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MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

ING. JUAN RAMON CHAPARRO MERAZ

MAYO DEL 2012

Contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 4 1 FUNCIONES MATEMÁTICAS Y ECUACIONES LINEALES ......................................... 10 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Definición ................................................................................................................ 11 Dominio y rango restringidos .................................................................................... 13 Funciones multivariadas básicas ............................................................................... 17 Representaciones gráficas de funciones matemáticas............................................... 18 Formula pendiente intersección ............................................................................... 22 1.5.1 1.5.2

1.6

Determinación de la ecuación de una línea recta ...................................................... 26 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4

1.7

Interpretación de la pendiente ........................................................................................ 22 Intersección con el eje (y). .............................................................................................. 24 Pendiente e intersección .................................................................................................. 26 Pendiente y un punto ....................................................................................................... 27 Dos puntos ....................................................................................................................... 27 Aplicaciones a modelos de oferta y demanda ................................................................. 28

Problemario 1 .......................................................................................................... 37

2 FUNCIONES LINEALES, APLICACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ........... 48 2.1

Funciones lineales .................................................................................................... 49 2.1.1 2.1.2 2.1.3

2.2

Modelos de equilibrio .............................................................................................. 55 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4

2.3

Modelo de punto de equilibrio aplicado a la producción ................................................ 55 Modelo gráfico de punto de equilibrio. ........................................................................... 56 Modelo utilizando la contribución al costo fijo y a la utilidad.......................................... 58 Modelos de equilibrio para tomar decisiones de comprar o producir............................ 59

Sistemas de ecuaciones lineales. .............................................................................. 62 2.3.1 2.3.2 2.3.3

2.4

Funciones lineales de ingresos ......................................................................................... 49 Funciones lineales de costo .............................................................................................. 49 Funciones lineales de utilidades....................................................................................... 53

Sistemas de ecuaciones de 2x2 y 3x3. Método de eliminación suma y resta. .............. 66 Método de eliminación Gaussiana de sistemas 2x2, 3x3 solución única. ........................ 69 Aplicaciones a modelos económico- administrativos ...................................................... 76

Problemario 2 .......................................................................................................... 78

3 ALGEBRA MATRICIAL Y DETERMINANTES ....................................................... 85 3.1

Vectores .................................................................................................................. 85 3.1.1

3.2

3.2.1

3.3

Definicion ......................................................................................................................... 87

Tipos especiales de matrices ..................................................................................... 88 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4

3.4

Definición ......................................................................................................................... 85

Introducción a las matrices ....................................................................................... 87

Vector renglón y columna ................................................................................................ 88 Matriz Cuadrada ............................................................................................................... 88 Matriz Identidad ............................................................................................................... 88 Matriz Traspuesta ............................................................................................................ 89

Operaciones con matrices ........................................................................................ 92 3.4.1 3.4.2 3.4.3

Suma y resta de matrices ................................................................................................. 92 Multiplicación de matrices ............................................................................................... 93 Representación matricial de ecuaciones .......................................................................... 94

3.5 Introducción a los determinantes. Solución de un determinante de 2x2, 3x3 por método de columnas aumentadas y cofactores .................................................................. 96

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3.6 3.7

Propiedades de los determinantes .......................................................................... 100 Solución de la inversa de una matriz de 2x2, 3x3 ..................................................... 103 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4

3.8

Método de eliminacion gaussiana ................................................................................. 103 Método de cofactores o de la adjunta ........................................................................... 104 Solución de ecuaciones de 2x2 y 3x3. Utilizando el método de la inversa y cramer .... 106 Aplicaciones de matrices ................................................................................................ 109

Problemario 3 ........................................................................................................ 116

4 DIFERENCIACIÓN Y APLICACIONES.............................................................. 120 4.1

Límites y continuidad ............................................................................................. 120 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4

4.2

Derivadas algebraicas con fórmulas ........................................................................ 129 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.2.7 4.2.8 4.2.9

4.3

Problemario 4.3 .............................................................................................................. 144

Derivadas parciales básicas .................................................................................... 145 Aplicaciones de la primera y segunda derivada (a máximos y mínimos). .................. 148 4.5.1

4.6 4.7

Reglas de diferenciación ................................................................................................ 130 Función constante .......................................................................................................... 131 Regla de potencia ........................................................................................................... 132 Constante por una función ............................................................................................ 133 Suma o diferencia de funciones. .................................................................................... 135 Regla de producto .......................................................................................................... 136 Derivada de un cociente................................................................................................. 138 Potencia de una función ................................................................................................. 140 Problemario 4.2 .............................................................................................................. 141

Derivada de n-ésimo orden .................................................................................... 143 4.3.1

4.4 4.5

Límite de las funciones ................................................................................................... 120 Propiedades de los límites. ............................................................................................ 121 Continuidad, tasa de cambio .......................................................................................... 123 Problemario 4.1 .............................................................................................................. 126

Problemario 4.5 .............................................................................................................. 155

Aplicaciones a ingresos costos y utilidades .............................................................. 158 Análisis marginal .................................................................................................... 163

5 INTEGRACIÓN Y APLICACIONES.................................................................. 165 5.1 5.2

Concepto de antiderivada ...................................................................................... 165 Reglas de integración directas ................................................................................ 166 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.2.6 5.2.7

5.3 5.4

Integral indefinida .......................................................................................................... 169 Funciones constantes ..................................................................................................... 170 Regla de la potencia ....................................................................................................... 171 Suma y diferencia de dos funciones ............................................................................... 172 Regla del cociente .......................................................................................................... 174 Problemario 5.1 .............................................................................................................. 177 Problemario 5.2 .............................................................................................................. 179

Integral definida..................................................................................................... 180 Aplicaciones del cálculo integral a problemas de área administrativa ...................... 190 5.4.1 5.4.2

Aplicaciones en administración ...................................................................................... 190 Problemario 5.3 .............................................................................................................. 193

6 REFERENCIAS ....................................................................................... 197

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INTRODUCCIÓN

Introducción «Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada encuentra una excusa». (Proverbio chino) «La matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares del mundo entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la enseñanza no debe ser una tortura, y no seríamos buenos profesores si no procuráramos, por todos los medios, transformar este sufrimiento en goce, lo cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces». (Puig Adam, 1958). Matemáticas es la única asignatura que se estudia en todos los países del mundo y en todos los niveles educativos. Supone un pilar básico de la enseñanza en todos ellos. La causa fundamental de esa universal presencia hay que buscarla en que las matemáticas constituyen un idioma «poderoso, conciso y sin ambigüedades» (según la formulación del Informe Cockroft, 1985). Ese idioma se pretende que sea aprendido por nuestros alumnos, hasta conseguir que lo "hablen". En general por medio de la contemplación de cómo los hacen otros (sus profesores), y por su aplicación a situaciones muy sencillas y ajenas a sus vivencias (los ejercicios). La utilización de un idioma requiere de unos conocimientos mínimos para poder desarrollarse, por supuesto. Pero sobre todo se necesitan situaciones que inviten a comunicarse por medio de ese idioma, a esforzarse en lograrlo, y, desde luego, de unas técnicas para hacerlo. En el caso del idioma matemático, una de las técnicas fundamentales de comunicación son los métodos de Resolución de Problemas. La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la educación matemática. Mediante la resolución de problemas, los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea.   



El párrafo 243 del Informe Cockroft señala en su punto quinto que la enseñanza de las Matemáticas debe considerar la «resolución de problemas, incluyendo la aplicación de las mismas situaciones de la vida diaria». El N.C.T.M. de Estados Unidos, declaraba hace más de diez años que «el objetivo fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser otro que el de la resolución de problemas». En el libro de Hofsdadter, Gödel, Escher y Bach, se dice que «las capacidades básicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la resolución de problemas, siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones que requieran una respuesta única (conocida previamente por el profesor que encamina hacia ella), sino como un proceso en el que el alumno estima, hace conjeturas y sugiere explicaciones». Santaló (1985), gran matemático español y además muy interesado en su didáctica, señala que «enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas. Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas».

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INTRODUCCIÓN 

En una conferencia pronunciada en 1968 George Polya decía: «Está bien justificado que todos los textos de matemáticas, contengan problemas. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte más esencial de la educación matemática».

M. de Guzmán (1984) comenta que «lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado, con razón, el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha traído y atrae a los matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas». En España, el currículo del Área de Matemáticas en Primaria y Secundaria concede extraordinaria importancia al tema dedicándole mucha atención, especialmente desde los contenidos de procedimientos y actitudes. Aunque no es sencillo, y quizás parezca superfluo, para entendernos es interesante delimitar, siquiera sea en grandes rasgos, qué es lo que entendemos por problema. Pero, como la palabra "problema" se usa en contextos diferentes y con matices diversos, haremos un esfuerzo por clarificar a qué nos referimos. No aportan mucha claridad las definiciones de los diccionarios generales. Nos acerca más al sentido de qué es un problema la expresión de "problema de letra" que los alumnos emplean con frecuencia: son aquellos que hacen referencia a contextos ajenos a las matemáticas propiamente dichas, los que llevan dentro una cierta "historia", que se pueden contar. Los que abren las ventanas del aula y hacen un puente (aunque sea frágil) entre las matemáticas y la vida. Pero no es el único aspecto a destacar. También hay que caracterizar los "problemas" por oposición a los ejercicios (algo bien conocido por los alumnos porque constituye el núcleo fundamental de su quehacer matemático). En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no; se trata de aplicar un algoritmo, que pueden conocer o ignorar. Pero, una vez localizado, se aplica y basta. Justamente, la proliferación de ejercicios en clase de matemáticas ha desarrollado y arraigado en los alumnos un síndrome generalizado; en cuanto se les plantea una tarea a realizar, tras una somera reflexión, contestan: "lo sé" o "no lo sé", según hayan localizado o no el algoritmo apropiado.

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INTRODUCCIÓN

En los problemas no es evidente el camino a seguir; incluso puede haber varios; y desde luego no está codificado y enseñado previamente. Hay que apelar a conocimientos dispersos, y no siempre de matemáticas; hay que relacionar saberes procedentes de campos diferentes, hay que poner a punto relaciones nuevas. Por tanto, un "problema" sería una cuestión a la que no es posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino que para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos, matemáticos o no, y buscar relaciones nuevas entre ellos. Pero además tiene que ser una cuestión que nos interese, que nos provoque las ganas de resolverla, una tarea a la que estemos dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzos. Como consecuencia de todo ello, una vez resuelta nos proporciona una sensación considerable de placer. E incluso, sin haber acabado el proceso, sin haber logrado la solución, también en el proceso de búsqueda, en los avances que vamos realizando, encontraremos una componente placentera. Aunque los rasgos fundamentales de lo que entendemos por problema están descritos en el párrafo anterior, todavía creemos conveniente añadir algunos comentarios adicionales sobre los mismos: Los algoritmos que se suelen explicar en clase, o que aparecen en los libros de texto, resuelven grupos enteros de problemas. Lo que pasa es que si no situamos previamente los problemas a los que responden, estamos dando la respuesta antes de que exista la pregunta. Y en ese contexto no es difícil de adivinar el poco interés con que se recibe la misma. Las situaciones existen en la realidad. Los problemas los alumbramos nosotros. Pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto personal y decidimos en consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a procurar resolverlos. La resolución de un problema añade algo a lo que ya conocíamos; nos proporciona relaciones nuevas entre lo que ya sabíamos o nos aporta otros puntos de vista de situaciones ya conocidas. Suponen el aporte de la chispa de la creatividad, aquella que aparece de cuando en cuando, y que logra, por utilizar la expresión de Koestler (1983), que dos y dos son cinco. Resaltemos una vez más la fuerte componente de compromiso personal en los problemas, y la importancia que tiene la manera en que se nos presenten para que lo asumamos como tales. Todo ello es de particular interés en la enseñanza, porque de cómo se plantea la cuestión, el contexto en que se sitúe y de la "tecnología" expositiva utilizada depende, en un porcentaje muy importante, el que un problema pase a ser considerado como tal por nuestros alumnos.

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INTRODUCCIÓN Comenzar resolviendo un problema semejante más fácil. Esta estrategia se practica en multitud de circunstancias. El niño que aprende a andar en bicicleta no intenta lanzarse cuesta abajo por su cuenta a gran velocidad. Empieza con un triciclo para atender primero el problema de los pedales y del volante. Luego vendrá el problema del equilibrio y se ensayará con dos ruedas. Si se aprende a conducir un coche, lo mejor es circular primero despacio, sin necesidad de cambiar marchas, y en descampado, para poder jugar con el volante. Ya vendrán luego los problemas conduciendo en la calle. En matemáticas sucede lo mismo. Si estudiamos derivadas, primero, las haremos sencillas, la de un monomio como x2, ... , luego pasamos a un polinomio y cuando sentimos cierta familiaridad con el proceso, nos lanzamos más lejos. Un problema puede resultar difícil por su tamaño, por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. Para empezar, debemos resolver un problema semejante lo más sencillo posible. Luego lo complicaremos hasta llegar al propuesto inicialmente. Procediendo así, obtenemos varios provechos: a) De orden psicológico. Empezamos animándonos con el probable éxito. b) De orden racional. En el problema sencillo suelen aparecer, más transparentes, principios de solución que estaban confusos y opacos en medio de la complejidad del problema. c) Manipulación más fácil. La manipulación efectiva en un problema de pocas piezas es más fácil que en uno de muchas. La simplificación de un problema se puede lograr no sólo reduciendo su tamaño, sino también imponiendo alguna condición adicional que no está en el problema propuesto. Incluso, aunque parezca al principio que tu simplificación es demasiado drástica, se comprueba con frecuencia cómo la ayuda del problema simplificado es muy efectiva. Una mosca antojadiza. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición: O O O O O

O O O O O

O O O O O O O O O O

O O O O O

Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?

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INTRODUCCIÓN Solución. Son muchas 25 monedas. Vamos a probar con menos, por ejemplo, con 2x2=4 monedas. Así: O O O O Es obvio que se pose donde se pose, la mosca tiene el camino bien fácil. Probemos con 3x3=9 monedas. Así: O O O O O O O O O Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Si se posa en el centro, también. Pero si se posa en cualquier otra moneda, como fácilmente se observa, lo tiene imposible. Así, en el caso de 3x3=9 monedas, a veces se puede hacer el paseo, y otras no. Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido. ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas? Señalemos los centros de las monedas con coordenadas: (-1, 1) (-1, 0) (-1, -1)

(0, 1) (0, 0) (0, -1)

(1, 1) (1, 0) (1, -1)

Es curioso: los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0,1), (1,0), (0,1), (-1,0) En ellos, la suma de las coordenadas es impar. En los restantes, la suma de las coordenadas es par. Llamaremos pares a estos vértices y, a los otros, impares. Hay cuatro vértices impares y cinco pares. El paseo de la mosca, empezando por un vértice impar, sería: Impar

Par

Impar

Par

...

Si terminase en impar, habría más vértices impares que pares. Si terminase en par, habría igual número de las dos clases. Ambas cosas son falsas. ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar! Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente.

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UNIDAD 1 FUNCIONES MATEMÁTICAS Y ECUACIONES LINEALES

UNIDAD 1 - FUNCIONES MATEMÁTICAS Y ECUACIONES LINEALES

1 Funciones matemáticas y ecuaciones lineales Objetivo Particular Al término de esta unidad el alumno será capaz de:      

Definir con sus propias palabras el concepto de función Efectuar operaciones con funciones Calcular rango y dominio de funciones Representar gráficamente una función lineal Determinar la ecuación de una línea recta Aplicar una ecuación lineal a solución de problemas de administración Objetivo especifico

   

Graficara y determinara analíticamente rango y dominio de funciones dadas. Reconocerá diferentes tipos de funciones y realizara operaciones con las mismas. Resolverá problemas de depreciación en donde aplicara funciones lineales. Resolverá el problemario 1 con ejercicios del tema

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UNIDAD 1

1.1

1.1 DEFINICIÓN

Definición

Es un conjunto de pares ordenados de números (x,y) en el cual dos pares distintos no tienen el mismo primer numero Para entender mejor esta definicion de funcion se puede manejar algunos puntos de un plano cartesiano(figura1).

Por ejemplo para cada punto (x,y), dentro del plano hay un valor para x pero también existe un valor para y, aunque si ustedes analizan para cada valor de x hay un valor diferente de y al menos que sea el mismo punto, es decir si observan los puntos tenemos que: A (-5,-4) D ( 3, 5) G ( 5.5, -2)

B (-2, 0) E ( 0,-3) H ( -7, 6)

C ( 0, 4) F ( 2, 0)

Figura 1 Plano cartesiano

Con esto debemos entender que en las coordenadas del punto A, que si x tiene un valor de -5 el valor para y será de -4, o que del punto H que si x tiene el valor de -7 el valor para y será de 6 y así de manera similar en cualquier punto de un plano cartesiano. Pero resolvamos algunos ejemplos de la vida cotidiana: 1.- Cierta costurera adquirió un grupo de patrones o moldes para confeccionar ropa. Estos tenían las medidas expresadas en pulgadas y ella estaba acostumbrada a manejarlas en centímetros. Mediante algunos cálculos realizó las conversiones correspondientes y sustituyó los números dados por el valor equivalente ¿Cuales fueron los valores obtenidos? Para responder a la pregunta anterior, primero debes investigar la equivalencia en centímetros de una pulgada. Luego trata de completar la siguiente tabla: PULGADAS 1 2 3 4 CENTÍMETROS 2.54 5.0 7.6 10.1

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5 12.7

6 15.2

7 17.7

8 20.3

9 22.8

10 25.4

11 27.9

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UNIDAD 1

1.1 DEFINICIÓN

En la situación anterior hay dos tipos de cantidades, a las que llamaremos magnitudes, que se encuentran relacionadas: las pulgadas y su valor en centímetros. En este caso podemos afirmar que el número de centímetros depende del número de pulgadas o 2.-Si al trabajar con tu calculadora registras un número y luego oprimes la tecla x2 , el segundo numero estará en función del primero. Algunas parejas relacionadas son: bien que el número de centímetros está en función del número de pulgadas. x X2

1 1

3 4

5 25

7 49

9 81

12 144

38 1444

Cada uno de los ejemplos anteriores presenta características similares a todos ellos:  Hay dos magnitudes que se relacionan  Una de las magnitudes depende de la otra  Para cada valor de la primera magnitud ( la independiente) hay un valor de la segunda magnitud (la dependiente) que le corresponde.

3.- La empresa Thermo-Master fabrica un termómetro para interiores y exteriores en su sucursal de México . La gerencia estima que la ganancia en dólares que puede obtener por la fabricación y venta de x termómetros por semana es: P(x) = -0.001x2 + 8x – 5000

Determinar la ganancia semanal alcanzable de Thermo-Master si su nivel de producción es a) 1000 termómetros por semana y b) 2000 termómetros por semana. a) La ganancia semanal alcanzable por Thermo-Master si el nivel de producción es de 1000 unidades semanales se determina evaluando la función de ganancia P en x = 1000. Así, P (1000) = -0.001(1000)2 + 8(1000) – 5000 = 2000 o $ 2,000. b) Cuando el nivel de producción es de 2000 unidades por semana, la ganancia semanal es de P (2000) = -0.001(2000)2 + 8(2000) – 5000 = 7000 o $ 7,000 4.- La circunferencia de un circulo esta dada por C® = , donde r es el radio del circulo. ¿Cuál es la circunferencia de un circulo con un radio de 5 pulgadas?

C® =

( )

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UNIDAD 1

1.2 DOMINIO Y RANGO RESTRINGIDOS

1.2 Dominio y rango restringidos Recta Numérica:

Es la representación gráfica del conjunto de los números reales

Intervalo Abierto (a, b) Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b, sin incluir a y b

( a, b) = {x

/ a < x < b}

Intervalo cerrado Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x

/ a ≤ x ≤ b}

Intervalo semi abierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x

/ a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x

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/ a ≤ x < b}

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UNIDAD 1

1.2 DOMINIO Y RANGO RESTRINGIDOS

Lo primero que haremos será definir lo que es Dominio y Rango de una manera sencilla: Supongamos que vamos a graficar la siguiente función f(x) = x2 (Figura 2) y le daremos valores para x desde -4 hasta 4 además vamos a manejar puros valores enteros.

f(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16

Valores propuestos para x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(4,16)

(4,16)

(-3,9)

(3.9)

(2,4)

(-2,4)

(1,1) (0,0) Figura 2. Función f(x) = x2

Regresando a los valores de la tabla nos podemos dar cuenta que los valores que asignamos a la variable independiente x empiezan en -4 y terminan en 4 es decir todos los valores que están entre -4 y 4 son los valores para x. y para la variable dependiente y si ustedes observan la tabla el valor minino que obtenemos como resultado de asignar valores para x es 0 y el máximo es 16, entonces, los valores para y serian desde cero hasta 16. Después de analizar esto podemos entrar en la definición de dominio y de rango. DOMINIO: Es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente (x) MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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1.2 DOMINIO Y RANGO RESTRINGIDOS

CONTRADOMINIO o RANGO: Es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente (y) Debemos tomar en cuenta que para graficar la parábola solo estaban marcados algunos puntos y son enteros pero para que se pueda mirar la función completa se deben unir los puntos marcados, es decir los valores para el dominio no nada mas son el -4,-3,-2,-1,0 ,1,2,3 y el 4 sino todos los valores que están entre dichos números, de tal manera que debemos considerar todos los valores de “x” para encontrar diferentes valores de “y” y así determinar el dominio y contradominio de una función Por ejemplo si

y = x2

Para x = 0.5

y = (0.5)2 = 0.25

Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (0.5, 0.25). y con esto podemos concluir que el dominio y el contradominio para un intervalo restringido de esta función son: } Dominio: { ⁄ [-4,4] } Contradominio { ⁄ [0, 16] Ahora encontremos el dominio y contradominio de la f(x) = x3 (figura 3) con valores para x desde -2 hasta 2, hagamos la tabla respetando los valores para la variable dependiente x

(2,8)

F(x) -8 -1 0 1 8

x -2 -1 0 1 2

(-2,8) Figura 3. Dominio y contradominio de f(x)=x3

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UNIDAD 1

1.2 DOMINIO Y RANGO RESTRINGIDOS

Ahora observemos la gráfica y nos damos cuenta que el mínimo valor para x es de -2 y el máximo es de 2, pero por otro lado el mínimo valor para y es de -8 y el máximo es de 8, con esto podemos definir el dominio y el contradominio. Dominio: { ⁄ Contradominio { ⁄

}

[-2,2] }

[-8, 8]

Por ultimo encontremos dominio y contradominio de f(x) = 1/x ( Figura 4) con valores para x desde -8 hasta 8, desde aquí pudiéramos encontrar el dominio de la función, si no tomamos en cuenta el denominador, por lo pronto vamos a dar valores.

f(x) -0.125 -0.142 -0.166 -0.2 -0.25 -0.333 -0.5 -1 No Existe 1 0.5 0.333 0.25 0.2 0.166 0.142 0.125

Figura 4. Dominio y contradominio de f(x) = 1/x

x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Si analizamos la tabla, nos damos cuenta que el 0 no se puede asignar a x porque una cantidad entre 0 nos daría una indeterminación, por lo tanto el valor para y tampoco existe. Por otro lado si vemos la gráfica nos damos cuenta que aunque le demos más valores a x hacia la izquierda y hacia la derecha, la gráfica nunca va a tocar el eje de las x, pero tampoco va a tocar el eje de las y, por lo tanto podemos determinar el dominio y el contradominio tomando en cuenta estas observaciones. Dominio: { ⁄ Contradominio { ⁄

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} }

(

)

(

)

(

)

(

)

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1.3 FUNCIONES MULTIVARIADAS BÁSICAS

1.3 Funciones multivariadas básicas Funciones multivariadas En muchas funciones matemáticas, el valor de una variable dependiente depende de más de una variable independiente. Se da el nombre de funciones multivariadas a las que contienen más de una variable independiente. Una clase de funciones multivariadas es la de las funciones bivariadas. Éstas tienen dos variables independientes. La notación z = f(x,y) Indica que la variable dependiente z depende de los valores de las dos variables independientes x y y . He aquí un ejemplo de una función bivariada: z = f(x,y) = x3 + 3xy + y2 - 10 La notación para evaluar las funciones multivariadas es análoga a la de las funciones de una variable independiente. Por ejemplo si queremos evaluar f(x,y) cuando x=0 y y=0 , esto se denota mediante f(0,0). En la función precedente. F(0,0) = (0)3 + 3(0)(0) + (0)2 – 10 = 0 + 0 + 0 -10 = -10

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UNIDAD 1

1.4 REPRESENTACIONES GRAFICAS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS

1.4 Representaciones gráficas de funciones matemáticas Anteriormente ya se vio lo que es una función, lo que es una variable dependiente y una variable independiente, pero sería bueno observarlo desde otro punto de vista por ejemplo: si la f(x) = x2 y además sabemos que la gráfica (Figura 5) es.

Figura 5. f(x) = x2

Observando la gráfica podemos encontrar el valor de f(-2), es decir que valor tiene la variable dependiente cuando x es igual a -2, valoramos y nos damos cuenta que el valor corresponde a 4, entonces podemos darnos cuenta que: f(-2) = 4,

f(3) = 9,

f(0) = 0

Y así podemos encontrar todos los valores de y que queramos en función de la variable independiente x. Analicemos otra función por ejemplo: ( )

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√

(Figura 6)

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1.4 REPRESENTACIONES GRAFICAS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS

Figura 6. ( )

f(-3) = 0,

f(-2) = 1,

√

f(1) = 2, f(6) = 3

Cada uno de estos valores los podemos observar en la gráfica y comprobar que el valor que tomamos en cuenta para la variable dependiente coincide con el valor que asignamos a la variable independiente, y así los podemos encontrar para cualquier grafica de una función. Ahora bien considerando algunas graficas de funciones básicas analizaremos algunas transformaciones (figura 7).

)

( )

)

( )

)

( )

(

)

) ( )

(

)

Figura 7. Algunas gráficas de funciones básicas

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1.4 REPRESENTACIONES GRAFICAS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS

Llamaremos a 1) f(x) = x2 la función básica. Pero si observamos la función 2) f(x) = x2+3, es la función básica más 3 y si observamos la gráfica de color verde nos damos cuenta que la función básica sube tres unidades es decir se recorre en el eje de las y, con esto podemos deducir que si a la función básica se suma o se resta una cantidad la gráfica de la función se traslada sobre el eje vertical según la cantidad que se sume o se reste. Ahora miremos la función 3) f(x) = (x-5)2, en este caso la suma o la resta de un número es dentro de la función básica, no como en el caso anterior, pero si observamos la gráfica de la función en color azul, nos damos cuenta que la gráfica se traslada cinco unidades pero no hacia atrás, sino hacia adelante es decir el movimiento es sobre el eje de las x y es en sentido contrario al signo, por lo tanto podemos concluir que si la cantidad se suma el movimiento es hacia atrás, pero si la cantidad se resta el movimiento es hacia adelante. Con respecto a la función ) ( ) ( ) nos damos cuenta que existe una suma de 3 unidades en la función básica, pero que hay una resta de 4 unidades fuera de la función básica, con esto podemos concluir que esta función se trasladará 3 unidades hacia atrás en el eje de las x, y 4 unidades hacia abajo en el eje de las y, que lo podemos constatar fácilmente en la gráfica de la función de color negro. La gran ventaja de entender el movimiento de una función, es que estos desplazamientos se aplican para cualquier función. En el caso de la siguiente grafica (Figura 8), partimos de la misma función básica de grafica anterior 1) f(x) = x2. Si comparamos ) ( ) con la función de la grafica anterior observamos que lo único que esta cambiando es el signo de la x2 pero, ¿qué sucede con la gráfica?. Igual se recorre tres unidades hacia arriba, pero ahora es una parábola invertida, es decir, el vértice se mantiene igual, pero la parábola tiende hacia abajo, en otras palabras es la función anterior invertida. Ahora hablemos de la función ) ( ) ( ) aquí en particular se suman 3 unidades dentro de la función básica que esta multiplicada por -5, pero aparte se restan cuatro unidades, pero vamos a analizarla, el más tres, hace que se recorra en el eje dela x 3 unidades hacia atrás, porque el elemento sumado está dentro de la función básica y recordemos que este movimiento es en el eje de las x pero en dirección contraria, el -5 que está multiplicando, bueno el signo menos nos invierte la función y el 5 nos hace más cerrada la parábola, vean la gráfica, por último el menos 4 nos recorre la función hacia abajo cuatro unidades. Por ultimo ) ( ) ( ) , si observamos nos damos cuenta que esta función es casi igual que la anterior lo único que cambia es el -5 por -1/5 pero, ¿qué paso con la función?, con respecto a la anterior se hace más ancha, concluyendo, entre mayor sea el valor que multiplica el ancho de la función será más pequeño.

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1.4 REPRESENTACIONES GRAFICAS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS

)

( )

)

( )

) ( )

) ( )

(

(

)

)

Figura 8.

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1.5 FORMULA PENDIENTE INTERSECCIÓN

1.5 Formula pendiente intersección Hasta ahora se ha definido lo que es una función lineal, si recordamos es donde a cada variable dependiente corresponde un valor de la variable independiente y un claro ejemplo es la ecuación de la recta. Y = mx +b

A(0,4) B(2,0 )

Figura 9. Ecuación de la recta

1.5.1 Interpretación de la pendiente Es la Inclinación que existe entre dos puntos. Considerando el ejemplo anterior (Figura 9) entre el punto A y el Punto B. Las coordenadas del Punto A(0,4) y del punto B(2,0), por lo tanto nos apoyamos en la fórmula para encontrar la pendiente entre dos puntos.

Entre el punto A y el punto B se puede tomar como el punto 1 el que yo determine lógicamente el otro punto será el punto 2, en este caso tomaremos el punto B(2,0) como el punto 2, por lógica, el punto A(0,4) será el punto 1, entonces la pendiente será:

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1.5 FORMULA PENDIENTE INTERSECCIÓN

Pero analizando el incremento que en el caso de y del punto A al punto B es un decremento de 4 unidades y en el caso de x del punto A al punto B es un incremento de 2 unidades. Puesto que la pendiente es la relación entre el incremento en y y el incremento en x, m = -2 , aquí hacemos mención que es una pendiente negativa y se da cuando en x o en y existe un decremento. Ahora analicemos la pendiente de cada una de las siguientes rectas, empezaremos con la rectaAB: A(-2,4) y B(2, -8) Si nos desplazamos verticalmente desde el punto A(-2,4), hasta el punto B(2,-8), observamos que el valor para y en el punto A es de 4 y en el punto B es de -8, sabemos que la distancia entre 4 y -8 es de 12, entonces lo que tuve que bajar fueron 12 unidades, esto sería el decremento para y. Por otro lado, si nos desplazamos horizontalmente del punto A(-2,4), hasta el punto B(2,-8), observamos que el valor para x en el punto a es -2 y en el punto B es 2, sabemos que la distancia entre -2 y 2 es 4, entonces lo que tuve que avanzar fueron 4 unidades, esto sería el incremento en x. Si la pendiente es igual al incremento en y entre el incremento en x entonces: Entonces la pendiente de la rectaAB es -3

Porque el valor para y es decremento y por consiguiente negativo

Ahora aplicando la fórmula de pendiente entre dos puntos, A(-2,4) y B(2, -8)

(

)

Antes de continuar, hablaremos un poco de los signos de las pendientes:  Cuando una pendiente baja de izquierda a derecha se dice que es una pendiente negativa.  Cuando una pendiente sube de izquierda a derecha se dice que es una pendiente positiva. En el ejemplo anterior de la rectaAB, observamos que la recta baja de izquierda a derecha, entonces la pendiente es negativa ya que es igual a -3. MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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1.5 FORMULA PENDIENTE INTERSECCIÓN

El menos nos indica que la recta baja de izquierda a derecha, pero el 3 nos determina, que por cada unidad que me desplace en el eje de las x, me desplazo 3 unidades en el eje de las y

De la figura10 encontrar las pendientes: a) mAB b) mCD c) mEF Utilizando la formula y explica como encuentras la pendiente gráficamente

C(2,8) A(-2,4) F(4,0)

E(-4,-4) B(2,-8)

D(-1,-7) Figura 10.

1.5.2 Intersección con el eje (y). Antes de continuar haremos una breve descripción de algunas características de la recta.  La ecuación de una recta es

Y = mx +b

En donde m es la pendiente de la recta b es la ordenada al origen, es decir donde la recta cruza el eje de las y

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1.5 FORMULA PENDIENTE INTERSECCIÓN

Por ejemplo: y = x+3 La pendiente es igual a 1 y la ordenada igual a 3 (Figura 11)

Y = x+3

b= 3 ( ordenada)

Pendiente= 1

Figura 11.

Por ejemplo:

Y = -2x+4

En donde la pendiente es igual a -2 y la ordenada al origen es 4, es decir, que esta recta debe cruzar el eje de las y en el valor de la ordenada que es 4 (Figura 12).

Y = -2x+4 b = 4(ordenada) = 4(ordenada)

A

B Pendiente Pendiente= =-22

Figura 12.

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1.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

1.6 Determinación de la ecuación de una línea recta 1.6.1 Pendiente e intersección Para encontrar la ecuación de una recta teniendo como datos su pendiente y la intersección con alguno de los ejes podemos manejar dos opciones: A) Cuando se conoce el dato de intersección con el eje de las y En este caso utilizamos la fórmula que hasta ahora se ha manejado y = mx+b, donde, m es la pendiente y b es la ordenada al origen. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,3), que es la ordenada al origen y tiene pendiente igual a 2, si observamos la gráfica (Figura 13), la recta cruza el eje vertical cuando y = 3, por lo tanto el valor de b es igual a 3 y la pendiente es igual a dos, por consiguiente con los datos: m = 2, b = 3 la ecuación será y = mx + b

y = 2x + 3

Figura 13.

B) Cuando se conoce el dato de intersección con el eje de las x. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que cruza por el punto (5,0), que es la abscisa al origen y que tiene pendiente igual a -2 (Figura 14).

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1.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

Figura 14.

Para encontrar la ecuación de la recta lo primero que tenemos que hacer es utilizar los datos con los que se cuenta y utilizar la misma fórmula: Y = mx+b. Si sabemos que pasa por el punto (5,0) y tiene pendiente igual a -2 entonces sustituyendo datos: 0 = -2(5)+b 0 = -10 + b b = 10 Entonces la ecuación es y = -2x +10, que el valor de b lo pudimos haber obtenido de la gráfica en donde vemos que la recta cruza el eje vertical cuando y es igual a 10.

1.6.2 Pendiente y un punto En este caso a diferencia del anterior, el punto que se da como dato no está en ninguno de los ejes coordenados y en el ejemplo anterior o está en el eje vertical o está en el eje horizontal. Para este caso manejamos la segunda fórmula de la ecuación de una recta ( ) Donde los datos conocidos serán la pendiente, m y los valores del punto conocido ( ) Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -2) y tiene pendiente igual a -4, sustituyendo valores en la formula nos quedaría lo siguiente. ( )) ( ) ( Por lo tanto la ecuación es

1.6.3 Dos puntos En este caso en particular si nos dan dos puntos como datos, hay que seguir los siguientes pasos: 1. Hallar la pendiente entre los dos puntos. 2. Conociendo la pendiente y los dos puntos, aplicamos la segunda fórmula de la ecuación de la recta, en este caso se escoge uno de los puntos, cualquiera de los dos, ya que la ecuación será la misma y la resolvemos. MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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1.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

Ejemplo: Hallar la ecuación que pasa por los puntos A(3, -1) y B(4, 2), siguiendo los pasos indicados, lo primero será encontrar la pendiente. (

)

Si la pendiente es igual a 3, escogemos el punto A(3,-1) y aplicamos la segunda fórmula de la ecuación de una recta. ( ) (

)

Resumen de las principales formulas

1.- Pendiente de una recta 2.- Ecuación de una recta vertical 3.- Ecuación de una recta horizontal 4.- Forma punto pendiente de la ecuación de una recta ) 5.- Forma pendiente-ordenada al origen de la ecuación De una recta. 6.- Ecuación General de una recta

(

1.6.4 Aplicaciones a modelos de oferta y demanda Introducción: Diariamente se perciben los cambios en los precios de los bienes y servicios que son necesarios para el subsistir del ser humano. Por ejemplo, hace unos meses atrás el precio de la gasolina era distinto al que se debe de pagar hoy en día. La economía se basa en las decisiones que los agentes económicos (productores y consumidores) realicen con tal de enfrentar la escasez de los recursos. Estas decisiones se basan en los costos y beneficios, los cuales concurren en el mercado. El mercado está compuesto por consumidores y productores que intercambian bienes, y es en esta concurrencia donde va a establecerse los precios de productos y servicios y las cantidades producidas. El conocer adecuadamente el comportamiento de los mercados es fundamental, ya que son los que determinan la asignación de recursos en las economías.

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1.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

DEMANDA: Muestra las distintas cantidades de un bien que un consumidor está dispuesto a adquirir, por unidad de tiempo, a los diferentes precios alternativos posibles, ceteris paribus (el resto de variables permanecen constantes). • Curva de la demanda: Es una curva que muestra las cantidades de un bien que un consumidor está dispuesto a pagar y puede hacerlo, para comprar a diferentes niveles de precios (Figura 15).

Figura 15. Curva de demanda

Determinantes de la demanda: 1. Precio del bien: Al aumentar el precio de un bien disminuye la cantidad demandada y viceversa. 2. Precio de bienes sustitutos: Si el precio de un bien Y, un bien sustituto del bien X, aumenta, entonces la demanda del bien X va a aumentar, y si el precio del bien Y (bien sustituto de X) disminuye, la demanda de X va a disminuir. Por ejemplo, si aumenta el precio de los casetes de audio, podrá aumentar la demanda de discos compactos. 3. Precio de bienes complementarios: Si el precio de un bien Y, un bien complementario al bien X, aumenta, entonces la demanda de X va a disminuir y viceversa. Por ejemplo, si aumenta el precio de la gasolina, podría disminuir la demanda de autos que usan gasolina, pues la gente preferirá vehículos que usen combustibles más baratos. 4. Ingreso de los consumidores: En los bienes normales, al aumentar el ingreso de los consumidores la demanda por un bien va a aumentar y viceversa. Por el contrario en los bienes inferiores, al aumentar el ingreso del consumidor, la demanda del bien va a disminuir. 5. Gustos y preferencias: al aumentar las preferencias por un bien (ya sea por moda, temporada, etc.) la demanda del mismo va a aumentar. MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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1.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

6. Población: Al aumentar la población es de esperar que la demanda por un bien aumente ya que existe mayor número de consumidores con la misma necesidad. 7. Precios futuros esperados: Si se espera que el precio de un bien aumente a un cierto plazo, la demanda inmediata de este bien va a aumentar. Por otra parte, si se espera que el precio disminuya en el futuro la demanda va a disminuir ahora, pues la gente pospondrá su decisión de compra hasta que el precio baje. Ley de la demanda: el incremento en el precio (P) causa una disminución en la cantidad demandada (Qd) y viceversa, la disminución del precio elevará la cantidad demandada. La siguiente tabla ilustra las distintas cantidades por unidad de tiempo que a cada precio un consumidor estaría dispuesto a comprar de un cierto bien X:

Precio

Cantidad demandada (por unidad de tiempo)

5

2

4

4

3

6

2

8

1

10

Oferta El objetivo de todo productor es de maximizar sus ganancias, de esta premisa se desprende una serie de conclusiones expuestas a continuación. Oferta: Muestra las distintas cantidades de un bien que el oferente está dispuesto a ofrecer por unidad de tiempo a los distintos precios alternativos. 

curva de la oferta: Es una curva que muestra las cantidades de un bien que un vendedor está dispuesto a vender a diferentes niveles de precios alternativos, suponiendo que todos los demás determinantes permanecen constantes (Figura 16).

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1.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

Figura 16. Curva de la oferta

DETERMINANTES DE LA OFERTA: 1. El precio del bien: al aumentar el precio del bien va a aumentar la cantidad ofrecida y viceversa. 2. Precio de los recursos e insumos empleados en la producción del bien: Al aumentar el precio de los insumos de un bien, su oferta va a disminuir y viceversa. Al hablar del precio de los recursos e insumos se refiere al precio del trabajo (salarios), precio de materias primas, precio de energía, tasas de interés, etc. 3. La tecnología de producción: al mejorar la tecnología en la producción, la oferta de un bien aumentará. 4. Precios futuros esperados: Si se espera que a corto plazo el precio del bien producido aumente, la oferta aumentará, y viceversa. 5. Número de oferentes: Al haber un mayor número de oferentes la oferta de un bien aumentará y viceversa. LEY DE LA OFERTA: El incremento en el precio (P) causa un incremento en la cantidad ofrecida (Qs) y una disminución en el precio ocasiona una reducción de la cantidad ofrecida. La siguiente tabla ilustra las distintas cantidades por unidad de tiempo que a cada precio un productor estaría dispuesto a producir y vender de un cierto bien X:

Precio

Cantidad demandada (por unidad de tiempo)

5

10

4

8

3

6

2

4

1

2

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1.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

Curvas de demanda y oferta En una economía de libre mercado, la demanda de los consumidores por cierto artículo depende del precio unitario del mismo. La ecuación de demanda expresa la relación entre el precio unitario y la cantidad demandada. La grafica de la ecuación de demanda es una curva de demanda. En general, la cantidad demandada decrece cuando el precio unitario aumenta y viceversa. De acuerdo con esta grafica (Figura 17), podemos visualizar dos opciones de demanda D1 y D2, como consecuencia dos precios diferentes, p1 y p2 y una sola oferta. Observamos que para la D1 existe un p1 y por consecuencia Q1 que es la cantidad de productos en los cuales se presenta el punto de equilibrio, pero que pasa si se incrementa la demanda a D2 y se mantiene la misma oferta, observando la figura 17 nos damos cuenta que se incrementa el precio p2, pero también el número de unidades Q2, como consecuencia estamos hablando de dos puntos de equilibrio diferentes. Como Q y P solo pueden adoptar valores no negativos, la curva de demanda es la parte de la gráfica de P(Q) que está en el primer cuadrante.

Figura 17. Opciones de demanda

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1.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

SITUACIONES DONDE SE USA FUNCIÓN LINEAL i Función Oferta y Función Demanda de un Mercado. 1) Considere la relación 8p +20Q– 25000 = 0, donde p es el precio de un producto. a) Da la función explícita Q = f(p). ¿Es la recta oferta o demanda?. ¿Por qué?. Debemos obtener Q despejando términos: 20Q= -8 p +25000 Q= (-8 p +25000) / 20 Q= -8/20 p +25000/20 = -2/5 p +1250 La recta obtenida corresponde a demanda ya que su pendiente es negativa. La curva de demanda es una función decreciente: si suben los precios la gente querrá comprar menos y si bajan querrá comprar más (parece que es una postura comprensible). Entonces, la pendiente de la función lineal demanda será negativa. b) Interpreta la pendiente La pendiente de la recta es

. Esto significa que cada vez que el precio baje

5 pesos, el mercado demandará 2 unidades más. c) Grafica dicha recta (figura 18) d) Interpreta la ordenada al origen en la gráfica. El valor de la ordenada al origen es $ 1250. 2) Considere la relación – 20 p + 8Q + 2000 = 0 para el mismo producto. a) Da la función Q = f (p). ¿Es oferta o demanda? ¿Por qué? Debemos obtener Q despejando términos: 8Q= 20 p- 2000 Q= (20 p -2000) / 8 Q= 20/8 p +2000/8 = 5/2 p -250 b) Interpreta la pendiente. La pendiente de la recta es

. Esto significa que cada vez que el precio

aumento 2 pesos, el mercado ofrecerá 5 unidades más. c) Grafica en el mismo sistema que en 1 (Figura 18)

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1.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

Oferta 5/2 p -250 Q 1250

1043.1

Punto de Equilibrio Demanda

-2/5p + 1250 100

517.2

-250

3125

P

Figura 18.

Realizamos una tabla de valores para poder graficar

Expresa e interpreta la ordenada al origen y la abscisa al origen en el gráfico. Para el caso de la función Demanda, la ordenada al origen (Precio: $3125) corresponde al precio en el cual no hay demanda. Para el valor de q = 1250 unidades, corresponde a la capacidad máxima de consumo del producto o servicio. En la función oferta, el valor de precio para q = 0, donde Precio: $ 100, corresponde al valor mínimo que está dispuesto a ofrecer sus productos el proveedor. Depreciación en línea recta Se espera que el valor de una máquina disminuya en una tasa lineal con el tiempo. La figura 19 contiene dos puntos de datos sobre la línea que representa el valor V de la máquina en función de su edad t, donde V se mide en euros y t se mide en años contados desde el momento de la compra . Los dos puntos indican que el valor de la máquina en t =0 (tiempo de compra) es de 18 000 euros y que su valor en un año será de 14 000 euros.

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1.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

Figura 19.

a) Determine la ecuación de pendiente-intersección (V = f(t)=mt +b) que relaciona el valor V de la máquina con su edad t. b)

Interprete el significado de la pendiente

c)

¿En qué momento t se espera que el valor de la máquina sea cero?

Solución a) La pendiente puede calcularse por medio de la fórmula de los dos puntos,

Obteniéndose

Al sustituir m = -3500 y (0, 18 000) en la ecuación, donde V y t reemplazan a y y x respectivamente, se obtiene:

Por lo tanto la ecuación de depreciación lineal será: V(t) = -3500 t+18,000 b) La pendiente de –3500 implica que, con cada año más de posesión, el valor de la máquina disminuye 3500 euros.

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1.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

c) V será igual a cero cuando la línea cruce el eje t (equivalente a la intersección en x); en términos algebraicos se está buscando el valor de t cuando V = 0. Al hacer V igual a 0 en la ecuación y resolviendo para t, se descubre que la máquina tendrá un valor de cero cuando. 0 = -3,500 t +18,000

3,500 t = 18,000

t = 18,000/ 3,500

t = 5.14 años, en este tiempo la maquina tendrá un valor de cero Drogadicción. El departamento de Salud estima que el número de los que usan cocaína en él ha ido aumentando en una proporción lineal. El número estimado de drogadictos en 1980 fue de 950 000 y en 1985 fue de 1 250 000. a. Determine la función n=f(t), donde n representa el número de usuarios y t es el tiempo medido en años (t =0 para 1980), empleando los dos puntos de datos. b. Interprete el significado de la pendiente. c. Si el número de drogadictos sigue creciendo de acuerdo con esta función, ¿cuándo llegará a 1 400 000? Solución a) t = 0 para 1980 y t = 5 para 1985, por lo tanto los dos puntos de datos son (0, 950 000) y (5, 1 250 000) y la pendiente puede calcularse por medio de la fórmula de los dos puntos, obteniéndose Al sustituir m = 6,0000 y (0, 950 000) en la ecuación, donde n y t reemplazan a y y x, respectivamente, se obtiene n – 950,000 = 60,000( t-0) = 60,000 t Por lo tanto la ecuación de depreciación lineal será n = 60,000 t + 950,000 b) La pendiente de 60,000 implica que cada año que pasa el número de drogadictos aumenta en 60,000. c) Sustituimos n = 1,310 000 en la ecuación y se resuelve para t O bien t = 6 implica año 1986.

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1.7 PROBLEMARIO

1.7 Problemario 1 Repaso de unidad 1.- Los siguientes pares de magnitudes se relacionan entre si formando una función identifica en cada par de magnitudes cual es, la independiente y la dependiente. Dependiente

Independiente

a) El interés que cobra un banco por un capital prestado b)El lado y el perímetro de un pentágono regular c) El número de asistentes a un evento y el total recaudado d) El grosor de un libro y el número de páginas que tiene e) La cantidad de pastel que alcanza cada niño y el número de niños en un grupo escolar

Calculo del porcentaje Completa las siguientes tablas usando tu calculadora a) T = cantidad total p = 18% del total T 1000 800 750 600 500 p b) C= capital ahorrado p = 6 % de interés recibido c 75,000 50,000 36,000 20,000 15,000 i

( )

2. sea f la función definida por Determine

100

65

8,000

4,500

{ √

f(-2), f(0), f(-4)

Usando un software, las siguientes funciones, grafíquelas y encuentre el dominio y rango de cada una de ellas. 3. ( ) 6. ( )

4. (

)

⁄

( )

7. ( )

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√

5. ( ) 8. ( )

√

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UNIDAD 1

9. ( )

1.7 PROBLEMARIO – {

10. {

11. Determinar el valor de f en el valor indicado de x. Exprese su respuesta con una precisión de cinco cifras decimales. 12. ( ) 13. ( ) 14. ( )

√

√

15. Función de consumo. La función de consumo en cierta economía está dada por la función C (y) = 0.75 y +6, donde C (y) es el consumo personal, y es el ingreso personal disponible y ambas cantidades se miden en miles de millones de dólares. Determine C (0), C (50), C (100) y C (200) e interprete y explique sus respuestas. 16. Ajuste por el costo de vida Los beneficiarios del seguro social reciben un ajuste automático por el costo de vida una vez al año. Sus ingresos mensuales suben la cantidad que los precios al consumidor se hayan incrementado el año anterior. Suponga que los precios al consumidor aumentaron 5.8% durante el año anterior. a) Exprese el ingreso mensual ajustado de un beneficiario del seguro social como función de su ingreso mensual actual. b) Si el ingreso mensual por concepto de seguro social del señor Ponce es de $520, ¿Cuál será su ingreso mensual ajustado? 17. Costo de renta de un camión La compañía de arrendamiento de camiones El Fuerte, alquila un camión de cierto tamaño a $35 el día y a 15 centavos la milla recorrida, mientras que la compañía Dimsa renta el mismo tipo de unidad a $ 30 el día y a 25 centavos la milla recorrida. a) Determine el costo diario de renta de cada compañía en función de las millas recorridas. b) Trace las gráficas de las dos funciones en el mismo conjunto de ejes. c) ¿Cuál compañía debe elegir un cliente para rentar un camión por un día, si planea recorrer a lo más 70 millas y quiere minimizar sus costos? 18.- De la siguiente figura encontrar: a) La función de cada una de las parábolas. b) Hallar el dominio y rango de cada una de las siguientes parábolas, e indicar si son valores restringidos.

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UNIDAD 1

1.7 PROBLEMARIO

1 3

2 4

19.- De la siguiente figura encontrar: a) La ecuación de cada una de las rectas. b) Hallar el dominio y rango restringidos.

D A F

E C

20.- De

B

Determinar la función si sabemos que: a) x es la variable dependiente b) y es la variable dependiente c) z es la variable dependiente

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UNIDAD 1

1.7 PROBLEMARIO

21.- Graficar las siguientes funciones tomando en considerando la función básica de cada ejemplo. ) )

( ) √ ( ) √

) )

( ) ( )

)

( )

)

√

( )

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(

)

( )

)

)

√

( )

(

)

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UNIDAD 1 )

( ) ( )

)

) )

1.7 PROBLEMARIO

( ) ( )

)

)

( )

( )

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

)

)

( )

( )

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UNIDAD 1

1.7 PROBLEMARIO

En los incisos a, b y c observa en cada caso como se mueve la función y define las reglas para el movimiento de una función, tomando como punto de partida la función básica.

Sacar al menos, una cuartilla de conclusiones, después de hacer una comparación entre ellas

22.- Dada la ecuación y = 5x-2 responda lo siguiente: a) si x se incrementa en una unidad, ¿Cuál es el cambio correspondiente en y? b) si x disminuye dos unidades, ¿Cuál es el cambio correspondiente en y? 23.- Dada la ecuación 2x-3y = 4 responda lo siguiente: a) ¿La pendiente de la recta descrita por esta ecuación es positiva o negativa? En los ejercicios del 24 al 28 encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos. 24.- (4, -3) y 5,2) 25.- (-2,3) y (5,8) 26.- (4,5) y (-3,6) 27.- (3, -4) y (7, -4) 28.- (-a+1, b-1) y (a+1, -b) En los ejercicios 29 y 30 determine si las rectas que pasan por los pares de puntos son paralelas. 29.- A(1,-2), B(-3,-10) y C(1,5), D(-1,1) 30.- A(2,3), B(2,-2) y C(-2,4), D(-2,5) 31.- Si la recta que pasa por los puntos (a,1) y (5,8) es paralela a la recta que pasa por los puntos (2,8) y (-7, a+4), (recuerden que en rectas paralelas las pendientes son iguales) ¿Cuál es el valor de a? MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 1

1.7 PROBLEMARIO

32. Muestre que dos rectas distintas con ecuaciones a1x+b1y+c1= 0 y a2x+b2y+c2 = 0, respectivamente, son paralelas si y solo si a1b2 – b1a2 = 0

33.- Determine una ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -1) y es perpendicular a la recta con pendiente -1/2, recuerda que para que dos rectas sean perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a -1 34.- Determinar si el punto (3, -3) se encuentra en la recta con ecuación 2x – 3y –12 = 0 35.- Encuentre una ecuación de la recta horizontal que pasa por (-5, 2) 36. Encuentre una ecuación de la recta vertical que pasa (-5, 6) En los ejercicios del 37 al 39 hallar una ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente m indicada. 37. (3, -4); m = 2

38. (2, 4); m = -1

39. (1,2); m = -1/2

En los ejercicios del 40 al 42 hallar una ecuación de la recta que pasa por los puntos. 40. (2, 4) y (7, -2)

41. (5, -1) y (3, 2)

42. (-2, 4) y (4, -2)

En los ejercicios del 43 al 45, hallar una ecuación de la recta con pendiente m y la ordenada al origen b. 43. m = -2; b = 3

44. m = 3; b = -1/3

45. m = -1/2; b = -2

En los ejercicios del 46 al 48 escriba la ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen; encuentre la pendiente y ordenada al origen de la recta correspondiente. 46. x- 2y = 0 47.

3x- 4y +9 = 0

48. 5x + 8y -24 = 0

49. Halle una ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,4) y es paralela a la recta 5x – 2y -4 = 0 50. Halle una ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 2) y es perpendicular a la recta 5x – 4y -20 = 0 En los ejercicios del 51 al 55, plantee una ecuación de la recta que satisface la condición dada. 51. La recta paralela al eje x y que pasa 6 unidades por debajo de esta.

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UNIDAD 1

1.7 PROBLEMARIO

52. La recta que pasa por el origen y es paralela a la recta que une los puntos (2,4) y (5,7). 53. La recta que pasa por el punto (-3,4) y es paralela al eje x. 54. La recta que pasa por (4,-5) y es paralela a la recta que une (-3,5) y (6,3). 55. La recta que pasa por el punto (a, b) con pendiente igual a cero. 56. Dado que el punto P(-3,5) está en la recta kx + 3y + 9 = 0, determine k. En los ejercicios del 57 al 59, trace la recta definida por la ecuación lineal, determinando las intersecciones con los ejes x y y. 57. 3x – 2y + 6 = 0

58. 2x – 6y + 4 = 0

59. Y + 5 = 0

60. Depreciación Lineal. En 1992 la compañía Textil Nacional instaló una nueva máquina en una de sus fábricas, con un costo de $250,000. La máquina se deprecia linealmente durante 10 años, con un valor de deshecho de $10,000. a) Determine una expresión para el valor contable de la máquina en el año tésimo de uso ( ) b) Trace la gráfica de la función en a) c) Dé el valor contable de la maquina en 1996 d) Indique la tasa con la que se deprecia la máquina 61. Depreciación Lineal Una minicomputadora adquirida a un costo de $60,000 en 1994 tiene un valor de deshecho de $12,000 al final de cuatro años. Suponga que se utiliza el método de depreciación lineal. a) Determine la tasa de depreciación b) Encuentre la ecuación lineal que expresa el valor contable de la minicomputadora al final de t años. c) Trace la gráfica de la función obtenida en b) d) Indique el valor contable de la minicomputadora al final del tercer año 62. Depreciación lineal Suponga que un bien tiene un valor original de $C y se deprecia linealmente durante N años con un valor de deshecho $S. Muestre que el valor contable del bien al final del año R-ésimo se describe mediante la función ( )

(

)

Sugerencia: Determine una ecuación dela línea recta que pasa por los puntos (0,C) y (N,S), ¿Por qué?

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UNIDAD 1

1.7 PROBLEMARIO

63. Pablo Reyes economista ha estudiado la oferta y la demanda para manijas de aluminio y ha determinado que el precio por unidad P y la cantidad demandada Q se relacionan por la ecuación lineal P = 60 - ¾ q a) Encuentra la demanda a un precio de 40 pesos por unidad b) Encuentra el precio si la demanda es de 32u c) Grafica la ecuación de la demanda d) A un precio de 30 ¿Qué cantidad se demanda? e) ¿A qué precio se demanda 60 unidades? f) ¿Qué cantidad se demanda a un precio de 60 por unidad? 64. Suponga que el economista del ejercicio anterior concluye que la oferta Q de manijas se relaciona con su precio P por la ecuación. P = 0.85 q a) Encuentre la oferta si el precio es 51 por unidad b) Encuentre el precio por unidad si la oferta es de 20 c) Trace la gráfica de la ecuación de la oferta d) Encuentre el precio por el cual se ofrecerán 35 unidades. 65. Contribución del Seguro Social. Para los salarios menores que la base salarial máxima gravable, los pagos al seguro social por parte de los empleados representan 7.65% de su salario. a) Determine una ecuación que exprese la relación entre el salario (x) y los pagos del seguro social (y) de un empleado que gana menos que la base salarial máxima gravable. b) Por cada dólar adicional percibido, ¿Cuánto se incrementa el pago del seguro social? (suponga que el salario es menor que la base salarial máxima gravable.) c) ¿De cuánto será el pago al seguro social por parte de un empleado que gana $35,000 ( que es menor que la base salarial máxima gravable)

66. Admisiones. Según los datos compilados por la oficina de admisión de Faber University, los empleados estiman que solo ingresaran 55% de los estudiantes a los cuales se les ofrece admisión al primer año. a) Determine una ecuación que exprese la relación entre la cantidad de estudiantes que realmente se inscriben (y) y el número de estudiantes a los cuales se les ofrece la admisión a la universidad (x) b) Si se desea que se inscriban 1,100 estudiantes al año próximo, ¿a cuántos candidatos se debe ofrecer la admisión. 67. Costo de un artículo. Un fabricante obtiene los siguientes datos que relacionan el costo (y) en dólares con el número de unidades (x) producidas de un artículo:

Cantidad de unidades producidas (x) Costo en dólares (y)

0 200

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20 208

40 222

60 230

80 242

100 250

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UNIDAD 1 a) b) c) d)

1.7 PROBLEMARIO

Grafique el costo (y) contra la cantidad producida (x) Trace la línea recta que pasa por los puntos (0, 200) y (100, 250) Deduzca una ecuación para la línea recta obtenida en (b) Considere esta ecuación como una aproximación de la relación entre el costo y el nivel de producción de 54 unidades del artículo.

68. Crecimiento de ventas. Las ventas anuales (en millones de dólares) de la tienda departamental Metroi durante los últimos cinco años fueron:

Ventas anuales (y) Año (x)

5.8 1

6.2 2

7.2 3

8.4 4

9.0 5

a) Grafique las ventas anuales (y) contra el año (x) b) Trace una línea recta L que pase por los puntos correspondientes al primer y quinto años c) Deduzca una ecuación para la recta L d) Utilice la ecuación obtenida en (c) y estime las ventas anuales de Metroi dentro de cuatro años ( x = 9).

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UNIDAD 2 FUNCIONES LINEALES, APLICACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

UNIDAD 2 - FUNCIONES LINEALES, APLICACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2 Funciones lineales, ecuaciones lineales.

aplicaciones

y

sistemas

de

Objetivo Particular Al término de esta unidad el alumno será capaz de:      

Definir con sus propias palabras el concepto de función de ingreso. Definir con sus propias palabras el concepto de función de costo. Definir con sus propias palabras el concepto de función de utilidad. Representar y resolver gráfica y analíticamente, problemas de toma de decisiones. Plantear y resolver problemas de un sistema de ecuaciones Aplicar un sistema de ecuaciones a solución de problemas de administración Objetivo especifico

      

Determinará y resolverá analíticamente funciones lineales de costo ingreso y utilidad. Resolverá problemas de toma de decisiones en donde definirá, la propuesta de producción más viable para la empresa. Resolverá problemas de toma de decisiones en donde encontrara: costo fijo, costo variable, ingreso, utilidad y punto de equilibrio. Resolverá por el método de Gauss-Jordan sistemas de ecuaciones de 2x2 y de 3x3. Resolverá un sistema en el cual identificara el tipo de solución del problema. De un problema de aplicación, planteara y resolverá el sistema. Resolverá el problemario 2 con ejercicios del tema

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UNIDAD 2

2.1 FUNCIONES LINEALES

2.1 Funciones lineales 2.1.1 Funciones lineales de ingresos En el ámbito administrativo se conoce como ingreso, a la cantidad total de dinero que obtiene una organización debido a la venta de sus productos o a la prestación de sus servicios. Basándonos en este concepto puede verse claramente que el ingreso de cualquier organización dependerá directamente del precio al que venda sus productos o servicios, así como de la cantidad de servicios brindados o de productos vendidos. Matemáticamente pudiera expresarse como: Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida) Asumiendo que el precio de todos los productos es el mismo, sin embargo, si dicho precio variara, el ingreso total sería la suma de los ingresos individuales obtenidos por cada producto o servicio al precio en que se vendió.

Ejemplo: 1. Una empresa en la que se fabrican relojes de pulso vende a sus clientes mayoristas dichos relojes a un costo de $120.00. Si para ser considerado como cliente mayorista necesitan hacer una compra de al menos 1000 productos. ¿Cuál será el ingreso menor que pudiera recibir el fabricante de un cliente mayoritario?

Solución: Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida) Sustituyendo: Ingreso Total= ($120.00) (1000 productos) Ingreso total= $120,000.00 Ejemplo 2: Retomando el problema anterior, supóngase que además de vender 1000 relojes a un mayorista vende 500 a un medio mayorista al cual le ofrece un precio de $150.00. ¿Cuál será su ingreso total?

Solución: Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida) Sustituyendo: Ingreso total= ($120.00) (1000 productos) + ($150.00) (500 productos) Ingreso Total= $120,000.00 + $75, 000.00 Ingreso Total = $195, 000.00

2.1.2 Funciones lineales de costo El costo es la expresión cuantitativa monetaria representativa del consumo necesario de factores de la producción que se emplean para producir un bien o prestar un servicio.

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UNIDAD 2

2.1 FUNCIONES LINEALES

Con las funciones de costos trataremos de plantear un modelo matemático simplificado de la realidad económica. Iniciaremos diciendo que los costos de producción de un bien o de prestación de un servicio tienen distintos componentes que, en un principio, le atribuiremos un comportamiento lineal, pues es el modelo más sencillo. Las funciones lineales cumplen un importante papel en el análisis cuantitativo de los problemas económicos. En muchos casos los problemas son lineales pero, en otros, se buscan hipótesis que permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solución es más sencilla. Costo lineal Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deberá utilizar una serie de insumos que valorizados monetariamente le genera costos, que analizados en función a la relación con la producción total, los denominaremos costos fijos y costos variables. Los primeros, como lo indica su nombre, son independientes de las cantidades de un artículo que se produzca o un servicio que se preste (p.ej.: alquiler del local, depreciación de los bienes durables, determinados impuestos, etc.). En cambio, los costos variables dependen de la cantidad que se produzca de ese artículo o que se preste del servicio, (p. ej.: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.) El costo total es la suma de ambos Costo Total = Costos Fijos + Costos Variables

Si a los costos fijos de producir x artículos lo indicamos como b pesos, estamos en presencia de una función constante de la forma f(x) = b Haciendo b = 6, confeccionamos la gráfica correspondiente de CF (x) = 6 Podemos observar que si se confeccionan 1, 5 u 8 artículos se mantiene el mismo valor de costo fijo, por eso decimos que CF (x) = 6 es una función constante.

Figura 20.

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UNIDAD 2

2.1 FUNCIONES LINEALES

Para simplificar nuestro análisis supongamos la condición de que el costo variable por unidad de artículo se mantiene constante, en ese caso los costos variables totales serán proporcionales a la cantidad de artículos producidos.

Si a pesos indican el costo variable por unidad, los costos variables para producir x unidades del artículo serán ax pesos. Estamos en presencia de una función lineal de la forma g(x) = ax Hacemos a = 0.8, o sea g(x) = 0.8 x , por lo que expresamos la función de costo variable: CV(x) = 0.8 x Como el costo total para producir x artículos es la suma de los costos anteriores, tenemos CT(x) = CV(x) + CF(x) CT(x) = ax+b

(función afín)

CT(x) = 0.8 x + 6

Ejemplo 3 El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica

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UNIDAD 2

2.1 FUNCIONES LINEALES

¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por día? Solución El costo total de fabricar x juntas de machimbre en un día es C(x) = 2x + 30

El costo total de fabricar 25 juntas de machimbre por día es de $ 80. C(25) = 2. 25 +30 C(25) = 80 Ejemplo 4: El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2.20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3.80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir x bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.

Solución: En este caso tenemos dos puntos P (10; 2.2) y Q (20; 3.80), pudiendo construir la ecuación que determine la relación. Por la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, tenemos

y = 0.16 x + 0.6

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UNIDAD 2

2.1 FUNCIONES LINEALES

En el gráfico observamos que como x puede tomar únicamente valores enteros no negativos, no podemos representar a la función como una línea recta continua. Generalmente, cuando se trabaja con funciones económicas, se considera el dominio real, por lo que se la representa como una línea continua.

2.1.3 Funciones lineales de utilidades La utilidad de una organización es la diferencia existente entre el ingreso total y el costo total. Matemáticamente pudiera expresarse como: Utilidad = Ingreso - Costo Total Cuando el ingreso total es mayor que el costo total la utilidad es positiva se conoce como ganancia, en caso contrario la utilidad sería negativa y recibe el nombre de pérdida o déficit. Cuando tanto la función de ingreso como la de costo son funciones lineales de una misma variable, es decir, de la cantidad de artículos producidos o servicios brindados la función de la utilidad también será una función lineal de la misma variable. Es decir, si el ingreso total fuera la función I(x) y el costo total C(x), la función utilidad sería: Utilidad o pérdida = I(x) - C(x)

Ejemplo 1: Una empresa vende un artículo a un precio de $100.00, si sus gastos por mano de obra son de $10.00 por producto y por concepto de materia prima de $15.00 por producto teniendo costos fijos de $1,000,000 mensuales, si su producción mensual es de 50,000 artículos. Determina la utilidad mensual de la empresa

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UNIDAD 2

2.1 FUNCIONES LINEALES

Solución: El ingreso estaría definido por: Ingreso total = $100 (x) El costo total sería: Costo total = $25.00 (x) + $1 000, 000 La utilidad es: Utilidad = 100(x) – ($25.00(x) + $1 000, 000) Agrupando tenemos: Utilidad = $75.00(x) – 1 000, 000 Utilidad Mensual = $ 75.00 (50,000 artículos) - $ 1000, 000 Utilidad Mensual= $3, 750 000 - $ 1000, 000 Utilidad Mensual = $2, 750 000

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UNIDAD 2

2.2 MODELOS DE EQUILIBRIO

2.2 Modelos de equilibrio 2.2.1 Modelo de punto de equilibrio aplicado a la producción El Punto de Equilibrio Concepto  El punto de equilibrio es aquel nivel de operaciones en el que los ingresos son iguales en importe a sus correspondientes en gastos y costos.  También se puede decir que es el volumen mínimo de ventas que debe lograrse para comenzar a obtener utilidades.  “Es la cifra de ventas que se requiere alcanzar para cubrir los gastos y costos de la empresa y en consecuencia no obtener ni utilidad ni pérdida” Objetivos Determinar en qué momento los ingresos y los gastos son iguales. Medir la eficiencia de operación y controlar las sumas por cifras predeterminadas por medio de compararlas con cifras reales, para desarrollar de forma correcta las políticas y decisiones de la administración de la empresa.  Influye de forma importante para poder realizar el análisis, planeación y control de los recursos de la entidad.  

Factores Determinantes El volumen de producción afectará de forma directa a los costos variables, mientras que los costos fijos no son influidos por este.  El tiempo afecta al punto de equilibrio de forma que se puede dar solución a los problemas de forma oportuna.  Los artículos y las líneas de producción deben tomarse a consideración para no caer en producciones que no generan utilidades.  Los datos reales y presupuestados de los estados financieros permitirán determinar las variaciones, que las provoco y así aplicar soluciones. 

Basado en lo anterior podemos concluir que el punto de equilibrio se encuentra igualando, ingreso con costo total: Ingreso = Costo Total

Ejemplo 5.- Hallar el punto de equilibrio de la producción de termostatos eléctricos, cuyo costo variable es de $55.00, el costo fijo es de $15,000 y su precio de venta es de $80.00

Solución: MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 2

2.2 MODELOS DE EQUILIBRIO

x = número de unidades Ingreso = precio de venta por el número de unidades = ($80.00)(x) Costo Total = Costo Fijo + Costo Variable = ($15,000)+ (costo de producción por número de unidades producidas) = ($15,000) + ($55.00)(x). Entonces para encontrar el punto de equilibrio igualamos el ingreso con el costo total Ingreso = Costo Total 80x = 15,000 + 55x 80x -55x = 15,000 25x = 15,000 X = 15,000/25 = 600 unidades Esto me indica que debo producir 600 unidades para empezar a tener ganancia

2.2.2 Modelo gráfico de punto de equilibrio. Empezamos por definir que el eje de las abscisas “x” representa la cantidad de unidades a producir y vender. El eje de las ordenadas “y” representa el valor de las ventas.(ingresos), costos y gastos en pesos. Análisis: La curva de ingresos totales inicia desde el origen o intersección de los dos ejes del plano cartesiano. A medida que se van vendiendo más unidades, la curva va en ascenso, hasta llegar a su tope máximo. Ingresos Totales = Número de Unidades vendidas por precio de venta. El punto de equilibrio Se puede calcular tanto para unidades como para valores en dinero. Algebraicamente el punto de equilibrio para unidades se calcula así: Fórmula (1) Donde

CF = costos fijos; CVT = costo variable total; VT = ventas totales

Fórmula (2) Dónde: CF = costos fijos; PVq = precio de venta unitario; CVq = costo variable unitario O también se puede calcular para ventas de la siguiente manera......

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UNIDAD 2

2.2 MODELOS DE EQUILIBRIO

Ejemplo: Los municipios de tierra caliente del departamento del Tolima se conocen por sus comidas y bebidas. Si de bebidas se trata, la avena es una bebida de exquisito sabor. Para ello se necesita leche, canela, harina de trigo, almidón de yuca, vainilla, azúcar, leche condensada, hielo y vaso desechable. Estos elementos tienen un costo por vaso, de $250. Supongamos que Camilo Prada, un reconocido vendedor de avena de la región, no tiene local propio. El arrienda un sitio por el cual paga $100.000 mensuales. Los enseres que él requiere como cantimplora, ollas y otros elementos, tienen una depreciación mensual de $50.000. En total sus costos fijos ascienden a$150.000. Camilo Prada vende cada vaso de avena en $1.200.Análisis: Si el precio de venta por vaso es de $1.200 y el costo variable unitario es de$250, quiere decir que cada vaso de avena que se venda, contribuirá con $950 para cubrir los costos fijos y las utilidades operacionales de su negocio. Si reemplazamos en la formula (1) estas variables, se tendrá un punto de equilibrio de 158 vasos aproximadamente. Es decir, Camilo tendrá que vender 158 vasos en el mes para poder cubrir sus costos operativos y así poder comenzar a generar utilidades. Ahora bien, supóngase que Camilo vende, con los mismos costos fijos, 500 vasos de avena al mes, es decir, $600.000. Los costos variables totales para Camilo serán de$125.000. ¿A qué nivel de ventas logrará su punto de equilibrio? Respuesta: $189.600 aproximadamente, o lo que es lo mismo: 158 vasos x $1.200 =$189.600. Por su parte la curva de los costos fijos inicia en el punto de $ 150,000 y permanece constante, es decir, no guarda relación con el volumen de producción y ventas. El costo total comienza a partir de los costos fijos y corresponde a la sumatoria de los costos fijos más los costos variables, por unidad producida. Costo total = Costo fijo + (Número de unidades producidas por costo variable unitario), como se puede apreciar, los ingresos cruzan a los costos totales exactamente en $189,600. A partir de este nivel de ventas, 158 vasos aproximadamente, la zona de utilidades comienza a aparecer a la derecha del PE. Por debajo de los valores anteriores, aparecerá una zona de perdidas, puesto que el costo es mayor que el ingreso.

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UNIDAD 2

2.2 MODELOS DE EQUILIBRIO

2.2.3 Modelo utilizando la contribución al costo fijo y a la utilidad. Una manera diferente de hacer el análisis de equilibrio es teniendo en consideración su contribución a la utilidad. Siempre y cuando el precio de venta p rebase el costo variable por unidad v, la venta de cada unidad tendrá como resultado una contribución a la utilidad. La diferencia entre el precio de venta y el costo variable por unidad recibe el nombre de margen de utilidad. Matemáticamente: Margen de utilidad= p – v El margen de utilidad deberá utilizarse primero para subsanar los costos fijos generados en la producción, más una vez librados todos estos costos, el margen de utilidad por unidad contribuirá directamente en la utilidad. Ejemplo: Es decir, si un objeto es vendido a un precio p = $20.00 y el costo variable por unidad es de v= $5.00, su margen de utilidad será: Margen de utilidad= p – v Margen de utilidad= $20.00 – $5.00 Margen de utilidad= $15.00 Más si se considera que para producir se tiene que desembolsar por concepto de costo fijo la cantidad de $30, 000, los $15.00 pesos de margen de utilidad de cada producto primero deberán cubrir los costos fijos y hasta lograr cubrirlos en su totalidad comenzará su contribución a la utilidad. Para cubrir el costo fijo se necesita: Margen de utilidad (x productos) = Costo fijo Es decir: 15.00 (x) = 30 000 Despejando para x: x= 30, 000 / 15.00 x= 2000 unidades Esto quiere decir que solo contribuiremos a la utilidad una vez vendidas al menos 2000 unidades siendo la utilidad de $15.00 por unidad vendida a partir de este punto.

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UNIDAD 2

2.2 MODELOS DE EQUILIBRIO

2.2.4 Modelos de equilibrio para tomar producir.

decisiones de comprar o

Como se ha comentado anteriormente los modelos de equilibrio sirven para tomar decisiones principalmente con respecto a la producción. Cuando se trata de decidir si una empresa produce o compra algún artículo en particular deben tenerse en consideración los costos tanto fijos como variables de cada opción. Una vez considerados tales factores se determinan las funciones lineales que representarían la relación. Se determina el punto de equilibrio entre ambas funciones a través del método que se desee, ya sea el gráfico o el analítico. A partir del punto de equilibrio, la opción que tenga el costo por unidad menor será la mejor.

Ejemplo1: Suponga que un fabricante puede comprar un componente a un proveedor a un precio de $8.00 por unidad o bien puede invertir $ 40 000 en equipo y producir este componente a un costo $4.00 por unidad. Decida cual de las dos opciones es la mejor a un nivel de producción de 15 000 unidades.

El costo de comprar estaría determinado por: Comprar = (8.00) (x) El costo de producir estaría determinado por: Producir = 40 000 + (4.00) (x) Igualando ambas opciones se tiene: (8.00) (x)= 40 000 + (4.00) (x) El equilibrio se encontraría al producir x unidades, despejando para x tenemos: (4.00) (x) = 40 000 x = 10, 000 unidades Por lo que a partir de 10, 000 unidades la mejor opción será producir. Sí el nivel de producción es de 15 000 unidades la mejor opción es invertir en el equipo y producir en lugar de comprar.

EJEMPLO2: La gerencia de la compañía de controles Robertson debe decidir entre dos procesos de producción de su termostato electrónico modelo C. El costo mensual del primer proceso está dado por C1(x) = 20x + 10,000 dólares, donde x es la cantidad de termostatos producidos, y el costo mensual del segundo proceso está dado por C2(x)=10x+30,000 dólares. Si las ventas proyectadas son de 800 termostatos a un precio unitario de $40, ¿Cuál proceso debe elegir la gerencia para maximizar las ganancias de la compañía?

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UNIDAD 2

2.2 MODELOS DE EQUILIBRIO

Solución: El nivel operativo de equilibrio con el primer proceso se obtiene resolviendo la ecuación 40x = 20x + 10,000 20x = 10,000 X = 500 Lo que da como resultado en el primer proceso que el punto de equilibrio esta cuando se producen 500 unidades. En el segundo proceso se obtiene la ecuación 40x = 10x + 30,000 30x = 30,000 X = 1,000 Lo que da como resultado en el segundo proceso que el punto de equilibrio esta cuando se producen 1,000 unidades. No perdamos de vista que el punto de equilibrio nos indica el número mínimo de unidades que se deben de producir para que la compañía deje de tener pérdidas. Entonces analizando, el primer proceso empieza a ganar a partir de producir 501 unidades, y en el segundo proceso empieza a ganar hasta 1001 unidades, por lo tanto si la gerencia decide producir 800 unidades, lógicamente se escoge el primer proceso ya que empieza a ganar desde 501 unidades.

Proceso 1 Proceso 2

Ingreso 40x 40x

C. Total 20x+10,000 10x+30,000

P. Equilibrio 500 1,000

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Producción propuesta 800 800

Viable ok

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UNIDAD 2

2.2 MODELOS DE EQUILIBRIO

EJEMPLO 3: En referencia al ejemplo 2, ¿Cuál proceso debe elegir la gerencia si las ventas proyectadas son de a) 1,500 unidades, b) 2,000 unidades y c) 3,000 unidades?

Para poder tomar una decisión en este ejemplo, tendría que basarme en la utilidad de cada producción diferente de unidades y de cada proceso para después comparar y determinar cuál proceso me conviene más en cada uno de los incisos. Para mayor facilidad manejamos una tabla con los datos siguientes.

Proceso 1 Proceso 2

Proceso 1 Utilidad

Proceso 2 Utilidad

Utilidad 20x-10,000 30x-30,000

Utilidad(1,500) $20,000 $15,000

Utilidad(2,000) $30,000 $30,000

Utilidad(3,000) $50,000 $60,000

20x-10,000 para 1,500, 2, 000 y 3,000 unidades 20(1,500) - 10,000 = 30,000 – 10,000 = 20,000 20(2,000) – 10,000 = 40,000 – 10,000 = 30,000 20(3,000) – 10,000 = 60,000 – 10,000 = 50,000

30x – 30,000 para 1,500, 2,000 y 3,000 unidades 30(1,500) – 30,000 = 45,000 – 30,000 = 15,000 30(2,000) – 30,000 = 60,000 – 30,000 = 30,000 30(3,000) – 30,000 = 90,000 – 30,000 = 60,000

Para producir 1,500 unidades vemos que en el proceso 1 la utilidad es mayor, para producir, 2,000 unidades, nos damos cuenta que en los dos procesos la utilidad es igual, por lo tanto cualquiera de los en este caso es viable, y para producir, 3,000 unidades observamos que en el proceso 2 la utilidad es mayor entonces nos conviene utilizar el proceso 2.

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UNIDAD 2

2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2.3 Sistemas de ecuaciones lineales. Sistema de ecuaciones lineales En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. Sistemas lineales reales En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los coeficientes de las ecuaciones son números reales. Representación gráfica

La intersección de dos planos que no son paralelos ni coincidentes es una recta. Un sistema con n incógnita se puede representar en el n-espacio correspondiente. En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución. MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie. Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica. Tipos de sistemas Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:  

Sistema incompatible si no tiene ninguna solución. Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre: o Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución. o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistemas compatibles indeterminados Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema: {

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

X + 2y = 1

2x + 4y = 2

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es -0.5 y que pasa por el punto (1,0), por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos. 



En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente. Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero.

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma: 1. Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema 2. Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución 3. Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución ¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones? 1. Una solución: Los coeficientes de x e y proporcionales

de las dos ecuaciones no son

Ejemplo:

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

x +5y = 7

Solución Unica

2x -3y = 1

2. Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son Ejemplo:

4x -6y = 7

2x -3y = 1

3. Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra Ejemplo:

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2x -3y = 1

4x -6y = 2

2.3.1 Sistemas de ecuaciones de 2x2 y 3x3. suma y resta.

Método de eliminación

Sistema de ecuaciones. Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones. Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son: Hay exactamente una solución. Un número infinito de soluciones. No existe solución. Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES. Eliminación de una incógnita. Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos. MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Los métodos de eliminación son: 1º. Por adición o sustracción. 2º. Por igualación. 3º. Por sustitución. Suma y Resta o Reducción Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema: { No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así: -2(2x + 3y = 5) -4x – 6y = -10 Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x: -

4x – 6y = -10 5x + 6y = 4 --------------x =-6 x=-6

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de y es igual a:

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Igualación El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

{

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

3(22-3x) = 4x+1 65 = 13x X=5 Una vez obtenido el valor de la incógnita x, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la y. La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y. Sustitución El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema: {

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.

(

)

13x-66 = -1 13x = 65 x = 65/13 x =5 Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x = 5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7, con lo que el sistema queda ya resuelto. X = 5, y = 7

2.3.2 Método de eliminación Gaussiana de sistemas 2x2, 3x3 solución única. Método de Gauss La eliminación de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico. El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 2 incógnitas, la segunda ecuación tiene 1 incógnitas. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las dos incógnitas. Por ejemplo: 2x + 3y = 2 5x + 4y = 1

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2x + 5x +

3y = 4y =

2 1

R1 R2 R1

2 5 1

3 4 1 1/2

2 1 1

R2 R1 R2

5 1 0

4 1 1/2 -3 1/2

1 1 -4

R1 R2

1 0

1 1/2 1

1 14

R1 R2

x + 0 X = -20 Y = 14

3/2y = y =

1 14

Lo primero ponemos valores numéricos Como siguiente paso el 2 convertirlo en 1, R1(1/2)

Ahora el 5 hay que hacerlo cero, R1(-5)+R2 Ahora el -7/2 hay que hacerlo 1, R2(-2/7) Hasta aquí ya quedo en forma escalonada y definimos el nuevo sistema Si y = 14 sustituimos en la primera ecuación x + 3/2(14) = 1 X + 21 = 1 x = -20 y = 14

Ahora resolvamos un sistema por el método de Gauss de 3x3 como el siguiente: –

–

{

Lo primero que tenemos que hacer para resolver el sistema, es en la parte referente a las variables 1.- manejar valores numéricos 2.- el elemento del primer renglón y la primer columna, convertirlo en 1, para lograrlo se multiplica, todo el primer renglón por el inverso del número que exista y se maneja el mismo signo, que en este caso el elemento ya es 1 y se deja todo el R1 así como esta, no olvidemos que se pretende dejar la forma escalonada. 1 0 0 R1 R2 R3 R1 R2 R3

x 3x 2x 1 3 2

y 3y + y + -1 -3 -1

z = 2z = z = -1 2 1

1 0

1

2 16 9 2 16 9

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Entonces R1 se mantiene igual y se van a eliminar dentro de la columna 1 el 3 y el 2, para eliminar el 3, se multiplica el R1 por -3 y se suma a el R2, y para eliminar el 2, se multiplica el R1 por -2 y se suma al R3. R1 R2 R3

1 0 0

-1 0 1

-1 5 3

2 10 5

R1(-3)+R2 , R1(-2)+R3

Para que nos quede la forma escalonada podemos intercambiar el R2 y R3 y nos queda de la siguiente manera R1 R2 R3

1 0 0

-1 1 0

-1 3 5

2 5 10

Ahora vemos que ya nos quedó la forma escalonada nada más falta el 5 convertirlo en 1 y lo que hacemos es multiplicar el R3 por 1/5 y nos queda de la siguiente manera. R1 R2 R3

1 0 0

-1 1 0

-1 3 1

2 5 2

R3(1/5)

Volviendo al sistema de ecuaciones nos queda x

-y -z = 2 + y +3z = 5 z = 2 De donde vemos que z = 2, con este valor lo sustituimos en la ecuación anterior, para encontrar el valor de y. Y + 3(2) = 5 Y + 6 = 5, y = -1 Si sustituimos estos valores en la primera ecuación encontramos que X -(-1) - 2 = 2 X +1 -2 = 2, x = 3 Entonces concluimos que los valores son: x = 3, y = -1, y z = 2 Pongamos un ejemplo del cálculo de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.



Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños: x + y + z = 30



Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños: x + 3y = 2z + 20



También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños: x + y = 2z

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:

Aplicamos Gauss: R1 x + y + R2 x + 3y R3 x + y R1 1 1 R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R3

1 1 1 0 0 1 0 0

3 1 1 2 0 1 1 0

z = 2z = 2z = 1 -2 -2 1 -3 -3 1 -3/2 1

30 20 0 30 20 0 30 -10 -30 30 -5 10

Valores numéricos R1(-1)+R2 , R1(-1)+R3 R2(1/2) R3(-1/3)

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Si sabemos que el valor de z = 10, entonces sustituimos en la segunda ecuación y nos queda: Y – 3/2(10) = -5 Y -15 = -5 De donde y = 10, con estos dos valores conocidos, sustituimos en la primera ecuación: x + 10 + 10 = 30 x + 20 = 30 de donde x = 10 Entonces tenemos el valor de las tres incógnitas X = 10,

y = 10

z = 10

Ahora resolvamos un sistema de 3x3 por el método de Gauss-Jordan, que es continuación del método de gauss, en este método nos queda la matriz escalonada de la siguiente manera, es decir, quedan ceros abajo y arriba de la diagonal principal ( que está formada por todos los 1) 1 0 0

0 1 0

0 0 1 –

R1 R2 R3

3 -2 1

-2 2 2

8 1 -3

9 3 8

El proceso empieza en la primera columna y dentro de cada columna lo primero que tiene que hacerse es ubicar un pivote que en todas las columnas son los 1, que forman la diagonal principal, entonces el 3 hay que convertirlo en 1, por lo tanto hay que multiplicar el R1 por 1/3 y nos queda de la siguiente manera. R1 R2 R3

1 -2 1

-2/3 2 2

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8/3 1 -3

3 3 8

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Puesto que estamos trabajando con la primera columna el siguiente paso es convertir en cero el -2 y el 1, por lo tanto, para convertir en cero el -2, multiplicamos el R1(2) y se lo sumamos al R2, de manera similar, para convertir en cero el 1, multiplicamos R1(-1) y se lo sumamos al R3.

R1 R2 R3

1 0 0

-2/3 8/3 2/3 19/3 8/3 -17/3

3 9 5

R1(2)+R2, R1(-1)+R3

Terminamos la primera columna, pasamos a la segunda y otra vez el primer paso en cada columna es hacer 1 el elemento que está en la diagonal principal que en este caso es el 2/3, pero para convertir un elemento en 1, nada más se multiplica por el inverso y con igual signo, en este caso se multiplica el R2 por 3/2 y nos quedaría de la siguiente manera

R1 R2 R3

1 0 0

-2/3 8/3 1 19/2 8/3 -17/3

3 27/2 R2(3/2) 5

El siguiente paso es hacer ceros arriba y abajo del pivote que es el 1, pero para hacer cero el -2/3, multiplicamos el R2(2/3) y se lo sumamos al R1, de igual manera para hacer cero el 8/3, multiplicamos el R2(-8/3) y se lo sumamos al R3 y nos queda de la siguiente manera, si observamos nos damos cuenta que para hacer ceros, siempre se multiplica el renglón donde está el pivote ( que es el 1)y se suma al renglón, donde está el elemento a convertir.

R1 R2 R3

1 0 0

0 1 0

9 19/2 -31

12 R2(2/3)+R1, R2(-8/3)+R3 27/2 -31 R3(-1/31)

Ahora pasamos a la columna 3, y lo primero que tenemos que hacer es el -31 convertirlo en 1, para esto hay que multiplicar el R3 (-1/31), el R3 nos quedaría de la siguiente manera.

R1 R2 R3

1 0 0

0 1 0

9 19/2 1

12 27/2 1 R3(-19/2)+R2, R3(-9)+R1

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Por ultimo nos faltaría convertir en ceros el 19/2 y el 9 de la columna 3, ahora el pivote está en el R3, por lo tanto, para convertir en cero el 19/2, multiplicamos el R3(-19/2) y se lo sumamos al R2, para convertir el 9 en cero, multiplicamos el R3(-9) y se lo sumamos al R1, nos quedaría de la siguiente manera.

R1 R2 R3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3 4 1

Para finalizar nos damos cuenta que los valores para las variables, se encuentran en forma directa, tomando como referencia el último sistema en donde:

X=3

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Y = 4,

Z=1

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2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2.3.3 Aplicaciones a modelos económico- administrativos La teoría general de la administración es el campo del comportamiento humano que se ocupa del estudio de la administración en general, independiente de si esta es aplicada en organizaciones con ánimo de lucro (empresas) la administración hoy en día la administración es una área del conocimiento humano más complejo y llena de desafíos en cada organización el administrador soluciona problemas, dimensiona recursos, plantea su aplicación, desarrolla estrategias. En este sentido, la teoría de la administración general (TGA) es una disciplina eminentemente orientadora del comportamiento profesional en administración. La TGA se propone desarrollar la habilidad conceptual, sin prescindir por completo de las habilidades humanas y técnicas. En otros términos, pretende desarrollar la capacidad de pensar, definir situaciones organizacionales práctica de la TGA se desarrollan a través de las diferentes disciplinas especializadas en administración. Objetivos   

Proporcionar una visión general de la influencia de las tenías matemáticas de la administración principalmente en el proceso de toma de decisiones Mostrar las posibilidades de aplicación de modelos matemáticos en administración Introducir los conceptos básicos de la investigación de operaciones y sus diversa técnicas

Durante los últimos 30 años la teoría general de la administración ha recibido innumerables contribuciones de la matemática, bajo la formación de modelos matemáticos capaces de proporcionar soluciones a los problemas empresariales ya sea en las áreas de recursos humanos producidos, comercialización, finanzas o en la misma área de la administración general. Buena parte de las decisiones administrativas pueden tomarse con base en las soluciones sustentadas en ecuaciones matemáticas que simulan situaciones reales y obedecen a determinadas "leyes" o regularidades.

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UNIDAD 2

2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La teoría matemática aplicada a problemas administrativos es más conocida como investigación de operaciones (IO). Aunque esta denominación este consagrada universalmente, es muy genérica. Pese a que la teoría matemática no es propiamente una escuela bien definida (como la teoría clásica o la teoría de las relaciones humanas), es una tendencia muy amplia que se encuentra en muchos autores, cuyo número de seguidores y defensores es cada vez mayor. la teoría matemática hace énfasis en el proceso decisorio y lo trata de modo lógico y racional mediante un enfoque cuantitativo y determinista. Cuatro circunstancias básicas determinaron el surgimiento de la teoría matemática en la administración 1. El trabajo clásico sobre la teoría de los juegos de Von Neumann y Morgenstern (1947), posteriormente, Wald (1954) y Savage 1954 propiciaron una gran desarrollo de la teoría estadística de la decisión. 2. El estudio del proceso decisorio, por Herbert Simón con el surgimiento de la teoría de las decisiones, los estudiosos de la administración comenzaron a destacar la importancia de la decisión, más que la de la acción, dentro de la dinámica organizacional. la toma de decisiones tan importante para la teoría del comportamiento se considera un elemento de importancia primordial para el éxito de cualquiera sistema cooperativo. 3. La existencia de decisiones programables Herbert Simón dividió las decisiones en dos clases: cualitativa (no son programable y no pueden ser tomadas por el hombre) y cuantitativa (programables, y pueden ser tomadas por el hombre o maquinas). A pesar de la complejidad de decisiones y de la variable involucrada algunas decisiones pueden ser cuantificadas y representadas por modelos matemáticos. El desarrollo de los computadores. Los computadores posibilitaron la aplicación y desarrollo de técnicas y matemáticas en los últimos años .dicha aplicación y sus desarrollos solo fueron variables y ejecutables gracias al computador , el cual es capaz de efectuar en minutos operaciones que tardarían años si se hicieran en máquinas calculadoras Convencionales. Necesidades de emplear modelos matemáticos en administración La teoría matemática se preocupa por crear modelos matemáticos capaces de administrar situaciones reales en la empresa. La creación de los modelos se orienta, principalmente, hacia la solución de problemas que se presentan en la toma de decisiones. Como ya se expresó, un modelo es la representación de alguna cosa o el estándar de algo que se va a hacer a través del ser representa la realidad. En la teoría matemática el modelo se usa general mente para simular situaciones futuras y para evaluar la probabilidad de su ocurrencia.

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2.4 PROBLEMARIO 2

2.4 Problemario 2

1. El sueldo de un vendedor (ingresos del vendedor) está dado por la función I(x)=1.5x+300, el número 300 representa el sueldo fijo, es decir el valor independiente de las ventas (valores de x) del vendedor. El número de unidades vendidas por el empleado. ¿Cuál es el sueldo mensual mínimo y máximo que podría cobrar el vendedor?, tomando en cuenta 2. La empresa CELIMA, fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por $20 000, costos de producción de $ 20 por unidad y un precio de venta unitario de $ 30. Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancias para CELIMA. 3. Al decidir sobre abrir una nueva planta de fabricación, los analistas de la empresa han establecido que una función razonable para el costo total de producir x artículos es C(x) = 500 000 + 4.75x a) Encuentre el costo total de producir 100 000 artículos. b) Encuentra la razón de cambio del costo de los artículos por producirse en esa planta. 4. Luthiers, fabricante de guitarras, asume que las ventas satisface la relación S(x)=300x +2 000, donde S(x) representa el número de guitarras vendidas en el año x, con x= 0 correspondiente al año 1998. a) Calcula las ventas del año 2005. b) El fabricante necesitaba vender 4 000 guitarras para el año 2007 con el fin de pagar un préstamo. ¿Se logró la meta con estas ventas? 5. Chiclayo Express debe contratar a un distribuidor de mercadería para un radio de 500 km alrededor de su local. Las ofertas que recibe de dos transportistas son las siguientes: 1. Transportes Exacto: $0.50 por km 2. Transporte Veloz, $0. 5 de base y $. 0,30 por km a. Realiza las gráficas para x kilómetros en los dos casos. b. ¿Qué distribuidor es más barato para un recorrido de 20 km?, ¿y para 460 km? c. ¿En qué caso cobrarán lo mismo? 6. Para invitar a un concierto, Pedro tiene dos posibilidades: Hacerse socio del club organizador del concierto por $ 70 y pagar las entradas a $ 10 cada una o Pagar cada entrada a $ 15, Sea n el número de los amigos que invita Pedro: a) Obtener en función de n el precio a pagar en los dos casos. b) Si finalmente Pedro va al concierto con 6 amigos, ¿qué alternativa de pago le conviene?

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UNIDAD 2

2.4 PROBLEMARIO 2

7. Análisis de equilibrio: Sunset, fabricante peruano de tablas de surf, tiene gastos fijos mensuales de $ 20 000 y un costo unitario de producción de $ 400. Las tablas se venden a $700 cada una. a) Traza la gráfica de la función de costos y la función de ingresos, y determine gráficamente el punto de equilibrio. b) Encuentre el punto de equilibrio en forma algebraica. c) Trace la gráfica de la función de ganancia. d) ¿En qué punto cruza la gráfica de la función de ganancia el eje x? e) Interprete su resultado. 8. La gerencia de la empresa BACKUS S.A. determina que los costos fijos mensuales correspondientes a la división que fabrica la gaseosa VIVA ascienden a $ 12,100. Si el costo de producción de cada caja de gaseosa es de $12 y cada caja se vende a $ 20. Encuentra las funciones de costos, de ingresos y las ganancias de la compañía. 9. Movistar presenta nuevas opciones para llamar de celular a celular, tiene la promoción habla más $0.10 por minuto a partir del 2° minuto. Si costo del primer minuto es de $0.50 a) ¿Cuál es la función que expresa esta promoción? b) Si se compra una tarjeta de $10, y se hacen 3 llamadas a personas diferentes, la primera de 7minutos, la segunda de 5 minutos, ¿cuál es el crédito que se dispone al finalizar la segunda llamada? ¿Cuántos minutos quedan para hacer con la tercera llamada? 10. Análisis de equilibrio. Auto-Time, fabricante de cronómetros, tiene gastos fijos mensuales de $48,000 y un costo unitario de producción de $8. Los cronómetros se venden en $14 cada uno. a) Trace las gráficas de la función de costos y la función de ingresos, determine gráficamente el punto de equilibrio. b) Encuentre el punto de equilibrio en forma grafica c) Trace la gráfica de la función de ganancia d) ¿En cuál punto cruza la gráfica de la función de ganancia el eje x? e) Interprete su resultado 11. Análisis de Equilibrio. Una división de la empresa Carter produce agendas para llevar un registro de los impuestos personales. Cada agenda se vende a $8. Los costos fijos mensuales realizados por la división son de $25,000 y el costo variable de producción de cada agenda es de $3. a) Determine el punto de equilibrio para la división. b) ¿Cuál debe ser el nivel de ventas para que la división logre una ganancia del 15% sobre el costo de producción de la agenda. 12. Análisis de Equilibrio. Una división de las empresas Gibson fabrica bombas para bicicleta. Cada bomba se vende a $9 y el costo variable de producción de cada unidad es igual al 40% del precio de venta. Los costos fijos mensuales realizados por la división son de $50,000. ¿Cuál es el punto de equilibrio de la división?

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UNIDAD 2

2.4 PROBLEMARIO 2

13. Análisis de Decisiones. Un producto puede fabricarse con la máquina I o la máquina II. El fabricante estima que los costos fijos mensuales por el uso de la máquina I son de $18,000 y de $15,000 con la maquina II. Los costos variables de fabricación de una unidad del producto utilizando la máquina I y la máquina II son de $15 y $20 respectivamente. El producto se vende a $50 cada uno. a) Halle las funciones de costos asociadas con el uso de cada máquina. b) Grafique las funciones de costos de a) y las funciones de ingresos en el mismo conjunto de ejes. c) ¿Cuál máquina debe elegir la gerencia para maximizar su ganancia, si las ventas proyectadas son de 450 unidades, 550 unidades, 650 unidades y 1000 unidades? d) ¿Cuál es la ganancia para cada caso en c? Resolver los siguientes sistemas por el método de suma y resta e indicar el tipo de solución que existe. {

{

16 {

Plantear y resolver los siguientes problemas por el método de suma y resta 17. Un moderno buque de turismo tiene camarotes dobles (dos camas) y simples (1 cama). Si se ofertan 65 camarotes que en total tienen 105 camas, averiguar el número de camarotes de cada tipo. 18. Una fábrica de agua lavandina ofrece dos tipos de producto. Uno de ellos (lavandina A) contiene 12% de materia activa, y el otro (lavandina B) contiene 20% de materia activa. ¿Cuántos litros de cada uno deben utilizarse para producir 100 litros de agua lavandina con 15% de materia activa? 19. Cuántos objetos tiene Anibal y cuántos Bernardo sabiendo que si Bernardo le da a Anibal 5 objetos, éste tiene el triple de los que le quedan a Bernardo y que ambos quedan con el mismo número de objetos si Anibal le da a Bernardo 6 objetos? Resolver los siguientes sistemas por el método de Gauss e indicar que tipo de solución tiene.

20. {

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{

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UNIDAD 2

2.4 PROBLEMARIO 2

Plantear y resolver los siguientes problemas por el método de Gauss 22. Agricultura. La granja Johnson tiene 500 acres de terreno destinados al cultivo de maíz y trigo. El costo respectivo de los cultivos (incluyendo semillas y mano de obra) es de $42 y $30 por acre. El señor Johnson dispone de $18,600 para realizar este cultivo. Si desea utilizar toda la tierra destinada a estos cultivos y todo el presupuesto correspondiente, ¿Cuántos acres debe plantar de cada cultivo? 23. Inversiones. Ariana tiene un total de $30,000 invertidos en dos tipos de bonos que producen 8% y 10% de interés simple por año, respectivamente. Si los intereses anuales que recibe suman $2,640, ¿Cuánto dinero ha invertido en cada bono? 24. Transporte. El número total de pasajeros matutinos de cierta línea de autobuses urbanos es de 1000. Si el pasaje de niño cuesta 25 centavos, el de adulto 75 centavos y el ingreso total obtenido al cobro de los pasajes es de $650, ¿Cuántos niños y cuantos adultos utilizaron el autobús en la mañana? Resolver por el método de Gauss-Jordán los siguientes sistemas:

25.

26.

27.

28.

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UNIDAD 2

2.4 PROBLEMARIO 2

29.

30.

}

31.

}

32.

33.

34.

}

}

Plantear y resolver los siguientes problemas por el método de Gauss-Jordán 35. Inversiones. Miguel tiene un total de $2,000 depositado en dos instituciones de ahorro. Una paga un interés simple con una tasa de 6% por año, y la otra un interés simple con la tasa de 8% por año. Si miguel gano un total de $144 por concepto de intereses durante un solo año, ¿Cuánto dinero tiene depositado en cada institución? 36. Decisiones gerenciales. La gerencia de Freeman Rent-A-Car ha asignado $840,000 para comprar 60 automóviles nuevos y agregarlos a su flotilla para renta. Elegirán vehículos de tamaño pequeño, medio y grande, cuyo costo respectivo es de $10,000, $16,000 y $22,000 cada uno. Dé dos opciones para el comprador. (Observación: las respuestas no serán únicas)

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UNIDAD 2

2.4 PROBLEMARIO 2

37. Inversiones. Los esposos García disponen de $100,000 para invertir en acciones, bonos y una cuenta en el mercado de dinero. Las acciones tienen un valor de recuperación de 12% por año; los bonos, 8%, la cuenta del mercado de dinero, 4%. Ellos han convenido que la cantidad invertida en acciones debe ser igual a la suma de la cantidad invertida en bonos y el triple de la suma invertida en la cuenta del mercado del dinero. ¿Cómo deben distribuir sus recursos si necesitan un ingreso anual de $10,000 por sus inversiones. 38. Sociedades de Inversión. La gerencia de una sociedad de inversión tiene un fondo de $200,000 para invertir en acciones. A fin de alcanzar un nivel aceptable de riesgo, las acciones consideradas se han clasificado en tres categorías: de alto, mediano y bajo riesgo. La gerencia estima que las acciones de alto riesgo tendrán una tasa de recuperación de 15% por año; las de mediano, 10% por año, y las de bajo, 6% por año. La inversión en las acciones de bajo riesgo será el doble de la suma invertida en las otras dos categorías. Si el objetivo de la inversión es tener una tasa promedio de recuperación de 9% por año sobre la inversión total, ¿Cuánto se debe invertir en cada tipo de acción?

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UNIDAD 3 ALGEBRA MATRICIAL Y DETERMINANTES

UNIDAD 3 - ALGEBRA MATRICIAL Y DETERMINANTES

3.1 VECTORES

3 Algebra matricial y determinantes 3.1 Vectores Antes de empezar a hablar de las matrices es necesario analizar un vector para que entendamos mejor lo que es una matriz que es un conjunto de vectores y maneja las mismas propiedades.

3.1.1 Definición Se llama vector de dimensión N a una tupla de N números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión N se representa como (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector v, perteneciente a un espacio

se representa como:

,

donde

Componentes de un vector

En física, un vector es un tipo de representación geométrica para representar una magnitud física definida por un punto del espacio donde se mide dicha magnitud, además de un módulo, su dirección y su sentido

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UNIDAD 3 - ALGEBRA MATRICIAL Y DETERMINANTES

3.1 VECTORES

Consideremos que tenemos tres vectores

⃗

( )

⃗⃗

( )

⃗

( )

En cada vector tenemos tres elementos en forma de columna, en el vector ⃗ el subindice del elemento nos representa la posicion que ocupa, por ejemplo el lo que nos indica es que este elemento ocupa, la primera posicion de la columna o que es parte del primer renglon, el nos indica que estamos hablando de un elemento del renglon 2 y el que esta ubicado en el renglon 3 y asi se considera respectivamente para cada vector tomando en cuenta los subindices. La dimencion de cada vector es de 3x1, ¿por que consideramos esto? Por que tenemos en el vector, 3 renglones y una columna, para dimencionar un arreglo matricial siempre se considera primero el numero de renglones y en seguida el numero de columnas. Si juntamos los tres vectores, ¿Qué pasaria?

⌊

⌋

Se forma una matriz en la cual la dimencion sera de 3x3 puesto que tenemos tres renglones y tres columnas

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UNIDAD 3

3.2 INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES

3.2 Introducción a las matrices 3.2.1 Definicion Es un conjunto rectangular ordenado de elementos en el cual cada elemento toma en cuenta el renglon y la columna a la que pertenece para ubicar su posicion.

A = [

]

Por ejemplo la matriz A tiene una dimencion de 2x3 pero ¿Por qué? Bueno el numero de renglones es 2 y el numero de columnas es 3, recordemos que siempre para dimencionar una matriz, se considera primero el numero de renglones y despues el numero de columnas.

Recordemos que un vector se representa con letras minusculas y una flecha en la parte superior v,u ,a b, c…….. sin embargo las matrices se representan por letras mayusculas A,B,C,D……….

B = [

]

En este caso para la matriz B la dimencion es de 3x2, sabemos que el numero de renglones es 3 y el numero de columnas es 2 Analizando la posicion de cada elemento en la matriz B, cada numero tiene un orden ya establecido, por ejemplo el 5 es el a11 , lo cual que me indica que esta en la posicion del primer renglon y la primera columna, esto hace referencia a considerar que en todo elemento aij , tiene dos sub-indices en donde i representa el renglon en el que se encuentra y j representa la columna. Por ejemplo el -2 es el a32 , lo cual me indica que pertenece al renglon 3 y a la columna 2, es necesario que se entienda la importancia de ubicar cada elemento da una matriz, por que en algunas operaciones que se veran mas adelante, por ejemplo para sumas o restas veremos que se suman o se restan elementos de iguales posiciones, o matrices de iguales dimenciones.

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UNIDAD 3

3.3 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

3.3 Tipos especiales de matrices 3.3.1 Vector renglón y columna Un Vector renglón es aquel en el cual todos los elementos forman un solo renglón por ejemplo

⃗

(

)

Un Vector columna es aquel en el cual todos los elementos forman una sola columna por ejemplo, en este vector columna todos los elementos están en la primer columna

⃗

(

)

3.3.2 Matriz Cuadrada Es aquella matriz en la cual el numero de renglones es igual al numero de columnas A3 = [

]

Diagonal Principal Es la diagonal que esta esta formada por los elementos en los cuales el renglon es igual a la columna por ejemplo a11, a22, a33, …….. ann, es decir son todos los elementos en los cuales el sub-indice i es igual al sub-indice j

⌊

⌋

3.3.3 Matriz Identidad Una Matriz Identidad es aquella en la cual, todos los elementos de la Diagonal Principal son 1 y todos los demas elementos de la matriz son 0, se representa por la letra I y siempre son cuadradas I3 = [

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]

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UNIDAD 3

3.3 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

Matriz Diagonal Una Matriz Diagonal es muy parecida a la matriz identidad, solamente que esta matriz en la diagonal no todos los elementos son 1 y todos los demas elementos son 0, se representa por la letra D D3 = [

]

Matriz Nula Una Matriz Nula es aquella en la cual todos los elementos son 0, se representa por la letra N N3 = [

]

3.3.4 Matriz Traspuesta Para obtener una matriz traspuesta a partir de cualquier matriz, los renlones de la matriz origen se convierten en columnas o al contrario las columnas de la matriz origen se convierten en renglones y se representa con la letra de la matriz origen y una t como exponente, es decir la traspuesta de la matriz A se representa como At , es decir el elemento aij se convierte en el elemento aji. A=[

]

Se convierte la matriz A a la matriz traspuesta, es decir el primer renglon se convierte en la primera columna y asi sucesivamente, de tal manera que si la dimension de la matriz origen es de 3x4 entonces la dimension de la matriz traspuesta es de 4x3

At =[

]

Propiedades para una Matriz Traspuesta (At)t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At

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UNIDAD 3

3.3 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

Matriz Triangular Superior Este tipo de matriz es aquella en la cual todos los elementos abajo de la diagonal principal son 0 y se identifica con TS como subindice, es decir todos los elementos en donde tienen valor de cero

ATS = [

]

Matriz Triangular Inferior Este tipo de matriz es aquella en la cual todos los elementos arriba de la diagonal principal son 0 y se identifica con TI como subindice, es decir todos los elementos en donde tienen valor de cero ATI = [

]

Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn. A=[

]

Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. A=[

]

Matriz regular Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa. Matriz singular Una matriz singular no tiene matriz inversa.

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UNIDAD 3

3.3 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

Matriz idempotente Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Matriz Simetrica Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At y la simetría existe con respecto a la diagonal principal de tal manera que el elemento aij = aji As = [

]

At = [

]

Para obtener una matriz simetrica a partir de cualquier matriz se aplica la siguiente formula

Matriz Antisimetrica Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = −At. y la antisimetría existe con respecto a la diagonal principal de tal manera que el elemento aij =- aji Aa = [

]

- At = [

]

Para obtener una matriz antisimetrica a partir de cualquier matriz se aplica la siguiente formula

Matriz ortogonal Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · At = I.

Matriz Probabilidad Una matriz Probabilidad debe tener las siguientes caracterizticas:  La sumatoria de todos los elementos de cada renglon debe ser igual a 1  Todos los elementos deben ser iguales o mayores a cero  Debe ser cuadrada Se representa por una P P=[

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]

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UNIDAD 3

3.4 OPERACIONES CON MATRICES

3.4 Operaciones con matrices 3.4.1 Suma y resta de matrices Dadas dos matrices de la misma dimensión, A = (aij) y B = (bij), se define la matriz suma como: A + B = (aij + bij) La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición. Si tenemos que: A=[

]

B=[

]

Entonces

A+B= [

] + [

A-B= [

] - [

] = [

] = [

] = [

] = [

]

]

Producto de un número real por una matriz Dada una matriz A = (aij) y un número real k , se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz de la misma dimensión que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. k · A = (k · aij)

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UNIDAD 3

3.4 OPERACIONES CON MATRICES

Propiedades 1

a · (b · A) = (a · b) · A

2

a · (A + B) = a · A + a · BA

3

(a + b) · A = a · A + b · A

4

1·A=A

3.4.2 Multiplicación de matrices Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B y la dimensión de la Matriz C nos la da el número de renglones de la Matriz A y el número de columnas de la Matriz B

Am x n x Bn x p = Cm x p El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. [

][

[

]

]

[

]

Propiedades 1 Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

2 Elemento neutro:

A·I=A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. 3 Distributiva del producto respecto de la suma: 4 No es Conmutativa:

A · (B + C) = A · B + A · C

A·B≠B·A

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UNIDAD 3

3.4 OPERACIONES CON MATRICES

Ejemplo

[

]

[

] [

[

] [

[

]

]

[

[

]

]

]

Podemos ver que en este caso, A · B ≠ B · A, de hecho ni siquiera tienen la misma dimensión, pues A · B ∈ M2x2 y B · A ∈ M3x3.

3.4.3 Representación matricial de ecuaciones Si tenemos un sistema de ecuaciones como el siguiente

De los valores numéricos que acompañan a las variables se forma la primera matriz

[

], de las variables se forma la matriz B en forma de columna

[ ] y la matriz C que está formada por los valores numéricos que completan la ecuación C

[ ], de tal manera que el producto de las matrices A y B es igual a la

matriz C. [

] [ ]

[ ]

y así aplicando las propiedades del producto matricial nos damos cuenta que llegamos al sistema de ecuaciones de donde partimos.

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UNIDAD 3

3.4 OPERACIONES CON MATRICES

En el siguiente sistema de 3x3 se sigue la misma metodología.

La matriz A = [

]

la matriz B = [ ]

y la matriz C = [ ]

Finalmente

[

] [ ]

[ ]

Y es así como se representa en forma matricial un sistema de ecuaciones

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UNIDAD 3

3.5 INTRODUCCIÓN A LOS DETERMINANTES

3.5 Introducción a los determinantes. Solución de un determinante de 2x2, 3x3 por método de columnas aumentadas y cofactores A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

A=

|

|

Determinante de orden 2

| |

|

|= a 11 a 22 − a 12 a 21

Ejemplo

Determinante de orden 3 Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

=

= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 − − a13 a22 a31 − a12 a21 a 33 − a11 a23 a32.

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UNIDAD 3

3.5 INTRODUCCIÓN A LOS DETERMINANTES

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Ejemplo

= 3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 − − 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 = = 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) = = 44 + 4 + 15 = 63 REGLA DE SARRUS Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular determinantes de orden 3. Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo − están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

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UNIDAD 3

3.5 INTRODUCCIÓN A LOS DETERMINANTES

Ejemplo

Menores y cofactores Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n − 1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

Se llama cofactor del elemento aij a su menor complementario anteponiendo: El signo es + si i + j es par. El signo es − si i + j es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una fila (o una columna) por sus adjuntos correspondientes: De tal manera que que si tomamos en cuenta el primer renglon y sus cofactores el Determinante de A sera:

Donde se multiplican los tres elementos del primer renglón por su respectivo cofactor, tomando en cuenta los signos.

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UNIDAD 3

3.5 INTRODUCCIÓN A LOS DETERMINANTES

Ejemplo

= 3(8+5) − 2(0−10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 Observemos que este método es especialmente útil si lo usamos apoyándonos en una fila (o columna) que tenga uno o más ceros, siendo más sencillo cuantos más ceros tenga. De antemano sabemos que podemos escoger el renglón o la columna que más nos convenga y el valor del determinante siempre debe ser el mismo. En nuestro ejemplo, facilitaría los cálculos hallar el determinante apoyándonos en la primera columna, puesto que tiene un cero:

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UNIDAD 3

3.6 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

3.6 Propiedades de los determinantes 1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales. |At|= |A

2. Si Posee dos filas (o columnas) iguales, entonces |A| = 0

3. Si todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos. |A| = 0

4. Si los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras. |A| = 0 R1 + R2 = R3

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UNIDAD 3

3.6 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

5. El determinante de una Matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

6. Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo, si el total de cambios de renglones y/o columnas es par el signo queda igual, pero si el total de cambios de renglones y/o columnas es impar entonces su valor solo cambia de signo.

7. Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía. Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.

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UNIDAD 3

3.6 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

8. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

9. Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

10. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes. |A · B| =|A| · |B|

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

3.7 Solución de la inversa de una matriz de 2x2, 3x3 3.7.1 Método de eliminacion gaussiana Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A−1, seguiremos los siguientes pasos: 1.- Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2.- Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1. R2 = R1(-1) +R2

R3 = R3 + R2

R2 = R3(-1) +R2

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

R1 = R1 + R2

R2 = (−1)R2

La matriz inversa es:

3.7.2 Método de cofactores o de la adjunta

Dada la Matriz

[

]

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

a) El menor complementario del elemento a31 b) El adjunto del elemento a23 Para calcular el menor complementario del elemento a31 elimino el renglón 3 y la columna 1 y se escribe el determinante de la matriz |

|

Para calcular el adjunto del elemento a23, A23

(

)

|

|

(

) (

)

( )

Calculo de la matriz inversa

1.- Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2.- Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

3.- Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4.- La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

3.7.3 Solución de ecuaciones de 2x2 y 3x3. Utilizando el método de la inversa y cramer Si tenemos el siguiente sistema de 2x2 utilizando el método de la inversa

De los valores numéricos del lado de las variables obtenemos la primera matriz vamos a llamarla A [

]

Enseguida obtenemos la matriz inversa por cualquiera de los métodos antes visto y tenemos que

[

]

Si multiplicamos la matriz inversa por el vector solución, tendremos las soluciones de las variables.

[

(

)( )

( )( )

][ ]

[ ]

( )( )

(

)( )

Por el método de la regla de cramer manejamos tres columnas, la primera corresponde a la variable x, la segunda corresponde a la variable y, la tercera corresponde a los valores numéricos. MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

Si tenemos que resolver el siguiente sistema.

La primera columna será [ ], la segunda columna será [ ] y la tercera columna será [ ]. Para obtener los valores por este método se manejan determinantes, así para obtener |

|

|

|

|

|

|

|

¿Qué fue lo que hicimos? Primero para obtener el valor de x, en la parte superior, se cambia la columna de las x (columna1), por la columna de los números independientes (columna3) y los valores de y (columna2) quedan iguales, enseguida se obtiene el determinante de este arreglo. En la parte inferior se colocan las columnas de los números que acompañan a las variables, es decir la columna1 y la columna2 y se obtiene el determinante de este arreglo, simplificando los valores de la parte superior y la parte inferior se obtiene el valor de x Para obtener el valor de y, en la parte superior, se cambia la columna de las y (columna2), por la columna de los números independientes (columna3) y los valores de x (columna1) quedan iguales, enseguida se obtiene el determinante de este arreglo. En la parte inferior el valor es igual que el anterior, puesto que es el determinante del sistema, simplificando los valores de la parte superior y la parte inferior se obtiene el valor de y Ahora veamos un ejemplo de 3x3 primero por el método de la inversa.

De los valores numéricos del lado de las variables obtenemos la primera matriz vamos a llamarla A MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

[

]

Enseguida obtenemos la matriz inversa por cualquiera de los métodos antes visto y tenemos que

⁄

[

⁄

⁄ ⁄

⁄ ] ⁄

Si multiplicamos la matriz inversa por el vector solución, tendremos los valores de x, y yz

⁄

[

⁄

⁄

( )( ) (

)( )

( )( )

⁄

( )(

)

)(

(

)(

(

⁄ ][ ⁄

( )

)

]

)( )

( )( ) (

[ ]

( )

)( )

Ahora resolvemos el mismo sistema por la regla de cramer

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

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. Si comparamos los valores obtenidos por los dos métodos nos damos cuenta que los resultados son exactamente los mismos, por lo tanto en base a nuestra apreciación personal tomaremos la decisión de utilizar el más viable

3.7.4 Aplicaciones de matrices Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables. Para administración y finanzas es necesario si se conoce que para las ventas hay que llegar a un punto de equilibrio dado por la suma de utilidad - costos de producción, a groso modo. Además si de los costos de producción se conoce que es igual a la suma de los gastos operacionales y los gastos no operacionales. De los cuales se derivan muchas variables, por tanto usando las matrices se puede calcular el valor de cada variable en el sistema de ecuaciones simultáneas que se requiera por más complejo que este sea y aplicadas en todos los ámbitos que sean necesarios. Describir movimientos hasta ubicar puntos en espacios tridimensionales. Los sistemas de ecuaciones lineales por lo general representan líneas rectas en un sistema de coordenadas, son miles las aplicaciones que le puedes dar a la ingeniería aunque sin duda las telecomunicaciones, la ingeniería civil, dependen más de las representaciones cartesianas, pero además es sumamente importante la aplicación que se presenta en el área de la Economía, la Administración. En Ingeniería Eléctrica: Una aplicación puede ser el uso de matrices en la resolución de redes resistivas redes resistivas, capacitivas e (incluso capacitivas. También puedes usar las matrices en la teoría de Redes de Dos puertos (CUADRIPOLOS) MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

Ejemplo: El precio para los productos A, B, C y D por unidad son los siguientes: $3.80, $4.90, $6.50 y $10.80; y las cantidades que se adquieren de cada producto son: A = 500, B = 600, C = 850 y D = 720. Determina el costo de las adquisiciones. Solución aplicando matrices

[

]

[

]

Se cumple la condición de que el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda matriz y que la dimensión obtenida del producto de las matrices P y C = R, es de 1x1y se obtiene tomando en cuenta el número de renglones de la primera matriz por el número de columnas de la segunda matriz. En donde:

R = [(3.80)(500) + (4.90)(600) +(6.50)(850) + (10.80)(720)] = 18141 (

)(

)

Por lo tanto el costo total es de $18,141 Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B). Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación de expresa con un 0. Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente. En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas. Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar: 



Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unan un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par de puntos. Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada linea, mediante una flecha.

Construcción de una matriz a partir de un grafo 1. Se crea una matriz cero, cuyas columnas y filas representan los nodos del grafo. 2. Por cada arista que une a dos nodos, se suma 1 al valor que hay actualmente en la ubicación correspondiente de la matriz. Si tal arista es un bucle y el grafo es no dirigido, entonces se suma 2 en vez de 1. Finalmente, se obtiene una matriz que representa el número de aristas (relaciones) entre cada par de nodos (elementos). Existe una matriz de adyacencia única para cada grafo (sin considerar las permutaciones de filas o columnas), y viceversa.

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

Ejemplo La siguiente tabla muestra dos grafos y su respectiva matriz de adyacencia. Note que en el primer caso, como se trata de un grafo no dirigido, la matriz obtenida es simétrica: Estos tipos de grafo pueden verse en la figuras: Grafo no dirigido

Matriz de adyacencia

Grafo dirigido

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

Matriz de adyacencia

El post de hoy puede que sea algo extenso, pero bastante interesante y efectivo. Vamos a tratar un tema económico a través de matrices en Excel, para este caso vamos a usar economía familiar, que entra dentro de nuestra vida diaria y nos va a ser más fácil de entender, quizás sea algo complicado por ello vamos a ir lentos y paso a paso.

Ejemplo 1º Voy a plantear un problema por lo que vamos a analizar su enunciado y ver que nos piden.

Tres familias F1, F2 y F3 tienen los siguientes consumos de pan, carne y cereales: F1 consume 160 kg de pan, 200 Kg de carne y 1,5 Kg de mantequilla F2 consume 200 Kg de pan, 230 Kg de carne y 2 Kg de mantequilla F3 consume 90 Kg de pan, 150 Kg de carne y 1,75 Kg de mantequilla. Los precios, en pesos, del pan, de la carne y de la mantequilla en los años 2005,2006, 2007 y 2008 fueron: 2005: el pan costaba$1,45, la carne $13 y la mantequilla $15 2006: el pan costaba $1,56, la carne $13 y la mantequilla $16,3 2007: el pan costaba $1,71, la carne $13,5 y la mantequilla $16 2008: el pan costaba $1,80, la carne $14 y la mantequilla $18

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

Vamos a utilizar matrices para calcular el gasto anual de cada familia en el total de los cuatro productos. 2º Vamos a definir dos matrices: la matriz A para los consumos y la matriz B para los Precios de los productos en los diferentes años. A partir de ellas calcularemos el gasto Anual.

Matriz A Familia1 Familia2 Familia3

Pan Carne Mantequilla

Pan(Kg) 160 200 90

Año 2005 $1.45 $13 $15

Carne (Kg) 200 230 150

Matriz B Año 2006 $1.56 $13 $16.3

Año 2007 $1.71 $13.5 $16

Mantequilla(Kg) 1.5 2 1.75

Año 2008 $1.8 $14 $18

3º Ahora vamos a calcular el gasto anual: Como el gasto es el resultado de multiplicar el consumo (en kg) por el precio del Kilogramo debemos calcular el producto A⋅ B. Este producto es posible porque A es una Matriz de dimensión 3× 3 y la dimensión de B es 3 x 4. Por tanto la matriz producto tendrá dimensión 3 x 4. Para que se entienda mejor se ha puesto 160, que es la primera cifra de la Matriz en B4 y 1,45 que es la primera cifra de la segunda matriz en F4, por lo que el resto de datos situados en celdas se intuyen, 200 en C4, 1,56 en G4… etc. 4º La matriz resultado va a quedar de esta manera, os pongo las celdas que voy a usar, porque cada una va a tener una fila:

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UNIDAD 3

3.7 SOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2X2, 3X3

5º Aplicación de la fórmula de producto matricial en cada celda: L4: =B4*F4 + C4*F5 +D4*F6 L5:=B5*F4 + C5*F5 +D5*F6 L6:=B6*F4 + C6*F5 + D6*F6 M4:=B4*G4+C4*G5+D4*G6 M5:=B5*G4+C5*G5+D5*G6 M6:=B6*G4+C6*G5+D6*G6 N4:=B4*H4+C4*H5+D4*H6 N5:=B5*H4+C5*H5+D5*H6 N6:==B6*H4+C6*H5+D6*H6 O4:=B4*I4+C4*I5+D4*I6 O5:=B5*I4+C5*I5+D5*I6 O6:=B6*I4+C6*I5+D6*I6 Por lo que la matriz final será: Matriz Resultado

Gasto Total F1 Gasto Total F2 Gasto Total F3

Año 2005 $2854.5 $3310.0 $2106.75

Año 2006 $2874.05 $3334.6 $2118.92

Año 2007 $2997.6 $3479.0 $2206.9

Año 2008 $3115.0 $3616.0 $2293.50

Por lo que ya sabemos que gasto total de pesos ha tenido cada familia en cada año respecto a la cantidad de compra y precio de tres tipos de alimentos diferentes. Podemos analizar los datos obtenidos del producto matricial, por ejemplo, ver en qué año se ha gastado más, que familia ha gastado más, bajo qué circunstancias... etc.

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UNIDAD 3

3.8 PROBLEMARIO 3

3.8 Problemario 3 Dadas las matrices:

Calcular: 1.-

A + B;

A − B;

A x B;

B x A;

At.

2.- Demostrar que: A2 − A − 2I = 0, siendo:

. Hallar An, para n

3.- Sea A la matriz

4.- Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz Para que resulte la matriz

.

5.- Calcular la matriz inversa de:

6.- Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

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UNIDAD 3

3.8 PROBLEMARIO 3

7.- Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. a) Representar la información en dos matrices. b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos. 8.- Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones: (A + B)2;

(A − B)2;

(B)3;

A · Bt · C.

9.- Sean las matrices:

Justificar si son posibles los siguientes productos: a) b) c) d)

(At · B ) · C (B · Ct ) · At C Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C Determina la dimensión de M para que At · M sea una matriz cuadrada.

10.- Siendo: Resolver la ecuación matricial: A X + 2 B = 3 C 11.- Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

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UNIDAD 3

3.8 PROBLEMARIO 3

a) Representar esta información en dos matrices. b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería. 12.- Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

13.- Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

14.- Calcular la matriz inversa por el método de la adjunta de:

15.- Hallar por el método de la adjunta la matriz inversa de:

16.- ¿Para qué valores de x la matriz A no admite matriz inversa?

17.- Para qué valores de x la matriz A no admite matriz inversa?

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UNIDAD 4 DIFERENCIACION Y APLICACIONES

UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

4 Diferenciación y aplicaciones 4.1 Límites y continuidad Variables y constantes Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de análisis, un número ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante. Constantes arbitrarias, o parámetros, son aquellas a las que se pueden asignar valores numéricos, y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Las constantes usualmente se representan por las primeras letras del alfabeto. Así, en la ecuación de la recta, x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre la línea, mientras que a, y b son las constantes arbitrarias que representan la abscisa en el origen y la ordenada en el origen, las cuales se supone que son valores definidos para cada recta.

4.1.1 Límite de las funciones El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto). Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites). Lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites). Lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . Lim g(x) Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el límite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS Lim (f(x)/g(x)) = Lim f(x) / Lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f(g) , en el punto x = a, es l*m Lim (f(x).g(x)) = Lim (f(x). Lim g(x) Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.

4.1.2 Propiedades de los límites.

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Límite de una variable. La noción de una variable que se aproxima a un límite se encuentra, en la geometría elemental, el establecer o deducir la fórmula que le da el área al círculo. Se considera el área de un polígono regular inscrito con un numero n cualquiera de lados, y se supone, después, que ‘’n’’ crece infinitamente. El área variable tiende así hacia un límite y este límite se define como área del círculo. En este caso, las variable ‘’v’’ (área) aumenta indefinidamente, y la diferencia a – v (siendo ‘’a’’ el área del circulo) va disminuyendo hasta que, finalmente, llega a ser menor que cualquier numero positivo escogido de antemano, sin importar lo pequeño que este se haya elegido. El concepto de límite se precisa mediante la siguiente definición: Se dice que la variable ‘’v’’ tiende a la constante ‘’l’’ como límite, cuando los valores sucesivos de ‘’v’’ son tales que el valor numérico de la diferencia v-l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier numero positivo predeterminado tan pequeño como se quiera La relación así definida se escribe . Por conveniencia, nos serviremos de la notación , que se leera ‘’ v tiende hacia el límite l ‘’ o, más brevemente, ‘’ v tiende a l ‘’

Es evidentemente que

al crecer ‘’n’’ es decir,

Si sobre una línea recta, se señala el punto ‘’L’’ que corresponde al límite ‘’l’’, y se coloca a ambos lados de ‘’L’’ la longitud de ε , sin importar lo pequeño que este sea, entonces se observara que los puntos determinados por ‘’v’’ caerán todos, finalmente, dentro del segmento que corresponde al intervalo( )

Consideremos algunos ejemplos 1.- Demostrar que el

(

)

Demostración La función dada es la suma de dos funciones ( (

)

. En primer lugar hallaremos los límites de estas

) ( )

Entonces el límite buscado es igual a 4+8 = 12

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Demostración (

Considerando el numerador En cuanto al denominador

(

) )

Entonces tenemos que el resultado buscado es

4.1.3 Continuidad, tasa de cambio Continuidad Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos". En las siguientes gráficas de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el punto x = a de su dominio fig. (a) y (b) y la otra fig. (c) continúa en todo su dominio Intuitivamente, la comunidad significa que un pequeño cambio en la variable ´´x´´ implica solo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste en un solo trozo de la curva La continuidad de la función ( ) para un valor que significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor de ( ) cuando esta suficientemente cerca de

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Consideremos ahora la función

y 





 x 

























Esta ecuación da un valor de y para cada valor de x, con excepción de x = 0; ¿Por qué?, si se fijan en la gráfica en el eje de las y en donde x = 0, nunca va a haber ningún valor y eso lo comprobamos en la función, en donde vemos que el denominador nunca va a tomar el valor de cero por que nos daría una indeterminación. La grafica es una hipérbola equilátera, Si ‘’x’’ aumenta continuamente en cualquier intervalo (a, b) que no incluya x = 0, entonces y decrecerá continuamente desde hasta

, y el punto P (x, y) describirá la curva entre los puntos correspondientes

( ), ( ) . En este caso decimos que ‘’ la función es continua para todos los valores de ’x’ con excepción de x = 0 ‘’. No existe en la gráfica un punto correspondiente a x = 0. Infinito( ) Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que éste sea, decimos que v se vuelve infinita. Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente;

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Si solamente toma valores negativos, se hace infinita negativamente. La notación que se emplea para los tres casos es:

Ciertos límites particulares que se presentan frecuentemente se dan a continuación. La constante c no es cero

Estos límites particulares son útiles para hallar el límite del cociente de dos polinomios cuando la variable se hace infinita. Ejemplo Demostrar que el Primero dividir numerador y denominador entre x3 porque es la mayor potencia que entra en la fracción. Entonces tenemos:

El límite de cada término que contiene a x. tanto en el numerador como en el denominador del segundo miembro. Es cero. Por consiguiente. En cualquier caso análogo se procede, por lo tanto, como sigue: Se dividen numerador y denominador por la mayor potencia de la variable que entre en la fracción.

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

4.1.4 Problemario 4.1 Encontrar cada una de los siguientes límites

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

√

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

√

17.-

(

)

√

(

)

(

)

16.18.-

Tasa de cambio La derivada de una función se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. A través de la derivada se puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso marginal, dadas las respectivas funciones de ganancia, costo total e ingreso total, además de otras tasas de cambio como de la tasas de cambio de las poblaciones y de la velocidad. También se puede utilizar para hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre la curva. Además la derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizar el ingreso total maximizar la ganancia y determinar la elasticidad en la demanda

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Ejemplo1 (contaminación) Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petróleo.

Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m si el espesor disminuye a razón de 10 cm/hora en el instante en que r = 50m Solución. Podríamos pensar en hallar la expresión R(t) para derivarla posteriormente. Sin embargo no se te indica como dato del problema la forma en que el espesor h varía con el tiempo por lo que no lograremos encontrar R(t). Debes encarar el ejercicio partiendo de la relación entre R y h que nos proporciona el volumen de la mancha que sabemos se mantiene constante. Tendremos: V = π.R2.h para

t≥0 (1)

Derivemos ambos miembros de la igualdad (1) respecto de (t): (

)

(2)

Como V es constante, es decir independiente de t, sabemos que:

lo que nos

permite concluir de (2) que:

Despejando

obtenemos

(3)

Como tenemos el dato de que la altura de la mancha disminuye a razón de 10 cm/hora Será: La velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 m. resulta entonces cercana a los 20 m/hora

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Ejemplo 2 (Demanda) Una fábrica vende q miles de artículos fabricados cuando su precio es de p$/unidad, se ha determinado la relación entre p y q es: √ Si el precio p del artículo es de $9 y se incrementa una tasa de $0.20 por semana. a) Calcula el número de artículos vendidos a 9 pesos. b) ¿con que rapidez cambia la cantidad de unidades q, vendidas por semana cuando el precio es de 9 pesos? Ejemplos 3 (contaminación) Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de monóxido de carbono CO2 en el aire, en partes por millón (ppm) , en una ciudad , está relacionado con la población p expresada en miles de habitantes por la siguiente expresión.

( )

√

El aumento de la población en esta ciudad en t años se estima que está dado por la ( ) relación siguiente en miles de habitantes. ¿Con que rapidez crees que estará variando la concentración de CO2 en esa ciudad dentro de 3 años?

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

4.2 Derivadas algebraicas con fórmulas Entiéndase la derivada como la pendiente de la recta tangente a la función en un punto dado, lo anterior implica que la función debe existir en ese punto para poder trazar una recta tangente en él. La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero. Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que tiene derivada. Símbolos para representar las derivadas ( ) La regla general para derivación, es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definición de derivada, y es muy importante que el lector se familiarice completamente con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolución de problemas es largo o difícil; por consiguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciertas formas normales que se presentan con frecuencia. Es cómodo expresar estas reglas especiales por medio de fórmulas, de las cuales se da a continuación una lista. El lector no sólo debe aprender de memoria cada fórmula cuando se ha deducido, sino también poder enunciar en palabras la regla correspondiente. En estas fórmulas u, v, w representan funciones derivables de x. Formulario de derivadas básicas 1.-

( )

3.-

(

5.-

(

7.-

(

2.-

( )

)

4.-

(

)

6.-

(

8.-

(

)

) ) )

(

)

Exponenciales y logarítmicas 9.11.-

( (

)

10.-

(

)

12.-

(

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)

( )

)

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Trigonométricas 13.-

(

)

14.-

(

)

15.-

(

)

16.-

(

)

17.-

(

18.-

(

)

)

Propiedades de los logaritmos 1.2.3.-

( ( (

) ) )

4.2.1 Reglas de diferenciación Diferenciación normal La derivada se puede conocer como un caso particular del límite. Para conocer numéricamente el valor de la pendiente de una función en un punto dado es necesario resolver la ecuación:

(

)

(

)

Para lo cual hay necesidad de utilizar una calculadora y evaluar la ecuación en valores cercanos a cero (0). A lo anterior se le conoce como el método numérico, utilizado para conocer las pendientes de la ecuación de grado menor, pero existe lo que se llama diferenciación formal para resolver ecuaciones de grado superior. Funciones polinomiales y sus derivadas Existen los conocidos monomios y polinomios, los primeros contiene solamente una expresión de la variable, y los segundos corresponden a una suma finita de monomios.

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Sea y = f (x) una función de x. Si el limite existe y es finito, diremos que este límite es la derivada de ƒ respecto a x y que ƒ es diferenciable en x. ( )

(

)

( )

La derivada de una constante es cero ( )

4.2.2 Función constante Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos: ( ) Tenemos: Donde c tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Como la variable dependiente y no depende de x tenemos que:

La variación de y respecto a x es cero. El significado geométrico de esta afirmación es el hecho que la pendiente de la recta Y= c, para cualquier valor de x, es cero.

Ejemplo ( ) Ejemplo (

)

4.2.3 Regla de potencia Derivada de una potencia entera positiva Deducción: Entonces: si

Si n es un número entero positivo, entonces:

( )

(

)

( )

Como n es un número entero positivo, se puede aplicar (

)

)(

Donde a = x + ∆x, b = x, a − b = ∆x, que reemplazado en la ecuación anterior da: (

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)

( )

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UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS (

(((

)( (

)

)

(

(

(

)

(

)

)

)

)

)

Haciendo que ∆x → 0 ( ((

)

(

) (

)

(

)

) )

Ejemplo: (

)

(

)

Ejemplo

4.2.4 Constante por una función

Si u = f (x) es cualquier función diferenciable de x, y c es una constante, entonces: (

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

)

Página - 133

UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

La regla se resume en el hecho que la derivada de una constante por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. Geométricamente hablando significa que si multiplicamos la ordenada de una función por un valor cualquiera, estamos multiplicando por ese mismo número el valor de la pendiente. Deducción (

(

)

(

(

)

(

)

(

(

)

( )

(

)

(

)

( )

)

)

)

Ejemplo: Derivar la expresión (

(

( )

)

y=7 (

)

( (

)

) )

Ejemplo: Derivar la expresión

(

(

)

) (

(

( )

)

) (

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 134

UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

4.2.5 Suma o diferencia de funciones.

Si u y v son funciones diferenciables de x, entonces la suma u + v es una función diferenciable de x, y (

)

Para todos los valores de x en que existan las derivadas de u y v. La idea es que si u, v y w tiene derivadas en el punto x, entonces sus suma o resta también tiene derivada en x y corresponde a la suma o resta de las derivadas de u, v y w en x. Deducción: ( )

(

)

(

)

( (

)

)

(

(

)

( )

( )

)

Ejemplo: Derivar la expresión

(

) (

( )

) (

(

)

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

( )

( ) ( )

Página - 135

UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

(

Ejemplo: Derivar la expresión

(

) (

( )

) (

( )

)

) (

)

Así se puede aplicar para cualquier número finito de términos

El producto de las funciones diferenciables u y v es diferenciable y:

4.2.6 Regla de producto

(

)

Al igual que para la suma, la derivada del producto únicamente existe para aquellos valores en donde exista la derivada de u y la derivada de v.

(

)(

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 136

UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Cuando ∆x → 0, ∆u también lo hace, lo que se puede expresar en la forma:

(

)

Luego la expresión ∆y/∆x se puede expresar en la forma

En La figura anterior se representa gráficamente el significado de la regla del producto. Hay que tener en cuenta que se trata de la función u multiplicada por la derivada de la función v. Ejemplo: Derivar: ( ) Si:

√ (

( )(

√ (

) )

( )

)

Entonces: √ (

)

(

)(

)

√

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

(

) √

√

Página - 137

UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Ejemplo: (

Derivar:

)(

)

Si (

)

Entonces: (

)(

)

(

)( )

4.2.7 Derivada de un cociente La razón o cociente u v de dos polinomios en x, no es en general un polinomio. Dicha razón es una función racional de x.

En los puntos donde v ≠ 0 , el cociente y u v = de dos funciones diferenciables, es también diferenciable y:

(

)

Como sucede en todas las ecuaciones vistas hasta el momento, la anterior regla tiene valor únicamente en aquellos puntos en dos de las funciones u y v tengan valor y sean diferenciables. Al igual que para la suma, la derivada del cociente únicamente existe para aquellos valores en donde exista la derivada de u y la derivada de v.

( (

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

) )

Página - 138

UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

Ahora restando y = u/v en ambos lados de la igualdad se tiene y dividiendo entre

(

)

(

)

Cuando ∆x → 0 , se puede expresar:

( (

))

(

)

Ya que:

Luego que la expresión

se puede expresar en la forma:

( (

))

Ejemplo: Derivar

(

)(

) (

(

)(

)

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 139

UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS (

) (

(

( )

)

)

4.2.8 Potencia de una función

Si u es una función diferenciable de x, y n es un número entero positivo, entonces es diferenciable, y: (

)

La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función. La ausencia del termino de la ecuación invalida la diferenciación, por lo que hay que tener cuidado de incluir el diferencial de la ecuación.

Ejemplo Derivar

(

) (

)

Formula (

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 140

UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

(

) (

)

(

)

Ejemplo √

Derivar (

) (

(

(

⁄

)

)

) (

)

(

) (

)

4.2.9 Problemario 4.2 a ax

ax 

1.- y =

( √

1

2.- y =

a2  x2

b  3.- y =  a   x 

2

(

ax ax

6.- y =

9.- y =

)

a2  x2 x

√

√

)

2 x  3 3x

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

)

√

(

7.- y = x 2 3  4x 8.- y = (

) ⁄

(

4.- y = x a  bx 5.- y =

)

(

√

)

√

Página - 141

UNIDAD 4

4.2 DERIVADAS ALGEBRAICAS CON FÓRMULAS

10.- y = x 3 2  3x 11.- y = x  22

)

√(

x2  2

) ⁄

(

12.- y =



13.- y = x 2  x

16.-

3

( )√

14.- y =( 15.- y =



(

√

)

√

x2  2 2  x2

√

)(

)

⁄

⁄

√

⁄

2 17.- y = e x

18.- y =

19.- y =

ex x

(

)

e x  ex e x  e x

(

)

20.(

21.-

) (

(

22.-

(

23.24.-

(

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

(

)

) ) )

Página - 142

UNIDAD 4

4.3 DERIVADA DE N-ÉSIMO ORDEN

4.3 Derivada de n-ésimo orden Definición de las derivadas sucesivas. Hemos visto que, en general, la derivada de una función de x es también una función de x, Puede ocurrir que esta nueva función sea también derivable; en este caso la derivada de la primera derivada se llama la segunda derivada de la función primitiva, Análogamente, la derivada de la segunda derivada se llama la tercera derivada, y así, sucesivamente, hasta la enésima derivada, Así, si

(

[

(

)

)]

Los símbolos para las derivadas sucesivas se abrevian ordinariamente como sigue (

)

(

)

Si y = f(x), las derivadas sucesivas se representan también por la notación ( )

( ) ( )

( )

( )

En el ejemplo anterior, la notación de la manera más cómoda es la siguiente ( )

Ejemplo Si

√

(

)

⁄

Hallar y’’= (

( )(

)(

)

) ⁄

( )

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

⁄

( )

(

(

)(

(

)

⁄

) )

⁄

(

)

⁄

⁄

Página - 143

UNIDAD 4

4.3 DERIVADA DE N-ÉSIMO ORDEN

Ejemplo Si

(

)

Hallar y’’’ ( (

)( )(

) ( ) ) ( )

( (

) )

4.3.1 Problemario 4.3 Demostrar cada una de las siguientes derivaciones 1.2. - s

√ √

3.-

6.-

) ⁄

(

4.5.- y

) ⁄

(

(

)

√ ( √

(

) ) ⁄

Obtener y’ y y’’ para los siguientes valores de las variables 7.-

√ √

8.-

9.10.-

√ (

√

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 144

UNIDAD 4

4.4 DERIVADAS PARCIALES BÁSICAS

4.4 Derivadas parciales básicas En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es decir su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z. Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función. Supongamos que es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso, (

)

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y. Si ( funciones

), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x e y son las y definidas. ( ) ( ) ( ) (

(

)

)

(

)

Notación para las derivadas parciales. Dada

(

), sus derivadas parciales

se detonan por:

(

)

(

)

(

)

(

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 145

UNIDAD 4

4.4 DERIVADAS PARCIALES BÁSICAS

Dada z= f(x, y), sus derivadas parciales de segundo orden se denotan por (

)

(

)

(

(

)

)

Ejemplo: )

)

(

)

)

)

)

( ) MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 146

UNIDAD 4

4.4 DERIVADAS PARCIALES BÁSICAS

)

(

)

( )

)

(

)

( )

)

(

)

( )

( )

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 147

UNIDAD 4

4.5 APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

4.5 Aplicaciones de la primera y segunda derivada (a máximos y mínimos). Primer método para calcular los máximos y mínimos de una función. Regla guía en las aplicaciones. Primer paso. Se halla la primera derivada de la función. Segundo paso. Se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable. Tercer paso. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor * que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente + y después -, la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable; en el caso contrario, tiene un mínimo. Si el signo no cambia, la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado. En el tercer paso, a menudo conviene descomponer f'(x) en factores. Problemas sobre máximos y mínimos. En muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresión matemática de la función cuyos valores máximos o mínimos se desean. Esto es a veces bastante difícil. Ninguna regla es aplicable en todos los casos, pero en muchos problemas podemos guiarnos por las siguientes. Instrucciones generales a. Determinar la función cuyo máximo o mínimo se desea obtener. b. Si la expresión resultante contiene más de una variable, las condiciones del problema proporcionarán suficientes relaciones entre las variables para que la función pueda expresarse en términos de una sola variable. c. A la función resultante se deriva y luego se iguala a cero para realizar el cálculo de máximos y mínimos. d. En los problemas prácticos, muchas veces se ve con facilidad cuál de los valores críticos dará un máximo y cuál un mínimo; e. Conviene construir la gráfica de la función para comprobar el resultado obtenido. Ejemplo 1.- Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 148

UNIDAD 4

4.5 APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

Solución: Se debe de maximizar el producto P de dos números positivos. Sean estos números: x, y Luego P = (x)(y)………. Ecuación Principal Como la suma de esos números es 10, entonces x + y = 10 es la ecuación auxiliar, de donde. Entonces sustituyendo en la ecuación principal: ( )

(

)

Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función P(x) Derivando: ( ) igualamos a cero y obtenemos los Valores críticos:

En x = 5 se tiene un valor crítico, y se debe estudiar si es un valor mínimo o un valor máximo. Como

( )

por lo que en

se tiene un valor máximo.

Si entonces . Luego, los números positivos cuyo producto es máximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5.

2.- Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima? Solución: Se debe maximizar el área A de un rectángulo

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 149

UNIDAD 4

4.5 APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

Designemos con "x", "y" las longitudes de los lados del rectángulo. Luego

Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es 2x + 2y = 120 Despejando

y = 60 – x

Luego sustituyendo en la ecuación principal

Como

y

( )

( )

(

)

entonces x = 30 es un valor crítico.

Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada. Como

( )

(

)

, entonces x = 30 es un valor máximo.

Si entonces y por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayor área y perímetro 120m.

3.- sea √

una función de x. dibujar su gráfica y encontrar el valor exacto, de √ utilizando diferenciales.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 150

UNIDAD 4

4.5 APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

x y (

0 0 )

(

1 1

2 1.4142

4 2

9 3

( )

)

√ (

√

√

)

√

√

4.- Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 12 cm. De lado. Cortando cuadros iguales en las esquinas se construye una caja abierta doblando los laterales. Hallar las dimensiones de los cuadros cortados para que el volumen sea máximo

Volumen de la caja =

(

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

)(

)( )

(

)

Página - 151

UNIDAD 4 ( )

4.5 APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA (

( ) (

) (

)(

)(

)

( )

)

(

)

Con la segunda derivada ( )

(

)

( ) ( ) Tomando en cuenta que x = 2. Las medidas del cubo serán de 8 x 8 x 2 Por lo cual el volumen será 128cm3

por la naturaleza del problema, se ve que no puede valer 6 cm. Porque el volumen seria 0, por lo tanto x=2 cm.

5.- Se requiere cercar un campo rectangular que esta junto a un camino. Si la valla del lado que esta junto al camino cuesta 8 pesos el metro y para los lados 4 pesos el metro, halla el área del mayor campo que puede cercarse con 1,440 pesos.

Según el enunciado; el área =x. y entonces A = x y

Ecuación Principal

Entonces tomando en cuenta los precios y conociendo las medidas de cada lado

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 152

UNIDAD 4

4.5 APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

Despejando y de la ecuación auxiliar y sustituyendo en la ecuación principal nos queda:

( )

(

)

( )

( ) ( )

(

)

Sustituyendo el valor de x para obtener el valor de “y” (

)

(

)(

)

6.- Una caja cerrada de base cuadrada debe tener un volumen de . El material del fondo y de la tapa de la caja tiene un costo de 3 dólares por y el material de los laterales cuesta 1.5 dólares por . Determine las dimensiones de la caja para que el costo real sea mínimo

Sea x pulgadas la longitud de un lado de la base cuadrada y C(x) dolares el costo total del material. El area de la base es Sea y la profundidad de la caja.Ver figura.Puesto que el volumen de la caja es el producto del area de la base por la profundidad (

= area (tapa y fondo) + area (laterales) = (2x2 + 4xy) pulg2

Tenemos que: (

)

)

(

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 153

UNIDAD 4

4.5 APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

( )

(

( )

( )

)

(

)

(

)

( )

(

)

( ) (

)

(

)

7.- Se desea construir un tanque con forma de paralelepípedo rectangular de de volumen, con la parte superior abierta según indica la figura. El largo del rectángulo base debe ser doble del ancho. El material de la base tiene un costo de y el de las paredes de . Determinar las dimensiones del recipiente para que el costo de los materiales sea mínimo, así como el correspondiente precio del tanque

El costo del tanque: El costo del material de la base sera; ( Costo de la superficie lateral:

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

) (

)

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UNIDAD 4

4.5 APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

( )(

√

√

)( )

(

)

( )

( )

4.5.1 Problemario 4.5 1.- Una fábrica de margarina vende su producto en barras que tienen forma de una prisma de base cuadrada cuyo volumen es de 108 centímetros cúbicos. Determina las dimensiones de la barra que minimizan la cantidad de papel de la envoltura (las dimensiones con las que se gastaría menos papel). Además, traza la recta tangente a la gráfica en el punto que representa la solución del problema…… x= 4.76 cm

Y = 4.76 cm

A = 136.07 cm2

2.- Una compañía usa latas de formas cilíndricas para envasar chocolate en polvo en su presentación de 400 gramos. Encuentra las dimensiones que minimicen el costo de la lata (es decir, el área mínima de hojalata que se debe emplear en cada bote), sabiendo que el volumen de cada bote es de 909.2 centímetros cúbicos. Traza la recta tangente a la curva del problema en el punto que representa la solución…… r = 5.25 cm

h = 10.5 cm

A = 519.54

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 155

UNIDAD 4

4.5 APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

3.- se pretende empacar harina en cajas con tapadera, las cuales se fabricaran usando láminas de cartón rectangulares de 60 cm de largo por 26 de ancho, cortando en ellas cuadrados iguales y doblando. a. ¿Cuánto mide el lado de los cuadrados que se cortan y que hacen que el volumen de la caja sea el máximo?.... x= 5.14 cm b. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen? (22.29)(15.72)(5.14) c. ¿Cuál es el volumen de la caja? Volumen = 1,801.05 cm3 4.- Un granjero quiere construir un corral rectangular y dividirlo por una valla paralela a la altura de rectángulo. El granjero cuenta para la cerca con 240 metros lineales incluyendo la valla. Encuentra las dimensiones del corral de área máxima que puede construir… x = 40 m

A = 2400 m2

y = 60 m

5.- Un impresor recibe un pedido para producir un cartel rectangular que contiene 25 pulgadas cuadradas de impresión rodeadas por márgenes de dos pulgadas a cada lado y cuatro pulgadas en la parte superior e inferior. ¿Cuáles son las dimensiones del papel del papel más pequeño (área mínima) que puede usarse para hacer el cartel?. L1 = 7.53

L2 = 15.07

A = 113.48 pulg2

6.- Dos postes, uno de 15 y otro de 10 metros, se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas por una distancia de 20 metros. Calcula la longitud mínima de un cable que vaya desde la punta de uno de los postes hasta el suelo y luego vuelva a subir hasta la punta del otro poste. 7.- Una persona tiene en su casa un patio rectangular de 20 por 30 metros y desea construir una alberca de forma rectangular cuya área sea de 40 m 2. Determina las dimensiones del rectángulo para que se use la mínima cantidad de material en las paredes X = 6.32m,

y = 6.32m y el Perímetro = 25.29 m

8.- Un Paquete puede enviarse por correo si la suma se su altura y el perímetro de su base es menor de dos metros y medio. Encuentra las dimensiones de la caja de volumen máximo que puede enviarse por correo si la base del paquete es cuadrada. X = 0.416m

y= 0.834 m,

Vol. = 0.144 m3

9.- Una ventana en su parte inferior es rectangular pero esta coronada con un semicírculo. Encuentra las dimensiones de la ventana que deje pasar más luz, si su perímetro mide 5 metros. x = 1.4m,

y = 2.9m,

Área = 4.82 m2

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 156

UNIDAD 4

4.5 APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

10.- Cada una de las páginas de un libro debe tener 600 cm2 de área, con márgenes de dos centímetros a los lados y tres centímetros arriba y abajo. Encuentra las dimensiones de la página que permitan la mayor área impresa posible. x = 20cm,

y= 30cm,

A = 384cm2

11.- Se van a utilizar 300 metros lineales de material para cerca a fin de construir 6 jaulas en un zoológico, cercando un terreno rectangular y colocando dos vallas paralelas a la base y una valla paralela a la altura. Encuentra las dimensiones del terreno cercado de mayor área posible. 12.- Si se desea formar un armazón como soporte para construir una caja en forma de prisma cuadrangular. Si el largo total de la madera que se utiliza para construir el armazón es de 8 metros lineales, encuentra las dimensiones del armazón que generen la caja de mayor volumen. 13.- Se desea construir un almacén con un volumen de 100 metros cúbicos que tengan techo plano y base rectangular y cuya anchura sea tres cuartas partes de su longitud. El costo por metro cuadrado de los materiales es de 360 pesos para el piso, 540 pesos para los lados y 270 pesos para el techo. ¿Qué dimensiones debe tener el almacén para que su costo sea mínimo? 14. Usando diferenciales, encontrar la raíz cuadrada exacta de 24.8 15.-Un fabricante de radios averigua que puede vender x instrumentos por semana a p pesos cada uno, siendo 5 x = 375 - 3 p. El costo de la producción es ( )pesos. Demostrar que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana. 16.- Si en el problema anterior se supone que la relación entre x y p es √ Demostrar que la producción que corresponde a una ganancia máxima es la de unos 25 instrumentos por semana. 17.- El costo total de producir x artículos por semana es ( precio (p pesos) al que cada uno puede venderse es Demostrar que la producción total para la ganancia máxima es

) pesos, y el . √

(

)

18.-Una compañía de teléfonos halla que obtiene una ganancia líquida de 15 pesos por aparato si la central tiene 1000 abonados o menos. Si hay más de 1 000 abonados. Dicha ganancia por aparato instalado disminuye un centavo por cada abonado que sobrepasa ese número. ¿Cuántos abonados darían la máxima ganancia líquida? Sol. l250. MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 157

UNIDAD 4

4.6 APLICACIONES A INGRESOS COSTOS Y UTILIDADES

4.6 Aplicaciones a ingresos costos y utilidades Costo Si el número de unidades de un bien es. x; entonces el costo Total puede expresarse como: CT = CF+ CV A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos: COSTO PROMEDIO: ( )

COSTO MARGINAL: Cm = C’(x) = COSTO PROMEDIO MARGINAL: ( )

( )

Ejemplo: Si la función de Costo es Lineal C(x) = ax + b. donde a, b son constantes Costo Promedio:

( )

Costo Marginal: Cm = C’(x) = a Costo promedio Marginal:

(

)

INGRESOS: Si el Número de unidades de un bien es x: Siendo la Función de demanda: y = f(x); donde y es el Precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es: R(x) = (x)(y) = x - f(x) A partir de esta expresión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos: INGRESO PROMEDIO ( )

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 158

UNIDAD 4

4.6 APLICACIONES A INGRESOS COSTOS Y UTILIDADES

INGRESO MARGINAL: Rm = R ‘(x) Nótese que la expresión de Ingreso promedio carece de mayor importancia puesto que es equivalente a la demanda del bien. Ejemplo: Una función de Demanda es: Y = 12 – 4x El Ingreso: R(x) = (x)(y) = x(12 -4x) El Ingreso Marginal: R’ (x) = 12 -8x Comúnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente con recurrir a las técnicas de Máximos y mínimos conocidas (Derivar e igualar a Cero) Ejemplo: Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Máximo, que se obtiene de un bien cuya función de demanda es y = 60 -2x La demanda: y = 60 – ex El Ingreso: R(x) = (x)(y) = x( 60 – 2x) = 60x – 2x2 El Ingreso Marginal: R’(x) = 60 – 4x Maximizando la ecuación de Ingreso Total: Si R(x) = 60x – 2x2 R’(x) = 60 – 4x = 0 de donde

x=15

R máxima = (60)(15) – (2)(15)2 = 450 En este problema no se verifica que el Punto Crítico hallado mediante la derivada igualada a Cero, determina evidentemente a un máximo ya que se supone de acuerdo las condiciones de cada problema ( de todas maneras la verificación es simple utilizando la segunda derivada) GANANCIAS: Si x es el número de Unidades; siendo R(x) el Ingreso Total; c ((x), el costo total; la ganancia entonces es: G(x) = R(x) – C(x) MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 159

UNIDAD 4

4.6 APLICACIONES A INGRESOS COSTOS Y UTILIDADES

Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto significa: G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0 R’(x) = C’(x) Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo Marginal. Ejemplo Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de Costo total es: C(x) = 20 + 14x; La Demanda que posee el bien es: y= 90-2x El costo total C(x) = 20 + 14x La Demanda y = 90-2x El ingreso Total: R(x) (x)(y) = x(90-2x) La Ganancia: G(x) = R(x) – C(x) = x (90-2x) – (20 + 14 x) = -2x^2 +76x – 20 Maximizando G’(x) = -4x + 76 = 0 de donde x = 19 G Máxima = ( 2)(19)2 + (76)(19) – 20 = 702 Se supone que las unidades del ingreso; Costo, Ganancia son unidades monetarias iguales. Similarmente en el problema se supone que las unidades monetarias de la Demanda y Costo son iguales. Hasta el momento se ha operado en los distintos problemas, con funciones ya conocidas de Demanda, costo, etc. Sin embargo en la práctica es preciso a veces obtener tales funciones a partir de las Situaciones que presenten los problemas, que utilizan a las Derivadas como aplicación económica. Para obtener las funciones de costo demanda, etc. Es conveniente ordenar datos, que provienen de las condiciones del problema de ser necesario se utilizaran variables auxiliares, que posteriormente dieran ser eliminadas, siguiendo luego pasos equivalentes a los sugeridos en los problemas de Máximos y mínimos. Se obtendrán los resultados pedidos. MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 4

4.6 APLICACIONES A INGRESOS COSTOS Y UTILIDADES

Ejemplo: Un propietario de 40 departamentos, puede alquilarlos a 100 $ c/u, sin embargo observa que puede incrementar en 5$ el alquiler por cada vez que alquila un Departamento menos. ¿Cuantos Departamentos debe alquilar para un máximo ingreso? Reordenando los datos: Nº Total Departamentos. : 40 Nº Departamentos Alquilados: x Nº Departamentos no alquilados: u Alquiler de 1 departamento originalmente: $100 Incremento por 1 Departamento no alquilado: $5 Ingreso por u Departamentos no alquilados: $5u Ingreso por alquiler de 1 Departamento: 100 + 5u Ingreso por alquiler de x Departamento: x (100+5u) Reemplazando la ecuación de ingreso es: R = x ((100+5(40-x)) = 100x + 5x (40-x) = 100x + 200x – 5x2 = R= -5x2 + 300x R’ = -10x + 300 = 0 de donde x = 30 R máxima = -5*302 + 300*30 =$ 4500 Nótese que no se alquilan 10 departamentos (u = 10) El alquiler de 1 Departamento es: 100 + 5u = 100 + (5)(10) = $150 Ejemplo. Una entidad bancaria cobra una tarifa de $20; por cada $1000 de transacción comercial que efectúa, ofreciendo una rebaja de $0.1 por cada $1000 encima del monto de $100,000. Hallar su máximo Ingreso si: a. La rebaja afecta al monto total de la transacción. b. La rebaja afecta únicamente al monto por encima de $100,000 Reordenando datos: Nº de miles de $ 4 de transacción total: x

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UNIDAD 4

4.6 APLICACIONES A INGRESOS COSTOS Y UTILIDADES

Nº de miles de $ encima de $100,000: u En donde x = u + 100 Tarifa original por mil pesos: $20 Rebaja por mil pesos encima de $100,000: $0.1 Rebaja por u miles, encima de $100,000: $0.1u Tarifa con rebaja: 20 – 0.1u a) Si la rebaja afecta al monto total de la transacción (x en miles de pesos); el ingreso es: R = x (20-0.1u) = x (20 – 0.1(x-100)) = -0,1x2 + 30x R’ = - 0.2x+30 = 0 de donde x = 150 R máxima = 0.1*1502+ 30*150 = 2250 mil =$2250000 b) Si la rebaja afecta únicamente a 1 monto por encima de 100 miles de pesos ( u en miles de pesos); el ingreso provendrá del monto con tarifa fija, más el monto con rebaja: R = 100*20 + u (20-0.1u) = 2000 + (x-100) (20-0.1(x-100) = -0,1x2 + 40 x – 1000 R’ = -0,2x + 40 = 0

de donde x=200

R máxima = -0.1(200)2 + 40(200) -1000 = 3000 miles de pesos = $3000000

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UNIDAD 4

4.7 ANÁLISIS MARGINAL

4.7 Análisis marginal Qué es y para qué se usa el Análisis Marginal El análisis marginal estudia el aporte de cada producto/servicio/cliente a las utilidades de la empresa. Permite, por ejemplo, contestar las siguientes preguntas:       

 

¿A partir de qué volumen mínimo de ventas conviene lanzar un nuevo producto? ¿Conviene dejar de producir un determinado producto existente? ¿Realmente le conviene a la empresa estar atendiendo a un determinado cliente? ¿Convendría cerrar directamente una fábrica o sucursal? ¿Cuánto tengo que vender para que convenga continuar? ¿Cuál es el precio mínimo que debería cobrar por una unidad adicional de un producto? ¿Convendría utilizar la capacidad ociosa de la planta para vender el volumen adicional a un precio menor que el actual? (por ejemplo, vendiendo al costo variable el producto de exportación, lo cual se denomina “dumping” y es una práctica prohibida) ¿Qué efecto tiene en las utilidades un corrimiento de la demanda entre productos? ¿Conviene tercerizar una producción?

Se define también la “tasa de utilidad marginal” del producto i, como:

(O se puede ver igualmente como la contribución marginal relativa, y se expresa en términos porcentuales) Si por ejemplo tenemos una tasa de utilidad marginal del 60%, significa que por cada $1 adicional vendido del producto i, las utilidades de la empresa aumentarán en $0,60. Si el valor “Vi” nos define la cantidad de las ventas, la tasa de utilidad marginal nos indica lo que se denomina la “calidad de las ventas”. Es importante tanto el crecimiento en volumen como en utilidad marginal. De la misma manera, se define la “tasa de utilidad marginal de la empresa”, como ∑ Este cociente, sólo significa entonces el incremento en la utilidad de la empresa por cada $1 adicional vendido, siempre y cuando se mantenga la misma proporción de los productos que se venden hasta este momento (se dice que “se mantiene el mix de productos”). Esto se da si aumentan las ventas de todos los productos en un mismo porcentaje, a precios fijos.

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UNIDAD 5 INTEGRACION Y APLICACIONES

UNIDAD 5

5.1 CONCEPTO DE ANTIDERIVADA

5 Integración y aplicaciones 5.1 Concepto de antiderivada Estamos acostumbrados a las operaciones mutuamente inversas, de adición y sustracción, multiplicación y división, elevar a una potencia y extraer una raíz. En el cálculo diferencial hemos aprendido a calcular la derivada f’(x) de una función dada f(x), operación que se indica por: ( )

( )

Los problemas de cálculo integral dependen de la operación inversa, por ejemplo: ( ) ( )

Hallar una función f(x) si ( ) que…… ( )

( )

usando diferenciales podemos entender

.

La función f(x) que así se obtiene, se llama una integral de la expresión diferencial dada; el procedimiento de hallarla se llama integral, que es la operación inversa de la derivada, de tal manera que podemos decir que la integral es una antiderivada. La operación se indica escribiendo el signo integral ( ) diferencial dada; asi ( ) por ejemplo ) )

( )

( )

( )

En general, como que

delante de la expresión

( ) (

)

siendo C una constante cualquiera, tenemos

La constante arbitraria C se llama constante de integración y es una cantidad independiente de la variable de integración. Puesto que podemos dar a C cuantos valores queramos, se sigue que si una expresión diferencial dada tiene una integral, tiene también una infinidad de integrales, que difieren solo en la constante. Por tanto, ∫

( )

( )

Y puesto que C es desconocida e indefinida, expresión indefinida de ( )

( )

se llama la integral

De aquí se deduce; Teorema. Si dos funciones difieren en una constante, tienen la misma derivada.

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UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

5.2 Reglas de integración directas Reglas para integrar las formas elementales ordinarias El cálculo diferencial nos ha proporcionado una regla general para obtener la derivada y la diferencial. El cálculo integral no da una regla general correspondiente, que pueda aplicarse fácilmente en la práctica para la operación inversa de la integración.* cada caso necesita un trato especial, y se llega a la integral de una expresión diferencial dada por medio de nuestro conocimiento de los resultados de la diferenciación. De todo resultado de diferenciación puede deducirse siempre una fórmula para integración. La integral de una suma algebraica de expresiones diferenciales es igual a la misma suma algebraica de las integrales de estas expresiones. Demostración. Diferenciando la expresión , Siendo u, v, w funciones de una sola variable, obtenemos De donde (

)

Un factor constante puede escribirse o delante del signo integral o después de él. Demostración. Diferenciando la expresión

obtenemos adv

De donde

Partiendo de las observaciones anteriores y del análisis y demostraciones me permito proponer una tabla donde se incluyen las formulas básicas para integrar en forma directa. Demostración de las fórmulas (1), (2) Y (3) que se encuentran en la tabla siguiente. Se demuestran fácilmente. Demostración de (1). Puesto que

(

)

Obtenemos Demostración de (2). Puesto que

(

)

Obtenemos

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UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

Esto es cierto para todo valor de n, con excepción de n = - 1. En efecto, cuando n = - 1, implica división por cero. El caso de n = - 1 corresponde a la fórmula (3). Demostración de (3). Puesto que

(

)

Obtenemos Este resultado puede expresarse en forma más abreviada si representamos la constante de integración por loge c. Así, La fórmula (5) dice: si la expresión que se encuentra bajo el signo integral es una fracción cuyo numerador, es la diferencial del denominador, entonces la integral es el logaritmo natural del denominador.

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UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

FORMULARIO BÁSICO DE INTEGRALES =

1.-

=

5.-

=

2

24.- √

+ =

2

= √

( +√

+

+

4.-

2

23.- √ +

=

2.3.-

+

+

( +√

+

=

7.- cos

=

+

8.- tan

=

𝐬𝐞𝐜 +

9.- cot

=

+

+

√

(𝐬𝐞𝐜 + 𝐭𝐚

11.- csc

=

(𝐜𝐬𝐜

12.-

2

= 𝐭𝐚

13.-

2

=

+

√

=

)+

+

𝐜𝐨𝐭 + = 𝐬𝐞𝐜 +

15.- csc

=

18.19.20.21.-

=

2

2

=

√ 2

2

√ 2+ 2

√ 2

22.- √

2

2

=

𝜽

𝜽

.

=

𝜽

𝜽

.

=

𝜽

cos

=

tan

= =

𝐜𝐬𝐜 +

=

2

.

=

+

2

𝜽

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

𝐜𝐨𝐭 ) +

14.- sec tan

17.-

)+

+

10.- sec

2+ 2

+

+

√

16.-

+

=

26.6.-

= √

2

=

25.-

+

)+

tan

=

cot

=

+ | |

+

+

|+ |+

= =

+ ( +√

1+

=

1+

= =

+

)+ =

= 2

( +√

)+

= √

+

+

= =

+

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 168

UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

5.2.1 Integral indefinida Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función Se representa por ∫ f (x) d x . S e le e : in t egr al d e x d if er en c i al d e x ∫ e s e l signo de in t egració n (x) e s e l i n t egr an do o f u n ción a int e grar d x e s di f er enc i al de x , e in d ica cal e s la variab le d e la f un ción q u e se in t e gra C e s la c on st ant e de i n t egr ac i ó n y p u ed e t o mar cu alq u ier valo r n u mé rico re al S i F (x) e s u n a pr i miti va d e f (x) se t ien e q u e : ∫ f (x) d x = F(x) + C P a r a co mpro b ar qu e la p ri mi ti va d e u n a f un ció n e s co rre ct a b ast a con d er i var . Cuando integramos cualquier función y no se conocen los límites de la integral, es decir el punto donde comienza y donde termina la integral no está definido, esta se conoce como integral indefinida. Una integral definida que se analizara más adelante se considera los puntos inicial y final por ejemplo , en este caso el límite inferior tiene un valor de 0 y el límite superior tiene un valor de 3. En el caso de una integral indefinida el resultado queda expresado en función de la variable, puesto que no existen límites.

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Página - 169

UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

5.2.2 Funciones constantes En este momento ya sabemos que una constante, es cualquier numero o letra que mantiene su valor fijo y por lo general son las primeras letras del abecedario a, b…. Como ejemplo 1 integremos 5 que es una constante, debemos saber que la integral de una constante es igual a la constante por “x” ∫ Bueno, debemos saber que siempre que este una constante multiplicando al resto de la función, se saca la constante y se integra la parte de la variable. ∫

( )

∫ ∫

( )

∫

Nota: no perder de vista que cada integral debe tener su diferencial completa para poder resolverla

Ejemplo 2 Lo primero que tenemos que hacer es sacar la constante ( )( )( )( ) ∫ ( )( )( ) ( )( )( ( )

( )( )( ( )

)

∫

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 170

UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

5.2.3 Regla de la potencia Formula usada Comprobar las siguientes integrales indefinidas 1.-

lo primero en este ejemplo es definir los valores de; v = x, el valor de n = 6

y la fórmula establecida

Por lo tanto y aplicando los datos tenemos que

⁄

2.- √ v=x

dv = dx

∫

n= ½

⁄

3.Primero sacamos constantes pudiéramos manejar la formula (3) , pero 4 el valor de v seria x , hasta aquí no hay ningún problema, pero el problema empieza cuando determinamos la dv que es igual a 4x3dx, observando la formula nos indica que la dv que está en la parte superior es igual a dx. Comparando la dv de que debe ser (4x3dx) contra lo que tenemos (dx), nos damos cuenta que están faltando un 4 que es constante y una x3 que es variable, con la constante no existe problema alguno, porque la podemos anexar pero la variable jamás se puede anexar. Por lo tanto es necesario cambiar el procedimiento propuesto originalmente para poder integrar este ejercicio.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 171

UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

Es importante determinar si la diferencial de la variable está completa, es decir que no haya necesidad de anexar alguna variable, si falta una constante la podemos anexar, siempre que realicemos la operación contraria en la parte de afuera de la integral, pero si falta una variable hay que buscar otra manera de integrar.

Una opción es subir el x4 que nos quedaría de la siguiente manera Cambia el signo del exponente, pero para resolver este ejercicio también cambia la fórmula propuesta que seria v=x

dv = dx

n=-4

y la formula

Vemos que la diferencial está completa por lo tanto podemos aplicar la fórmula propuesta. Entonces 4.Lo primero sacar constantes y luego proponer formula a usar que en este caso tiene exponente se usa la de potencias. v=x

dv = dx

n=7

formula

∫

5.2.4 Suma y diferencia de dos funciones La integral de una suma o diferencia de funciones es igual a la suma o la diferencia de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)-h(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx- +∫ h(x) dx La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

5.- (

)

En este caso que es una suma y resta de varias funciones, hacemos lo mismo que haríamos para derivar. Primero separamos términos e integramos por separado cada monomio y al final juntamos los resultados, no perdamos de vista que se considera una sola constante de la suma de las constantes de cada integral. …..sacamos constantes …….. V=x dv=dx

v=x dv=dx v=x dv=dx

En todos los casos se usa la fórmula de potencia

6.- (

√

√

)

……

Separamos términos, sacamos constantes y convertimos a exponentes fraccionarios ⁄

……..

⁄

Subimos términos cambiando el signo de los exponentes ⁄

∫

∫

∫

⁄

En todas las integrales se usa la fórmula de potencia y todas las diferenciales están completas dv = dx

(

⁄

⁄

⁄

)

(

)

(

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

⁄

Página - 173

UNIDAD 5 7.- (

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS )

v=

…… sigue siendo potencia, pero en este caso el valor de v varia debemos tener dv = 2

tenemos x dx falta 2

Entonces lo anexamos dentro de la integral multiplicando, pero para que no se altere el resultado hacemos la operación inversa antes del signo de la integral, es decir dividimos la parte de la constante que está faltando. ∫(

)

(

)

) (

∫(

)

Puesto que la diferencial está completa, aplicamos la fórmula de potencia tomando en cuenta el valor para n = 2 ( (

)

(

)

)

5.2.5 Regla del cociente 8.En este ejemplo pudiéramos pensar en subir el término y luego manejar la fórmula de potencia, pero al momento de pasar el termino hacia arriba el exponente se convierte ) , pero al momento de aplicar la fórmula de potencia se le suma en -1…. ( una unidad al exponente y por consiguiente nos daría un 0 como exponente y como denominador y por lo tanto estaríamos hablando de una indeterminación, . Debemos tomar en cuenta que siempre que el exponente sea igual a -1, se debe utilizar la formula (3) Por lo tanto, para este ejemplo utilizamos la formula (3) en donde lo primero es sacar constantes que estén multiplicando, en este caso 5ª en donde v = (

)

dv= (

)

Si sabemos que dv debe ser igual a y lo que tenemos es nos estaría faltando por lo tanto se multiplica adentro de la integral y se divide afuera. ,

Considerando que la diferencial está completa entonces aplicamos la formula ∫

(

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

) Página - 174

UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

Recordemos que la constante que esta antes del signo de la integral es parte del resultado final y que la diferencial en el momento de integrar ya no aparece

9.-

En un cociente tenemos que tomar en cuenta que cuando en el numerador, la potencia de la variable, es igual o más alta que la potencia de la variable en el denominador, primero tenemos que realizar una división

Dividiendo

∫

∫

∫

∫

Y ordenando nos queda ∫

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

(

)

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UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

10.En este ejemplo observamos que la potencia de la variable del numerador y el denominador es igual por lo tanto, primero hay que dividir.

∫

∫

∫

∫

V = 2x+3 dv = 2dx formula La diferencial que debemos tener es dv = 2dx; la que tenemos es dv = dx, falta un 2 ∫

∫

( )

|

|

Ahora resolveremos una miscelánea de algunas integrales que nos pudieran servir en el área de administración y economía. Integrales exponenciales Formula (4) en este caso el valor de e es una constante pero está bien definido puesto que e = 2.71 y no puede considerar ningún otro valor Formula (5) en este caso el valor de a también es una constante, pero puede ser cualquier valor menos e. 11.Primero se define el valor de v que es igual a 4x, para poder sacar la diferencial, dv = 4dx, entonces para completar la diferencial nos falta un 4 el cual lo multiplicamos dentro de la integral pero lo dividimos afuera de la integral. 12.La manera de resolverla es muy parecida pero la integral cambia, porque se aplican dos fórmulas diferentes, pero igual se define el valor de v, se obtiene su diferencial y se completa, para después aplicar la formula respectiva y obtener el resultado.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 176

UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

Enseguida presentamos algunas opciones por si en el momento de integrar no se pueda aplicar alguna fórmula directa Subir términos o Realizar la división o Desarrollar binomios

o Simplificar

Comprobar las siguientes integrales

5.2.6 Problemario 5.1 1.3.- √ ( 5.7.9.11.13.-

√

2.⁄

)

(

(

)

⁄

)

√

(√

√ )

(√

√ )

√

(

)

( (

6.-

)

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

10.12.14.-

) ⁄

(

4.- √ (

8.- (√

√

√

) √ √

√ ) (

(

)

(

)

(

(

)

)

)

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UNIDAD 5 15.-

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

(

)

( (

17.-

23.25.-

)

16.-

)

(

)

( √

| )

√

⁄

√ √

√

22.-

( (

) )

|

⁄

30.-

|

⁄

28.- √ )

)

⁄

26.-

√

27.29.- (

(

√ )

20.-

24.-

|

√

)

18.- √ (√

)

(

(

⁄

√

19.- ( 21.-

)

√ |

|

Integrales trigonométricas Ejemplo 1 Demostrar la siguiente integral .

El valor de v = 2ax

dv = 2a dx formula

𝐜𝐨𝐬

Comparando la dv de lo que tenemos “dx” con lo que debemos tener 2adx nos damos cuenta que nos falta un 2a para completar la dv. Entonces multiplicamos adentro y dividimos afuera por 2a

Ejemplo 2 Demostrar la siguiente integral ∫(

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 5

5.2 REGLAS DE INTEGRACIÓN DIRECTAS

Debemos tomar en cuenta la propiedad que nos dice que (

)

Entonces aplicando la identidad ∫

∫

En este ejemplo para la primera integral, v = x y dv = dx entonces la diferencial está completa por lo tanto se aplica la formula directa.

5.2.7 Problemario 5.2 1.- (

)

𝐜𝐨𝐬

2.-

3.(

4.6.- (

(

10.-

√

(

)

)

)

11.13.-

( 𝐬𝐞𝐜

14.-

7.-

(

√

)

(

⁄

) ⁄

√

(

√

)

⁄

15.17.- (

18.-

19.(

)

𝐭𝐚

𝐜𝐨𝐬

16.-

20.-

)

9.-

) ⁄

(

(

5.-

√

√ √

)

(

)

8.-

12.-

(

)

√

)

(

)

√

)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 5

5.3 INTEGRAL DEFINIDA

5.3 Integral definida En el desarrollo de la integral definida que es el tema básico y fundamental del cálculo, se emplean sumas sucesivas La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la integral definida es la siguiente ∫

( )

Encima se muestra la integración definida de algún f(x) dentro del intervalo [a, b]. Es importante que la función dada, la cual será integrada para algún intervalo sea continua para el intervalo en el cual se va a integrar. Una integral definida se representa más comúnmente como; ∫

( )

∑ ( )

Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n

Yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada intervalo.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 5

5.3 INTEGRAL DEFINIDA

Para el ejemplo ilustrado arriba, la interpretación analítica resulta ser las líneas definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en el gráfico anterior. La suma del área sombreada es igual a nuestra expresión f(x) dx. Aquí, el número debajo del signo de la integración que es a, es el límite inferior de la integración definida, mientras que el número que está por encima del signo de la integración que es b, es el límite superior de integración. En conjunto se denominan límites de integración. Sin embargo, es esencial que el límite inferior sea menor que el límite superior. Una interesante interpretación de la integración definida es el Teorema del Cambio Total. Para alguna función f(x), f’(x) da la razón de variación de la función dada, entonces ∫

( )

( )

( )

Da la variación neta de la función dada para algún intervalo [p, q]. En términos simples, se puede afirmar que la integración definida de la razón de variación de una función produce la variación total de los valores de la función. En la expresión dada anteriormente, está claro que la diferencia f (b) - f(a) da la variación total de la función dada f(x) en sus límites de integración. Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para tener una comprensión más profunda del tema. ∫ (

)

|

|

Reemplace el valor del límite superior para las variables en la expresión dada) ( ) Reemplace el valor del límite inferior para las variables en la expresión dada) ( )

Ahora reste los dos valores finales para obtener el resultado de la integración.

Es de destacar que el resultado final es un número y no algún término de variable, lo que significa que para las integrales definidas podemos determinar los resultados reales.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

Página - 181

UNIDAD 5

5.3 INTEGRAL DEFINIDA

“Teorema de existencia” En matemáticas, un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x, y,...existe(n)...'. Esto es, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notación O. Una controversia que data del temprano siglo XX concierne el tema de teoremas de existencia puros, y la acusación relacionada de que al admitirlos las matemáticas traicionan sus responsabilidades de aplicación concreta (ver demostración no constructiva). El punto de vista matemático es que los métodos abstractos tienen un gran alcance, mayor que el del análisis numérico. Los teoremas de existencia y unicidad de solución tienen gran importancia en el estudio de los problemas matemáticos y del cálculo. Muchas son difíciles de resolver y por ello es importante asegurarse de la existencia de solución antes de intentar resolverlas. Por otra parte el tema tiene interés para las aplicaciones: que representa un modelo matemático determinista de una situación física, y del cual esperamos exista solución .Además la solución debe ser única pues si se repite el experimento en las mismas condiciones, cabe esperar los mismos resultados. “Teorema de existencia para integrales definidas” Sea una función real y = f (x) , que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c Perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: Que el valor de f (c) es el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a, b].Quizá sea interesante hacer varias observaciones: 1. El punto c Puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad. 2. El valor medio de la función f (x) No se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente. 3. El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza, presupone el cálculo de una integral definida. “Propiedades de la integral definida” Cuando hablamos de integrales definidas nos referimos que dichas integrales cuentan con un parámetro definido o puntos de integración definidas para encontrar el valor del área bajo la curva de una función F(x), tal que si una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces F(x) es integrable en [a,b].

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 5

5.3 INTEGRAL DEFINIDA

∫

( )

∫

( )

∫

∫

( )

∫ ( )

∫

( )

( ( )

∫

( )

∫

( )

( )

( ))

( )

( )

“Teorema Fundamental Del Cálculo” Teorema fundamental del cálculo es un teorema que une el concepto de la derivada de una función con el concepto de la integral. La primera parte del teorema, a veces llamado el primer teorema fundamental del cálculo, que muestra una integración indefinida puede ser revertida por una diferenciación. Esta parte del teorema también es importante, ya que garantiza la existencia de primitivas para funciones continuas. La segunda parte, a veces llamado el segundo teorema fundamental del cálculo, le permite a uno calcular el integral definida de una función mediante el uso de cualquiera de sus infinitas primitivas . Esta parte del teorema tiene aplicaciones prácticas inestimables, ya que simplifica notablemente el cálculo de integrales definidas.

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5.3 INTEGRAL DEFINIDA

Además de su físicamente intuitiva representación, también hay una geométricamente intuitiva representación del teorema. Para una función continua y = f ( x ) cuya gráfica se representará gráficamente como una curva, cada valor de x tiene una función de área correspondiente A ( x ), que representa el área debajo de la curva entre 0 y x . La función A ( x ) puede no ser conocida, pero se da que representa el área bajo la curva. El área bajo la curva entre x y x + h puede ser calculada mediante la búsqueda de la zona comprendida entre 0 y x + h , luego restando el área entre 0 y x . En otras palabras, el área de esta “cinta” sería una ( x + h ) - A ( x ) . “Cálculo De Integrales Definidas” El cálculo de la integral definida se denomina a menudo como integración numérica o cuadratura numérica o simplemente cuadratura. Sin embargo, este es utilizado generalmente más para una ecuación dimensional, para las ecuaciones con más de una dimensión, el uso de la palabra cuadratura es más adecuado. Se utiliza para calcular la solución numérica aproximada de una integral definida dada. Existen varias formas para calcular la solución de un problema de integral definida. Sin embargo, en esencia todos estos métodos intentan tomar una evaluación de la integral dada en un número de puntos en los límites establecidos de la integración y entonces encontrar una solución aproximada al problema completo, lo cual es solamente una solución aproximada. Sin embargo, en todo este proceso una gran cantidad de errores de aproximación entran en nuestra solución y por este motivo no nos acercamos a la solución real. Un enfoque inteligente para superar este problema es reducir el número de puntos para el cual se está calculando la función dada. Veamos ahora algunos métodos para encontrar una solución. 1 Haciendo uso de las fórmulas básicas de integración: Este es el método más básico para resolver una integral definida. Se utiliza principalmente en los lugares que se puede sustituir directamente el valor de la fórmula de integración. Y finalmente, se reemplaza la variable con los límites superior e inferior respectivamente y se procede a encontrar la solución. Algunas de las fórmulas de integración más comunes son: MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

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UNIDAD 5

5.3 INTEGRAL DEFINIDA

Esta fórmula es aplicable para todos los valores de n, excepto −1. Donde k es una constante y x es la variable utilizada en la integración. 𝐜𝐨𝐬(

)

𝐬𝐞 (

)

(

)

(

)

2 Resolviendo la expresión a través del álgebra: Este es de nuevo un método muy básico para resolver las integrales definidas. En este método, aumentamos la potencia de cada variable por uno y también movemos el nuevo valor de la potencia al denominador de la variable, además se añade una nueva constante al final. El valor de la constante se modifica para la variable de integración con la constante como su coeficiente. Mire el ejemplo ilustrado a continuación para entender el concepto. (x + 1) (x – 1) dx

(

)

|

|

Utilizando la fórmula de álgebra simple.

Finalmente esta integral puede ser resuelta para sus límites superior e inferior. 3 Integración por sustitución: Es un método importante para resolver integrales. En este método tenemos una función principal y el integrando se define como la multiplicación de la función principal y la derivada de esta función principal. ∫ ( ( )) ( )

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UNIDAD 5

5.3 INTEGRAL DEFINIDA

Ahora permitimos que la función principal sea representada por cualquier variable, sea z, por tanto tenemos; ( )

( )

( )

Ahora esta expresión puede resolverse como cualquier otra integral y finalmente sustituya el límite superior e inferior de nuevo en la expresión. En muchas ocasiones es necesario cambiar los límites de integración ya que la variable de integración se ha modificado. Demos un vistazo a un ejemplo. ∫

∫

∫

( )

Nunca está explícitamente fijado para cualquier problema que el mismo sea un problema a resolver por sustitución; sino que esto se encuentra a través de la solución del integrando. Después de llegar a la etapa final de cada método simplemente sustituimos la variable una sola vez para el límite superior en toda la expresión y luego para el límite inferior en toda la expresión y finalmente restamos las dos para obtener la respuesta final. Calculo de áreas Ejemplo Encontrar el área de la región ( ) , acotada por las rectas dibujar la gráfica y calcular su área en forma ordinaria. 1.- dibujar la grafica x y

-2 1

-1 2

Y=x+3 0 3

1 4

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2 5

3 6

4 7

5 8

6 9

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5.3 INTEGRAL DEFINIDA 

y













x 





















2.- definir los límites Puesto que pretendemos hallar el área desde el punto cuando x = -2 hasta el punto cuando x = 3, entonces estos serán mis límites. 3.- definir la integral. ∫ (

)

)

|

4.- resolver la integral.

∫ (

( )

Asignamos límite superior Asignamos límite inferior

|

(

)

(

)

Área es igual al valor del límite superior menos el valor del límite inferior (

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)

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UNIDAD 5

5.3 INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo ( )

Encontrar el área de la región

y dibujar su grafica limitada por

1.- dibujar la grafica x y

-2 7

-1 1

0 -1

1 1

2 7

y

















 x 























2.- Definir límites Puesto que estamos obteniendo el área desde x = 1 hasta x = 2 estos son los limites 3.- definir la integral ∫ (

)

4.- resolver la integral ∫ (

)

(

)

|

(

|

)

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[

(

( )

]

[

( )

]

)

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5.3 INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo Encontrar área de la región 1.- dibujar la grafica x y

0 0

1 1

2 8

2.-Definir los limites 3.- Definir la integral ∫ 4.- Resolver la integral ∫

|

|

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5.4 APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL A PROBLEMAS DE ÁREA ADMINISTRATIVA

5.4 Aplicaciones del cálculo integral a problemas de área administrativa 5.4.1 Aplicaciones en administración { Cuando nos dan una función ( ) por tratarse de una derivada, representa el costo por un determinado número de productos o producción en un punto. Pasará lo mismo cuando se trate de ingresos o utilidad. Contrariamente cuando se tenga una función ( ) , esto representara la función del costo de producción original y ocurrirá lo mismo cuando se trate de ingresos o utilidad.

Resumiendo, si tengo una función c’(x) es costo en un punto y si integro la función anterior obtendré c(x) que representa la función de costo original y como consecuencia ocurre lo mismo para ingresos y utilidad

Ejemplo1 El costo por producir x número de artículos deportivos está dado por la función: ( ) a) Determinar la función del costo sabiendo que el costo por producir 1000 unidades, es de $253,000 b) ¿Cuál será el costo por producir 2,000 unidades? Solución a) Primero integramos c’(x) en donde ( )

∫

∫

Entonces tomando en cuenta los datos, sustituyendo ( MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

)

(

) Página - 190

UNIDAD 5

5.4 APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL A PROBLEMAS DE ÁREA ADMINISTRATIVA

Despejando c tenemos que Entonces sustituyendo el valor de c en la ecuación original tenemos que ( ) Por lo tanto para 2,000 unidades el costo será: b) ( (

)

(

(

)

)

)

Entonces el costo para producir 2,000 unidades es de $362,000

Ejemplo2 El costo de producción de x número de autos BMW está dado por la ecuación: ( ) a) Determinar la función del costo si sabemos que producir 10 autos cuesta $ 2,750,000 b) Determinar cuánto cuesta producir 2,500 autos Solución: a) Primero integramos C’(x) ( )

∫

∫

Entonces con los datos del inciso a) tenemos que: (

)

(

)

Despejando c tenemos que

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UNIDAD 5

5.4 APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL A PROBLEMAS DE ÁREA ADMINISTRATIVA

Entonces ( ) b) Entonces el costo para producir 2,500 autos es: (

) (

(

(

)

)

) (

)

Entonces el costo para producir 2500 autos es de $433,916,657

Ejemplo 3 La utilidad se obtiene de restar a los costos los ingresos como se vio en la unidad 2, sabemos que el ingreso por vender refrescos en un estadio está determinado por ( ) donde x es el número de refrescos vendidos. Si el costo total para el distribuidor está dado por ( ) a) ¿Cuál será la función de utilidad? si se conoce que al vender 2,0000 refrescos la utilidad es de $2,000 b) ¿Cuál será la utilidad al vender 1,200 unidades? Solución Primero encontramos la Utilidad de donde sabemos que entonces

( )

( )

( )

( ) ( )

(

)

∫

(

∫

)

(

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)

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UNIDAD 5

5.4 APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL A PROBLEMAS DE ÁREA ADMINISTRATIVA

Entonces a)

( )

b)

(

)

(

)

(

(

)

)

Entonces la utilidad de vender 1,200 refrescos es de $9,200

5.4.2 Problemario 5.3 (

1.3.-

√

)

2.-

√

4.-

5.7.9.-

6.(√ ⁄

1

11.13.-

√ )

√

8.-

√

10.-

( √

12.-

√

14.-

)

(

)

15.-

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UNIDAD 5

5.4 APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL A PROBLEMAS DE ÁREA ADMINISTRATIVA

16.- calcula el área limitada por la parábola y = x2 y las rectas y = 0, x = 2, x = 6.

Área = 17.- Calcula el área limitada por la curva y = x3 – 6x2 + 8x y el eje x

Área = 18.- Calcula el área limitada por la parábola de ecuación y = 9 –x2 y el eje de abscisas. Área = 19.- Calcula el área limitada por la parábola intervalo (0,6)

y=4x-x2 y el eje de abscisas en el

Área =

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UNIDAD 5

5.4 APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL A PROBLEMAS DE ÁREA ADMINISTRATIVA

20.- Halla el área comprendida entre las curvas y = 6x - x2; y = x2-2x

Área = 21.- Hallar el área limitada por la parábola y = x2, la recta de ecuación y = x+2 y el eje OX.

Área = 22.- Calcula el área limitada por la curva de ecuación

√

Área = 23.- Hallar el área limitada por las gráficas de las funciones y = Lnx, y = 1 y los ejes coordenados

Área = ( MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN

) Página - 195

UNIDAD 5

5.4 APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL A PROBLEMAS DE ÁREA ADMINISTRATIVA

24.- El ingreso de un negocio que vende un artículo está dado por ( ) donde x es el número de artículos vendidos. a) si el ingreso total del negocio es de $100,000 pesos. ¿Cuál será el ingreso si se venden 45,000 unidades? 25.- producir uranio enriquecido (U235) en una planta nuclear estadounidense, representa una utilidad de $1,000 usd. Por cada 500 gramos, si la utilidad de la planta está dada por la ecuación ( ) a) Encontrar la función de utilidad de 10 plantas que producen entre ellas 500 gramos de Uranio 235. 26.- un laboratorio de ingeniería medica produce 100,000,000 de bacterias sintéticas para elaborar 50,000 vacunas. El costo de producción es de 750,000 pesos. a) Encuentra la función del costo de acuerdo a la ecuación ( ) b) Calcular el costo para producir 1,000,000 de vacunas. c) Cuantas bacterias sintéticas necesita producir el laboratorio para esta producción de vacunas. 27.- Determinar la función del costo sabiendo que por producir x teléfonos celulares, el costo estaría dado por: ( ) a) Encontrar la función del costo si por producir 1,000 aparatos invertimos $250,000. b) ¿Cuál será el costo para producir 3,000 aparatos? 28.- El costo por producir chicles está dado por: ( ) Donde x es el número de bolsas con chicles. Para producir un millón de bolsas de chicles el costo total es de $125,100. a) ¿Cuál será la función del costo? b) ¿Cuánto cuesta producir 25,000 bolsas de chicles?

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REFERENCIAS

6 Referencias TEXTO GUIA TAN S. T. Matemática para Administración y Economía. International Thomson Editores. Segunda edición. OTROS TEXTOS HEAUSSLER, Ernest F. Jr y PAUL, Richards. Matemática para Administración y Economía. Grupo Editorial Íbero América. Décima edición. Harshbarger, Ronald y Reynolds, James. Matemáticas Aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales. Mc Graw Hill. Séptima Edición. México 2005. ARYA, Jagdish y LADNER, Robin W. Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. Prentice Hall.Cuarta edición. BUDNICK, Frank S. Matemática aplicada para Administración y Economía. Mc Graw Hill Editores. Tercera edición. BACA Guillermo, Matemática Financiera, Primera edición. PG Ediciones. www.vitutor.com William Anthony Reimpresion.

Granville,

calculo

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diferencial

e

integral,

Limusa,

Novena

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