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Matemática SECUNDAR!A

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Proyecto Crecemos juntos

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,,.or..,oJtarecemos

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¿Por qué Crecemos juntos?

Objetluos

deL

proyecto

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Cloues del proyecto

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juntos

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óreo d"e Motemótlcc en eL proyecto

Llneomlento c urrlc ulor

14

Fortolezos

15

deL óreo.

Secuencio de conocimlentos Vll CicLo

16

Texto esco[ar deI estudlonte

18

Libro de actiuidodes deL estud.ionte

20 24 28

Día a dí.a en el aula d.e[ d"ocente

Portol dlgitol del docente de

1.o

o

5.o

índice del Texto escolar indi.ce

d.eL

Llbro de actiuid.odes

Guiones did.ócticos Bi'bLtogrofio y si.tlos lueb consultodos

32 33

34 407

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juntos

Fortalezes del área

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Los fortoLezos deL óreo de Motemótico se centron, princlpoLmente, en desorrotto de los cuotro competenclos:

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Matemát¡ca

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Matemática

Matemát¡ca

Resuetue problemos de contidod. Resuetue probtemos de reguloridod, equiuotencio y combio. Resuelue probtemos de formc, mouimiento y Locolizoción. Resuetue problemos de gestión de dotos e incertldumbre.

Poro consegu'tr eL pleno desorrollo de estos competencios, [os moterloles del óreo de Motemót'r.co del proyecto Crecemos juntos, se corocterlzon por: ¡ Énfosis en e[ desorrollo de hobil.idodes, que hocen referencio o[ tolento y [o optltud que deben perfeccionor [os estudlontes o[ ofrontor olguno toreo.

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Culdodo selección de octiuldodes, escogidos en función del desorrotlo cognltluo de Los estudlontes, próximos o su reol,idod y plonteodos con uno lntenc[onol"idod pedogógico según niueLes de demondo cognltluo. Reloclón con Los perfiles de egreso de otros óreos y con los enfoques tronsuersotes, que se troducen en formos específlcos de octuo.r (empotio, soLldoridod, honestid.od, etc.).

Matemátic8

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S¡.tuociones que se odopton o los dlferentes ritmos y estllos de oprendlzoje: qcti"ui.dodes con dlsti.ntos ntueLes de d.i"ficuLtod, propuestos poro desorrotlor eI rozonomlento Lóg[co, eI pensomlento crÍtlco, el, trobojo cooperotluo y poner o pruebo Los optitudes y eL totento de Los estudlontes.

I

Progromos especÍficos, que enfotlzon e[ rozonomlento IÓglco-motemótico, Lo opLlcoción de estrotegios heuristlcos, eL uso de recursos tecnológicos y [o lnterocció n co n softuL ar e mote mótico. Formos e instrumentos de euoluoción innouodores, que lntegron competenclos y copocidodes, osl como fouorecen Lo outonomio y Lo uoloroción deI desempeño de codo estudlonte.

§,:*4 #5* 3

Matemática

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Voriedod de flchos con sltuoctones signlficotiuos uinculodos o distlntos contextos, que sugleren un conjunto de foses de resolución.

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óreo d"e Motemótico en eL proyecto

Secuencio" de conocimientos Vll Ciclo Motemótico 3.o, 4." y 5." grodo

Grodos

4e

3e . Lóglco: enunclod"o y

proposición

. Proposiciones slmpLes y

compuestos . Conectiuos tógicos y tobtos de uolores

. Euoluoción de fórmutos tógLcos

. Números roclonoLes e irrocIonoLes

5e

d.e

propos[cLones

, Vo[or Absoluto . Operociones con números reotes . PotenciocLón de números reotes . Rodlcoción de números reoLes . Rodicoles

. OperocLones con rodico[es . Roclonollzoclón de rod[coles

. Expresión olgebrolco rocionol e irrociono.[ . Po[i.nom[o: uolor numérlco,

de orgonlzoc[ón de

compuestos . Volor de uerdod de fórmutos l.ógicos

retoctones tógicos: tobLos de declsiones, diogromos de

. Método de Ruffinl

. Equiuolencios

, Fórmutos lógicos / . Tobtos de uerdod d.e proposiclones '

notobles o leyes tóglcos . Retoclón entre

. Lógico y conjuntos . Los orgumentos y su

.lmplicoclóny equiuolenc[o tógico

COmPueStoS

[o teorio de

grod.os, operoc[ones

CorroLt l/

I

. Foctorizoción . Frocclones otgebrolcos

'

. Sistemos de ecuociones con tres lncógnitos. Métodos de

. Argumentos ded.uctluod e

de orden . Números reoles. Densidod. y

completltud en

l"o

recto numérlco . Axlomqs. Retoclón de orden en lR.

. lnteruolos. Operociones

. Potencloclón y rodlcoclón en lR. . Logoritmos . Notoclón exponenciol y clent[fico. . Conuersión entre notoción exponenclol y clentifico. Operociones

sotución

. Ecuoclón cuodrótlco.

Métodos e

Horner

notob[es

proposIclonol lnductiuos . FuncLón proposlc[ono[ . Votidez de un orgumento. lrroclonotes. Retoc[ón

d.e

. Prod.uctos y coclentes

estructuro

con.iuntos y to l.ógico

y teoremo

deI resid.uo

. Método

Métodos de sotuc[ón. Fórmulo generol ' lnecuoclones llneoles y de segundo grod.o . Reglo de tres simpte y compuesto. Porcentojes e lntereses . Sistemo lnternoclonol de Unidodes. Unidodes de moso,

. Múl"tiptos

y diuisores > . Propiedodes del MCM y MCD

. Crlterlos de diuisibLli.dodr . Re[oclones entre los sLstemos numéricos lN, Z, QvlR.

. Retoclones de orden en lR. . lnteruolos . Densidod y completttud en [o recto numérico . Operoclones con números

clentiflco.Operoclones

. Problemos de mezcto

oleocióny móulles . Frocclones otgebroicos. Operociones con frocciones olgebrolcos . Ecuociones de segundo

grodo

. Sistemo de ecuoclones lineotes con dos y tres

Incógnitos

. lnecucrciones

de prlmer

grodo y de segundo grodo. Puntos crit[cos . Ecuoción exponencioL . Ecuoción Logoritmico . Funclón cuodrótlco. Grofico de uno funclón

cuodrotico . Funclón suceslón

proporcionoI . Operoclones con mognitudes derluodos y sus equluotenclos

. Ecuoctones logorítmicos . Sucesiones. L[mite de uno sucesión

'

Suceslones conuergentes y

.

oritméti.cqs y

dlugrgentes . Sgfies y sumotorios

/rogresiones /geométricos

. lnterés

simpl.e y

compuesto. lmpuestos . Slstemos de dos y de tres ecuoclones Ineoles . Slstemo de inecuoclones [neotes con dos incógnltos . lntroducclón o [o progromoci.ó n línec;l

l/

. Funclones: uolor obsotuto,

. Funclón cuodrótico . Función uolor obsoLuto

. Progres[ón geométraco . lnterés slmpte y

'

compuesto ModeLos finoncleros e lmpuestos . Función trigonométrlco.

. Functones tr[gonométricos. Amp Litud, frecuenclo, periodo,

Sucesiones crecientes y

decreclentes ' Logorrtmos. Propledodesy' . Progreslón geométrico . Números compLejos. Representoción gróflco. Adición, sustrocc[ón, mul"tipIicoci.ón, diuls[ón y

potencloción

proporclonoLes

. Regto de tres compuesto

tlempo y temperoturo . Estudio de uno funclón reol

'

t

. Mognitudes

. Sucesiones por recurrencIo . Progresión orltmétlco de prtmer ord.en

. Función roiz cuodrodo

reo[es

. Notoción exponenciol y

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4e

3e

. Esquemos o cuodros

.FormotlzocLón

. Números reotes y cuontLfLcodores . lnteruotos . Números roclonoles

Conocimientos

Resuelue problemos de regutoridod, equluotenclo y combio

Resuelue probtemos de cantidod

Competencitrs

.

.

Función seno y coseno Mod.e[os con funclones

trlgonométricos

móximo entero . Función cuod.rótico / . Función lnyectluo, sobreyectluo y blyectiuo Funclón tnuerso.

. Func[ón exponenc[oL y logoritmlco

desptozom[e nto uerticoI

y desfose de uno funclón

trlgonométrico . Ecuociones

trlgonométrLcos

,.r"",Jf,rrecemos

Resuetue probtemos de gestión de dotos e incertldumbre

Resue[ue probtemos de formo, moutmlento y locotizoclón 4e

3e . Ángutos determinodos por rectos poroletos y seconte . Ángutos de Lodos porotelos y perpend.iculores

. Medldo

. Potlgonos

. Lineosypuntos notobles.

. Trióngutos. Propiedodes.

. Congruencio de trióngutos

Relqciones entre lqdos y

ongutos

. Lineos y puntos notobtes de untrióngulo . Teoremo de Pitógoros . Congruencio de trióngutos . Áreos y perimetros de

regiones triongulores y cuodrongutores

. Áreos y perÍmetros de potigonos regulores y regiones circulores . Áreo de figuros irregutores . Volumendeprismos, cltindros, piromides, conos y esferos . Mouimlentos en etplono.

. Proporcionotidod geométrlcc

. Teoremo de Toles . Semejonzos de polÍgonos

. Semejonzo de trlóngutos

. Medido ongulores . ÁnguLos en los slstemos sexogesimol y rodiol-

. Rozones trigonométrlcos en e[ trlóngulo rectónguto

. ldentidodes trigonométricos - Ángutos de eteuocióny de depresión

de óngutos lnteriores y exteriores ' Trlongulos. Teoremos sobre óngulos

externos

. Trlóngutos rectóngulos notcbles . Propledodes osociodos o los elementos de [o clrcunferencio. . Ángutos en [o clrcunferenclo. Arco copoz . Áreo de regiones circutores . Áreo de poLígonos lnscrltos y circunscritos . Teoremo de Totes. Seme.jonzo.

. Reloclones métrlcos

en trlóngutos . Teoremos de cuerdos, secontes y tongentes

.

Rozones trigonométrlcos . Resotuclón de triongulos rectóngulos . Slstemo de medldos ongulqres . Ángul.os cotermlnotes

. ldentldodes trigonométrlcos . Tronsformoclones en e[plono. Teselodos . Áreo y uol.umen de cuerpos geométrlcos . Dlstonclo entre dos puntos en e[ plono cortesiono . Coordenodo detpunto medlo de un segmento . Ánguto de incl"inoción y pendlente de

unorecto . Ecuociones de [orectc . Poslclones relotiuos de dos rectos en e[ ptono

. Dlstoncio de unpunto o uno recto . Mopqs y ptonos: desplozomientos, ottltudes y relieues

5e

3e

. Slstemos de medldos ongulores . Longitud de orco. Áreo del sector

circulor

!

. Rozones trigonométrlco.s . Resolución de trióngutos rectóngutos y

obLicuonguto5 r'

. Rozones trigonométricos de un ónguto enposiclón

normol

t

. Signos de los rozones trigonométrlcos'

. PobLo.ción, muestroy recolección de dotos. Muestro representotiuo. Encuesto . Vorlobles cuolltotluos y cuontitotiuos dlscretos y

continuos . Tobto de distribución de frecuencios con dotos ogrupodos. Morco de ctose

. Ángutos coterminoles

. CLrcunferenc'ro rrlgonométrico . Rozones trlgonométrlcos de óngulos

cuodro.ntotes

. Reducción .

juntos

I

de ongulos ol primer

cuodronte ,/

Rozones trigonométricos de óngutos

negctiuos

. Lineos trigonométrlcos . ldentldodes trigonométricos . Rozones trigonométricos de óngutos compuestos . Sumo y dlferenclo de dos ón9uLo2.

.

Rectos y plonos en e[ espocio . Áreo y uoLumen de cuerpos geométricos . Distoncio entre dos puntos. . Ecuociones de [orecto . Centro de grouedod de figuros plonos . Perímetro de figuros potigonoles en un

plono corteslono . Secclones cónicos . Mopos yplonos o escoto. Dlseños de reglones y formos bidlmenslonoles. Desplozomlento, ottitud y retieues . Tronsformoclones geométrlcos. Composiclón de trqnsformqclones . Sistemo de meconlsmos ortlculodos

' Gróflcos

estod(stLcos. Hlstogromo y pol"lgono de

frecuencios

. Medldos

de tendencio

centrot. . Asimetrío de los medidos de centrollzoc[ón.

lnterpretoción

. Medidos de dlspersión: recorrldo, desuloclón medlo, uorlonzoy desuloción estqndqr . Experimento oteotorlo y espocio muestrol . Sucesos. Operoclones

4e . Pobtoc'Lóny muestro

. Muestreo oleotorio . Muestreo no

. . . . . .

repetlclón

. Permutociones clrculores

. Medidos de centrotlzoción. Có[cuto

poro dotos ogrupodos

. Medidos de

. Encuesto . Gróficos estodísticos

percenti[. Cólcu[o poro dotos ogrupodos

. Medidos de dispersión: Desuloclón medio,

uorionzo y desulqclón-

. Medidos de tendenclo centroI

. Medidos de [ocolizoc[ón

. Medidos de

estóndor. Cólculo poro

dotos ogrupodos . Distribuciones estodistlcos . Corretoclón. Ecuoclón de [o recto de

dlsperstón

. Noclón de proceso

recursiuo

. Proboblttdod de un suceso

. Sucesos y operociones

. ProbobiLidod cond[c[onodo compuesto

./

[oco.Iizoclón: cuqrtiI o

o[eotorio

. Probobil.idod de un suceso. 'ProbobiLidod Propiedodes Probobilidod de sucesos lndependlentes y dependlentes Probobil.idod y estodistlco. Frecuenclos de sucesos obsoluto y relotluo Dlstrlbuclones Foctoriol de un número Permutoclones Permutociones con

5e

d.rspersión

. Muestreo. Tqmoño muestroI

. Loencuesto . Números Índices.

índices de precios ot

consumidor ' Anólisis combinotorio: uoriociones, permutociones y combinociones

. ProbobiLidod de sucesos compuestos, probobtLldod condicionodo y

compuesto

'

Probobil.idod de sucesos independientes y

toto[

. TeoremodeBoyes

. Esperonzo mqtemótico . Ecuociones de recursluidod comptejo

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En un grupo de 130 mujeres, hay 60 rubias, 54 morenas y el resto son pelirrojas. 52 tienen ojos verdes y las otras, ojos cafés. Existen 25 rubias de ojos verdes y 16 pelirrolas de ojos verdes. ¿Cuántas morenas de ojos cafés hay en el grupo?

4.

Escribe una fórmula lógica para las siguientes proposiciones:

a)

(

(-p v -q) [(rv ^

s)

^

(-s v -r)]

lt tt

Diseñ¿rnros el circuito: -P

-q

s

malogradas. -S

-r

1

5.

N

o"{.}--..

Resuelve y marca la opción correcta. Representa simbólicamente el circuito lógico:

u)

6.

"*,{_:}.

p

-p - B -q

:.i c

:9 !

A) (-q p) v [-p v (-p I q)] ^ B) (-q v p) [-p (-p v q)] ^ ^

p € =o

Ot^qnp)vt-p^(-pvq)l D) (q n -p) v [-p

@

c

_9

c

30

r (p v -q)]

b) [pr(qn4-(rnp)J

c) [(pn9)-r]v[-q+(r+-p)]

B.

Con ayuda de un diagrama de Venn para tres conjuntos, determina las regiones que representa cada proposición.

a)-rn(qnp)

b) (pnq)vr

Valida los siguientes argumentos mediante una tabla de verdad:

a) Si entreno diariamente, entonces ganaré la competencia. No he entrenado diariamente, por

@

lo

tanto, no ganaré la competencia. §

-p

p

q

f

N

M

c) [(p-q)rp]-q

Evalúa el siguiente razonamiento: "Javier es desleal y deshonesto porque mintió a Miguel".

9.

A) ts

(q,rr)-p

7.

","__{;}.

@(-p*-q)v(r+-s)

-9-P

lógica que conesponde al circuito:

o o

@ @

C)(p,r-q)vp @ tp, -q) ^ -p

@ Identifica la fórmula

l

., "{_:}'-.

B)(-pvq)r-p

b)

Evalúa cada fórmula lógica.

a)(pvq)-(q,r-r)

A)(pa^q)v-p N N @

Crea en lenguaje común una proposición para las siguientes fórmulas lógicas:

a)(p¡q)-(rrs)

@(pv-q)n-r ll

Si la neblina aumenta, la visibilidad disminuye; y si disminuye la visibilidad, ocurren accidentes en la carretera.

b) Si lván no estudia y no ayuda en casa, entonces juega en la computadora o no lo hace, c) Tendremos muchas flores en el jardín, si la estación es propicia y las semillas no están

n ):

Determina el circuito lógico y marca la opción correctá.

paralelo: t(p v -q) n ql v (q a -p)

3.

Hallarnos la fórmula resultante uniéndola con la

"{

La fórmula lógica que representa el circuito la determinamos uniéndola mediante la disyunción inclusiva (v), porque los circuitos están en

En una encuesta a 150 clientes de un supermercado, de los cuales 60 son mujeres, 80 compran arroz integral y 20 son mujeres que no compran arroz integral. ¿Cuántos hombres no compran arroz integral?

Aplicamos en la fónnula dada:

conjunción

2. Recorriendo hacia abajo: En serie (conjunción n)

2.

Recordamos las equivalencias lógicas de la condicional y la bicondicional:

p+q=_pvq p-q=(p+q)^(q+p)

Para ir de A a B, podemos hacerlo de dos

l.

*

-

.

^L,__,_l.

cada dÍa, pero ninguno los sábados o domingos. Alberto solo puede usarla a partir del jueves; Rodolfo, un día déspués de Luis y Juan solo el miércoles o v¡ernes y ni Juan ni Luis ni Bodolfo pueden los miércoles. ¿Qué dÍa de la semana la utiliza Rodolfo?

23

€

M

D) q

c)

s

N

p q

del trabajo a las 2 p.m. o 3 p.m. Por lo tanto, hoy no es viernes.

E

r

c)

b) Si hoy es viernes, entonces salgo del trabajo a las 2 p.m. o a las 3 p.m. No es cierto que salga

p

o

Si Ana es profesora, entonces trabaja en la mañana o en la tarde. No es cierto que trabaja en la mañana o en Ia tarde. Luego, Ana no es profesora.

TEXTO ESCOLAR

Divisibilidad lTexto

escolar (pá9.

9) I

Libro de actividades (págs.32-34)

Capacidades y desempeños precisados . ldentifica la notación de múltiplo de un número. (1-a; 1-B) Comunica Usa estrategias y procedimientos

o

Realiza cálculos aplicando las propiedades de los múltiplos. (5; 9-11 )

o

Analiza expresiones numéricas para hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. (12)

o Argumenta

af

irmaciones

o

Divisibilidad El matemático alemán Carl Friedrich Gauss decía:"La matemát¡ca es la reina de las ciencias, y la teoría de los números es la reina de las matemáticas". La utilidad de la divisibilidad radica en descifrar códigos secretos de las industrias desarrollados por Rivest, Shamir y Adleman, llamado cód¡Bos RSA. número 12 se puede dividir exactamente entre 4. En este casq l2 es el múltiplo de 4, y recíprocamente 4 es divisor de '12. observa las propiedades en la tabla: El

Escribe el MCM y el MCD que corresponde a un conjunto de números. (6; 13-1a) TEN EN CUENTA

Delermina el valor de verdad, aplicando las propiedades de los múltiplos. (1a; 1-8)

Sugerencias didácticas

2

>

Cuando termina en cero o en cifra par

3

>

Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

4

>

Cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4.

Para iniciar

I

operación

Criterios de divisibilrdad Un número es divisible por..

Bepase los criterios de divisibilidad mostrados en la sección "Ten en cuenta", a partir de ejemplos. lntenogue: ¿Con qué números del 1 al 10 es divisible: a)¿620?(2',4; 5; 10), b) ¿12U?(2), c) ¿23424?(2;3; 4; 6; 8). ¿Cuándo un número es divisible por Z?(Respuesta probable: cuando al dividir entre 7 se obtiene como resto 0). Centre su atención en una forma más rápida de averiguarlo: lndique que hay que restarle al número, sin la cifra de las unidades, el doble de las cifras de las unidades; si el resultado es cero o múltiplo de 7, entonces el número es divisible por 7. Si el número es muy grande, se repite el procedimiento. Proponga como ejemplo averiguar si 1946 es múltiplo de 7 (194 12 = 182,18 - 4 = 14, sÍ es múltiplo de 7).

5 ó

> >

I

Generalización

roi.ion

20 + 8 = 28 tamb én es múltiplo de 4. 20 y 8 son múltiplos de 4.

sustracclón

20

Sia=hykeZ.

lvultiplicación

Cuando es divisible por

2y

3

8

>

Cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8.

9

>

Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

'10

>

cuando termina en 0.

sta=hykez.

--{-

Potenciación

alavez.

Antes de resolver los ejemplos 25, 26 y 27 , haga notar que en el margen están las propiedades de los múltiplos, a las cuales se hará referencia en el proceso de solución de los ejemplos. Para el ejemplo 25, pida que den valores a A y B para comprobar que se cumple la propiedad. Por ejemplo, A = 26 (7 + 5) y B=23(i =26 -23=3.SÍsecumple. Luego, solicitedos voluntarios que en la pizarra desarrollen la actividad sugerida al final del ejemplo. Después, compare sus procedimientos y resultados. Esto permitirá al

+2)-¡-B

resto de la clase comprobar sus resultados y corregir sus errores.

tO=iySeZ:tOt=¿oqt=i

ak=it

Ejemplo

Propiedad múltiplo de otrq el mayor es el MCM y el menor es su ¡,4CD.

28 es múltiplo de 7. Entonces:

El ivlclvl de dos números prlmos entre sí es el producto de los dos números; y su l\/CD

7

Si un número es

,a,

números

28

MCD7yzey = 7

y 15 son primos entre sí. Entonces:

l\4Cl\4p,15¡ =

7'15 =

MCD9yrs =

1

105

12

=4

Entonces: MCM€y 12)' MCD(8y

múltiplos comunes de dos o más números son múlt¡plos del ¡,4cN,1 de dichos Los

MClVl17r2¡¡=

MCM€r,2¡ = 24 Y |VCD16r

prod¡6¡6 ¿a¡ Oor ei MCD de dos números es igual al producto de dichos números. El

Luego de revisar la tabla sobre las propiedades de las operaciones, pida que particularicen, proponiendo un ejemplo más en cada caso. Pida un voluntario para que exponga su propuesta.

I

= 12 también es mútiplo de 4.

observa las prop¡edades del McM y del McD en la tabla:

Para desarrollar

Coloque enlapizarral y pregunte cómo se lee (múltiplo de 7). Considere la sección "Recuerda" para que expresen el conjunto de múltiplos de 7 (= l7k;ke Zl = .0,7, M;21, ...).

8

16=4y3€V:1ó.3=48=4

a.k=it

es1

I

-

Cuando term¡na en 0 o 5.

-

I

Ejemplo 20 y 8 son múlt¡plos de 4.

12¡

= 24' 4 = 8' 12

72 es múltiplo de ó y es múlt¡plo de 8. Entonces, 72

también es múltiplc del lvcMl6r¡¡= 24

P¡í€§.31'35

ffi

j

§ 8 E

I

§ a o

orsannou-a rus

comunica 1-4 Usa estrategias y procedim¡entos: 5"ó

cAPACTDADES

ffi

Escribe V si es verdadero y F si

es

falso.

¡t A g

Si l8 = áy48 =á,entonces 18 +48 =

[t

Si 243 =

Si 32 = ü y a0 = ü, entonces 80 Si

at =é,entonces

-

32 --

8l'7=i. ,r

i,"n,on"",

243a

=\.

I

tt'¡

Resuelve.

8. rvl "4.

§

¿Cuál es la cifra que se debe asignar a m para que 57m41 seadivisiblepor9? t

tp

¡

@ Si agrupo mis monedas de S/ 0,50 de 2 enZ,me sobra l; si Io hago de 3 en 3, también me sobra I l y si lo hago de 5 en 5, ocurre lo mismo. ¿Cuántas monedas tengo si son más de 30 y menos de 40? I

I

Para consolidar

t

Proponga las actividades 1 ala14 de la página 33 para que pongan en práctica lo aprendido en este tema.

UNIDAD

1

LóB ca. Números complelos

9

U

LIBRO DE ACTIVIDADES

DIVISIBILIDAD

'

¡

D¡VISIBILIDAD

El ,,r,ribiridad

Propiedades del MCM y MCD Las propiedades del N¡Clvl (mínimo cornún múltiplo)y del MICD (rnáximo común divisor) facilitan algunos cálculos. Observa el margen.

Múlt¡plos y d¡visores Un número entero A se dice que se puede div¡dir entre otro número entero posrtrvo B, lamado div sor, s¡ al dividir A entre B la divlsión es exacta.

A+B=Q

,\

= -1(rl: el ralt¡r renrr ¡rcror qrre J70.

H¡lllilrto: cl DLi¡rrro d!'nrLri.r!\ (lu( r\r\licr()n ' -161 = .l7lt c\cnro:

l.

lrl

Al dividir un número entre 8, se obtiene 5 como residuo; y al dividir otro número entre 8, se obtiene 2 de residuo. Determina el residuo de dividir la diferencia de los dos números entre 8. A = ptintcr rrrirlrttr. A + ll sc obticnc 5 rlc rcsitlrro

ñ

B = sclluurl,r t¡tinrcro.

d

B + li sc oht ir'rre rcsiduo 2

§

I 9 E € p

A=

i

lJ = § +

+5

l

La dili'¡clreir tlc lrrrl¡os ¡rrlntcror ilir irlirir entre S sc reprcscrla:

.\ B _\. i ,i r l,_ i,i+5_x .._x!.1 ).i-'88

e

= 3 o

+

+

Ill

rcsitluo cs

1.

Prr¡ lrr l,rrtlrr.:rrislir t1,il l71l

Irrj(

r(

\.

! @ l,os estudiantes de un colegio se forman en tres filas cuyas longitudes miden 8ü) cm. Cada estudiante de la primera fila, debe estar separado 12 cm; de la segunda fila, cada 39/5 cm; y de la tercera fila, cada 156/10 cm. ¿A qué distancia del origen coincidfuán los tres estudiantes de cada f,la por primera vez? Sea

r

= MCM,r' l0r = M(-M '

r)

i: ri6 ro)'

l(r

' "'

lo"=MCM,,,u,r*, lOn=

I

la tlistancia del origen a cada cstudiante.

I

tu'

,,0,

1560+n=

"' = l560 ""i'

15ó

t

I

I Logica. Números complelos

En el ejemplo 32, haga notar cómo al aplicar el criterio de divisibilidad del múltiplo de 9, se obtiene el valor de a y en el ejemplo 33, al aplicar el criterio de divisibilidad por 4, se obtiene los posibles valores de b. En ambos casos anal¡ce completamente los procesos de solución y verifique que los estudiantes los comprendan con las siguientes preguntas: ¿Por qué 52225 se expresa

Para la actividad 2, pregunte: ¿Qué criterios de divisibilidad hay que apl¡car y en qué orden? (De 3 y de 8; en ese orden). Guíe el desarrollo de la actividad 3, preguntando: ¿Cómo se expresa un número de trqs cifras! (aOc¡. ¿Un número que at ser divid¡do entre 7 deja como residuo 5? (l + 5 =7 - Z) ¿Un número que al ser dividido entre g deja como residuo 7? $ + 7 =§ - Z)

lndiqué que las act¡vidades 4,5 y 6 son aplicaciones de este tema a situaciones de entorno real. lndique que para la actividad 4; representen la cantidad a repartir como múltiplo de 13 (13 + 5). En la actividad 5, pregunte: ¿Por qué multipl¡camos la producción mensual por 12?. Pida también que denoten la cantidad a repartir como múltiplo de 11 y su residuo (1 1 + 6).

Para consolidar

Por lo tant(). coincidirán en 156 cnt.

lnfi)AD

Para el ejemplo 31, haga notar la aplicación de la propiedad de los múltiplos en la ad¡ción, pregunte: ¿El saldo puede ser S/ o un múlt¡plo de este? ¿Por gué?(No, porque no habrÍa saldo). Tenga en cuenta el perfil de egreso referido a la gestión de proyectos a través de las preguntas sugeridas al final del ejemplo. Complemente esta actividad con otras preguntas como S¡ tuv¡eras la

como 52 224 + 1?(Para expresarlo como múltiplo de 6 más su res¡duo). ¿Por qué se ut¡l¡za el valor de b = I y no 0 ni 4? (Porque se pide el mayor valor).

l(i

(!

Presente lossiguientes números:348:2498;12924;924 561; 1 823450, para que apliquen los criterios de divisibilidad conocidos e indiquen por cuáles del 2 al 10 son divisibles. Haga mención a la forma de aplicar el criterio de divisibilidad del 7 aprendido en la sesión anterior: 348 (2; 3; 4,6)',2498 (2);1292+ (2,3; a',6, 9); 924 561 (3; 9); 1 823 450 (2; 5). En cada ejemplo, pida que parafraseen las condiciones que cumplen para ser divisibles por los números que mencionan.

oportun¡dad de emprender un negocio grupal con tus compañeros de clase, ¿con qu¡énes lo harías?, ¿de qué trataría el negoc¡o?, ¿crees que sería rentable?

de llsistcrtc\ lrl elul):

\t¡Il(f,,\lc \,rtrrh(. :.f I

1l =t) + 0 + I'Xq + 7) + 7rü + lr. 7 =ü +t) + sr,

2)'()

Se¡,\ cl nrlrrero

Ntinre ro rlc rrtr.icrts = !U

-ll-¡)+l

ü+ü

Para iniciar

Para desarrollar

s)d + a)d + l)

A=ri+e i+l()rri+lt

9 + (() +

problemas.

(1-6)

Sugerencias didácticas

105.

Analiza y resuelve,

Libro de actividades (págs. 34-35)

33

lnsista en la importancia de conocer los criterios de divisibilidad. Para ello pregunte: ¿Por qué consideras importante conocer y aplicar los cr¡terios de divisibilidad? (Permiten encontrar los divisores de un número fácil y rápidamente).

N N

)

@

ci

i

'6 5 o

Io o f

pG _o

c o c a o a

§

c ao @

u

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

DIVISIBILIDAD

DIVISIBILIDAD

Criteios de

dav¡s¡bilidad

ff

Los criterios de d¡visibi¡idad son reglas que ayudan a determ¡nar si un número es d¡visjble por otro sin necesidad de realizar la d¡visión. Observa en el margen los cr¡terios de divisibilidad más comunes. empre¡decior

EJEMPLO

un número es d¡visible

Rosa y siete amigos emprenden un negocio y logran recaudar, en un primer mes de ventas, la cantidad de S/ l8 957. Deciden por mutuo acuerdo repartir la cantidad en partes enteras iguales, y el saldo se le sumará a lo recaudado en el próximo mes. ¿Cuánto dinero se ahorrará para el próximo mes?

por...

2

> cuando termina en cero o en c¡fra par

3

> Cuando

4

> Cuando

la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

. .

sus dos últimas c¡fras son ceros o forman un

5

> Cuando termina

ó

> Cuando

en005. pot

8

es d¡visible sus

10

> Cuando

la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Para el próximo mes se ahorrará S/ 5. r.Qrrc trpo (lo r'l()lfxro 1e Brslirrí¿r {)rnl)ren(ler? ¿A

19

I','r li) l.l)t.\.. I r..itlr¡,r..,

qLJ0

§

Determina el residuo de dividir 5aaa5 entre 6 si el numeral !7Qa)2a es

Aplicanros el eritcrio tlc tlivisibilidarl por 3 y rcsolvemos:

divisible entre 9.

.

Sabemos que

el numeral7@ífu

es

) 5 + h + 7 +,¡ +-l + /,= l tt+h+12=i a+¡,+ t=i ( ()rno

divisible entre 9. Entonces, la suma de

Aplicamos el criterio de divisibilidad por 9 y resolvemos:

i@ Además,

+za+z+a=q+ g+3a=9 sabemos que 2a < l0 + a < 5 ... l¿) >

3

+7

p

sc o

&

a c

§ .F c a @

s/

ll.

l)rrilrrcc: I1.1() tklcclirs dc ¡lrllos l)chr'rtos lr¡llrrr cl rcsirlrro tle clilirlir

tienc quc scr Llirisible por -1 1 li. t =1yb=0

ll,(,. ll :

Ill

rnenor vakrr tlc

(

I

I,)S\\.nlr( ll

Prrr delirtieiorr rlc Llir isibilirlrrl:

l-l gSli = l-1l)iil + (r = I I + (r Sc lc rcglrlrrli r¡l r'onrcrior ¡rr¡rrrllrr (r ¡xrllrs.

¡ rtlcnuis.

cl nrenor. entonccs:

...'r,

Sandra tiene una avícola y produce 1249 docenas de pollos cada tres meses. Si quiere distribuir a I I puestos de un mercado toda la producción, y lo que sobra se le regalará a un comedor popular, ¿cuántos pollos recibirá el comedor popular?

y

5rr7,¡-ll,

sus cifras debe ser múltiplo de 9.

.

de ¿ + á si sabe que el

número 56'la4b es divisible por 3 y 8 al^ yez,y a> b.

+ á cs 2.

De !r, y É, se obtiene: ¿ = 2 Hallamos lo que nos piden aplicando el criterio de divisibilidad por 6 y resolvemos:

| =t +

@ ¿Cuántos números de tres cifras al ser divididos

|

entre 7 o entre 9 dejan como residuo 5 y 7, respectivamente?

Por lo tanto, el residuo es 1.

J

i'rhiliil¡tl I \' I i+5

l lirill'

l

adernás

5aaa5 = 52 225 = 52 224 +

CJ

tl. lrniritir¡ cl.' clir

I rc',,1r.¡rtr'. l liff)\:

I)c-spttrís de rc¡rirrtir. srrbra S/ 5.

ol)l{'trvo: Jr,l)ilrr,

EJEMPLO 32

.

)

resitluo clc Llir iLlir l.l5 6()S

l5({¡ + l)7r? = l-S 97lil

@ Determina el menor valor

Emprentle creativamente (Se cornprrrnete con el trabajo en ct¡uipo).

N N @

lrr

¡l

18957> 957=952+5=§+5

> Cuando termina en 0.

l)ct¡crrrrs lrrrllrrr

=15q76+l=i+l

tres

últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8.

9

Debemos hallar el residuo de dividi¡ 18 957 entre 8. Para ello, se debe determina¡ si las tres últimas cifras forman un múltiplo de 8.

1-6

Esta semana los ganadores de una lotería fueron 13 personas. Si el premio fue de S/ 135 608, ¿,curánto sobra

cntre ll. ,\¡rlicrnrLx

1,,¡+ | +,r=i' li +l¿-3+¿=lt

Por dato, se debe repartir S/ 18 957 entre 8 personas

e6faft8ias y procedimientos:

despuós de repatir esta cantidad en partes iguales?

51,¡1,¡) 5+

2y3alavez.

> Cuando

@

Halta el residuo de dividir 2nat, l)1a entre 8 si el numeral 52ala es divisible entre 6, y a es el máximo posible. .\¡rlicrnros el erilcrir¡ rlc rlir isibijidlrt ¡or 6 r ll. r Irrcgo resolreno.:

Aplicamos el criterio de divisibilidad por 8 y resolvemos:

mútiplo de 4.

Usa

Resuelve:

ft Sé

TEN EN CUENTA

orsannoruruscAPAcIDADES

¡

N=,,/r=i+S=) : N-¿l¡r'=9+7-9.-l

DESAFIO

EJEMPLO

A la final de un concurso de danza asistirán 231 lóvenes,11 adultosy13 niños. Los precios de las entradas es menor que s/ 18, y la suma de las tres clases de entradas es menor que s/ 35. Halla el precio de entrada de los jóvenes si el total recaudado fue de s/ 2357.

Determina el máximo valor de a + á si se sabe que el ntmeralúd46 es divisible por 4 y 9 alavez.

. .

N=¿¡¡

Adcrn¿is se sabc lo siguieutc:

Por dato, el nsmeral Z7 a4b es divisible por 4, entonces las dos últimas cifras deben ser múltiplos de 4: á = 0; 4; 8.

I

Aplicamos el criterio de divisibilidad por 9 y resolvemos:

p

27a4b>2+7 +a+4+b=9

=

Como debemos hallar el mayor valor de c + á, entonces ¿ = 6 y

El máximo valor de a + b es 14.

D

= 8.

=Oi t=6.1t-l

I

I

O0


lyn>

Ordenando: log-

l\l = ¡1,',r-""''

EJEMPLO ó7

logl

Por ca¡nbio de basc:

n = (rog., ía á)(bsol62")

l/7.

Si

(itr$)(itrá(ffi = 2, ca,cúa$

t,,.,

J tog,s ARGUMENTA AFIRMACIONES

v además

lo85 9

M=1log,s=(, N N @ j

y,:, w} C lR+ - { l},

@ Si {x,

tog, zftog. zftog.:[oe,

log,4.logofl3loers

Cambiamos de base:

3logrp+

.

n'

Slog?

O M = --j:el-

Reordenamos y aplicamos la regla de la cadena:

log, m2' log^z

i

.4 .log,y

lno-

el valor

deP=+("",.i#j) .

=.)i=+lO log1l2

@n=bgrf+l"srt+bsrJ

EJEMPLO óó

.

=logn4 tr

Analiza y resuelve.

Aplica propiedades y calcula.

El valor de M es I /3

Sea log, rn2 . 3 log,

4

'

g

s

o U¡llDAD

I

Lógica. NÚmeros complejos

ó1

Logaritmos decimales y naturales I

Capacidades y desempeños prec¡sados Comunica Usa estrategias y procedimientos

Argumenta afirmaciones

¡ o

.

las conversiones realizadas y la forma en que ingresan los datos. Convoque a plenario y solicite la participación voluntaria de los estudiantes, para que expliquen el proceso realizado.

Discrimina logar¡tmos decimales y naturales. (1'1) Realiza cálculos de logaritmos decimales y naturales aplicando propiedades. (5-7)

!

Analiza y explica el razonamiento para resolver problemas de logaritmos decimales y naturales. (i .Lr)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I I

I

I

:

!

Solicite, en la clase anterior, que los estudiantes traigan una calculadora científica. Presente los siguientes ejercicios: logr5; logaritmo de 1 en base 3; log24 + logrS; logr81 - log.27; Iogaritmo de 100 en base 10. Socialice los resultados de los estudiantes (1; 0; 5; 1; 2) fomentando que justifiquen sus respuestas. Registre las propiedades de los logaritmos aplicados.

lndique a los estudiantes que identifiquen las henamientas de la calculadora científica. Pregunte: ¿Qué botón nos permite calcular el logaritmo de un número? ¿Es posible calcular los logaritmos propuestos inicialmente? ¿Por qué? (No, porque no podemos colocar la base). ¿En qué base se encuentra el logaritmo que presenta la calculadora? (En base 10). Comente que de todas las bases posibles para los logaritmos se usa preferentemente la base 10. AsÍ, los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se representan sin necesidad de escribir la base, log x = log,ox Pida que den lectura a la información presentada sobre logaritmos decimales y los logaritmos naturales. Pregunte: ¿Cuál es la base de los logaritmos naturales? (e).lnforme que también se les llama logaritmos neperianos a los logaritmos naturales en honor a su inventor John Napier.

I

I

lnvite a los estudiantes, a partir de la información presentada, que establezcan diferencias entre los logaritmos decimales y naturales. Realice en la pizarra un cuadro comparativo para que los estudiantes trabajen con el modelo propuesto y lo completen en su cuaderno. Pida la participación voluntaria para que compartan las diferencias encontradas (base, simbologÍa y lectura) y que establezcan conclusiones. Con ayuda de la sección "Calculadora", haga que los estudiantes interactúen con la calculadora, ingresando los datos presentados para que validen las respuestas presentadas. lntenogue: ¿Qué procesos se deben realizar

para calcular el logaritmo de base diferente de 10 en la calculadora? (Aplicar el cambio de base a base 10 para luego ingresar la información en la calculadora). lncentive a que comprueben los resultados de los logaritmos presentados inicialmente con ayuda de la calculadora, verifique

Con ayuda de la sección "Ten en cuenta", proponga que expliquen de qué trata cada una de las representaciones, Registre los aportes, luego concluya que el cologaritmo de un número es igual al logaritmo de la inversa de dicho número o al opuesto del logaritmo de dicho número. Mientras que "antilogaritmo de un número real positivo, en una base mayor que cero y diferente de uno" se define como el número que dio origen al logaritmo.

lncentive la práctica de los conocimientos aprendidos, a partir de la resolución de los siguientes ejercicios: cologu25 (-2); cologrS (-3); cologzl/8 (3); antiloge4 (81); antilogr-2 (1/9); antilog 483 (641125). En el elemplo 68, pregunte: ¿Por qué 9 colog" 3t/d es igual a -log" 3"/a ? (Por la definición de cologarilmo). ¿Cómo se obtuvo -4log"e?(De operar 12y -16, se coloca log" e, ya que es igual a 1 y no varÍa este resultado). ¿Qué propiedades se aplican?(Logaritmo de una potencia, logaritmo de un

cociente y logaritmo de un producto),

I

!

I

Para desarrollar

I

Libro de actividades (págs. 62-63)

I

Forme pares de estudiantes para desarrollar las actividades 1 a la 7 de la sección "Desarrolla tus capacidades". En la actividad, recuerde iniciar la resolución de atrás hacia adelante. Para la actividad 6 sugiera reducir el exponente a una forma más simple; para ello, indique convertir el exponente a una misma base, recuerde que log.d = 1/ logoc. Previo al desarrollo de la actividad 7, recuerde la regla de la cadena. Comente que los logaritmos tienen aplicaciones en numerosos campos cientificos, técnicos y sociales, como se presenta en el ejemplo 69. lndique que también calculen a partir de la siguiente fórmula el tiempo estimado de antigüedad de un fósil: ¡ =( 5730/-ln 2) . ln (R/Ro). Para el desarrollo de la actividad 8, recuerde que ln a = b & = a. Recuerde considerar t = 2, ya que los años de crecimiento del 2005 al 2OO7 son dos, luego se considera f = 13 ya que es la diferencia enlre 2020 y 2007 . En la actividad 9, recalque que la tasa de interés debe estar expresada en su equivalente decimal. Destaque las propiedades aplicadas en la resolución de la actividad 10.

-

Socialice los procesos y respuestas de los ejercicios propuestos, invitando a intervenir a los estudiantes que aún no han participado. De esta forma, los estudiantes verifican los resultados obtenidos y corrigen sus resultados si es necesario.

N N

)ci @

i

:Q l

B

o E l

pñ

Para consolidar

_! t

I

I

Pregunte: ¿Qué nuevo conocimiento aprendimos hoy?(Logaritmos decimales y naturales). ¿En qué campos de estudio se utilizan los logaritmos neperianos? (En los campos cientÍfico, técnico y social). ¿Cuál es la diferencia entre logaritmos de base decimal y los logaritmos neperianos? (Su base,

simbología y lectura).

I

ut

o

§c c o (h

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

LOGARITMOS

LOGARITMOS

Logaritmos decimales y naturales

.

Ejemplo: log 1m = 2, DorQue 1d

.

TEN EN CUENTA

EJEMPLO ó8

col€ab =-logab

Sea la expresión M

bl

.

anlilogo b = ab

CALCULADORA Para

logaritmos

decima es, usarnos la

lo8 2 = log 3 = lo§ 9 =

.

:

I

2,§2585... 1,{J9431...

IMPORTANTE

C

Para nuestro problema, utilizamos la fórmula de desintegración radiactiva. e, R = Ro¿

R:

l

p

st o L

c

c a @

62

@

rog,

@

tog":k 'tos. i?

(lie - 2o

t00O + e,/3

6

log l0O + log l0 =

=

3-l

donde:

Porcentajefnal

.

\

a#=+ log.

F

=# antilog' 4 =

¿+

¿3

-

log a3 "

M = log"

a3

-

(log" a3 + log" ea¡

= .;"(*v) es

-4

log" e

= bs" (e-a)

+

¿

17.6=)7.2

lrrg. l(r =

antilosn tosn @-a) =

P

..

lr = 27.6(,(rl¡r7lqq', = 30.35 Se espcra que haya 30,35 n¡illones de habitrntes.

-4

p

Usa logaritmos en la fórmula de interés compuesto

Do(l + r)'y establece cuánto tiempo r tardará el dinero D,, para que se duplique (D = 2Do) si se calcula anualmente a una tasa del 97o. D=

jRn = 5730.

l4

Roe+'5730

r*d;z

ln,

- t= "-o

*

1n

.

Ro: Porcentaje inicial (100%)

ln0,l =-0,000121.t.ine

constanteasociadaal

Luego,t= 19030

,:

Tiempo en años.

j

2=(l+009)/+¡=

.. log,,.2s =

D

+

-0.000t21

Dicho hueso tiene, aproximadamente, l9 030 años de antigtietlad.

l

@ Simplifica en función de ¡ la expresión E. . ln e+ lne: + ln ¿l+... + ln1*l

5

calcula

*=

lop \ J?

-ffi3

.loo JZ.

log.,

e

. log-,2

log,. N!rnrerarclor:

6

p e

I

lop,

.

c

log...

Delorninatlt¡r:

I

E

I

s

§

@

o

r' loc '.'¿'"i¡

l.'

log ,, ,' = t,,g,.

-

los l lor'' -l =-:llog"t I :' =l-l= .l' 6 krg.,8

,,_tl_, ' -1= rr -*

"-@

¿Es verdad que

log,

8

ñ §

+ l¡Q,l=l¡¿0'(nl2l'

',-'--o.ooot2l . t, ¿

lo-g

log I.09 =tt

Tardará 8 años.

= antilogr 5

({) = r, ,-* "

r=- -2.302585.

r =91,

log,,5

I

ln0'l

r)1.

N=2s=32

* t=-2\2t =gl1? +k=0,oo0l2t -5730' ln e 573O'

k

árilcl

N = antilog, ,los¡

-,- / l)

Ro=Ro. ¿-o'oml2l I

-s

2Dr,= ¡),,11 +

I

N = antilog:

es la mitad de la cantidad

5730

fl*losnll.ron | +ro& al

|l

N = antilog: l¡r+log,7 . log,, 5

Si se ha desintegrado el 9OVo, queda sin desintegrase el l07o (0,1 ). Con esta información, despejamos y hallamos ,:

R=Roe-['-0,1

r'!g,],lll.)=1¡.¡1¡72ee

I

@ Calcula logr,2 N si N = ¿¡1¡il6g,

lll \21=-*.

r=

I

-4.

+

,r ,-

-1

c,rkrg,'1=( l) = .. ti=

Despejamos k y obtenemos su valor con ayuda de la calculadora: tr

Si la población del Peni en el año 2005 era de unos 27,2 millones, aproximadamente, y en eI 2O07 era de 2'7,6 millones, aproximadamente, ¿cuántos habitantes se espera que haya en el año 2020?

\'

log , t l.Jrr - J arltiltrs,l=-1r= l6 log. lr, = "tr = lr,

elemento considerado.

@

§ ,F

log"

M = log,

r" "'

o o o

-

2a

n=ln

_i

)

log

@ F = colog.r log2 log] antilog4 (logr ¿ I ,96)

-

Se conoce que la cantidad final de carbono inicial por estar semidesintegrado:

N N @

!

@ Un aumento continuo de Ia población puede ser modelado por la fórmula de crecimiento exponencial P = Po er', donde Pn es la cantidad inicial (en este caso de la población), t son los años de crecimiento y k es el ritmo de crecimiento.

f)

Aplica propiedades y resuelve.

n = n.e

)9

Analiza y resuelve las siguientes situaciones:

@ colog"

antilog2 4. Calcula antilog" M.

usaestrate8lasyprocedim¡entos:5"7 Argumeftaafirmaciones:8-10

respuesta.

En un laboratorio, se examinó un hueso encontrado en una caverna y se determinó que el carbono l4 se había desintegrado, aproximadamente, en un 907o. Si el periodo de semidesintegración del carbono l4 es de 5730 años, ¿cuántos años de antigüedad tiene, aproximadamente, dicho hueso?

.

:

-

e1'Ñea = 5

EJEMPLO 69

A,95424...

neperianos, usamos la

ln 10 = tn 5 =

colog"ih

+

1-4

Escribe V o I,'según corresponda. Justifica tu

0,47712...

Para logaritrnos

tecla ln

= log¿ 5 = 1,6094...

comunlca

M = l2 + 3 logu a - 9 log"1d

Antilog. M

0,30102...

5

oesannou-aruscAPACIDADES

Aplicamos propiedades y resolvemos:

M

tecla log:

h

12 + 3 log" a + 9

=

M = t2 + log" a3

.

-

100

Los logaritmos cuya base es el número e = 2,7182..., se llaman logaritmos neper¡anos o logaritmos naturales y se expresan asÍ: log¿ á = ln á Elemplo: In 5 = 1,ó094..., porqüe

=tog"

fl

Los logaritmos en base 10 de cualquier número real positivo á se llaman logaritmos decimales. En estos logaritmos no se escribe la base y se expresan así: log á

¡

, = l'

es l/2?

Uf¡

I + I + i + ... + (\ + l) F '- rntil,'r, ll,,r. tr + 2rl

f.r+ l)(.\+l)

j=-r1l r+l l (\+l) rt Luelo.[rr,--lur,=_ '_ l+l 'l E=

I

Il

I

No cs vcrrli¡cl.

UÍ{IDAD

I

Lo8ica. Números

complejos

ó3

Ecuaciones logarítm icas I Capacidades y desempeños precisados . Aplica las propiedades de los logaritmos para simplificar Usa estrategias y procedimientos

que el valor del argumento debe ser siempre positivo. Esto servirá para discriminar las soluciones obtenidas algebraicamente que contradigan la def inición de logaritmo.

la

ecuaciónlogarítmica. (1-7)

¡

Determina el valor de la incógnita de una ecuación logarítmica. (1-7)

I

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Considere la revisión de ecuaciones de primer y segundo grado, ya que estos conocimientos serán empleados en Ia resolución de ecuaciones logarítmicas. Para este último caso, refuerce los procedimientos de resolución (por factorización o porfórmulageneral). Porejemplo: -Sx= -6(x=3; x=21, x2 + 4x + 3 = 8 (x= -3; x= -1),2y2 -13y +20(y=stz', y= a).

I

f

I

(16/2) (F) .loga27 + logr3 = loge(27 . 3) .log¿xs=5log¿x (V) rlo9164+logr512=loga64-logr512 .logr9=9 (F) .logs2s=2-52=25 c log*27 no tiene solución (V) . log6(x + 3) + logu(x- 2) = 1 ¡ I

I

!

lndique a los estudiantes que determinen la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones y que justifiquen su respuesta:

.

lo9116 = log

(V) (F) (V) (V)

I

A partir de la actividad anterior realice con los estudiantes un cuadro resumen de las propiedades de los logaritmos y proponga otros ejercicios de repaso. Pregunte: ¿A qué llamamos ecuación? (Una ecuación es una igualdad

I

Forme pares de estudiantes y solicite que propongan dos ecuaciones logarítmicas: una debe tener dos posibles valores de la incógnita, siendo una de ellas contradictorio con la definición de logaritmo. Las ecuaciones propuestas serán planteadas a toda la clase y será un momento para propiciar el diálogo y el intercambio. En el ejemplo 70, resalte la importancia de respetar los signos de colección, ya que nos indica que debemos empezar trabajando con los logaritmos que se encuentran dentro de este. Recuerde que para multiplicar radicales, estos deben tener el mismo índice. lndique que describan las propiedades empleadas para el desarrollo. Relacione este aprendizaje con la actividad 3 de la sección "Desarrolla tus capacidades". En el ejemplo 71 , pida que reemplacen los valores de x en la ecuación propuesta, para que comprueben si no se contradice la definición de logaritmo y pueden validar el conjunto solución presentado en el ejemplo. Solicite que realicen la actividad 1; para ello recalque que log"b / log"c + log"(b/c) y presente ejemplos para que los estudiantes eviten este tipo de equivocaciones, ya que, por lo general, suelen confundirse. AI analizar el ejemplo 73, resalte que un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático y consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. Proponga lo siguiente para que expresen lo que representan:

matemática entre dos expresiones matemáticas, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas). Las siguientes igualdades: logrS = 3; logux= 625; logr81= x, ¿son consideradas ecuaciones? ¿Por qué? (Solo la segunda, porque la incógnita se encuentra en el argumento)

.

lndique a los estudiantes que den lectura a definición de ecuación logarítmica y validen sus respuestas.

Luego de examinar el ejemplo, interrogue: ¿Qué proceso me resultó difícil de comprender?(Respuesta libre). Tome eil cuenta las respuestas de los estudiantes para realizar aclaraciones.

Indique que una ecuación logarÍtmica presenta logaritmos en al menos uno de sus miembros y que la incógnita se encuentra en uno de los argumentos. Destaque que muchas de las ecuaciones logarítmicas son resueltas mediante la aplicación de la definición de logaritmo. Proponga el primer ejemplo de la definición: log (x + 1) + log 5 = 2. Luego de un tiempo prudencial para que resuelvan la ecuación, intenogue: ¿Qué procesos realizaron para hallar el valor de x? (Aplicamos la propiedad de logaritmo, aplicamos la definición de logaritmo). ¿Cuál es el valor de x?(19). Pida que reemplacen el valor de xen la ecuación propuesta para comprobar la validez de la respuesta. Comente sobre la información que se encuentra en la sección "Recuerda", revise la definición de looaritmo nára una meior comnrensión destacando

log x---> lndica que se trata de un logaritmo decimal de base 10.

o logyx--->

¡

Para desarrollar

I

Libro de actividades (págs. 64-65)

ln

lndica que se trata de un logaritmo de cualquier base.

x---> lndica que se trata de

un logaritmo neperiano cuya base es e.

Para la resolución de las actividades 6 y 7, indique que analicen los sistemas de ecuaciones y expresen los posibles procesos para su resolución. Destaque la estrategia de identificar cada elemento de las igualdades.

Para consolidar

I

A modo de conclusión, pregunte a los estudiantes'. ¿A qué llamamos ecuaciones logarítmicas? (A las ecuaciones que presentan la incógnita en el argumento de un logaritmo). ¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? (Por la definición de logaritmo, aplicando las propiedades, resolviendo ecuaciones de segundo grado). ¿Qué dificultades has encontrado? (Respuesta libre). ¿Qué tipo de estrategias o procedimientos has utilizado para resolver y comprobar la ecuación logarítmica?

Si se cuenta con computadoras, proponga el desarrollo de ecuaciones logaritmicas en línea, para ello pida que ingresen a la página: http://www. ematematicas.net/ eclo g ar itmic

a. p h p? a =

4 N N @

-i)

$

i .o o

!= o o I

E l

p IE

o L a @

c

-9 .F

c a

@

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

LOGARITMOS

LOGARITMOS

fl

Ecuaciones logarítmicas RECUERDA En las ecuaciones logarítmicas, es necesario verificar la existencia de las soluciones, ya que si se obtiene el logaritmo de

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la ¡ncógnita aparece dentro del argumento de un logaritmo. Ejemplos: log k +'1 ) + log 5 = 2; 2 log3 x = log3 (4r - 12)

log., rz = lo&/ n

+,n

+ Bx + 12) _ olol (2f (2r ,

.

(h)* j r"e",] = r1¡r

.

logullogurD +log¡.4)= r.gr. (3)

(log, 3 + l)(log.r+ I ) = log 3 +log.r+ 2 lol, 3+ log.r. log, 3 + I + logr= log.j +

log, (logu I ?-x) = og" (?)

krc,-l=l+.r=3 ..( s ={3}

f

El valor de

¡

í t ilogrLr = i +

logr+l

@ log., l log* r¡ ' log,r v'5f) =

. .

EJEMPTO 71

Aplicamos propiedades y resolvemos:

... C. S. =

-;r)

= Iog, 6

+

(x + 3)(4

Hallamos el valor pedido:

=ln¿3=3lnr=3

- x - 6- 0 + (r + 2)(x - 3) = 0 + x = -2

E)EMPLO 72

.

Calcula la suma de la raíces de logr 3 .

ci c

:9

'ot(+lt=.*.1#l

!

.1+.=ffi

o f

e o o

. .

@ Determina Ia suma de las raícgs de la siguiente ecuación: Iog, -, 2' log- 2= jlog, ., 2.

ox= 3

l

@

[t

(log3 y - 4l = log¡ y - 6 2) = 0 + y, = J2 + yt = g 3) = 0 + yr= J3 + y2= 2'7

I

-

2)(logry

-

3) = 0

! 4

§ @

@

o c -§ .F c a

,ot(+) , = ,ot(+) ,.

Aplicamos propiedades y resolvemos:

(log3y Luego,yf +!z=36.

o

\M/

lrr-r. t.r-lll log.-- = I lo!.(:,6-l) (krg,: 5) log,:=1 (log.: 6) krgl¡ 7log2.:+ l1=0 1log.. .1)(log,: .l)=0 >:r= l6v :.-fi . a +:,=2'+

rogrv'rogr(fi) =l",sr(h)

(log3y

= sc

-

Intercambiamos la base y el número, entonces la ecuación queda así:

log, y!og, y

de

lo92x-logzO

{Bi

\12/

TEN EN CUENTA

5-

@ Halla el valor

en: \/Y -g

=2 | ]ogr.E -logrS =3 \ l'+.r=4y'r Dc :l,r¡'."'i'-:* v/l 2

Entonces. el valor de x es 3.

toá,

en r:ln¡+lne3=6

ln.r+3=6-ln,r=3-¡=¿3

Analiza y resuelve los siguientes sistemas:

- x) = 6

Se verifica para .r = 3

ro8)3 =

:

,"(?) =^(¿f)=^(4)

]tl.g...sr¡={-.,=s

log, (x + 3) + log, (4 - x) = log,2 ' logz6

N N @ j

¿

;

I

Reemplazamos 3

--l--

rrogr,rrSi¡=({)

+ 3)

f

= ¿3...

-y

Ior,, {loe.,v5-) = t,rg,,(.4)

Sea-I-.+log,(4-r)=logz6'[og,2.Determinaelvalorde.r, log(¡ x

log, (x + 3X4

-

::

r,. ln y = ! ¡¡

Aplicamos propiedades en t

'ot(+)"

.

ln

+

lnl+lny=§... .

x=4

es 4.

+

ln y = 3

ln (,)'r') ) = ln (ee)

El fog, (3¡) ' log l0r = log (3x) + 2 llog, 3+log.rllkrg r + log l0l = log3 + log,r +2

(f).

Aplicamos ln a ambos miembros de

ln2 y = 9

Aplicamos propiedades y resolvemos:

log2, \r2x =

Calcula el uaror ae rn

'r: r -l=0 .t = I v t= 3/2 .. (' s. = [3/2]

t e^l"e*

t

{

Io-s rl.rr + ll.r+ lll = ) Iog11.r+ -lt (l.r + -l)r = 2rr + I.lr + ll

=n

ln (xy) = §...

Dado e[ sistema:

+ 3)

log

EJEMPLO 70 Resuerve

Usa esüategi6 y procedim¡er¡cs. 1-7

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

Para resolver una ecuación logarítm¡ca, aplicamos las propiedades de los logaritmos. Además, conv¡ene expresar la ecuación dada en la forma: lo8¿ m = loga n

un nÚmero no positivq la solución no se considera.

orsnnnou-aruscAPACrDADES

'

Halla el menor valor de y si se verifica que y2!2 = y'. 'lirrllulros logarilrnos ir ¡rubos nticll[¡tos el brrse l0: l,,g

e p e

§ a

rl'l

= log r¡ : r > o

ltrg r + rltrgr(l 21 ¡=0 rlorrrrI lrr=l) > Irrrr'=Ov I lr=o ,r'1 = 10"= I vr',= l/2 Fil nrclrx valor tlc l es ].

lrlkrg r=¡

De

!l: log.'' 'r)'' - j

4vI=(r4r'lt+

j"=E= 'ntr

!* = :t * - rJ' r'=2 l'..r =21"

''12-)1

.r

= 6-1r'l'r

'

@ Determina el valor

de

| f"]::l^'lt':''"' :

r - y en:

:{x*v.o>o.b>o¡

llo8r=y'oer De

O: ku (.1'r') = los0rr'E')

It¡d.r=k,g:¡ + t=r'o.n = I Por 2 conrlicirin:.¡ = I De 1,: log((r) k)S¿r=lt¡g(h) rog.i = rog (*)

'''r

*,

= !r.

t

=

losá+logr=bgá

lqg«

i

t=/11-,'¡l tll,

'

64

UNIDAD

I

Lógica. Númeroscomplejos

ó5

TEXTO ESCOLAR

Números complejos I

Texto escolar

(pag

1

6) r

Libro de actividades (págs. 66-67)

Capacidades y desempeños precisados .

Usa estrategias

af

irmaciones

.

Justlfica la representación gráfica de los números complejos empleando el plano cartesiano. (7) TEN EN CUENTA

Sugerencias didácticas

Clascs de números

complejos Real puro

Para iniciar

I

I

I

z=a+bi:b=0-z=a

4

4

lmaginario puro

yJ Proponga que determinen las raÍces ¿¿ . Pregunte: ¿Se pueden "/ calcular las raíces reales de los radicales?(No, porque no existe un número real que elevado al cuadrado nos dé un número negativo, por lo tanto, no tiene solución en el conjunto de los números reales). Resalte que esta situación dio origen a la creación de un nuevo conjunto numérico incorporando las raíces de estos radicales a lo que se llama números complejos. Recuerde que todo número negativo elevado a un exponente par siempre resultará positivo; para complementar presente ejemplos como: (-2)2 = 4; (-3)a = 81; (-5)2 = 25.

z=a+bi:a=O+z=bi Nulo

z=a+bi:(a=0 ¡b=0\ lguales

a+bi=m+ni(a=m

I

Y

Para graficar un número complejo z = a + bi = la, b) se hace uso del plano de Gauss, en el cual el valor de ¿ corresponde al eje X o eje real, y el valor de á

(a, b)

corresponde al eje Y o ele imaginario. Dicho número complejo queda representado por el vector que va del origen (0; 0) al punto (d, á), que se llama afijo.

Adición y sustracción de números comple¡os

Opuestos

EJEMPLO 15

Halla el resultado de M = 2(3

.

z=a+bi--z=n-bi

-

4i)

-

3(2i

-

3) +

4(l

+ 5i).

Resolvemos como si fueran expresiones algebraicas:

M=

6

-

8i

-

6i + 9 + 4 + 2Oi = (6 + 9 + 4) + (-8i

-

6i + 20i)

=

19 + 6i

Multiplicación, división y potenciación de números complejos

IMPORTANTE

Para hallar el resultado de una multiplicación y potenciación de números complejos, estos

.o f, .i .t | =! =l =l =

, I

ir=is=ie=ir*l=i ir - i6 - iro - ii+2 - _l ir-i7-irr=ia+r--

son operados como si fueran expresiones algebraicas. Para dividir dos números complejos, se multiplican el dividendo y el divrsor por el conjugado del div¡sor.

EJEMPLO 16

Carcuraer valorde

.

Resolvemos:

"

- 6:ix3

N=

tl.19a3il

I 3itr-N= -

*,_(4-2ix3+

3i2

i) (2- llixl

+-lI -

-

+¿

23- 3(2)1¡)J-1(2xi)']

-

i3

-zi\ _14-zi - --10- + -20-r5i_-13 5-t

ll+ftd-:ft

t6 5

ElvalordeN*f-fi. Pá€8. 66-7r

Revise la sección "lmportante" para observar cómo cada cuatro potencias se repiten los mismos valores imaginarios puros. Diferencie que el opuesto de un número complelo se caracteriza porque la parte real y la parte imaginaria son opuestos mientras que su conjugada se caracteriza porque la parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta. Complemente presentando ejemplos: z=3-5i;-z=-3 + 5iy z=3 +5i; z, = 2i'

orsannou-nrusCAPACIDADES

S

Halla el opuesto y el conjugado de

El Calcula P = 4(2 +3i)-2(5i +4)

lJs¡ estrate¡lrils y i)0(edill)rúnl0s l.ó

+

.z

=;3

3(l

*.6];,,

-rl),,,,,

f,) Halla el valor de Q = (3i - 2Xi + Z) + 2i(5,

= 12- 2i. Beafirme con el desanollo de la actividad 5.

Para consolidar Tó

Pida que resuelvan las actividades 1 a la 6. Luego, fomente el intercambio de sus nrnnodimicntnc rr recr rltadnc a mancrA de nnpvah la¡ián

fi

,d

E

ll¡

I

b=n)

z=a¡bi-Z=a+bi

Enfoque la atención en la sección "Representación gráfica de un número complejo". Destaque que el eje X corresponde al conjunto de números reales, mientras que el eje Y corresponde a los denominados números imaginarios, de tal forma que el número complejo " a + bl' queda representado por el punto P(a; b) al que se le denomina afijo y se expresa z = (a: b) llamada forma cartesiana. Revise la sección "Ten en cuenta", en la que se muestran las clases de números complejos. Por lo tanto, si unimos con una flecha el origen de coordenadas con el punto "P", obtendremos un vector OP que se considera la representación vectorial del número complejo.

-4 = -12-2i,4

n

Conjugados

Revise coniuntamente con los estudiantes el caso inicial. ExplÍqueles que los números imaginarios se encuentran compuestos por un número real acompañado de la unidad imaginaria. Resalte que llamaremos números complejos a los números (z) que presentan la siguiente forma "a + bi'; donde "a" es la parte real y "bf' la parte imaginaria.

Representac¡ón gráfica de los números comple¡os

Para sumar y restar números complejos, se cons¡dera el número ¡mag¡nario como var¡able y se operan como s¡ fueran expresiones algebraicas.

-z=0

Para desarrollar

I

§- tOC

Emplea estrategias heurísticas y procedimientos para 1-6; 8-9) operar con los números complejos.

(l{;

y procedimientos Argumenta

Números com plejos. Operaciones

;;al)r,

@ ResuetveR

2i)

=Q-!lf

E

Halla el valor de a si (3

@

¿Cuál es el valor de á si (1

-

-(l-2!)3. r.r

''

5i) + (-1 + ai) es real puro.

-

ái)2 es imaginario puro?

E

:

I a o

LIBRO DE ACTIV¡DADES

¡

1

NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS

@ Números complejos TEN EN CUENTA

IR

0 Z IN

fl

(O)

¡f

,f + 2r r 5 = 0, se obtienen como soluc¡ones 11 = -1 + 2,,[1 y x2 = -1 - 2tl1-. Estassolucionescarecendesentidoporquey'-1 noesunnúmeroreal.Anteestadificultad,

Al resolver

orsannou-arus

\

:14 ¡rJl

,ll

irs

i,.o ¡ .ql

'! lrt/l

Estas son algunas potenc¡as de la unidad imaginaria.

i2,ió

¡ro_i;+2__1

¡3 _ i7_ ir1 =

:lol tlrr.x

¡i.:__

conjunto de los números complejos (c) es el conjunto de todos los números de la forma z = a + bi, donde a y á son números reales e i es la unidad imag¡naria.

. RECUERDA

. i84+1=i4 21+1-i4+1 . i23o+2-i¿.59+2-i4+2 . ¡134+3_i4 s6+3_i4+3

ff

i236

El valor de M es

+2

+

ioo

,

i55

ir\s

,,t

a2

2 3X

i85

-

i238

+

i

1344 +

3

=

¡á

r r_

@ ¿,Cómo serán las gráficas de los conjugados

A = ila

-

respecto a las gráficas de los números complejos

il2s + i2467 + i34oo

dados? ¿,Y de los opuestos?

\-

. I

.\- r i t+l-

iá

*z

+

i3

*3

= i _ (_ t ) _

i

g

=I

e=j

l.

B

{ira57

.

tr

+ ¡sorr¡ r

= t/2(ii* * ¡i+

r;

l/2(i i) - 3(-l B=0+3-3i=3-li B=

EJEMPLO 75

I rr: grilielr:

. . . .

g.

-

31¡e2M

a ¡rz+ze¡

- i1¡i+: * ¡ir

) i,[

¡,tt

Graficamos el opuesto, el conjugado y el opuesto del conjugado del número complejo: = 4 + 3i en el plano de Gauss.

E e

2+3i

c E É

E P

(4:-3\ s o

66

binómica

Como:¡

€ o

_-5

-

4i

+

=:,, entonces igualamos ¡i = y + (2y _7)i

y resolvemos:

Por lo tanto:.r+). = 3 + 5 = 8

Determina el valor de

-3i

(l:

-l)

( 5i

-ó+8i

u*1

l0+7i

l0-7i

:'' l:

-lZ+i

12+i

r

+ y si z, = ¿r.

El :r = 2r+ (3-v + 4)i y.2 = 8 + (2 +-v)i El.:r =3(,r+ l)+ri y:2=2f -(l -4y)i

,

5+4i

6-8i

t2-i

_ l0

ir+i

Afijo de:

-2

.¡¡

t0=v >{l5x-v= I0 } x=3 {[5*l2y-7=¡ lx-2y=-t )=5

irrr

FOrma

§ j 3)

X

(-4; -3)

-,"'il;ji"" * #T

Completa la tabla según se indica.

Y

it

- 2) +.ri y ir= y - (7 -2y)i. Determina el valor de x + y si ¡, = ¡r.

.

ir*,riJ,, i,.r_ir-r ia+t ir i-(-i), i n--i+i .]I__I---:_-,-.'

: = 4 + 3i es el par ordenado (4; 3). El opuesto de z -- 4 + 3i es -: = -4 - 3i y su conjugado es ¡ = 4 - 3i. El opuesto del conjugado es -Z = -(4 - 3i) = -4 + 3i.

24

"0'i,*1"''

L

Sean z, = 5(x

r¡

+ i)

-

Según la definición, el afijo de

3)

=

conirrsirrlor lirnt¡rr ri¡rrrlr,'

I-lis tnilicirs rle los opuestos lornt¡n trn iirrLulrr Ilrrtlr rcs¡t(lo rrl cont¡tk'io tlirtlr.

5.r

Escribe el afijo, el opuesto, el conjugado y el opuesto del conjugado de la forma binómica del número complejo z= 4 + 3i. Luego, grafícalos en el plano cartesiano o de Gauss.

rlt lo'

rrLrtr[t: re.Pccto rl eont¡tl. jo tlrrLIr

tL

it3a7

Observamos las potencias de la unidad imaginaria y resolvemos.

_

t_

Simplifica las siguientes expresiones:

\

Simplifica la expresión: M = +t

i3' /

lttt

EJEMPLO 74

¡8a

i41

.'1

{

:

Todo número real es un número complejo cuya parte imaginaria es cero

M=

il6

i,'=i'ir'

t¡ene su opuesto -¿ = - ái y su conjugado I = ¿ - lri. Todo número complejo puede escribirse en diferentes formas. Así, ¡ = ¿ + ái es la forma binómicay z= @, b) es el afijo que representa la forma gráfica (a corresponde al eje x, y á, al eje Y).

.

7

@ Dibuja el conjugado y el opuesto de los números complejos 21,Z2f 27.

'q8

I

l(x)

Agumenta af¡rmaciones:

ll

Todonúmerocomplqoz=a+biconstadeunapartereal (d)yunaparteimaginaria(D). Todo número complejo

:

8-9

Analiza y resuelve.

lg

:71

El

. . .

Usá estrategias y procedimientos: 1-ó;

Pinta de un mismo color las expresiones equivalentes.

surge un nuevo conjunto de números, el de los números complejos, en el cual se admite como número válido a GT y a todos los que se obtengan de operar con é1. Este nuevo númerq se denomina unidad ¡mag¡nar¡a de causs y se denota con la letra ¡ = GT. por lo tantq ¡as soluc¡ones se escriben como = -1 r 2iy x2= -1 -2t.

¡o-¡a-¡a-¡.i_1 ¡r - ¡s - ¡e- ¡,i.r - ¡

cAPACTDADES

'

-1)

(6: lii

r

l0:

§ lr=li+r-,1 .\r+-l=l+r

+r-

I

I)r! l()lirltl(): \ + r=.1 9. 3,r+ f.¡. 10,

3

+.ri = 2f + (4y- l)i

+3=2r

|.3. ]"= I

I

It-4r=

[r= lr=l)

I

7)

(12: l)

Por lo tanto: .r + r'=

-l

UNIDAD

I

Lógica. Números complejos

67

Adición, sustracción y multiplicación en C ¡

I

Capacidades y desempeños precisados .

Usa estrategias y

procedimientos

Emplea estrategias heurísticas y procedimientos en la adición, sustracción y multiplicación con los números complejos, (1-7)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Antes de iniciar, recuerde cómo se suman las expresiones algebraicas; para ello, presente e¡emplos sencillos como: 5x - 2x + 3y - 7 y = (5 - 2)x + (3 - 7)y = 3x - 4y,

2a-9b- 8a- 5b = (2-B)a + (-9 - 5)b = -6a- 14b. Resalte que para sumar o restar los términos estas deben ser semejantes, se procede sumando sus coeficientes y acompañándolos al final con la variable; asimismo, indique que cuando los signos son iguales se suman los términos y se da el mismo signo a la suma. Por el contrario, si presentan signos diferentes se restan y se coloca a la suma el signo del término cuyo coeficiente tenga mayor valor absoluto. Esto Ies permitirá comprender la adición y sustracción con los números complejos.

I

lnvite a los estudiantes a dar lectura a la definición de la adición y sustracción, para verificar si han comprendido. Propongan que completen la siguiente tabla:

Operación

Z1*22

z,+72

Z.t +22

Zt-Zz

zr=-5+8i zz=2-5i

-5+8i 2- 5i

-5+8i 2+5i

Áai

-5+8i -2+5i

Resultado

-3+3i

-3 + 13i

2-5i

-/ +

tJt

Explique que para sumar dos o más números complejos se puede emplear la estrategia de operar por separado las partes reales y las imaginarias (propiedad asociativa). Todo lo anterior facilitará comprender el desarrollo del ejemplo 77 y resolver las actividades 1 y 2.

Expliquequeunnúmerocomplejo

Haga notar que si tenemos una expresión (3 + 2i)/5 podemos distribuir el denominador a cada numerador 3/5 + 2il5 de esa manera obtendremos las partes del número complejo, resalte que "a y b" puede ser cualquiera de los números reales, es deci¡ pueden ser fracciones o decimales. En nuestro caso, si consideramos z = 3/5 + 2il5, entonces a = 3/5 y b =2il,.Además destaque

t-[-T¡2-

1

ni si

ysolosi Ztt z1

z2

Para consolidar

I

Proponga que representen gráficamente. z= -5 +2i,2= -5 -2i: -z=5-Zi. Pregunte: ¿Cómo es el número complejo con su opuesto, con su coniugada? (El número complejo con su opuesto forma un ángulo llano, mientras que con su conjugada es simétrico respecto a la recta real).

I

Plantee que desarrollen y representen gráficamente en el plano de Gauss (ver margen):

4=2+ 4iizz=1+

2i. Halla: z1 + 22

y z't- z, (2,+ z2= -1+6r, z,- zr=5 +2i).

Pregunte: ¿Cómo deberíamos proceder para hallar la suma de dos números complejos en el plano de Gauss? (Trazando paralelos a los vectores para formar un paralelogramo y para hallar la suma se debe trazar un vector en su diagonal). ¿Cómo hallamos gráficamente la diferencia de dos números complejos? (Primero debemos graficar el opuesto del sustraendo y luego proceder como en la suma).

Sean:

2.

^ /

^

H--1-

Zrzr-

,lr=@t4?9

:8

Éa o o z1

1.a)2+10i

)

!

E c

o

ZzZs

¿


fi¡

I

{ l¡

APRENDEREMOS 4...

0

. . . . VALORES Y ACTITUDES

rendido cuando entrenabas para ganar

en una competencia?

Efectuar operaciones con suces¡ones. Just¡ficar ut¡lizando límites si una suces¡ón es convergente o diver8ente. Expresar y resolver sumatorias aplicando sus propiedades y las fórmulas de

sumatorias notables.

.

Perseveranc¡a ¿Alguna vez te has

Determ¡nar e interpretar la fórmula del térm¡no Seneral de una sucesión.

calcular los elementos de una progres¡ón ar¡tmética de segundo orden y de una progresión geométrica mediante la fórmula del término general o la fórmula de la suma de r? primeros térm¡nos.

. . .

Resolver problemas que involucran progresiones ar¡tméticas de segundo orden y progresjones geométricas. Resolver problemas refer¡dos a interés compuesto e ¡mpuestos. Valorar aprend¡zajes desarrollados en el área como parte de su proceso

formativo.

UNIDAD

2

Sucesionesy pro8resiones

19

r

T

ru USA

v

l¡

-

Sucesiones y progresiones

I

I

APRENDEREMOS A.,,

.

Comercio electrónico y marketing por internet (e-marketing)

. .

El e-markefmg es la aplicación de estrategias, técnicas y operaciones ontre para vender productos y seruicios a un público seleccionado. El éxito del e-marketing se inicia con un proceso continuo de conversión de clientes potenciales en clientes leales satisfechos que utilizan internet como canal de comunicación, ventas o distribución.

convergente o divergente.

o

¿Cómo contribuyen las redes sociales en la captación de seguidores?

.

Reúnete en equipo y elabora con tus compañeros un tríptico informativo sobre marketrng por internet.

N N @

!-¿

ci

!

)

o o o f

p Ic o L

@

euscamos en la web

§T

términos.

rr!

.

r-F

Resolver proDlemas que involucran progresiones aritmeticas de segundo orden y progresiones geométricas.

.

Resolver problemas referidos a interés

compuesto e impuestos.

.

\

Valorar aprendizajes desarrollados en el área como parte de su proceso format¡vo.

\

-(

^rIr)

-

BB

REPASAMOS LO QUE SABEMOS

Calcula los cuatro pr¡meros términos.

\

Oa-=3n+2 " o:l:8:1.5 '' 5:8:ll:14 @a.=n2-l @ o,=2il +1 @ a,. 2n+ I l:9: l9; Jl -l:5:7; 9 lEl q; s;

Di¡¡ita en algJún buscador (Chrome, Firefox, Edge, etc.) Io siguiente: infografía + e-market¡ng + comercio electrónico

ffi L

ru

calcular los elementos de una progfesion aritmética de segundo orden y de una progresiÓn geométrica med¡ante ia fórmula del término general o la fórmula de la suma de n primeros

Deduce la regla general de las s¡gu¡entes sucesiones:

_,i

¿ )q

Expresar y resolver sumatorias aplicando sus propiedades y las fórmulas de sumatorias notables.

.

actualidad. No obstante. están tomando fuerza canales emergentes como los b.logs y las redes sociales- Es muy extraño que una sola estrategia garantice el éxito en un negocio por internet. Supón que has creado un canal de video en YouTube y que en la primera semana obtuviste 120 seguidores; en Ia segunda, 240; en la tercera, 480, y así sucesivamente. ¿Cuántos seguidores habrás conseguido en las diez primeras semanas?

Efeclu¿r opera(iones con suces¡ones. Juslilic¿r utilizando lrmites s, una sucesiÓn es

.

El marketrng de buscadores y de e-mal.l son la base de las campañas de más éxÍto en Ia

.

Determinar e interpretar la fÓrmula del término general de una sucesión.

O

(

Luego, haz clic en "lmágenes". Así obtendrás inlurmaL ion sohr c (' mar/'ei,ng.

z:

Á;

s;lo

... 5n

-

r @ e;

17',... n2

+

t

19;

rc',

u, zt; ... 4n + 5

@ t; -+; e; -

ft;... (-t)"

Analiza y resuelve.

g

si

lE

si zs = s(t + z)2, halla el valor positivo de

z1m

-s

= 11, halla el valor de

m.

512

¿.

4

< @

§C c @

o

1

UNIDAD

2

Sucesionesy progresiones

l_

J

Sucesiones. Término general lTexto

Capacidades y desempeños precisados Traduce datos y condiciones

. o

Comunica

!

Centre la atención de los estudiantes en la definición de sucesiones y término general. Complemente explicando que una sucesión es un conjunto ordenado de términos que cumplen una ley de formación. Esta ley nos indica cómo determinar el valor de cada uno de los términos de la sucesión. Resalte que las sucesiones se denotarán como {an} y sus términos se representarán como "an" donde el subÍndice indica la posición que ocupa el término. Proponga revisar la sección "Ten en cuenta", donde se presentan las fórmulas generales de algunas sucesiones notables. Luego, pregunle: ¿En función de qué están expresados los términos generales? (En función de su número ordinal que es el subíndice). ¿El subíndice podrá ser un número decimal? (No, porque nos indica la posición que tiene el término).

Para desarrollar

I

Previamente al ejemplo 1, explique que las sucesiones se pueden expresar por extensión; esto se da cuando se escriben todos sus términos (3; 8; ). Por comprensión, cuando se expresa solo su regla de formación o término general (an = 5n - 2). lnterrogue: ¿Cómo están expresadas las sucesiones dadas? (Por comprensión). ¿Cómo se procede para encontrar los términos pedidos? (Se reemplaza el subíndice en el término general).

13;

§

.1

En el ejemplo , pregunte: ¿Cómo está expresada la sucesión? (Se encuentra expresada por extensión). ¿El término general está expresado en función del número ordinal? (No, está en función del término anterior. A esta expresión se le denomina fórmula por recurrencia). ¿Qué significa a,_ ,?(Significa "término anterior", porque la posición "n - 1" es uno menos que n).

§ Solicite que evalúen

el desarrollo del ejemplo 3. Pida que expliquen la estrategia aplicada (Se procedió a dar forma a cada uno de los términos en función de la posición que ocupan). En el ejemplo 4, pregunte: ¿Qué criterio

Libro de actividades (págs. 80-82)

En las actividades 1 y 2, resalte que las sucesiones se encuentran expresadas por comprensión. Sugiera que reemplacen los subíndices de los términos en la fórmula general para hallarlos. Explique que, si en una sucesión se produce un crecimiento rápido en sus términos, eso nos indica que el término general debe ser expresado en función de una potencia. Hágales notar que este caso se presenta en las actividades 3 y 4. Sugiera, en el primer caso, que hagan uso de los números cúbicos, mientras que, en el segundo caso, empleen números cuadrados; además, indique que analicen los numeradores y denominadores independientemente.

I

Para la resolución de actividad 5, pregunte: ¿Qué observas en la sucesión correspondiente a Pedro? (Se ve un crecimiento rápido en los términos de la sucesión). ¿Qué criterio podrás emplear en este caso para encontrar el término general? (Expresarlo en función de una potencia). En el caso de Rita, resalte que los términos se incrementan solo en tres unidades. Pida que revisen el ejemplo 6, haciendo notar que en una ecuación de recursividad cada término se determina en función de los términos anteriores. lnterrogue: ¿Cuántos términos anteriores se emplean en la ecuación?(Solo un término). ¿Se podrá calcular el término 50 de manera directa? (No, porque para hallar auo, primero debemos determinar todos los términos anteriores a él). En las actividades 6 y 7, resalte que la ecuación está expresada en función de un término; pregunte: ¿Qué términos se deben calcular? (Se debe enconkar desde a, hasta ar).

Para iniciar Es importante que los estudiantes relacionen una situación cotidiana, como es el conteo de los triángulos, con el análisis abstracto que representa una sucesión, donde deben establecer las regularidades que se forman; esto facilitará el desarrollo cognitivo. Pida a los estudiantes que revisen el desarrollo de la situación problemática presentada al inicio. Para comprobar si han comprendido el problema, plantee las siguientes interrogantes: ¿Existe una relación entre el número de la figura y la cantidad de triángulos? (Sí, ya que hay una correspondencia directa entre esta cantidad y el número de triángulos que se genera). ¿Qué se necesita para encontrar un número que falta en la sucesión? (Se debe encontrar su regla de formación).

¡

I

Sugerencias didácticas

§

(pá9.20)

se usó para determinar la sucesión? (Se contabiliza la cantidad de naipes que tiene la base del castillo). ¿Qué regularidad se encontró en la formación de la sucesión?(Se observa que todos los términos son múltiplos de 3 menos 1). En el ejemplo 5, motÍvelos para que calculen el término general de las dos sucesiones (an = n2 y an = 2n - 1).

Determina la regla de formación de una sucesión. (3-5) Escribe los términos de una sucesión a partir de su término general. (1-12; 1-2; 6-9)

escolar

Para consolidar

I

Consolide señalando que, para hallar cualquier término de una sucesión, se debe conocer previamente su término general que define la sucesión. Asimismo, indique que una sucesión se puede expresar por extensión y por comprensión.

N N

@

Actividades complementarias 1. MarÍa encuentra que sus ganancias en las últimas semanas cumplen

2.

con la siguiente regularidad [a,] = {4n + 10}. Determina las ganancias que obtuvo en la quinta y décima semana. Determina la suma del décimo cuarto v trioésimo término de la sucesión

derinidapor{an}={*+} 3.

Dadas las ecuaciones de recursividad, determina, en cada caso, los tres términos que siguen. a) a1 = an+j = 7 + b) a,, = 1; az=3 dn*2=2n + 4an + an*,

5

an

b)a.=9:a, =25',a^=67

:ci

pi !

5

Io o

-

p _o

E o L

@

6

§c c a @

TEXTO ESCOLAR

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

SUCESIONES

Sucesiones. Operaciones

E

te8ras que adqu¡r¡r ntrar el patrÓn qu€ egula

Observa la secuencia de figuras. Cada una se forma añadiendo nuevos triángulos rojos y amar¡llos. ¿Cuántos Íiángulos rojos habrá en la f¡gura 5? ¿Y en la figura 10?

ia u ordenamiento.

F-xiste una relación entre el

sucesaones. Término general

n

Una suces¡ón {¿¿} es un conjunto ordenado de números reales ar, a2, a3, ao, ... , a,.Cada úno de los números se llama término de la suces¡ón, y an es el térm¡no general.

IEN EN CUENTA

) I

Termino Beneral de algunas sucesiones notables Números pares:

¿, = 2r

Números impares:

úr, =

2n

-

EJEMPLo

|. |

1

nln + o"=_T

1\

=!n'*t

ur{a,}=

sucesiones:

*

t

=ff

,,, =?Urr'+

t

at

I

-!n2+z ctto,'t=2n2+i

oo=-l@)2

+2=-6 ctat-2(4t2.+=9

=s7 o,r=-l¡zf +2=-7o

ARGUMENTA AFIRMACIONES

)

i i

Operac¡ones con sucesaones

I

'li

Las cuatro operaciones aritméticas entre sucesiones se real¡zan con sus términos generales. Sean {¿,} y {á,} dos sucesiones, al operar. se obtiene una suces¡ón {c,,1. Adic¡ón o sustracc¡ón lc,,)

¡

EJEMPLo

Multipl¡cac¡ón

lc,,j a,,

= tr,,+ b,,

lc,l =

a,:

¿cuál es el término general de la cantidad de triángulos Oos que hay en la fiSura 2n + 3? ¿Y

en la figüa n2 + 2?

3tr, +:.

D¡v¡s¡ón

b,,

b,; b, *

O

+l

-

,,ÜF ff

Hallamos á,:

+ a,- 6,+

cn -- an +

Hallamos dn: d,=

5n + 5 = (3r¡ + 6) + b,

b,

+

bn

=

dz=2+7

=9

20

En la figura 4, hay 27 triángulos rojos. Lo expresamos asi 27

=!-1

3'

secuencia de los números obtenidos al hallar el total de triángulos rojos está dada por Í1;3;9;27;...1, que es una sucesión de números reales. Además. el térm¡no general o enés¡mo 1. de la sucesión es a, =

I

Ola,\=2n+5 -:,).

Vlla,)=5n-l f:() l:l l() O {4}=r'-3_. _.,.,,,, o r.7.1: I I )

{a,} = 3n -

2

.

y lb,} = 2¿ + 5. Halla los

ca de las

.

E) {c,} = a,,' b,t = 2a^+

\c 162

b,

t1..

cs

@ lcn) =an-bn S1

{c,}

p e

--:

= a, + b^ :t/9:

(B {¿;} = an-3bn

s

t

tlll

-2t,

r

-!t

Contamos en la tabla la cantidad de triángulos amarillos que hay en cada figura. En la figura l, hay cero triángulos amarillos; en la figura 2, hay I triángulo amarillo; en la figura 3, hay 4 triángulos amarillos; en la figura 4, hay 13 triángulos amarillos; y así sucesivamente. Observamos que cada término de la sucesión se forma multiplicando por 3 y sumando I al término anterior. Así:

x3+l x3+l x3+l x3+l {13; \ \l: -\4:'-0; ay=0ia2=0.3+ 1= l;a¡= 1.3+1=4;at=4.3+

e

siguientes sucesiones:

f) {",} =o,+á, I i ;1-r ú {c,}

De la secuencia anterior. ¿cuántos triángulos amarillos habrá en la figura 5? Determina la fórmula de la sucesión.

d.=3+7 =1O d¿=4+'7 =ll

términos c, y

I

figura 3, hay 9 tr¡ángulos rojos. Lo expresamos asl 9 = 3z- t

1

I

Comunrca:1-12

¡,¡=fi l.I

figura 2, hay 3 triángulos rojos. Lo expresamos así: 3 = 32

En la

-

7 usrn

)¡ - l.

Escribimos los cuatro primeros términos de la sucesión:

Sean

--

En la

31

1

término general ¿¡, o término enésimo a la expresión algebraica que nos permite calcular cualquier término de una sucesión.

dn=Jn a $- (2n- l) + d,= n a'1.

Determina los cuatro primeros términos.

61.,¡=9p

En la figura 1, hay 1 triángulo rojo. Este número lo expresamos así: 1 =

3'

§

ij: t.l

27

9

Se llama

orsnnnou-nruscAPACIDADES

ts {á,i = 3n'r*r2.r,,r,.(,

3

A A

La

2

dr=l a'l =$

rus.80-85

AA

A A A A

continuamos la secuencia, el número de triángulos que habrá en la f¡gura 5 es 3s-1 = 3a = 81. De la misma manera, en la figura 10, habrá 310i = 3e = 19 ó83 triángulos rojos. observamos que, en general, el exponente se relaciona con el número de la figura de la 1. siguiente manera: en la figura n, el número de triángulos rojos será

-

' .

3

2

Si

Sean las sucesiones c, = a u + bny d,-- an- á,. Obtén los cuatro primeros términos de {d,} si a,,= 3n + 6 y c,,= 5n + 5.

.

número n de la f¡gura y la cantidad de triángulos rolos que hay en ella.

I

I

+)=!

,,r=z 2O25 -89= 1936

1

2tlllr+

I =243

Rit r: 3( I

)

-

I:

-l(2)

.3(ll)-l=32 243

El resultado que pide Raúl es 193ó.

-

I

lll(l)r+ l:2(4)r+ l:2(5)r+ I

: 3(3)

-

|:

-l(4)

+32=275

Entre los dos han leído 275 píginas.

e UNIDAD

2

Suces¡onesyprogresiones

81

82

I=-l

Para ¡¡ = ll: «4 = u I + u. = 3 +

Pua n = 4..r5 = (rl + 3

N N @

)

el undécimo día? 4

I

u,,*.= an' ail+l

2;5; 8; I l; l4t ...

¿Cuántas páginas han leído entre los dos

Buscamos las fórmulas generales del primer y último término de cada fila:

... Fila45:

i

Determina los tres términos que siguen.

3. Inducimos la sucesión: lr - l:2r- I: -1r l:4r - l:... u,,=ui - 1 -> 6re=l1¡] I =7999

Dados algunos términos de una sucesión, ¿podemos inducir y determinar el término general?

Raúl dibujó en la pizarra un triángulo como el que se muestra en el margen. Luego, le dijo a José: "Determina la diferencia entre el primer y último término de la fila 45". ¿Cuál es el resultado que pide Raúl?

Primerafila: I =

=cUi'l'r'

COMUNICA

v

Observamos la cantidad de naipes de la base, según el total de pisos que hay: I piso 2 naipes; 2 pisos 5 naipes; 3 pisos > 8 naipes La sucesión es {2;5:8: ...}.

Hallamos el término general: 2 = 3(l) - | ; 5 -- 3(2) - | t ... ; a, = 3n La sucesión es {a,} =fn - I + a,o = 3(10) * I = 29

si1,,,1

@ {0r 7; 26;63 ...}

hteractúa con el art(

)

§

a¡=0

l( I l)

Determina la fórmula del término general. Luego, halla el término 20 en cada caso.

En un concurso de habilidades psicomotrices, se propone construir un castillo de naipes de 10 pisos. ¿Con cuántos naipes se forma el primer piso?

.

Se define una sucesión mediante la siguiente ecuación de recursividad:

I

1

2n2

EJEMPLO 4

a

a.r,

r lrx , t lr' l:- 4096 :(x) ¡ - l5'"'- lrlir. | - -»lri +0()6 l5(, -, 1uq6 _- l.l s6s -, 15 7i 15 15 l5

- tt 7 =2(2)2 - 1; t7 =2(3)2 - t; 3t =2(4)2 - I + o.n = 2(5q2 - I = 4999 EI término general es a,,=2n2 - I, y el término 50 es el número 4999. 1=2O)2

@ laztnt

2(2lt))

"', -Llr

Inducimos la fórmula general a partir de los cuatro primeros términos

El primer piso

2(t2f

u.t) =

Traduce datos y condiciones: 3-5

EJEMPLO ó

-3n.Calculaarr+

u,, =

ó'9

ar=Z+1+0=3

Determina el término general de la sucesión { 1 ; 7; l7; Luego, halla el término 50.

.

Sea {a,,} =2n2

= 2-s2 3(20) = 740 l.ucgo. o,. + r,o = 252 + 710 = 992

EJEMPLO 3

a,=

comunica: 'l -2;

Analiza y resuelve.

fl

7 t7_9 _20-3_t7 ^ _r0-3_7.^ "ro= t0¿ = l00tazo=-ff =400 *dro+¿2o=f00-+400-=g0

.

orsannou-nruscAPACIDADES

- | : .1(5) -

I

:

...

:

Para a = 5: (¡r)

=(/i

r¡l = 2:

¿¡, = --l Para¡= l:¿¡=dl

= 5 + ..1 = ti + (¡4 = 8 + 5 = l3

¿

a I

! o o

6 l

(/3

«.=2 (-.1)=-6 Paran=2:¿a=¿¡, a,=( 3) (-6)= ltt Paral=J:«¡=r¿¡ ao=( 6) (18)--108 a.=(lll) ( l0tl)=-1944 Para r¡ = 4: ¿6 = ¿¡+

CJ

§

a a d 3 E

a o

,

p 2 E

o L

a c

§

c a @

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

N/odelación matemática r

Libro de actividades (pág 83)

MODELACIÓN MATEMÁTICA

Capacidades y desempeños precisados o Usa estrategias y procedimientos

Relaciona datos y analiza regularidades para encontrar un término que represente a un conjunto ordenados de números.

Crianza de conejos

(1"3)

¡

Lucía ha decidido criar conejos. Por ello, para estimar costos, desea conocer cómo se reproducen. Se sabe que una primera pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil. A partir de ese momento, engendra, cada mes, otra pareja de conejos (hembra y macho). Esta, a su vez, engendrará cada mes una pareja de conejos cuando alcance la edad fértil. ¿Cuántos conejos habrá al

Determina el término general de una sucesión por recurrencia. (4)

Sugerencias didácticas

\

t

,

cabo de un año?

Para iniciar

I

Esfudiamos la realidad

lnvite a dialogar y generar ideas respecto a lo que se necesita extraer del enunciado dado para que logren diseñar y llevar a cabo una estrategia lógica y adecuada para la solución del problema. Luego, pÍdales responder a las preguntas de la sección "Estudiamos la realidad". (Respuesta libre. Los conejos pueden reproducirse a partir de los 4 meses, en el caso de las hembras; en caso de los machos, es a partir de los 5 meses).

¿Conoces algo sobre la crianza de conejos? ¿Crees que todas las razas de conejos tardan un mes en alcanzar la edad fértil? Representa gráficamente la reproducción de los L'onejos.

$

t,ucía ha decidido criar conejos seguramente porque su reproducción es rápida- Sí, a partir que una pareja de ellos puede engendrar una pareja de conejos (hembra y macho).

Para desarrollar

I

N N @ j

I

ci c

:9 !

f

o

o

p E o L a

§C E c a

@

Pida que den respuesta a las preguntas propuestas en la actividad 1. Coménteles que los conejos son animales que más tienden a reproducirse a lo largo de su vida, pues pueden engendrar en ese tiempo un promedio de 90 a 100 crias. Haga notar que, en la realidad, no se puede determinar el patrón que sigue la reproducción de los conejos porque el número de crías en cada camada varía, pero, en este caso sÍ podrÍamos tomando como referencia las condiciones dadas. Previamente a la actividad 2, resalte la utilidad de una representación gráfica, como parte de una estrategia de solución; por eso, sugiera que grafiquen la situación presentada. Explique que cada pareja de conejos recién puede procrear a partir del segundo mes. Después de esta etapa, ya podrá reproducirse mensualmente. Haga notar que, en el tercer mes, se tendrán tres parejas de conejos que serán los padres, sus primeras crías ya en estado fértil y las crías de su segunda camada. Resalte que la contabilidad de los conejos se hará como parejas. En la actividad 3, pida que analicen el comportamiento de las cantidades que representan el número de parejas de conejos que hay en cada mes. Pregunte: ¿Qué ocurre cuando sumas el número de parejas de conejos que hay en dos meses consecutivos?Comente que es importante complementar la gráfica con una tabla, donde también se puede sistematizar la información recabada. En la actividad 4, sugiera que apliquen la regularidad encontrada en el caso anterior. Pregunte: ¿Se podrá calcular de manera directa la cantidad de conejos que se tiene en el mes de diciembre? (No).

Para consolidar

I

Consolide destacando la importancia de la elaboración y la planificación de una estrategia apropiada para la solución de un problema. Para consolidar lo aprendido, proponga la siguiente situación: Si la reproducción de conejos se hubiese iniciado con dos parejas de crías, ¿cuántos conejos habría en 5 meses? (32 conejos).

¿Por qué Lucía ha decidido criar conejos? ¿Se podría conocer la secuencia que sigue la reproducción de conejos?

Para verificar el resultado halla la cantidad de conejos que hay en 15 meses.

f,}

Supón que se inicia la crianza con una pareja de conejos (hembra y macho) recién nacidos. Luego, se espera el primer mes para que alcancen la edad fértil. ¿Qué sucede en el segundo mes? Se tiene al inicio una pareja cría y otra procreadora. La procrcadora inicial da I

pareja en el segundo mes, y la pareja cría crece y se vuelve fértil. Por lo tanto, I

974 conejos

se

tendrían 3 parejas.

O

¿Qué regularidad obseryas en la secuencia de reproducción de las parejas de conejos? ¿Se podría conocer el patrón numérico? El núrnero tle parejas que hry a partir clcl tcrccr nres cquivlr[: a la srrma dc parcjas que hay en el prirner y scgrrnrkr mcs, el rrrirncrt¡ rlc parc-jas c¡uc h¡y c¡r el cuarlo rlcs ct¡uivale a la sunla en los dos ntgscs anteriorcs. v ilsí succsiviunelte.

@ Los términos obtenidos

son conocidos como sucesión de Fibonacci. Completa la sucesión y determina el término general por recurrencia.

q

Mes Parejas

p !

s

0

I

2

3

4

5

I

I

2

3

5

8

f"

I I I 2: 3: 5: 8; I 3t 2l I 34; 55;

1J9;

144; ... Se observa

h= t +2=3.1i=2+3=s..

..1,

=.f, t+f, t

I

Al

quel = 1..1, = l,/, = I + I = 2,

cabo de un año, trabrá 233 parejas de conejos; es decir, 466 conejos.

@

UNIDAD

2 Sucesionesyprogresiones

Operaciones con sucesiones ¡

Capacidades y desempeños prec¡sados . Escribe los términos de una sucesión obtenida Comunica

Usa esfategias

y procedimientos Argumenta afirmaciones

de los términos extremos se ubica en el numerador y el producto de los términos medios en el denominador. Resalte que, como en este caso se pide dividir las sucesiones, es importante que previamente se verifique que el divisor tenga todos sus términos diferentes de cero, para evitar la no existencia. Asegúrese que los estudiantes recuerden el desarrollo de la diferencia de cuadrados (a' - b'= (a + b) . (a - b)) y la suma de cubos (a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)).

de la

operación de sucesiones. (1-4)

. .

Efectúa operaciones con sucesiones. (5-9) Plantea conjeturas respecto a las operaciones con sucesiones. (10-11)

§

Motívelos a evaluar el desarrollo del e¡emplo 9; resalte que el producto de dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base y que su exponente es la suma de los exponentes iniciales. En la división es un proceso similar, diferenciándose en que los exponentes iniciales se restan. Hágales notar que, en primer lugar, se determina el producto de las sucesiones; luego, se establece una ecuación en función del décimo término. Explique la regla de signos en la potenciación (+)par = (+) y (r¡imoar = 11¡.

§

En las actividades 1 y 2, sugiera que empleen signos de agrupación para expresar la sustracción, debido a que el signo negativo modificará los signos del sustraendo, mientras que para la actividad 3, recomiende que apliquen la propiedad distributiva para calcular el producto. En el caso de la actividad 4, destaque que la expresiónx2 - 4 corresponde a una diferencia de cuadrados (x' - 2'= (x + 2)(x - 2)). En la actividad 5, proponga que empleen los productos cruzados. Para la actividad 6, solicite que propongan la estrategia que se puede aplicar. (Se debe determina¡ en primer luga¡ el producto de las sucesiones an y bn y, luego, se procede a calcular el cociente de cn + bn). En la actividad 7, pregunte: ¿Qué se debe determinar? (el valor de "n"). ¿Qué estrategia se podrá emplear?

§

En la actividad 9, haga notar que los términos generales de las sucesiones se pueden expresar en función de una misma base. Además, indique que el cociente de potencias de igual base es otra potencia con la misma base y que su exponente es la diferencia de los exponentes iniciales. Sugiera que planteen una ecuación para hallar el valor de "n". Como nociones previas a la actividad 10, recuerde que si en una división el divisor es cero, el cociente no se podrá calcular (no existe).

Sugerencias didácticas Para iniciar

§

§

Coménteles que las sucesiones son conjuntos ordenados de números. Por ello, es posible hacer operaciones algebraicas entre dos o más sucesiones. Enfoque la atención de los estudiantes en la definición de operaciones con sucesiones; pídales que den lectura y que expliquen a su compañero más cercano. Para conoborar si han comprendido, plantee las siguientes interrogantes: ¿Qué entiendes por la expresión "se puede trabajar de manera similar a la aritmética de los números"?(Significa que podemos operar término a término las sucesiones, además, se cumplen las mismas propiedades como la asociativa, conmutativa, elemento neutro, entre otras). ¿Qué significa la restricción bn + 0 en la división? (Significa que una sucesión se puede dividir entre otra si esta cumple con que todos sus términos son distintos de cero, lo cual evita la no existencia). Es importante que los estudiantes pongan en práctica lo aprendido, por lo tanto, proponga algunos ejemplos sencillos como: Calcule las cuatro

operaciones sabiendo que {a,J = {2n} y {b,} = {n}. (an + ao = 2n + n = 3n; an+ br= 2n - n = n; ar- br= 2n - n = 2É y an+ bn= 2n¡¡=2,). Solicite a los estudiantes que expresen las sucesiones por extensión y las comprueben operando término a término. Para complementar lo trabajado, pida que desarrollen las actividades propuestas en la sección "Elabora y usa estrategias".

§

Destaque que, para operar con las sucesiones, estas deben estar expresadas por comprensión, de tal manera que se resolverán operando las expresiones de los términos generales. Explique que una sucesión es invertible solo si todos sus términos son diferentes de cero.

Para desarrollar

&

{§

lnvite a los estudiantes a evaluar el desarrollo del ejemplo 7; luego, pida que expliquen la estrategia aplicada. (Se restaron los dos términos generales de las sucesiones para encontrar el término general de una tercera sucesión; luego, se procedió a calcular los tres primeros términos pedidos reemplazando en el término general de esta última sucesión) ¿Podrá ocurrir la no existencia en esta sucesrón? (No; porque una sucesión siempre parte de 1). Becuerde que para sumar o restar fracciones, se deben homogeneizar sus denominadores. Previamente al ejemplo 8, explique la propiedad del producto de medios y

extremos oue se utiliza oara dividir dos fracciones: indique que el producto

Libro de actividades (págs. 84-85)

Para consolidar

§ §

Consolide indicando que, para operar con sucesiones, estas deben estar expresadas por comprensión; es decir, se debe conocer su término general. Resalte que, para la división de las sucesiones, el divisor no debe tener términos iguales a cero; en este caso, se generará la no existencia.

complementarias 1. Sean las sucesiones

{an} = {2n2 + 3n} y {b"} =

-

Sean: {an} =-125n*3; {bn} ={252(*n-1)} * 1o}, halla: E 2(n + 1)3 Si

{c,} =

fls-corrrslas.

{52n

I

r:.

=4 r'. -

= 1,{)yc,= 2i..r

ci ¿ :9 a D E o o a o

p

tres primeros términos de {cn} = {an

2.

N N @ j

2

{3n-2}, determinalos

bn}

y{c"} ={an.bn}.

E = 16

€ E o I

@

§c c a

o

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

SUCESIONES

SUCESIONES

E

B

Operaciones con sucesiones

Sean {an} - nz - 4 y {b,} se pide en cada caso.

Las operaciones entre sucesiones se trabajan de manera similar a la aritmét¡ca de los nÚmeros. Sean {¿¿} y {ár} dos sucesiones. Al operar dichas sucesiones, obtenemos otra sucesiÓn {c,}.

lcnl =

an!

bn

lc^l =

fl 8

División

Mult¡plicación

Ad¡c¡ón o sustracción

a,' b,

{c,l

=

a,+ b,; b,+O

v

Sea la sucesión

:

A¡42,43,... tn este caso ,, = existe,paratr>1.

Sean

. .

-

3n y

Halla c r, c, y c, si

{t

"} = *. Hallamos lcnl = a,- b,-- n2 - 3n -

L

= a,

{c,}

-

=Znr -§lt2

El décimo

,.,

I

6(t)2

-l 2(l)-6(l)- I -5

-g

3.

c,, -- (.rt2

-

Gl

. TEN EN CUENTA

{c,}

=

a,+

bnt

t",}

=

4. c,,-(n1 - 4¡ + (n +2) =

Factorizamos y simplificamos cn'. {c,,} = a, + b,, =

b"

Dererminamos el vator de p: p =

ln+1)ln2 n+1) n(n-1) b" -n2-n+1

El valor de

P es

#.,

.

.,

=

oSean{a,}

n2-n+1 n2-n

-

n

4n

-

8

"-(-1 +lx-l+D-

y

c :q f ! o o o

=

p !

.

utilizamosel datoyresolvemos'

El valor de

a

C @ @

Muttipticamos las sucesiones:

(-l)'-

o L

84

L4

.

t-tl','. .2, .k=2to

-

§C

{b,} = (-l¡"2'-

/
.r(20.2) 40x=480 +x=12

e u_

S.

f t

-st

= -.350 +-r.

-5,t=-150 >.r=70

t_l¡17

3

§

§

@

a o

.

t0

=480

(-5) = -3-50

tr

-\_ | \- I f:,t' q- (1,k ) (',k+) .r.r rt.l. _ ti =/rrl*r. \.'1'l 8r r5 (),' llj

r, " \---4

20

25 76.1 _ t68l t2 I9130 990 999 (, \- I rr\''l'tt q-L¿k.\ _

\l-,A+l |

l) rl*-l* ! =ll*l*.1+...r \" 1 .1 " '6/ 17'h " *'ll/ _

.+9

_

20

5.1

li-1

.lt I _ 49

160

I

807

27 710 UilIDAD

2

Sucesionesy progresiones

95

LIBRO DE ACTIVIDADES

Sumatorias notables t

Libro de actividades (pá9. 96-97)

.

SERIES Y SUMATORIAS

Capacidades y desempeños prec¡sados Comunica

.

Expresa la sumatoria aplicando las fórmulas y las propiedades. (1-4)

Usa estrategias y procedimientos

.

Resuelve sumatorias notables aplicando fórmulas. (5-8)

Argumenta afirmaciones

E Y PROCEDIMIENTOS

Analiza y explica el razonamiento aplicado para resolver sumator¡as notables. (9-1 0)

Para iniciar

I

S ,.,=n(n +'l)(2n o l-u"

Hallael valorde

1+2+3+4=10

.

¿cuál es el mayor número triangular de dos cifras?

Para consolidar

I

Consolide resaltando que las sumatorias notables son herramientas fundamentales para el cálculo de sumas. Destaque que se debe dar forma al último de los sumandos para poder aplicar las fórmulas y, en caso de tener series notables incompletas, se deben completar y luego proceder a restar dicho incremento para no alterar el resultado.

t=1

suma de los cubos de enteros posit¡vos

+

rl1' f1-1 , -¡rtn-* L¿l

1,

,ro-,,=,'

suma del producto de dos números consecutivos

+'t)(n Éo,o. ',, -n(n

+z\

Éto

3b-2csil'2+2'3 +3'4+4 '5 + ... + b'c--4O48

Aplicamos la fórmula de la suma del producto de dos números consecutivos y resolvemos:

1'2+2'3 +3'4+4 '5 + ... + n(n+ 1)=4048' b=ny c=n+ l:

\7

l3(

1,1)

2"

_ ql

b(b + 1)(b + 2)

-

4048

+

b(b

+ t)(b + 2) = 22. 23 . 24 + b -- 22

Entonces: c = 23 Por lo tanro: 3b

lnvítelos a analizar el desarrollo del ejemplo 28, Hágales notar que al último de los sumandos de la serie, se procedió a darle la forma general para expresarlo en función de la variable "n", que también vendrÍa a ser el lÍmite superior de la sumatoria. En el ejemplo 29, pregunte: ¿Qué sucesión notable se ha formado? (La suma de los primeros 50 números impares). ¿Oué representa 'h"? (El límite superior de la sumatoria y también nos indica la cantidad de sumandos). Coménteles que, como parte de nuestra ciudadanía, es importante que nos involucremos con nuestra comunidad para apoyar en la solución de alguna problemática que le afecte; por lo tanto, sugiera que desarrollen la actividad propuesta al pie del ejemplo. En el ejemplo 30, resalte que, en este caso, no es necesario dar forma al último sumando, porque ya

tiene la forma general de un cuadrado. Luego, destaque, en el ejemplo 31, que se tienen dos series formando dos ecuaciones, además, señale que, en el segundo caso, se dio forma al último sumando para aplicar la fórmula correspondiente. Enfatice, en el ejemplo 32, que si se tiene series notables que les faltan los primeros términos, se deben completar y luego restar este incremento (de esta manera, no se altera la suma).

f

fzr=rrn*l

EJEMPLO 28

oaao

Para desarrollar

I

t)

+

suma de los cuadrados de enteros pos¡tivos

L

a

aa oao

n(r

Suma de los primeros números ¡mpares

Suma de los primeros números pares

k=1

Observamos que 10 es un número triangular.

MotÍvelos para que analicen el texto presentado al inicio de la página. Para comprobar si han comprendido, plantee las siguientes interrogantes: ¿Por qué se les denomina sumatorias notables? (Porque son sumatorias que tienen una forma definida y que se pueden calcular aplicando una fórmula). ¿Cómo se determina la suma de los números impares? (Primero, se debe dar forma al último sumando en función de "n" y luego recién se hace uso de la fórmula). Consolide planteando algunos ejemplos sencillos para mostrar la aplicación

de lasfórmulas: Halla la sumaen cadacaso: 1 + 2 + 3 +...+ 8; 1 + 3 + 5 +,.. + 15; 2 + 4 + 6 +. . . + 20 (8(8 + 1)t2 = 36; 15 = 2(8) -1 ; por lo tanto, 82 = 64; 20=2(10), entonces 10(10 + 1) = 110).

\-,.

Un número trianSular es aquel que puede descomponerse en a surna de números consecutivos empezando por el 1.

Sugerencias didácticas

notables

Suma de los pr¡meros enteros posit¡vos

USA ESTRATEGIAS

.

rrrrtorias

El valor de 3b

ARGUMENTA AFIRMACIONES ¿De qué otra forma

puedes demostrar que la respuesta es 2500?

F¡las x columnas

50x50=2500

-

-2c

--3(22) -2(23) =20

2c es 2O.

EJEMPLO Se convoca a los jóvenes de un distrito para una campaña solidaria. Los asistentes se organizaron en igual cantidad de filas y de columnas, tal como se muestra la figura. Si la distribución indica que hay 50 jóvenes por fila, ¿cuántos jóvenes hay en dicha distribución?

.

Contamos a los jóvenes como se muestra en Ia figura.

l+3+5+...+97+99

oo oo oo

oo oo oo oo oo r +óó6 r+r -4¡'óó r+l -OOó

o 49

+ 50r49 +

ñ

49+48

. Ejerce su ciudadanía. (Propone y maneja iniciativas de interés común).

Aplicamos la fórmula y hallamos la suma.

2n-l=99+a=§Q Entonces:l+3+5+

50

'rss=lp*-t)=so2=2soo

N N @ j

50

a 9

€

a

En la clistribucirirr hay 2-500.jrivenes. § a

96

i

'6

oo5 o o l

p =o d

0 co

§ .F c a @

u¿

L¡BRO DE ACTIVIDADES

SERIES Y SUMATORIAS

'

.

EJEMPLO 30

ff

César y Andrea han comprado un tablero de 40 cuadraditos de lado. Ambos se ponen a contar los cuadraditos que se pueden formar en el tablero. César dice: "Yo he contado menos de 22 000 cuadraditos". Andrea dice: "Exactamente hay 22 l4O cuadraditos en el tablero". ¿Quién tiene razón?

.

-

En I cuadradito por lado, hay un cuadradito:

4+ 1 =5

En 2 cuadraditosporlado,hay

=

25

+4+l

En 3 cuadraditosporlado,hay9

ARGUMENTA AFIRIMACIONES

ffi

= 14cuadraditos:

32+22+12=14

ffi

de 40 cuadraditos por lado,

t2

+

22

+

32

+ ...

+

40(40

=,o-'rp -

40.-

+ I )[2(40) + l] ó

120

Ittr*zl

= 22 t40

5.

8Of8l

EJEMPLO 31

o si

+

13 + 23

33 + 43

+ ... +

n3

= 216 225

13

+ 23 +31 + 4l + ... +

n(n + 1)

=2'

465

2+4+6+8+

¡

rt =!P

=

k-l

=30' 3l +

n

-

n(n

+ l) 2

|

V

12

I

=2t6225

!= o o o

p

Si se cumple qte32 + 42 + 52 + ... ,g

€ p !

sc

. .

Completamos la sumatoria:

m+\(+ - \=

+

15750

m=250

.

a

+l

+

... +

i =\t? k=

=O+SS

Luego.

F=fl4x

= 9450,hallael valorde F

=ft4x

+,

c @

o

Sc:a rr

=

l

|

+

153

.

+

-'

163

+

173

+23 +33

= 4160

> a=2(l¡.1)= l21l

+ ... +

n3

=946f¡0.

+... +

143

+

153

+

163

+ ... + n3

l14{l5t12 l"z .l l_il =e4600

lntn+1t12

l-

= 105625 +¿(n+ l)=650

I

n(n +

6+...+2il-n(il + l)=.1160

183

94 600

nln+ lll' +a

+

Completamos la serie y resolvemos: 13

r I r,/-l {,Erl

2r¡:

Sca /¡ =

y 1+8+

l) =25

26

+

n

=25

3n+4=3(25)+4=79 El valor de 3n + 4 es'79.

2¡r¡ l:

-

¡(¡+ 1X2r+ l)

= 9455

2'7

ilr-r*

i¡=50

-,r

9 + ... + x = 42925

+ ... + z=396900

. q," , =,,1.

*,,t='""

= ¡r¡l: r + 8 + 27 + ... +

+ 5) =14(30) + 5 = 5.

Luego: : +.r =

UNIDAD

2

Sucesiones y progresiOnes

9l

98

¿12

+ 250()

.

+

142

+ 152+... +m2=21 634,

Completarnos la sumatoria y resolvenros: 12

+2r+ 3l+... + I ll+ l2l + l3r + 14) + ... +m1

n(n n(rr

n,j= ("'('1+l))t=,r,, run

1t75

132

calcula el valor de P = ,/'5m + 25.

('

¡¡i-.15 >:-.1.r -42875

@

@ Si t22+

2t

l'12"' l'=42,)r5

>r=50'-l5u()

' Sea:

= 30

§

,F

q7

El Hallaz+¡ si I +4+

+22 +32 + 42 + 52 + ... + x2 =9455

I

§

r)hr

+l +5+ ... +l.2tt l)-a¡r=5;17¡, t¡¡-JJ >l¡=2t11¡ l=147 Luego:á a=147 l2ti=19

I

t2 + 22 + 32

Determina el valor de 3n + 4 si se cumple que:

ll()ltl)

I

Aplicamos la fórmula de la suma de los cuadrados y resolvemos:

o

tu

12

I I

- a si2 + 4 + 6 + ...

l+,1

EJEMPLO 32

c I

r

t=64

El valor de la + ¿ es 280.

ci

Cal(J]Ja b

.

Por lo tanto: m + n = 250 + 30 = 280 N N @ j

)ll()l +ri()rl{lr= l7rS8l)-6liil)= r, 96 '6 r

y 1 + 3 + 5 + ... + b=5476

Jg

+2a= t575o;2a=

EJEMPLO 33

Analiza y resuelve.

los primeros números pares:

l!_

Raúl cmceló su deuda en 24 meses.

ri

t

I qh¡ r)7

de enteros positivos y la suma de

=4900 > n\u + l)t2n+ I r- 29400

+ l) =29 4OO > n =24

n(n + l)(2n

I«P-

I r

Aplicmos la fórmula de suma de los cubos

12 +22 +31 +42 + ... + i n(t+l\(2n+lt -_-ff =4()00

i¡l

r¡=!r' !,lti,r fL=t l=i t=

y 2 + 4 +6 + 8 + ... + m = 1575O.

.

I-os intercses fbrman una sumatoria notable:

)]i,(/.+2)-Itr+I2( (-l (-l Á=t = ,6

r

mes le cobraron S/ 1 de intereses; en el segundo, S/ 4; en el tercero, S/ 9; en el cuafo, S/ 16; y así sucesivamente. Si en total pagó S/ 4900 de intereses, ¿en cuántos meses canceló su deuda?

Determina la suma en cada caso. 80 96 @ @ k= k= I N0 E0 E0

6

Andrea tiene razón, porque hay, exactamente,22 140 cuadraditos.

Calcula el valor de m +

El Raúl tenía una deuda en el banco. En el primer

l) = 8r(gg¡ 1 1262

@lz**llzkt=l k=t

Usaestrate8iasyprocedimientos:5-8 Argumentaaf¡rmaciones:9-10

Resuelve.

t_t72+2t

+ tt_72(i2+

a1

(m+2)(m+3)(2m+5)

falso,

es

48(48+1X48+3)

o Í¿,* k=t

¿Cuántos cuadraditos en total se puede contar en dicho tablero?

Hallamos el total de cuadraditos que hay en e[ tablero aplicando la fórmula de suma de los cuadrados de enleros positivos: 40

BtÉ

En un tablero, cada lado r 2 cuadraditos.

verdadero o F si

1-4

6

48

tiener,,

es

comunica

25(25+t)12(2s)+11

o»P

n

1

22+12=5

- Y así sucesivamente para nuestro tablero tenemos: 12 + 22 + 32 + ... + 4O2 .

12

cuadraditos:

orsannou-nruscAPACrDADES

Escribe V si

Contamos la cantidad de cuadraditos del tablero:

-

SERIES Y SUMATORIAS

=

17.15

+ l)(2n +

66

ll _ll(t?)(23)

+ lx2r + l)

- 2?r4o >

_

2l

P

es | 5

634

n--40

p=r/sn+rs =./s(¿cl.l+z¡ = ls El valor de

634

§

p p !

§

Progresión aritmética de segundo orden ¡Textoescolar(pág

Capacidades y desempeños prec¡sados Usa estrategias y procedimientos

Traduce datos y condiciones Argumenta afirmaciones

r . o

Resuelve progresiones aritméticas de segundo orden aplicando propiedades. (l-8)

!

Revise con los estudiantes el desarrollo del ejemplo 36; pregunte: ¿Cuántos términos tiene la serie? (12). ¿Qué término se ha pedido calcular? (Se pide calcular el término 12 que corresponde a la producción de historietas en el mes de diciembre). Sl la pregunta fuera'. ¿Cuántas historietas se ha producido en el año? ¿Tendría la misma respuesfa? (No, porque en este caso nos pide calcular la producción total del año). Coménteles que las historietas son una serie de dibujos que están acompañados en muchos casos de textos; sirven para expresar nuestros puntos de vista y pensamientos en relación con algún tema de nuestro interés. Luego, proponga que desanollen la actividad propuesta en el ejemplo 36. En el ejemplo 37, haga notar que se planteó una inecuación con el término general de la sucesión para estimar el número de meses que debe transcunir para tener una producción superior a 1000 cuyes.

3

Pregunte en las actividades 1 y 2: ¿Qué término de la sucesión nos pide calcular en cada caso? (En el primer caso, se pide el término 1 2 y, en el segundo caso, el término 20). lndique que establezcan el arreglo y determinen el término general de las sucesiones, En la actividad 5, pÍdales que determinen los términos de la sucesión, sumando los números contenidos en cada fila, es decir, la suma de la primera fila será el primer término, la suma de la segunda fila será el segundo término y asÍ sucesivamente. lVientras que,

Determina el término general de una progresión aritmética de segundo orden. (1-5) Justifica los procedimientos relacionados con resolver problemas con el patrón o la regularidad que cumpla una progresión aritmética de segundo orden. (6-8)

Para iniciar

I

Recuerde que una sucesión se caracteriza porque tiene un orden, es decir, que a cada uno de sus términos le corresponde un número ordinal, de tal manera que puede distingulrse a uno como el primero, otro como el segundo, otro como el tercero, y asi sucesivamente de acuerdo con cierta ley de formación. Podemos concluir que en una sucesión hay una correspondencia de "uno a uno" entre dos números naturales a partir de 1 y los términos de la sucesión.

Proponga a los estudiantes que den lectura y analicen la definición de las progresiones aritméticas de segundo orden. Interrogue'. ¿Qué es una progresión aritmética? (Es una sucesión que se caracteriza porque la diferencia entre dos de sus términos consecutivos cualesquiera es siempre constante). ¿Por qué se le denomina progresión aritmética de segundo orden? (Porque la razón constante se halla en la segunda diferencia y, además, su término general es cuadrático). Haga notar que la estrategia aplicada para hallar los coeficientes del término general consiste en establecer el término anterior al primer término (ao) y, luego, se aplica la fórmula. Destaque que las progresiones aritméticas de segundo orden tienen una relación directa con las ecuaciones cuadráticas, ya que sus expresiones generales son similares (an2 + bn + c), es decir, tienen un término cuadrático (an2), término lineal (bn) y su término independiente (c).

para la actividad 6, recuerde que la expresión "duodécimo" significa que se debe hallar el térmlno doce. Oriente para que en la actividad 7 establezcan una ecuación para calcular la posición que ocupa el término 404,

Para consolidar

I

Concluya resaltando que una progresión aritmética de segundo orden es una sucesión que se caracteriza porque su término general es una ecuación cuadrática y para determinarla se necesita hallar el término "a0". Enfatice que, para encontrar cualquier término de la sucesión, es necesario calcular su término general.

complementarias

Para desarrollar

I

§

Previamente al ejemplo 34, pregunte: ¿Qué representa "n" en la sucesión? ("n" nos indica la cantidad de términos o el lugar que ocupa un término de la sucesión). ¿Qué valores puede tomar "n"? (Puede tomar solo valores enteros positivos, porque "n" es un número ordinal). Resalte que, para hallar la cantidad de términos, en primer lugar, se procedió a determinar la expresión general de la sucesión empleando la estrategia de encontrar el término anterior al primer término aplicando sustracciones sucesivas. lnterrogue: ¿Por qué se igualó el término general con el último término de la sucesión?(Para encontrar su ubicación y así poder determinar la cantidad de términos de la sucesión).

lnvítelos a revisar el procedimiento seguido en el ejemplo 35; luego, pida que describan la estrategia aplicada (primero, se establece el arreglo para determinar el término ao, después, se aplica la fórmula para calcular

ILibrode actividades (págs. 99-101)

las expresiones generales de las sucesiones y, finalmente, se igualan los términos generales para hallar el término común). Pídales que determinen la ecuación cuadrática (n2 - 3n -180) y que apliquen el método del aspa simple.

Sugerencias didácticas

!

23)

1. Dada

la siguiente sucesión: -5; -9; -9; general,

2.

-5; 3; ... encuentra su término

3. José decldió dedicarse a la venta de caramelos

en su barrio y en su institución educativa. Al evaluar sus ventas, encontró que el primer día solo vendió 3 chupetines; el segundo dÍa, 7; el tercer día, 13, y el cuarto día, 21 . Si mantiene ese mismo ritmo de venta, ¿cuántos chupetines espera vender el vigésimo día? uestas:

1On +

3

2.

122

kg

ci

i

:Q

En una institución educativa, han iniciado una campaña de reciclaje. La cantidad de papel reciclado en las cuatro primeras semanas son 2 kg; 5 kg; 10 kg y 17 kg. Si se mantiene esta regularidad, ¿cuántos kilos de papel se espera recaudar en la décimo primera semana?

I . 2n2 *

N N @ j

3. 42

1

caramelos

a ! o o o l

p

€ c

e

C

@

E

§ c

o@

o

TEXTO ESCOLAR

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

PROGRESIÓN

Progresión aritmética de segundo orden Una ecriación cLradrátrca está lttrirse(.ar¡Élnte re aclonada con ias progres ones aritmét cas (frA) de segLrnclc) orden Basta conocer tres tér[] nos de Lrna progres óil artmótica para hallar srr térm no general.

B

r'.a SL

Progresión ar¡tmética de segundo orden

la"l = Í4:

4

Las sucesiones llamadas PA de setundo orden se caracterizan porque cuando se halla la razón o diferencia por segunda vez, este es un número constante.

13

+9

(n

-

f),

*c

.

IX2tr+ l)

B+ lt't,

Construimos el arreglo: C

ó

Fórmula del término seneral:

2

1 3

. .

2

'tÜ*

Sea la PA 2

.

".= (?)*

.0

Hallamos la suma de los términos de la PA aplicando propiedades:

30

30

30

r

*

. .

6l + 30 - 30' 3-l' =e485 u

La suma de los términos de la PA es 9485.

p ,_a

o & § @

orsnnnou-lrus

cApACtDADEs

t7;3tt49t

+q

Si en el término general el valor de C es el triple del valor de B, y el valor de B

+§ +l.udiferencia

\,/,,¡ \r/+d \r/+d \r/+d +2.adiferencia

es

...} }rl-l

E) {5; 14;29:'50',77; ...} .l¡¡l+l

B {4; 16;36;64; 100; ...} O {4;9; 16;25;36; ...} (r¡+l)l 1u: f) {lr l:9:25:49:...} @ {-lr2:7tt4'.23t...) (li¡

.{l

,¡

l

Resuelve.

e

B

p €

fl

",,

=

(+)# -

(

e

-

!ó del vator

de A.

¿cuál es la fórmula del

término general en función de A?

f), - c

(t),'.(9,*io

Halla la suma de los primeros sesenta y cinco términos de la PA: {2: 6t 12;20; 30; .. . } 95 lt l0

p

Calcula la suma de los primeros setenta términos de una PA cuyo término general es a,, = JnT I n 1.

§

-

5116 .190

+(.r) 9 t9 33 51 \,4 \,,, \,,' \,, B +.+o-r +14 +18 -\,,,+10 \,,, \,,, A+ --t.{.' +4 +4

Identificamos los datos en el arreglo: A = 4t B = 6 y C =

I

=

(t),' * (a - $)" + 3 = 2n2 + 4n + 3

Hallamos el número de términos:2n2 + 4n + 3

=

1353

+ (2n - 5O)(n + 27) = O 2n-5O=0v n+27 =O+n=25v n=17

N

2n2 + 4n

q

l;

+p

TRADUCE DATOS Y CONDICIONES

a5

Aplicamos la fórmula para hallar el término general: o,,

Usa estrategias y procedimientos: 1-8

Halla el término general de las siguientes PA.

{lr

+n

a4

.,,=

C

.

II

a3

Construimos el arreglo:

-Z)" * t = n2 + t

c

=

a2

¿Cuál es el término que ocupa el vigésimo lugar?

2

ci

E a o o I o

diferencia

{9; l9; 33;51; 73; ...; 1353}. ¿Cuántos términos la conforman?

Aplicamos la fórmula para hallar el término general.

Dte *r¡= t=t !e, *!t=l &=l

Pá€s. 99-I04

ffi

2.a

EJEMPLO 34

-5

A

rQ

+33 +l.ud¡ferenc¡a

V V \,/ \,/ \,/ a1

A+

u

N N @ j

109...

SealaPA: 2l 5; l0; l7l 261 ... Hallalasumadelos30primerostérminosdelaPA.

de enteros positivos

r(r+ t,: / K=i-t

+15 +21 +27

; r

C+

EJEMPLO 7

Suma de los cuadrados

76

Para hallar el térm¡no general, primero se halla el término anterior (¿o) al primer término y se aplica la fórmula que se indica:

Para hallar la suma de los r? pr¡meros términos de una pA de segundo orden, se halla primero el término general d, y luego se aplican las propiedades de las sumatorias y las fórmulas de las sumatorias notables.

TEN EN CUENTA

1@; ...1

Una progresión aritmética (PA) de segundo orden es una sucesión de terminos que se caracterizan por tener dos diferencias o razones aritméticas, en la que la segunda diferencla es una c0nstante.

+d

*

7 6,

49

\r/+ó \r"+ó \r/+ó \r"+ó +

(l

é)r

13: 28; 49:

28

\,,, \,,, \,,, \,,, \,,,

Para hallar el término general, primero se halla el término anterior al primer término (ad y se aplica la fórmula:

",,=

I

Cons¡deremos la suces¡ón de término geneÍal an=3n2 + 1.

ap cacrón se da en el mundo (le los negocios y las comun LaL ones.

id

ARITMÉfCA DE SEGUNDO ORDEN

.

-

1350 = 0

Descartamos n = Luego, n =25.

-27 Wrqte el número

de términos no puede ser negativo.

Determinamos el término que ocupa el vigésimo lugar: azo=2(20)2 + 4(20) + 3 = 883

La PA tiene 25 términos, y el término del lugar 20 es 883.

o

c

§ C @

UNIDAD

2

Sucesiones y progresiones

23

UNIDAD

2

Sucesiones y progresiones

99

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

PROGRESIÓN ARITIúÉTICA DE SEGUNDO ORDEN

PROGRESIÓN ARITMETICA DE SEGUNDO ORDEN

EJEMPLO 35

PM {a,}

ff

{a,} = {-268; -258; 240:' -214; ...} 6; -60; -38; ...}.

cAPACTDADES

y {b,} = {-86; I ¿Cuál es término común de ambas sucesiones?

{

. +8

.

{b,}

i

-ó0 -38 B +G4) +10 +ló +22 -\./---./'\-/ A+Q@ +6 +6 Gso) -¡o -?6 --\,2\./\./\,/

(z

- l)" - zto =

4n2

u,=(3)i. (o-3)"-*=3n2 .

@ Determina la suma de los términos

If {s; ll; r9i29;41;...;ap} E { l5; 28; 45:' 66:' ...: azo}

I

-

2n

- 27o

Hallamos el término general:

C-l

+ n-e{)

+ n= 15 es ar5 = 4(15)2 - 205) -

5

\-,

5

19 29 4l \, L, \, +8 +10 +l?

ll

+2

,,,= (1),' * (+ -

= 6ctr.

Luego: rr,, =

ti

+

1¡¡

t2r+

¡

l), *

r

Sca

3(12)

EJEMPLO 3ó

C

-ó B

En un club literario, se observó que el año pasado la creación de historietas se realizó así: en el mes de enero se crearon 25: en febrero, 32; en marzo, 4 I ; en abril,52; y así sucesivamente. ¿Cuántas historietas se crearon en diciembre?

I I 1 11 .r1... \ t\ ,\ l\ , - +-l F6 +-T0 +-I.1 A - i4 +-l +-{ .1,, +lr/- á\ t >tt, .'tr ,¡,,.(l]/t il/¡ Si r¡=.10 >a,,,=2(30)l l= 1799

+ I = l8l

B

C

. 25 32 +'l

41

+9

.

+2

Se comunica. (Crea textos literarios según sus necesidades expresivas).

. .

+4

Luego:

n,r=

2(20)2

225il20 B+ 0 +3 +6 +9 A++3 +3 +3

En diciembre n

=

12:

an=

122 + 4(12)

+

2O

= 212

-.1.

\-/\/\-/

Interpretamos el enunciado del problema y escribimos Ia sucesión con la producción de cuyes de cada mes: 2; 5; ll:'20:' ... Determinamos el término general con los valores del margen:

Deben transcurrir 19 meses.

100

¡¡

4.

) ó I

I

I

8

e p

-)n+ los 1000 cuyes: nz - n > 332 + n = 19

",=G)*.(o -l)"*z=]n2 -)n+z Para que sobrepase

*]n,

@

19

+6 +8

Calcula¡nos r¡: i¡l + 3a r¡: +

2 > 1000

C-4

s a o

\_,

2

L,

29

+I

+(¡

+10

mínimo tendrán que pasar para que la cantidad de páginas que lee Carmen sea mayor que 840?

(r

2

\_,

=

(i),.*

(-z

¡

+ 2-l)(r-20) =0

-l:

I. ,\'+l

, l, Si¡r=l:

f

i: I

S: Li: ...

-l a

¡ a

i

fi a.

\_, +4

tt

>

u,,=

l.l

a

la +l +l 1,.,' ' i( llr+5=lli -(/.--l i

( lrn¡rr¡ cl rlrlrr[ierrrro rlilr llcrLr

4

-]\, * +

lr I).\ ,¡

lt

=.161

n: -

N N @ j

.',,-'

ci

i I

¡riigirli ll5. i()()=0

lr llr

)u+5=-10-1 >r¡l l/r ll)trr+ l())=0 >//=ll l\r\i(r()n (lrrc l¡lr:ltt II tlrltr ¡rlttrt i¡rrc (

Ln r,

!¿ l E

ó o E a o

rrttttctt lclr

ItiLrtlr lrr prigirrrr 10J.

1¡ 4 4

Calculamos r: n1 - 3n + 4 = 2552. (r +49X,¡ - 52) = 0 ,,r - 3, - 2548 =0 n = 52 términos

+

Serr

(

+2 \=, 0\_, A-+2 +2 \,+2

B--?

pasar para que Carmen

¿',Cuántos días como

Hallamos el término general:

.,

a o

46{)=0

lila 30 cs I 799.

¿,Cuántas páginas ha leído en el duodécimo día?

= 20 términos

Ip

§

l¡

t

lea 404 páginas?

ll

-5

L,\,.!,L,

srrnla de krs [érruinos tlc la

@ ¿Cuántos días tuvieron que

+2 \-, +2 \-, +2 A- \-, = (i),'* (o-3), - I >,t,,=rr+ r¡ a ",,

En una granja, los cuyes empiezan a reproducirse mensualmente: en el primer mes hay 2 cuyes; en el segundo, 5; en el tercero, I l; en el cuarto, 20; y así sucesivamente. ¿Cu¡ántos meses deben transcurrir para que la producción sobrepase los 1000 cuyes?

.

@

Hallamos el término general:

-l

- ,- ,\ ,

Carmen se propone loer una enciclopedia de varios tomos. El primer día lee hasta la página 4; el segundo, hasta la 5; el tercero, hasta la 8; el cuarto, hasta la 13; y así sucesivamente.

+7(20)+6=946

ts {5; l1; 19:29;...:461} O {2;2;4;8;...;2552}

En diciembre se crearon 212 historietas.

.

l,¡

Halla el número de términos de cada progresión,

EJEMPLO 37

I

+4

Hallamos el término general con los valores del margen:

B.-+4

v

+4

tt,,=2¡2¡7'*U

.}

C

C

+4

".=(+),'*(o |),*o

. + 2o = n2 + 4n + 2o ",,= G)* F -Z)" .

\--, 15\-, 28\-, \, 66\-,

- +9 \-,+13 \-,+17 \-,+21 \,,+25

Observamos que se forma una sucesión con la cantidad de historietas creadas en cada mes: {25:,32:, 4l:, 52;

.15

A+

l¡ I,A: I I 7: l7l I I : .19: ...

C*

1

2. Hallanros el témino general: comunicate

75 103

81412114

\-, \-, \, \-, +2 +2

tt,,=

t2

6

\--,

+6

A- +l

-2n -27o = 3n2 + n -90

27O

\-,

- +4

B

Igualamos ambas ecuaciones para hallar el término común: 4n2

4

3

L

fila 30 del

de la

siguiente arreglo:

Hallamos los términos generales para cada sucesión:

El término común

B+

Argumenta aflmac¡ones: ó-8

Analiza y resuelve.

En las siguientes PA de segundo orden, halla el término que se indica.

Obseruamos en el margen que en la sucesión {4,}, A = 8; B = 2 y C = -27O, y en la sucesión {á,},,A = 6; B = 4 y C = -90.

(\)* * ", =

C

I

'l-5

fraduce datos y condiciones:

Sean las sucesiones

c

Para

orsnnnou-arus

'

S.

l'

l¡¡+5>S-10 I)iIrl() \irl(ni\s( ('r¡rtt¡r[ ¡rirrr: rt = i0 llrrrllin t¡tre ¡lsru conlr nririnlr.\0 rliits Ilrlt tltlc lit r'rttliilittl ilc ¡ririnlts r¡ttt lLt lle!¡(l() r ['er \eir r]lir\(n (ltre S-10. UNIDAD

2

Sucesiones y proSresrones

101

p _o so L

a c -9 .? c o a @

LIBRO DE ACTIVIDADES

Suma de términos de una PA ¡

Libro de actividades (págs. 102-104)

¡

PRoGRESIÓN ARITMÉTICA DE SEGUNDo oRDEN

Gapacidades y desempeños precisados Usa estrategias y procedimientos

Argumenta afirmaciones

o

.

El ,rm de términos de una PA

Calcula Ia suma de una progresión aritmética de segundo orden aplicando sumatorias notables. (1-6) Interpreta una situación problemática relacionada a una suma de una progresión aritmética de segundo orden. (7-8)

Para hallar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética (PA)de segundo orden, se halla primero el término general a, y luego se aplican las prop¡edades de las sumatorias y las fórmulas de las sumatorias notables.

Sugerencias didácticas

I

DE RESOLVER

I

N @

)ci ¿ :Q

¡ ! o o o

)

! Ic o L @

§c C

a 6

Enfatice que para hallar la suma de los términos de una progresión aritmética de segundo orden se debe proceder primero determinando el término general de la sucesión. Luego, se representa como una sumatoria que se debe resolver aplicando sus propiedades fundamentales y las sumatorias notables. Pida que determinen la suma de los quince primeros términos de la sucesión 14; 11; 22;37; 56; . . . ) (Los quince términos suman 2615).

{7; 13:,23;37;55; ... }

.

+q

áv

Construimos un arreglo y hallamos el término general:

7 B 23 37 ss \,,, \,,, \,,, \,,, \,,,

c.-.151-,i,

B+

s,=o(i).*$).a(\)

6l0t418 \,/ \r/ 444

A+@

utilizamos la fórmula con número combinatorio:

t,=r(1')-r(?).,('.') S,=7 50+ó

.

'1225

+4.196Co S, = 8ó loo

""

=

(t),,

\r"

.

?-

t),

+ 5 = 2n2 + 5

Aplicamos las propiedades de sumatorias y las fórmulas de sumatorias

50

notables:

50

n2

+)n=l

"=l

50

50

DQn'*s)=z!r'+!s n=l n=l n=l

50

2\

s = z . 50'

5l'

101

U

+

5'

50 = 2 . 42 925 +250 = 86 100

La suma de los cincuenta primeros términos es 8ó 100.

EJEMPLO 39 Sea la PA {3; 7; 13;21:,31; que la conforman.

. .

C

I (T) 3 't t3 -V\,/\,/\,,,

B+GA +4 +6 +8 A,+ QD +Z +2

-\zv'\,/

2t

.

...; 1057}, calcula la suma de todos los términos

Construimos un arreglo en el margen. Hallamos el término general con los valores del margen:

",=

(?)* . P -Z)"

+|=

nz + n

+t

Determinamos el número de términos igualando el término general con el n2 + n + I = lO5'].

último término: n2 +

.

Para consolidar

I

. .

(ñ¡ +p

Previo al ejemplo 38, recuérdeles la fórmula de la suma de los cuadrados (n(n + 1)(2n + 1)/6) y la fórmula de la suma de los primeros números naturales (n(n + 1)/2). Resalte que la sucesión es finita porque solo nos piden la suma de los 50 primeros términos, luego pida que revisen la sección "Otra forma de resolver", donde se presenta un segundo método que está basado en los números combinatorios. Destaque que, en esta estrategia, solo se debe conocer el número de términos que tiene la sucesión.

Pregunte en el ejemplo 40 ¿Se podrá calcular la sumatoria haciendo uso de la fórmula con números combinatorios?(Sí, porque se conoce la cantidad de términos de la sucesión). Destaque, como el año tiene doce meses, entonces la sucesión tendrá doce términos. Coménteles que realizar una actividad fÍsica es muy beneficiosa para el bienestar de las personas, ya que mejora la memoria, genera rapidez mental y fortalece su autoestima. Pida que respondan la pregunta que está al pie del ejemplo 40. En el ejemplo 41, solicite que apliquen el segundo método para comprobar el resultado. Para .l las actividades y 2, propóngales que establezcan el término general de las sucesiones; luego, pida que apliquen la sumatoria. Remarque que en los dos casos se conocen los límites de las sumatorias. En la actividad 3, haga notar que la expresión dada no corresponde con la forma que debe tener el término general, por lo que sugiera que apliquen la propiedad distributiva y eliminen los signos de agrupación. Previamente a la actividad 4, recuerde el desarrollo del binomio al cubo ((a + b)3 = a2 ¡3a2b + 3ab2 * b3).

Calcula la suma de los cincuenta primeros términos de la PA de segundo orden:

lai a2: a3; aa: .1. a2 a3 a0... @) --\./\,/\,,,

Sea

Pida que lean el texto inicial, luego pregunte: ¿Qué acciones previas debes realizar para hallar la suma de los términos de una progresión aritmética de segundo orden? (Se debe establecer el término general, aplicar las propiedades y las fórmulas de las sumatorias notables). ¿Qué tipos de sucesiones se pueden sumar? (Las sucesiones finitas).

Para desarrollar

I

EJEMPLO 38

OTRA FORMA

Para iniciar

n-

1056=O

+

(n -32)(n + 33) =O

+

n = 32

Calculamos la suma de todos los términos:

32 32 n+ t¡=\n2 D@'* n=l n=l

32

+1, *!x=l n=l

ln'+ln+lt=32-$:s1 b n=l n=t

x=r

32

t

N l I

s B

*32:33 +32't = 12000 ¿

La suma de todos los términos es 12 000.

§ I

102

LIBRO DE ACTIVIDADES

PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE SEGUNDO ORDEN

'

Vive saludablemente

EJEMPLO 40

.

v/ v/ \r/ \,,' +l

B

,,= (tr)* .

.

6

3

3 = n2

l2

t2

\1n'-2, +r=»n'z -z», n=l il=l

n=l

Su ténnino general es a, = r¡l +

t5

f{tr Á=t

11 ...

l2

t2

t2

frr_Zfr+f n=l n=1

n=t

!

,=l

E

16

t2:13 3= 12 1,3.25 1¿ -2.

*t2.

E

Valora su cuerpo y y asume un estilo de vida activo y saludable. (Practica habitualmente alguna actividad física pi¡ra sentirsc bien).

24

24

ll

46

7»A

6 = 74

(=t

¡6

_2.ó0.lr.l2r,3.6q 6?

»6 (=l

+

=

t2

il=l

24

La sustancia sólida

se

z=l

I

24'-25' 49 ó


r=20

l0 =

l0

(=1

.r

N

! B

= I6fi)

lq

1

5q +

6 866 ó80 + 22

1

En ese ¡res hay. cn lotal, 1600 conejos

7(l 7() x(l

200

:

-

2l

l.l

17 7q " . '',

s. u., = jtzrl'+|et)+i=234

1600+234-500= Ln lu gr:ut.jir qilr'dirn

1334 1.1J4

¿ :9

d

t0.I .4t t0.ll

l9

l 79 80 6

-i ci

l0

r*f lI-l=l *]f -(=t É

17)

+rftr+zo!t =sftr !:z (=l (=l Á: l=t

24. t =29 376

-

_60.

y así sucesivamente.

de una progresión aritmética cuyo término general es a,, = (2tt - 3)3 - 8n(n - 2\ + 3n2 .

-

I47 620

61

r

la suma de los 67 primeros términos?

@ Calcula la suma de

",=(l),'*(o-t2r¡,-r

1 .

- 3)(3n + 2) - (n - 2) es una ley de formación de una PA de segundo orden, ¿cuál es

.l 67 l|i l.r5 lt 67 611 67 (rl = .()7 5.10 lli ll4 26lJ = 2tl9 0.18

t2

-

()

1165

\'.r :r r, rIr .I^

B+

3a

2n:-3n- l=7019 +r=60

Zuleika determina que la reproducción mensual de los conejos de su granja se realiza de la siguiente manera: en el primer mes se obseryan 4 conejos; en €l segundo mes,6; en el tercero,9; en el cuarto, 13;

I

5 23 5395 v/\,/\,/ t8 30 42

-

14e80

:fr f*=r r:Á:-.rr- rr=rIAr ft=l r=t t=l

@ Si {c,,} = (n

C

2= 14910+ /0=

6. El ténnino gene ral es u,, = 2n2

o

¡6

24

= 6Ir'-I

O)-rr-)i-,t iat1 =6' §

+

L

mmú60

*

1,, 16

llcrlt¡eittto.: {rr,,} = -3¡¡l + l¡¡ 9¡r 6 r¡ + l lrtlto¡ttc:. {rr,,) = -3¡¡l 3, -1

Calculamos el total de partes iguales en que se dividió la sustancia sólida, aplicando las propiedades y las fórmulas de sumatorias notables:

24

l5

= n2 +

es rr,,

1227 > n=35 t5 15

f1t.]+zr=frr+!z l=l k=t k=t

+ 7. 49. 47 +4h.

fr1 = 67 022 + 7567 +

El término general

i +2=

I

I

46

I. ]h.,47. 9l 3=530

Construimos un arreglo y hallamos el término general en el margen.

L$n'-

-5.

7l+.r5 -15 36 6

fl=t r:rt * 7,( + 6) = 2tÁr l=t

r

Interpretamos el enunciado de la situación y escribimos la sucesión con la división de la sustancia sólida: 5; 23; 53; 951 .. .

n=l

I

l5

+ r»r + »t »r: t=t l=t t=t

=

I-ls una PA tle segundo orden. Su lérnritx¡ general es: d,, = 7¡1:

En un laboratorio, una sustancia sólida se divide espontáneamente en partes iguales. En la primera hora, se divide en 5 partes; en la segunda, en 23; en la tercera, en 53; en la cuarta, en 95; y así sucesivamente. ¿En cuántas partes iguales se divide la sustancia en un día?

I

+ l)

3r +

@ Halla la suma de los 46 primeros términos de la sucesión {15; 28;45;66; ...}.

EJEMPLO 41

. .

:t

:5

62-'

De manera oficial. Mariana tro«i 530 km en un año

.

+

l5

_25-16.5i +:¡ 25. 26*)5.

t2

*

{3;6; tt:18, .... t227} @ { 2;lt 8; l9l ...r 7019} G)

Es una PA de segundo orden.

Hallamos el total de kilómetros que recorrió Mariana aplicando las propiedades y las fórmulas de sumatorias notables:

12

{5; ll;19;29:' ...}

la sucesión

2n + 3

Argumenta afirmaciones 7-8

sucesión.

Calcula la suma de los 25 primeros términos de

= 5525 + 975 + 25 = 6525

-

'l-ó

Determina la suma de todos los términos de cada

+3 +5 +2 +2

? -tr), +

Usa estrategias y procedimientos:

Analiza y resuelve.

Construimos un aneglo y hallamos el término general:

2

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

fl

Observamos que se forma una sucesión con los trotes que realiza Ma¡iana mes a mes: {2; 3; 6; I l; ...}

c.-G)

PROGRESIÓN ARITMETICA DE SEGUNDO ORDEN

B

Además de correr algunos otros días, Mariana trotó de manera oficial los últimos domingos de cada mes, de la siguiente manera: en enero,2 km; en febrero,3 km; en marzo,6 km; en abril, 11 km; y así sucesivamente. ¿Cuántos kilómetros trotó de manera oficial en un año?

.

.

c()nejos.

D

5 d

f

e o o

)

p

€

g3

o c

3 o

a G

§c c a @

TEXTO ESCOLAR

Progresión geométrica (PG) a

Texlo escolar

lpág

2a; r

Lrbro de activldades (págs. 1 05-1 07)

Capacidades y desempeños precisados Traduce datos y condiciones Usa estrategias y procedimientos

.

Determina el término general de una progresión geométrica. (1-3)

.

Progresión geométrica Las progresiones geométricas están en todas partes, por ejemplo, en el

rebote de una pelota desde de una determinada altura o en la reproducción de bacterias (ya que s{empre es por bipartic¡ón: una bacteria se divide en dos pasado un determinado tiempo), etc.

Calcula los elementos de la una progresión geométrica empleando la fórmula del término general. (1-5; 4-10)

Término general En

toda progresión geométrica

lal

a2; a3,

a4:...), se verifica que:

az=at-r a3=a2.r=la1.r)-r=a,-f aa=a3.r=(a1.f1.r--a,.f

Sugerencias didácticas

...

A partir de la regularidad, inducimos las siguientes fórmulas:

Para iniciar

I

férmino general

Incentive a leer el texto inicial. Luego, comente que las bacterias, cada cierto tiempo, duplican el número de individuos que tiene Ia colonia. Esta situación se puede representar con una progresión geométrica (PG). Explique que estas sucesiones se caracterizan porque cada término, excepto al primero, es igual al anterior multiplicado por una constante llamada razón geométrica (r).

a,= at' f'

c' ¿

:Q

1 ! o o o

=

! ! so L @

§c C

a

o

En un

laboratoío, c erto

cult vo t ene, inicialmente, 25 000 bacter as. Si cada hora aumenta en un 400,6, ¿cuántas bacterias hay en ei cultivo luego de 5 horas?

La suma a calcu

'ar

=-1

z primeros términos de una progresión geométrica

de los r primeros térm nos de una progresión Seométrca la denotamos por S, y amos asi:

g,=o'l,l

-rll..con

r+ r

s,,=ot ,

on.,'

'rcon

r*

r

134 456

EJEMPLO 9 Rosa ahora dinero: S/ 3 el primer día, S/ 6 el segundo día, S/ I 2 el tercer día, y así sucesivamente. ¿Cuál será el total ahorado al cabo de 15 días?

.

r"ÜF

Para las actividades 1 a la 3, sugiera que expresen el término general en función del primer término y la razón, si es posible que simplifiquen. Haga notar que, en las actividades 4 y 7, será suficiente emplear las fórmulas de la razóny del término enésimo para resolverlos. En la actividad 5, sugiera que expresen los términos en función del primer término (as = arra). Previamente a la actividad 6, recuerde la propiedad de que el cuadrado de un término es igual al producto del término anterior y posterior a él (ar2 = az. aq).

Para reforzar lo aprendido, proponga la siguiente situación: La deuda de un comerciante se ha ido reduciendo anualmente a % de la deuda del año anterior. Si el quinto año debía 200 soles, ¿a cuánto ascendía su deuda el primer año? (51 200 soles).

''14

Reemplazamos los datos en la fórmula y resolvemos:

Suma de los

DÉSAFÍo

Pá,gs. 1O5

ff

log

Por dato:

a1

resorvemos:

-- 31 r = 6 + 3 = 2 y n

s,

=

4I+

=

='''z

15. Reemplazamos en la fórmula y

ll "

= n*

ro,

El total ahorrado por Rosa es Si 98 301.

orsnnnorLnruscAPACIDADES

Uü estrategias y procedimientos: 1-5

a

9

& Si a, = 3 y arc= 31e, calcula la razón. 9 § Sea a, = 2 y r = 2. Halla el tf,¡¡¡i¡6 s¿¡6¡sg. 6 .1E4 & Determina el primer término si r = 4 y aro= 2ao 4 & Si a, = 6 y r = 3, calcula el valor de Sl2. I .594 320 I

Para consolidar

§

{-l

. 213 -.2 ., - üt2 ="2rr dt=,.rt_r -8192 =;,=:-=-l

Haga notar en el ejemplo 42, que los términos 3 y 6 de la sucesión son expresados en función del primer término y después se procedió a plantear

Destaque que, en el ejemplo 46, si en la expresión Ia variable se encuentra en el exponente, entonces, la estrategia es dar forma a las bases para que sean iguales y poder igualar los exponentes (ecuación exponencial).

I

'

Si ¿r2 = 8192 y r = 2, calcula el primer término.

.

una ecuación para hallar larazón. En el ejemplo 43, recuerde que una progresión aritmética es una sucesión donde cada término, excepto el primero, es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón aritmética. Antes del ejemplo 44, enfatice que en situaciones en donde se emplee el término general, se debe descomponer cada término según convenga (at = ar,r3). Destaque que la suma del subíndice del término y el exponente de la razón nos da el subÍndice del término a descomponer (7 = 4 + 3). En el ejemplo 45, haga notar que la expresión "se duplica" nos indica que larazón es dos. Asimismo, resalte que el término diez es el dato y es expresado en función del término seis, que es la incógnita (aro = ao . r4).

N N @ j

r=,-tW

an

EJEMPLO 8

Para desarrollar

I

Razón geométrica

Primer término

24

ffi

Sandra recoge de su chacra 5 mangos el

primer día; 10 el segundo; 20 el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuántos sacos de mango cosechará en 20 días si cada saco tiene una capacidad ds $ d66g¡¿sJ -54 (r I .1

! !

§ q

LIBRO DE ACTIVIDADES

PRocRESTóN

¡

crouÉrRrca

@ rrorresión geométrica (pG)

a

EJEMPLO 44

En situaciones en las que se aplique el término

general de una PG, debes descomponer cada térm¡no según convenga. Así, por elemplo:

término general de una PG se obtiene de la siguiente manera:

TEN EN CUENTA

término

a4= a3. r = aj. 12 . r = at. 14

At.f as=a2.r=(\,r.t=At.t3

.

1

At f3 .f = dt.f5-1 ] A6=dr.r=Ar.r4.r=At.16-1...

AZ=

AS= Aa,

r

f

.

a. at= /t-

ar=al'tr-1

.

r=

O

¿Cómo descompones ¿ro? '1

«,¡=c,

19o4,u=¿¡r'¡

Decreciente:si0l v0t=14

"11 =-J".>r¡-l=l-t l,llJ Ir

s,.=''' ." ," t

210 @zso

A)s u)l¿ .)#

|

t8

=),,t -

de la décima figura.

A)

Í3.6. r.t8.27. I 14'7'm'13'ró' 'J

la sucesión

1782969=3.i' r+3'

nrr=|Ozl' - lr.

@ Halla el término l9 de la siguiente sucesión:

PCfinita: {3191 27:81; ...1¿,,} Término general: uil = at ' r'¡

22...

Resuelve y marca la opción correcta.

2048', b,,= -L

8;7; l6; ...}.

B)

_r

¿,ll-!

@ Calcula la suma de las cifras del término 13 de

_9

c o a

A)

51

12'\-

@ Observa la secuencia y halla el total

'i

{lt2:3;4t

se reproduce según una ley geométrica: en el primer minuto, nacen 3; en el segundo minuto,9i en el tercero,2T; en el cuarto,81; y así sucesivamente. Si cierto minuto nacen 4 782 969, ¿cuántas bacterias hay en total

|

= 4096.

@ Determina el término l6 de la sucesión

@ Una bacteria

.n

-

2ttt

Resuelve y marca la opción correcta,

r¡+ l=9 razón dc

4.

br, =

5

_l \: ,

Hallamos el término general: rr,,

I

hasta ese minuto?

B es una.PG infinita: a,

E

r

,, = I ¡ , = I

I

o

I =9-,

|

El untlécimo término -'-"""" es

rr,:nz

^=+=1 ,5

f

§

s,,={!!=

(r. Aes urta P(i i¡rlirrita:

ci

l

+ ... Halla el valor

1(2'l)=2(llr l) >n=13 21r = lil92 > 8192 + 32 = 2.56

_i

o

t

.r=

N N @

!

-J-o, *

4' 2'

Fig.4

+4 I+7 +10 _-' +3 +3

Analizamos el denominador:

b,,=

Scl [«,. n,. «,. rr,, c¡. rr,,] una P(; dt rrzón r. (rril'' t, lt ,r,trt I)

S,,=95. > *

I:.-

Por lo tanto:

Es una PG, entonces el término general es:

Fig.3

Observamos que la suma de puntos forman una PA de segundo orden:

.

¿Cuál es la razón de la progresión?

16

I Fig.2

término general es a,, = nz ¡ | a,=ll2+I=122+d¡=122.

Resuelve.

@ La suma de los

+x=

Fig.

4.. I I t 16.- I 32 f 64... xZ x2 x2 x2

Analiza y resuelve.

E

ó

64'

.

a cs 47.

.

" ++) "-'

n'

Analizamos el numerador:

Es una PA de segundo orden, entonces el

6 -,r

PGinfinita

Determina el total de puntos en la figura 18 de la siguiente secuencia:

2\._,, 5 I l0',.- ..4t7 A 26... ' +3\. 7+5\. .'+7\. a+9 +2 +2 +Z

>u+t=1'7

l-5

El valor de la sunrr de rr

PG infinita

4.r= l+1 ={:«, =3 .1 _, ,.

14'E'to'

) -1.*].* ?

t_+

535,95

t3. l" n' ' 'l'

en la sucesión

Escribimos la sucesión de la siguiente forma:

x' ¡*l*i*i* '.t .rr .15 = "r*_l_=§4

l-5

32'

p '"

12.s.t0.t7.26."'ÍI

=sl 4) -1

r=384+76¡= f:u,=76liyi¡= 7ó8[

3.

= lr¡r=ll

es

7 l+t+l+1+ 3' l)

ll - 8r .ir{r) l{)x

Srs =

1r' 8'8'

obtienes?

§ {6:3r};};...1 0 {3;-r;j;};...r l.r=10= l= s , = ll' tt-''

f r. 5. 5. 17.

esta misma expresión. ¿Cuál es el resultado que

{768i 384' 192l'961 ...1 ars}

EJEMPLO 52

EJEMPLO 5,I

o)#

A)

Fig.2

170

B)

l4

G@@ Fig.3

Z1s

C)

Fig.4

385

Fig. 5

@+os

@ La figura que se muestra tiene dos circunferencias concéntricas. Determina el número total de puntos de la figura que tenga 20 circunferencias concéntricas

@r+zr c)

ll20

B)

1360

D) 998

g 8

p p

§ 3 o

TEXTO ESCOLAR

Interés compuesto ¡Textoescolar(pag

11)

ILibrodeactividades(págs.

1,11-113)

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias

y procedimientos

.

lnterés simple y compuesto

lnterés s¡mple y compuesto

Para iniciar Proponga que den lectura y analicen el texto inicial para extraer las ideas principales. Pregunte: ¿Cuál es la diferencia entre el interés simple y compuesto? (Que en el simple se retira el interés al final de cada periodo y el capital se

i (,, r'l

i=

I

Al final del 1.e'año

Para consolidar Concluya resaltando que si en los problemas no se indica el periodo de capitalización se da por sobrentendido que será anual; además, reitere que para calcular el monto del interés, previamente se debe hallar el capital final.

A ¡nterés s¡mple

r

(1,,

Cap¡tal ¡n¡cial

8000

lnterés ganado

0,05

Cap¡tal final

8000+0,05.8000=8400

0,05.8000=400

8000 = 400

8000+0,05.8000=8400

8000 + ganado

capital inicial

8000 (el interés Sanado se retira)

tnterés ganado

0,05 8000 = 400

]

8000+0,05.8000=8400

F4oo-oer"roo=8ro

IMPORTANTE

I

lnterés con periodos de capital¡zación no anual

Er-t*

c,=c.(t + fi)' '

A interés compuesto 8000

A interés simple

I

s

capitaliza)

o,o5 .(8ooo + 4oo) = 420

-

EJEMPLO 10

-

,

Donde: es el número de días, meses, bimestres o semestres que hay en un año.

¿En cuánto se convirtió un capital de S/ 12 0O0 al cabo de 8 años si se deposita en una caja municipal a una tasa de inteés anual del 67o?

a) A interés simple:

Previamente al ejemplo 53, recuerde el procedimiento para transformar los porcentajes a números decimales (10y" = 10/100 = 0,10). En el ejemplo 54, haga notar que el capital final viene a ser el monto que se pagó al término del préstamo. Asimismo, explique que, si en el producto uno de los factores tiene su exponente negativo, significa que está dividiendo.

Explique en la actividad 1 y 2 que la expresión plazo filo hace referencia a que el capital se depositó con interés compuesto. En el primer caso, resalte que el interés se calcula restando al capital final el capital inicial. Para la actividad 3, recuérdeles que deben multiplicar la parte decimal de los años por doce para hallar los meses y la parte decimal de los meses por 30 para calcular los dÍas. Pregunte en la actividad 4: ¿Qué datos identificas en el problema? (El capital inicial, el tiempo y el interés total). ¿Son suficientes los datos para resolver el problema? (No, porque falta calcular el capital final).

cuánto se conv¡erte un capital de s/ 8000 al 5% anual en dos años?

Al f¡nal del 2." año

Resalte que, en esta sección, se trabajará considerando una tasa de capitalización anual, es deci¡ que el interés ganado recién se capitaliza en el siguiente año, por lo tanto, el tiempo "t" debe estar siempre expresado en años. Asegúrese que los estudiantes cuenten con sus calculadoras.

En la actividad 5, resalte que la tasa de interés debe ser expresada anualmente. Y en la actividad 6, pida que el tiempo, que está en meses, lo expresen en años.

I

('r

¿En

Ci-(',,t1+¡)'

Para desarrollar

I

En un interés simple, el ¡nterés se retira al final de cada periodo, el capital se mantiene constante. En un interés compuestq el interés no se retira, sino que pasa a formar parte del cap¡tal inicial; es decir, se capitaliza.

() c,,rr

mantiene constante; en cambio, en el compuesto el interés no se retira, sino que pasa a formar parte del capital inicial, es deci¡ se capitaliza). Luego, pida que evalúen el desarrollo de la situación inicial: ¿Cuál es el interés simple y compuesto en el primer año?(S/ 400). ¿Hay alguna diferencia en las cantidades obtenidas? (Ninguna, ambas opciones aportan lo mismo). Explique que la diferencia entre ambos intereses se observará a partir del segundo año, debido a que la capitalización es anual. Pida que revisen la sección "Ten en cuenta", donde se presentan las fórmulas para calcular el interés simple y el compuesto.

I

liJ

deudas, etc., aparecen habitualmente en los cálculos financieros. Conoce dlchos conceptos te será út¡l para resolver situaciones relac¡onadas con progresiones geométricas.

Sugerencias didácticas

I

"i-

Las variac¡ones porcentuales, el interés simple, el interés compuesto, las

Adapta y combina estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, para resolver problemas relacionados con tasas de interés compuesto. (1a; 1-6)

.

Planteamos y hallamos el capital final: j = 12 000 ' 0,06 ' 8 = 576O

El capital final

se convierte en: C/ = Co

+ , = 12 000 + 5760 = Sl l7 760

b) A interés compuesto:

.

,tÜF

Planteamos y hallamos el capital final:

C¡= C.

(l

+ r¡t=

El capital final

12 000

(l

+ 0,0ó)8

se convierte en

= 19 126,18

S/ 19 126,18

Págs.11I-115

ffi

v a

I e p !

§

orsannorrnrus

tjsa estrateSias y procedimientos:

cAeACIDADES

@ Camila deposita

&

a un banco S/ I 0 000 a una tasa de interés anual del TVo.Hallael capital final que obtiene en 9 años a interés simple y compuesto. José retiró de una ca¡a

-rri"iNáíil(x):

s

I

8 -rsl

«)

de S/ 30 625, después de 5 años. Si la tasa de interés anual fue del 8Vo, ¿cuál es el capital que Sr lo ij-}l.sr,

depositó?

1-4

f,) Andrea depositó en un banco S/

I 8 000 durante 8 años a una tasa de interés del 1,2Eo trimestral. ¿Cuál es el monto que recibirá al final del tiempo?

$

S lr) I()I 6-1

Femando deposita S/ 25 @O a una institución financiera a una tasa de interós del 4,570 anual capitalizable mensualmente. Halla el monto total que cobrará en l0 años. s .rt) I 7-i.§l

@

UNIDAD

2

Sucesones y progresiones

25

V¿

LIBRO DE ACTIVIDADES

INfERÉS COMPUESTO

¡

'

@ lnterés s¡mple y compuesto

TEN EN CUENTA

Cuando una persona depos¡ta un capital en una inst¡tución financ¡era, durante un c¡erto t¡empq se generan intereses en su benef¡cio Si se ad¡cionan ¡ntereses al capital, el interés se llama compuesto. Caso contrario se llama ¡nterés s¡mple. Ver margen. ¿En

Al f¡nal del

lnterés ganado

'l.e' año

l= 20@'0,05 1=1@ Cr=20@+100=2100 2.'año: co = 2mo l= 20@ 0,0s 2=200

2000

0,05'200O = 100

21W

0,05'2100 = 10s

+105 =2205 2000(] +0,05)2=2205

12.'año

3.er

año

4." año

3.e¡

r=lq-1

Á^

.

año: co = 2000

.

p

s c

o L

p € I

.

5,7

l= 2000 0,05 4=400

6 = 2431,01

Para que se produzca dicho inteÉs, deben pasar 6 años,2 meses y 5 días.

Empleando procedim¡entos recursivos se obtiene:

2000(1 + 0,05)4 = 2431,01

l=C¿.r.t-Cr=Co+l

lnteres simple ResoluciÓn del e¡emplo 53

@

c @

o

=S/ 94 672

.

= 7100 Pedro rec¡birá S/ 7100.

Cr

('ou13o#*)',*n

=

108

meses+ ¡=

.

V = 531,15%

108

+

12

15

=9

000; Cr= Sl 94 672 años

Aplicamos la fórmula del tiempo y resolvemos:

,--Pr*-

uo

u=

Identificamos los datos: C, = S/ f

.

V= '-r= -o"100%

Cr=5@0t2100

t = 1,22'72- t =0,2272

Hallamos la tasa trimestral:

r = 22,72 + 4 = 5,68

+

+

r=2l,izva

I año tiene 4 trimestres

r = §,$$o/o

La tasa de interés trimestral es 5,68Vo.

EJEMPLO 57

(r):

3OVo

=

3OI1OO = O,3O

Aplicamos la fórmula del capital inicial y resolvemos: a

Un comerciante recibió un préstamo bancario de S/ 20 0O0 a una tasa de 0,l5Va de interés diario. ¿Después de qué tiempo tuvo que pagar un interés total de S/ 6000 al banco? Ejerce su ciudadanía. (Comprende las relaciones entre l0s elementos del sistema económico y

.

Por datos: C, = S/ 20 000, i = S/ 6000 Tasa de interés anual

.

financiero).

it ,,,,i, r.,i

r.,1.,..

,^^ /26 ooo\ ,"8 ,',r\

(r):

+

,=

0, I 5 7o diario = O,lSVo

\20

000i=

.r¡**tñ)

0,1 tJ94

ül 8ffi

' 360 = 54Vo

I

= O,54 € e I I

= 0.6o'76 = 7 meses y 22 días

Pagó S/ 6000 después de 7 meses y 22 días.

,'

Cr= 20 000 + 60ffi = S/ 26 000

Reemplazamos los datos en la fórmula de tiempo y resolvemos:

= 19 690,49

§ @

@

c

§

Rosa recibió de una caja municipal un préstamo de S/ 15 000 para cancelarlo en 108 meses. Si el monto que debe pagar es de Sl 94 672, ¿cuáLes [a tasa de interés trimestral que cobra dicha caja municipal?

Ct

r= smo.0,07.ó t= 21ú

= 7/ 10O = 0,07

Identificamos los datos: Cf = Sl S0 238; r = 4 años

,,ir,,t,f

EJEMPLO 5ó

variac¡ón porcentual en un intervalo de tiempo

co=s/15000,t=9años

La institución financiera le prestó a Sandra S/ 19 690 Í9.

ff,

IMPORTANTE

I

tu ciudadania

C" = 56 238(1 + 0,3O)

§

0,1528' 30 = 4,58 = 5 días

Cr=2000+4m=2400

1 1

+ 0,07)6 = 7503,65

Tasa de interés anual

=

meses

2315,25 +

Sandra solicitó un préstamo a una institución financiera para pagarlo en 4 años, a una tasa de interés anual del 307o. Si la deuda que pagó ascendió a S/ 56 238, ¿qué cantidad de dinero Ie prestó la institución financiera? g

Convertimos a años y meses:

Por lo tanto: 6,1794 años = 6 años,2 meses y 5 días

EJEMPLO 54

Ci

786\

6,1794 años = 6 años + 0,1794 años

Pedro recibirá S/ 7503,65 después de 6 años.

N N @ j

173

_ '"6 \50 000i _ 0,16900 A 11o ' - log (l +0.065) - 0.02735 -

4." año: Co = 2000

Aplicamos la fórmula del monto y resolvemos:

(l

= 0,065

2000(1 + 0,05)3 = 2315.25

Identificamos los datos: C,, = S/ 5000; I = ó años

Cr= 5000

ffi

Aplicamos la fórmula del tiempo y resolvemos:

0,1794' l2 = 2,1528

Pedro deposita S/ 5000 en un banco a una tasa de interés anual del 77o ¿Cuánto recibirá después de 6 años?

.

.

,

¿Cuál es la variación porcentual en 9 años para

7 7o

Identificamos los datos: C, = S/ 50 000; i = Sl 23 786

C¡= 50 00O + 23 786 = Sl 73 786 Tasa de interés anual (r): ó,5 7, =

+r)

el ejemplo 5ó?

(r):

.

'

tc

EJEMPLO 53

Tasa de interós anual

que se produzca un interés de Sl 23'786?

q=2000+300=2300

un capital inicial (Co), depos¡tado a un tasa de interés anual (r) durante r años, empleando procedimientos rec"ursivos se convierte en un capital final o monto tal que: C/= C¿ (1 + rF.

.

log(1

EJEMPLO 55

David depositó S/ 50 00O en una institución financiera a una tasa de interés anual del 6,5Eo. Lcuántos años y meses, aproximadamente, deb€n pasar para

r= [email protected],0s.3=300

2205 + 110,25 =2315,25

0,05'2315,25 = 115,76

2315,25

'-

'

q=2Cfo+2@=22Co

21C0

0,o5 .2205 = 110,25

2205

t-

año: Co = 2000

Capital final

2000+100=2100 2000(1 +0,05)=2100

*(g)

el interés s¡mple, el cap¡tal permanece constante. En

1.er

Capital in¡cial

Despejando el t¡empo y la tasa de ¡nterés de la fórmula del monto de un interés compuesto, se obt¡ene:

lnterés slmple

cuánto se conv¡erte un cap¡tal de s/ 2000 al 5% en 4 años?

...

INTERES COMPUESTO

UNIDAD

2 Sucesionesy proSresiones

111

112

LIBRO DE ACTIVIDADES

lnterés con oer¡odos de capitalizáción no anual INIERES COIVIPUESIO

ff

oesannou-nrus cArACIDADES

Usa estrateSias y procedimientos: 1"ó

Resuelve los siguientes problemas:

ll

de interés?

¡=

6 ar'ios:

r= 6.5% =0.065

Hallamos el nronto o capital final:

Cr= 2000.

(l +0.065)6 > C¡=

Clalculamos cl interés pedido: I = I = 291 l3,2tl - 2000 = S/. 9l ti.28 Gana S/

9l8.lt{

S/ 291ti.28

Cr

I)¡tos: (',, = S/ 2O O(X): / = -l lños: I = S/.15 H¡lhtrros cl tnonl() () citl)¡lol linrl: ('/ - 20 0()o + 15 16.1 = S/ 5.s 16.1

II¿¡llrnrrs

de interés.

y procedimientos

lt

S/ 26 460 por sus ahonos a plazo fijo en una institución financiera. Si dicha

institución le pagó el 7 ,83Vo de tasa de inteÉs anual durante 8 años, ¿cuá es el capital que depositó?

I

ls.')i'

@ Fernando depositó en un banco un capital de S/ l8 200 al0.357c de interés mensual. Si al culminar el plazo fijo recibió S/ 3 I 160,50 en total, ¿qué tiempo estuvo depositado el capital?

I

(, =S, lSl(X).(.=Si.ll ll)0.50 lir tilsil dt iltlcr(:s itnultl: r'={).15r1 ll =-1.1'., = 0.Oll lllrllirltto:

Hallanlos el capital inicial: c,, = 26 460( | + 0.078-r)-5 = S/ t4 476.8

I

El capital c¡ue depositri cs S/ I.1 476.8 I .

('irlcrrllrntos el tienr¡rrr ¡rerlirirr: ll l(,{) io

h'r

'=

I

1,,*,

ñ1rrr

lliiii+:,

>/=

l'l 0r0

rrirrrs

I

@ Nicolás depositó

depositado el dinero? Datos: C,, = S/ 52 375. r = 8.25o/o = 0.0825: I = Sl 12 564.72

@ Lucía pidió

a una institución financiera un préstamo de S/ 80 00O para cancefarlo en 84 meses. Si el monto total que debe pagar en el plazo determinado es de S/ 120 972, ¿cuál es la tasa de interés semestral que cobra dicha institución fi nanciera?

Hallamos el monto o capilal final:

C¡=52375 + 12564.12=St 64939.72 §

a

§ o

Calculamos el tiempo pedido:

^r(:w)t

logji+o-¡E

0.7115 ¡2=11.55 >lJnrcses 0.55 -10 = l(r.5 = l7 días Estuvo deposilario

I

Dak)s: C,, = S/ 8{) t)tx)l C, = S/ I 20 972

I

Hallamos el tiempo en años: I = 8¿l meses = 84 + l2 = 7 años

>r=2.7125años

rños. ll ntescs v I 7 días

Calculamos Ia tasa de interés anual:

,

=P-

r

>r=o.o6o9=6.09%

Hallarnos la tasa semestral:

6.09;2

La instilución t'inanciera cobra 3.045

UNIDAO

2

= 3.04.57 %,

5)

.

Resuelve situaciones problemáticas relacionadas con los elementos de la fórmula del interés con periodos de capitalización no anual. (1-4)

Es importante generar el conflicto cognitivo en los estudiantes para promover en ellos el análisis y la reflexión. Pregunte: ¿Qué es más

lnvítelos a revisar la fórmula y señale que "n" representa el número de partes en el que se divide un año comercial (periodos). Luego, proponga que revisen la sección "Ten en cuenta", donde se brinda información acerca de los per¡odos. Enfatice que el periodo de capitalización determina las unidades de la tasa y el tiempo, es dec¡r, si la capitalización es bimestral, entonces la tasa de interés r% y el tiempo "t" debe ser expresado también en bimestres.

Para desarrollar

0.{)7{) ll=O.S-1 >Onrcsrr O.ll-l .10 = 15.l = 15 rlri¡r l:.1ttrrr rlcPr¡sitlrLir¡ l.l ril,rr r l5 tlilr'. en una caja municipal un capital de Sl 52315 al8,25Vo deinteÉs anual. Si al finalizar el tiempo pactado, recibió un interés total de S/ 12 564,12, ¿cuánto tiempo estuvo

1 1

conven¡ente, una cap¡talización mensual o anual, si en ambos casos la tasa de interés es la misma? (Conviene la capitalización mensual, ya que en el Segundo mes el capital se ¡ncrementa con el interés ganado generando una mayor rentabilidad, m¡entras que, en el segundo caso, el incremento en el capital se produce recién a partir del segundo año). lnforme que se ha convenido en que el año comercial está compuesto por 360 días y que el mes comercial tiene 30 días.

tirsa hir¡rcslrirl: lii.(.).1 = 6 = -1.lil'ri

I)irl(rs;

Datos: C/ = S/ 26 460: I = 8 años: r=7.8..1% =0.07ti-3

14-

Para iniciar

Ijl luttcr¡ cotrrr uIn tir\ir l)ir]re\t|lrl tjcl -1.Sl9i

@ Camila recibió

1

Sugerencias didácticas

26-1

('llculr¡nils lr lasl dc ilrtcrris rnual. ,= rir/-55 l()J I >/=r).ls(rr

1;i,r,,ii

C,,

Usa estrategias

de S/ 20 000 para cancelarlo en 4 años. Si el interés total que debe pagar en el tiempo pactado es de S/ 35 264, ¿cuál es la tasa de interés bimestral que cobra dicho banco?

Lihro de activrdades (págs

Capacidades y desempeños prec¡sados

@ Manuel recibió de un banco un préstamo

David deposita S/ 2000 en un banco a una tasa de interés anual del 6,5Va aplazo fijo. Si retira su dinero al finalizar el sexto año, ¿cuánto gana

Datos: C,, = S/ 2000:

¡

'

senrestral

Sucesionesy progresiones

113

MotÍvelos para que evalúen el desanollo del ejemplo 58. Hágales notar que la capitalización es bimestral, por lo que el tiempo y la tasa deben estar expresados en bimestres. Pregunte: ¿Cuántos bimestres hay en 5 años? (30 bimestres). ¿Cuánto es el ¡nterés que ganó durante los cinco años? (Ganó 3 140 soles). En el ejemplo 59, destaque que el capital se va incrementando día a día porque su periodo de capitalización es diario. lnterrogue en el ejemplo 60 ¿Qué proced¡m¡ento se pudo obviar? ¿Por qué? (Transformar los meses a años: no es necesario este procedimiento porque la capitalización es mensual). lndique que para hallar el interés, se procede a restar al capital final el capital inicial. Revise con.iuntamente con los estudiantes el ejemplo 61. Explique que la fórmula del capital final se debe expresar en función del logaritmo. En la actividad 3, recuerde el procedimiento que se emplea para convertir el tiempo en meses y días. (Para los meses, se multipl¡ca por 12 y para los días se multipl¡ca por 30). Para la actividad 4, sugiera que despejen la tasa de interés y reemplacen en ella los datos.

N N o j

ci

i

'ó

)

E

E f o

p _o

Eo L

Para consolidar

a

I

e --

Enfatice indicando que la tasa de interés y el tiempo, en estos casos, deben estar expresados en la misma unidad. Para ello, se debe tomar como punto de referencia el periodo de capitalización.

a

c a

@

a

LIBRO DE ACT¡VIDADES

.

INIERÉS COMPUESfO

@ lnterés con periodos de capitalización

fl

no anual Posibles valores de tr El

año se divide

lf

Existen periodos de capitalización que no son anuales, sino diarios, mensuales, bimestrales o semestrales. En estos casos, la fórmuia de interés compuesto se expresa asÍ.

cr= co(l *

fi)'

orsnnnou-aruscAPACIDADES

', oonde fl es el número de periodos de t¡empo que hay en un añ0.

en...

t1

2

Cuatrimestres

3

EJEMPLO 58

mestres

4

Bimestres

6

Femando deposita S/ 12 500 en una institución ñnanciera a una tasa de inteés del 4,57o anual capitalizable bimestralmente. ¿Cuál sení el monto acumulado en 5 años?

DíaS

(año comerc¡al)

12

3ó0

. .

C, = S/ 5fi)0:

/ = 8 años; = 4 (u¡l año lieIe 4 trin)cslrcs) r = 5.21Q =0.0521

Hallamos el nlonk) o capital flnal:

Identificamos los datos: C" = S/ tZ 500; ¡ = 5 años r =4,57o =0,O45 n = 6 (un año tiene 6 bimestres)

c¡= 5om( r *

)t'

12

soo (l .0'0Js)' '=

EJEMPLO 59 Datos: C,, = S/ 1.1 (XX): / = 5 años: ,¡ = 360 (un año tiene 360 tlírs)

Identificamos los datos: C,, = S/ 26 400; f = 3 años

r =38,2Vo

.

c/=31

Aplicamos la fórmula del monto y resolvemos:

c¡= 26 4oo (r *

ffi)'''

Interés ganado: 82 993,01

-

4OO

@

Delermina el interés que gana una caja municipal en 42 meses por un préstamo de S/ 32 000 con un interés de 55,5?o anual capitalizable mensualmente.

pc

.

5

Ia o

.

f

p o &

7

l7 ,34

) I p q

I E

=213"¡7,34

-

32 UJO

= l8l

I)atos: C,, = S/ 135 (XX): I = l0 años: r¡ = 6 (un rño tiene 6 binrestrcs)

r = 4.8

%,

= 0.041i

7 l'7

,34

.

160/8000)

=3.6265+3años

Convertimos el tiempo en meses y días:

0,6265'

12 = 7,518

0,518' 30 =

+

15,54+

7 meses 16 días

Estuvo depositado 3 años,7 meses

y

16 días

('/=ti-s000(l.!f)"

r{)

=

l-17

I

§

e a

=

137 10.1,2.1

-

8.5

Resuelve.

@ Martha pidió

a una institución financiera un préstamo de S/ 30 000 para cancelarlo en 5 años. Si el interés total que debe pagar en el plazo determinado es de S/ I 20 450, ¿cuál es la tasa de interés anual capitalizable mensualmente que cobra dicha institución fi nanciera?

Datos: C,, = S/ 30 000; r = 5 añosl I = S/ 120 450 > C,= S/ 150 450 r¡ = l2 (un año tiene l2 meses) Despejanros la tasa de ¡nterés anual de la lór¡nula

y resolvemos:

cr=c,( r *

Hallamos el moDt() o capital final:

lg4.l.l

('alcrlamos el interés pedido:

a 114

I

I

El interés que gana la caja municipal es S/ 181 717,34.

o

@

*ff)'''

Interés ganado: 213

@

c a

Aplicamos la fórmula del monto y resolvemos:

cr=32ooo (r

s

§c

Identificamos los datos: C,, = S/ 32 000;, = 42 meses = 42 + 12 = 3,5 años r = 55,5Vo =0,555 n = 12 (un año tiene 12 meses)

César deposita un capital de S/ 85 000 en una institución financiera que paga 4,8 7o cle ínterés

anual capitalizable bimestralmente. Calcula el interés que ganará en l0 años.

EJEMPLO óO

.i

t

ooo(l*!l#)t"" =4et6i.i8

= 56 593,01

El interés que gana es S/ 56 593,0 I .

N N @ j

_ log(ll

=0.1175

Hl nrotrto total t¡ue cobrará es S/ 49 467.71i

= 82ee3,ot 26

log (CrlC,)

ntog(t+f,)

llallanxrs el nr(nlto o capital [in¿rl:

n = 360 (un año tiene 36O días)

=0,382

-.*r;n

a una

diariamente. Determina el monto total que cobrará en 5 años.

r =7,5t)l

Despejamos el tiempo de la fórmula y resolvemos:

c¡=c,( t +l)'t+t=

tasa de interés del7,5Vo anual capitalizable

Zuleika realiza un préstamo de S/ 26 400 de un banco que cobra 38,2Vo de interés anual capitalizable diariamente. Calcula el interés que gana durante 3 años.

Identificamos los datos: C., = S/ 8000; C¡=S/ tt 16Ol'r--9,25Vo =0,0925; n = 6 (un año tiene 6 bimestres).

.

= s+z:.c:

@ Sandra deposita S/ 34 000 en un banco

El monto acumulado es S/ l5 640,90.

.

.

El monto acumulado cs S/ 8472.92.

15 640,e0

-4

S/ 8000 al 9,25Vo de interés anual capitalizable bimestralmente. Si al culminar el tiempo pactado recibió un monto total de S/ I I 160, ¿cuánto tiempo estuvo depositado el capital?

Aplicamos la fórmula del monto final y resolvemos:

C¡=

1

Adriana depositó en un banco un capital de

[

o'oj2l

procedimientos:

) erruelo

Pedro deposita S/ 5600 en una caja municipal a una tasa de interés del 5,21a/o amal capitalizable trimestralmente. ¿,Cuál será el monto acumulado en 8 años?

Datos:

IVeSeS

Usa estrategias y

Resuelve los siguientes problemas:

Semestres

Tr

T

INTERÉS COMPUESTO

000 = 52 104.2.3

i)"'

-, = r"'|,/crtq, .= 12 (' tlalls- r)=o.rzor

t

r = i1.6()t)/¡

Ll

lir\ir d( irltcr(ij ¡ururl c\.11.69/;

IJI interés que ganar¿i Cés¿rr es de S/ -52 104,23.

@

UI{IDAD

2

Sucesionesyprogresiones

115

TEXTO ESCOLAR

lmpuesto a la renta lTextoescolar (pág

26)

lLibrodeactividades(págs.

116-118)

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrateg¡as y procedimientos

. .

ldentifica los diferentes tipos de impuestos. (1-7) Resuelve situaciones problemáticas reales relacionadas con los impuestos. (l-3; 8-12)

tmpuesto a la renta: De quinta categoría y pred¡al El impuesto a la renta (lR) afecta los ingresos de las personas, empresas y otras entidades legales. Para entender el significado del pago del lR, se deben tener en cLref ta los grLrpos tributarios involr-icrados. negocios, trabajadores rndependientes, trabalaclores en plan lla, etc

Para iniciar

I

I

lnafecto hasta 7

Motívelos a revisar la información sobre el impuesto a la renta (lR). Coménteles que todo contribuyente del impuesto a la renta (quinta categorÍa) tiene derecho a descontar de su renta bruta el importe de 7 UIT que no están gravados con el impuesto. Destaque que una UIT para el año 2016 ascendÍa a S/ 3950, además, pida que revisen el cuadro de la escala de impuestos que se presenta en el margen de la página 26. lnvítelos a dar lectura al texto referido al impuesto general a las ventas (lGV). Pregunte ¿Cuándo se paga el IGV? (Esle impuesto se paga cuando se realiza cualquier transacción comercial) ¿A cuánto asciende la tasa del IGV? (La tasa es del 18%). Luego, centre la atención en el impuesto predial, explÍqueles que son contribuyentes a este impuesto las personas naturales o 1urÍdicas que son propietarios de predios urbanos o rústicos.

lmpuesto de quinta cateSoía

cuadro de escala de impuestos (para el caso de rentas ¡mponibles)

Sugerencias didácticas

ulf

Escala de

TASA

¡mpuestos

IR

Hasta 5 UIT

8%

l5u1 20url

140k

urT-3s

120

I

Este impuesto lo pagan las personas cuyos ingresos provienen dei trabajo personal prestado en relación de dependencia (sueldos, salarios, gratificaciones, vacaciones). Es retenido mensualmente en las remuneraciones por el empleador.

l3surT-4surfl

20%

Más de 45 trlT

30%

I

En la actual¡dad, el

impuesto general a las ventas (lGV) en el Perú tiene una tasa de 18%.

Concluya señalando que todos pagamos el IGV y esto se da cada vez que adquirimos algún producto, desde un caramelo hasta un automóvil. Asimismo, enfatice que el impuesto a la renta y el impuesto predial se calculan por tramos y el monto final del impuesto se halla sumando los resultados parciales obtenidos en cada tramo. Proponga que resuelvan la siguiente situación: Carmen pagó S/ 1240 por una refrigeradora y S/ 1120 por una lavadora. Si los precios incluyen el IGV halla elmonto que pagó por impuestos. (S/ 360)

+ S/

80O

= S/ 26 000 se aplica

el IR de

Este tributo grava el valor de los pred¡os urbanos y rústicos basado en su autovalÚo. Para calcularlq se aplica la escala progresiva acumulativa del margen.

) Escala progresiva acumulat¡va

AlÍcuota

EJEMPLo 12

El valor total de un predio es de S/ 280 000. ¿Cuánto predial al año por dicho predio?

.

Primertramo: Segundo tramo:

59250.O,2Vo = 118,50 237

OOO

-

59 250 = 1'77 750 = 1066,50

177 75O.O,6Va

1.0%

Tercer

tramo:

280 000 43

,.ÜF

se pagará de impuesto

Calculamos el valor del impuesto en cada tramo:

0,2%

Para las actividades 1 ala7, propóngales que intercambien sus justificaciones de por qué afirmar la verdad o falsedad de las proposiciones dadas y de ser necesario que refuten las afirmaciones de sus compañeros. En la actividad 8, indíqueles que determinen el ingreso anual y si el monto resulta mayor que 7 UlT, deben calcular el impuesto sobre la diferencia, mientras que, en la actividad 9, sugiera que expresen la tasa del IGV como decimal y que lo multipliquen por el precio, de esa manera, establecerán el monto a pagar por el IGV

14

lmpuesto predial

TEN EN CUENTA

.

-

237 000 = 43 000

000' 1.0% = 430

Sumamos: 118,50+ 1066,50+430= 1615

Se pagará un impuesto predial de S/ 1615 al año.

Págs.

ff

rI6-118

orsannorrarus

Usa estrategias y procedrm¡entos: 1-3

cAPAcTDADES

g 8

f|

Para consolidar

I

El ingreso bruto anual es: S/ l80O'

Como el ingreso bruto anual es menor a 7 UIT (S/ 27 650), no quinta categoría. Por lo tanto, no habrá retención.

La ulT (unidad irnposrtiva

impuesto por tramos, según la escala establecida).

I

.

tributaria) para e año 201ó es s/ 3950.

Tramo de

-

Luz tiene un sueldo bruto mensual de Si I 800. Adernás, recibe dos gratificaciones anuales de S/ I 800 y un monto de Si 800 por concepto de utilidades. ¿Cuánto será la retención del IR al finalizar el año?

urT l

Para desarrollar Sugiera que elaboren una tabla estableciendo los rangos de las tasas del impuesto a la renta en soles. En el ejemplo 62, resalte que todo trabajador recibe 14 sueldos anualmente, de los cuales dos de ellos conesponden a las gratificaciones, Luego, solicite que revisen el ejemplo 63 y pida que expliquen la estrategia aplicada. (En primer lugar, se calcula el ingreso anual, luego, se descuenta 7 UIT que no están afectados del impuesto. Después, se calcula el

EJEMPLO 11

Pedro tiene un sueldo bruto mensual de S/ 1900. Además, recibe dos gratificaciones anuales de S/ I 900 por Fiestas Patrias y Navidad. Si este año le han pagado S/ 1000 por concepto de utilidades. ,¡,1ilÍ1,,r.,.ff...:l,lL:; ¿,cuánto será la retención del

*

26

@ El valor total de un terreno

en una zona urbana es

de S/ 362 000. ¿Cuánto se pagará de impuesto predial al año por dicho predio? S'll.r5

E

de una loptop sin IGV es de S/ 2800. ¿Cuál es el precio con el IGV? s .r.r0l

g

@ El precio

I

3 0

a

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

IMPUESTO A

tA

RENTA

IMPUESIO A LA RENTA

@ lmpuesto a la renta

'

lmpuesto general a las ventas (lcv)

ffi

el impuesto que se aplica en las operaciones de venta e importación de bienes, asÍ como en la prestación de distintos servicios comerciales, en los contratos de construcción o en la primera venta de inmuebles. En la actualidad, en el perú se aplica ia tasa del t8%. Es

A partir de 201ó, el impuesto a la renta cuadro de escala de impuestos tnafecto hasta 7

ull Tasa

impuestos

IR

Hasta 5 LllT

8%

5 UIT > 20 UIT

1404

ulf

EJEMPLO ó4 a) Cuando el precio no incluye el IGV.

(5.¿ categoría).

Escala de

> 35 utT

17%

35 UtT > 45 UtT

20%

> 45 UtT

30./"

20

(lR) lo pagan todas las personas cuyos ingresos anuales sean mayores a s/ 27 ó50 (equivalente a 7 utl). Estos angresos pueden provenir de rentas por alquileres (1.á categoría), ganancias de valores mobil¡arios (2.a categoría) e ¡ngresos profes¡onales obtenidos de forma independiente (4.a categoría) o de manera depend¡ente

UIT (unidad impositiva

tributaria) = s/ 3950

El precio de un televisor sin IGV es de S/ 4900. Calcula el IGV que

se

debe pagar.

lmpuesto de quinta categoía

.

Este impuesto lo pagan las personas cuyos ¡ngresos provienen del trabajo personal prestado en relación de dependencia (sueldos, salar¡os, gratiflcaciones. vacaciones). El ¡mpuesto a la renta de quinta categorÍa es retenido mensualmente por el empleador sobre las remunerac¡ones que abonen.

Hallamos el IGV: IGV = 4900. 0,18 = 882 El IGV es S/ 882.

b) Cuando el precio incluye el lGV.

EJEMPLO ó2

En una tienda de electrodomésticos, una tableta se vende a S/ 2100 incluido el IGV. Calcula dicho impuesto.

Raúl tiene un sueldo bruto mensual de S/ 1890. Además, recibe dos gratificaciones anuales de S/ 1890 por Fiestas Patrias y fiestas navideñas. Si en dicho año recibe S/ 1000 por concepto de utilidades, ¿cuánto será la retención del impuesto a la renta al finalizar el año?

.

.

Obtenemos el IGV utilizando la regla de tres simple directa:

ttSvo lSVa -

El ingreso bruto anual es: 1890 .

14 + l00O = Sl 27 46o.Como el ingreso bruto anual es menor a 7 UIT (7 . 3950 = S/ 27 650), no se aplica el IR de

2100

,

r

,_18Vo.2100 =1)n1¿. llS%o

El IGV es Sl 320,34.

quinta categoría. Por lo tanto, no habrá retención.

IMPORTANTE Todo contribuyente del impuesto a la renta (cuarta o quinta categoria) tiene derecho a deducir de su renta bruta el importe de 7 utl que no está gravado con el impuesto.

lmpuesto pred¡al Este tributo grava el valor de los predios urbanos y rústicos sobre la base de su autovalúo. Se cons¡deran pred¡os a los terrenos, las edificaciones (casas. edificios, etcétera) e instalaciones fijas y permanentes (piscina, losa, etcétera). para calcularlq se apl¡ca la siguiente escala

EJEMPLO ó3

. .

N N @ j CJ

'

4100 + 3mO = S/

60400

'ó

Tot¿i de

rfsresos

ñO - 27 650 = S/ 32 750
dn = n2

-

1

sucesión convergente: El límite es un valor conocido. Sucesión divergente: El límite es infinito.

Seles y sumatorias

" Sumatoria:»

.

ak = At + Az+ Az+ ... + An

¡=l

Sumatorias notables:

-,É,.-n(u+ll

t

".É"-¿(r+1X2tr+l)

",Éo= l'@tD)'

*=t

fur¡=l0vr¡=

124

s lo (lx)

@ La financiera Sol de Oro le otorga a un comerciante un préstamo de S/ 10 000 a una tasa de interés anual del 357a capitalizable mensualmente. La financiera Lucerito del

Realiza procedimientos para determinar el cap¡tal inicial, capital final, la tasa de interés y el tiempo en

En la situación 3, resalte que la tasa de interés anual y la devoluciÓn del capital que representa el tiempo están expresadas en meses y eso impl¡ca que deben pasar el tiempo a años (6 rTleses = 1/z año). Destaque que si el exponente de un número es una fracción, significa que deben extraerle la raíL. Para la situación 4, propóngales que transformen la tasa de interés mensual a una tasa anual, multiplicando por el nÚmero de meses que contiene un año (3% ' 12 = 36'/,) y, luego, que apliquen la fórmula del capital final para calcular el monto que se devolverá a la financiera. Pregunte: ¿Cómo se calcula et interés? (Restando al capital final el capital inicial).

Pago de deudas

[t

o

I

quedará en el fósil despues de 57 300 años ( 10 periodos de 5730 años)? 0.t95 r)ricr()grrrln)s

Sueldo de un empleado

Examina propuestas de modelos de interés y comparaciÓn de porcentaje que ¡nvolucran hacer predicciones. (2-5)

En la primera situación, haga notar que la tasa de interés está expresada trimestralmente, por lo tanto, deben convertirla a un periodo anual. Para ello, sugiera que lo multipliquen por 4, ya que en un año hay cuatro tr¡mestres. Recuerde la fórmula para hallar el capital final "C¡ = C0 (l + r)t", y afirme que, para calcular el monto del interés, se debe restar al capital final el capital inicial. En la situación 2, hágales notar que se trata de un préstamo, por lo tanto, se debe elegir la financiera que ofrece la menor tasa de interés.

;

...,y así sucesivamente. ¿Qué cantidad de C14

.

I

5730 años, obteniendo el siguiente contenido

+

50 000 = C,(1,005)2a C,,= tt,359,29 Para alcanzar la meta. debió deposilar S/ ¿l4 359,28

Tenga en consideración para evaluar las siguientes capacidades e indicadores usados en el marco PISA. Matematiza situaciones

carbono 14

Cr = '10 0000 ( I.(X)5)rr c/ = lo oooo ( 1.1 27 1 6)

de actividades (pá9. 125)

I p € e

!

o

(.) Corresponden a las capacidades matemáticas fundamentales usadas en el marco PISA. 20'l5.pdf http://recursos.perueduca.pe/seclmagenes/competencia-matemat¡ca

Éf

Iq o f

p _o =

§ a

@

TEXTO ESCOLAR

EVALUACIÓN

a

EVALUACIONES NACIONALES E INTERNACIONALES Comunica:1-2 Traducedatosycond¡ciones:3-ó Usestrateg¡asyprocedimientos:7-15 Argumentaafirmacions:1ó-20

,StlfU

Analiza y resuelve. Sea

ff

Si {a,,} =

{a,,} =

2".

¿","r-

{#,

CalcuJa

a, + arr.

ina 3la,o

{l;7:

l9r37:,..} lll-

}¡+ I

@ {2: l0r29',59:...)t} -

,,'-!,, +5

{;,1't'#, }f* l1/ sea {a,} = (-t), 2" -1, lb,\ = fi I 1",} = #. Analiza y resuelve.

o {+,*,+'+' },,.

@

.

Si {d,} = an+ cny {e,,} = c,- d,,halla la suma de los dos primeros términos de {e,}.

-l

@ si 141 = a,' b, y {e,,} = c, + b,' calcula el valor M = d¿ +

es

-

de

2c6. Bt4g/256

Calcula el resultado de las siguientes Jumas.

6 El

Ett'+

2)

e / -,

ror

@

58r/]5ro

Resuelve.

@ Si

y

sabeque I + 3 +5 +7 + ... +a=2809 + 22 + 32 + 42 + ... + b2 = 42 925, determina el

se 12

valordea-á.55 @

lB

+ 23 + 33 + 43 + ... + ./ = 2'78 784 y 2 +2' 3 + 3. 4+ ... + y. z-- 39 20O. Determina el valor de.r + y - z. -l I Se cumple

que:

13

l.

Sea

{2; 7; 16;29i 46; ... ; 4006} una

o

credicash fasa de interés anual de 3ó,33570.

ci

h I ¿Cuántos términos tiene la

Sea

{4; 8t 16',32',64;

@ Diana depositó un capital de S/

* I

80 000

en una

empresa

...

PA?

45

} una PG.

Calcula la suma de los 40 primeros términos de la progresión geométrica. lrr - 4

_o

o

&

@ Si el término general

§ .F c

@

de una progresión aritmética

'

-

de segundo orden tiene la forma a,, (3n l)2 + 6n, calcula la suma de los 90 primeros términos.2 223 675

a c

l6

la

87 trinrestrill es er¡uivalcnte al 327 arual. Por rlttrr: C,, = S/ 20 (XX); r - 321,, y t = 1 tño C¡=C,,(

37 rrrcnsual es eqrivalcnte al J67, anual. Por da«r: (1,, = S/ 20 000; r'= 367r, y I = 3 años Cr=C',,( l+r)' El

l+¡)'

c,=10(xx) (l +0.3?)l

C¡=l000(l(I +0.16)'

Ct) = 26;11¡1¡ > I = 16 400 20 000 = 6,100 Otiece cobrar S/ 64(X) dc intcrés.

C¡ = 50 -109.1

l

I = 50 109.I2 - 20 0(X) = ilO 109.I2 El interers ¡scicnde a S/ l0 -l()9- 12.

.l años y 6 nrcses

i'!.r,turltir

químico-farmacéutica. Por acuerdo con la empresa, desde el año pasado su sueldo bruto mensual se ha ¿En qué financiera le convendrla solicrtar en Rapisoles o Supercash?

incrementado a S/ 3500. Además, recibe dos gratificaciones anuales de S/ 3500 por Fiestas Patrias y por Navidad. Si este año recibe S/ 1500 por concepto de utilidades, ¿cuánto será la retención del impuesto a la renta al finalizar el año?

@ Camila compró una casa de dos pisos

e

préstamo:

urbana valorizada en S/ 780 000. ¿Cuánto de impuesto predial al año? S/ 661.5

',

Adrián hace la siguiente consulta a la financiera Supercash: "Si quiero pagar por concepto de interés el 10% del préstamq ¿en cuánto tiempo debo financiarlo?".

I=

Hallamt¡s cl i¡terés e¡ Supcrcash: El i% ntensurl es equivalentc al -16% anurl. Pordato: C,, = S/ 20 0(X); r = 36rlo y ¡ = | ¡¡q

",f'r'rg'á"* se pagará

lo(l(20(X)0)=2000

C/=C,,(l+r)' 22

000 = 20(xx). ( I +0.36)'I

C¡=C,,(l+r)' cr=200(x).0 +0.36)l

l.l = 1..¡rr' , r=

Ct=27 2(tO > I = 27 200 -

Debe fin¡nci¡rlo en 3 nrescs y 22 días.

20 000 = 72(X) Le conviene en Rapisoles porque se paga nrcnus interés.

¿Cuánto más revisé sitios de internet para complementar lo que aprendí en clase? ¿Cuánto más sé ahora sobre sucesiones?¿Comprendí el significado de las fórmulas o las escribl sin reflexionar?

É

Recuerda que si nos esfozamos un poco más en intentar resolver los problemas, hoy podemos lograrlo.

Pr

Adr¡án se decjde por la financ¡era Credicash y se compromete a cancelar el préstamo en seis meses, ¿cuánto de interés paSaría? Si

METACOGNICIÓN

¿Qué herramientas tecnoló8icas utilicé para comprobar m¡ aprendizaje?

o

p

existiera ia posibilidad de financiar el préstamo en financiera Supercash durante un periodo de 3 años, ¿a cuánto ascendería el interés?

Si

El

t'

¿Qué temas cornprendi con más facilidad? ¿En cuáles tuve dificu tades?¿Cómo las superé?

a) Determina el término cincuenta. 25i ir r

Pregunl¿r 4

1

¿Cuál es el interás anual que le cobraría la f¡nanciera Rapisoles?

institución financiera a una tasa de interés"nll'lll anual del4,9Vo. Si produjo un interés total de S/ 32 786, ¿cuánto tiempo estuvo depositado el dinero?

- a+I

f

f

de tasa de interés mensual.

Pregunta 3

a) Halla la fórmula del término general. 2r¡r

(B

de tasa de interés tnmestral.

3olo

.lt'8'.1'.1,' =o.-,¡1, } loEl ( l.-{ñ

PA de segundo

N @ j

oo

87o

Pregunta

orden.

¿ :9

Rapisoles Supercash

)l

En un círculo de'10 cm de radio se inscribe un cuadrado; luego, en este cuadrado, se inscribe un círculo; en este círculo, otro cuadrado, y así sucesivamente. Si S, es la suma infinita de las áreas de los círculos, y S, es la suma infinita de las áreas de los cuadrados, calcula el valor de S, + Sr.

@ Alejandro trabaja

\

», [¡fiJqs

(!

I

Adrián es comerciante y neces¡ta S/ 20 000 para ampliar su negoc¡o. por ese motivq ha decid¡do sol¡c¡tar un préstamo para pagarlo en un añ0. Las propuestas que t¡ene son las siguientes:

§

?.

6lorn -300

-

s

fr i. @ Una bacteria se reproduce según una ley geométrica: el primer día nacen 2; el segundo, 4; e[ tercero, 8; el cuarto, 16, y así sucesivamente. Si cierto día nacen I 048 576. halla la suma de los dígitos del total de bacterias que hay hasta ese día.

1792

Pré§tamo bancario

¡+¿

*s"

Resuelve los siguientes problemas:

(-lf * l'

HaIIa el término general de cada sucesión.

A

Tipo PISA

Desarrolla las actividades. Luego, intercambia tu cuaderno con un compañero(a) y revisa sus soluciones,

O

@

u¿

LIBRO DE ACTIVIDADES

e

á I 4

3

€

z

Pordarrr:(,.=S 1000{r¡ I=tr mcses= I C,=C. tl+tr' Ct = 20 0oo'

(

l-_¡= -_ )1 1§) §) '-'_-

I + 0,363-15)l

I = 23 352.52 - 20 000 = 3351.52 Pagaría S/ ..1-5:,51.

ll

@

¿,

EI 16.3.35 7, anual = 0.36135

I

=

ekxntir

Adrián evalúa su economía y dec¡de buscar una mejor opción. Si ahora qu¡ere cancelar el préstamo en 2 años y con solo S/ 5000 de interés, ¿cuál sería la tasa de interés anual que podria pagar?

ario

C¡=C,,(l+r)' 2looo=20ooo(t+r)r 1,25=(l+r)r t/ =v{¿5 - I =0.1t80 r = ll.8'k¡

La tasa rle interés anu¡l que podría pagar cs del I 1.8%

s a o LrNlDAD

2

Suces ones y progresiones

125

t

lntroducción a la programación lineal RECURSOS

PRESENTnc¡óru

B.

Esta unidad tiene como objetivo consolidar una parte importante del álgebra, ya que resume las estrategias para resolver situaciones del entorno relacionadas con la dependencia de dos magnitudes. Asimismo, inicia el tratamiento de la programación lineal, que es una técnica matemática útil para aprovechar al máximo los beneficios (ganancias) o reducir al

Biblioteca del docente Día a día en el aula (págs. 146-177)

mínimo los perjuicios (pérdidas), lo cual constituye un principio básico en las actividades de carácter económico.

#lSant¡llana Dioital p

fT ESQUEMA

S""r"ncia digital: lnecuaciones

O

Para empezar Breve introducción al tema

O

¿Qué aprenderé?

Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante lo que sé Actividad interactiva: Saberes previos sobre inecuaciones

O Compruebo

lntroducción a la programación lineal

O

Sistema de ecuaciones

Sistema de inecuaciones

Sistema de dos ecuaciones lineales

Sistema de inecuaciones lineales

Programación lineal

Sistema de ecuaciones lineales con parámetros

lntroducción a la programación lineal

Represento gráficamente una inecuación

Video: Procedimiento para representar gráficamente

B

una inecuación

O

Determinación de la región factible

Método gráfico

Animación: Resolución de un sistema de inecuaciones lineales

Determinación de la solución óptima

Sistema de tres ecuaciones lineales

El laboratorio

Tipos de soluciones

O

Represento la solución de un sistema de inecuaciones

Video: Procedimiento para representar gráficamente la solución de un sistema de inecuaciones

O Aplico programación lineal en problemas de transporte Procedimiento para resolver problemas de transporte

I Uso de sofrware matemático: PHP Simplex

Estrategia para resolver problemas:

Razonamiento matemático:

Comparación y suficiencia de datos

Hacer una tabla

Ficha de orientación didáctica:

Actividades ¡ntegradas,

Situación didáctica de Brousseau

prueba tipo PISA

deBly

Síntesis, recursos en la web y heteroevaluación

Actividad interactiva: Aplicación de los temas desarrollados en una situación cotidiana

Solucionario de las actividades

!

E

Solo Libro de actividades

c :9

e a

E o o

:

Actividad interactiva: Evaluación interactiva

po

Para finalizar

L

Actividad interactiva: I\/etacognición

sc a c

§ I

Solo Texto escolar

Compruebo mis conocimientos

O

Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útlles para afrontar situaciones de contexto real. Texto escolar y Libro de actividades

Aplicamos lo aprendido

N N o j i

c ao

LibroMedia

r

Texto

escolar

r

Libro de actividades

@

PROGRAMACIÓN Competencias Resuelve problemas de

Desempeños o Traduce datos, valores desconocidos, regularidades, condiciones de equivalencia o variación entre magnitudes; con la regla de formación de una progresión geométrica, un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, inecuaciones (ax+ b < cx + d, ax + b >cx + d,

regularidad, equivalencia y cambio

ax+b 5rri,¡r.l(r l'\ .'=- r lltrr-ti=2l Il l0ll .lo.).,',,r,,,, (.s.={x:'t I+¿l+-i 4r/+ )/

Método de igualación

r: ):

P

el sistema tiene solución?

¿,Con qué valores de a

tr

Sean

r

r-T-'

3x

{'24 - 2!Q-}

n.' de boletos de tribunt popular r': n.'de bolctos de tribuna tlc'tlccidente 25.r + I l0.r = ]90 0(X)... Plantc'altos: .r:

l r ' '0\'-1 l v 2 lr |.3 l0 3

En el estacionamiento hay 80 autos y 40 motos.

Planteam¡ento

tti =]

l,-:'=-+-

Analiza el parámetro del siguiente sistema y responde:

Resolvemos por el método de sustitución: -r = 280

/)

El sislcnlir Q cs ec¡uivrlcnlc

Planteamos el problema en el margen.

r en la ecuación O:

se venden las entradas de tribuna popular a S/ 25 y las de occidente a S/ 120. En un pafido, se vendieron 8000 boletos entre las tribunas popular y occidente, y se recaudaron S/ 390 000. ¿,Curíntos boletos de cada tribuna se vendieron?

El En un estadio,

[5.-1,,,=-]0(=5) > (), ] t,

el estacionamiento?

Despejamos

Un USts cuesta S/ 18.

2.r+

'

- l0r = -20 ... : f I s. p,]tr+.1r=14(x

En un estacionamiento, el triple del número de autos más el número de motos es 280. Si la diferencia entre la mitad del número de autos y la cuafa parte del número de motos es igual a 30, ¿cuántos autos y motos hay en

. .

I -{ p: ) ix [ 5.r

EJEMPLO ó autos

l.r'=4+.1=l lO =z16 +.r = ltl

En q):

-! ... + :r'= ¡¿

Lr+5r'=46...1r, + l2_r = t)6. .Le

¿1.r

)Mcto.k,tllo\-r-ss io o>s37.s

-l

Pl¡nte¿rmos el sistema

65

Multiplicamos la segunda fila por 0.5 para luego sumarla con la tercera ñla y reemplazar el resultado.

§ 3

p € I

s

-

El sistema de forma escalonada: De la ecuación

(O. obtenemos: z

Reemplazamos el valor de z en Reemplazamos el valor de z

yy

)

@:'2y - z = -55 + y = )Q en Gr: -t +-v + z=6O + x=25

x-zt'

2O

¿*|.f

=

f | [-

a

ll: I6r

El

gaseosas,

1."

result¿rdo

¿Cuál es el sistema de forma escalonada?

se suma

con la 2." fi1a.

se suma con la 3." lila.

l-i

f

I

i

+

5

ie¿ol

t

0

lila

Multiplicamos la 1." fila por -l . Luego. el resultado

-l:=3

I0:=

ro

i'ql

i t t

0 0

,ru-l

I

I

I

4

0

I

i'ql

t

, lzol

4 0

i rool

I I

-l

i

i t60t

i-*l

irzo-l tll i rool 014 lrr 3 'fila 004 i 'rq] l)e liil dcl sisterra eseakrn«hr: 4: = l0 + : = l0 I)c r2): r, + 4: = 160 +r' + 4(30) = l(l) +-v = 40 l)c rr'.r+,r + : = 120 +.r + 40 +.10 = Il0+.r= -50 Sr¡marnos Ia

2.'fila

con

.

=5

I

4{0,25(25) + 0,2s(20) + 1(1s)} = l2s

I

y l5 cajas grandes.

lay 50 botellas dc gaseosr.

.1O

Marcela es

l6

años menos que la edad de Fernanda. una. \': I i. \l: I l. l : 15

Determina la edad de cada

O

La suma de tres números es 246. Si a la mitad del menor se le agrega Ia tercera parte del mediano y la mitad del mayor, la suma es 109. Asimismo, el mayor excede en 6 unidades a la mitad de la suma del mediano y el menor. ¿Cuáles son esos números? 76: ll4 y 116

tlc' agua y. -30 de aceitc.

f,) Un granjero tiene I l0 animales. De estos, l/8 del número de gallinas más l/9 del nÍrmero de cerdos. más l/5 del número de pavos equivalen a l5 animales. Además, la suma del número de gallinas con el de pavos es 65. ¿Cuántos animales de cada clase posee el granjero? (i: 40: (':'1-5: P: 2.5

N N @ j

(E Determina el año en el que falleció Johann Carl Friedrich Gauss, el notable matemático, si se da como dato que la primera cifra es I y que en las tres restantes se cumple: cinco veces Ia cifra de las unidades, más diez veces la cifra de las decenas, menos cinco veces la de las centenas es 35. También. la cifra de las unidades menos la cifra de las decenas. más cinco veces la de las centenas es igual a 4O. Además, el doble de la cifra de las centenas menos la de las unidades, más el doble de la de las decenas es

e

l0

Si al doble de la edad de Verónica se le suma la edad de Marcela, se obtiene la edad de Fernanda aumentada en l7 años. Además, si a la tercera parte de la edad de Marcela se le suma el doble de Ia edad de Fernanda. se obtiene la edad de Verónica aumentada en 39 años. Por último, se tiene que la tercera parte de la suma de las edades de Verónica y

rzo--l

unil nriltliz lriangular:

por 4. Luego, el

El precio del kilogramo de bombones es S/ 4 y el impofe total de los bombones envolsados de bombones es Si 125:

Se envasaron 25 cajas pequeñas,20 cajas medianas

120

Multiplicamos la

e f-_ .++

-

.r+,r+:=

matriz \i\l( nl¡r c(lr¿r(i.ttes:

'llanslbrmanlts

tz=s

.r-lr'

15 = 6O

Hay 5 cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano- 25

=o

C.s.={(l0r12;6)}

[-zr*y*ez=-a

il,r+

+

(le

[3r+2y+;=-5

15

Se envasan en total 60 cajas: 25 + 20

y-x z=)- +- 2t

irurDcntrdt del

sea el sistema:

Comprobamos:

-

,-+-zlY

t.lscrihir¡os la

V

-2y-z=-55...@ (3) ,§,=17§ =

como los que aprobaron Comunicación. ¿Cuántos estudiantes aprobaron solo Matemática? ¿Cuántos solo Comunicación?¿Y cuántos solo Religión?

=r

,r+:=80

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

r+)+¿=60...6)

-

-5)}

: :t¡ttir..': it rile

60

1

ro*f

5:

agua y aceite. La décima parte del número de botellas de gaseosas más la octava parte del número de botellas de agua, más la quinta parte del número de botellas de aceite equivalen a !6. Si la suma de botellas de aceite y de gaseosas es 80, ¿cuántas botellas de cada tipo hay?

60-l

Multiplicamos la primera fila por para luego sumarla con la tercera fila y reemplazar el resultado.

{( l:

Gl En una bodega, hay I 20 botellas entre

60-l

fr. l l > o\-r -ss Ll 2 '4. tzs

Multiplicamos la primera fila por -l para luego sumarla con la segunda fila y reemplazar el resultado.

]

S=

de

revisar los resultados obtenidos en Matemática, Comunicación y Religión, se notó que todos aprobaron un solo curso. Los que aprobaron solo Matemática más cuatro estudiantes son tantos como los que aprobaron Comunicación, y los que aprobaron Religión menos cuatro son tantos

Resuelve usando el método de Gauss.

I l 2 -{l2L

x+2y+42=125

t

C.S.={(l:-l:2)}

4(0.25r + 0,5y + z) = 125

Resolvemos el sistema de ecuaciones. Utilizamos el método más apropiado.

x+y+z=6O

.

[á.,-á=-if

GaUSS,

I

l -'

c'.

É.1.i=? o li-i..=# o

Así obtendrás informaciÓn sobre la vida y obra de

I

(250 g) que de tamaño mediano (500

[3x+2y+5¿=-5 ('. §. = {( 3; 2:0)}

ENLACE WEB

Gl En un salón de 5." hay 48 estudiantes. Luego

!;,-!-,, " {irii [3x-+y+32=-44

o[Tr:?,:',:=-:^

Planteamos las ecuaciones y formamos el sistema: un total de

Usa estrategias y procedim¡entos: 1-'10

cAPACTDADES

Resuetve los siguientes sistemas de tres ecuaciones empleando el método de Gauss:

Comprendemos el enunciado: Representamos con f, ) y Z el número de cajas de tamaño pequeño (250 g), mediano (500 g) y grande (10O0 g), respectivamente.

Hay3tamañosdecajasquehacen Í

orsannou-nrus

21. lx55

ci ñ j

ó q E

E

¿

:9 l

E o o

-

§

po _! E oI

3 o

a

-E

E

3

@

§c UNIDAD

3

lntroducciÓn a la programación lineal

135

13ó

c o a @

3

TEXTO ESCOLAR

Sistema de inecuaciones lineales lTexto

escolar (pá9.

32)

I

Libro de actividades (págs 137-139)

Sistema de inecuaciones lineales

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedrmientos Traduce datos y condiciones

.

Representa gráficamente inecuaciones en el plano cartesiano. (1-6; 1-2)

. .

Los matemáticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas fórmulas exactas no pueden ser fácilmente computadas. En la toma de decisiones de una empresa es en donde t¡enen su aplicación directa, ya que se deben obtener resultados dentro de un intervalo de productividad.

Determina la solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas, (7-12:3-a)

hecuación l¡neal con dos incógn¡tas

Examina propuestas de modelos para reproducir sistemas de inecuaciones a partir de un gráfico, (5-6)

una inecuaclón lineal con dos incógnitas es cualquier desiguaidad. Por ejernplo: 2x + y -10

EJEMPLO 4

Sugerencias didácticas

Representa gráficamente la inecuación 6x + 2y < 4

I

Fije Ia atención de los estudiantes en la definición de inecuación lineal que se presenta al inicio de la página. Enfatice que hay cuatro posibles formas de representar una inecuación lineal con dos incógnitas, las que variarán de acuerdo con la desigualdad (, ) que se emplee. Su solución estará conformada por un conjunto de pares ordenados que pertenecen al producto cartesiano lR2; es decir, será una porción del plano.

.

Y

Para iniciar

Hallamos la ecuación de la recta asociada a la inecuación: 6x + 2y < 4

2

x

. .

+

)=

!¿

2y = -$1¡ a

!a

y = -3x + 2

3x + 2 y determinamos los semiplanos.

Como Ia recta no pasa por el origen de coordenadas, escogemos el punto (0; 0) y verificamos si cumple con la inecuación 6x + 2y < 4'. 6(0) + 2(0) < 4

6x+2ys4

6x + 2y =

Trazamos la recta

+

0 < 4 es verdadero. Entonces, (0; 0) es solución.

La representación gráfica de 6x + 2y < 4 incluye la recta y el semiplano que contiene al punto (0; 0), tal como se muestra en la gráfica del margen.

Para desarrollar

I

N @ I

ci ¿ .o 6 a D

I

e o o

p

s

(

o

a c -a

c a @

Revise con los estudiantes el desarrollo de los ejemplos 13 y 14, que servirán de soporte para desarrollar las actividades 1 a la 6 del texto escolar y las actividades 1 y 2 de libro de trabajo. Hágales notar que la resolución de la inecuación se realiza mediante una representación gráfica y, para ello, deben transformar la inecuación en una ecuación lineal. Luego se despeja la variable y obteniendo la ecuación de una recta (denominada recta asociada), la cual se grafica a partir del conocimiento de dos puntos. Esta recta divide el plano en dos regiones (semiplanos) uno a cada lado de la recta, por ello se le conoce como Ia frontera. Explique que si la inecuación es de la formaf(x fi > 0 o f(x; y) > O lasolución está por debajo de la frontera y si se diera el caso Oe f (x: y) < 0 o/(x; y) < 0, la solución está por encima de la frontera. Remarque que si la inecuación presenta la forma x> ao x> a, la solución está a la derecha de lafrontera (x= a) y si fuera de la forma x < ao x < a, la solución se encuentra a la izquierda.

Sistema de ¡necuac¡ones lineales con dos incógnitas Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la reun ón de dos o más inecuaclones

o

(2; l) 2

2x- y>2.

2x+y5

{ x-3y>-2 {4x+3y 5

Representamos gráficamente la solución de la inecuación obtenemos el semiplano .t'.

¡

+ 2y > 4 y

Representamos gráficamente la solución de la inecuación 2r + obtenemos el semiplano €.

La intersección de

orsnnnou-aruscAPACIDADEs

it-r

)

>5y

y O es la solución del sistema (figura del margen).

Comunica

1-ó

Usa estrategias y

procedimientos: 7'12 a

Representa gráficamente las siguientes inecuaciones,

Representa gráficamente la solución de los siguientes sistemas de inccuacioncs.

§! 2, +y > 2

. -r-2_y>3;3r+41' 4 es el semiplano @ incluidos los puntos I\ delarecta)=¡-4.

-l

-l Figura

(314)x

3

y determinamos

,1 ./ l, ;iI \,/,,'/

Y

,f

2

=3

lossemiplanos@y@. É

p !

E

.

-a-tÍ

Escogemos el punto A(-5;0) perteneciente al semiplano O, y verificamos que sí cumple con la inecuación 3x + 4y < -8l

3(-5) + 4(0) < -8

+ -l 5 + 0 < -8 +

-15 < -8

t2

-) -t

-1

-2

es verdadera.

I La intersección de los tres semiplanos I , 3 y ir es la solución se muestfa en el margen (región triangular) |\_ "o-o

La representación gráfica de 3x + 4y < -8 es el semiplano O. Ver margen. I UNIDAD

3 lntroducción

"

x

a---.----)----4 \)l

-t

N N @ j

-y>Iy

./t

-tx

/-z

I

2 l ,,

del sistema tal

d :9 f E

o

)

!

E

€

c a c

§

a la programación lineal

131

138

c @ a

o

E

LIBRO DE ACTIVIDADES

SISTEMA DE INECUAC¡ONES LINEALES

fl

oesnnnou-nruscAPACIDADES

Comunica:

Representa gráficamente las siguientes inecuaciones:

1-2

LJsa

3-4

estrategias y procedimientos:

t

fraduce datos y condiciones: 5-ó

mientras que en el segundo sistema suma 5 a la primera ecuación y resta 8 a la segunda y obtén un sistema lineal equivalente en cada uno de los casos.

EJEMPLO 17 Determina el sistema de inecuaciones lineales que representa [a región coloreada.

ff-r+3¡ 0 N @ j

-5

ci

i

'6 a E

ó o o

N j

10

c) -x+ 7x 0l ) > 0; 2r+ 2J 6t x - 2y > 3t

r>0;

Para consolidar 34

ñ l

Maximiza la función objetivo F(¡, .y) = Lr + 5y sujeta a las restricciones: x > 0l -y > 0l 2t +,y < 8; x + 3r- < 12.Indica el tipo de solución. l.'inica

@ Minimiza la función objetivo F(¡.

cada recta).

Enfatice que si el problema tiene una única solución óptima, esta se debe encontrar en un vértice de la región factible y si hay infinitas soluciones óptimas se encontrarán en un lado de la región factible.

David vende dos mezclas diferentes de café: una mezcla que contiene 80% de café de primera clase y 20Vo de segunda, y otra que resulta de mezclat 5OVo de cada clase. Cada quincena, acopia hasta 1800 kg de café de primera y hasta I 200 kg de segunda. Si los beneficios son de S/ 3,50 por kg de mezcla de mayor calidad y de S/ 1,5 por kg de mezcla de menor calidad, ¿cuántos kilogramos de cada mezcla deberá empacar para maximizar utilidades?

. . . . .

de hectáreas a sembrar con cada producto y la utilidad máxima que se alcanzará). ¿Cómo se determina los vértices de la región factible? (Se calcula formando sistemas de ecuaciones lineales, con las ecuaciones de

I

EJEMPLO 7

y

>0. Indica el tipo de solución.

No acotada

@ Una tienda dispone de 36 kg de maní y 24kg de pasas que se envasan en dos tipos de cajas. La caja de S/ 6 contiene 100 g de maní y 200 g de pasas, y la de S/ l0 contiene 100 g de maní y 300 g de pasas. ¿,Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo ingreso? ( rr¡rr ti¡xrA. {):,¡rirti¡r, ll: 8l} Solr, iri¡r ¡rri.ir

§

I € E

!

g3 3

H

LIBRO DE ACTIVIDADES

TIPOS DE SOLUCIONES

E

'

I

TIPOS DE SOLUCIONES

solución múlt¡ple

T¡pos de soluciones

La solución es múltiple cuando hay infinitas so uciones que corresponden a los puntos del segmento que tiene por extremos a dos vértices de a región factrb e.

Los problemas de programación lineal pueden presentar distintos tipos de soluciones: solucrón única, múltiple, no acotada y no factible.

EJEMPLO 23

Solución única Solución múltiple (BC) La soluc¡ón es única cuando la solucrón óptima se encuentra solo en uno de los vértices de la región factible.

.

EJEMPLO 22

número de latas de salsa

Extra

Carne

L

Y comprueba la gráfica del ejemplo 22. USO DE HERRAMIENTAS

Utilidad (S/)

Accede a:

Salsa Goumet

25

http://wlv. ph psimplex. com/simplex/simplex. hlm?l=es.

Disponibilidad

4t=4000kc

= 0,025

,10

1,80

!2lt -

1?sg

!c

Y comprueba las gráficas de los ejemplos 23 y 24.

l

soluciÓn Única (c)

Determinamos las restricciones:

fx.0:y,0 [x>0:y,0 i 0.2r+0.15v 0;y > 0; 2x +,y < l3;x- 3_y < 3.

EnD:F(3;0)=2(3)+0=6

¡

Usa estrateS¡as y procedimientos: 1-4

Resuelve e indica el tipo de solución,

Libro de actividades (págs, 150-151 )

I

o

En general, podemos concluir que en un problema de máximos no tiene solución si la región factible no está acotada super¡ormente y un problema de mÍnimos no tiene solución si la región no está acotada inferiormente.

Consolide resaltando que todo problema de programaciÓn lineal que no tiene reg¡ón factible tendrá solución no factible, podemos declr que carecen de soluciÓn.

N N @ j

ci

i

,o J

! o o

)

p ,o =I L a @

UNIDAD

3 htroducción

a la programación lineal

149

I

Motívelos para que realicen la metacognición respondiendo a todas las interrogantes propuestas. De esa manera podrán comprender cÓmo van

desarrollando sus capacidades.

§c c a

@

Él

LIBRO DE ACTIVIDADES

I

TIPOS DE SOLUCIONES

TIPOS DE SOLUCIONES

Solución no acotada

ff

Solución no acotada es cuando la función objetivo tiene un solo valor extremo y la región factible es no acotada.

Maximiza la función objetivo F(,r, y) = .x + 2y plra un problema cuyas restricciones son: -r > 0; y > 0; ¡ - 2y < 2: x - y > 4

.

bajo las restricciones

,-

2), < 4, la SoluciÓn es no acotada

En este caso. no está determinado un valor máximo para la función objetivo, por lo que puede decirse que el problema tiene solución no acotada.

Rcsolvcnrrls los sistenlils quc se lirrntan 1 r¡blcrcrnr¡s: (0:0). (0:4). (5: I ). (-11 1)). (5:0) (if¡¡li( rilr, )\ cr,ilsiLleraIrl{r lir\ r(.\tri\'c¡('ncs: C)bscrvrrnros qlre lo ex istL' rtgirin lircti [rlt-. T¡lllrrc,r urr r ¡rlor rlritint,r. l-ucgo. lr solución es no liretible.

Ohservarnos t¡ue solo existe un pur)lo de intersecci(ir en

A(3:

5 ).

5;

F(.r,))= l2r+ llY.

ll.

(iralierrrtrr. etllsitlclalrdo l¡r: lrstrlr'ci¡ llr's: 8

La región factible se extiende infinitamente y su único vértice está en A(6; 2).

,>o;)>0;r-)>o;

l¡

Co¡rsiderando las restricciones ¡ > 0; ) > 0; x > .t + y < 4; maximiza la función objetivo

Rcsolvenl¡s los sistemas que sc liunan y obtenernos: (0; 0). (0i 6). (0: I I ). ( I 8: 0). ( | | /2: 0). (3r 5)

Resolvemos los sistemas que se forman y obtenemos:

(0;0),(0;-l),(0;-4),(2:o),(4:o),(6;2).

FLr,y)=x+y

El

Maximiza la siguiente función objetivo F(,r,,y) = a , oara un problema cuyas restricciones son: r>0;)>0;r+3-y> l8;2r+J>

EJEMPLO 25

Comprueba que al maxitmizar

usa estrategias y procedim¡entos: 'l-4

Resuelve e indica el tipo de solución.

Il USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

orsnnnou-aruscAPACIDADES

'

No existe un valor rnii\irno. Pu' lo tanto.

la solucitin cs no acotada.

i('

4

il0 -8 ti

Conrprobación:

Solución no factible Soluc¡ón no factible es cuando no es pos¡ble determinar una región común 3

x

3.5) a

l2l-1

todas las

@

restricciones.

I

x

4561

X

EJEMPLO 2ó

34

a) Sea un problema donde las restricciones son: r> 0; )>0; "r+ ) >6lZr + y < 4. Maximiza la función objetivo F(x, y) = 4x + 3y

.

. .

E)

Resolvemos los sistemas y obtenemos: (6; 0), (0r 0), (0; 6), (01 4), (2;0), (-2; 8)

i

.

= E o o o

. .

:

p

€ < o

o

Observamos que no existe región factible, ya que no hay zona común entre las restricciones.

c a

o

Resolvemos los sistemas y obtenemos: (0;0), (2,s;0), (0; 5), (3,5;0), (0; 7) Graficamos las restricciones. Observamos que no existe región factible, ya que no hay zona común entre las restricciones.

Por lo tanto, queda comprobado que resulfa una solución no factible.

a c

-a ,-

Sea un problema donde las restricciones son: .r > 0; ) > 0; 6i -3r + 2-y > 8. Maximiza la

4r-y>

Grrflclrn ¡ rs rrnsirlcliurd() lils Ie\ttiL (i(ntei: Obsc'rviutrrs t¡uc'solo existe ul l)unto dc intcrsecci(it1 P(4: ll)) Nocrrstc urr rrrl,rrr¡rnirrr,.

Luc{o. I¡ soluei(ln e! no nc(f¡dil.

150

-4,.r -l

Y

{¡

:9

8r0

Rcsolvc¡¡lls los sisfenras quL'sc firrntail ¡ obtelelxrs: (O:O).(0: 6).(0:4) (-l/2:0).t-lt/3:O).(4:i0)

Graficamos las restricciones.

b) Comprueba que resulta una solución no factible cuando maximizamos F(x,y) = 2y bajo las restricciones: .Y > 0;y> 0; 2x + y >7; 2x + y < 5

Ci

3.y

(ll¡( \( J,,lnl,lj \ ()l)tere¡rl)\: l():0). (0: 5). ({): l). (5:0). (l:0) Cir.rf i;:t¡lt,'', r,il\iiI tiUlrl,r lil. tL'.tIi\( t(,ilc\ Obscrvrrrros (luc Io existc rcgirirr llrctible. No cxis(c ur) val()r rttíxinro. Por lo trrrto. h solucirin es no lircliblc. Rr'.,r11. ¡,,,,. lo..t.t(ntit-

siguiente función objetivo F(x, y) = J¡ 1 7y.

Este problema tiene solución no factible. N N @ j

Considerando las restricciones r > 0i y > 0; ,r + ]y > 5; + y {l;1>¡¡ [.t-f):rs{l Resl

ricciont:s:

f 4()\ + l)or

tt

,
yt2x-3y

r

Analiza la región factible y responde.

ED La suma de las edades de un padre, de ;l]"-i á"'su hija es 65 años. Si en diez años el padre tendrá el doble de la edad del hijo, y hace cinco años la edad

@Sy-a>-l5x+2

Rcera roja:

@ Si trasladas la recta roja dos unidades a la derecha paralelamente a la recta azul, ¿cuál es ahora la solución del Recrir rzul: l, = 4

del menor y el intermedio, y la diferencia entre el intermedio y el menor equivale al mayor disminuido en 22. ¿Cuáles son los números?

x+5y > 15;"r< 3 (9 "r, -2:Lr -3y> 6

r>l):r>0: 7t ,h0:r>O: .lr+lr>ll: 5r+-lr--l:r>l:.r 0

ü

de la vida cotidiana puedo aplicar lo aprendido?

A(0; 200) y D(380;0) no pertenecen

a la región

factible

Pregunta 4

Sí. porque lankl cl tienrpo corno las botellas rlcanzarían para Ia protlucción.

¿A cuánto asciende el donativq considerando la máx¡ma ganancia?

eBL[rta

2

Scr la ti¡ncir'rn ohjerivo: I-(.r: r') = I tl.r + .1(h I'(0: 0)) = llt(0) + 3o(0) = 0 F(0: 190¡ = I 1i(0) + 3(X 190) = 570() Ij(..1(X):0) = l8(100) + l0(0t= 5.1(X) F(60; 160) = l8(«)) +.¡0(l«)) = 5u80 Considerando la m¿ixinlr ganancir. el rltrtativo

Determinantos las restricciones y graficamos: 3.y 0: r>01 2,r+

¿Qué aprendí hoy? ¿Para qué me servirá?

f

§Mrt

factible?

¿Cuáles son los vértices de la región factible? ¿Cuál es la función objetivo que permite la máx¡ma utilidad?

y otro, B, tiene 42O calorías por cada 100 g.

@

-4

I

-q

Cartera

)

I

-64

-i)

c a

(lt -2).

@ Un alimento A tiene 240 calorías por cada I 00

Y

-q

5) y

!r-,-.

Pregunta 3

1

Correa

ll(fc

A(0; 0), B(25; 0),C(25; l2),D(l0r 2l) y E(0; l8). ¿Existe valor máximo o mínimo? Máximr. l0-50

soluciones

¡l

Pregunt¿r

Sandra propone hacer solo 200 carteras y Fernando solo 300 correas. ¿Son factibles sus propuestas? ¿Por qué?

lD3x+y>5;ys-2

(l; l), (-4;

aa-*

-3)}

30,r + 25,v en el polígono que tiene como vértices

¿Qué punto no es conjunto solución de la inecuación 3x - 2y < 5'!

N @

Asimismq la confección de una cartera requiere 3 botellas de plástico y 8 horas de trabajo al día. se dispone de ó00 botellas y 1520 horas de üabajo para toda la producción. por ta venta de una correa se obt¡ene una ganancia de S/ 18 y por la de una cartera, de S/ 30.

.r < l:.1.r + 5r < 9: 7t + 5r > -l @ Rectángulo cuyos vértices tienen por coordenadas

b) Dos soluciones

«0,

o

@ 5x+2y>3 -2y

il)

l) O

rF

Determina el sistema de inecuaciones lineales que define la región interior de cada polígono.

Observa la figura y determina lo que se pide.

a c

5

Resuelve.

hr (2;

H''.:

= {( I ; -2:

@ Evalúa la función objetivo F(-r,,v) =

Una única solución

s'

-3y = -16 c.s = {t-?: a)}

corresponde a dos rectas coincidentes, entonces el sistema t¡ene:

rt (t;2)

o c

-1)

Oi Lx

@ 3x-4y 0: r' > 0: lr +.lr' < I200: 4.r + tl-r < 30,10 l,t¡s rcirtices dc la rcgirin tactihlc son: O(0: 0). B(0: 180). ('(6(X): 0) r' I1( Il0r .ll())

.r

q

E

5

se contara con el doble de botellas y el doble del tiempo, ¿cuánto se obtendría como máx¡ma ganancia?

S¡

60)

DX 366 .lliO I-or r'értices de la regirin factible son; O(0:0) B(0: 190), C(100: 0) y tr(60; 160) La tirnción objetivo c's F(¡:,r) = I lJ¡ + 3(h'

Si rccntplazrrnos eslos vértices cn la fulcir'rrr objclivo. obscn amos r¡ut corlo ganlnciir ¡niirimr sc obtendría el dotrlc: Ft

ll0:

120)

= ltl(120)

UNIDAD

3

+ 10(310)= S/ I I 760.

lntroducción a la programación lineal

159

I

rngonomelna RECURSOS

PRESENTncTóru Esta unidad tiene por finalidad proporcionar a los estudiantes las herramientas necesarias para que sienten las bases en el estudio de la trigonometría. Para facilitar el aprendizaje de este nuevo conocimiento, se explican de manera detallada las nociones elementales y se desarrollan paso a paso las actividades. Asimismo, se pretende lograr que los estudiantes modelen matemáticamente situaciones de su entorno a través de representaciones geométricas que corresponden a triángulos rectángulos u oblicuángulos.

B.

Biblioteca del docente Día a día en el aula (págs. 178-2Og)

¡t4"n,,',"na

fT

ESQUEMA

S""r"ncia

O

O

Trigonometría

Digital digital: Trigonometría

Para empezar Breve introducción al tema ¿Qué aprenderé?

Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante

O

trigonometría

Conceptos previos

Razones trigonométricas

Aplicaciones

Sistema de medidas angulares

RR.TT. de ángulos agudos

Resolución de triángulos

Arco y sector circular

RR.TT. inversas

Ángulos de elevación y de depresión

O

Resolución de triángulos RR.TT. de ángulos notables

oblicuángulos

Una situación a resolver

Actividad interactiva: Situación sobre trigonometría

rectángulos RR.TT. de ángulos complementarios

Compruebo lo que sé Actividad interactiva: Saberes previos sobre

O Arco de circunferencia Animacion: lnformación sobre los elementos del arco de circunferencia

._ _EJ

O Área del trapecio circular Animación: Información sobre el trapecio circular

Ley de senos, cosenos y tangentes

O Aplico ley de senos para resolver problemas Video: Procedimiento para resolver problemas utilizando la ley de senos

O Aplico ley de cosenos para resolver problemas Ficha de orientación didáctica: Dibujo y

construcción Plegado de papel

Estrategia para resolver problemas:

Hacer un gráfico

Razonamiento matemático: Comparación y suficiencia de datos

Uso de software matemático:

Geogebra

Actividades integradas,

deBly prueba tipo ECE

Video: Procedimiento para resolver problemas utilizando la ley de cosenos Síntesis, recursos en la web y autoevaluación

I

Solucionario de las actividades

Aplicamos lo aprendido Actividad interactiva: Aplicación de los temas desarrollados en una situación cotidiana

O Compruebo mis conocimientos Actividad interactiva: Evaluación interactiva

I Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles para afrontar situaciones de contexto real.

Para finalizar

Actividad interactiva: [\4etacognición

M

l¡¡roru"oi"

PROGRAMACIÓN Competencias Resuelve problemas de forma,

Conocimientos

Desempeños

¡

movimiento y localización

.

l\rlodela las característ¡cas

y atributos medibles de los objetos con formas geométricas compuestas que resultan de combinar formas geométricas tridimensionales y cuerpos de revolución, relaciones métricas de triángulos. AsÍ también, la ubicación, distancias, alturas inaccesibles, y trayectorias complejas; con razones trigonométricas, mapas y planos de diferente escala, la ecuación de la parábola y circunferencia. Plantea y contrasta afirmaciones sobre relaciones y propiedades de las formas geométricas, a partir de experiencias directas o simulaciones. Comprueba, la vaildez de una afirmación opuesta a otra o de un caso especial, med iante contraejemplos, conocimientos geométricos, y razonamientos inductivo y deductivo.

o Sistema de

. . . . .

medidas angulares Arco y sector circular RR.TT. de ángulos agudos RR.TT. inversas RR.TT. de ángulos

Capacidades

Desempeños prec¡sados

Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.

e Examina propuestas de modelos referidos a razones trigonométricas de ángulos agudos y notables, al

comprensión sobre las formas y relaciones geométricas.

. . ¡ .

Usa estrategias y

. . .

Comunica su

complementarios RR.TT. de ángulos notables

o Resolución

. .

de triángulos rectángulos Ángulos de elevación y depresión

plantear y resolver problemas.

procedimientos para orientarse en el espacio,

Resolución de triángulos

ldentifica la razón trigonométrica inversa de una razón dada y de ángulos complementarios. Expresa las propiedades de un triángulo rectángulo notable usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas. lnterpreta representaciones gráficas y notaciones matemáticas. Esquematiza situaciones relacionadas con la aplicación de la ley de senos, cosenos y tangentes.

Aplica el teorema de Pitágoras para determinar longitudes de los lados desconocidos en triángulos rectángulos.

longitud de circunferencia y el área de regiones circulares.

oblicuángulos

o

Selecciona la estrategia más conven¡ente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos. Resuelve ejercicios sobre razones trigonométricas inversas y de ángulos complementarios.

o Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos notables.

¡ Resuelve triángulos rectángulos conociendo las medidas de dos de sus lados, o de un lado y un ángulo. ¡ Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas, ángulos de elevación y de depresión.

r

ci

i

:9

.

-

E o o o f

p

Argumenta

o L

afirmaciones sobre relaciones geométricas.

sc

@

c

¡

Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos. Emplea estrategias heurÍsticas para resolver problemas relacionados con la ley de senos, cosenos y tangentes. Plantea conjeturas para determinar las medidas de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo.

o Plantea conjeturas para determinar la longitud de un arco y área de regiones circulares.

r Plantea conjeturas sobre los ángulos de elevación y de depresión. . Justifica los procedimientos empleados para realizar las comparaciones de datos.

=C 6)

ldentifica las razones trigonométricas relacionadas con un triángulo rectángulo.

o Transforma ángulos a diferentes medidas angulares. o Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran el cálculo de la

r

N @ j

@

Representa las medidas angulares en diferentes sistemas,

Tiamnrr aetimar{rr. I qomqnaq

cuantitativas y la suficiencia

TEXTO ESCOLAR

Tiigonometría t

Texto escolar (pá9.

37)

t

Libro de actividades (págs. 160-161)

Capacidades y desempeños precisados . Aplica el teorema de Pitágoras para determinar longitudes de los Usa estrategias y procedimientos Argumenta afirmaciones

Sugerencias

TFigonometría

lados desconocidos en triángulos rectángulos. (3-4)

. d

Plantea conjeturas para determ¡nar las medidas de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo, (1-2)

Un cartógrafo se olvidó de anotar las medidas de los ángulos B y C al medir con el GPS el ancho de uno de los cauces del río Amazonas. Estas fueron sus mediciones sobre el terreno: AC = 63 m, AB = 96 m y mCÁB = 60". Ayuda al cartógrafo a hallar las medidas de los ángulos B y C.

idácticas

Para iniciar

O

I

Centre la atención de los estudiantes en la fotografÍa y pida que la describan. Luego de ello, promueva un conversatorio acerca del valor del respeto. Pregunte: ¿Qué es el respeto? (Es uno de los valores morales más importantes del ser humano, pues es fundamental para lograr una armoniosa interacción social). ¿Oué significa respetar? (Significa valorar a los demás por lo que son, sin importar si es pobre o rico, si es mujer o es hombre, o el color de su piel o su físico). Enfatice que el respeto abarca todas las esferas de la vida, empezando por el que nos debemos a nosotros mismos y a todos nuestros semejantes, hasta el que le debemos al medio ambiente, a los seres vivos y a la naturaleza en general, sin olvidar el respeto a las leyes, a las normas sociales, a la memoria de los antepasados y a la patria en que nacimos.

rñ

Es importante que los estudiantes relacionen el nuevo conocimiento y su aplicación en el contexto real; por ello, centre la atención en la imagen y pídales que describan la actividad que se desarrolla. Pregunte: ¿Qué instrumento está empleando la persona? (Está haciendo uso de un teodolito). ¿Para qué se utiliza este ¡nstrumento? (Para medir ángulos con una precisión elevada y calcular coordenadas rectangulares) . ¿En qué otras actividades se utiliza el teodolito? (En la construcción de carreteras, en la minerÍa y en toda actividad relacionada con la topografía).

HI-E APRENDEREMOS 4...

.

sexagesimal, centesimal y radial.

Para desarrollar

I

. . .

Es necesario que los nuevos aprendizajes se construyan a partir de los

conocimientos previos de los estudiantes para permitir una mejor fijación del nuevo conocimiento. Solicite que desarrollen las actividades propuestas en la sección "Aplica la ciencia". Recuérdeles que en todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos (c2 = a2 +b2). Revise conjuntamente con los estudiantes la sección "Aprendemos a..." y oriente respecto a las capacidades a desarrollar en esta unidad. Luego de ello, invÍtelos arealizar la actividad propuesta en la sección "Buscamos en la web", esto les permitirá ampliar sus conocimientos sobre estación total.

I

Para consolidar los aprendizajes, solicite que efectúen las actividades propuestas en la sección "Repasamos lo que sabemos" y que luego lo socialicen en un plenario con sus comoañeros.

Calcular la longitud de arcos de circunferenc¡as y el área de un sector circular.

Determinar las demás razones trigonométr¡cas a partir de una dada. Resolver elerc¡c¡os sobre razones trigonométricas inversas y de ángulos

complementarios.

0

. VALORES Y ACTITUDES

Respeto ¿Al vralar de vacaciones a algún lugar de nuestro paÍs, has

dejado limpio cada

Para consolidar

Aplicar estrategias de conversión de med¡das de ángulos en los slstemas

. . .

Formular y resolver problemas sobre triángulos notables justificando sus procedim¡entos. Resolver triángulos rectángulos conociendo dos de sus lados o un lado y un ángulo, y su aplicación en ángulos de elevación y de depresión. Resolver problemas de triángulos oblicuángulos que involucran leyes de senos, cosenos y tanSentes.

p

€ c

o &

Reconocer y valorar la utilidad de las representaciones geométricas y las medidas para transmitir informaciones precisas relativas al entorno

a

lugar vis¡tado?

@

UNIoAD

4

TrSonometria

37

§c 'p

c o

t/)

I

TFigonometría ! APLICA LA CIENCIA

v-

APRENDEREMOS

@) \-/

.

ángulos en los s¡stemas sexages¡mal, centesimal

Estación total

y radial.

.

La estación total es un instrumento que se utiliza en la construcción ciüI. Integra un teodolito electrónico con un distanciómetro, un microprocesador y las libretas electrónicas, que mide ángulos, distancias y calcula coordenadas rectangulares para el trazo y replanteo.

.

El levantamiento, trazo y replanteo se fundamenta en la triangulación. De esta forma, el aparato se ubica en el punto 1 y se orienta hacia el punto 2, ambos con

ltrt

El aparato realiza un giro para observar el punto 3 obteniendo un ángulo 0 y una distancia d.

l

.

N N @ j

Reconocer y valorar la utilidad de las representaciones geométricas y las medrdas para transmitir informaciones precisas relat¡vas

¿Qué instrumentos integra Ia estación total?

al entorno.

¿En qué se fundamenta el levantamiento, trazo y replanteo?¿Cómo se llaman los dos

Reúnete en equipo e investiguen sobre Ia historia de la estación total. Luego, elaboren con la información obtenida un papelógrafo para dar a conocer a los compañeros la importancia del tema.

\

i

@ art"uros

)Q f E

tr l. Coordenadas de estación

='

ci

Firefox, etc.) lo siguiente:

=

I

€

f¡letype:pdf + estación total

o

L

2. V¡sta

atrás

ll

En un

fiángulg

la

medida de uno de los ángulos

mide ó4" y el segundo mide 2" más que el tercer ángulo. Halla la medida del tercer ángulo. .s7"

El D¡stancia (d)

(0)

al

REPASAMoS LO QUE SABEMoS

Interpreta y resuelve.

A Angulo

Así obtendrás más información sobre la utilidad de la estación total en Ias construcciones

I- I

la

en la web

Digita en algún buscador (Chrome, Edge,

o o o

Formular y resolver problemas sobre fiángulos notables justificando sus proced¡mientos.

tangentes.

pmtos con coordenadas conocidas?

o

Resolver ejercicios sobre razones trigonomátricas inversas y de ángulos complementarlos.

Resolver problemas de triángulos oblicuángulos que involucran leyes de senos, cosenos y

r

A partir de esta información se realiza un cálculo matemático [algoritmo) para obtener Ias coordenadas del punto 3.

r o

Determ¡nar las demás razones trigonométricas a partir de una dada.

Resolver tr iángulos rectángulos conociendo dos de sus lados o un lado y un ángulg y su aplicación en ángulos de elevac;on y de depresrón.

l

coordenadas conocidas.

I

I

Calcular la longitud de arcos de c¡rcunferencias y el área de un sector circular.

. a

li

4...

Aplicar estrategias de conversión de medidas de

il

En un tr¡ángulo rectángulq uno de sus ángulos agudos mide 52'ó'. Halla la medida del otro ángulo agudo. 37" 5,1'

calcula el valor de,r

i'l

o

x

I

c¡t ,rz/

o 60' l2 cm

I

3. Observación

.ri

12

tE

20 cm

a

15

cnl

37' 25 cm

cm

a c

§ C

o

6

1ó0

UNIoAD ¡l Trigonomefía

161

TEXTO ESCOLAR

Sistema de medidas angulares t

Texto escolar (pá9.

38) ¡

Libro de actividades (págs. 162- 163)

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estraiegias y procedimientos

t .

Representa las medidas angulares en diferentes sistemas. (1-5) Transforma ángulos a diferentes medidas angulares. (1-2; 6-11 )

Sugerencias didácticas

Sistema de medidas antu¡ares. Área del sector c¡rcular

'U b¿r#

Los sistemas de medidas angulares tienen su aplicación en todo objeto que tiene movimiento. Un buen ejemplo de esto lo tenemos en el ángulo que forma el tubo de dirección que sost¡ene el timón de una bicicleta con respecto al tubo vertical que sostiene la llanta delantera. La medida de este ángulo en las bicicletas de competición se encuentra entre 69" y 72.

Para iniciar

t

ml

S¡stema de med¡das angulares

OTRA FORMA DE RESOLVER

Es importante que los estudiantes descubran, a partir de la experimentación, los principios que rigen al nuevo conocimiento. Propóngales que dibu¡en los siguientes ángulos: 30o, 45',-90o, 50s y nl4 rad. Luego, invite a que socialicen sus respuestas. Pregunte: ¿Qué dificultades tuvieron? ¿En qué sistema de medida angular está el transportador?(Sistema sexagesimal).

Sean S, C y R los números que representan la medida de un mismo ángulq en los sistemas

lgualando a una

constante:f;=fi=k

sexagesimal, centesimal y radial, respectivamente. La relación entre los tres s¡stemas se exoresa

Se obtiene:

s=9¿yc=10¿

ast:rrl=ffi=* t r*Á=#=*

EJEMPLO

1

Reemplazamos:

9C-25=80

Sean S y C las medidas de un mismo ángulo en grados sexagesimales

Para desarrollar

e(l00-2(9t)=80

centesimales. Expresa en radianes la medida de dicho ángulo si 9C

I

eor-lst=so-t=#

'

Luesos=e(f;)=ro

I

Centre la atención de los estudiantes en la imagen y solicite que la describan Pregunte: ¿Qué aplicaciones tienen las medidas angulares? (En todos los objetos que tienen movimiento). ¿Cómo representarias si el ciclista gira a la derecha? ¿Y a la izquierda? (Con un ángulo negativo y en el segundo caso con un ángulo positivo).

f*q=*

9C-

.

t

Expresamosen radianes:

+r% =

r: radio

ft

+

y 25 = 80.

S.

=so*q/4s'l \v / -25 =80+10S-25 =80+S

La medida de dicho ángulo es

{

Haga notar que los tres sistemas se relacionan (m 1 vuelta = 3600 = 400s = 2n rad) y a partir de esta equivalencia podemos establecer una fórmula de conversión. lnvítelos a revisar la sección "lmportante", donde se presenta la fórmula general de conversión.

= lo

-+= f -* = #

radianes.

c:ángulo en rad¡anes

Antes de realizar las actividades 1 a la 5, explique que, a partir de la fórmula general, se puede establecer nuevas equivalencias. Para ello, bastará con despejarS CyR, obteniendo: S = 180k, C = 200kyR =nk, yel caso particular, S = 9 k y C = 10 k Haga notar que esta últimaequivalencia Ia usarán en las actividades 6 y 8 porque solo interviene el sistema sexagesimal y el sistema centesimal. Para la actividad 7, recuérdeles que si se tiene un número "k", diferente de cero, su inverso será 1/k y que al multiplicarlos da la unidad. En la actividad 9, indique que la expresión solo les permitirá determinar el valor de la constante "k" y este valor debe ser reemplazado en C = 200 k para hallar la medida del ángulo en el sistema pedido.

Área del sector (As)

Long¡tud de arco. Área del sector c¡rcular Las

fórmulas de la long¡tud de arco y el área del sector se muestran en el margen.

EJEMPLO 2

. ,s_ o -l:-q

El radio de un sector circular POQ mide 5 cm y la amplitud de su ángulo central es 1,4 radianes. Halla e[ perímetro y el iírea de dicho sector.

.¡''\--U

. .

2

2

. '5-2o o --11

.

'rÜ*

Graficamos y ubicamos los datos.

Hallamos el perímetro del sector:

P=2r +L= 2(5) + 5(1,4) = l0 + 7 =

17 cm

Calculamos el área del sector circular:

. 52- 1.4 n"= Z =l/.)cm' El perímetro del sector circular POQ es 17 cm y su área es 17,5 cm2

f

Pá€e.162-165

fl

Concluya destacando que la fó rmula general (S/180 = C1200 = R/n = k) se puede emplear en todos los problemas, pero principalmente cuando intervienen los tres sistemas; mientras que el caso particular (S/9 = C/l0 = k) se utiliza cuando intervienen solo los sistemas sexagesimal y centesimal. Proponga resolver la siguiente situación: Sabiendo que a y p son ángulos suplementarios y, además, se sabe que a mide (1xF y F mide (2x - 4)", halla la medida de cada ángulo en el sistema sexagesimal. (a =144" y P = 36")

25

TEN EN CUENTA

Para consolidar

I

fi,

.

-'=*

Long¡tud de arco (L)

I

deducimos sabemos 9ue 1*L $= "nton"", Despejamos y reemplazamos en la expresión dada:

-

orsannou-aruscAPACIDADES

I Usa

estrate8ias y prmedimientos

1-2

p € e

ff

Un arco mide 6,4 cm y pertenece a una circunferencia de radio 1,6 cm. Calcula el ángulo central que subtiende el arco. J nd.

@ El extremo de un péndulo

de 40 cm de longitud

describe un arco de 5 cm. Calcula el ángulo de oscilación en grados sexagesimales. 7. I 7'

g s

38

Unidad

4

L¡BRO DE ACTIVIDADES

I

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

E

fl

Sistema de medidas angulares

orsannou-nruscAeACIDADES

Comunica:

Escribe V si es verdadero o F si es falso. La med¡da de un ángulo se expresa en cualquiera de estos tres s¡stemas:

TEN EN CUENTA Angulo trigonométr¡co Es aquel ángulo c que se genera por la rotaciÓn de un rayo OA alrededor de su exfemo füo O (vért¡ce), desde una

posic¡ón inicial OA (lado inicial) hasta una posición final oB (lado f¡nal).

,/ 0

,/ ,/B

Sexagesimal (S)

centesimal (c)

Su unidad angular es el grado sexagesimal (19, el cual se obtiene al dividjr un ángulo de una vuelta en 3ó0 partes iguales.

Su unidad angular es el grado centesimal ('18), el cual se obtiene al dividir un ángulo de una vuelta en 400 partes iguales.

"" 1

A

vuelta 3¿ó pañes

1s

vuelta = 3ó0

1

-

vuelta ¿00 pañes 1

Equivalencias:

10=60';1'=60"

1c

10

= 3ó00"

l

Su unidad angular es el radián (1 rad). Un radían medida de un ángulo central que subtiende un arco de igual medida que el radio de la circunferencia que lo

= 100m;

1m

=

1 rad

lrud-ta '100s

1

_l

55-2C=200.

Relac¡ón entre Ios tres s¡stemas

Fórmula general de conversión

S

=

"

.

seoeouce:f=fi=t

O

Utilizamos las relaciones respectivas y resolvemos:

(sI * I=

lll9rÁ,I

l.ir rnedid¡r rlel árr$rrlo es

Despejamos S, C y R en función de k y reemplazamos en la expresión dada.

)q !

o o o l

180/
( =i{)

@ Para un mismo ángulo

zz

Dcspejanros S y C. y resolremos:

N N

I

l.i¡ rrredirlrr rle'l álgulo cs 50!.

l-a rnedida de tlicho ángukr cs 72".

#=3*f3=$-s=s+ ,*g=+*#=§ * n =fr"

2fu

r«r({)=

¡ ('.

1

Expresa 608 a grados sexagesimales y a radianes.

SCR 180 200 n oe la relación:

s=

= 35, halla la medida del

35 = ¡2'

l)cspejanrrrs S y C. y resrrlvernos: 5l I80t) :(:001) = lr){)+ ( =;

.r!=¿&=-& 'rEo=2S=* EJEMPLO

t

S y C representan las medidas de un mismo ángulo en grados sexagesimales y centesimales. Expresa en

grados sexagesimales la medida de dicho ángulo, si

rÉ+

r/4 .16(X)L - 50r//i =.15 I 6(h( - 50r'7 =.15 7ll\t=li*'f-l

tr tr

Resuelve.

!l

-

:1u _,/:arrl ,/*-,^lu ! l()oL ll{ol I f

5

vuelta = 2n rad

ffi

I)cspejanros S

E

¿s'=56s=f;rad E ta'=zoc=ffraa

Sean S, C y R los números que representan la medida de un mismo ángulq en los sistemas sexagesimal, centes¡mal y radial, respectivamente. La relac¡ón entre ellos es la siguiente.

IMPORTANTE

si

Usa esüategiasy procedim¡ent$: ó-11

ángulo en grados centesimales.

ll

@

_r2tr

y1s=10@0s

El

o;=fi=E

contiene.

vuelta = 4008

Equivalencias.

y

c: medida del ángulo AOB.

'1

i'.L=r&=*

o B lso"=2008=¡rad

Radial (R)

O

1-S

¡

É

3 o

9 e p ! I

s

simptirica

fl,

rrrd.

* =fl-$:2e-,* ro

1'lR

t¡{n

lD Sean las siguientes ecuaciones:

*

=u

-

*

v l(x)k-

l¡{oÁ

*

fi= t * ff I

S lo - !, t6 (' s /,..16\ .,D+it¡_45 =. IU- }É='r,+ i'Dcspejamos S y ('. y resolvemos:

I

--¡l

A=

R".t,,,...

200(_ l80f_45

l(:(X)t)

+

Hatla la medida del ángulo en radianes.

r/l{ .. v=. lx0()

+

2ó0t = s2

La ¡nedida del ángulo es 36".

Despejarnos S y (1. y resolvemos:

''

+

s= rsok= rso({)=:o

20

-

36 -r , t) - 9()(lÁ= 1.5>^-n r llig

8rx)A

M=.-7@;=lsr... '' Y l(x,t-ilt{)* -'

R =

I)or lo l¡nk). M = 3.

La medida del ángulo es 9 radianes

/o\

rljl

=')

o UNIDAD

4

Trigonometria

1ó3

Arco y sector circular I Capacidades y desempeños precisados Usa estrateg¡as

y procedimientos

o

I

Para el ejemplo 4, recuérdeles que una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, por lo que se requiere plantear una segunda ecuaciÓn y con ello formar un sistema lineal para resolverla. Hágales notar que la longitud del arco se conoce y que el ángulo central es el mismo para ambas longitudes de arco.

I

Proponga a los estudiantes a que den lectura al texto "Área del sector circular". Verifique su comprensión preguntando'. ¿Qué es un sector circular? (Es una porción del cÍrculo delimitada por dos radios y por el arco). ¿En qué s¡stema de medida debe estar expresado el ángulo central? (En radianes). En el ejemplo 5, hágales notar que se relacionan las longitudes de los arcos con el área de los sectores y el ángulo central, por eso se decide usar la tercera fórmula.

I

En la actividad 1, resalte que la longitud del péndulo representa la medida del radio y deben calcular el ángulo.

I

Para la actividad 2, es importante que los estudiantes sepan interpretar los gráficos. Pregunte: ¿Qué información se puede obtener del gráfico? (Se conocen la longitud de los radios, de los tres arcos y además se observa que comparten el mismo ángulo central central). Hágales notar que pueden hallar Lr Y Lz Y reemplazarlo en la expresión L1 + L, = l0n, lo cual les permitirá determinar la medida del ángulo central y poder hallar la medida del arco L.

I

Previamente a la actividad 3, recuérdeles que el ángulo siempre debe estar expresado en radianes y en este caso oriente a que eliian la fÓrmula conveniente (la primera), porque se conoce el radio y la medida del ángulo central. Para la actividad 4, sugiera que empleen la misma estrategia desarrollada en el ejemplo 5.

I

En la actividad 5, sugiera que determinen el ángulo central empleando la fórmula de la longitud de arco y, luego, por una diferencia de áreas, que hallen el área sombreada. Explique que a esta área sombreada se le denomina trapecio circular.

Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran el cálculo de la longitud de circunferencia y el área de regiones circulares. (1-5)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

lnicie recogiendo los saberes previos de los estudiantes. Para ello, pÍdales que tomen una moneda de un sol y que determinen la longitud de su circunferencia y el área de su superficie (diámetro: 25,5 mm, longitud de la circunferencia: 8 cm y el área de la superficie: 5,1 cm2, aproximadamente). Luego, invite a que socialicen su procedimiento y contrasten sus resultados. Pregunte: ¿Qué es un arco de circunferencia? (Es una porción de la circunferencia limitada por dos puntos de esta). ¿Qué diferencia hay entre el círculo y la circunferencia? (La circunferencia es una curva plana cerrada cuyos puntos equidistan de otro punto llamado centro que está situado en el mismo plano, mientras que el círculo es el área o superficie plana contenida dentro de una circunferencia).

I

lnvite a los estudiantes a dar lectura al texto "Longitud de arco" y, luego, solicite que comenten, Para comprobar si han comprendido, pregunte: ¿En qué sistema de medida debe expresarse el ángulo? (En radianes). ¿Oué es el ángulo central? (Es un ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados están formados por dos radios). ¿Qué es la longitud de arco? (Es la medida de una porción de circunferencia). Hágales ver que la medida del ángulo central debe estar entre cero radianes y 2n radianes.

Para desarrollar

I

I

Solicite a los estudiantes que revisen el desarrollo del ejemplo 3. Hágales notar que el ángulo central que determina al sector circular está expresado en grados centesimales; por tal motivo, se realizó la transformación a radianes. Propóngales que determinen la longitud interna de la curva si se conoce que la carretera tiene un ancho de 10 metros. (La curva mide 3,14 m). Pregunte: ¿Qué conclusión pueden sacar de esta última situaciÓn? (Se concluye que cuando más larga sea la longitud del radio, el arco también tendrá mayor longitud; se dará la misma situación si el ángulo central aumenta). Enfatice que para determinar la longitud del arco se necesita conocer la medida del ángulo central y la longitud del radio.

Libro de actividades (págs. 164-155)

Para consolidar

I

Proponga desarrollar en pares las actividades complementarias

Actividades complementarias 1. En un parque, Eloísa encontró un columpio. Al tomar sus medidas, obtuvo que los brazos median 1,2 m de largo, y, además, podía describir como máximo un ángulo de 150". Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo

Resalte el valor de cuidar los bienes comunes de la comunidad, como son las carreteras, para, de esta manera, promover en ellos el ejercicio ciudadano. Pida que respondan la pregunta propuesta al final del ejemplo 3. (Si se deteriora la carretera, genera retraso en la movilización de las personas, que se traduce en pérdidas económicas y calidad de vida; asimismo, se producirá mayor contaminación afectando al medioambiente debido a que

2.

loweiÍculos utilizarán más combustible emitiendo mayor cantidad de gases

Respuestas: 1, 3,14

N N @

)ci i

:9

éó5 o o =

pG

sea el máximo.

€ c

Un auto deportivo, en una pista circular, recorre una longitud de arco de 500n metros y barre un ángulo de 250". a) Halla el radio de la pista circular; b) Calcula el área del sector circular recorrido.

a

o

m

2. a) R = 360 m, área = 282 600 m'

É

§

c ao

4

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

E

TEN EN CUENTA

O

En una circunferencia de radio r, un ángulo central de a radianes determina una longitud de arco L, que se calcula multiplicando el número de radianes por el radio de la circunferenc¡a.

L: longitud de arco AB la

dr número de radianes

Usa estrategias y procedim¡entos:

@ Del gráfico. calcula.r.

El extremo de un péndulo de 30 cm de longitud describe un arco de 5n cm. Halla el ángulo de oscilación en grados sexagesimales.

uoa¡ania§

> EJEMPLO 3

2L D

. .

B

I

Convertimos 20s a radianes:

o

.

#

,

-5¡ crlr

5rr

l0

Usatnos la fiirmul¿r cu respondiente:

St,,¡,=*+lS=+...(l) ;ii,r S1,,s=ff+6s=%^,) ...{ilr

30" o "=I=

Dividinros 1l¡ cntre (l¡):

* - * = frrad

2sr2¡2ottrtr:/.¡L rrs=1L /¡1,- I =+"'.*,-¡

@ Del gráfico, calcula L si Ll + L2 = l0rr cm.

Calculamos la longitud de la curva:

L = 20

Ejerce su ciudadanía. (Explica las relaciones entre los elementos naturales y smiales que interyienen en la construcción de los espacios

=

#

Reemplazamos los datos en la fórnrula:

J0 cm

Entre Cerro Negro y Yungaypampa, para disminut los accidentes, la municipalidad de Huallanca construyó una carretera que forma una curva con un ángulo de 2G y dos radios de 20 m (ver margen). Calcula la longitud de la curva. carretera

geográficos).

(-.1

cild¿[]o

(icr

nuestra5 carr0tuas?

4

(

i)rII)letirnros

. .

Sector AOB: 32 = o . (x +

Dividimos !t)entre

(zr:

5)

Lr

gnil icir:

El área del trapecio circular ABCD es 20 cm2. Calcula la medida del ángulo

3A

.l

Calcula x del gráfico del margen.

32

@

.

#="(*-;;t¡ -8¡

= 3x

+ t5

=.r. ot

L.

2) F-

3B

+ ¡ = I qri

('OD: Seclor AOB L=(l 6 Lr-{) 9 L=60 ¡.=t)0

Sector

FIC)F:

Área del sector - c¡rcular

l'r = tl l'r = 3tl

sector circular es la región limitada por dos rad¡os y el arco correspondiente. Para hallar su área y según los datos que tengamos, usamos una de las siguientes fórmulas:

[)or dalo: [-, + 1,,

-.t

EL

= l0¡

+

3{) + (){)

llH= lOr+(ll=5r

^"=+ EJEMPLO

c

:9

B

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

o o

-

p

Un sector circular tiene un ángulo central de 3ó'y un

€ c

o &

área de

É

cmz. Halla el

radiodel círculo.

a c C

@

5

164

r=

5 cnr

. . .

En el

=

fi

)

j

(iraficrrnos segr'in los datos:

.§

I

s=6Q"={rarl

E

Dividimos las expresiones y hallamos el valor de ¡:

'# = {t:f& *

P

= eB

*

x

= t§E+ ¡

= e,e u

o

C

p !

Hallamos B' 20=

.

Calculamos el valor del ángulo B:

(Bt4). 4+

^

D

s a a

§ o

ll)

(r.:)r'I J

_62_18.,^ _42_g )ABoc-E-p

^ ^AoD-2F,p

0,5 radianes.

es

El El área del sector circular

área tle la región es 0.24n m2

N

24m

circular MNPQ.

o

t.14.{.l

A.=+q*4,=0,24¡¡¡l til

=(sm

§

NOP es 416 m2. Determina el área del trapecio O 1,2

tlsamos l¡ tó¡¡rula:

, t-'tt

,

(r*)

.

La medida del ángulo p

e

e.

Área del trapecio circular: A, =

que determina el borde

inferior de una puerta de "van y ven" al girar un ángulo de 60o, sabiendo que dicho borde mide 1,2 m.

sectorAOO:24=fi

ChD

ymÁE=4cm.

aÉ-ñ=r-p=jrad=o,5rad

Mc pidcn: L = (r0 = -5¡ crrr.

,2

-

En el sector BOC:

= l0¡

'A.=;

Las áreas de las figuras coloreada y no coloreada son iguales. Calculax.

5

a

;

o,=?

@ Hallar el área de la región

ci

§

t

4cm

psimBC=4cm

(_)

Sector COD: 12

Sectrr

N N @ j

ll.- t= l

EJEMPLO 6

.Que sucede si no cül¿tl)oran'ro!' rtn

EJEMPLO

cm

=

= 2n = 2(3,14) = 6,28 m

La longitud de la curva es 6,28 m.

6l

1'5

B

del ángulo central

--20n-

cAPACTDADES

L=4. a > L= r. a:0 rad I 0 s2nrAd 2T

c¡rcunferenc¡a

o

orsnnnou-nrus

Resuelve.

Longitud de arco

) r: radio de

ff

Arco y sector c¡rcular

'

En scckrr N0,determinael signode N = cos 0.cot 0.cos p.

s(ll i{ l' ¡ \( rl x

Determina el signo de la siguiente expresión:lV =

6, Siendo 3 re"

Reenrplazanros valores y sinrpl ificarnos:

^

3.

5.

+

I0")

posición normal, determina el valor de

4. Si se cumple que: sen 0 > 0 y tan 0 < 0, ¿a qué cuadrante pertenece 0?

lflnf-secl80' 270t sc 2r

sen

r¡'lr¡ci(rn rlc'¿íngtrlos:

Irar¡.r = 170" .> csc 270" EI ¿ingulo es 170'.

,\= ¿-+.lá- =---¿¡¡ ¿ +\l¡

< a c

l$) \.1/

..t

Sca rittgLtkr r trrl c¡ue 0 r, Chrome, Edge, etc.) lo siguiente: infografía + av¡ones más veloces

Así obtendrás información respecto a algunos modelos de aviones más veloces del mundo, su estructura y funcionamiento.

q

/l '/j\ \1'- 2 I

/ l. "5\ l) l1'-Tl

ó § E

p e

E

O

¿Cuánto es el valordel ánguloAOB?

@

catcula ¡¡ = cosÁ6c- + senÁ6D

O

Halla el valor

Gl

oetermina p =

de

N=

15.

/3'sen

(cos e

(e +

{)

60'

* secÁG -

tan

t

0) l/2

+ cos (o +

})

t

o 222

UNIDAD

ó

Lineas e identidades triSonométricas

223

TEXTO ESCOLAR

Línea trigonométrica seno y coseno !Texto escolar (pá9.54)

¡

Libro de actividades (págs.224-225)

Línea trigonométrica seno y coseno

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedimientos

o

ldentifica y representa gráficamente senos y cosenos en la circunferencia trigonométrica. (1-9; 1-12)

o

Analiza el comportam¡ento de las representaciones gráficas de las líneas seno y coseno. (1314)

Línea tr¡gonométrica seno La línea o segmento vertical es la que representa al seno en la C.T

LÍnea seno

Sugerencias didácticas

EJEMPLO

Para iniciar

I I

1

Grafica sen

lt/otive a los estudiantes con el texto introductorio, con la finalidad que conozcan la aplicación de este tema, en situaciones de entorno real.

{,

*"(- r),'"n f

c.r.

r l

e.r,

Pida a los estudiantes que construyan una circunferencia trigonométrica casera. (Recuerde pedir el material en la sesión anterior). para ello, indique que realicen lo siguiente: 1.o Recorten dos cÍrculos, uno de 40 cm y el otro de 8 cm de diámetro. 2." Recorten hasta la mitad el círculo pequeño y peguen una flecha que dará la idea de radio vector. 3.o Forren el circulo mayor (pueden utilizar papel contact) y hagan un corte. Pasen por delante la flecha y dejen por detrás el cÍrculo menor. 4.o Al girar la flecha, se verá por delante parte del círculo menor, el cual representará al ángulo girado.

v sen(-f;) en ra

TEN EN CUENTA

T

4

Todo ángulo en pos¡ción

normal será representado en la circunferencia tri8onométr ca por un arco diri8ido medido a partir de (1;0).

ft/encione que esta circunferencia es una herramienta práctica para el manejo de varios conceptos de trigonometrÍa.

C, T,

Línea tr¡gonométrica coseno La línea

Línea coseno

eJ,

B'

osegmento horizontal es a que representa al coseno en la C.T

EJEMPLO 2

Para desarrollar

I t

Destaque que la lÍnea seno se relacionará con la línea vertical o cateto opuesto del triángulo que quedará determinado entre el lado final y el eje X al momento de girar la flecha. lnicie el giro, deténgase en algunos lugares y destaque para esa posición el triángulo de referencia y la lÍnea seno,

I

C, T,

fJ

x

Haga notar que, a medida que va girando la flecha, esta lÍnea va creciendo desde 0 hasta 1, cuando el ángulo pasa de 0" a 90o; decreciendo desde l hasta 0, cuando el ángulo pasa de 90" a 180"; decreciendo desde 0 hasta -1, cuando el ángulo pasa de 180" a270" y creciendo desde hasta 0, cuando el ángulo pasa de 270" a 360".

Pá,8i8.

8

2n _T

cApACtDADES

Comunica

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

lf

La línea cos 210'es vertical

1u

6. 1. (ti)

"n @ La línea trigonométrica sen 180'está contenida en el eje X negativo. (F)

Brinde las orientaciones respectivas a fin de que realicen un tratamiento similar para la lÍnea trigonométrica coseno.

@ La línea trigonométrica de

Para consolidar Pida que resuelvan las actividades

I

a 9 de la sección "Desarrolla tus

capacidades" para aftanzar el aprendizaje.

54

cl-.

C, T.

324,e26

ff orsnnnou-arus V-

Asimismo, comente que la lÍnea queda por arriba del eje X cuando el ángulo se encuentra en los cuadrantes I y ll; y queda por debajo del eje X, cuando el ángulo se encuentra en los cuadrantes lll y lV por ello, decimos que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrantes, y es negativo en el lll y lV cuadrantes.

x

l5r

,.?F

sen 60o es igual a Ia

línea trigonométrica de sen 300".rvr

I

Y

3n

-i

f,

Y

a

1-9

ñ l

Grafica en la circunferencia trigonométrica.

e

o *" (-*) @ *, (-Í)

E

o

*'(-*)

E

cosf;

€

E E

E senf

g

"osf

g3

,

a o

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

ríNEAs rRrGoNoN¡ÉTRrcAS

LÍNEAS TRIGoNoMÉTRIcAS

E

E

Líneas trigonométricas

fl

orsannou-nrus

cAPAcTDADES

líneas trigonométr¡cas de un ángulo son segmentos referldos a las razones

trigonométricas de dicho ángulo en una circunferencia trigonométrica.

Línea trigonométr¡ca seno

Línea seno

El

seno en la circunferencia trigonoméúica (c.

l')

Gráf¡co del seno en la c.

T.)

está indicado por la ordenada de

Osen$

B

0senfr

O

O

P

*, (-?)

C

I

Y

trl2

1f

1

0

3rrl2

*'(-5)

B

@

Y

"o'f

2Í

f

x

0

1

EJEMPLO 2 Var¡ación

Ángulo

x

'.no={={=r

O Ecuación principal

de la recta /l que pasa por cl lado AC.

.9

_ 5_5 ,. ''' _ I t-4 ( l) I Corno 1 es paralelo a ll, entonces m = mt Hallamos ll ecuación pedida de la recta: 2=5-t 20 r' 2=5(¡-4)+y 5x-_v Itt =0 > Ecuación general

ñ

!

-

5.

§ o

UNIDAD

7

Geometría

269

210

LIBRO DE ACT¡VIDADES

lVlodelación matemática ñ

Lrbro de actrvidades (pág1 2711

Capacidades y desempeños precisados . Usa formas geométricas, sus medidas y sus propiedades It/odela objetos

Usa eslrateg¡as

al

Mi cuerpo es geométrico

explicar objetos del entorno. (1-4)

o

y procedimientos

Sugerencias

d

Resuelve situaciones problemáticas utilizando el volumen de esferas y fonco de conos. (1-4)

Muchos objetos que nos rodean se aproximan a formas geométricas conocidas. Por ejemplo, una pelota de fútbol se asemeja a una esfera, un pino se asemeja a un cono, etc. Así, también, algunas partes de nuestro cuerpo se aproximan a formas geoméúicas, lo cual es muy útil para que los artistas hagan bocetos de personas. Observa en la figura que se muestra cómo el torso, la cabeza y las extremidades se componen de formas conocidas. Si el boceto corresponde a una persona de tu edad, ¿qué volumen aproximado tendrá el torso?

idácticas

Para iniciar

I

Acceda al enlace http://www.minedu.gob.pe/rutas-del-aprendizaje/documentos/ Secundaria/Matematica-Vl.pdf (págs 85-90) para conocer el desarrollo de las fases de la modelación matemática. Resalte que esta estrategia consiste en entregar a los estudiantes un problema vinculado con una situación en contextos diversos y, a partir de ello, desarrollar un modelo matemático.

Estudiamos la realidad

figuras geométricas observas en el boceto del cuerpo ltumano? ¿Podrías estimar los volúmenes de cada parte del cuerpo humano? ¿Qué

lf

Para desarrollar

I

I

I

I

Sí, el cuerpo [rurnano tiene la lbrma aproximrda dcl dibujo. Adenrís. este clibujo a la realidtrd.

@ Para verificar

tus

resultados, compara tus respuestas con las de tus compañeros.

¿Qué forma geométrica tiene el torso humano? ¿Qué fórmulas te permiten calcular el volumen de los cuerpos geométricos que has mencionado en la

pregunta anterior? Tiene fbma cilíndric¿ o de tronco de cono. Las fórmulas son: V"1¡¡,,¿,,,

a9

En la fase "Hacer suposiciones o experimentar", motive a que realicen la gráfica de la figura geométrica con sus respectivos datos. Pregunte ¿Cuál sería el volumen aproximado del tronco de un hombre que mide de hombro a hombro 48 cm; de extremo a extremo de la cintura, 45 cm y cuya altura de torso es 42 cm? (El volumen aproximado seria71314,l 1 cm3 o 0,071 m3).

Pida que grafiquen en una hoja el cuerpo humano completo con sólidos conocidos o parte de ellos. Luego, que midan a uno de sus compañeros y calculen el volumen aproximado de su torso. Besalte la importancia de describir los procesos realizados en forma ordenada y clara,justificando cada uno de ellos. Realice las correcciones pertinentes. Desarrolle la fase "Validación de la solución", a partir de la actividad sugerida por el personaje que se encuentra al maroen.

¿Consideras que el cuerpo humano tiene la forma del dibujo mostrado?

es cl quc mirs sc aproxirna, y los c¿ilcukrs lurnéricos de volú¡nenes se acerca¡l

lndique a los estudiantes que se organicen en pares para apoyarse en el trabajo y pida que den solución a las actividades de la sección "Concretar una finalidad problemática y reconocer cómo resolverla". Pregunte: La medida del diámetro de la base mayor del tronco de cono con mayor altura que se observa en el boceto, ¿qué parte del cuerpo representil (La distancia de hombro a hombro). Si mides el ancho de tu cintura, ¿con qué datos se relacionan? (El diámetro de las bases menores de los troncos de cono con el Ióraxy la cadera).

En la fase "Realizar la formulación matemática", pregunte: ¿Qué pasaria si una persona tiene la medida entre los hombros y la medida de los extremos de la cintura de igual tamaño? (El sólido que representa el tronco serÍa un cilindro).

T

¿,Qué opinas?

En la fase "Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad", soliciten que parafraseen el problema para que puedan responder con mayor facilidad las preguntas propuestas. Pregunte: Al tener todos diferentes rasgos en la forma del cuerpo, ¿crees que el bosquejo es universal?

Para consolidar

I

MODELACIÓN MATEMÁTICA

I

=

lr2' h y

Vnnu"o¿"..no"* =

Ildtfg

@ Al medir a un hombre adulto de hombro a hombro, se obtiene una medida de 44 cm,y de extremo a extremo de la cintura, una medida de 34 cm. Si la altura del torso es 40 cm, ¿qué cuerpo geométrico representa el torso? ¿Qué datos de dicho cuerpo geométrico se tendrían?

cono dato se tendrían su diámetro superior de 44 cm y su diámetro int'erior de 34 cm, con una altura de 40 cm. Representa un lronco de cono recto, y

: .§

p e

§

!l

N N @ j

.i i

¿Qué tendrías que hacer para calcular el volumen del cuerpo humano?

'a a

Representar geomélricamentc cada parte del cuerpo humano, calcular sus volúnrenes y luego sumarlos.

v..,,,,,.,.-

(,,,

ó o o 3 o

1., *,,, 1rr. *,,, {-r,'+...)

p = =o r

frt,1r,'+R,'r -¡ r, R,¡+ trl!,(r, r R, +r. R.l *./ \ +\-r

@

@

UNIDAD

7

Geometrla

271

c -§ .F É

a 6

LIBRO DE ACTIVIDADES

Centro de oravedad o centroide de figuras planas §

Líbro de actividades {pá1s 272-2'13)

t

GEOMETRíA ANALÍTICA

centro de gravedad o centroide de figuras planas

TEN EN CUENTA

Capacidades y desempeños precisados .

Comunica

-

Sean

o

.

Argumenta af irmaciones

Y

B(&;y2) extremos de un segmento. El centroide o punto medio es:

Representa en el plano cartesiano el centroide de figuras planas. (1-5)

Usa estrategias y procedimientos

A(rj; )j)

nr/{1+¡!. }r + }z\

'''\2

Calcula el cenfoide de figuras planas en el plano cartesiano (6-e)

2t

y Sean A(xr; )j). B(r2; c(x3; )J vértices de un triángulo. El centroide o baricentro es:

Plantea conjeturas respecto a los centroides de figuras planas en el plano cartesiano. (10-12)

+J2 + &. yl +],)2 + lf3\

^/Ir

3

"\

'

3

/

Sugerencias didácticas Para iniciar {§ Trabaje con

ci c rq

§fó o o

) !

s =o L a

§C C

a @

§

.7)

B(-3

l)

x

t2

Aplicamos la fórmula para hallar el P(0;

El centro de gravedad de AB es P(0;

-

I

).

B(

2;

-l)

3)

EJEMPLO 2ó Sean A(l; -3), B(-31 5) y C(5; 7) las coordenadas de los vértices de un triángulo. Calcula y representa las coordenadas del baricentro.

x

'

Apricamos G

('l!l','t!{O)

O(-lá1á, j€af)

*qr;3)


¡¡ = 5; F,(01 4) y F,(0; -4) Distancia entre k¡s lircos: 2r'= 8 + r'=,1

Sean

llalhmos

b:25=É + 16+l¡=-l

I-i)rm¿lmos la ecuaciírn caltinica:

>l5r +r)r.225

I9)\+1.=l

La ccrtación general es: 25rr + 9_rr 225 = 0.

Determina la ecuación general de ta elipse si C(2; 3.), el eje menor = 4 u, la distancia entre los focos 4rl3 y su eje focal es paralelo al eje Y.

Pordato:2á=4

+b=2

Distancir entrc los lbcos: 2, = 4vE + c = 2tE Ilallamos u: «2 = 2: + (2t/1)) + u - 1

l'oImillll(l\ h t.r

- l)l

4.rl +

r'l

(v

e. ulrr'idn

-.1)l

l6

t,rtlirlrlil:

- I +4(.r

l)l+{\ .l)- lt'

16.r-(r-v+ 9 =0

las longitudes del eje mayor. cjc mcnor. las coordenadas del foco y los véfices de la elipse

lD Halla

de la ecuación

Determina la ecuación canónica de la elipse con focos F¡(2; 0) y Fr(-2; O) y =?.

A,lelnas;

C(1; 2)

C(l; 2).

.':¡,-='r

,S /¡ rr¡-1,:=4 ,,\_-+la-t b¡ b = tI=2,+ i - 2 y u. = t4Jl + u2 = 48

16

4tv - 2\2 - 1)2*T=I 4

Entonces, el centro de la elipse es a c

r.\ l) (r. +S -*'ltl

LilL'L'Ulr\'lr,ll(.

B

=r{11

Encuentra la ecuación canónica de la elipse que satisface las condiciones dadas.

Irl.¡

I

o I

+ ¡-+¡r + r/tir+,1r =2u + i - 15 Hallamos b: 45 = É + 25 + b2 = 2(i

2vll)

F,(-r/lo; o) y F.(/lo;0)

=a

/zr

Ejc mcnor: 2b =2^/2

h) Eje menor 2rD u y vértices en (+4r5; 0).

+ 3 = 0.

! e

sc

o

2x

* -u+qb¡2 -4y)=-lz

p

c a

-

13=0

=

§

O

4y2

(x-l)2+40-2)2=4 ó5x2 + 16y2 +

I,ocos

I

Ordenamos, factorizamos y completamos cuadrados de los términos en -r y

Í -X

F,(01

4J3 ./Tt='f2)+,,r-,

¿) Vértices en (0t +5) y focos en (0; +3).

Determinamos el centro de la elipse de ecuación

l-2x+4y2 - l6y+

-2vT) y

b) Eje nrayor: 2a =

. 1,r' - f t *,2 2)+ F:(-4; 2)

-5:

D(P. F,) + d(P. l'',) = 2«

- 8 lijc rncnor: 2á = 4 r, -lr/.r

I-ocos: F,(0t

*6 + | + 9

-=

EJEMPLO 44

.

tr tr tr

a) Eje rnayor: 2«

Ordenamos convenientemente y factorizamos completando cuadrados:

I

Halla la ecuación ordinaria de la elipse que pasa por el punto P(4; 6), si su centro está en C(1; 2) y uno

tlt,. l-,r

Encuentra las longitudes de los ejes mayor y menor, y Ias coordenadas de los focos de las siguientes elipses. ..) ,,2 ' .2

.l =ll+,1

Usa estrate8ias y procedimientos ó"'12

Sabenros lxrr definicirir:

,,rro+fn=r ufi+)r=t

Determina su ecuación ordinaria.

1-5

de sus focos es F,(6; 2).

E]

Resuelve.

36 = o

O.

Sea la ecuación general de una elipse ;2 + 4y2 + 2x

v

La medida del eje mayor es mayor que la distancia entre los focos.

EJEMPLO 43

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

La excentricidad en una elipse siempre es mayor a 1.

Luego.e=i1 =9.75

.

O

l'r( I -

Gl Cuando a < ú, la elipse tiene el eje mayor paralelo al eje Y.

a2=9*a=3.,b2=4+b=2

.

La ecuación canónica de una elipse tiene su centro en el origen de coordenadas.

G) La ecuación ordinaria de la elipse tiene su centro en el punto (0; k).

EJEMPLO 42

Dernuestra que la ecuación genera de una elipse tiene la forma:

comunica:

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

Il

ARGUMENTA AFIRMACIONES

DESARROLLA TUS CAPACIDADES

'

I + 2y2 + 2x

16y + 17 = 0.

Complctamos cuadr¿rdos: (xr + 2.r) + (2¡r- 16.r) + 17 = o

l)+2(r2 8r-+l(r+ 17 I 32=0 r.rrlri+.)r,- 4rl=ln >rt1,l r:*"^ ^t', =, t2. 2 l' Eje tnr)1'r; ',¡ = X: Ei, rnerlor: 2h = 4r l Hallanxrs c: 16 - 8 + L) + t =2rt (,r2+2.r+

F,( I - 2r'2:4)yF.( I +212;4)

,

V

r(-51 4) y V.(-l; 4) UNIDAD

7

GCOMCITÍA

281

La parábola I Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias y procedimientos

o

Reconoce los elementos de la parábola en el plano cartesiano. (1-7)

o

Resuelve problemas aplicando las ecuaciones de la parábola. (8-13)

Sugerencias didácticas

eje X; además, podemos identificar si p es positivo o negativo). ¿Y cuándo las ramas de la parábola están hacia arriba o hacia abajo? (Que el eje focal es paralelo al eje Y; si las ramas están hacia arriba, p es positivo, y si están hacia abajo, p es negativo).

I

Proponga graficar las ecuaciones ordinarias obtenidas en los ejemplos 49 y 50 para que identifiquen gráficamente los datos presentados inicialmente. Relacione lo aprendido a través de las actividades 8 y 9.

I

Para realizar la actividad propuesta en la sección "Argumenta afirmaciones", sugiera desarrollar el binomio y el producto de una ecuación ordlnaria cuando el eje focal es paralelo al eje X. Si el eje focal es paralelo al eje Y se parte de la expresión (x + h)2 = 4p (y - k).

I

En el ejemplo 51, interrogue: ¿Por qué se emplea la ecuación ordinaria presentada? (Porque el eje focal es paralelo al eje X). ¿Cómo se obtiene la ecuación general? (Desarrollando la ecuación ordinaria e igualando a cero). En el ejemplo 52, ¿por qué es necesario completar cuadrados? (Para formar un trinomio cuadrado perfecto, factorizarlo y obtener un binomio al cuadrado). Asegúrese que los estudiantes recuerden la factorización completando cuadrados. En el ejemplo 53, invite a que presenten los diversos procedimientos empleados para hallar los valores de A, B y C.

Para iniciar

I

Proponga a los estudiantes la construcción de una parábola: lndique que tracen una recta vertical d (la que será la directriz). Sobre ella tome un punto D y tracen una recta perpendicular DH. Sobre DH ubiquen el punto F, Luego, ubiquen el punto A (A es de la parábola) tal que sea punto medio del segmento DF. Sobre la semirrecta AH (de A hacia la derecha) tomen un punto variable V y para cada posición de V tracen:

-

Rectas que pasen por V que sean paralelas a

Libro de actividades (págs. 2BB-2S[

d

Circunferencia de centro F y radio de longitud DV Unan los puntos P en los que se cortan las anteriores rectas y las circunferencias trazadas.

Para desarrollar

Para consolidar

I

I

Solicite a los estudiantes que realicen la metacognición a partir de las siguientes preguntas: ¿Qué estrategia personal facilitó mi aprendizaje? ¿Qué me gustó más de la clase? ¿Cómo fue mi participación en clase? ¿Para qué me servirá lo que aprendí?

I

lndique que elaboren una lista de lugares donde observen la forma geométrica de la parábola, tales como la caída del agua de piletas o fuegos artificiales.

§

I

I

A partir de la gráfica realizada que identifiquen los elementos de la parábola. Logre que deduzcan a partir de la medición que el eje focal de la parábola es eje de simetria. Concluya con los estudiantes que el vértice es el punto de Ia parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetrÍa). El foco es el punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interlor de los brazos de esta y a una distancia p del vértice. La directriz es una línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola. Comente que p es el parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales) y el lado recto (LR) es la cuerda focal que es perpendicular al eje focal. En la ecuación canónica, pregunte: ¿Cómo se puede determinar gráficamente si el eje focal de la parábola coincide con el eje X o eje Y? (Si las ramas de la parábola están a la derecha o izquierda, su eje focal es el eje X; si las ramas están hacia arriba o hacia abajo, su eje focal esY). ¿Cuáles son las coordenadas del vértice en ambos casos? ((0; 0)).

Pida que realicen la actividad propuesta en "Usa estrategias y procedimientos" que se encuentra al margen. N4otive a los estudiantes que elaboren las gráficas de las parábolas presentadas en los ejemplos 46y 47. Sugiera el uso de papel milimetrado o el empleo de programas graficadores. Para una mejor comprensión de la ecuación ordinaria, interrogue: ¿Qué representan h y k? (Las coordenadas del vértice, donde h es la abscisa y k la ordenada). ¿Qué infornación se obtiene al observar que las ramas de la oarábola están hacia la dereche o izot icrda? (O r re sr r eie fonal cs naraloln al

Actividades complementarias

1.

Determina la ecuación de cada parábola que tiene vértice en el origen y que satisface la condición dada.

a)

F (3;

0)

b) d: x

= 3/5

c) F (0; 2/3)

2. Lalla la ecuación 3.

N

)

ordinaria y grafica la parábola de vértice (3; -1), que pasa por (2, -2), cuyo eje focal está sobre L1: y + 1 = 0.

ó

Halla la ecuación general y grafica la parábola de vértice (2; 3), eje focal paralelo al eje Y, y que pasa por (O; 5)

Élo

4.

Determina la ecuación general y grafica la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje X y pasa por P (1;2), a (-1; 3) y R (-8; a).

5.

Determina la ecuación general y grafica la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje Y y pasa por P (6; 2), a (a; -1) y R (-2,2).

c rq

o l

p

.s ! o

L

a;

§c c @ @

LIBRO DE ACTIVIDADES

.

GEOMETRíA ANALíTICA

GEOMETRíAANALíT'CA

6

Ecuación ordinaria

La parábola

Existen dos casos en los cuales el vértice de la parábola se encuentra en un punto de coordenadas V(h, k) y su eje focal se halla paralelo a uno de los eles cartesianos.

Ecuación canón¡ca TEN EN CUENTA F:

y2

foco

i':

recta directriz

V:

vértice

+

=

cuando el eje focal co¡nc¡de con el eje Y x2

APx

lY/ \t/ \ lr,/

=

x

cuando el

focal es paralelo al eje Y

e.ie

x

x

--T -

= l4pl

Escribev si es verdadero o F si es falso.

a) 5ip>0yelejefocal es paralelo al eje X, la parábola se abre hacia a derecha. V

x

b) sipo

I

V(h, k); F(h + p, k);

F(p,0);d:x=-p

F(0, p); d: y

=

p>o

px= 3000000cm

convirtiendo:¡=30km

0

25

p

€ c

50km

o C

_§

iri)os {le Ésr-¡ll,t

La distancia real en línea recta entre Chincha Alta y Pisco es de 30 km. o

292

)Q

J ! o o o f,

rcA

B

área del dormitorio 2 es igual que el área de la cocina:

Área de la cocina = Área del dormitorio 2 = 36 m2

N N j

@

42.5 knr Long. real (cm)

1 = 48 m2

Mide en el mapa la distancia entre lca y Pisco. ¿Qué distancia real seoara las ciudades?

mapa representa 2 500 000 cm en la realidad.

. = 6 6 = 36 m2

producciones artísticas de

USA ESTRATEGIAS se muestra corresponde a la región

Ica. Si cada centímetro en el mapa equivale a 25 km, ¿cuál es la distancia real en línea recta entre Chincha Alta y Pisco?

es igual que el iírea de la sala-comedor:

@ lvcrr¡,1ll sol]!e io! rliierarr]1.r,j,

Medida en el mapa . I cm datos: Medida real = 5b0año..

Entre ambas ciudades hay una distancia real de 200 km

Observamos en el plano que el dormitorio 2 tiene igual ancho que largo: 7 - 4 = 3 cm. En la realidad, tiene 600 cm = 6 m. lnteractúa con el arte. (Comunica ideas y

10000cm

largo: 800 cm = 8 m

El dormitorio 1 tiene en realidad 600 cm de ancho: 600 cm = 6 m

Ar,

¡=

-

t..--1§!l0 000 cm= -l0 000

1cm *--'5km

Hallamos el área de cada habitación: Área del dormitorio l:

Representamos los

40

Como las habitaciones son de igual ancho, el dormitorio

,*L

l00 cm m

Deteminamos la escala:

500 000

de largo.

l:2OOL=f,+r=

1 tiene en realidad 800 cm de

en el plano. Hallamos el ancho real:

.

- 1 cm Medida real > 2 m = 2ü) cm

Hallamos el largoreal del dormitorio

m'

En un mapa a escala 1:500 000, dos ciudades se encuentran separadas por 40 cm. ¿Qué distancia real, medida en kilómetros, hay entre ellas?

' .

Observamos en el plano que el dormitorio

El dormitorio

.

u

l00

x

fbffi

EJEMPLO 5ó

t

Relacionamos las medidas:

Medida en el plano

100cm

=

La escala utilizada es l: l0 000.

Sala

Y PROCEDIMIENTOS

yffi**+f;*

.

1:500 Escala gráflca

¡

a c UNIDAD

7

Geometr

a

293

§ .E c

o

LIBRO DE ACTIVIDADES

¡

MAPAS Y PLANOS

Actividades complementar¡as

ff

orsannouarus

cAPACTDADES

Usa estrategias y procedimentos: 1-7

1.

Observa el plano a una escala de 1:5000 de la Plaza Mayor de Lima y sus alrededores. Analiza y resuelve. L- . ,

f'ñ

-Z::=--*

rr

9 PALACIO OE GOB]ERNO

f-

I

B "o¡'.'3"*

\

§l

7\.

",.§i"'

cñi'd

O

ti

¿Cuál es la distancia real entre la Catedral de Lima y el Palacio de Gobiemo si en el plano mide 2,8 cm? (Considera los centros de los círculos de referencia).

E

La dislaneia en el plarto es 2,8 cm. Según la escala indicada, la distancia real es: 2,8 5000 = 14 000 cm + 14 000 cm = 140 m.

El

Si te encuentras en el Archivo Arzobispal del Episcopado Peruano del Jr. Lampa y te diriges al Palacio Municipal de Lima. El recorrido total mide 6 cm. ¿Qué distancia real debes recorrer?

ci ¿ :9

E

!o o o

cn

recorer. Ruta

-o

l:Jr.Carabaya Jr.Junín J¡.DelaUnión.

Distarcia en el plano: 4,9 cm. Distancia real: 245 m Ruta 2: Jr. Carabaya - Jr. Callao - Jr. De la Unión.

&

Distancia en el plano: 4,8 cm. Distancia real: 240 m

a c

§ C

a

o

Y

4

?9!lE =I r 2.5 mm

G,

x,

a)f +¡?t+=t b)f +(y+2)2t4=1 c)(y+2)2+(x-2)214=1 4.

Determina la ecuación de cada parábola. Y

a)

b)

,Y

4

2

dimensiones son 4 m de anchoy 7 m de largo. Si en el plano el largo mide 5 cm, ¿cuál es la escala que se utilizó?

2

-2 -1

Si el largo real mide 7 rn y en el plano equivale a 5 cm, la escala es:

5.

ffi=fr-r,r+o O

En un mapa de América del Sur, construido a escala 1:84 000 000,la mayor distancia de este a oeste corresponde a dos puntos situados a 60 mm. ¿Cuántos kilómetros representa en la realidad esta distancia? Utilizando la escala l:84 000 000. hallamos la distancia de 60 mm:

I 84 000

60 rnm

000 .\

d)(x-2)214 +(y-2)2 =1

t

Se ha construido una habitación rectangular, cuyas

- ''' = 5 040 000 000 mm.

5 040 000 000 mm = 5040 krn 294

Y

¿Cuál es la escala empleada en la representación de las hormigas?

l

p €

Escribe en la casilla la letra de la ecuación que corresponde a cada elipse Y

Resuelve las siguientes situaciones.

= 300 nr.

Grafica dos rutas para ir desde la Catedral de Lima hasta el Palacio Municipal sin atravesar la Plaza Mayor, indicando la distancia real que se debe

3.

I

5000=30000cm.

30 000

¿Cuál es la medida real de la hormiga reina que tiene 1,25 veces de largo que la obrera, si la medida de [a hormiga obrera en la foto es 20 mm? ¿Cuál es la medida real de la homiga soldado si mide los 315 de la medida de la foto de las reina?

realitlatl. La escala.r'

Según la escala indicada. la distancia real a recorrcr N N @ j

Según los datos dados en el gráfico, determina: a) Las coordenadas del centro de la circunferencia. b) El radio de la circunferencia. c) La ecuación ordinaria de la circunferencia.

La escala empleatla es de ampliación, donde l4 mm en la imagen represeutan 2,5 mm en la

La ruta indicada mide 6 cm en el plano.

es6

-lol.

En la lbto, la horrniga obrera mide 20 mm y la hormiga reina 25 mm, por taoto su medida real I .2-5 veces de la obrera,4,375 nrm. Hallamos la medida real de la hormiga soldado: 315 4.375 = 2.625 mnr

@

d

2.

Soldado

obrera

1l

n

* f f f

fr§,

==:l

Determina el valor de verdad de las afirmaciones.

* -6 = 0, el centro es tlO; a) En laecuación * - 5 = 0, el valor del radio es 15. b) En la ecuación c) El punto fijo de una circunferencia se denomina centro. d) En (x- 2)2 + (y + 5)2 = 10, el centro es (2; 5). e) Los puntos (-2; 0) y (3; -5) pertenecen a la circunferencia cuya ecuación es (x- 3)2 + ¡? = ZS

Se muestran los tres tipos de hormigas que hay en un nido. Ten en cuenta la medida real de la obrera y

Resuelve los siguientes problemas:

esf + + 4x-6y+ 8 = 0 Hallala pendiente de la recta tangente en (-1 ; 5) a dicha circunferencia. b) Un satélite viaja alrededor de la Tierra describiendo una órbita elÍptica, donde la Tierra es un foco y la excentricidad es 1/3. La distancia más corta a la que se acerca el satélite a la Tierra es 2000 km. Halla la distancia máxima a la que se aleja el satélite de la Tierra. c) Calcula la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos V, (7 ; -2) y Y, (-5', -2) y pasa por el punto P(3; 2). d) Halla el valor de la excentricidad de una elipse si la distancia entre sus directrices es el triple de la distancia entre sus focos. e) Determina la ecuación general de la parábola de vértice en (3; 2) y foco en (5; 2). a) Laecuación general de unacircunferencia

I

B

p ! I

+

Flr:sDr-ri,,sia-s:

f

!;r,i 2)''-.4 ]l-D,ALl 4.r.¡¡=?:rl:j.x"-4y IF]VFIV '2.a)12 11 'rllr.)(( 5. a) 1/2 f.)) 4000 km c) (,r 1)?136 )'\y + 2)211¿ = 1 d) i3/3 a) y' 4v- 8.{ r 2E -. 0

LIBRO DE ACTIVIDADES

Relieves, altitudes y desplazamientos I

MAPAS Y PLANOS

Llbro de activldacies (págs. 295-297)

Relieves, altitudes y desplazamientos

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias y procedimientos

.

TEN EN CUENTA

Las curvas de nivel perrniten representar relieves tridimensionales en olanos bidirnensionales.

Adapta y combina estrategias heurísticas relacionadas con medidas, y optimizar tramos al resolver problemas de desplazamiento, altitud y relieve, (1-7)

EJEMPLO 58 En el relieve que se muestra, se har:ín instalaciones sanitarias colocando un tanque para agua en la cima (A), desde donde abastecerá a dos edificios ubicados en diferentes niveles (B y C).

Sugerencias didácticas

40m

Presente una torre formada por 3 cilindros de diferentes alturas y medidas de las bases. Luego, solicite que dibujen la imagen de la vista de frente, y de aniba. lnvite a que lo representen en la pizana. Relacione esta actividad con la imagen del margen y pregunte: ¿En qué tipo de vista se presenta la imagen? (Yista de arriba). ¿En cuántas dimensiones se encuentran las v¡stas obtenidas? (Dos dimensiones). ¿En cuántas dimensiones se encuentran los lugares y objetos en la realidad? (Tres dimensiones). ¿En qué tipos de planos se observan los relieves de los lugares? (En los planos topográficos). Comente que las curvas presentadas en la imagen se llaman curvas de nivel. Complemente la definición indicando que son IÍneas imaginarias que conectan puntos de igual elevación, y es el método más común para representar la topografÍa de un área.

Sistema en tres

30m

dimensiores

20m

l0m 'Ibda cstn supedicic ¿st¡i i I0 D dc altinrd

La ci¡na está

a

40 m

de

ahitud

Sistema de dos

dimensiones Toda esta supe¡ficie está a 30 m de altitud.

T«ta eslá a 20 m

altitud

a) ¿A qué altura se encuentra el tanque y los edificios? ¿Qué altura separa el tanque de los edificios B y C?

.

Para desarrollar

Realizamos las lecturas de las curvas de nivel mostradas y determinamos las alturas respectivas:

I

El tanque para agua está

I

En el ejemplo 58, pregunte: Si se ubica un punto en cada una de las curvas nivel B y C, ¿la altura que las separa será la misma? (Sí, porque todos los puntos ubicados en una misma curva de nivel se encuentran a la misma altura). Relacione lo aprendido con las actividades 1 y 2 de la sección "Desarrolla tus capacidades".

.

I

Haga énfasis en la información que se encuentra en la sección "lmportante"; para ello, solicite previamente a los estudiantes que traigan la imagen de las regiones naturales del Perú, donde se observen sus respectivas alturas. Proponga calcular la distancia geométrica y la reducida entre dos regiones cualquiera.

A partir del ejemplo 60, inicie el diálogo sobre la importancia de que al realizar diferentes obras o proyectos se debe realizar un estudio muy pormenorizado de sus efectos, a fin de adoptar las medidas correctoras que tiendan a eliminar o minimizar los efectos negativos para la comunidad.

a 40 m de altura.

El edificio B

se encuentra a 30 m de altura.

El edificio C

se encuentra a 20 m de altura.

IMPORTANTE La distancia reduc da se obtiene al medir

directamente sobre el rnapa. La distancia geométrica tiene en cuenta los desniveles Distanc¡a geométrica (AB)

La separación del tanque respecto a cada edificio es:

Edificio B: 40

Para el ejemplo 59, realice las siguientes preguntas: ¿Cómo se obtiene la medida del segmento B8'? (Restando las alturas de B y A). ¿Qué teorema se

-

30 =

l0

m

Edificio C: 40

-

2O = 20 m

b) ¿Cuál es la diferencia de altura que separa a los edificios B y C? . La separación entre las alturas de los edificios B y C: 30 - 20 = 10 m

aplicó para calcular la distancia reducida? (El teorema de Pilágoras). ¿Cuál es la diferencia entre distancia geométrica y distancia reducida? (La distancia geométrica se obtiene uniendo los puntos extremos tomando en cuenta los desniveles y la reducida se obtiene de medir la distancia horizontal entre estos puntos, es decir, se obtiene directamente de medir sobre el mapa).

ll

Los planos reales son como esta lmagen y permlten ahorrar materiales y tomar decisiones atendiendo a la geografia real.

Cima

Para iniciar

I

I

Distancia reducida (A,8,)

EJEMPLO 59 N N j

La distancia geométrica entre dos pueblos, A y B, es de 3ü)0 m. Si estos pueblos se encuentran a 650 m y 975 m de altihrd, ¿,cuál es la distancia reducida que los separa?

.

CJ

Graficamos y colocamos Ios datos. Luego, calculamos AB'. (97s m)

g

I

BB'

É ! !

A (650

§

m) l9*l

nr

-

325 m

c :9

(AB)'z= (AB)'z- (BB)2 (AB')2 = (3ooo)2 (32s)2

!

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

AB'= vg 000{00- 105 625 AB'= 2982.34

La distancia reducida que separa los pueblos A y B es de 2982,34 m, aproximadamente.

o

@

Pida que a partir de un plano topográfico de un lugar del Perú, elaboren dos problemas donde ouedan determinar la distancia redricida v la oeométriea

UNIDAD

7

Geometria

o o o a

p

¿Cuá eselvaordel ángulo que forman la distancia geométrica y la distancia reducida de ejempio ó0? 6.2'

s o

I




ci c

4

2,

R(-2:2) y, además,

[! N N @

d

qm

Reernplazanros en la liírmula:

Además, observamos que el eje de la parábola es el eje Y. Por dato: V(0; I 8) es el vértice.

(S Determina la ecuación general de la parábola cuyo eje focal pasa por los puntos P(6; 2), Q(a; -1) y

:Pll tQll tR BC=¡+3

l+¡,2+6r-+8y=0

@ Determina la ecuación ordinaria de la parábola.

G)

t_ado recto = t_n = lapl De la scgunda pregunta: p

l8)

Observamos la foto y grafica

Halla el valor de,r en cada caso: b) a)

oetermina la longitud del lado recto de la parábola.

fiir om

función de p?

Resuelve.

E

Gl

Sielarcotiene 18 mdeaturayunanchode24 m, ¿cuál es ia ecuación ordinaria que representa la parábola en

X

b)

Y

a)

=t.

ECE

'-:-:::

l.l4 64+y=

-

l0

8) +

144

nt

UNIDAD

7 Geomefía

303

Funciones PRESENTACIÓN

RECURSOS

Esta unidad, referida a las funciones, tiene por finalidad desarrollar el pensamiento analítico y algebraico, considerando como estrategia principal la modelación matemática de situaciones reales. Se realiza una revisión de las principales características de las funciones, lo que permitirá analizarlas, describir su comportamiento y hacer proyecciones. Asimismo, se destaca el estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas y sus aplicaciones en distintas situaciones de la vida cotidiana.

§

eio',o,"ca det docente

.

Día a día en elaula (págs. 314-359)

ffisantillana

En una segunda parte de la unidad se desarrollan temas relacionados con las transformaciones en el plano.

Digital

Secuencia digital: Funciones

O

ESQUEI\IA O

Para empezar Breve introducción al tema ¿Qué aprenderé?

Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante

Funciones y transformac¡ones geométr¡cas

O Compruebo lo que

sé

Actividad interactiva: Saberes previos sobre funciones

Funciones por tramos y de segundo grado Función valor absoluto Función máximo entero

@

Función cuadrática

Transformaciones geométricas

Funciones especiales Función exponencial

Composición de traslaciones

Función logarÍtmica

Composición de rotaciones

Funciones trigonométricas

O

I

Represento una función por tramos

Video: Procedimiento para representar una función

Composición de simetrÍas Composición de homotecias

por tramos

O Analizo y represento funciones máximo entero Video: Procedimiento para representar funciones

Sistemas de mecanismos

máximo entero

articulados

I Ficha de orientación didáctica:

Estrategia para resolver problemas:

Situación

Elaborar una

didáctica de

tabla y un gráfico

Brousseau

Represento funciones cuadráticas y hallo su rango Video: Procedimiento para representar funciones

cuadráticas Razonamiento matemático:

Comparación y suficiencia de datos

Uso de software matemático:

Geogebra

Actividades integradas,

deBly prueba tipo PISA

Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles para afrontar situaciones de contexto real.

activiclacles ñ S.,^

Tpvfn

eqenl:r

ñ *^,^ I ihrn rta a¡tir¡irtnriac

N N @ -j

Síntesis, recursos en la web y autoevaluación

Solucionario

I

Aplicamos lo aprendido Actividad interactiva: Aplicación de los temas desarrollados en una situación cotidiana

de las actividades

O Compruebo mis conocimientos

O

Texto escolar v Libro rle

Una situación a resolver

Actividad interactiva: Situación significativa sobre funciones

pi a

ó

o E l

Actividad interactiva: Evaluación interactiva

p

Para linalizar

o c

Actividad interactiva: Metacognición

@

:M Librotrledia r

ci

Texto

escolar x Libro de actividades

€ c

c § 'F

c q

o

PROGRAMACIÓN Desempeños

Competencias Resuelve problemas de

.

regularidad, equivalencia y cambio

.

\

Conocimientos

Expresa el significado de la dilatación y contracción de una función cuadrática al variar sus coeficientes, y el crecimiento de la función exponencial; sus desplazamientos horizontales y verticales. Combina y adapta estrategias heurÍsticas, recursos, métodos gráf icos o procedimientos para hallar términos desconocidos de una sucesión creciente o decreciente, solucionar un sistema de ecuaciones lineales, una ecuación cuadrática y exponencial asÍ como determinar los parámetros de la funclón cuadrática, analizar la gráfica y la variación de los mismos cuando los coeficientes varían.

.

.

Funciones por tramos: Función valor absoluto y máximo entero

o Funciones

especiales

.

y condiciones a expresiones

algebraicas.

Comunica su comprensión sobre las relaciones al gebraicas.

Funciones

exponencial y logarítmica

.

Traduce datos

Función

cuadrática

Funciones

trigonométricas

Usa estrategias y

procedim¡entos para encontrar reglas generales.

;

Resuelve problemas de forma,

movimiento N N @ j

ci ¿ )q f E

o d o

) p

¡

=o C

@

C

=c @ @

y localización

. Expresa el significado de las propiedades de los cuerpos de revolución o compuestos, asÍ como la conservación y los cambios en las medidas de las figura luego de una combinación de transformaciones geométricas; usando lenguaje geométrico, diversas representaciones o construcciones con regla y compás. Clasifica las formas geométricas por sus caracterÍsticas y propiedades comunes o distintivas.

Tiemoo estimado: 4 semanas

rotaciones, simetrÍas y

homotecias o Sistemas de

mecanismos articulados

o Reconoce

. . . . . o o

. ¡

las funciones cuadráticas a partir de sus descripciones verbales, sus tablas, sus gráficas o sus representaciones simból icas. Describe propiedades de la función inversa. lnterpreta y representa gráficamente la función exponencial y la función logarÍtmica.

Determina el dominio y rango de una función, así como su perlodo. Evalúa y relaciona tablas y gráficos de la función valor absoluto y máximo entero. Determina el conjunto de números que cumplen las condiciones de las funciones valor absoluto y máximo entero. Determina la inversa de una función y evalúa sl dos funciones son inversas. Establece diferencias entre crecimiento lineal y crecimiento exponencial. Elabora modelos matemáticos de situaciones reales empleando funciones exponenciales y logarítmicas.

¡ . .

Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.

o

Examina propuestas de modelos para reproducir movimientos de acuerdo con un propósito contextualizado.

Comunica su

o Describe caracteristicas de transformaciones geométricas sucesivas

relaciones de cambio y equivalencia.

geométricas: Composición de traslaciones,

. Selecciona un modelo referido a funciones cuadráticas al plantear o resolver un problema. . Reconoce la pertinencia de un modelo referido a funciones cuadráticas al resolver un problema. . Examina modelos referldos a funciones trigonométricas que expresen una situación de cambio periódico. ¡ Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema. . Describe y representa la función valor absoluto y la función máximo entero.

Generaliza, utilizando el razonamiento inductivo, una regla para determinar las coordenadas de los vértices de Ias funciones cuadráticas de la forma f(x) = a(x - p)2 + q, Va + 0. Demuestra analÍticamente el crecimiento y periodicidad de una función. Describe las características de una función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Justifica que el valor de cada razón trigonométrica de un ángulo agudo (y la amplitud respectiva) es independiente de la unidad de longitud fija.

Argumenta afirmaciones sobre

o Transformaciones

Desempeños prec¡sados

Capacidades

.

comprensión sobre las formas y relaciones geométricas. Usa estrateg¡as

y procedimientos para orientarse en el espacio.

Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas

Genera nuevas relaciones y datos basados en expresiones analíticas para reproducir movimientos rectos, circulares y parabólicos. de formas bidimensionales empleando

terminologías matemáticas.

. . ¡

Realiza proyecciones y composición de transformaciones de traslación, rotación, reflexión y homotecia al resolver problemas relacionados a sistemas dinámicos y mosaicos, con recursos gráficos y otros. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas.

Explica las razones de sus procesos, respuestas y estrategias aplicadas en la resolución de problemas que demandan las transformaciones en el plano. o Justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades matemáticas.

TEXTO ESCOLAR

Funciones I

Texto escolar

(pág

73)

t

Libro de actividades (págs. 304-305)

Capacidades y desempeños precisados o Traduce

cantidades

¡ .

Usa estrategias y procedimientos

. ¡

Funciones

Selecciona un modelo referido a funciones cuadráticas al plantear o resolver un problema. (Situación principal del Texto escolar) Examina modelos referidos a funciones trigonométricas que expresen una situación de cambio periódico. (Situación principal del Libro de Actividades)

Un agricultor tiene un cerco de 120 metros de largo y necesita cercar tres lados de un terreno rectangular. Calcula la longitud y el ancho del terreno que permitan abarcar Ia mayor superficie.

Determina el punto de intersección entre dos rectas o los puntos de inlersección de una recta con los ejes coordenados. (1-3) Calcula el valor numérico de una función. (4-12) Determina el dominio de una función. (13-18)

Sugerencias didácticas Para iniciar

I

Centre la atención de los estudiantes en la situación planteada y converse con ellos sobre la necesidad de cercar los terrenos. Pida que den algunos motivos por los cuales es necesaria esta acción, en este caso, terrenos agrícolas. Luego, indique que por equipos sugieran las medidas que puede .120 tener el terreno. Enfatice que tengan en cuenta que el cerco tiene metros y debe servir para cercar tres lados del terreno. Sugiera que utilicen un gráfico de referencia para que visualicen mejor la situación. Propicie un plenario para que expongan sus propuestas y resalte que el cálculo de la longitud y el ancho del terreno pretenden que abarque la mayor superficie. Pida que establezcan conclusiones. Haga notar cómo la medida de una de las magnitudes va variando en función de la otra.

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lndique que den lectura a la sección "Aplica la ciencia". Pregunte: ¿El osciloscopio es un dispositivo de visualización gráfica? (SÍ). ¿Muestra señales vailables en el tiempo? (Sí). Mencione que es un dispositivo que se presenta en forma analógica y digital y enfatice su importancia ya que permite visualizar fenómenos transitorios asÍ como formas de ondas en circuitos eléctricos y electrónicos. N/otÍvelos a desarrollar la sección "Repasamos lo que sabemos". Asegúrese que conocen los temas de: punto de intersección de dos rectas, puntos de intersección de una recta con los ejes de coordenadas, valor numérico de una función y determinar el dominio de una función. Temas que necesitarán aplicar para el proceso de solución, Oriente si es necesario.

Para consolidar

I

Proponga: La altura h, en metros, alcanzada por un cohete está relacionada con el tiempo t en segundos, trascurrido desde su lanzamiento por la función h(t) = 39¡ -5¡, f > 0. Halla la altura máxima alcanzada por el cohete. (320 m).

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Para desarrollar

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APRENDEREMOS 4...

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lnterpretar algebraica y 8ráf¡camente la funciÓn valor absoluto, máximo entero y cuadráticas. Def¡nir y describir una función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

lnterpretar la relación entre una función y su inversa. Anal¡zar funciones exponenciales y logarítmlcas. Resolver problemas que demanden la aplicaciÓn de modelos exponenciales

y logaritmicos.

0xti?{,""I sol¡dar¡dad ¿De qué manera has part¡cipado en la

agricultura para que el Perú sea grande y fuerte?

. . .

Evaluar las caracterist¡cas y propiedades de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Resolver s¡tuaciones problemáticas que requieren la aplicac¡Ón de transformaciones de traslación, rotación, simetría y homotec¡a.

valorar la matemática como herram¡enta principal en la apl¡caciÓn de la tecnología moderna.

I,NIDAD

8

FLIIC ones

13

LIBRO DE ACTIVIDADES

Funciones

I

APLICA LA CIENCIA APRENDEREMOS A,. Sistema de visualización del osciloscopio

lnterpretar algebraicamente y gráficamente la func¡ón valor absolutg máximo entero y

El osciloscopio es un equipo que slrve para visualizar formas de onda de tensión de un circuito. Las formas de onda se representan en dos ejes: el eje de abscisas representa tiempo (escala horizontal) y el eje de ordenadas representa tensión (escala verticaL). Las escalas de ambos ejes son modificables por el usuario. La pantalla está diüdida en cuadrículas y lo que el usuario elige es el valor de cada una de esas cuadrículas.

cuadráticas. Definir y describir una función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. lnterpretar a relaciÓn entre una funciÓn y su inversa. Analizar funcrones exponenciales y logarítmicas.

w'

Los osciloscopios son de gran utilidad para Ios técnicos que reparan equipos electrónicos, como los televisores o los radios. Támbién es aplicado en el área de la medicina puesto que su funcionamiento se aplica en los equipos de electrocardiograma Ielectrocardiógrafo) para detectar las señales del ritmo cardiaco.

. .

secante y cosecante.

xrnqlrü d

.

I

¡lg

¿.Qué gráficas de funciones trigonométricas puede obseryarse en

neeasaruros Lo euE sABEMos

Haz el

too

el osciloscopio? Investiga sobre los profesionales que

utilizan los osciloscopios.

N N

valorar a matemática como herramienta principal en la aplicación de la tecnología moderna.

m transductor que permite convertir una magnitud física en señal eléctrica.

.

Resolver situaciones problemáticas que requieren la aplicación de transformaciones de traslaclón. rotación, simetría y l¡omotecia.

I

de fenómenos, gracias a

.

Evaluar las características y propiedades de las

funciones seno, cosen0, tangente, cotangente,

.

El osciloscopio puede medir un gran número

.

Resolver problemas que dernanden la aplicaciÓn de modelos exponenciales y logarítmicos.

Reúnete en equipo y elabora con tus compañeros un proyecto de ciencias en donde puedas utilizar el osciloscopio.

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I

8ráfico de 4 : x + y = 3; lr: 2¡ - y =

ó,

y responde:

¡l

¿Cuáles son los puntos de intersección de los ejes coordenados? (3:0). (0; 3)

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¿Cuáles son los puntos de intersección de 12con los ejes coordenados? (3;0), 6)

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Así obtendrás más información sobre el funcionamiento y el manejo de los osciloscopios.

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Filetype: pdf + osciloscopio digital

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304

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Determina el dom¡nio de cada función.

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euscamos en Ia web

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8

FUNC ONES

305

TEXTO ESCOLAR

Funciones por tramos lTexto

escolar (pá9.

74) ¡

Libro de actividades (págs. 306"308)

Capacidades y desempeños precisados . Describe y representa la función valor absoluto y la función máximo Comunica entero. (1-17)

o Usa estrategias y procedimrentos

o

.

Evalúa y relaciona tablas y gráficos de la función valor absoluto y máximo entero. (18-20)

Funciones por tramos Cuando nos trasladamos de un iugar a otro, podemos avanzar o retroceder. En cualquiera de los casos recorremos distancias y esta se refleja en la función valor absoiuto. Mientras que cuando pagamos un servicio, este puede estar supeditado a condiciones y ello se refleia en la función máximo entero.

Determina el conjunto de números que cumplen las condiciones de las funciones valor absoluto y miiximo entero. (5{; 18-20)

Función valor absoluto Está derinida eor

Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas. (14;21-22)

EJEMPLO

. .

1

2

.

Para desarrollar

§!

-

+

-l

y R(/) = to,

+-r

+,r

- I con los ejes )

= 0.

-l +,

=

-5

Calculamos el punto de intersección con el eje Y. Hacemos -r = 0. y = l0 + 4l 1 ) = 3 > Punto de intersección con el eje Y (0; 3)

- +

Hallamos el punto mínimo de la función. Hacemos

+ ¡ = -4. Ordenada:

Luego, el punto mínimo es

l"r

+ 4l = 0.

y = lx + 4l -1

+ ) = 0- 1+

y = -1

(-4t -l).

Función máximo entero La

función máximo entero es una función con dominio en n < x < n + 1, n c7.R(f) -2. = [¡n - n

lR,

€

/(¡)

cuya regla de correspondencia es

EJEMPLO 2 X

Analiza y grafica la función/(x) = [r + ll Consideramos solo algunos puntos de la función y graficamos en el margen.

.

-3

eol)

*2si-2

Usa estrategias y

Si Juan deposita S/ 30 000 en una cuenta de ahonos que le

=

rango de la función logarÍtrnica es elconjunto de

los números reales.

pasa por el punto (¿, 1).

es creciente para d > y decreciente para

Lul

(¡) = d, donde a > 0.

@ El

1-6

da un interes del loqo amnJcapitalizable trirnestralmente,

de la funcion exponencial.

Representamos gráficamente la función.

ftxl =log"x. Lafunción/k)=lo&,r

La

@

@ La función logarítmica es la inversa

El

La

Comun¡ca:

El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales.

@ La función exponencial

Damos valores a la variable x y determinamos y.

l¡)

cAPACTDADES

Escribe V si es verdadero o F si es falso.

f)

EJEMPLO 2ó TEN EN CUENTA

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¡

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6l¡ irños.

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8

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FUnciones

323

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LIBRO DE ACTIVIDADES

Funciones exponencial y logarítmica natural r

Libro de actividades (págs. 324-325)

a

FUNCIoNES EXpoNENctAL

Funciones exponencial y logarítm¡ca natural

Capacidades y desempeños precisados Usa esfategias y procedimientos

Su

gerencias

.

d

el uso cotidiano de las funciones exponenciales y logarÍtm¡cas existen dos casos especiales: llamada función exponencial natural, y la defin¡da función deflnida por la expresión/x) = por = log"x = ln.r, llamada función logarítmica natural.

En

l,

la

fh

Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas. (l-4)

La importancia de estas funciones especiales radica en la var¡edad de apl¡caciones que tiene en la vida real el número irracional s, cuyo valor aprox¡mado es 2,7183.

idácticas

IMPORTANTE El

número e

Este número irrac¡onal se obtiene dando valores muy grandes a n en la

Para iniciar

tr

y LoGARíTt\flcA

Complemente el marco teórico con la información de la sección "lmportante". / 1 + 1\" Escriba la expresión: |. en la pizarra y pida que reemplacen valores en ella para comprobar que su valor aproximado es 2,7183. Oriente en el uso de la calculadora si es necesario

EJEMPLO 29 Representa gráficamente las funciones/(x) --

.

expresión:

(,**)'

fJ"

Para desarrollar

I

I

I

N N @

:

d i

:Q

!o= o o 3

p ! E o & @

§c c @ @

En el ejemplo 29, resalte la importancia de elaborar una tabla de valores que facilite el trazo de la gráfica. Enfatice que, a más valores, la gráfica podrá realizarse con mayor exactitud. Pregunte: ¿Cuál es el eje de simetria? (La gráfica de la función identidad). Analice las características de las funciones para determinar su dominio, rango, los puntos por los que pasa, si es continua, en qué tramos es creciente, en cuáles decreciente.

USA ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTOS

Forme equipos y reparta las 4 actividades. Entregue un papelógrafo a cada equipo e indique que realicen en él su proceso de solución. Recuérdeles que antes de escribir algo deben ponerse de acuerdo en la estrategia y recursos que utilizarán para darle solución. Dé un tiempo prudencial y, luego, invite a los equipos que realizaron la primera actividad a salir al frente y presentar sus propuestas. Motívelos a manifestar sus acuerdos y desacuerdos para que brinden sus aportes o despejen sus dudas. Llegue a un consenso sobre el procedimiento que consideran más apropiado para la solución.

Concluya indicando que sea y una cantidad cuya razón de cambio (con respecto al tiempo) es proporcional a la cantidad presente en el valor tiempo (t); entonces, yes de la forma y = C. ekt, donde C es el valor inicial y k, la constante de proporcionalidad. Si k > 0 indica un crecimiento exponencial, si k < 0 indica una disminución exponencial. Proponga la siguiente situación: Supongan que una población experimental de hormigas aumenta de acuerdo con la ley de crecimiento exponencial. Si hay 100 tras el segundo día de experimento y 300 al cuarto día, ¿cuántas hormigas tenía la población o rigi nal? (33 hormi gas aproximadamente).

f(x) = ¿

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2

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-ó41

4

0,37

2

0,t4

_J

0,05

4

0,02

-4

0i Representa gráficamente la función h(t) =

Haz el gráfico de la función

g(x)

y'*r =

y su inversa.

I

ry

= ln x

f(t)

su inversa.

EJEMPLO 30

-

Adriana está interesada en la cantidad de habitantes de su país, y observa que desde el año 1990 está modelada por P(r) = Po ' e0p2', donde f representa al tiempo después del año 1990. Si en el año 1990 había 5 millones de habitantes. ¿Cuándo se dupücaná la población? ¿En qué año la población alcanzará los 20 millones de habitantes?

. .

Pordato: Para

.

r=0

+

P(0) = 5 g0O 000.

El tiempo /, cuando la población eofu'

Para consolidar

I

x

I

En el ejemplo 30, presente una situación de contexto real relacionada con la función exponencial natural y logarítmica natural. Haga notar que se debe dar respuesta a dos situaciones, la primera averiguar en qué año se duplicará la población y la segunda en qué año alcanzará los 20 millones de habitantes. En ambos casos deben calcular t.

e' y J@) = l¡¡ ¡.

Elaboramos una tabla para algunos valores de x, de modo que las imágenes /(,r) permitan esbozar la gráfica. Como hemos visto en los ejemplos 2l y 26, las funciones de la forma/(x) = d y f(x) = log" x son funciones inversas. De igual manera, las funciones/(x) = e' y i@) = ln x son funciones inversas. Así, una forma de trazar la gráfica de/(x) = ln ¡ es reflejando Ia gráfica de f(x) = d al otro lado de la recta y = ¡.

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*, =ffi =34ó

se

duplique es 2Po=

> 1ee0..l¿

Po ¿o§2r

)

2024(¿ño2024)

é

Hallamos t para una población de 20 millones de habitantes: 20 000000 = 5 000 000e002,

-

4

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e0§2,

*, =ffi

La población alcanza¡á los 20 000 00O > reql t 6e = 20!)e

=

AO,l

(.rrr(r 20se)

,d Si en el año 1990 había 2 millones de habitantes, ¿en qué año la población alcanzará los l0 dllor".? 1,,7,,

324

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UNIDAD 3

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Pág.131

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Pág. 139

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7.0,1;03;0,9 y 027 mr/s

8.30 díes

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397

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LIBRO DE ACTIVIDADES

Anotoc[ones I

RESPUESTAS Pis. t77

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