “es menor que” o “mayor que” el otro. La Ballena Franca, visita cada año las costas de la Península de Valdés, se aparea y pasea sus ballenatos. Esto constituye un gran atractivo turístico. El peso de la Ballena Franca oscila entre 30 y 35 toneladas. Un macho adulto mide unos 12 metros, en tanto que una hembra mide unos 13,5 metros. Desde la playa El Doradillo considerada área natural de reproducción, se puede disfrutar plenamente de un avistaje costero. La temporada de Ballenas se extiende de Junio a Diciembre. La máxima concentración de ballenas se produce entre Octubre y Noviembre, época en que pueden contabilizarse entre 350 y 400 individuos. Esto convierte a las aguas vecinas de la Península Valdés en el área de cría más importante del Hemisferio Sur. Aunque no lo creas, mucha de la información aquí indicada puede expresarse matemáticamente, como veremos a continuación. Desigualdad 2.1 Una desigualdad es la relación de orden entre dos números reales, en la que uno de ellos es menor o mayor que el otro. Notación La relación se denota con el símbolo o Así tenemos que  se lee:  se lee:

es menor que . es mayor que .

La recta numérica 2.2 En matemáticas es frecuente utilizar representaciones geométricas que presentan alguna relación significativa con un determinado tema. Dado que la recta está formada por infinitos puntos y existen infinitos números reales, se puede asociar cada punto de la recta con un número real (relación biunívoca). Se obtiene así la recta numérica. Prof.: Christiam Huertas

16

Donde los símbolos números reales.

(infinito negativo) y

(infinito positivo), no son

La correspondencia entre números reales y los puntos de una recta nos permite apreciar gráficamente una propiedad fundamental de los números reales: existe un ordenamiento entre ellos. De este modo se puede representar la desigualdad en la recta numérica como:

Es decir, el número

se ubica a la izquierda del número .

Notaciones Relación de orden

Lectura es mayor que es menor que es mayor o igual que es menor o igual que

Ejemplo 1 Ejemplos de comparación de dos números Escriba los símbolos , , según corresponda: a) b) c) d) e)

____ ____ ____ ____ ____

Prof.: Christiam Huertas

f) g) h) i) j)

____ ____ ____ √ ____ √ √ ____ √

17

Capítulo 3 Intervalos La ordenación existente en el conjunto de los números reales permite definir un tipo de conjunto en que van a ser muy útiles: los intervalos. Intervalo 3.1 Es un subconjunto de los números reales definidos mediante la relación de orden dada en el conjunto de los números reales. Un intervalo de extremos y reales que estén entre y .

(

) es el conjunto de todos los números

Representación gráfica de un intervalo 𝐼 Donde

y

son los extremos del intervalo, que pueden o no pertenecer a él.

3.1.1 Clases de intervalos Existen diferentes clases de intervalos como los finitos (o acotados), los que pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados e infinitos (o no acotados). Clases de intervalos

Intervalo cerrado [

]

{

Representación }

Intervalo abierto 〈

〉

{

Representación }

Intervalos semiabiertos

Representación

[

⟩

{

}

⟨

]

{

}

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18

Intervalos infinitos

Representación

⟨

]

{

}

〈

〉

{

}

[

⟩

{

}

〈

〉

{

}

Ejemplo 1 Escriba cada desigualdad usando la notación de intervalos. a) b) c) d) Solución a) describe todos los números entre 1 y 3, inclusive. En la ]. notación de intervalos, se escribe [ 〉. b) En notación de intervalos, se escribe 〈 c) consiste en todos los números mayores que 5. En la notación de 〉. intervalos, se escribe 〈 ]. d) En notación de intervalos, se escribe ⟨

Ejemplo 2 Escriba cada intervalo como una desigualdad que involucre . ] ⟩ 〉 a) [ b) 〈 c) [ d) ⟨ Solución ⟩ consiste en todos los números tales que a) [ . 〉 consiste en todos los números tales que b) 〈 . ] consiste en todos los números tales que c) [ . ] consiste en todos los números tales que d) ⟨ .

]

Ejemplo 3 En cada inciso, indique si el número de la izquierda pertenece al intervalo de la derecha: Prof.: Christiam Huertas

19

a) b) c) d) e) f) g)

____ 〈 ____ 〈 ____ 〈 ____ 〈 ____ 〈 ____ 〈 √ ____ 〈

〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉

3.1.2 Operaciones con intervalos Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar todas las operaciones con conjuntos estudiadas anteriormente. Sean e dos intervalos, entonces: Notación y definición Unión de y Intersección de y Diferencia de y Complemento de

Ejemplo 4 Dados los intervalos Determine ,

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⟨ ,

C

], ,

{ { { {

⟨ , Solución

} } } }

]y

[ ,

⟩. ,

,

,

.

20

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21

Capítulo 4 Relación de orden 4.1 1.

Propiedades de las desigualdades

Propiedad de no negatividad. Para cualquier número real , el valor de es 0 o positivo; es decir, es no negativo.

A

Ejemplo 1 a) Como b) Como c) Como d) Si e) Si 2.

Ejemplos de la propiedad de no negatividad , entonces . , entonces . , entonces . , entonces . , entonces .

Propiedad de la suma para desigualdades. Si se suma el mismo número en ambos lados de una desigualdad, se obtiene una desigualdad equivalente. Si Si

, entonces , entonces

A

Ejemplo 2 Ejemplos de la suma de desigualdades a) Si , entonces ; es decir, . b) Si , entonces ; es decir, . c) Si , entonces ; es decir, . 3.

Propiedad de la multiplicación para desigualdades. Si Si Si Si

y si y si y si y si

, entonces , entonces , entonces , entonces

A

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22

Ejemplo 3 Ejemplos de la multiplicación para desigualdades a) Si , entonces ; es decir, . b) Si , entonces ; es decir, . c) Si , entonces ; es decir, d) Si , entonces . 4.

. ; es decir,

Propiedad del recíproco para desigualdades. Establece que el recíproco de un número real positivo es positivo y que el recíproco de un número real negativo es negativo.

A

Ejemplo 4

Ejemplos de la propiedad del recíproco para desigualdades

a)

Si

, entonces

.

b)

Si

c)

Si

5.

Propiedad del inverso para desigualdades. Establece que podemos invertir una desigualdad siempre y cuando los extremos de la desigualdad tengan el mismo signo.

, entonces , entonces

. .

Sean y dos números del mismo signo; es decir, ambos positivos o ambos negativos.

A

Ejemplo 5

Ejemplos de la propiedad del inverso para desigualdades

a)

Si

b)

Si

, entonces

; es decir,

c)

Si

, entonces

.

Prof.: Christiam Huertas

, entonces

.

23

4.1.1

Aplicaciones de las propiedades

Ejemplo 6 Halle el mínimo valor de la expresión Solución La expresión lo podemos expresar como Como

, entonces

Sumamos 3

si se sabe que

.

. Por la propiedad 1 se cumple que: ⏟

Por lo tanto, el menor valor de es 3. Ejemplo 7 Determine el máximo valor de la expresión Solución La expresión lo podemos expresar como Como

, entonces

.

. Por la propiedad 1 se cumple que:

Multiplicamos por -1 Sumamos 1

⏟

Por lo tanto, el máximo valor de

es 1.

Ejemplo 8 ]; halle los valores enteros que toma la expresión ⟨ Si Como

⟨

Sumamos 2 Prof.: Christiam Huertas

.

Solución ], esto quiere decir que: ⏟

24

Los valores enteros que toma la expresión

son: 0; 1; 2 y 3.

Ejemplo 9 Si

, halle la variación de la expresión . Solución Aplicamos las propiedades de desigualdades para formar la expresión . Por dato se tiene Multiplicamos por 3 Sumamos 1

Luego,

⏟

⟨

]; es decir,

varía en el intervalo ⟨

].

Ejemplo 10 Si

, halle la variación de la expresión . Solución Aplicamos las propiedades de desigualdades para formar la expresión . Por dato se tiene Multiplicamos por -5 Sumamos 4

Luego,

⏟

⟨

]; es decir,

varía en el intervalo ⟨

].

Ejemplo 11 Halle la variación de

si se sabe que

.

Solución Como

, esto es equivalente a

Sumamos 6

Prof.: Christiam Huertas

25

Multiplicamos por 1/3 Luego,

〈

〉.

Ejemplo 12 Halle la variación de la expresión

si se sabe que

⟨

].

Solución Aplicamos las propiedades de desigualdades para formar la expresión . Por dato se tiene Multiplicamos por 2 Restamos 5 Invertimos

Por lo tanto,

Prof.: Christiam Huertas

⏟ [

⟩.

26

Apéndice Simbología y terminología Símbolo

Se lee El elemento

pertenece al conjunto

El elemento no pertenece al conjunto Conjunto vacío El conjunto es igual al conjunto El conjunto

está incluido en el conjunto

El conjunto

no está incluido en el conjunto

unión

,

,

Prof.: Christiam Huertas

(Reunión de dos conjuntos)

intersección (Intersección de dos conjuntos) Tal que Conjunto universal Diferencia simétrica de los conjuntos y Producto cartesiano de los conjuntos y Para todo (Cuantificador universal) Existe (Cuantificador existencial) Existe, No existe Cardinal del conjunto ó número de elementos del conjunto . Implica que, Entonces si, Es suficiente para, etc. Si y solo si (Doble implicación) y (Conectivo lógico de conjunción) o (Conectivo lógico de disyunción inclusiva) Complemento del conjunto con respecto al conjunto universal Es menor que Es mayor que Es menor o igual que Es mayor o igual que

27