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Problemas con variables relacionadas 1._ Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 m, éste aumenta a una rapidez (velocidad) de 50 cm=s. ¿A qué rapidez (velocidad) aumenta el área del círculo formado por dicha onda? la derivada dA /dt cuando r D 3 y cuando dr /dt D 0:5 .

2._A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le está entrando agua a razón de 25 l/s. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.

3._ Dos barcos salen simultáneamente de un puerto; uno viaja hacia el sur a una velocidad de 30 km/h y el otro hacia el este a una velocidad de 40 km/h. Después de 2 h ¿cuál es la velocidad de separación de los dos barcos?

4._ Un hombre está parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 3 m por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha está a 4 m del muelle, el hombre está jalando la cuerda a una velocidad de 80 cm=s. ¿A qué velocidad se aproxima la lancha al muelle?

5._ Una escalera de 5 m de longitud descansa contra un muro perpendicular al suelo. Si el extremo inferior de la escalera se está resbalando a razón de 1.2 m/s, ¿a qué velocidad desciende el extremo superior cuando éste está a 3 m del suelo?

6._ Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto invertido y la longitud de su altura es el doble de la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua a una rapidez constante, por lo que la profundidad del agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 1 m, la superficie sube a razón de 1 cm por minuto. ¿A qué rapidez le está entrando agua al recipiente?

7._ Un poste de 5 m de altura tiene un farol en la parte superior; un hombre de 1.70 m de estatura se aleja del poste caminando a una velocidad de 1.2 m/s. Cuando la distancia de la base del poste a la punta (parte más alejada) de la sombra del hombre es de 6 m, ¿con qué velocidad crece su sombra?; ¿con qué velocidad se mueve la punta de la sombra con respecto al farol?

8._ La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta T en grados (kelvin) y la presión P (en atmósferas) con un volumen V (en litros), es P V D nRT , donde n es el número de moles del gas y R D 0:0821 es la constante de los gases. Suponga que en cierto instante P D 8 atm y que aumenta a razón de 0:10 atm/min, además V D 10 ` y disminuye a razón de 0:15 `/min. Determinar la razón de cambio de T con respecto al tiempo, en ese preciso instante, si n D 10 mol.

9._ El auto A viaja hacia el oeste a 50 mi/h mientras que el auto B viaja a hacia el norte a 60 mi/h (ver figura). Ambos se dirigen a la intersección de los dos caminos. Encuentra la tasa a la que se aproximan el uno al otro cuando A y B se encuentran a 0.3 mi y 0.4 mi de la intersección, respectivamente.

10._ Una modelo camina por una pasarela recta a una velocidad de 4 ft/s. Un spot, localizado a 20 ft de la pasarela, se mantiene enfocado en la modelo. ¿A qué tasa está rotando el spot cuando la modelo se encuentra a 15 ft del punto de la pasarela más cercano al spot? Sean x la distancia de la modelo al punto de la pasarela más cercano al spot y \theta el ángulo entre el haz de luz y la recta perpendicular a la pasarela a un tiempo dado. x y \theta son entonces funciones del tiempo

.

11._ Un depósito de agua es cónico, con el vértice hacia arriba, y tiene 40 m. de alto y 20 m. de radio en la base. El depósito se llena a 80 m/ min . ¿A qué velocidad se eleva el nivel de agua cuando la profundidad del agua es de 12 m.?

12._ Dos vehículos se acercan a una intersección de una calle y una avenida . El primero se desplaza a una velocidad de 40 km/h hacia el este y el segundo a 45km/h. hacia el sur. Una persona los observó cuando el primero estaba a una distancia de 250m del punto de intersección y el segundo a una distancia de 190 m

13._ Sean v, r variables dependientes de t. Si v = 4πr3 3 y dv dt = 200, determine dr dt cuando r = 13

14._ Se bombea aire a un globo esférico a razón de 200cm3/s. ¿Con qué rapidez aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 26 cm?

15._Dos vehículos se acercan a una intersección de una calle y una avenida . El primero se desplaza a una velocidad de 40 km/h hacia el este y el segundo a 45km/h. hacia el sur. Una persona los observó cuando el primero estaba a una distancia de 250m del punto de intersección y el segundo a una distancia de 190m.¿A qué velocidad se acercan o alejan los vehículos después de 10 segundos de ser observados por la persona.

16._ Un tren y un avión parten de un “mismo punto” simultáneamente. El avión va en ascenso con un ángulo de 60◦ hacia el este con una velocidad promedio de 300 km/h. Mientras el tren va hacia el oeste a una velocidad promedio de 50 km/h. Suponiendo la velocidad promedio como la velocidad en cada momento, ¿A qué velocidad se alejan el avión y el tren después de 6 minutos?

17._ Un tanque de agua tiene forma de cono circular invertido, con radio de la base igual a 3m y 6m de altura. Inicialmente el tanque esta lleno de agua y se deja salir agua a una velocidad de 100π cm3/s. Calcule la velocidad con que baja el nivel de agua después de 5 segundos de iniciarse la salida del agua.

18._ 4 Un tanque de agua tiene forma de cono circular invertido, con radio de la base igual a 3m y 6m de altura. Inicialmente el tanque está lleno de agua y se deja salir agua a una velocidad de 100π cm3/s. Calcule la velocidad con que baja el nivel de agua después de 5 segundos de iniciarse la salida del agua.

19._ A medida que se produce la descarga del grano la relación entre el radio de la base y la altura se mantiene constante e igual a 4 / 5 por lo que los distintos conos son semejantes. El vértice del mismo sube verticalmente mientras que la circunferencia base aumenta su radio horizontalmente.

20._ Deseamos calcular la distancia AB para lo cual utilizamos el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC.

Máximos y minimos 21._ Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible?

22._ Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por su s b as e s h a d e s er co n st ru i do me d i a nt e do s p l ac a s c i rc u l ar e s d e 3 m d e r ad i o. C a l c u l ar l a s d im e n si o n es d e l a bo y a p a r a q u e s u vo l um en s e a m áx i mo

.

23._ Se pretende fabrica r una lata de conser va cilíndri c a (con tapa) de 1 l it r o d e c a p ac id a d. ¿ Cu á l e s d eb en s er s us d im e ns i on e s p a r a qu e se ut i l ic e e l m í ni mo po s i bl e de met a l ?

24._ Se ti en e u n al ambre de 1 m de l on gi tu d y se desea di vi di rl o en dos tr oz o s pa ra f or ma r c on u n o d e el l os u n cí r cu l o y c on el ot r o u n cu ad rad o . D et e rmi n a r l a l on gi tu d qu e s e h a d e d a r a c ada u n o d e l o s t r oz o s p a ra qu e l a su m a d e l a s ár e as d el cí r cu l o y d el cu ad r ad o s e a mí n i ma.

25._ Un s e ct o r ci rcu l ar ti en e u n p e rí me t r o d e 10 m . Cal cu l a r El radi o y l a am pl i tud d el s ec t o r d e m ay o r á r ea .

26._ Obt en e r el t ri án gu l o i s ó sc el es d e á r ea m áxi ma i n s c ri to en u n cí r cu l o de radi o 1 2 c m.

27._ Un tri án gu l o i sóscel es de perí metro 30 cm, gi ra al rededor de su al tu ra en g en d r an d o u n co n o . ¿Q u é val o r d eb e da r s e a l a b as e pa r a qu e el v ol u m en d el c on o s ea m áxi m o ?

28._ Recortan do con ven i en tem en t e en cada esqu i n a de u n a l ámi n a de ca rt ón d e di m en si o n e s 80 c m x 50 cm u n c u ad ra d o d e l ad o x y d obl an d o c on v en i en t em en t e , s e c on st ru y e u n a c a j a. C al cu l ar x p a ra qu e v ol u men de di ch a caj a s ea m áxi m o.

29. _ Se necesita construir un depósito de acero de 500 m3 , de forma rectangular con base

cuadrada y sin tapa. Tu trabajo, como ingeniero de producción, es hallar las dimensiones del depósito para que su costo de producción sea mínimo.

30._ Hallar el volumen del cilindro circular recto más grande que puede inscribirse en una esfera

de radio (a > 0).

31._ Hallar el volumen del cilindro circular recto más grande que puede inscribirse en un cono circular recto de altura H y radio R conocidos.

32._ Sean r y h el radio y la altura del cono. Tenemos que

33._ La resistencia de una viga de madera de sección rectangular es proporcional a su anchura y al cuadrado de su altura. Calcular las dimensiones de la viga más resistente que puede cortarse de un tronco de madera de radio R.

34._ Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo. Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros?

35._ Un barco A se desplaza hacia el oeste con una velocidad de 20 millas por hora y otro barco B avanza hacia el norte a 15 millas por hora. Ambos se dirigen hacia un punto O del océano en el cual sus rutas se cruzan. Sabiendo que las distancias iniciales de los barcos A y B al punto O son, respectivamente, de 15 y de 60 millas, se pregunta: ¿A qué velocidad se acercan (o se alejan) los barcos entre sí cuando ha transcurrido una hora? ¿Y cuando han transcurrido 2 horas? ¿En qué momento están más próximos uno de otro?

36._ Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de larga por 24 de ancha. Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará. ¿Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máximo?

37._ Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región como la de la figura. ¿Cuáles son los valores de x e y que hacen que el área encerrada sea máxima?

38._ Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región rectangular. ¿Cuáles son los valores de x e y , dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados, sea máxima?

39._ Considera la función 2 f (x)  3 x y un punto de su gráfica, M, situado en el primer cuadrante (x  0, y  0). Si por el punto M se trazan paralelas a los ejes de coordenadas, su intersección con OX y OY determina dos puntos, A y B, respectivamente. a) Haz una gráfica de los elementos del problema. b) Halla las coordenadas del punto M que hace que el rectángulo OAMB tenga área máxima.

40._ Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartel con las siguientes características: la zona impresa debe ocupar 100 cm2 , el margen superior debe medir 3 cm, el inferior 2 cm, y los márgenes laterales 4 cm cada uno. Calcula las dimensiones que debe tener el cartel de modo que se utilice la menor cantidad de papel posible

41._ De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, halla las dimensiones del que tiene volumen máximo.

42._ De todos los rectángulos de diagonal 6 2 , encontrar las dimensiones del de perímetro máximo.

43._ Calcular la base y la altura de un triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima.

44._ El perímetro de la ventana del dibujo mide 6 metros. Los dos lados superiores forman entre sí un ángulo de 90º. Calcula la longitud de los lados a y b para que el área de la ventana sea máxima.

45._ Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios respectivamente de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado. ¿Cómo henos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro?

46._ Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima . Calcular dicha suma

47._ Con 60 centímetros de alambre se construyen dos triángulos equiláteros cuyos lados miden x e y. ¿Qué valores de x e y hacen que la suma de las áreas de los triángulos sea mínima

48._ Expresa el número 60 como suma de tres números positivos de forma que el segundo sea doble del primero. Si el producto de los tres es máximo, determina el valor de dicho producto

49._ Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6 caras sea mínima

50._ Dada la función f (x)=1/x se pide: Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados sea mínima.

51._ Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular de 3 600 m2 de superficie, para poderlo cercar con una valla de longitud mínima.

52._ Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.

53._ Con 1 m2 de cartón cómo construirías una caja del mayor volumen posible. Teniendo en cuenta el dibujo, tenemos que maximizar la función

54._Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben ser de 2 cm y los laterales de 1 cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que resulten hojas con un coste mínimo?

55._ Un agricultor sabe que si vende hoy su cosecha podrá recoger 50 000 kg, que le pagarán al precio de 20 céntimos por kg. Por cada día que espere, la cosecha disminuirá en 800 kg, pero el precio aumentará en 3 céntimos por kg. ¿Cuántos días deberá esperar para obtener el mayor beneficio?

56._ Un vendedor de bolígrafos ha observado que si vende sus bolígrafos a 15 céntimos, es capaz de vender 1 000 unidades diarias, pero que por cada céntimo que aumente el precio, disminuye en 100 unidades la venta diaria de bolígrafos. Por otra parte a él le cuesta 7,5 céntimos fabricar un bolígrafo. Averiguar qué precio ha de poner para obtener el máximo beneficio.

57._ Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m2 de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 euros y el tramo vertical 30 euros.

58._ En una oficina de correos sólo admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la anchura sea igual a la altura y, además, la suma de sus tres dimensiones debe ser de 72 cm. Halla las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo

59._ Queremos diseñar un envase cuya forma sea un prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 cm3 . Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinado material; pero para la base debemos emplear un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de este envase (longitud del lado de la base y altura) para que su precio sea el menor posible.

60._ Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base es el lado desigual y mide 36 cm y la altura correspondiente mide 12 cm. Supón que un lado del rectángulo está en la base del triángulo.

61._ Un hilo de 100 cm se divide en dos trozos de longitudes x e y; con el primero se forma un cuadrado y con el segundo un círculo. Razonadamente: a) Halla x e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea máxima. b) Halla x e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima.

62._ Un jardinero quiere hacer un parterre2 en forma de sector circular y que tenga de perímetro 20 m. Se pregunta acerca del radio que debe tomar para lograr que el área del parterre sea máxima. a) Expresa el área del parterre, S, como función del radio r. b) Determina el valor del radio que maximiza S. c) ¿Cuál es la amplitud de este sector de máxima superficie? d) ¿Qué criterio se utilizará para garantizar que la solución encontrada corresponde ciertamente a un máximo?

63._ El valor de un rubí es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un rubí de 2 gramos en dos partes de x gramos y de 2  x gramos, de forma que los dos rubíes formados sea mínima.

64._ Se quieren construir depósitos cilíndricos como el de la figura, con la condición de que la altura y el perímetro de la circunferencia sumen 100 m.

65._ Dos coches circulan por dos carreteras perpendiculares. El primero sale de la ciudad A a 100 km/h y el segundo de la ciudad B a 120 km/h en sentido al cruce de ambas carreteras. La distancia de A hasta el cruce es de 100 km y desde B hasta el cruce, de 120 km. ¿En qué momento la distancia entre los dos coches es mínima?

66._ Con una cartulina de 8X5 metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.

67._ Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfica de y = (6 − x) / 2 ¿Qué longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máxima?

68._ ¿Qué puntos de la gráfica de 2 y = 4 − x están mas cerca del punto (0,2)?

69._ Un rectángulo esta limitado por el eje x y por el semicírculo 2 y = 25 − x ¿Para qué longitud y anchura del rectángulo se hace mínima su área?

70._ Dos postes de 12 y 28 metros de altura, distan 30 metros entre si. Hay que conectarlos mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre los postes. ¿En que punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor longitud de cable posible?

71._ Se pide calcular el volumen máximo de un paquete rectangular enviado por correo, que posee una base cuadrada y cuya suma de anchura + altura + longitud sea 108.

72._ Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un área total de 108 metros cuadrados de superficie. ¿Qué dimensiones producen la caja de máximo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares.

73._ Una página rectangular ha de contener 24 dm2 de texto, con márgenes superior e inferior de 1.5 dm y laterales de 1dm pulgada, ¿Qué dimensiones de la página requieren la mínima cantidad de papel?

74._ Con 4 metros de alambre se desean construir un circulo y un cuadrado. ¿Cuanto alambre hay que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el área mínima posible?

75._ Dado un cilindro de volumen 4 m3 , determinar sus dimensiones para que su área total sea mínima.

76._ Inscribir en una esfera de radio 1 m un cilindro circular que tenga a) Volumen máximo b) Área lateral máxima. En ambos casos determinar sus dimensiones, radio de la base y altura.

77._ El alcance R de un proyectil lanzado con velocidad inicial 0 v y con un ángulo θ respecto de la horizontal es R (v sin 2 ) / g 2 = 0 θ , donde g es la aceleración de la gravedad. Calcular el ángulo θ que produce alcance máximo.

78._ Se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial 40m/s, ¿Calcule cual es la máxima altura que alcanzará si la aceleración gravitacional es 10m/s?

79._ Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene un lado sobre el eje x y está inscrito en el triangulo determinado por las rectas y = 0, y = x, y = 4 − 2x .

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