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• Federico Barberis

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Matemática Análisis 2 Silvia V. Altman |Claudia R. Comparatore | Liliana E. Kurzrok

longseller educación

• • •

Matemática

•

•O • • Análisis 2 Silvia V.AItm an |Claudia R.Comparatore |Liliana E. Kurzrok

M ATEM ÁTICA | LIBRO 6 Análisis 2

Dirección editorial

Supervisión gráfica

Las autoras agradecen a

Verónica Parada

GrupoDiseño

la profesora Patricia Sadovsky

Diseño gráfico

Dirección pedagógica Rosa Rottemberg

Natalia Fernández

por sus enseñanzas y su apoyo incondicional.

Corrección Inés Gugliotella

Dirección de arte Paula Lanzillotti

Diseño de signos tipográficos matemáticos Natalia Fernández

Edición Mariela Miguiarra Colaboración en la edición María Teresa Diñeiro

Ilustración de tapa e interiores Doma Ilustraciones Doma Jorge Martínez Gráficos Gabriela Feldman Natalia Fernández Fotocromía Longseller S.A.

® EDITORIAL LONGSELLER S.A.

Libro de ed ició n a rg e n tin a .

C asa m a triz : Av. San Juan 777

Está p ro h ib id a y p e n ad a por la le y la re­

515

(C1147AAF)

p ro d ucció n to ta l o p arcial de e s te libro,

ALT

C iu d a d de B u e n o s A ire s , A rg e n tin a

en c u a lq u ie r fo rm a , p or m e d io s m e cá ­

T eléfo no y fa x : (5411) 5 0 3 1-5 4 0 0

nico s, ele ctró n ico s, in fo rm á tico s , m a g ­

E -m a il:ed u cacio n @ lo n g se lle r.co m .ar

nético s, in c lu so fo to co p ia y c u a lq u ie r

w w w .lo n g se lle r.co m .a r

otro s is te m a de a lm a c e n a m ie n t o de

ISBN O b ra C o m p le ta : 9 8 7 -9 4 8 1-6 6 -6

in fo rm a ció n . C u a lq u ie r rep ro d ucció n

O u e d a hech o el d e p ó sito q u e d is p o n e

sin el p revio c o n s e n tim ie n to e scrito d el

la ley 11.723.

e d ito r v io la los d e re ch o s re servados, es ile g al y co n s titu y e un d elito .

A ltm a n , S ilv ia M ate m ática 6 : a n á lis is 2 / Silvia A ltm a n ,C la u d ia C o m parato re y Lilia n a K u rz r o k .-ia ed .- B u en o s A ir e s : Longseller, 20 0 1. 112 p. ; 2 8 x 2 0 c m .- (Libros tem á tico s) ISBN 9 8 7 -5 5 0 -0 4 4 -5 1. C o m p a ra to re ,C la u d ia II. Kurzrok, Lilia n a III.T ítu lo 1. A n á lis is M ate m ático

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Matemática

• • Análisis 2

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Silvia V.AItman Profesora de Matemática y Astronomía, INSP Joaquín V. González .Ganadora del subsidio para profesores de colegios secundarios, Fundación Antorchas (1994). Docente en escuelas medias.

Claudia R. Comparatore Licenciada en Matemática, Universidad Nacional de Buenos Aires. Ganadora del subsidio para profesores de colegios secundarios, Fundación Antorchas (1994). Docente en escuelas mediasy en la Facultad de Ciencias Exactas, UBA

Liliana E. Kurzrok Licenciada en Matemática, Universidad Nacional de Buenos Aires. Profesora de Matemática, ORT Formación docente para profesionales. Becaria de Investigación,CONICET, UBA. Docente en escuelas mediasy en la Facultad de Ciencias Exactas, UBA.

M ATEM ÁTICA | LIBRO 6 6

Análisis 2

Cómo leer este libro

■

| Problemas

Posible resolución

■

■

Algo más...

Actividades

Al comenzar cada capítulo,y

Se presenta un posible camino

Se presentan comentariosy

Se proponen actividades que

para introducir los contenidos,

para resolver cada uno de los

aclaraciones sobre los temas

sirven para verificar la compren­

se presentan uno o más pro­

problemas propuestos, que per­

desarrollados.

blemas para resolvery discutir

mite confrontar diferentes pro­

y la aplicación de éstos en distin­

en grupos, que se identifican

cedimientosy verificar las solu­

tas situaciones.

con el icono O-

ciones obtenidas. Se identifica

sión de los contenidos abordados

con el icono O-

Usemos este método para js abuelos con frecuencia. Siempre su casa a las 10 de la mañana y llega a la casa dé que está a 400 kilómetros de la suya, a las 14 ho Los siguientes gráficos representan la distancia. encuentra Pablo de su casa (d), en función del tii

Jx sen x dx, y consideremos f(x) * x y g’(x) ■sen x. S if(x)-x= » f(x)-l. Si g'(x) =sen x =5g(x) » Jsen x dx =-eos x + k. Como necesitamos una sola primitiva, de aquí en adelante consideraremos k =O cada vez que debamos hallar g(x).

majAáticos: Isaac Newtony Gottfried Leí" "que trabajaran sobre losconcep­ tos d I cálculo. Estogeneró una grandisputa intreellos. pues cada unosuponía que< otro había plagiadoel conceptode

definida£(5 x - 4)*dx usani dodesustitución.

Luego, al utilizar el método de integración por partes para

Si consideramos z =5x-4, i Ai - 5dx. con locual obtenen

xdx =x.(-c

|d z =dx.

la transformamos en una expresión donde la integral que figura

Observemos en la integral def x está entre 1 y 5. Luego, six=l=»2= 5.1-4 =1. y six»5 =>z■5. 5-4»21.

en ella es de sencilla resolución. Si hubiéramos elegido f(x) =sen x y g'(x) =x, resultaría que

í - z ’ .s1 i *

,

i

si f(x) =sen x * f(x) =eos x, y si g'(x) =x » g(x) =/x dx = y . con lo cual obtendríamos lo siguiente; a. ¿Cuál fue la velocidad promedio en cada caso? b. Para cada gráfico: ¿Qué pueden decir acere con la que viajó Pablo? ¿Fue siempre a la misma v O Problema 2 . Una camioneta parte de un puebloy se desplaza con trayecto­

Jx sen x dx =(sen x }. y - J(cos x). y dx Luego, tendríamos que resolver una integral que es más compli­ cada que la que se nos pidió. Por lo tanto, las elecciones hechas para f(x) y g'(x) r>oserían las convenientes. D erivada de una fu nció n en un va lo r

ria recta según la función d(t) = 35t + ^t', donde t es el tiempo de marcha medido en horasy d es la dista ncia de la camioneta al pueblo de donde partió, medida en kilómetros. A 144 km del pueblo hay un cruce de caminos muy peligroso. Por este motivo, se instaló allí un dispositivo que controla que la velocidad de los vehículos no supere los 40 kmfh. Si se excede este límite, el dispositivo saca una foto de la patente del vehículoy registra la infracción. ¿Le corresponde una multa a la camioneta? ¿Por qué?

¿Sabían que...?

Llamamos derivada de la función f(x) en el valora y lo denotamos f '(a) al valor de lím — — r w =lím M z M

Es decir que

siemore'aue*este limite sea un ¿Cómose lee... f'(a):f "prima" f(x) en a.

Textos recuadrados

Cómo se le e...?

Se presentan biografías, reseñas

Aquí se incluyen definiciones

Se ofrece el significado de los

históricasy datos de interés, que

para que puedan ser localizadas

símbolos utilizados en la página.

enriquecen los contenidos.

rápidamente cuando se necesi­ ta consultarlas.

7

Guía de ejercitación

Guía de autoevaluación

Incluye actividades orientadas

Contiene actividades que pue­

a poner enjuego todos los con­

den ser resueltas alfinalizar el

ceptosy procedimientos desarro­

capítulo para autoevaluar lo

llados a lo largo del capítulo.

aprendido. Se incluyen las respuestas alfinal del libro.

CE 2

G U IA DE EJERCITACIÓ N

14. El siguiente gráfico muestra un triángulo isósceles en el cual un vértice es el origen de coordenadas y los otros vértices son puntos simétricos de la parábola correspondiente a f(x) =162 - 2x', donde -9 i x i 9. Éntre todos los triángulos isósceles que cumpíen las condiciones mencionadas, ¿cuáles

O

o

O

o 2. Encontrar la función f(x) para la cual f"(x> =e*. f(0) = 1 y f(l) =

15. Calculen los siguientes limites:

,, x(cosx-l) ______ O

o

3. Unautito dejuguete partea 20 centímetros del inicio de una pista de carrera y se desplaza con trayectoria recta. gundos al cuadrado, con el tiempo de marcha (t). medido en segundos. Hallar una función d(t) que permita calcular, en cada instante, la distancia a la que se encuen­ tra el autito deI inicio de ía pista de carrera.

O

o 4. Resolver las siguientes integrales Indefinidas: » f'n’x-ln x + 2

16. Hallen f(0) y f '(0) considerandoque f(x) es derivable en cualquier valor de su dominio, f(x) es continua en cualquier valor de su dominio y lim — — 3 cos * = 7.

O

O

l

M ATEM ÁTICA | LIBRO 6 Análisis 2

8

índice

11 Capítulo i Derivadas

12 Problemas y resoluciones

27 Derivada logarítmica 28 Funciones derivadas defunciones elementales

41 Capítulo 2 Aplicaciones de la función derivada

42 Problemas y resoluciones

13 Velocidad media

29 Problemas y resoluciones

14 Problemas y resoluciones

30 Funciones derivadas sucesivas

y decrecimiento

Problemas y resoluciones

43 Máximos y mínimos

75

Velocidad instantánea Problemas y resoluciones

16 Derivada de una función en un valor 17 Recta tangente al gráfico de una función en un punto Problemas y resoluciones

18 Función derivable en un valor Problemas y resoluciones

2 i Función derivada Problemas y resoluciones

23 Propiedades de las funciones derivables

32 Diferencial de una función en un valor 33 Guía de ejercitación 39 Guía de autoevaluación

Intervalos de crecimiento

44 Punto estacionario Valor crítico 45 Problemas y resoluciones 47 Función cóncava y función convexa 49 Punto de inflexión Problemas y resoluciones

54 Teorema de la función derivada segunda

iiiiiiiini iiimii iiiiiiiini /

55 Regla de L’Hôpital 56 Problemas y resoluciones

77 Área de la región limitada por el

93 Capítulo 4

gráfico de una función positiva

El cálculo de integrales

63 Guía de ejercitación

81 Problemas y resoluciones

94 Integral indefinida

6g Guía de autoevaluación

82 Integral definida

g5 Problemas y resoluciones

71 Capítulo 3

85 Guía de ejercitación

Problemasy resoluciones

El concepto de integral y el cálculo de áreas

gi Guía de autoevaluación

Método de sustitución

96 Método de integración por partes 97 Problemas y resoluciones 707 Método defracciones simples

72 Problemas y resoluciones

103 Guía de ejercitación

73 Fundones primitivas defunciones

log Guía de autoevaluación

elementales 74 Propiedades de las funciones primitivas 75 Problemas y resoluciones

m

Respuestas

MATEMÁTICA | LIBRO 6 Análisis 2

1

Derivadas E l concepto de derivada resulta m uy ú til en diferentes ciencias, como la economía y la físic a , entre otras, pues perm ite estudiar la fo rm a y la rapidez con que se producen los cam bios.

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

12

Análisis 2

DERIVADAS

Muchas veces resulta práctico conocer

O Problema 1

ciertas reglas que facilitan la resolución de los problemas matemáticos. Siempre re­

Pablo visita a sus abuelos con frecuencia. Siempre parte de

cordaremos y aplicaremos mejor aquellas

su casa a las 10 de la mañana y llega a la casa de sus abuelos,

que hemos construido nosotros mismos.

que está a 400 kilómetros de la suya, a las 14 horas. Los siguientes gráficos representan la distancia a la que se

¿Sabían que...? El concepto de derivada fue desarrollado en el siglo XVII simultáneamente por dos

encuentra Pablo de su casa (d), en función del tiempo (t), en distintas oportunidades en que fue a visitar a sus abuelos.

matemáticos: Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que trabajaron sobre los concep­ tos del cálculo. Esto generó una gran dis­ puta entre ellos, pues cada uno suponía que el otro había plagiado el concepto de derivada.

Isaac Newton a.

¿Cuál fue la velocidad promedio en cada caso?

b. Para cada gráfico: ¿Oué pueden decir acerca de la velocidad con la que viajó Pablo? ¿Fue siempre a la misma velocidad?

O Problema 2 Una camioneta parte de un pueblo y se desplaza contrayecto1 ria recta según la función d(t) = 35t + —t 2, donde t es el tiempo de marcha medido en horas y d es la distancia de la camioneta al pueblo de donde partió, medida en kilómetros. Gottfried Leibniz

A 144 km del pueblo hay un cruce de caminos muy peligroso. Por este motivo, se instaló allí un dispositivo que controla que la velocidad de los vehículos no supere los 40 km/h. Si se excede este límite, el dispositivo saca una foto de la patente del vehículo y registra la infracción. ¿Le corresponde una multa a la camioneta? ¿Por qué?

• Problema 1

1. Daniel suele ir a la casa de unos ami­ gos que viven a 80 kilómetros de la suya.

a. Como en todos los casos Pablo viajó 400 kilómetros en 4 horas, entonces, en todo el viaje su velocidad promedio fue de

km/h, o sea, de 100 km/h. A la velocidad promedio se

Los siguientes gráficos representan la distancia a la que se encuentra Daniel de su casa, en función del tiempo, en distintas ocasiones en que visitó a sus amigos.

la llama velocidad media.

Para cada gráfico, analicen si Daniel

Velocidad media

Justifiquen sus respuestas.

realizó el viaje a velocidad constante.

a.

Si la función d(t) determina la distancia de un móvil a un cierto lugar en función del tiempo t, llamamos velocidad media del móvil en el intervalo de tiempo a; b al cociente entre d(b) - d(a) y b - a. Simbólicamente escribimos: d(b)-d(a) b -a (en horas) b. En el gráfico I. la función que relaciona la distancia a la que se encuentra Pablo de su casa con el tiempo está representada por una recta. Entonces, para intervalos de tiempo iguales, Pablo recorrió distancias iguales. Por lo tanto, Pablo viajó siem­ pre a la misma velocidad. El gráfico II. presenta segmentos de recta. Para cada uno de ellos, podemos hacer un análisis similar al realizado para el gráfico I. Por lo tanto, Pablo viajó a diferentes velocidades en los tres tramos, siendo la velocidad constante en cada uno

(en horas)

de ellos. Como el gráfico III. no corresponde a una función lineal, consideremos en él la distancia recorrida por Pablo en cada intervalo de una hora.

2. Calculen la velocidad media de todo el viaje para cada uno de los gráficos de la actividad 1 .

En el gráfico anterior, podemos observar que en cada intervalo de una hora Pablo recorrió diferentes distancias. Por lo tanto, la velocidad a la que viajó no se mantuvo constante. Lo mismo sucede para el gráfico IV.

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

14

Análisis 2

DERIVADAS

3. Un automóvil hizo un viaje en cua­

• Problema 2

tro etapas. En la primera, recorrió 100 km en una hora y media. En la

Para responder a la pregunta, necesitamos conocer la velocidad

segunda etapa, 150 km en 2 horas. En

de la camioneta en el instante en que pasó por el lugar donde

la tercera, recorrió 200 km en 1 hora

está el dispositivo. Para ello, primero debemos calcular en qué

40 minutos, y en la cuarta etapa, hizo

momento la camioneta se encontraba a 144 km del pueblo

70 km en tres cuartos de hora. ¿Cuál fue su velocidad media durante todo el viaje? ¿Y durante los primeros dos tramos?

desde el que partió. Es decir, tenemos que resolver la siguiente ecuación: 144 = 35t + - t 2, o sea, 0 = - t 2+ 35t - 1 4 4 4 4 Al aplicar la fórmula resolvente, obtenemos quet = 4 o t = -144. Pero como t debe ser positivo, solamente consideramos t = 4. Luego, para determinar cuál era la velocidad de la camioneta a las 4 horas de viaje, debemos hallar qué marcaba el velocímetro de la camioneta en ese momento. Para ello, calculamos las velo­ cidades medias en intervalos de tiempo que incluyan a 4 y que

4. Consideren la función

sean cada vez más pequeños. Por ejemplo, resulta que

d(t) = 2t 2 + 14t, que relaciona la dis­ tancia en kilómetros a un cierto lugar de un móvil (d) con el tiempo de mar­

181,25-144 Vm* 5 =-----5 ^ 4 ---- = 37,2 5' Vm^

162,5625-144 = 37,125, 4 ,5 - 4

cha (t) medido en horas, y hallen las siguientes velocidades medias:

Vm,

147,7025 -1 4 4 4 ,1 - 4

: 37,025. Luego, en el intervalo de

a. Vm1;2= ________________________________ tiempo 4; b, con b >4, la velocidad media es

b-Vmi;i ,5= C-Vm 1;13 =

Vm

d .V m 1;12 =

x 35b+ —b2-1 4 4 _ d(b) -d (4 ) ________ 4_________ 4:b b -4 b -4

Como queremos determinar la velocidad sólo en 4, hallamos

e-Vm 1:115 =

el límite de la velocidad media entre 4 y b cuando b tiende a 4 f-V m .h=

(con b > 1 )

por derecha. 35b + —b2- 1 4 4 —(b~^4)(b +144) lím ------ ^ --------- = lím —------ ¡------------ = 37 b-4* b -4 b-4* -b~^T Si hubiésemos calculado la velocidad medida en el intervalo de tiempo 4; b, con b < 4, resultaría que d (4)-d (b ) _ -[-d(4) + d(b)] _ d(b)-d(4) 4ib

4 -b

- (- 4 + b )

b -4

y

obtendríamos el mismo valor que en el caso de b >4. Por lo tanto, cuando la camioneta estaba a 144 kilómetros del pueblo, a las 4 horas de salir, su velocidad era de 37 km/h. Enton­ ces, no le corresponde una multa, pues no superó los 40 km/h. La velocidad de 37 km/h es la velocidad instantánea de la camione­ ta en t = 4.

Velocidad instantánea

5. La distancia al suelo de un proyectil que fue lanzado verticalmente está dada

Llamamos velocidad instantánea en el momento a y lo de­ notamos Vi(a) al valor del límite de la velocidad media en

por la función a(t) = -5 t 2 + lOOt, donde t es el tiempo medido en segundos y a es la altura que alcanza el proyectil, medida en metros.

el intervalo de tiempo a; b cuando b tiende a a. Simbólica­ mente escribimos Vi(a) = lím b- ‘

~ b- a

.

Calculen la velocidad del proyectil cuan­ do está por primera vez a 375 metros de altura.

O Problema 3 El siguiente gráfico representa la distancia (d) de un auto, que transita por una ruta recta, a la ciudad desde donde salió, en función del tiempo (t). Hallen la velocidad instantánea del auto en el momento a.

6. A partir de la función d(t) = - t 2 + 20t,

• Problema 3

que vincula la distancia en kilómetros de un móvil a un punto determinado (d)

En este problema, debemos utilizar un razonamiento similar al

al tiempo de marcha (t) expresado en

empleado en el problema 2. La diferencia con ese problema es

horas, obtengan las siguientes velocida­

que en el problema 3 no conocemos la fórmula de la función

des:

que vincula la distancia a la ciudad al tiempo, sino el gráfico de

a. Vrrij. 3= ___________________________________

esa función. Sabemos que la velocidad media en un intervalo de tiempo es el cociente entre la variación entre las distancias al punto de

b. Vi (1) = ____________________________________ c. Vi (3) = ____________________________________

partida y la variación del tiempo empleado. Pero ¿cómo inter­ pretamos ese cociente en el gráfico anterior? Consideremos en dicho gráfico un intervalo de tiempo a; b cualquiera.

Entonces, la velocidad media del auto en el intervalo de tiempo

d. Vi (1,5) = _________________________________

16

Análisis 2

DERIVADAS

¿Sabían que...?

Si en el último gráfico trazamos la recta determinada por los

Gottfried Leibniz nació el i de julio de 1646,

puntos (a; d(a))y (b; d(b)), obtenemos el siguiente gráfico:

en Leipzig, Alemania.

d

Su padre, que era profesor de Filosofía, falle­ ció cuando él tenía seis años y fue criado por

d (b )

su madre.

d (b )-

A los catorce años, ingresó en la Universidad de Leipzig. Aunque en nuestra época esto

d (a ) ------------------------------------ b - a

nos resulte muy extraño, en aquel momento

--------- -

a

b

t

no era el único alumno de esa edad que asistía a la universidad. En la Universidad de Leipzig, estudió Filoso­ fía y Matemática,y se graduó en leyes. Co­ mo en esta casa de estudios le fue negada la posibilidad de doctorarse en Derecho, lo hizo en la Universidad de Altdorf, en 1667.

Por lo tanto, la expresión

que pasa por los puntos (a; d(a)) y (b; d(b)).1 Luego, para hallar la velocidad instantánea en a, debemos cal­ cular el valor del límite de

Leibniz se interesó también en estudiar otros campos de las ciencias y, en 1671, publi­ có un libro de física. En 1672, viajó a París. Allí profundizó sus es­ tudios de Matemática y física y desarrolló el cálculo diferencial e integral.

—^^-es la pendiente de la recta b -a

b -a

cuando b tiende a a. Para

ello, dibujemos las distintas rectas que pasan por (a; f(a)) y que quedan determinadas para diferentes valores de b a medida que b se aproxima cada vez más a a.

Newton le escribió una carta en la cual le comentaba algunos de sus resultados, pero no le describía sus métodos. A partir de aquí, Leibniz tomó conciencia de que debía publi­ car sus descubrimientos. En octubre de 1676, Newton le escribió una segunda carta en la cual, con diplomacia, daba a entender que suponía que Leibniz le había copiado sus conceptos. En 1736, Newton publicó su libro y fue en­ tonces cuando empezó la disputa entre ellos sobre quién había sido el creador de los nue­ vos conceptos del cálculo.

En el límite, obtenemos una recta que pasa por el punto (a; d(a)) y cuya pendiente es el valor del límite de cuando b tiende a a. Esta recta recibe el nombre de recta tangente al gráfico de la función en el punto (a; d(a)). La pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en el punto (a; d(a)) se llama derivada de la función en el valor a.

Derivada de una función en un valor ¿Cómo se lee...?

Llamamos derivada de la función f(x) en el valor a y lo

f'(a ):f "prima” en a o derivada de f(x) en a.

denotamos f'(a) al valor de lím — — *-*a x - a f'(a) = lím

x-a

número real. ‘ Ver Libro 1, página 41.

Es decir que

siempre que este límite sea un

Si consideramos x - a = h, obtenemos quex = a + h, con lo cual

¿Sabían que...?

cuando xtiende a a, entonces, h tiende a 0. Luego, resulta que

Isaac Newton nació el 4 de enero de 1643 en Inglaterra. Su padre, que era

\ i- f(x) - f (a ) . . .. . • .. f(a+ h)-f(a) f(a ) = lim — — — (i) =>f (a) = lim —— -— — x-a x - a !■ -»• h

granjero,falleció unos meses antes de

(2)

su nacimiento. En 1661, Newton ingresó en el Trinity

La expresión

+

se llama cociente incremental.

Para calcular la derivada de una función en un valor es, a veces,

College de Cambridge. Se interesó por la Matemática cuando al intentar leer un libro de astronomía no entendió los conceptos matemáticos que incluía.

más práctico usar la expresión (2) que la (l).

En 1665, se cerró la Universidad de Cambridge durante una epidemia. Éste fue el período en el que Newton

Recta tangente al gráfico de una función en un punto

desarrolló sus avances en Matemática, óptica, física y astronomía.

Llamamos recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (a;f(a)) a la recta que pasa por ese punto y cuya pendiente es f'(a).

Cuando en 1667 se reabrió la universi­ dad, Newton obtuvo su primer cargo. Trabajó allí hasta 1696 , cuando se mudó a Londres. En esta ciudad tuvo diferen­ tes cargos; por ejemplo, el de presidente de la Royal Society, para el cual fue ree­

O Problema 4

legido desde 1699 hasta su muerte. En 1671, escribió De Methodis Serierum et

Encuentren la ecuación de la recta tangente al gráfico de

Fluxionum, donde desarrolló el concep­

f(x) = x2+ Bx en a = 7, o sea, en el punto de abscisa 7.

to de fluxión (derivada), que se publicó en 1736. Falleció en Londres en 1727.

• Problema 4 Para hallar la ecuación de una recta, necesitamos, por ejemplo, la pendiente de dicha recta y uno de sus puntos.

Recordemos que...

Si a = 7, entonces, f(a) = f(7) = 72+ 3 . 7 = 70. Luego, la recta

I (a+b)2 = (a + b ). (a + b)

que buscamos pasa por el punto (7; 70). Como la pendiente de la recta tangente es la derivada de f(x)

Si aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la

en a = 7, debemos obtener el valor del límite del cociente incre­

suma, obtenemos lo siguiente:

mental cuando h tiende a cero, con lo cual en primer lugar te­

(a + b)2 = a 2 + ab + ba + b2

nemos que hallar f(a+h), o sea, f(7+h). Para ello, reemplazamos

Luego, sumamos y resulta que

en f(x) a x por 7 + h.

(a + b)2 = a 2 + 2 ab + b2

Como f(x) = x2+3x =>f(7+h) = (7+h)2+ 3 (7+h). Luego, resulta que f'(7) - lím Í ! Z ± ^ M . IIm [(7 + h-o h

+ 3(7 + h)] - 70 . h

.. 49 + 14h + h2+ 21 + 3h - 70 17h + h2 = lim ----------------¡-----------------= lim -----¡----- = h-o h "-o h = lím ^ 17 + h) = lím(17 + h) = 17 h- 0

h- 0

Entonces, la pendiente de la recta tangente es 17.

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

18

Análisis 2

DERIVADAS

7. Calculen la derivada de estas funcio­

Por lo tanto, debemos encontrar la ecuación de la recta que

nes en el valor de a indicado.

tiene pendiente 17 y pasa por el punto (7; 70). Recordemos

a.f(x) = 3x + 2 en a = 2

que la ecuación de una recta con pendiente m y ordenada al origen b es y = mx + b. Luego, si y = mx + b =>70 = 1 7 . 7 + b => => b = - 49. Entonces, la ecuación de la recta buscada es

b. g(x) = 2 x 3 en a = 1

y = 17x - 49.

Función derivable en un valor c. h(x) = V xen a = 4

Una función f(x) es derivable en un valor a si f'(a) es un número real. 8. Escriban la ecuación de la recta tan­ gente al gráfico de f(x) = 4x 2 + 3 en a = 5.

Por ejemplo, la función f(x) = x2es derivable en a = 3, pues f ( 3 , . |,m Í 0 ± h h ® . Ilm 13- y - 9 . Ilm * + 6 h + h - - i

= lím ^ + ^ = 6 con lo cual f'(3) es un número real. h-o K En cambio, la función f(x) = |x| no es derivable en a = 0, porque 9. Completen las siguientes afirmacio­

. .. f(0 + h) - f(0) |0 + h |- |0 | .. |h| f (0) = lim —-----/ — = lim J-----r — — = l i m ^ . y como h- 0

nes para que resulten verdaderas. Justi­ fiquen sus respuestas.

fl

h- 0

h

h- 0 h

lím ^ = -1 y lím ^ = 1, entonces, lím ^ no existe y, en conh-o- h h-°+ h h-° h

a. Si la recta tangente al gráfico de

secuencia, f'(0) no existe. g(x) = x 2 + 3x + 2 en el punto (a;g(a)) es paralela al eje y, entonces, es a = ______

O Problema 5 El siguiente gráfico corresponde a la función f(x). A partir de él, determinen si existe la derivada de f(x) en los valores a, b, c, d y e.

b. Si la recta tangente al gráfico de h(x) =

^

en el punto (a;h(a)), con

a < 0, es perpendicular a la recta y = 9x + 3, entonces, es a = ______

• Problema 5 Para hallarf(a), debemos obtener el valor del límite del cociente incremental (página 17) cuando h tiende a cero. Pero en el gráfico

Recordemos que... Una función f(x) es continua en a si se cumplen las siguientes condiciones:

observamos que en a la función es discontinua. Por lo tanto, debe­

I. Existe f(a)

mos considerar los límites laterales del cociente incremental.

II. lím f(x) = L, donde L e IR

.. .. f(a + h )- f(a ) M - f(a) Luego, resulta que lim —-----f-— — = lim ----—L-L . h-oh h

x-*a

III. L = f(a)

Como el numerador del cociente incremental tiende a M - f(a ),

Las discontinuidades se clasifican de la

que es un número distinto de 0, y el denominador tiende a 0,

siguiente manera:

entonces, obtenemos lo siguiente:

I Evitable si lím f(x) tiene distinto valor x—a

|im f(a + h ) - f ( a ) - a j h-oh

quef(a).

Por lo tanto, independientemente del resultado del otro límite

I Esencial de primera especie con salto

lateral, podemos afirmar que f'(a) no es un número real, con lo

finito si los límites laterales lím f(x) y

cual f'(a) no existe. Esto ocurre en cualquier discontinuidad de primera especie con salto finito.

x-*a~

lím f(x) tienen valores distintos. x-»a +

Analicemos qué sucede para el valor b.

I Esencial de primera especie con salto

Como la recta x = b es asíntota vertical de f(x), entonces, b no

infinito si por lo menos uno de los lími­

pertenece al dominio de f(x). Luego, f(b) no existe. Por lo tanto,

tes laterales, lím f(x) o lím f(x) o ambos, x -*a-

no es posible calcular la derivada de f(x) en b; es decir que f'(b) no existe.

x-»a+

es infinito.

Para determinar si existe la derivada de f(x) en c, tracemos por

I Esencial de segunda especie si no exis­

(c; f(c)) las rectas que se aproximan a la recta tangente al gráfi­

te alguno de los límites laterales, o sea,

co de f(x) en el punto (c; f(c)):

si no existe lím f(x) o no existe lím f(x).

10. Analicen si cada una de las siguientes funciones es derivable en el valor de a que se indica. Justifiquen sus respuestas.

Observamos que tanto las rectas de color rosa como las de co­ lor celeste se aproximan cada vez más a una recta vertical. Ésta

a. f(x) = x 3+ 2 en a = 1

es la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (c; f(c)). Pero como las rectas verticales no tienen pendiente, entonces, f'(c) no existe. Analicemos qué sucede para el valor d haciendo un razona­

1

miento similar al realizado para el valor c, es decir, tracemos

b' g M = x + i e n a = _ 1

por (d; f(d)) el mismo tipo de rectas que dibujamos para deter­ minar la existencia de f'(c)

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

20

Análisis 2

DERIVADAS

11. Determinen si las funciones que fi­

Al trazar las rectas que pasan por el punto (d; f(d)) y se aproxi­

guran a continuación son derivables en

man a la recta tangente, observamos que por izquierda y por

el valor de a indicado. Justifiquen sus

derecha obtenemos dos rectas (una de color rojo y la otra de co­

respuestas. a.f(x) = |x| en a = - 2

lor azul) que tienen distinta pendiente. Entonces, los límites la­ terales del cociente incremental cuando h tiende a cero son di­ ferentes. Por lo tanto, el límite del cociente incremental cuando h tiende a cero no existe y, en consecuencia, f'(d) no existe. A los puntos que poseen las características de (c; f(c)) y (d; f(d))

b. f(x) = |x + 2| en a = 5

se los llama puntos angulosos. En el caso del valor e, no existe f(e), ya que no está definida, con lo cual tampoco existe f'(e). Conclusión

c.f(x) = |x + 2| en a = -3

No existe la derivada de una función en los valores donde la función no es continua, tiene puntos angulosos o la recta tan­ gente es vertical. Supongamos que una función f(x) es derivable en un valor a.

12. Observen el siguiente gráfico, correspondiente a f(x), y analicen si existe la derivada def(x) en los valores a, b, c, d y e.

¿Será continua en dicho valor? Analicemos esta cuestión. f(x) - fía) Si f(x) es derivable en a, entonces, lím — — — es un número real. » x- a Como x tiende a a, entonces, x - a tiende a 0. Si f(x) - f(a) no tendiera a 0, el límite sería infinito y la función no sería derivable en a. Por lo tanto, lím f(x) - f(a ) = 0 =>lím f (x) = f(a) =>f(x) es continua en a.

x—*a

x—*a

Conclusión Si una función es derivable en un valor a, entonces, es continua en ese valor. Por lo tanto, si una función no es continua en un valor a, entonces, no es derivable en ese valor. En cambio, si sabemos que una función es continua en un valor a, no podemos afirmar si es o no derivable en dicho valor. Por ejemplo, en la página 18 analizamos la función f(x) = |x|, que es continua en cualquier valor de su dominio, o sea, en IR, pero no es derivable en 0 a pesar de que 0 e IR. Hasta aquí, calculamos la derivada de una función en un valor. Es posible, también, hallar la derivada de una función en cada uno de los valores donde dicha función está definida, obtenien­ do una nueva función que calcula la pendiente de la recta tan­ gente al gráfico de la función dada en cada uno de sus puntos. Esa nueva función se llama función derivada.

Función derivada

Algo más...

Llamamos función derivada de f(x), y lo denotamos f'(x), a lím h-0

+^ h

siempre que este límite exista y no sea

Existen diferentes notaciones para indi­ car la función derivada de una función. Si consideramos f(x) = y, la función deri­ vada de f(x) se puede escribir simbólica­

infinito. Es decir que f"(x) = lím í í í í J ] ] —

mente de cualquiera de las siguientes maneras:

El dominio de f'(x) está formado por todos los valores del do­

f'(x ), y ', D(f(x)), Dy, | o D xy.

minio de f(x) para los cuales existe f'(x). Por lo tanto, el do­ minio de f'(x) está incluido o es igual al dominio de f(x). O sea que Dom f s Dom f.

¿Cómo se lee...? £: está incluido o es igual a.

O Problema 6 Para la función f(x), hallen el dominio, la función derivada y el

13. Indiquen si cada una de las siguien­

dominio de ésta, en cada uno de los siguientes casos:

tes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifiquen sus respuestas.

a. f(x) = mx + b

b. f(x) = x3

e.f(x) = Vx

d. f(x) = In x

e. f(x) = sen x ‘ « ■ 7

a. La función f(x) =

1 x-3

no es derivable

en 3 porque no es continua en ese valor.

• Problema 6 a. El dominio de f(x) = mx + b es Dom f = IR. Como f(x) = mx + b, entonces, f(x + h) = m(x + h) + b.

b. La función g(x) = |x + 2| es derivable en - 2 porque es continua en dicho valor.

Luego, resulta que f ( x ) = lím

h- 0

+^ h

=

„ m(x+ h) + b - (m x + b) ., jprxt+ m h + b -m xr-b = lim —5----- -— ¡— -------- - = lim ------------¡-------------= h-o h h- h mK = lim - — = m

h- 0

>f

Por lo tanto, f'(x) = m para cualquier número real x, pues Dom f = IR. Hemos demostrado que si f(x) = mx + b, entonces, f'(x) = m. Luego, si m = 0, entonces, f(x) = b y f'(x) = 0. Por lo tanto, Dom f = Dom f= IR.

c. La función h(x) = ------es derivable en x+ 5 cada valor de su dominio, o sea, en todo su dominio.

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

22

Análisis 2

DERIVADAS

Recordemos que...

b. Para f(x) = x 3el dominio es Dom f = IR.

I (a + b)3 = (a + b)2. (a + b) = = (a2 + 2 ab + b2) . (a + b)

Luego, f '(») - llm f(x * h>~ f(x) - lim (x + h>’ ~ x ’ h-0

Si aplicamos la propiedad distributiva de

h-0

h

3x2h + Bxh2+ h3 .. >í(Bx2+ 3xh + h2 : lím |m --------------------------- = lim —5---------------- = 3x2 hh--0 h-0 h

h

la multiplicación con respecto a la suma, obtenemos lo siguiente:

h

Entonces, f'(x) = 3x2; en consecuencia, Dom f '= IR.

(a + b)3 = a 3 + a2b + 2 a2b + 2 ab 2 + b2a + b3 Luego sumamos y resulta que (a + b)3 = a 3 + 3a2b + 3ab 2 + b3 I (a + b)(a - b) = a2-ab -+ bar- b2, con lo cual (a + b)(a - b) = a 2 - b2

c. El dominio de f(x) = Vx es Dom f = [0; + « ). Luego, f'(x) = lím h-o

+ ^—— . Pero este límite está indetermih

nado. Para salvar la indeterminación, multiplicamos y dividi­ mos el cociente incremental por Vx + h + Vx. Entonces, f

._

(Vx + h - V x )(V x + h -t-Vx) _ (Vx + h f - ( V x f _ "-° h(Vx + h + Vx) »-° h(Vx + h + Vx)

-Ir t i —- = = — = -= nm .— = — 7=r- = — j= . Por lo tanto, n-o h(Vx + h + Vx) h-o K(Vx + h + Vx) 2V x 1

f'(x) =

Y Dom f '= (0; +°°)- En este caso, el dominio de f'(x)

no coincide con el dominio de f(x) porque 0 e Dom f, pero 0 i Dom f .

Recordemos que...

d. Para f(x) = ln x el dominio es Dom f = (0; +«).

x +h ln = lím ----—---- 1= h

Algunas de las propiedades del logaritmo son las siguientes:

Luego, resulta que f'(x) = lím h-o

+

h

I loga b + loga c = loga (b . c) I loga b —loga c = loga ( b : c)

h-0 h

1 X

I

h-0

\

X

I

I c loga b = loga (bc)

Como la función logarítmica es continua en todo su dominio, .. /x + h\¡ entonces,secumpleque lím ln (X + ^ )"= ln lim h -0

Recordemos que...

\

X

I

[h -o \

x

Pero este límite está indeterminado. Sin embargo, por la defi-

El número neperiano e se puede definir de la siguiente manera:

1

nición del número e sabemos que e = lím (1 h— J . Entonces,

e = lím (1 + h)h

h- o

ln lím

¡x + h H

h-” \ x

/

= ln lím 1 + h-° \ X

hun

¡x h\i¡ = ln lim - + = ln lim 1 + h-*0 \ X X ¡ h_*0 \ x l 1 1 1 = lne* = - . I n e = - . 1 = -

Por lo tanto, f'(x) =—. x

X

X

X

El dominio de la función —es IR-ÍO}. Sin embargo, como x

Recordemos que...

Dom f = (0; +oo), entonces, debe ser Dom f = (0; +00), pues siem­

sen (a + b) = sen a eos b + eos a sen b y sen (a - b) = sen a eos b - eos a sen b.

pre el dominio de f'(x) está incluido o es igual al dominio de f(x). e. El dominio de la función f(x) = sen x es Dom f = IR. Luego,

f ( x ) = lím

.. sen(x + h) - sen x

.. -= lím J, h-0

Uc+ h - jc \ / x + h + x 2 se n í--------- e o s ---------\ 2 j \ 2

Al sumar miembro a miembro estas dos igualdades obtenemos lo siguiente: sen (a + b) + sen (a - b) = 2 sen a eos b (1 ) Consideremos a + b = p (2] y a - b = q !)• Si sumamos miembro a miembro las expresiones

. hI / 2x + h 1 /h I / hl 2 s e n — e o s ------2 s e n — cos x + — = lím ______ 1 2 1= lím ______________ 1 2 ¡ h-0 h "-0 h

y

.resulta que p+q 2a = p + q. Entonces, a = Si restamos miembro a miembro las ex­ presiones

y

obtenemos 2b = p - q .

Entonces, b = ^ ^

s e n ly l

= lím — ¡---- . lím eos x + — = 1 . eos x = eos x. Por lo tanto, h-o h h-o \ 2 /1 h --------

♦ sen y c o m o lím — ;—

2

h-o

h

(5).

Reemplazando en

a a + b, a - b, a y b

utilizando las expresiones

,

,

y

,

respectivamente, resulta que

f '(x) = eos x y Dom f 1= IR.

p+q p -q sen p + sen q = 2 sen - eos 2

Utilizando un razonamiento similar al empleado en el ítem e., si f(x) = eos x, resulta que f ( x ) = -sen x, y Dom f = Dom f = IR. 1

De igual forma podemos demostrar que p+q p -q s e n p - s e n q = 2 eos - sen 1,

r

= lím -— Pz~ r = — Por lo tanto, f'(x) = — \ y Dom f = IR—{0}. h-o (x + hjxpf x2 x2

Después de haber resuelto el problema 6, podemos darnos una idea del trabajo que implica calcular el límite del cociente incremental cuando h tiende a cero cada vez que es necesario hallar la función derivada. Por este motivo, los matemáticos desarrollaron fórmulas que permiten facilitar los cálculos.

Propiedades de las funciones derivables I Si las funciones f(x) y g(x) son derivables en el valor a, entonces, (f + g)(x) es derivable en el valor a y, además, se verifica que (f + g)' (a) = f'(a) + g'(a).

2

-1

f. Para la función f(x) = - es Dom f = IR-{0 }. Luego, _ 1 ____ 1 „ x + h x „ x - ( x + h) „ . > . ~ lim 7---- ¡r^—¡r = f (x = lim ---- ----- = lim , "-o h h-o (x + h)xh n-o (x + hjxh

2

eos p + eos q = 2 eos

2

p+q p -q _ eos _ y

eos p - eos q = -2 sen

2

p+q,

2

p -q

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

24

Análisis 2

DERIVADAS

14. Hallen la función derivada de cada

Para demostrar esta propiedad, utilizamos la expresión (2) de la

una de estas funciones utilizando las

página 17.

propiedades de las funciones derivables y las funciones derivadas obtenidas en el problema 6.

Luego, (f + g)'(a). Ilm tf+g)(a + h h-o h

) - )(a) .

= |ím f (a + h) + g(a + h) a.f(x) = — -s e n x b. g(x) = In x + x 3

: lím h -0

c. h(x) = sen x - Vx

= lím

f(a + h) h

| g(a + h) h

f(a + h) - f(a) | |ím g(a + h )-g (a )

: f'(a) + g'(a)

Como a puede ser cualquier número real, entonces, podemos afirmar que ( f + g)'(x) = f'(x) + g'(x). I Si las funciones f(x) y g(x) son derivables en el valor a, enton­ ces, ( f - g)(x) es derivable en el valor a y, además, se verifica que (f - g)' (a) = f'(a) - g'(a). Esta propiedad la podemos demostrar utilizando un razonamien­ to similar al empleado para demostrar la primera propiedad. Luego, como a puede ser un número real cualquiera, resulta que ( f - g)'(x) = f'(x) - g'(x). Utilicemos la propiedad anterior en el siguiente ejemplo: si f(x) = x3-se n x, entonces, de acuerdo con los resultados obteni­ dos en el problema 6, es f'(x) = 3x2- eos x. Recordemos que...

I Si g(x), que no es una función constante, es una función deri­

La función compuesta de g(x) con f(x) es la

vable en el valor a y f(x) es una función derivable en el valor

función (f o g)(x) = f[g(x)].

g(a), entonces, la función (fog)(x) es derivable en el valor a y,

Es decir que a un elemento del dominio de g(x)

g(x) le aplicam os g y obtenem os

le aplicam os f y obtenem os

f[g(x)]

además, se verifica que (fog)'(a) = f'[g(a)]. g'(a). Esta propiedad recibe el nombre de regla de la cadena. Demostremos esta propiedad. Sabemos que si el conjunto imagen de g(x) está incluido en el

No siempre es posible componer dos fun­

dominio de f(x) o es igual a él, entonces, es posible hallar la fun­

ciones. Para que sea posible, los elementos

ción compuesta de g(x) con f(x), o sea, (fog)(x).

del conjunto imagen de la primera función que se aplica deben pertenecer al dominio

Además, como f(x) es derivable en g(a) y g(x) es derivable en a,

de la segunda función.

entonces, resulta quef'[g(a)] = lím f fe(a) + ^ ~ h-o h

(i) y

g'(a) = lím ^ a + ^ - ^ a> (2). Luego, h-0

h

(fog)'(a)-llm sen z

X3

lo elevam os al c u b o y o b te n e m o s

La función m(x) es la función compuesta de g(x) = x 3y f(z) = sen z. Es decir que m(x) = f[g(x)] = (fog)(x). Luego, como g'(x) = 3x2 y f ‘(z) = eos z, entonces, m'(x) = (fog)'(x) = f'[g (x)]. g'(x) = cos(g(x)). 3x2= cos(x3) . 3x2

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

26

Análisis 2

DERIVADAS

15. Obtengan la función derivada de

I Si las funciones f(x) y g(x) son derivables en el valor a, en­

las siguientes funciones utilizando la

tonces, (f . g) (x) es derivable en el valor a y, además, se verifica

regla de la cadena y las funciones deri­

que ( f . g)'(a) = f'(a). g(a) + f(a). g'(a).

vadas halladas en el problema 6.

Demostremos esta propiedad. a. a(x) = (3x + 2)3

Como f(x) y g(x) son derivables en a, entonces,

b. b(x) = ln (2 x -3 )

f (a). h-o lim f(a + h> -f(a) (l)y g'(a) - i-» lim g-g (2) h h

c. c(x) = cos3x

Luego, (f .g )’ (a) = lím

(f • g)(a + h) - F. g)(a)

lím f (a + h ). g(a + h) -

d.d(x) = cos(x3)

e. f(x) = V 2 x + 3

Si en este límite sumamos y restamos f(a + h ). g(a) en el nume­ rador del cociente incremental, entonces, resulta que

f.f(x)=

1

2x + 3

g-f(x) =

„

1

i

[[m f(a + h ). g(a + h) - f(a + h ). g(a) + f(a + h). g(a) - f(a ). g(a) h-o h

E2x + 3

Si en el numerador de este último límite sacamos factor común f(a + h) y g(a), obtenemos lo siguiente: lím f(a + h) • [g(a + h) - g(a)] + g (a). [f(a + h) - f(a)] h-o h = lim f(a + h ) . h-» 0

= lim h- 0

8(a*h )-8ta) + 8[a)

f(a + h). H i i í h s M h

+ lím g(a) • h- 0

l¡m f(a + h l . l í m 8 m'(x) = m (x). In 3 . eos x=> m(x) => m'(x) = 3senx. In 3 . eos x El método que utilizamos para hallar m'(x) se llama derivada logarítmica.

Funciones derivadas de fundones elementales b. Si f(x) = eos x, entonces, f'(x) = - sen x. I Si f(x) = k, con k e IR, entonces, f'(x) = 0. I Si f(x) = x, entonces, f'(x) = 1. 1

I Si f{x) = In x, entonces, f'(x) = —. I Si f(x) = eos x, entonces, f"(x)= -sen x. I Si f(x) = sen x, entonces, f'(x) = eos x. I Si f{x) = x", con n e IR y n * -1, entonces, f "(x) = n . x"'1.

18. Demuestren la siguiente afirmación utilizando que ax = e (lna)x.

Demostremos esta última afirmación para x > 0 utilizando la derivada logarítmica.

Si f(x) = ax, con a > 0 y a * l , entonces,

Si f(x) = x n=>ln[f(x)] = In xn=> ln[f(x)] = n . In x.

f'(x) = ax In a.

Luego, obtenemos lo siguiente: (ln[f(x)])' = (n . Inx)' =>^

. f'(x) = n . ^ =>

1

=>f'(x) = f ( x ) . n . - =>f '(x) = x n. n . x 1 = n . x"1 La afirmación que hemos demostrado también es cierta para cualquier valor de x del dominio de f(x). I Si f(x) = ex, entonces, f'(x) = e\ Para demostrar esta afirmación, utilizamos la derivada logarítmica. Luego, resulta que si f(x) = ex=> In [f(x)] = In e x=> => In [f(x)] = x . In e => In [f(x)] = x. Por lo tanto, resulta que (ln[f(x)]' = (x)' =>^

. f (x ) = 1 =>f'(x) = f(x) =>f'(x) = ex

I Si f(x) = ax, con a > 0 y a * 1, entonces, f'(x) = ax. In a. 1

I Si f{x) = log, x, con a > 0 y a * 1, entonces, f "(x) = — ¡— . x • in 3

Demostremos esta afirmación. Para ello, en la expresión de f(x)

Recordemos que... La propiedad del logaritmo referida al cambio de base es la siguiente:

cambiamos la base a del logaritmo considerando como nueva loga b =

l°gca

base el número e. Luego, utilizando la fórmula para el cambio de base del logaritmo, resulta que f(x) = logax = | ~ =

ln x -

19. Hallen la función derivada de cada una de las siguientes funciones

1

1

Entonces, como — es un número real, f'(x) = — (ln x)'= ln a ln a

y redúzcanla a la mínima expresión. a.a(x) = ^

1

1

ln a ' x

x . ln a

O Problema 7 La distancia en centímetros de un móvil a un cierto lugar está

b. b(x) = log5(x2 + 3x)

16

determinada por la función d(t) = — + 4t, donde t es el tiempo de marcha medido en segundos. a. ¿Oué velocidad alcanzó el móvil a los 4 segundos de marcha?

c.c(x) =

b.¿Cuál era la aceleración instantánea del móvil a los 10 segun­

3x + 8 (2x + 4 )2

dos de iniciada la marcha?

• Problema 7 a. Sabemos que, conociendo la función que vincula la distancia

d. d(x) = Veos x

a un punto al tiempo de marcha, la velocidad instantánea del móvil a los 4 segundos se puede calcular a través de la derivada de dicha función en t = 4. Como d(t) = ^ + 4 t =16. t _1 + 4 . t, entonces, d'(t) = - 1 6 . t~2+ 4. e.e(x)

Luego, el valor de d'(t) en t = 4 es el siguiente:

x+ 3

■Jx + 2

d'(4) = - 1 6 .4~2+ 4 = -1 6 . ^ + 4 = 3. Por lo tanto, a los4segundos de marcha la velocidad del móvil fue de 3 b.

cm seg'

La aceleración media de un móvil es el cociente entre la

variación de la velocidad instantánea y el tiempo transcurrido. Si el intervalo de tiempo transcurrido es cada vez más pe­ queño, es decir, tiende a cero, entonces, la aceleración instan­ tánea del móvil en un instante t cualquiera es la siguiente:

f.f(x) = tg x

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

30

Análisis 2

DERIVADAS

20. Obtengan las funciones derivadas

Pero, como Vi(t) = d'(t), entonces, a(t) = lím ^ ^ + ^ h -0

primera, segunda y tercera de cada una de las funciones que se indican a conti­ nuación. Además, calculen el dominio de cada función y el de cada función deriva­ da sucesiva.

a. f(x) = x 5+ 3x4

.

h

O sea que la aceleración instantánea es la función derivada de la función derivada de d(t). Esa nueva función derivada reci­ be el nombre de función derivada segunda de d(t) y se denota d"(t). Por lo tanto, a(t) = d"(t).

En el problema 7, como d'(t) = - 1 6 . t ' 2+ 4, entonces, d"(x) = - 1 6 . (- 2 )t'2_1 + 0 = 32 . t " 3. Luego, cuando t = 10 resulta b- g(x) = ex

que d"(10) = 32 .0,001 = 0,032. Por lo tanto, la aceleración ins­ tantánea del móvil a los 10 segundos era de 0,032 6 seg2 Observen que en el problema 7, la velocidad se mide en y el tiempo está expresado en segundos. Luego, como la acele­

c. h(x) = lnx ración es el cociente entre la variación de la velocidad y la va­ riación del tiempo, entonces, en el problema 7, la aceleración cm instantánea se mide en

seg

0 sea, en

seg2

d. ¡(x) = sen x

Funciones derivadas sucesivas En el problema anterior, necesitábamos hallar la función deri­ vada segunda. También, de una función f(x) cualquiera se pue­ den calcular las funciones derivada tercera (hallando la fun­ ción derivada de f"(x)), derivada cuarta (hallando la función de­ rivada de f"(x )) y así sucesivamente. A estas nuevas funciones se las llama funciones derivadas sucesivas de la función f(x). Por ejemplo, consideremos la función f(x) = x4+ 8x2+ 9. Algunas de las funciones derivadas sucesivas de f(x) son: f'(x) = 4x3+ 16x (función derivada primera de f(x)) f"(x) = 12x2+16 (función derivada segunda de f(x)) f'"(x) = 24x (función derivada tercera de f(x))

O Problema 8 Queremos calcular V4^1 y se rompió la calculadora. ¿Cómo po­ demos hallar un resultado aproximado de ese cálculo sabiendo que V i = 2?

31

• Problema 8

21. Calculen un valor aproximado de

Grafiquemos la función f(x) = Vx y la recta tangente a su gráfi­

sen 46°, sabiendo que sen 45° = — .

co en el punto cuya abscisa es 4.

Recuerden que 45° corresponde en radianes a

En el gráfico, observamos que en un entorno de 4 la recta tan­ gente es una aproximación de la función f(x) = Vx. Es decir que para cualquier valor muy próximo a 4, su imagen a través de

22. Obtengan un resultado aproximado

f(x) es aproximadamente igual a la que se obtiene por medio

de \/64,95 utilizando que S/64 = 4.

de la recta tangente. Por lo tanto, para obtener un resultado aproximado de V4^1, debemos hallar la ecuación de dicha recta tangente. Para ello, 1 calculemos primero su pendiente. Como f'(x) = — —, entonces, 2Vx 1 la pendiente de la recta tangente es f '(4) = —. Luego, la ecua4 1 ción de la recta tangente es y = —x + b, donde bes la ordena4 da al origen. Además, la recta tangente pasa por el punto

23. Hallen aproximadamente el valor de In 3 si In e = 1.

(4; f(4)), es decir, por el punto (4; 2), con lo cual para x = 4 es 1 y = 2. Luego, reemplazando estos valores en y = —x + b, obte4 1 nemos que 2 = —. 4 + b => b = 1. 4 1 Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es y = —x + 1. 4 Luego, si x = 4,1, entonces, su imagen a través de la recta tan­ gente es y = — .4 ,1 +1 = 2,025. Este valor es una aproxima4 ción de V 4 jl. Por lo tanto, resulta que V 4ils2,0 25.

¿Cómo se lee...? =: es aproximadamente igual a.

Consideremos una función f(x) cualquiera, un valora, otro va­ lor b muy cercano a a, las imágenes de ambos valores a través de f(x) y la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (a; f(a)). Grafiquemos la situación.

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

32

Análisis 2

DERIVADAS

24. Consideren la función

¿Cuál es el error cometido al calcular la imagen de b a través de

»x —1 ... f(x) = ln ---- .Ex + 2

la recta tangente al gráfico de f(x) en (a; f(a)), en lugar de calcu­

y determinen f'(x), f"(x) y los respecti­

La pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto

vos dominios de las tres funciones.

(a; f(a)) es f'(a). Luego, la ecuación de la recta tangente es

larla a través def(x)?

y = f ( a ) .( x - a ) + f(a) El error cometido al calcular la imagen de b a través de la recta tangente es el siguiente: error = valor real - valor aproximado, o sea, error =

f(b)

- [f'(a ). (b-a) + f(a)] (l)

Como b es un valor cercano a a, llamamos A x (delta de x) al valor que sumado o restado a a da b. Luego, si b = a + A x (2) => => b - a = A x (3). Reemplazando las expresiones (2) y (3) en la 25. a. Demuestren que si f(x) es derivable en 0, f '(0) = 3 y g(x) = f(x 2- 4), en­ tonces, g(x) es derivable en 2 .

expresión (i) resulta que error = f(a + Ax) - [f'(a ). A x + f(a)] = f(a + Ax) - f(a) - f'(a ). Ax Luego, si b es cada vez más próximo a a, entonces, el error cometido tiende a cero, con lo cual f(a + A x )- f(a ) es aproxima­ damente igual a f'(a ). Ax. O sea, f(a + Ax) - f(a ) = f'(a ). Ax. La expresión f'(a ). A x se llama diferencial de f(x) en el valor a y se denota df(a). Es decir que df(a) = f'(a). Ax (4). Al realizar la interpretación geométrica de df(a), obtenemos el siguiente gráfico:

b. Hallen g'(2).

¿Cómo se lee... ?

Consideremos la función f(x) = x y calculemos su diferencial en

A: delta.

cualquier valor de x.

Ax: delta de x.

C o m o f(x) = i para cualquier valor de x, entonces,

dx: diferencial de x.

df(x) = f '( x ) . A x = 1 . A x = A x (5). Luego, por ser f(x) = x es df(x) = dx (6). De las expresiones (5) y (6) resulta que A x = dx. Por lo tanto, la expresión (4) resulta df(a) = f'(a ). dx.

Diferencial de una función en un valor Llamamos diferencial de la función f(x) en el valor a, y lo denotamos df(a), a f'(a ). dx. Es decir que df(a) = f'(a) .dx.

GE 1

G UÍA DE EJERCITACIÓN

1. Consideren la función d(t) = - t 3+ 8 t 2+ 5t que relaciona la distancia (d) a la ciudad de San Juan de un camión, medida en metros, con el tiempo de marcha (t), medido en segundos. a. Calculen la velocidad media entre los 2 y 3 segundos.

b. ¿Habrá algún instante en que el camión estuvo parado? ¿Cuál?

O

c. ¿Cuánto tiempo después de haber comenzado la marcha el camión alcanza una veloci­ dad instantánea de 10-^ -? seg

2. El siguiente gráfico representa la distancia (d) a un cierto punto de una bicicleta que

O

transita por la vereda, en función del tiempo (t). Indiquen en qué intervalos de tiempo la velocidad instantánea es positiva, negativa o nula,

d

(en metros)

t (en minutos)

O

O

■

1 iUUMNO

Análisis 2

GE 1

G U IA DE EJERCITACION

Derivadas

3. Propongan el gráfico de dos funciones que sean continuas en 4, pero que, por causas

O

diferentes, no sean derivables en ese valor.

4. Dibujen el gráfico de una función f(x) que verifique las siguientes condiciones: la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto de abscisa -2 es horizontal, la recta tangente al grá­ fico de f(x) en el punto de abscisa 5 es paralela a la recta y = x, y f(x) no es derivable en 0 .

O

o 5. Hallen los puntos (x; y) donde la recta tangente al gráfico de f(x) = x 3- 2x + 3 es: a. paralela a la recta y = x - 9

O

b. perpendicular a la recta y = - — x + 5

c. horizontal

O

ALUMNO

CURSO

FECHA

GE 1

G UÍA DE EJERCITACIÓN

6. ¿Existe algún punto (x; y) donde la recta tangente al gráfico de f(x) =

O

x —2

sea horizon­

tal? Justifiquen su respuesta.

7. ¿En qué puntos (x;y) la recta tangente al gráfico def(x) = x 3+ 7x2+ 15xes horizontal? Justifiquen su respuesta.

O

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Si f'(4) = 3 y f(4) = 10, ¿cuál es la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto de abscisa 4?

9. La recta tangente al gráfico def(x) en el punto ( l ; f ( l ) ) es y = 2x + 3. Calculen f ( l ) y f'(l).

10. Escriban las ecuaciones de las rectas tangentes al gráfico de f(x) = ^ donde f(x) se corta con g(x) =

x2—3

1

3

en l°s puntos

.

____________________ I _____________________________________

O

11. Calculen los valores de a y b para los cuales la recta y = -^-x - 3 es tangente al gráfico de

X2

f(x) =------ ¡- en el punto de abscisa -1. ax- b r

O

■ itLUM NO

,

GE 1

G U IA DE EJERCITACION

I

Análisis 2

8

Derivadas

12. Obtengan la función derivada de las siguientes funciones: a. a(x) =

3x x2- 4

c. c(x) = 3*. sen x

O b. b(x) = (x+3)(x3+ 5)

d. d(x) = e4x+5

O

e .e (x ) = t g x - ( ln x)2

f.f(x)

V3x + 5

O

g. g(x) = eos (3x2+ 5x)

h. h(x) = In

1 - eos x 1 + eos x

O

i. i (x) = (2x + 3)5'

j. j(x) = (sen x)2

O

ALUMNO

CURSO

FECHA

GE 1

G UÍA DE EJERCITACIÓN

13. La función que relaciona la distancia (d) a la base de lanzamiento de una nave con el tiempo de marcha (t) es d(t) = 4 t 4- 5 t2, donde d está medida en metros y t, en segundos. ¿Cuál es la aceleración de la nave a los 10 segundos de iniciada la marcha?

14. Hallen la función derivada segunda de las siguientes funciones: a. a(x) = (x + 3)3

O

b. b(x) = V x ^ 5

c. c(x) = sen(4x4+ 6x3)

15. Consideren la función f(x) = eos (2x + 3) y obtengan la función derivada de a. a(x) = ln(f(x))

O

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b. b(x) = ef(x)

c. c(x) = sen(f(x))

O

■

1 itLUM NO

Análisis 2

GE 1

G U ÍA DE EJERCITACIÓN

Derivadas

16. Determinen un valor aproximado de eos 31° sabiendo que eos 30° =

Vb

O

17. Hallen un resultado aproximado de V145 utilizando que V144 = 12.

18. Calculen los valores de a, b, c y d en f(x) = ax3+ bx2+ ex + d si se verifica que f(0) = 4, f '(0) = 2, f"(0) = - 3 y f "'(0) = 8.

o

19. Determinen en cada caso cuál es la opción correcta. Justifiquen su respuesta.

1

o

a. Si la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) = ek~* en el punto (—1; f(—1)) e s _ ~ . entonces: 1. k = 2 II. k = -2 III. k es un número cualquiera

o

IV. k no puede ser un número

b. Si la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x) =

a x —b

2 en el punto (1; f(l)) es

13 11 y = — x - — .entonces: J 4 2 1. a = -5 y b = 4 II. a = 5 y b = -2

o

III. a = -12 y b = -14 IV. ninguna de las opciones anteriores

ALUMNO

CURSO

FECHA

,

GA1

G U IA DE AUTOEVALUACION

f¡

Análisis 2

I

Derivadas

39

1. La función d(t) = 2 t 3- lOOt + 50 relaciona la distancia (d) a la ciudad de donde partió un

O

auto, medida en metros, con el tiempo de marcha (t), medido en segundos. Calcular la velocidad instantánea y la aceleración del auto a los 5 segundos de haber comenzado la marcha.

o o

2. Hallar los puntos (x;y) donde la recta tangente al gráfico def(x) = x3- 4 x + 1 es paralela a la recta y = 2 3 x - 2 .

3. Determinar los valores de a, b y c en f(x) = ax2+ bx + c para que la recta y = 5x + 2 sea tangente al gráfico def(x) en el punto (1, f ( l) ) y la ordenada al origen def(x) sea 0.

4. Obtener la ecuación de la recta tangente al gráfico de h(x) = (fog)(x) en el punto (1; h(l))

o

considerando que g(x) = 2x + 1 y f(x) = x 5- x .

5. Si f(x) = x . e 3x, indicar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Jus­ tificar la respuesta. a .f'(x) = e 3x.(3x2+ 1)

O

b. f '(0) = 0

■ i IL U M N O

■ C: u r s o

■ F ECH A

Análisis 2

GA 1

G U ÍA DE AUTOEVALUACIÓN

Derivadas

c. La pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (1; f(l)) es 4e3.

6. Determinar para la siguiente frase cuál es la opción correcta. Justificar la elección. La función derivada de f(x) = ex2+1 es: I. (x2+ 1) ex2 II. 2 x e x2+1

III. ex2+1

7. Para cada uno de los siguientes casos hallar f'(x) y f"(x). a. f(x) = (3x3+ 7 x ). sen x

O

b .f(x) = sen y - e x2

O t f o o - ix + ir 1

8. Calcular un valor aproximado de log29, sabiendo que log28 = 3.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ALUMNO

CURSO

FECHA

O

MATEMÁTICA | LIBRO 6 Análisis 2

2 Aplicaciones de la función derivada A l m odelizar situaciones en disciplinas como econom ía, biología o arquitectura, entre otras, se utilizan funciones cuyo com portam iento es necesario conocer. E l análisis de las funciones derivadas de esasfunciones perm ite realizar un estudio adecuado y , en consecuencia, tom ar de­ cisiones concernientes a la disciplina en cuestión.

I

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

42

Análisis 2

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA

Al terminar de resolver un problema, es

O Problema 1

importante que analicen si la respuesta que obtuvieron verifica todas las condicio­

Una función f(x) tiene el siguiente gráfico:

nes establecidas en el enunciado del pro­ blema. De esta manera, podrán detectar errores y, entonces, revisar el procedimien­ to empleado para intentar subsanar el error cometido. ¿Sabían que...? En 1744, Pedro Luis Moreau de Maupertius estableció el "principio metafisico" de la naturaleza, según el cual la naturaleza siempre opera con la mayor economía po­ sible. Esto quiere decir que la naturaleza siempre actúa de tal manera que minimi­

A partir del gráfico de f(x), determinen lo siguiente:

za alguna cantidad. Por ejemplo, la forma

a. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

esférica de las burbujas de jabón está rela­

b. Los máximos y los mínimos relativos y absolutos def(x).

cionada con el hecho de que la esfera es el

c. Los valores de x en los cuales f(x) no es derivable.

cuerpo que con mínima área contiene un

d. Los puntos en donde la recta tangente al gráfico de f(x)

volumen fijo. Maupertius fue presidente de la Academia de Berlín, donde Leonard Euler era director del área de Matemática.

es horizontal. e. Las abscisas de los puntos en los cuales la recta tangente al

Euler proporcionó muchas herramientas

gráfico de f(x) tiene pendiente positiva.

matemáticas que facilitaron el estudio de

f. Los valores de x en los cuales la función derivada de f(x)

máximos y mínimos defunciones con do­

es negativa.

minio en los números reales.

• Problema 1 Antes de comenzar a resolver el problema 1, recordemos las siguientes definiciones que hemos enunciado en el capítulo 1 del Libro 1.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento Un intervalo abierto I es un intervalo de crecimiento de la función f(x) si I está incluido en el dominio de f(x) y, ade­ más, para cualquier par de valores a y b pertenecientes a I, con a < b, se verifica que f(a) f(b).

Máximos y mínimos

1. El gráfico que figura a continuación corresponde a una función f(x).

La función f(x) alcanza un máximo relativo en x = c si exis­ te, en el dominio de f(x), un intervalo I al que pertenece cy

OÍ

en el cual para cualquier valor de x distinto de c se verifica que f(x) f(c). Observando el gráfico de f(x), contesten

La función f(x) alcanza un máximo absoluto en x = c si c

las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el dominio de f(x)?

pertenece al dominio de f(x) y para cualquier valor de x perteneciente a dicho dominio pero distinto de c se verifi­ ca que f(x) f(c). c. ¿Cuáles son los valores de x en los

El valor c es un extremo relativo/absoluto si es máximo o

cuales la función no es derivable?

mínimo relativo/absoluto.

Observemos el gráfico de la página 42 y utilicemos las defini­ ciones anteriores para resolver el problema 1.

d. ¿Para qué valores de x la función deri­ vada de f(x) es 0 ?

a. La función f(x) es creciente en (-5 ; -1) u (1; +oo) y es decre­ ciente en (-oo; -5) u (-1; 1). e. ¿En qué valores de x la función f(x) tiene máximos o mínimos relativos?

f. ¿Cuáles son los intervalos de creci­ miento y de decrecimiento de f(x)?

b. En x = 1 la función alcanza un mínimo relativo y en x = -5, un mínimo absoluto. Además, f(x) tiene un máximo relativo en x = - l y no posee máximo absoluto. c. En el gráfico de f(x) observamos que (-1; f(—1)) es un "punto anguloso", con lo cual f(x) no es derivable en -1. En los demás valores del dominio, la función f(x) es derivable.

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

44

Análisis 2

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA

Recordemos que... Una recta con pendiente positiva es creciente.

d. La recta tangente es horizontal en los puntos (-5; f(—5)), (1; f(l)) y (3; f(3)). Estos puntos se llaman puntos estacionarios.

Una recta con pendiente negativa es decreciente.

2. Una función f(x) tiene el siguiente

Punto estacionario El punto (c; f(c)) es un punto estacionario de la función f(x) si f'(c) = 0. De los ítem

b., c .y d . podemos concluir que en las abscisas de

los puntos estacionarios y en los valores donde la función no es derivable hay “ posibles” máximos o mínimos. Decimos que son posibles pues (3;f(3)) es un punto estacionario y, sin embargo, A partir del gráfico de f(x) determinen:

en x = 3 la función no tiene un máximo ni un mínimo.

a. Los valores de x para los cuales f'(x) > 0. b. Los valores de x en los cuales

Valor crítico

f'(x) < 0. c. Los puntos estacionarios de la fun­

Llamamos valor crítico al valor en el cual posiblemente la

ción f(x).

función tiene un máximo o un mínimo.

d. Los extremos relativos de f(x).

e. Para poder determinar lo que se pide en el ítem e., tracemos varias rectas tangentes al gráfico de f(x):

3. El gráfico de la función derivada de

Observamos que las rectas tangentes con pendiente positiva, es decir, crecientes, son rectas tangentes al gráfico de f(x) en puntos cuyas abscisas pertenecen al intervalo (-5; -1) o al in­ tervalo (1; +oo), o sea, al conjunto (-5; -1) u (1; +oo). Notemos Observando el gráfico, decidan si cada

que estos intervalos coinciden con los intervalos de crecimien­

una de las siguientes afirmaciones es

to de f(x).

verdadera o falsa. Justifiquen sus res­

f. Para determinar los valores de x en los cuales f'(x) es negati­

puestas.

va, debemos tener presente que la derivada de f(x) en un valor

a. La función f(x) es creciente en IR.

a es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (a;f(a)). Por lo tanto, debemos hallar los valores de x que son abscisas de los puntos en donde la recta tangente al grá­

b. En x = 2, la función f(x) tiene un mí­

fico de f(x) tiene pendiente negativa, es decir, es decreciente.

nimo relativo.

Observando el gráfico anterior, obtenemos que los valores de x buscados son los que pertenecen al conjunto (-oo; - 5 ) u (-1; 1). Notemos que estos intervalos coinciden con los intervalos de decrecimiento de la función.

Conclusión

4. El gráfico que figura a continuación

I Una función f(x) es creciente en un intervalo I de su dominio

corresponde a la función derivada de

si y sólo si para cualquier valor c que pertenece a I la pendiente

una función f(x).

de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (c; f(c)) es po­

O

sitiva. Esto quiere decir que f'(c) > 0 para cualquier valor c que pertenece a I. I Una función f(x) es decreciente en un intervalo I de su domi­ nio si y sólo si para cualquier valor c que pertenece a I la pen­ diente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (c; f(c))

Analizando el gráfico obtengan:

es negativa. Esto quiere decir que f'(c) x = 2 o x = 5. Por lo tanto, T'(x) puede cambiar de signo en x = 2 y e n x = 5. Consideremos, en el dominio de T(x), los intervalos [0; 2), (2; 5) y (5; +oo), y hallemos la derivada de T(x) en un valor cualquiera de cada intervalo, por ejemplo, en 1, en 3 y en 6. Luego, obtene­ mos que T '(l) > 0 , T'(3) < Oy T'(6) > 0. Usando esta información y las definiciones de intervalo de crecimiento e intervalo de de­ crecimiento, confeccionamos la siguiente tabla: 0 T (x ) 60

[0; 2)

2

(2; 5)

5

(5; +°°)

+ (positiva)

0

(negativa)

0

+ (positiva)

T(x) -6

46 (crece)

X

19

(decrece)

(crece)

b. g(x) = (x - 2)2(x + l) 2 Luego, la temperatura aumenta donde T(x) crece, o sea, en [0; 2) u (5; +oo), y disminuye donde T(x) decrece, es decir, en (2; 5). b. Como Dom T = [0; +°o) y a partir de x = 0 la función comien­ za a crecer, entonces, en x = 0 la función T(x) alcanza un míni­ mo relativo. Por lo tanto, una función también posee valores críticos en los extremos del intervalo cerrado en el cual está definida. c. h(x) = 2x3+ 4x2- 2x - 4

En un entorno de 2, la temperatura aumenta para valores menores que 2 y disminuye para valores mayores que 2. Por lo tanto, la temperatura alcanza un máximo relativo en x = 2. En un entorno de 5, la temperatura disminuye para valores menores que 5 y aumenta para valores mayores que 5. Por lo tanto, la temperatura alcanza un mínimo relativo en x = 5. c. Como T(x) es una función continua en cualquier valor de su dominio, entonces a los puntos (0; -6 ), (2; 46) y (5; 19) los podemos unir mediante un trazo continuo, teniendo en cuenta los intervalos de crecimientoy decrecimiento hallados en el ítem a. Sin embargo, a pesar del dato que proporcionan esos intervalos, podemos dibujar la función de diferentes maneras. I.

II.

III.

De los gráficos anteriores, ¿cuál es el que le corresponde a T(x)?

¿Sabían que...? La palabra cóncavo apareció por primera

Observemos que el gráfico I. posee un punto anguloso. Por lo

vez en inglés (concave) en un artículo de

tanto, dicho gráfico no puede corresponder a T(x), pues esta

geometría titulado Pantometría, escrito

función, por ser polinómica, es derivable en todos los valores

porThomas Digges.

de su dominio. Luego, debemos decidir cuál de los dos gráficos

Thomas Digges nació en 1546 y murió

restantes le corresponde a T(x). Para ello, necesitamos deter­ minar la forma de la curva que une los puntos anteriores.

en 1595, en Inglaterra. Recibió instrucción sobre Matemática avanzada de la mano de John Dee, con quien publicó artículos de geometría.

Función cóncava y función convexa

Digges formó parte de los English Copernicans. Entre sus trabajos sobre

Una función es cóncava o cóncava hacia arriba en un inter­

astronomía,figura la traducción al inglés

valo I de su dominio si en dicho intervalo el gráfico de la

de la obra de Copérnico, en la que incluye

función tiene la siguiente forma:

Una función es convexa o cóncava hacia abajo en un inter­ valo I de su dominio si en dicho intervalo el gráfico de la función tiene la siguiente forma:

Consideremos una función f(x) cóncava hacia arriba y trace­ mos rectas tangentes al gráfico de f(x) en varios de sus puntos.

Observamos que las pendientes de las rectas tangentes aumentan a medida que consideramos valores de x cada vez mayores. Entonces, la función f'(x), que permite obtener la pendiente de cada una de las rectas tangentes al gráfico de f(x), crece. Por lo tanto, la función derivada de f'(x) es positiva, es decir que f"(x) > 0.

sus ideas sobre el universo infinito con estrellas que van cambiando de posición.

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

48

Análisis 2

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA

7. Consideren el siguiente gráfico que

Analicemos una función f(x) cóncava hacia abajo.

corresponde a una función f'(x), es de­

Al trazar las rectas tangentes al gráfico de f(x) en algunos de sus

cir, a la función derivada de f(x).

puntos, obtenemos lo siguiente:

Observamos que las pendientes de las rectas tangentes disminuyen a medida que consideramos valores de x cada vez ¿Es posible que el gráfico de la función f(x) sea el que figura a continuación? Justifiquen su respuesta.

mayores. Por lo tanto, la función f'(x) decrece y, en consecuen­ cia, la función derivada segunda de f(x) es negativa, es decir q u e f'(x) < 0. Conclusión I Una función f(x) es cóncava hacia arriba en un intervalo I de su dominio si y sólo si se verifica que f "(x) > 0 para cualquier valor de x que pertenece a I. I Una función f(x) es cóncava hacia abajo en un intervalo I de su dominio si y sólo si se verifica que f "(x) < 0 para cualquier valor de x que pertenece a I. Continuemos con la resolución del ítem c.del problema 2. Para determinar cuál es el gráfico de T(x), analizamos los inter­ valos de positividad y de negatividad de T"(x). Para ello busca­ mos los ceros de T"(x) y utilizamos el teorema de la conserva­

8. Si la función f(x) es derivable y cre­

ción del signo.

ciente en todos los números reales y la función g(x) es g(x) = f(x 2 - 1 2 x), deter­ minen los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de g(x).

ComoT'(x) = 6x2- 4 2 x + 60, entonces, T"(x) = 1 2 x -4 2 . Si T"(x) = 0 =>12x - 4 2 = 0=>x = —.

2

Considerando, en el dominio de T(x), por ejemplo, a 2 y a 4, es decir, a un valor menor que y y a otro mayor que él, obtenemos que T"(2) < 0 y T"(4) >0. Luego, utilizando estos datos y la con­ 9. Ca leu len los va lores de a, b y c si se

clusión anterior confeccionamos la siguiente tabla:

verifica que la función f(x) = a x + b + c e"x tiene un extremo

0

relativo en x = 0 y f'(ln 2 ) = 6.

T"(x) -42 T(x)

-6

1*1)

7 2

-

0 65 2

+

v y

En la tabla anterior observamos que en el punto

- y j la

función T(x) cambia la concavidad. Ese punto se llama punto

10. a. Determinen los intervalos de concavidad de las funciones de la activi­ dad 6.

de inflexión de la función.

Punto de inflexión El punto (c; f(c)) es un punto de inflexión de la función f(x) si y sólo si en un entorno de c la función cambia la concavidad a la izquierda y a la derecha de c. Comparemos la concavidad que figura en la tabla anterior con la que se observa en los gráficos II. y III. de la página 46. Podemos afirmar que el gráfico II. es el que corresponde a la función T(x) del problema 2. Por lo tanto, el gráfico de T(x) es el siguiente: b. Grafiquen aproximadamente cada una de las funciones anteriores utilizan­ do la información obtenida en el ítem a. yen la actividad 6.

Observando el gráfico podemos asegurar que la función tiene un mínimo absoluto en x = Oy que no posee un máximo absoluto.

O Problema 3 El siguiente gráfico corresponde a la función derivada de una función f(x). a. A partir del gráfico de f'(x) indiquen los intervalos de creci­ miento y de decrecimiento, los máximos y los mínimos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de f(x).

b. Realicen un gráfico aproximado de una posible función f(x).

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

50

Análisis 2

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA

Recordemos que...

• Problema 3

Si una función es derivable en un valor a, entonces, es continua en ese valor.

a. En el gráfico observamos que f'(x) existe para todos los valo­ res pertenecientes al intervalo [-6; 12]. Por lo tanto, f(x) es una función continua en cualquier valor de ese intervalo.

11. Grafiquen una función f(x) que ten­

Analicemos el crecimiento y el decrecimiento def(x). Para ello,

ga como dominio a Dom f = IR-{-3 },

debemos determinar los intervalos de positividad y de negativi-

que sea derivable en todos los valores

dad de f'(x). Al observar el gráfico de f'(x), podemos afirmar que

de su dominioy que verifique simultá­ neamente las siguientes condiciones: f(2) = 0, f(5) = 0, lím f(x) = +oo, lím f(x) = -oo, x -» -3 ~

lím f(x)

X—*+■»

x -» -3 +

=-oo, Xlím f(x) = +oo, -*-o o

f'(x) > 0 en (-»o; -3) u (-3 ; 3),

f'(x) > 0 en [-6; -5) u (-2; 1) u (3; 10) u (10; 12] y f'(x) < 0 en (-5; -2) u (1; 3). Utilizando estos datos confeccionemos el siguiente esquema:

f(x)

y

X

-6

10

12

f'(x) < 0 en (3; +«>). f "(x) > 0 en (-oo; -3) u (1; 2,5) y f"(x) < 0 en (-3; 1) u (2,5; + « ).

Por lo tanto, f(x) crece en [-6; -5) u (-2; 1) u (3; 10) u (10; 12] y decrece en (-5; -2) u (1; 3). Luego, la función f(x) tiene máximos relativos en x = -5, x = 1 y x = 12. En este último valor, hay un máximo relativo porque a dicho valor la función "llega crecien­ do”. Además, f(x) posee mínimos relativos en x = -2, x = 3 y x = - 6 . En este valor, hay un mínimo relativo porque a partir de dicho valor la función f (x) comienza a crecer. Para analizar la concavidad de f(x), tenemos que determinar los intervalos de positividad y de negatividad de f"(x). Para ello, debemos tener en cuenta, de acuerdo con lo analizado en

12. Si la función h(x) = [f(x)]z - 1

las páginas 47 y 48, que f"(x) es positiva en los valores de x para

está definida en el intervalo [0; 4] y el

los cuales f'(x) crece y quef"(x) es negativa en los valores de x

gráfico de f(x) es el que figura a conti­ nuación, obtengan los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de h(x).

para los cuales f'(x) decrece. Luego, observando el gráfico de f'(x) obtenemos que f'(x) crece en (-3; 0) u (2; 7) u (10; 12] y decrece en [-6; -3) u (0; 2) u (7; 10). Usando esta información, realizamos el siguiente esquema: f(x )

/^\ 0

2

10

12

Por lo tanto, f(x) es cóncava hacia abajo en [-6; -3) u (0; 2) u (7; 10) y cóncava hacia arriba en (-3; 0) u (2; 7) u (10; 12]. Luego, los puntos de inflexión de la función f(x) son (-3; f(-3)), (0; f(0)), (2 ;f(2 )),(7 ;f(7 ))y (1 0 ;f(1 0 )).

Recordemos que...

Utilizando todos los datos que hemos obtenido acerca de f(x),

La recta x = a es asíntota vertical de la

confeccionamos los siguientes esquemas:

función f(x) si lím f(x) —o o ,

f(x)

x —* a

^ -6

X

l

-5

l X

-2

1

l___________^

La recta y = b es asíntota horizontal de la

^

3

10

12

función f(x) si lím f(x) = b. X—

»o

La recta y = mx + b es asíntota oblicua de

/A -6

W -3

/^\ 0

W 2

/A 7

w 10

la función f(x) si lím [f(x) - (mx + b)] = 0. 12

Al no conocer la fórmula de f(x), no es posible marcar con exac­

X—

oo

Los valores de m y b de la asíntota oblicua f(x) de f(x) son m = lím ---- y b = lím [f(x) - mx]. x- “ x -

titud los puntos que pertenecen a su gráfico. Sin embargo, usando la información de los esquemas anteriores, podemos determinar la forma aproximada del gráfico de f(x).

13. Consideren la función e(x) =

Luego, el gráfico de f(x) tiene aproximadamente la

y determinen lo siguiente:

siguiente forma:

+^ x +2

a. El dominio de g(x). b. Las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si existen. c. Los ceros de la función y los interva­ los de positividad y negatividad. d. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y míni­ mos relativos. e. Los intervalos de concavidad. f. Un gráfico aproximado de g(x).

O Problema 4 Una fuente chata, de forma rectangular, puede apoyarse sobre un posafuentes de 50 cm de diámetro sin sobresalir de él. ¿Cuáles son las dimensiones de la fuente si ésta debe tener la mayor área posible?

O Problema 5 Se necesita fabricar una lata cilindrica de 350 cm3de capacidad utilizando la menor cantidad de hojalata posible. ¿Oué dimensiones debe tener la lata?

• Problema 4 Para resolver el problema 4, primero debemos encontrar una función que relacione al área de la fuente con las dimensiones de ésta y luego obtener el máximo relativo de dicha función.

52

Análisis 2

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA

14. El siguiente gráfico corresponde

Llamemos x e y a las dimensiones de la fuente y realicemos un

a la función aceleración de un móvil

dibujo para representar la situación planteada en el problema 4.

respecto del tiempo (t).

Observando el gráfico contesten las siguientes preguntas:

a. ¿En qué períodos de tiempo la velo­ cidad instantánea disminuye?

Si llamamos A al área del rectángulo, entonces, resulta que A = x . y (i). En el dibujo anterior, observamos que la diagonal del rectángu­

b. ¿En qué períodos de tiempo la velo­ cidad instantánea aumenta?

lo es diámetro del círculo. Utilizando el teorema de Pitágoras, obtenemos que x2+ y2 = 502. Luego, como x > 0, debido a que x es una de las dimensiones del rectángulo, resulta que x = V 2 5 0 0 -y 2(2).

15. Demuestren que si f(x) es una función polinómica de grado 3, es decir que f(x) = ax 3 + bx2 + ex + d,

Reemplazando la expresión (2) en la (i), obtenemos la función que relaciona el área del rectángulo con las dimensiones de éste, o sea, A(y) = y . V 2 5 0 0 -y 2.

entonces, tiene exactamente un

Esta función tiene por dominio al intervalo [0; 50], pues debe

punto de inflexión.

ser 2500- y 2> Oy, además, por ser y una de las dimensiones del rectángulo, debe sery > 0. Para encontrar el máximo relativo de la función A(y), analiza­ mos su crecimientoy decrecimiento. O sea, determinamos los intervalos de positividad y de negatividad de A'(y). La función derivada de A(y) es la siguiente:

16. Verifiquen que la función g(x) = e *3 tiene dos puntos de inflexión.

A'(y) = l.V 2 5 0 0 - y 2+ y .

-2y ,2 , con lo cual obtene2V 25 00-y: y ,2

mos que A'(y) = V 2 5 0 0 -y 2- ^25gQ_ yZ • Al buscar los ceros de la función A'(y), resulta que

17. Demuestren que la función h(x) = x 16 + 3x 6+ x 2 no tiene puntos de inflexión y es cóncava hacia arriba en

si A'(y) = 0=>V2500-y2= . y' , =>2500- y 2 = y2 w 3 V 2 5 0 0 -y 2 3 3 =>2y2= 2500 =>y2= 1250 =>y = V l2 50, pues y > 0.

todo su dominio.

Entonces, y = 25 V2, o sea, y = 35,36. Utilicemos el teorema de la conservación del signo consideran­ do, en [0; 50], los números 2 y 40, es decir, un valor menor que 35,36 y otro mayor que él, pero ambos pertenecientes al

dominio de A(y). Luego, obtenemos que A'(2) > 0 y A'(40) < 0.

18. El costo de producir una cantidad x de artículos se calcula por medio de la

Usando estos datos, realizamos la siguiente tabla:

función c(x) = 2100 + 1 3 5 x -9 0 0V x .

0

(0;25V2)

25i/2

(25t/2; 50)

A'(y)

50

+

0

-

A(y)

0

y 9

1250

La ganancia obtenida después de la ven­ ta de los artículos es la diferencia entre el dinero que ingresa debido a dicha venta y el dinero que demanda el costo de la producción de dichos artículos.

Por lo tanto, si y = 25 V2, entonces, el área del rectángulo es

Si se venden todos los artículos que se

la máxima posible. Al calcular la otra dimensión del rectángulo,

producen y el precio de venta de cada

reemplazando en la expresión (2) a y por 25 a/2, resulta que x = V2500 - (25 V2)2= V2500 -1 2 5 0 = V l2 5 0 = 25 V2

uno de ellos es de $90, ¿cuántos artícu­ los se deben producir para que la ga­ nancia sea la máxima posible?

Luego, la fuente tiene aproximadamente 35,36 cm de anchoy 35,36 cm de largo. Por lo tanto, la fuente es cuadrada. Observen que para resolver el problema 4, debimos buscar el máximo relativo de una función y, para hallarlo, analizamos el crecimiento y el decrecimiento de dicha función. Veamos ahora una forma más económica de encontrar máxi­ mos y mínimos relativos, en la cual no es necesario determinar el crecimiento y el decrecimiento de la función. Si la recta tangente al gráfico de una función f(x) en un punto

19. Hallen los puntos del gráfico de la

(c; f(c)) es horizontal, entonces, su pendiente es cero y, en con­

función f(x) = x 3 + x + 8 en los cuales la

secuencia, f'(c) = 0.

recta tangente al gráfico de f(x) tenga la

Supongamos que para una función f(x) esf'(c) = 0 y f"(c ) > 0,

mínima pendiente posible.

es decir, que en un entorno de c la concavidad de f(x) es hacia arriba. El gráfico de la función f(x) será aproximadamente:

20. ¿Cuáles son las dimensiones del rec­

Por lo tanto, en x = c la función f(x) tendrá un mínimo relativo.

tángulo de menor perímetro entre to­

En cambio, si suponemos quef'(c) = 0 y f"(c ) < 0, o sea, que en

dos los rectángulos de 1 m 2 de área?

un entorno de c la concavidad de f(x) es hacia abajo, entonces, el gráfico de la función f(x) será aproximadamente:

Por lo tanto, en x = c la función f(x) tendrá un máximo relativo.

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

54

Análisis 2

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA

21. El gráfico que figura a continuación

Teorema de la función derivada segunda

muestra un rectángulo inscripto en el gráfico de f(x) = 32 - 2x 2 en el primer cuadrante.

Si f(x) es una función derivable en un valor c, para el cual f'(c) = 0 y, además, se verifica que I f"(c) > 0, entonces, f(x) tiene un mínimo relativo en x = c. I f"(c) < 0, entonces, f(x) tiene un máximo relativo en x = c.

• Problema 5 ¿Cuál es el área del mayor rectángulo

Dibujemos un cilindro que representa una lata:

que puede inscribirse en las condiciones anteriormente mencionadas?

Llamemos ral radio de la base y h a la altura del cilindro. Como 22. Encuentren los puntos que pertene­ cen a la recta y = -2 x + 3 y que están más próximos al origen de coordenadas.

el volumen del cilindro es igual al área de la base de éste por su altura y la lata tiene 350 cm3de capacidad, entonces, podemos escribir 350 = ti r2 h (l). Para que la cantidad de hojalata sea la mínima necesaria, el cilindro debe tener la menor área posible. Luego, tenemos que determinar la función área del cilindro. Al desarmar el cilindro, obtenemos dos círculos y un rectángu­ lo cuya base se encontraba bordeando a uno de los círculos. Por lo tanto, la medida de la base del rectángulo es igual a la de la longitud de la circunferencia. Entonces,

23. En el siguiente gráfico, figura un rectángulo que tiene dos lados apoya­ dos, respectivamente, en los semiejes positivos de las abscisas y de las orde­

h

271 r

^rea = 2nr2 + 2nrh (2)

nadas, y el vértice restante sobre la rec­

('- ¿ i

ta de ecuación 2x + 3y = 6.

\0

«3

área de los d o s c írc u lo s

área del r e c tá n g u lo

ueDemos Buscar ei mínimo relativo de esta función área. Pero como esa función tiene dos variables, r y h, entonces, de la condición (i) despejamos, por ejemplo, h y sustituimos la expresión de h en (2). Entre todos los rectángulos que cum­ plen las condiciones anteriores, hallen las dimensiones del que tiene área máx im a y del que tiene área mínima.

Luego, resulta que h = ti

r2

(3).

Reemplazando la expresión (3) en la (2) obtenemos la siguiente función: a /\

n

2

3 5 0

, ,

,

^ 0 0

Air) = 2 n r 2+ 2 t í / — —, osea, Air) = 2Tir2+ ---T tr r La función A(r) es continua en los valores positivos de r. Luego, para hallar el mínimo relativo de dicha función, calcula­ mos los ceros de la función derivada A'(r) y utilizamos el teore­ ma de la función derivada segunda.

¿Sabían que...?

La función derivada de A(r) es A'(r) = 4 T ir- Z22. r2

La regla de L’Hôpital fue descubierta por Johann Bernoulli.

Entonces, resulta que si A'(r) = 0=>4Tir-

Bernoulli, durante su estancia en París,

~^~=0=>

hizo un pacto con el marqués Guillaume François Antoine de L’Hôpital, a quien en­

700

, 700 /175 , , => 4 n r = — — =>r3 = - — =>r = 3/ ----- (4) => r = 3,82. r2 4 ti V ti

señaba Matemática. Este pacto consistía

La función derivada segunda de A(r) es A"(r) = 4 ti +

tica al marqués, para que éste los usara

en que, a cambio de un sueldo, Bernoulli enviaría sus descubrimientos en Matemá­

(5).

como quisiera. Un descendiente de Bernoulli descubrió,

Luego, reemplazando la expresión (4) en la (5) obtenemos

leyendo un curso de su antepasado, que Johann Bernoulli había encontrado una

175

A"

.

TI

1400 . o „ . . 4ti + , ,---- = 4ti + 8ti = 12ti, con lo cual es

regla muy similar a la de L’Hôpital y que dicho descubrimiento era muy anterior al momento en que L’Hôpital había hecho

3 /----

TI

> 0. Por lo tanto, el área del cilindro es mínima si el

pública su famosa regla. La diferencia entre ambas reglas radicaba en que en la de L’Hôpital aparecían corre­

radio de los círculos es aproximadamente de 3,82 cm.

gidos algunos errores que figuraban en la de Bernoulli.

Para hallar la altura del cilindro, sustituimos (4) en (3). Resulta Guillaume Françoise Antoine de L’Hôpital

entonces que h = -

350 /175

-, es decir que h = 7,64.

TI

nació en 1661 y murió en 1704, en Paris. Fue un matemático muy competente que resolvió algunos problemas importantes

TI

en los que también trabajaban, indepen­

Por lo tanto, las dimensiones que debe tener la lata de 350 cm 3

dientemente, Newton, Leibniz y Bernoulli.

de capacidad son aproximadamente 3,82 cm de radio de la ba­

En 1696 , en su libro Analyse des Infiniment

se y 7,64 cm de altura.

Petits, referido al cálculo infinitesimal, L’Hôpital presenta por primera vez la regla que lleva su nombre. En su prólogo, acep­

Regla de L’Hdpital

ta la influencia que sobre sus ideas tuvie­

Esta regla, que es una aplicación de la función derivada, per­ mite calcular algunos límites indeterminados sin necesidad de “salvar la indeterminación” \ utilizando métodos algebraicos.

ron Leibniz y los hermanos Bernoulli, aun­ que aclara que él también influyó en los trabajos de ellos.

Regla de L’Hdpital I Si f(x) y g(x) son funciones derivables en un entorno de un valor x0, g'(x) * 0 para x * x0en dicho entorno, f'fx) ím f(x) = lím g(x) = Oy existe lím , finito entonces se X - Xn

X - Xn

*-*„ g (x)

verifica que lím M

-

g(x)

,||m ÍM

— g'(x) Guillaume Françoise Antoine de L’Hôpital

1 Ver Libro 5, capítulo 2.

M A T E M A T IC A I L IB R O 6

56

Análisis 2

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA

24. Calculen el siguiente limite:

I Si f(x )y g(x) son funciones derivables en un entorno del

2 x -3 sen x lim -------------- , y expliquen porque x + senx

valor x0, g'(x) * 0 para x * x0, lím f(x) = lím g(x) = oo y existe

no se puede utilizar la regla de L'Hôpital

lím

para realizar el cálculo.

..

X-» X0

g(x) f(x)

X-* x 0

finito, entonces, se verifica que ..

f'(x)

- í m ’ S ím La regla de L’Hópital también se cumple cuando x, en lugar de tender a x0, tiende a infinito.

O Problema 6 25. Decidan si es correcto el siguiente procedimiento para hallar el límite indi­

Calculen los siguientes límites:

cado: x 3- 3x 2 + 4 lím •2 x - 7x + 18x - 20 x + 8 i

a. lím X-* 0

c. lím

3x 2- 6 x

sen(2x2+ x) x

b. lím

In x + x x 2+ 2

e* _ e- *_ 2 x senx-x

d. Vlím ( x - 1). I n íx - 1) : ^ 1+

2 4x 3- 21x 2 + 36x -20 i L’ H

• Problema 6

6 x-6 •2 12x - 4 2 x + 36 i L'H

= lím -

•2 2 4 x - 4 2

-= 1

a. Al calcular lím sen^ x + x) obtenemos: x-0

X

lím sen(2x2+ x) = 0 y lím x = 0. Estamos, entonces, ante la pre-

x— 0

x— 0

sencia de una indeterminación. Pero esta indeterminación es una de las contempladas en la regla de L’Hôpital (L’H). Por lo tan­ to, utilizamos dicha regla para salvar la indeterminación. Luego, ., sen(2x2+ x) ., [eos (2x2+ x ) l. (4x + l ) , resulta que lim ----*------- - = lim----- *------- — ------- - = 1. x- 0

26. Obtengan el valor de los siguientes límites: a. lím

ex- 1

0 2 sen(5x)

b. Para lím

X

i x-0

1

ex- e ' 2x sucede que lím ex- e _x- 2 x = 0 y senx-x

lím sen x - x = 0. Entonces, estamos ante la presencia de la x -0

misma indeterminación que en a., con lo cual podemos usar la regla de L’Hôpital. Luego, obtenemos: P * _ P- * _2 x

p x + p "x- 2

lím ------------- = lím -------------. Pero resulta que x-o s e n x - x i «-o c o s x - 1 L'H

Inx b. Iim--- ;— ~=

lím e x + e_x- 2 = 0 y lím eos x - 1 = 0. Por lo tanto, utilizamos X— 0

x-0

1 sen(Ttx)

otra vez la regla de L’Hôpital y lo hacemos la cantidad de veces que sean necesarias para salvar la indeterminación. Luego, obtenemos: p X _ p -X p X i p —x ~) e x + e_x - 2 lim lím -— — = lím = - = -2 -o c o s x - 1 4. «-o - s e n x 4. x-o - c o s x -1

L’ H

L’H

In x + x c. Al calcular lím -------- resulta que lím ln x + x = °° x 2+ 2 *-+-

27. Calculen los siguientes límites:

y lím x 2+ 2 = oo. Por lo tanto, estamos ante la presencia de

a. lím

e -e e x + e"

x-*+«>

una indeterminación distinta de la del ítem a. Pero esta indeter­ minación corresponde al otro tipo de indeterminación que contempla la regla de L’Hôpital. Luego, al usar dicha regla obte­ nemos lo siguiente:

lim

In x + x „ lim x2+ 2 l

— ---------------- =

x

b. lím

----------------------- = 0

2x

e x+ In x

L'H

d. Para lím ( x - 1). I n ( x - 1), al resolverlo, sucede que x-*l+

lím x - 1 = 0 y lím In ( x - 1)= -oo x-l+

x-l+

En este caso, podríamos pensar que si multiplicamos una fun­ ción que tiende a cero por otra cualquiera, entonces, el resulta­ do tendería a cero. Sin embargo, también podríamos pensar que si multiplicamos una función que tiende a infinito por cualquier

c. lím x'2ln x =

otra, entonces, el resultado tendería a infinito. Estamos, enton­ ces, ante la presencia de un nuevo tipo de indeterminación. Conclusión Si x-»x0 lím f(x) = 0 y x-»x0 lím g(x) =

oo,

entonces, x-»x0 lím [f(x) . g(x)l es una

indeterminación. Esta conclusión también se cumple cuando x tiende a infinito. d. lím -

xsen x

* -0 x eos x + sen x - 2 x

Para salvar la indeterminación que presenta el límite planteado en el ítem d., sustituimos la expresión de la función por otra que, además de ser equivalente en todos los valores del dominio de aquélla, nos permita utilizar la regla de L’Hôpital. Por ejem­ plo, podemos reemplazar ( x - 1 ) . I n ( x - l) por^ X

, con lo

IX — 1 )

cual transformamos el producto de funciones en un cociente

x -o

5x

considerando que f( 0) = 2 y f '(0) = — . 6

defunciones. Luego, resulta que lím ( x - 1 ) . In (x - 1 ) = lím

t lím —j-— l í m- ^x 4. x - i- - ( x - 1 ) '2 x-i* _x^ï

28. Hallen el valor de lím — — —,

J

= lím - (x - 1 ) =0 x-i* v '

Es importante resaltar que la regla de L’Hôpital se refiere a la división entre las funciones derivadas y no a la función derivada de una división entre funciones.

M ATEM ATICA I LIBRO 6

58

Análisis 2

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA

O Problema 7

Algo más... Un ejem plo de indeterm inación es

Consideren las siguientes funciones:

lím [f(x)]B(x) cuando lím f(x) = 0

a. f(x) = (x + 2 ) . ex

x-»Xo

b.g(x)=

*

x —Xo

y lím g(x) = 0 .

Realicen el estudio completo de cada una de ellas. Es decir, para

Veam os cómo utilizar la regla de

cada una de las funciones anteriores obtengan: I. El dominio.

X -* Xq

L’Hôpital para salvar la indeterm inación anterior. Considerem os, por ejem plo, lím(x 4 + x 2)x3, que en principio está indeterm inado. Lla­ m em os T al resultado de ese límite, o sea que lím[f(x)]B(x) = T X-*X0

Apliquem os logaritm o natural a am bos m iem bros de

. Luego, com o la función

logarítm ica es continua en cualquier v a ­ lor de su dom inio, resulta que In T= lím ln[(x4 + x 2)*3] = lím x3. In(x4+ x2)

Este lím ite está indeterm inado. Para salvar esta indeterm inación, trabajam os com o lo hicim os en el ítem d. del problem a

6. Con lo cual, obtenem os

lím x 3. In(x4 + x 2) = lím

x-* 0

7

x-

= lím -------- — = lím - 3 x "4 -3 (x 4 + x 2)

X-0

a. Realicemos el estudio completo de f(x) = (x + 2). ex. I. El dominio de la función es Dom f = IR. II. La función f(x) es continua en cualquier valor de su dominio, pues es el producto entre x + 2 y ex, que son funciones conti­ nuas en IR, ya que la primera es una función polinómica y la se­ gunda es una función exponencial. III. Como Dom f = IR, la función f(x) no tiene asíntotas vertica­ les. Para obtener la asíntota horizontal, debemos calcular

lím ite de f(x) cuando x - » - o o y cuando x — +00. x 4(4x 3 + 2x) _

..

• Problema 7

lím (x + 2). ex. Pero, como uno de los factores de f(x) es ex, que es una función exponencial, entonces, tenemos que hallar el

4 x 3 + 2x

x ' 2(4x 3 + 2x)

^lim —

y mínimos relativos. VI. Los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. VII. Un gráfico aproximado de la función.

X—oo

x

0

II. Los valores en los cuales la función es discontinua. III. Las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si existen. IV. Los intervalos de positividad y negatividad. V. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos

..

4 x 5 + 2x 3

Si x-* + oo, entonces,x + 2 -» +ooy ex-*+oo. Luego, resulta que lím (x + 2). ex = + 00. Por lo tanto, no existe asíntota horizontal X-»+oa cu an d o x - * +00.

------ = lim -

-3x 2'(x 2 + l )

- 3 x 2- 3

Si x —-oo, e n t o n c e s , x + 2 —-00 y ex— 0, con lo cual estamos

Por lo tanto, In T = 0. Luego, T = e° = 1.

ante la presencia de una indeterminación. Para salvarla, trans­

De la m ism a m anera, se pueden salvar

formamos la expresión def(x) en un cociente de funciones y

las siguientes indeterm inaciones:

utilizamos la regla de L’Hôpital. Luego, obtenemos:

lím[f(x)]Ex2(x - 3 ) = 0=>x = 0 o x = 3. Por lo tanto, la positividad y la negatividad de g'(x) pueden cam­ biar sólo en 0, en 1 y en 3. Consideremos los intervalos (- 00; 0), (0; 1), (1; 3) y (3; +©o) y elijamos en cada uno de ellos un valor, por ejemplo: -1, y , y y 4. Luego, obtenemos lo siguiente: 0, g' -

b .g ( x ) :

res obtengan lo siguiente:

Al considerar, por ejemplo, los valores -4 ,0 ,5 y 5 obtenemos que g(-4) 0 y g(2) >0. Utilizando estos datos con­

g(x)

a. f(x) = V x + V 4 - x

Para cada una de las funciones anterio­

X3

Luego, si g(x) = 0 =>

31. Consideren las siguientes funciones:

mos relativos. V. Los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. VI. Un gráfico aproxim ado de la función.

M ATEM ATICA I LIBRO 6

62

Análisis 2

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA

32. Para h(x) = x+

1

, encuentren lo

siguiente:

a. El dominio. b. Las asíntotas verticales, horizontales

En x = 1, la función g(x) cambia el crecimiento, pero en ese valor no hay un extremo relativo, pues 1 í Dom g. VI. Para hallar los intervalos de concavidad, trabajamos con g"(x) de manera análoga a como lo hicimos con g'(x) en el ítem V.

y oblicuas, si existen.

c. Los ceros y

los intervalos de positivi­

dad y negatividad. d. Los intervalos de crecim iento y de­

=>g"(x) =

crecim iento, y los m áxim os y m ínim os

puntos de inflexión. f. Un gráfico aproxim ado de h(x).

(3x2- 6x ) . (x - l )3- (x 3- 3x2) . 3(x - 1)2 ( x - 1)6

_(x—î ) 5rx[(3x - 6)(x - 1 ) - 3(x2- 3x)]

relativos.

e. Los intervalos de concavidad y

x 3- 3x 2 ( x - 1)3

x2(x - 3) ( x - 1)3

Como g'(x)

los

(x - ir yigrfF- 3x - 6x + 6 ( x - 1)4

" 6x ( x - 1)4

+ 9x)

Luego, el dominio de g"(x) es Dom g" = IR- {1}, pues debe ser (x - 1)4* 0, o sea, x * 1 .

6x 0=>x = 0. Por lo tanto, el signo de g"(x) ( x - 1)4 sólo puede cambiar en 0 o en 1 .

Si g"(x) = 0=>

Consideremos los intervalos (-°o¡ 0), (0; 1) y (1; +°o) y elijamos

1

en cada uno de ellos un valor, por ejemplo -2, — y 6. Luego,

111

obtenemos que g"(-2) < 0, g" I — >0 y g"(6) >0. Utilizando estos datos, confeccionamos la siguiente tabla:

g"(x) g(x)

(—° ° ; 0 )

0

(0 ; 1)

-

0

+

0

i

(1 ; + ° ° )

no

+

e x iste no e x iste

Por lo tanto, la función g(x) es cóncava hacia abajo en 0) y cóncava hacia arriba en (0; 1) u (1; + «>), con lo cual el punto de inflexión es (0; g(0)), es decir, el punto (0; 0). VII. Usando toda la información que obtuvimos acerca de g(x) en los ítem anteriores, realizamos un gráfico aproximado de ella. Luego, el gráfico de la función g(x) es el siguiente:

GE 2

GUÍA DE EJERCITACIÓN

Análisis 2 Aplicaciones de la función derivada

1. Consideren el siguiente gráfico que corresponde a la función f(x) y completen lo que se

O

b. La asíntota vertical de f(x) es

O

c. La asíntota horizontal de la función es________ . d. La función f(x) es derivable en________ . e. f'(x) >0 en________ .

o

f. El máximo relativo de f(x) se encuentra en ________ . g. El mínimo relativo de la función está en________ . h. f"(x) >0 en ________ . 2. La función derivada de g(x) tiene el siguiente gráfico:

o

Observando el gráfico decidan si estas afirmaciones son verdaderas o falsas, a. La función g(x) tiene un máximoy un mínimo relativo en el intervalo (-2; 3).

b. La función g(x) es cóncava hacia arriba en el intervalo (0; 3).

c. La función g(x) crece en el intervalo [-2; 3],

O

-----------------------d. El punto (0; g(0)) es punto de inflexión de g(x).

■ iU U M N O

63

GE 2

.

„

8

GUIA DE EJERCITACION

I

A nálisis 2 Aplicaciones de la función derivada

3. El gráfico que figura a continuación corresponde a la función derivada de una función f(x) continua en IR.

O

A partir del gráfico anterior completen las siguientes afirmaciones: a. La función f(x) crece en________ . b. La función f'(x) 0 six < -3 o x> 0 y g ‘(x) -2

ALUMNO

CURSO

FECHA

GE 2

GUÍA DE EJERCITACIÓN

6. Consideren los siguientes gráficos correspondientes a f(x) y g'(x), y dibujen el de f'(x) y

O

el de g(x).

O

7. Demuestren que si f(x) = ax 3+ bx2+ ex + d, donde a * Oy b, cyd son números reales, tiene dos puntos estacionarios distintos, entonces, en la abscisa de uno de ellos posee un máximo relativo y en la abscisa del otro tiene un mínimo relativo.

O

O 8. Encuentren los valores de a para los cuales g(x) = a x-se n xes creciente en IR.

9. Verifiquen que la función h(x) = 5 V x + 8 In x - 2 7 es creciente en IR+, o sea, en (0; +»)■

O

J

ALUM NO

CURSO

FECHA

GE 2

„

.

8

GUIA DE EJERCITACION

I

A nálisis 2 Aplicaciones de la función derivada

10. ¿Cuáles son los valores de a y b si f(x) = ax 2+ bx tiene un máximo relativo en x = 2 y la imagen de 2 a través de f(x) es 6?

(a -

1)

11. a. ¿Cuál es el valor de a para que la función g(x) = x 3+ ------- tenga un extremo en x = 2?

_________________________________________________________________________

O

b. Determinen si para el valor de a hallado en el ítem anterior la función tiene un máximo o un mínimo relativo en x = 2 y si, además, g(x) posee otro extremo.

--------------------------------------------

O

12. Realicen el análisis completo de las funciones que se indican encontrando para cada una de ellas lo siguiente: I. El dominio. II. Las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si existen. III. Los ceros y los intervalos de positividad y negatividad. IV. Los valores de x en los cuales la función no es derivable. V. Los intervalos de crecimientoy decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos. VI. Los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. VII. Un gráfico aproximado de la función. a. a(x) = ( x - 1)2 (x + 2)2

O

ALUMNO

CURSO

FECHA

1

MATEMÁTICA LIBRO

GE 2

GUÍA DE EJERCITACIÓN

O

7x2 b. b(x) = x2-4

6

Análisis 2 Aplicaciones de la función derivada

--- -- ----- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --------- --- ----- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- -------------

--- --

O

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

c. c(x) = ln(x2+ 2 x + 10 )

----- --- ----- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- -------------

-- --

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

-- -- ----- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -----

O

-- -- --- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -

d. d(x) = x 2e 4*

----- --- ----- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- -------------

--- --

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

----- --- ----- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- -------------

o

--- --

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

----- --- ----- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- -------------

--- --

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

----- --- ----- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- -------------

--- --

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

----- --- ----- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- -------------

--- --

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

13. Obtengan los números que pertenecen al intervalo [0; 1] tales que la diferencia en tre el númeroy su raíz cuadrada sea la mínima posible.

o J

A LU M N O

J

CURSO

FEC H A

67

GE 2

Análisis 2 Aplicaciones de la función derivada

GUÍA DE EJERCITACIÓN

14. El siguiente gráfico muestra un triángulo isósceles en el cual un vértice es el origen de coordenadas y los otros vértices son puntos simétricos de la parábola correspondiente a f(x) = 162 - 2x2, donde -9 < x < 9. Entre todos los triángulos isósceles que cumplen las condiciones mencionadas, ¿cuáles

O

son los vértices del de mayor área?

o 15. Calculen los siguientes límites: a. lím

x (eos x - 1 )

o

, sen x - e x + 1 b. Iim ------- ------x-0

X

c. lím (x - 5)2 In (x - 5) =

d. lím x 2ex x—» 0+

O „ x + ln x e. Iim — ¡---- = x In x

16. Hallen f( 0) y f '( 0) considerando quef(x) es derivable en cualquier valor de su dominio, f'fx) es continua en cualquier valor de su dominio y lím

—3 eos x _ ^ senx

O

- 1 ALUMNO

- 1 CURSO

FECHA

*

GA 2

GUÍA DE AUTOEVALUACION

IS

I

A nálisis 2 Aplicaciones de la función derivada

1. La función f(x) es continua en IRy derivable en cualquier valor de IR-{2}. Si el gráfico de

O

f'(x) es el que figura a continuación, determinar los intervalos de crecimiento y decreci­ miento, y los máximos y mínimos relativos de f(x).

O

2. A partir del siguiente gráfico correspondiente a una función g(x) definida en el intervalo [-3; 1 1 ], realizar el gráfico aproximado de g'(x).

O

o

3. Determinar para qué valores de a la función h(x) = ax In x -a x es creciente en el intervalo (0;

1).

4. Se quiere construir una caja con tapa, de base cuadrada y de 40.000 cm3de capacidad. El costo del material para las caras laterales es el doble que para las tapas. ¿Cuáles deben ser las medidas de la caja para que su costo total sea mínimo?

O

69

GA 2

Análisis 2 Aplicaciones de la función derivada

GUÍA DE AUTOEVALUACIÓN

5. Realizar el análisis completo de las funciones que se indican, obteniendo para cada una

O

de ellas lo siguiente: I. El dominio. II. Las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si existen. III. Los ceros y los intervalos de positividad y negatividad. IV. Los valores de x en los cuales la función no es derivable. V. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos. VI. Los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. VII. Un gráfico aproximado de la función. x 2+ x - l x-1

O

O

b. g(x) = x e~

O 6. Si la función f(x) es derivable en cualquier valor de su dominio, la función f'(x) es continua en cualquier valor de su dominio, f( 2) = 0 y f'( 2 ) = 6, ¿cuál debe ser el valor de a para que im =

f(a ln x + 2 ) sen (ti x )

3?

O

ALUMNO

CURSO

FECHA

MATEMÁTICA | LIBRO 6 Análisis 2

3

El concepto de integral y el cálculo de áreas Desde tiempos remotos, el hombre se esforzó por calcular áreas de distintasfiguras geométricas. Di­ cho cálculo resultaba sencillo si laforma de lasf i­ guras geométricas era regular; en cambio, se tor­ naba engorroso cuando lasfiguras teníanformas no regulares. En el siglo XVII, NewtonyLeibniz lograron dar una respuesta a esa cuestión. En este capítulo, estudiaremos cómo calcular áreas defiguras no regulares.

M ATEM ATICA I LIBRO 6

72

EL CONCEPTO DE INTEGRAL Y EL CÁLCULO DE ÁREAS

Los problem as m atem áticos no siem pre

Análisis 2

O Problema 1

tienen una sola form a de resolverse. Por este motivo, es im portante que com partan entre ustedes las distintas resoluciones que surgieron al resolver un problema, pues alguna de ellas podría servirles en otra ocasión.

¿Sabían que...? Una de las frases m ás fam o sas de Newton,

Un auto parte de una ciudad ubicada a 20 kilómetros de Buenos Aires rumbo a Mar del Plata. La función v(t) = 9 t 2+ 8 relaciona la velocidad instantánea del auto (v), medida en kilómetros por hora, con el tiempo de viaje (t), medido en horas. a. ¿Cuál es la velocidad del auto después de 3 horas de viaje? b. Encuentren una función que permita calcular la distancia a la que el auto se encuentra de Buenos Aires en cada instante del viaje.

enunciada en honor de su m aestro, Isaac Barrow, es "Si he logrado ver m ás allá que otros hom bres es porque he estado a hom ­

• Problema 1 a. Para responder a la pregunta, debemos reemplazar t por 3 en

bros de gigantes”.

v(t). Luego, v(3) = 9 . 32+ 8 = 89. Por lo tanto, a las 3 horas de Isaac Barrow nació en En

1630 , en Londres.

1644 , ingresó en la Universidad de 1648 . En 1655,

C a m b rid g ey se graduó en

fue nom brado para enseñar griego en esa universidad y luego, en

1663 , como profe­

sor de M atem ática de esa institución. M ientras trabajaba en la Universidad de Cam bridge, Barrow dictó una serie de con­ ferencias introductorias,a la sq u e Newton concurrió. En

1672 , el rey de Inglaterra nombró a

Barrow su m aestro y luego vicerrector del Trinity College, de cuya ahora fam osa biblioteca Barrow colocó los cim ientos. Entre sus actividades,figura la publicación de trabajos de Euclides, Arquím edes yA polonio. Isaac Barrow falleció el en Londres.

4 de mayo de 1677,

viaje, la velocidad del auto es de 89 kilómetros por hora. b. Como vimos en el capítulo 1, la velocidad instantánea de un móvil es la función derivada de la función que determina la dis­ tancia del móvil a un cierto lugar, en nuestro caso a Buenos Aires. Por lo tanto, para obtener lo pedido en b., debemos hallar una función d(t) cuya función derivada sea v(t) = 9 t 2+ 8. Sabemos que al derivar una función polinómica, es decir, al hallar su función derivada, su gradóse reduce en uno, y además que para derivar una suma hay que derivar cada término. Busquemos, entonces, una función que al derivarla dé 9 t 2,yotra, que dé 8. Para que 9 t 2sea la función derivada de una función, ésta debe ser de la forma a t 3, con a * 0. Luego, al derivar a . t 3e igualar el resultado a 9 t 2 resulta que (a . t 3)'= a . 3 t 2 = 9 t2=>3a = 9 =>a = 3. Por lo tanto, una de las funciones que buscamos es 3 t 3 pues (3 t3)'= 3 . 3 t 2 = 9 t2. Para que 8 sea la función derivada de una función, ésta debe ser de la forma b . t, con b * 0. Entonces, al derivar b . t e igualar a 8 obtenemos (bt)'= b = 8. Por lo tanto, la otra función buscada es 8t, pues (8t)'= 8. Luego, resulta que d(t) = 313+ 8 t . Sin embargo, también podría ser d(t) = 3 t 3+ 8 t + 7 o d(t) = 3 t 3+ 8 t + 2, pues en ambos casos la función derivada también es v(t). Es decir, podemos conside­ rar d(t) = 3 t 3+ 8t + k, con ke IR. Como el auto parte a 20 kilómetros de Buenos Aires, entonces, es d(0) = 20 y, en consecuencia, es k = 20. Luego, la función que permite calcular, en cada instante, la distancia del auto a Buenos Aires es d(t) = 3 t 2+ 8t + 20. Primitiva de una función Llamamos primitiva de una función f(x) a otra función F(x) que verifica que F'(x) = f(x).

Conclusión I Si f(x), que es una función continua en cualquier valor de su dominio, tiene una primitiva, entonces, existen infinitas primitivas de f(x). I Si F(x) y G(x) son dos primitivas distintas de f(x), entonces, existe un número real k distinto de cero tal que F(x) = G(x) + k.

1. Para un móvil que parte del reposo, la función v(t) = 9t perm ite d eterm inar su velocidad (v), m edida en kilóm etros por hora, respecto del tiem po de m archa (t), m edido en horas.

a. ¿Cuál es

la velocidad del móvil des­

pués de 15 horas continuas de m archa?

O Problema 2 Para cada uno de los siguientes casos, hallen todas las funcio­ nes primitivas de f(x).

b. Encuentren

una función que permita

calcular el espacio recorrido por el móvil después de t horas de m archa.

a. f(x) = - + 7 sen x - 1 2 Vx x

b. f(x) = Vx + 2ex c. f(x) = eos x - — + 7x 3 x2

• Problema 2

c. ¿Cuántos

Antes de comenzar a resolver el problema 2, establezcamos las funciones primitivas de algunas funciones elementales de las cuales conocemos su derivada1.

kilóm etros recorre el móvil

después de 15 horas de estar en conti­ nuo m ovim iento?

Funciones primitivas de funciones elementales y n +1 I Si f(x) = x", donde n e IR -{-l}, entonces, F(x) =

2. Para cada uno de los siguientes casos,

+ k,

I x n+1 1 pues ----- +k = ------(FH rt)x n+1_1 = x n. \n + 1 I -ft-=rT

verifiquen si F(x) es o no una función prim itiva def(x). a. F ( x ) = ^ + l y f(x) = x 3

I Si f(x) = sen x, entonces, F(x) = - eos x + k, porque (-eos x + k)'= -(-sen x) = sen x. b. F(x)

I Si f(x) = eos x, entonces, F(x) = sen x + k,

= e xln x + 2 y f(x) = — x

ya que (sen x + k)'= eos x. I Si f(x) = e*, entonces, F(x) = e* + k, pues (ex + k )'= ex.

1

c. F(x) = 3x 5- 8x 2 + 9x + 7

y

f(x) = 1 5 x 4 - 16x + 9

I Si f(x) = —, entonces, F(x) = ln|x| + k. Verifiquemos esta afirmación. Como debe ser x * 0, entonces, es x >0 o x 0 =>ln|x| + k = ln(x) + k =>(ln|x| + k )' =^ . Si x< 0=> Inlxl + k = ln(-x) + k=> (Inlxl + k)' =

. (-1) = - . (-x) x 1 Por lo tanto, si x * 0, obtenemos que (Inlxl + k)' = - . x

1Ver capítulo 1, página 28.

e. F(x) = x

In x - x y f(x) = In x

74

EL CONCEPTO DE INTEGRAL Y EL CÁLCULO DE ÁREAS

Análisis 2

1

IS if(x ) = —- —, donde a e IR, entonces, F(x) = In |x - a | + k,ya

3. Determ inen si alguna de las si­

X

3

g uientes funciones es una función

que usando la regla de la cadena y la afirmación anterior resul­

prim itiva de g(x) = x 2 sen x.

a. G(x)

= 2 x eos x

b. G(x)

= - x 2 eos x + 2x sen x +

+

ta que (In |x-a| + k)' = — - . 1 = — x-a x-a Establezcamos también, a partir de las propiedades de las fun­

2 eos x + 8

c. G(x) = 2x eos x d. G(x) =

ciones derivables2, propiedades de las funciones primitivas.

-5

(-eos x)

e. G(x) = 2x sen

x - x 2 eos x

+ 2 eos x

Propiedades de las funciones primitivas I Si F(x) es una primitiva de f(x) y G(x) es una primitiva de g(x), entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x). Esta propiedad es cierta porque (F(x) + G(x))' = F’(x) + G'(x) = f(x) + g(x). I Si F(x) es una primitiva de f(x) y G(x) es una primitiva de G(x), entonces, F(x) - G(x) es una primitiva de f(x) - g(x). Esta propiedad se puede comprobar utilizando un razonamiento similar al empleado para verificar la propiedad anterior.

4. Encuentren

una función F(x) que sea

una primitiva def(x) = 5x +^* +

x

2

I Si F(x) es una primitiva de f(x) y c es cualquier número real, entonces, c . F(x) es una primitiva de c . f(x). Esta propiedad se verifica porque (c . F(x))'= c . F'(x) = c . f(x).

y que adem ás verifique que F (l) = 8.

Resolvamos el problema 2 utilizando estas propiedades y las funciones primitivas de las funciones elementales. 1

3r-

1

1

a. Para la función f(x) = - + 7 sen x -1 2 v x = - + 7 sen x - 12 x 3 x x * X3 obtenemos que F(x) = In |x| + ^ + 7 (-eos x) + k2- 12 — + k3y = In |x |- 7 c o s x - 9 x ’ +k

3 c o n sid e ra n d o

5. Obtengan una función H(x) que cum pla las siguientes condiciones:

J.

kx + k2+ k3 = k

Verifiquemos que, para cada valor de k, la función F(x) es una primitiva def(x).

la función H(x) es una prim itiva de , , .

x

3+ 2Vxf +

x

.

h(x) = ------------------ y el punto x3 (4; 5) pertenece a H(x).

Al hallar la función derivada de F(x) obtenemos lo siguiente: F'(x) = - - 7(-sen x) - 9 - x J = - + 7 sen x - 1 2 Vx = f(x) x 3 x b. Para f(x) = Vx + 2 ex = x* + 2 exsu función primitiva, para cada 3

x2

2

-

valor de k, es F(x) = — + 2ex + k = - x 2 + 2ex + k. 3 3

2

Al comprobar si F'(x) es f(x) resulta que F'(x) = ^ ^ x 2+ 2ex = x 2 + 2ex = f(x)

2Ver capítulo 1, página 23.

c. Para la función f(x) = eos x ---- + 7x3= eos x - 3x '2 + 7x3 x2 X 1 X4 obtenemos que F(x) = sen x - 3 — y + 7 — + k = 7 = sen x + 3x _1 + - x 4+ k 4

6 . Hallen las funciones prim itivas de las siguientes funciones:

a. a(x) = ex-

sen

x + Vx

Al verificar, para cada valor de k, si F(x) es una primitiva de f(x), resulta que F'(x) = eos x + 3 (-l)x ~2+ ^ 4x 3= = eos x - —- + 7x 3= f(x) x2

b. b(x) =

x sen x + Vx 2+ 2

O Problema 3 Claudio necesita calcular, en kilómetros cuadrados, el área de su campo, que tiene la siguiente forma:

c. c(x) = 7x8- 5x7+ 2x6- 10x3+ 6x2+ + 3x + 9

Al intentar encontrar el área que busca, como la forma del cam­ po no es regular, decide introducir la figura de su campo en una computadora. Por medio de ella, logra averiguar que la función

d. d(x) = 5-^ Vx2

correspondiente al lado curvo del campo es la siguiente:

ri \ 1 , 13 , 28 , 46 34 . . , , f(x) = — x 4----- x 3+ — x 2------x + — en el intervalo [1:61. 10 10 5 5 5 Si estuviéramos en el lugar de Claudio, ¿cómo podemos hacer para calcular el área del campo si sólo disponemos del dato brindado por la computadora?

• Problema 3 Dibujemos la figura del campo en un sistema de ejes cartesianos.

e. e(x) = (1 +Vx) (x2+ Vx - 1 )

M ATEM ATICA I LIBRO 6

76

EL CONCEPTO DE INTEGRAL Y EL CÁLCULO DE ÁREAS

Análisis 2

¿Sabían que...?

Para resolver el problema 2, tenemos que calcular el área de es­

El estudio del cálculo de áreas de figuras

ta figura, que no es ninguna figura geométrica conocida. O sea, debemos calcular el área de la región determinada por el gráfico de f(x) y el eje x, entre x = 1 y x = 6, es decir, en el intervalo [1 ; 6].

con form as no regulares com enzó con los griegos, en el siglo III a .C .A rq u ím e d e sfu e el primero en tratarlo considerando las su ­ perficies como una colección infinita de segm entos, con lo cual com enzó a esbozar lo que siglos después sería el cálculo integral. Com o los griegos tenían “terror” al concepto de infinito, hubo que esperar

Observemos que f(x) es una función continua y positiva en cual­ quier valor de x perteneciente a [1 ; 6]. Luego, para hallar el área que buscamos, podemos comenzar por aproximarla construyendo rectángulos que estén incluidos en la figura anterior de la siguiente manera:

dos mil años para que las ideas de Arquím edes fueran retom adas. Ouien retomó las ideas de Arquímedes fue Cavalieri. Posteriormente, John Wallis las aritmetizó y logró darles valores numéricos a las áreas. De esta manera, Wallis convirtió el cálculo de áreas, que hasta ese momento era geométrico, en cálculos aritméticos.

John Wallis fue un matemático inglés

1616, y falleció en 1703. Fue el m ás importante de los

que nació en Ashford,en Oxford en

matemáticos ingleses inm ediatamente an­ teriores a Newton. Se consagró como sacer­ dote, pero dedicó la mayor parte de su tiem ­ po a su profesión de matemático. Escribió extensos trabajos de Matemática. Además fue el primero en utilizar el símbolo del infi-

Es decir, dividimos al intervalo [1; 6] en cinco subintervalos de igual longitud y sumamos las áreas de los cinco rectángulos cuyas bases son respectivamente cada uno de esos subinterva­ los y cuyas alturas corresponden en cada caso al mínimo valor que toma la función en el subintervalo. Para realizar una mejor aproximación del área, dividimos el intervalo [1 ; 6] en más subintervalos, de igual longitud, de la siguiente forma: O

nito y en extender el uso de los exponentes a los números negativos y a las fracciones.

l i l __________ 7 © La suma de las áreas de los rectángulos obtenidos se llama aproximación del área por defecto. Al dividir el intervalo [1; 6], también podemos considerar rec­ tángulos que sobrepasen la figura de la siguiente manera:

La suma de las áreas de los rectángulos así obtenidos se llama aproximación del área por exceso.

7. Consideren el siguiente gráfico en el cual es f(x) = x2.

Consideremos simultáneamente rectángulos que estén inclui­ dos en la figura y rectángulos que la sobrepasen, de la siguiente forma:

Encuentren una aproxim ación por defecto del área de la figura som breada para cada uno de estos casos:

a. Dividiendo el intervalo [0; 5] en cinco subintervalos de igual longitud.

b. Dividiendo el intervalo [0; 5] en diez

A medida que dividimos el intervalo [1; 6] en más subintervalos,

subintervalos de igual longitud.

las aproximaciones por defecto y por exceso que obtenemos dan valores cada vez más cercanos al área buscada.

Área de la región limitada por el gráfico de una función positiva

.

8 En el gráfico que figura a co ntinua­

Si una función f(x) es continua en cualquier valor del inter­

ción, la región som breada está debajo

valo [a; b] y positiva en el intervalo (a; b), entonces, el área de la región limitada por el gráfico de f(x), el eje x, x = a y x = b es el valor del límite de las aproximaciones del área

de la función g(x) = - x 2 + 36.

por defecto y por exceso cuando la cantidad de subinterva­ los de igual longitud en que se divide el intervalo [a; b] tiende a infinito. Obtengan una aproxim ación por exceso

Es decir que el área de una región es el valor que resulta de su­ mar las áreas de infinitos rectángulos, determinados por defecto

del área de la región som breada de cada una de las siguientes m aneras:

y por exceso, en los cuales la base es cada vez más pequeña en cada nueva subdivisión del intervalo [a; b]. La notación que se utiliza para indicar el área (A) de la región li­

a. Dividiendo el intervalo [0; 5] en cinco subintervalos de igual longitud.

b. Dividiendo el intervalo [0; 5] en diez

mitada por el gráfico de f(x), el eje x, x = a y x = b es la siguiente:

J

subintervalos de igual longitud.

J

f(x)dx, o sea, A = f(x)dx. Esta notación se debe a que

I El símbolo Je s una deformación de la letra S asociada a la palabra "suma” y significa que sumamos infinitos términos, cada uno de los cuales es el área de un rectángulo. I El símbolo dx (diferencial de x) representa la variación que en el eje xtiene el valor de la base de cada rectángulo2. I El producto f(x ). dx simboliza al área de cada rectángulo. I Los valores a y b se llaman límites de integración e indican el intervalo en el que calculamos el área de la región. 2Ver capítulo 1, página 32.

¿Cómo se lee...? [ f(x)dx: integral entre a y b de f(x) difeJ a

rencial de x, o integral de f(x) diferencial de x entre a y b.

M ATEM ATICA I LIBRO 6

78

EL CONCEPTO DE INTEGRAL Y EL CÁLCULO DE ÁREAS

Análisis 2

¿Sabían que...?

Como no es posible determinar los infinitos rectángulos a tra­

El prim er m atem ático que utilizó el sím bo­

vés de cuyas áreas podríamos calcular el área de la figura del

lo

J fue Leibniz en un m anuscrito del 29 de

octubre de

1675 que nunca publicó.

campo, busquemos la función que nos permita hallar esa área. Es decir, tratemos de encontrar la función área.

El 2i de noviembre del m ism o año agregó

=J f(x)dx, es decir, llamemos A(t) a la fun­

el sím bolo dx a la notación.

Consideremos A(t)

La notación de Leibniz fue impresa por

ción que permite obtener el área de la región limitada por el

primera vez e m

686 ,e n una revista llam a­

da A c ta eru d ito ru m .

gráfico de la función f(x), que es continua en cualquier valor

En un comienzo, los lím ites de integración

de [a; b] y positiva en (a; b), el eje x, x = a y x = t, con a k = -G(a)

los cuales

las siguientes funciones tienen m áxi­

b. J(t) = í (x2-*n

6x + 8)dx

M ATEM ATICA I LIBRO 6

Análisis 2

EL CONCEPTO DE INTEGRAL Y EL CÁLCULO DE ÁREAS

11. Para cada uno de los siguientes

Por lo tanto, si G(t) es una primitiva def(t), la función

casos, grafiquen la función f(x) y ha­

A(t) = G(t) - G(a) es la función que permite obtener el área de la región encerrada por el gráfico de f(x) y el eje x, entre a y t.

llen el área de la región determ inada por el gráfico de f(x) con el eje x.

J

a. f(x) = - x 2 + 5x - 6

O sea que A(t) = f(x)dx = G(t) - G(a), donde G(t) es una primiti­ va cualquiera de f(t). Entonces, al calcular el área entre a y b obtenemosJ f(x)dx = G(b) - G(a). Conclusión

Regla de Barrow Si G(x) es una primitiva cualquiera de f(x), que es continua en cualquier valor del intervalo [a; b] y positiva en (a; b), entonces,

J f(x)dx = G(b) - G(a) b.f(x) =-x4+ 1

b

La expresión G(b) - G(a) se puede escribir como G(x)5, con lo a

cual resulta que

f b

b

f(x)dx = G(x)5 = G(b) - G(a).

Calculemos, entonces, el área que debía hallar Claudio utilizan­ do las propiedades de la página 74y las funciones primitivas de la página 73. Luego, obtenemos lo siguiente:

f í -1C 10 J, 12. El gráfico que figura a co ntinua­

,

13 10

X 4 -------- X

I 1 x5

,

28 , 46 X 2 ----------X 5 5

+ —

13 x 4

28 x 3

46 x 2

lo ? - i o T + y ? - y T

ción es f(t) = t 2 + 1 0 . Encuentren la función que perm ita calcular el área de la región som breada para cu al­ quier valor de x.

34 dx = 5

+ —

34

.U

+ y x + k 5'

1 „ 13 „ 28 _ 23 „ 34 — 6 ----- 6 + — 6 ------ 6 + — 6 + k 50 40 15 5 5 1 , 5 13 , , 28 , , 23 12 34 . — I 5----- 1 4+ — l 3------ 1 2+ — 1 + k 50 40 15 5 5

/

-" I\ 318 + kl 25 + 1

2257 . ----- + k 600

215 = 8,9583 24

.

Observemos que al realizar el cálculo del área, el número real k se cancela. Por este motivo, no importa cuál es la función pri­ mitiva de f(x) considerada, pues con cualquiera de ellas obten­ dremos la misma área. Luego, el área del campo de Claudio es 8,9583 km2.

O Problema 4

13. Calculen el valor de a si a < 8 y el

Consideren la función f(x) = x 3- 5x2- 4 x + 20 y calculen el área

área de la región encerrada por el gráfi­

(A) de la región que determina el gráfico de f(x) con el eje x en cada uno de estos casos:

co de g(x) = x 2 + 1 , el eje x, x = a y x = 8

a. Entre x = - l y x = 2. b. En el intervalo [2; 3].

A 532 . es de ——

c. Entre x = -1 y x = 3.

• Problema 4 Grafiquemos la función f(x), continua en IR. Dicho gráfico es:

14. Para cada uno de los siguientes casos, grafiquen la función y obtengan el área de la región que se indica. a. Región lim itada por el gráfico de a(x) = eos x, el eje x, x = 0 y x = y .

11111111111111111111 m

a. Como f(x) es una función positiva entre x = -1 y x = 2, el

111111111111111111111111111

área pedida es: X’ X’ X‘ . _ A = í (x3- 5x2- 4x + 20)dx = ----- 5 ----- 4 — + 20x ,É 4 3 2 5

68

3

241 12

171 4

b. En el gráfico de f(x) observamos que entre x =2 y x =3 la fun­ ción es negativa. Por lo tanto, no podemos calcular el área utili­ zando el mismo razonamiento que el empleado en el ítem a. Consideremos la función |f(x)|, que es positiva en IR, y dibujemos las regiones que determinan los gráficos de f(x) y |f(x)| respecti­ vamente con el eje x en el intervalo [2; 3]. El gráfico que obtene­ mos es:

Observemos que las dos regiones que quedan determinadas tienen la misma área. Por lo tanto, considerando la función positiva |f(x)|, en lugar de f(x), podemos hallar el área corres­ pondiente a [2; 3] utilizando el mismo razonamiento que el empleado en el ítem a. Luego, como |f(x)| = -f(x) entre x = 2 y x = 3, entonces, el área buscada es la siguiente:

b. Región com prendida de b(x) = |x +

entre el gráfico

1 |, el eje x y el eje y.

M ATEM ATICA I LIBRO 6

82

Análisis 2

EL CONCEPTO DE INTEGRAL Y EL CÁLCULO DE ÁREAS

15. Calculen las siguientes integrales definidas:

A

=J

|f(x)|dx=J [-f(x)]dx= J (-x3+ 5x2+ 4x - 20)dx =

x* _ x3 . x' ---- +5 — + 4 ----- 20x 4 3 2

a. I cosxdx =

69 ' 4

68

65

3

12

c. En el gráfico de f(x) podemos observar que en el intervalo [-1; 3] la función f(x) es positiva para algunos valores de ese b. [ (6 + 7x3) dx =

intervalo y negativa para otros. Luego, para hallar el área pedida podemos calcular el valor de í |f(x)|dx. -1

c.J

senxdx =

Pero para quitar las barras de móduloy colocar la función co­ rrespondiente, debemos determinar en qué valores de [-1; 3] la función f(x) es positiva o negativa. Como vemos en el gráfico entre -1 y 2, la función f(x) es positiva y entre 2 y 3 es negativa. Por lo tanto, debemos calcular las dos áreas por separado.

16. Para cada uno de los casos que

A = í f(x)dx + í |f(x)|dx = [ (x3- 5x2- 4x + 20)dx + J2 -1

se indican a continuación, determinen

+

r\ , r , „ 171 65 289 (—x + 5x2+ 4x - 20)dx = ---- + — =-----2 4 12 6

si la integral definida í f(x)dx coincide con el área de la

Integral definida

a

región comprendida entre el gráfico

Si la función f(x) es continua en cualquier valor del intervalo

de f(x), el eje x, x = a y x = b. Justifi­

[a; b], llamamos integral definida de f(x) entre los valores a

quen sus respuestas,

y bal valor de

J

f(x)dx, con

J

f(x)dx = G(b)-G(a), donde

a. f(x) =Vx - 3, a =0 y b =9 G(x) es una primitiva def(x). Esta definición es independiente de la positividad o negatividad b. f(x) =2*, x =-1 y x =8

de f(x). Comprobémoslo calculando la integral definida de f(x) = x 3- 5x2- 4x + 20 entre 2 y 3. Al hallar el valor de dicha integral obtenemos lo siguiente:

C (x , 3—5x r 2 „ x4 5x3 _ 2 __ \ i 69 68 65 —4x + 20)dx = ---------- 2x2+ 20x z. = -------- =----K ' \4 3 j5 4 3 12 Este valor no es el área, debido a que es negativo. Sin embargo, coincide en valor absoluto con el área que hallamos en el ítem b. Por lo tanto, el valor de la integral definida de f(x) entre los valores a y b coincide con el área de la región determinada por el gráfico de f(x) con el eje x en [a; b] solamente si la función f(x) es continua en [a; b] y positiva en (a; b).

O Problema 5 Calculen el área (A) de la región sombreada en cada uno de los siguientes casos:

a.

Algo más... Hasta ahora siem pre hem os calculado el área de regiones encerradas entre el e j e x y el gráfico de una función conti­ nua en un intervalo cerrado. Analicem os qué sucede si la función tie ­ ne una discontinuidad de primera espe­ cie con salto finito en una determ inada cantidad de valores de x. Por ejem plo, calculem os el área (A) de la

• Problema 5

región encerrada entre el eje x y el g rá­

a. El área que debemos hallar corresponde a una región com­ prendida entredós funciones. Por lo tanto, lo primero que te­ nemos que determinar es entre qué valores de x estamos tra­

fico de la función. 16-x 2

f(x) =

49-x

10

2

s ix < 3 s ix > 3

bajando. Para ello, calculamos los valores de x de los puntos de

El gráfico de la región com prendida

intersección de las funciones f(x) y g(x). Entonces resulta que

entre el gráfico de f(x) y el eje x es:

g(x) = x 2+ 1 =>x 2+1 = -x 2+ 3 =>2x 2= 2 =>x = -1 o x = 1 f(x) = - x 2+ B . Es decir, debemos trabajar con valores de x entre -1 y 1. Si dibujamos la región ubicada debajo del gráfico de f(x) pero sobre el eje x, entre x = - 1 y x = 1 obtenemos lo siguiente:

Si bien la función f(x) tiene en x = 3 una discontinuidad esencial de primera especie con salto finito, podemos calcu­ lar el área de la región dividiendo dicha región en dos regiones cuyas áreas, res­

Al calcular el área de la figura sombreada resulta lo siguiente:

í 1(—x 2+ 3)dx = — + 3 x ] + 3 . l ] J-i ' \ 3 ¡5i \ 3 ¡ \

16 + 3(-l) = 3 , 3

Pero no necesitamos la región hasta el eje x, sino hasta g(x). Dibujemos el sector que no necesitamos de la región anterior

pectivam ente, son: r

3

245

A 1= j j l 6 - x ’)d x = ^

A,= f í ^ | d x =^ 10

15

Luego el área buscada es: A = Ax+ A 2

1361 15

Por lo tanto, cuando la función tiene una discontinuidad de primera especie

Observemos que ese sector se encuentra debajo del gráfico de g(x) pero sobre el eje x, entre x = 1 y x =-1. Luego, el área de

con salto finito en un intervalo [a, b],

dicho sector es la siguiente:

correspondiente a [a, b] dividiendo di­

J

x3 \ i (x2+ l)d x = — + x L = 3 5 3

podemos calcular el área de la región

cha región en d istintas regiones, cada

(-D3

+ (-D

n i . . Ii i « 16 8 8 Por o tanto, e area buscada es A = -------- = —. 3 3 3

una de ellas correspondiente a un subintervalo de [a, b] en cuyos valores la función sea continua.

M ATEM ATICA I LIBRO 6

84

Análisis 2

EL CONCEPTO DE INTEGRAL Y EL CÁLCULO DE ÁREAS

17. G rafiquen la región com prendida

A los cálculos que hicimos para hallar el área pedida, los podemos

entre el gráfico de f(x) = 4x, el de

escribir mediante una única expresión de la siguiente manera:

g(x) = — , x = e y el e je x . Hallen ade­

í (-x2+ 3) d x - í (x2+1) dx = í [(-x2+ 3) - (x2+ l)]dx = í [f(x) - g(x)]dx -1

-1

-1

-1

m ás el área de la región anterior.

b. La región dibujada en el gráfico b. posee un sector por sobre el eje x y otro por debajo de él. Esto resulta un inconveniente para poder utilizar el razonamiento empleado en el ítem a. Traslademos, entonces, hacia arriba las funciones f(x) y g(x), sin cambiar el área buscada, hasta que la región quede toda por so­ bre el eje x. Para ello, sumemos a ambas funciones un mismo número. Luego, como g(x) >-1 para cualquier valor de x, para que toda la región quede por sobre el eje x hay que sumar a ambas funciones por lo menos 1. Consideremos las funciones 18. Considerando que el área de la

f jx ) = -x 2+17 +1 y gx(x) = x 2- 1 +1, y dibujemos la región en­ cerrada entre sus gráficos. El gráfico que resulta es el siguiente:

siguiente región som breada es 25,

Como lo único que hicimos fue correr hacia arriba las funciones f(x) y g(x), el área de la región encerrada entre los gráficos de f(x) y g(x) es la misma que la que se encuentra entre los gráfi­ cos de fj(x) y gjíx), pero con la ventaja de que estas nuevas fun­

19. Teniendo en cuenta que para la

ciones son positivas entre x = -3 y x = 3, que son las abscisas de los puntos de intersección entre f(x) y g(x) y entre f jx ) y f 2(x). Luego, al hallar el área de la región pedida resulta que

región som breada siguiente el área es 5 y que g(x) es una función cuadrática,

í [(-x 2+ 17 + l ) - ( x 2- l + l)]dx = í (-2x 2+ 18)dx = -3

-3

obtengan el siguiente valor:

f

X3

h(x)dx

\^

- 2 — +18x r = 72 , 3 |5 Observemos que el 1 que sumamos a f(x) y a g(x) se cancela en la operación. Conclusión Si a y b son las abscisas de dos puntos consecutivos de la intersección entre las funciones f(x) y g(x), continuas en cualquier valor de [a; b], entonces, el área (A) de la región encerrada entre sus gráficos es: I [f(x)-g(x)]dx

Análisis 2 El concepto de integral y el cálculo de áreas

GE 3

GUÍA DE EJERCITACIÓN

O

1. Dibujen la región limitada por el gráfico de f(x) y las rectas que se indican en cada caso. Calculen, además, el área de dicha región, a. f(x) = -x + 5, el eje x y el eje y

85

1 i

--

------------------------------------------------------------------------------------------—

—

-- ------------------------------------------------------------------------------------------—

—

--

—

------------------------------------------------------------------------------------------—

-

J

o

b. f(x) = 2X24-4x - 6 y si e e x -- ---------------------------------------------------------------— -- ---------------------------------------------------------------—

------------------—

—

------------------—

—

1

______ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ _

-- ---------------------------------------------------------------— -- ---------------------------------------------------------------—

------------------—

—

------------------—

—

-

J

o

c. F(x) = Oosx + 3,el eje X, > = ¿ín y e eje y -- ---------------------------------------------—

---------—

—

---------—

--------

— ---------------------------------------------—

---------—

—

---------—

--------

______ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________

-- ---------------------------------------------— — ---------------------------------------------—

__

---------—

—

---------—

--------

---------—

—

---------—

--------

1

_

-

______ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________

J

o

d. f(x) = l>< -¡-1 e y ==6 -- ---------------------------------------------------------------— -- ---------------------------------------------------------------—

—

---------—

--------

—

---------—

--------

1

______ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ _

-- ---------------------------------------------------------------— -- ---------------------------------------------------------------—

—

---------—

--------

—

---------—

--------

-

J e. f(x) = 5X + 1 . g(x) = - x + 7 ) f el eje X

o

— ---------------------------------------------------------------------------------—

—

--------

— ---------------------------------------------------------------------------------—

—

--------

— ---------------------------------------------------------------------------------—

—

--------

—

—

--------

---------------------------------------------------------------------------------—

1

-

______ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________

J

JL

A LU M N O

J

C U RSO

J

FEC H A

1

,

GE 3

,

I

GUIA DE EJERCITACION

A nálisis 2 El concepto de integral y el cálculo de áreas

I

2. Para cada uno de los siguientes casos determinen cuál es la opción correcta. Justifiquen

O

el motivo de su elección. a. El área de la región encerrada entre el gráfico de f(x) = x 2- Bx, x = 5 y el eje x es: II. í f(x)dx

I. í f(x )d x -í f(x)dx 3

^0

3

III. J f(x)dx-J f(x)dx

IV. ninguna de las anteriores

o b. El área de la región comprendida entre el gráfico de f(x) = x 3- x ,e l ejex, x = -1 y x = 3 es: I. í f(x)dx -1

J

IV. f(x)d

x-J

f(x)dx

II. —T f(x)dx ■'-1

III. [ f(x )d x - í f(x)dx + [ f(x)dx -*-1 ^1 *^0

V .J f(x)d x - J f(x)dx

VI.

J

f(x)dx

+J

3. Obtengan el área de la región determinada por los siguientes gráficos: a. f(x) = x 2 y g(x) = 9x

f(x)dx-

J f(x)dx

o o

b. h(x) = Vx y i(x) = x

O

ALUMNO

CURSO

FECHA

GE 3

GUIA DE EJERCITACION

Análisis 2 El concepto de integral y el cálculo de áreas

c. j(x) = e 'x, x = -1, x = 3 y el eje x

d. k(x) = Vx, l(x) = -V x, mfx) = — y x = 9 x

1

e. h(x) = ------ +8, su asíntota vertical, su asíntota horizontal y los ejes coordenados x -5

f.

o(x) = 3x- 15, p(x) = ^ ^ - .y = 12 y x = 5

g. q(x) = x2+ 4 y r(x) = | x + y -

J

ALUM NO

J

CU RSO

J

FECH A

,

GE 3

,

GUIA DE EJERCITACION

h. s(x) =

■i. u(x) 1 1

x-3

I

I

A nálisis 2 El concepto de integral y el cálculo de áreas

+ 2 y t(x) = - x - l

O

0 x ,y = - —x 3 57 = x 22 + 8 e y=—

O

-------S ¡ X < 1

J .v (x ) =

x +1

x 2+ 1

y las rectas x = O y x = 5

si x > 1

O

4. a. Grafiquen la recta y = 2x + 3 y la región comprendida entre el gráfico de « i 3 2 23 . . f(x )= -—x + — x y el eje x

O

b. Hallen el área de cada uno de los sectores en que está dividida la región anterior y deter­ minen cuál es más grande.

5. Encuentren la función derivada de las siguientes funciones: a. A (t)= J In xd x

ALUMNO

___________________________________________________________________________

CURSO

FECHA

GE 3

Análisis 2 El concepto de integral y el cálculo de áreas

GUÍA DE EJERCITACIÓN

b. B(t) = í (ln t)x2dx

O f6 2 + ln3x 5. Determinen el valor dej g(x)dx si la función G(x) = ------— es una primitiva de g(x).

r* x2—x Obtengan los valores de t en los cuales la función F(t) = ------ dx tiene má máximos o J x 2+ l mínimos relativos

O

8. Hallen, si existen, los valores positivos de a para los cuales el área de la región encerrada entre el gráfico de h(x) = -Vx, el eje x, x = 0 y x = a sea 18.

O

9. Para cada uno de los siguientes gráficos, calculen el área de la región sombreada.

O

O

■

1 ALU M N O

89

GE 3

Análisis 2 El concepto de integral y el cálculo de áreas

GUÍA DE EJERCITACIÓN

O

o 10. Encuentren, si existe, el valor positivo de m que verifica que el área de la región comprendida entre el gráfico def(x) = x 3- 4 x y el de g(x) = mxsea 72.

11. Obtengan, si existe, el valor de c menor que 8 para el cual el área de la región limitada por el gráfico de h(x) = x2+ c y el de ¡(x) = -x 2+ 8 sea de 576.

o o

12. Considerando que el área de la siguiente región sombreada es 2, hallen el valor de í f(x)dx. ''l

o ALUMNO

CURSO

FECHA

GA 3

GUÍA DE AUTOEVALUACIÓN

1. Dibujar la región limitada por el gráfico def(x)y las rectas que se indican en cada caso.

O

Hallar, además, el área de la región obtenida. 2 19 a. f(x) = -x 2 + 8x, la recta y = —x + — y la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto cuya abscisa esx = 3.

O

b. f(x) = ex, x = - 1 y x = 2

O

c.f(x) = - —x 2 + 6 e y = - —x + — ' ' 3 y 3 2

O

d. f(x) = - x 3+ 4x y la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto de abscisa x = -1.

e . f(x)

= sen x, el e je x , x = y

y x =y

ti

O

■ i ILU M N O

■ C: u r s o

■ F EC HA

GA 3

Análisis 2 El concepto de Integral y el cálculo de áreas

GUÍA DE AUTOEVALUACIÓN

2. Graficar la región comprendida entre el gráfico de g(x) = x 2- 9 y el de h(x) = - x 2+ 9, y calcular el área de dicha región.

O

J. Encontrar el valor de í [f(x) + 2g(x)] dx si se verifica que [ 2f(x)dx = 5 y que í g(x)dx =

o 4. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar la elección, a. El valor de í (x-2 )d xe s el área de la región determinada en el primer cuadrante por el ■'o gráfico de h(x) = x - 2 y x = 4.

o b. El área de la región encerrada entre el gráfico de ¡(x) = x2- l y el ejex, para-1