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Sesión 19 PROBABILIDAD CONDICIONAL El cálculo de probabilidades es una rama de la estadística que se ocupa del estudio de experiencias aleatorias. Al respecto, sabemos que: Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará en llegar al suelo, etc. Esto es una experiencia determinista. En cambio, si lanzamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. A esto se llama “experiencia aleatoria”.

Veamos un caso

Caso 1: La apuesta Luego de almorzar, David y Micaela están a punto de pagar la cuenta del restaurant y deciden que pagará la cuenta el que no sea favorecido con el número que sale hacia arriba al lanzar un dado.

a) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento que están por hacer David y Micaela si el dado tiene 6 caras? ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….………………………………………………

b) Representa mediante un diagrama de árbol dicho espacio muestral ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….………………………………………………

c) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento que están por hacer David y Micaela si el dado tiene 4 caras? ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….………………………………………………

d) Representa mediante un diagrama de árbol dicho espacio muestral ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….………………………………………………

e) Si en lugar de utilizar un dado, David y Micaela utilizan una moneda para decidir quién pagará la cuenta. ¿Cuál es el espacio muestral de dicho experimento? ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….………………………………………………

f)

Representa mediante un diagrama de árbol el espacio muestral de la pregunta anterior ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………….………………………………………………

Aprendemos Suceso aleatorio: Es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar. Es un proceso (repetible) cuyo resultado no se conoce de antemano.

Espacio muestral (E): Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E. Ejemplo: Sea el experimento aleatorio: “Lanzar una moneda tres veces”

Podemos contar el número de resultados posibles de este experimento con un diagrama de árbol: 1er lanzamiento

2do lanzamiento

3er lanzamiento C +

C C +

C +

C

C +

+

C +

+

Luego el espacio muestral será:

E = {CCC, CC+, C+C, C++, S++, +C+, ++C, +++}

Evento Es cualquier subconjunto del espacio muestral “E”. Se dice que un evento A ocurre si cualquiera de los elementos o resultados en A ocurren. Habitualmente se usan los diagramas de Venn, de la teoría de conjuntos, para visualizar el espacio muestral y los eventos.

S E A

E: Espacio muestral A: Evento a, b: Resultados

.a

.b

Propiedades de los eventos: La unión de dos eventos, representada por “A o B”, se denota por: Ambos AoB "A or B" A B

ES

A B

La intersección de dos eventos, representado por “A y B”, se denota por: "both A Aand Ambos y BB" A

A B

ES

B

El complemento de un evento, representado por “no A”, se denota por: AC C

ES

A A

Eventos excluyentes: Dos eventos A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes si no tienen elementos en común. Así, si un evento ocurre, el otro no puede ocurrir

ES

B A

Probabilidad Condicional: Sea “M” un experimento arbitrario de un espacio muestral E con P(E) > 0. Se define la probabilidad condicional de “A” dado “E” (se denota P(A/E)), se define como sigue:

P( A/E ) 

P( A  E ) P( E )

…… (I)

Importante: La probabilidad condicional de A dado E se expresa de varias maneras, por ejemplo, “la P del suceso A sí ya ha sucedido el suceso E”, o bien, “la P del suceso A condicionado a E”, se puede visualizar en un diagrama de Venn como se aprecia a continuación:

P( A/ E ) 

númerodemanerasenque A y E puedensuceder númerodemanerasenque E puedesuceder

Teorema de la multiplicación de la probabilidad condicional: Si despejamos de la ecuación (I) “P(E∩A), que define la probabilidad condicional y usamos el hecho de que A ∩ E = E ∩ A, obtenemos la siguiente fórmula:

P( A  E )  P( E ) * P( A/E )

Probabilidad (P): Si se repite un acontecimiento aleatorio bajo las mismas condiciones y anotamos las frecuencias relativas de un suceso. Observaremos que estas tienden a estabilizarse alrededor de un número que está entre cero y uno. Este valor recibe el nombre de probabilidad. Reglas de la Probabilidad: Para cualquier evento A, le asignamos el número P(A) llamado la probabilidad del evento A. 1. Le asignamos una probabilidad a cada resultado en el espacio muestral, entre 0 y 1, tal que, “la suma de todas las probabilidades de los resultados en el espacio muestral tiene que ser igual a uno”

P( E )  1

2. La probabilidad de cualquier evento es la suma de las probabilidades de los resultados que hacen aquel evento.

3. Cualquier probabilidad es siempre un valor numérico entre 0 y 1. La probabilidad es cero si el evento no puede ocurrir. La probabilidad es uno si el evento es seguro.

0  P ( A)  1 4. Si sumamos las probabilidades de cada resultado individual en el espacio muestral, la probabilidad total tiene que ser uno

P (T )  1

5. La probabilidad de que un evento A ocurra es uno menos la probabilidad de que el evento no ocurra

P( A)  1  P( A C ) 6. Regla de la suma: La probabilidad de que un evento A o un evento B ocurra es la suma de sus probabilidades individuales menos la probabilidad de la intersección.

P( A o B)  P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) "Aoor “A B”B" A

S E

B

Si los dos eventos A y B son disjuntos, es decir, no tienen elementos en común, entonces:

P( A o B)  P( A  B)  P( A)  P( B)

7. Si los resultados del espacio muestral son equiprobables (igualmente probables), la probabilidad de un evento A es simplemente la proporción de resultados de A en el espacio muestral.

Ley de Laplace :

número de resultados favorables a A casos favorables  número de resultados posibles casos posibles

Esta ley es la definición de Probabilidad a priori o clásica.

Diagramas de árbol: Un evento dependiente se define de la siguiente forma. Se dice que un evento A es dependiente de otro B si para que ocurra A es necesario que ocurra el evento B. Un instrumento útil dentro de la probabilidad condicional son las representaciones que nos permiten analizar la problemática de los eventos cuando estos ocurren uno después del otro. Concretamente estamos hablando de los diagramas de árbol. Este está constituido de varias ramas, cada rama parte de un punto que representa un evento aleatorio diferente.

En el esquema que se presenta a continuación se observa que la rama principal está constituida de eventos con diferentes posibilidades como son:

la siguiente rama consta de

eventos distintos, por ejemplo, que se realizan después de ocurrir manera sucesiva pueden ocurrir eventos después de cualquiera de ellos. Otro ejemplo es el que se muestra, abajo, y ocurre después del evento

, así de

, se observa los

eventos . También observamos que cada evento forma un universo para cada evento por lo que cada rama, de acuerdo con el axioma de normalizabilidad, tendrá que ser igual a uno.

Analizamos Caso 2: Casino de Montecarlo1. A fin de determinar un experimento aleatorio, se ha lanzado un dado, acto seguido se lanzan dos monedas, una después de la otra. Se dan las siguientes condiciones: “Si el número en el dado sale impar se lanza una moneda” “Si sale par se lanza dos monedas”

1. Construya el espacio muestral “E” del experimento. Solución Para construir el espacio muestral utilizamos como ayuda la siguiente tabla de posibilidades: Lados del dado. Primera Moneda Segunda Moneda

1 C

2

3

4

5

6

+

C

+

C

+

C

+

C

+

C

+

No se lanza

C

+

No se lanza

C

+

No se lanza

C

+

Luego, el espacio muestral es: E = { (1,C) ; (1,+) ; (2,C,C) ; (2,+,+) ; (3,C) ; (3,+) ; (4,C,C) ; (4,+,+) ; (5,C) ; (5,+) ; (6,C,C) ; (6,+,+) }

1

El nombre de Monte Carlo proviene de la famosa ciudad de Mónaco, donde abundan los casinos de juego y donde el azar, la probabilidad y el comportamiento aleatorio conforman todo un estilo de vida. Tomado de http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Simulacion_MC.pdf

2. Grafica mediante un esquema de árbol el espacio muestral del Caso 2: Casino de Montecarlo.

C

1 +

C

2 + C

3 Experimento (Montecarlo)

+ C

4 +

C

5 +

C

6 +

3. ¿Cuál es la Probabilidad de que salga alguna cara? 1/2

C

Solución

1/2

+

Paso 1: Anotamos las probabilidades de cada resultado en cada fase del experimento.

1 1/6 1/2

1/2

C

2 1/6

1/2 1/2

1/2

Paso 2: Analizamos para el caso de que salga sólo una cara.

+ 1/2

C

1/2

+

Hay 6 casos ( ) La probabilidad de cada uno es 1/6*1/2 = 1/12

3

1/6

Experimento (Montecarlo)

1/2

Pero como son seis  1/12*6 = 1/2

1/6

1/2

1/2

C

4 1/2

1/6

Paso 3: Analizamos para el caso de que salga dos caras.

1/2 1/2

+ 1/2

1/2

C

1/2

+

Hay 3 casos ( ) La probabilidad de cada uno es 1/6*1/2*1/2 = 1/24

5

1/6

Pero como son tres 1/24*3 = 1/8

1/2 1/2

Paso 4: La Probabilidad que salga alguna cara será la suma de Paso 2 y Paso 3:

1/2

1/2 + 1/8 = 5/8

1/2

C

1/2

6 1/2

+

4. ¿Cuál es la Probabilidad de que salga un número impar y además no salga ninguna cara? Solución Sabemos que el espacio muestral es: Lados del dado. Primera Moneda Segunda Moneda

1 C

2

3

4

5

6

+

C

+

C

+

C

+

C

+

C

+

No se lanza

C

+

No se lanza

C

+

No se lanza

C

+

Entonces, como la condición es:

“que salga un número impar y además no salga ninguna cara” Observamos que el resultado buscado sólo se dará si cumple a la vez las dos partes de la condición, es decir cuando sea a la vez un número impar y no sea cara” En la tabla de probabilidades se han sombreado los tres casos que cumplen esta condición, nótese que: Para que cumpla la primera parte “que salga un número impar”, la probabilidad es 1/6 en cada caso puesto que son seis lados del dado. Para que se cumpla la segunda parte “que no salga ninguna cara”, la probabilidad es 1/2. Luego la probabilidad en cada caso es 1/6*1/2 = 1/12 Pero como son tres casos, la probabilidad sería: 1/12 * 3 = 1/4 Segunda forma Otra forma de llegar a la respuesta es razonar con el espacio muestral: E = { (1,C) ; (1,+) ; (2,C,C) ; (2,+,+) ; (3,C) ; (3,+) ; (4,C,C) ; (4,+,+) ; (5,C) ; (5,+) ; (6,C,C) ; (6,+,+) } Se observa que el espacio muestral registra 12 resultados posibles, de los cuáles, la condición del problema indica: “que salga un número impar y además no salga ninguna cara” En el espacio muestral se observa que hay 3 casos favorables que cumplen la condición de un total de 12. Luego, según la

Ley de Laplace :

número de resultados favorables a A casos favorables  número de resultados posibles casos posibles

Tenemos: 3/12 = 1/4

5. ¿Cuál es la Probabilidad de que salgan tres caras? A partir del espacio muestral: E = { (1,C) ; (1,+) ; (2,C,C) ; (2,+,+) ; (3,C) ; (3,+) ; (4,C,C) ; (4,+,+) ; (5,C) ; (5,+) ; (6,C,C) ; (6,+,+) } Observamos que en ningún caso se obtiene como resultado 3 caras, por lo tanto: P(3caras) = 0

Practicamos En un grupo de amigos el 80 % están casados. Entre los casados, el 75 % tiene trabajo. Finalmente, un 5 % no están casados y tampoco tiene trabajo. 1. ¿Qué porcentaje no tienen trabajo? a) b) c) d)

15% 20% 25% 40%

2. Si uno tiene trabajo, ¿qué probabilidad hay de que esté casado? a) b) c) d)

0.50 0.75 0.80 0.95

3. ¿Qué porcentaje están casados entre los que no tienen trabajo? a) b) c) d)

25% 50% 75% 80%

Caso 3: Viaje por Europa Un grupo de 120 turistas participa de un viaje por varias ciudades de Europa, 48 de los turistas hablan inglés, 36 hablan francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Si se escoge un turista al azar del grupo en mención...

4. ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

5. ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? a) b) c) d)

0.15 0.25 0.45 0.55

6. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo hable francés? a) b) c) d)

0.2 0.3 0.4 0.6

Caso 4: Botellas premiadas Se tiene una caja con 20 botellas de gaseosa para la venta, y se sabe que existen 10 botellas que traen “PREMIO” en su tapa.

7. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera botella que se venda sea la primera que tenga “PREMIO” en su tapa? a) b) c) d)

0.510 0.256 0.187 0.132

8. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera botella sea la segunda premiada?

9. En una caja de 100 artículos hay 10 defectuosos se toman al azar 3 artículos uno tras otro, hallar la probabilidad de que los tres no sean defectuosos.(IP: Probabilidad)

a) b) c) d)

0.73 0.53 0.40 0.28

10. Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A Determinar, P(A/B) a) b) c) d)

4/3 3/4 1/2 5/3

11. Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A P(B/A) a) b) c) d)

B)= 1/4.

B) = 1/5. Determinar,

3/5 5/3 4/5 5/4

12. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar. Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? a) b) c) d)

0.225 0.375 0.450 0.650

Caso 5: Sorteo de premios. Una urna A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B.

13. Sabiendo que salió una bola con número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?

Caso 6: Lectura y TV Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:  A 32 personas les gusta leer y ver la tele.  A 92 personas les gusta leer.  A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar una de esas personas.

14. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver televisión? a) b) c) d)

2.13 2.46 0.55 0.68

Caso 7: Examen de matemática En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado el examen de matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase.

15. Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés? a) b) c) d)

0.80 0.75 0.56 0.40