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• Jesus Alexander Saravia Aguilera

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UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE MORENO

Modelos de Examen Métodos Estadísticos MAT370

Santa Cruz de la Sierra - Bolivia

civilshare.wordpress.com PARCIAL 2, MAT-370

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Santa Cruz de la Sierra, 12 de Diciembre de 2016

Escoja una (1) sola pregunta, marque y resuelva la misma 1.

Análisis de Regresión y Correlación. Una determinada enfermedad está afectando a un pueblo y se ha analizado la relación entre el tiempo de la afectación (TA) de la enfermedad y las edades (E). TA depende de E. Los datos se muestran a continuación. Encuentre: (a) la ecuación de la recta de ajuste [40puntos]. (b) Grafique los datos y la recta de ajuste en el recuadro inferior [20 puntos]. (c) el tiempo de afectación para una persona de 50 años [20 puntos] y (d) Una persona estuvo afectada por 10 días, ¿qué edad tiene esa persona? [20 puntos]. Use 3 decimales para ‘a’ y ‘b’

X

Y

Tiempo de afectación (días) 5 5 10 15 15 15 20 20 25 35 30 35 105 125 (a) Σy=n*a+b*Σx Σxy=a*Σx+b*Σx2 Edades (años)

125 = 2.725 = -2187.5 = 537,5 =

6a 105 a -105 a

+ + +

XY

X2

25 150 225 400 875 1050 2.725

25 100 225 400 625 900 2.275

(b) 40 35

25 20 15 10 5

105 b 2.275 b -1.837,5 b 437,5 b

-17.5

0 0

5

10

15

20

25

30

35

[20 puntos]

(c) y = - 0,667 + 1,229 x

b = 1,229

x = 50 y = 61 días

6a + 105 * 125 = 6a + 129,0 125 = a = -0,667 y = -0,667 + 1,229 x [40 puntos] 2.

y = 1.2286x - 0.6667

30

1,229

[20 puntos]

(d) y = - 0,667 + 1,229 x 10 = - 0,667 + 1,229 x x = 8 años [20 puntos]

Aplicación a series de tiempo. El precio promedio del barril de petróleo crudo durante algunos años se muestra en la tabla inferior. Trabaje con 3 decimales. (a) Calcule la ecuación de la recta de ajuste por el Método 2. [40 puntos] (b) Determine el precio para el año 2017. [20 puntos] (c) En qué año alcanzara el valor de 100 $us. [20 puntos] (d) Grafique los datos y la recta de ajuste encontrada en el inciso (a) en el recuadro inferior. [10 puntos] (e) Sin elaborar ninguna tabla adicional y partiendo de la ecuación de la recta obtenida en el inciso (a) encuentre Ud. la ecuación de la recta del Método 1. [10 puntos]

2009 2010 2011 2012 2013 2014 Σ ym =

Precio promedio petróleo crudo ($US/barril) 80 83 87 96 102 90 538 89,67

2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021

2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5

Año

X

XY

X2

-2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 0

-200,00 -124,50 -43,50 48,00 153,00 225,00 58,00

6,25 2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 17,50

(a) y = ym + (Σxy/Σx2) * x y = 89,667 + 58,000 x 17,500 y = 89,667 + 3,314 x [40 puntos] (b) x = 5,5 y = 89,667 + 3,314 * 5,5 y = 107,90 P = 107,90 $US/Barril [20 puntos] (c) y = 89,667 + 3,314 x 100 = 89,667 + 3,314 x x = 3,118 Año = 2015 [20 puntos]

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120 100

80 y = 3.3143x - 89,667 60 40 20 0 2008

2009

2010

2011

[10 puntos] (e) y = 89,667 + 3,314 (x – 2,5) y = 89,667 - 8,286 + 3,314 x y = 81,381 + 3,314 x [10 puntos]

2012

2013

2014

2015

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Santa Cruz de la Sierra, 12 de Diciembre de 2016

Escoja una (1) sola pregunta, marque y resuelva la misma 1. Ecuaciones Normales. La empresa de prestación del servicio de agua potable de una ciudad analizo el comportamiento de la cantidad de fugas de agua en función del diámetro de la tubería. La tabla inferior refleja el resultado. (a) Determine la ecuación de la recta de ajuste. Los valores de a y b de la recta con 3 decimales [60 puntos]. (b) Grafique los datos y la recta de ajuste en el recuadro inferior [20 puntos] y (c) Determine la cantidad de fugas (valor entero) para un diámetro de 600 mm. [20 puntos].

X

Σ (a)

Y

D (mm)

N° de Fugas de agua

XY

X2

75 100 150 200 250 300 350 400 450 500 2.775

12 10 10 9 9 8 7 7 4 3 79

900 1.000 1.500 1.800 2.250 2.400 2.450 2.800 1.800 1.500 18.400

5.625 10.000 22.500 40.000 62.500 90.000 122.500 160.000 202.500 250.000 965.625

Σy = n * a + Σxy = a * Σx +

-21.922,50 = -2.775,00 * a -3.522,50 =

+ -770.062,50 * b + 195.563,00 * b

y = 2.

14 12 10 y = -0.018x + 12.895

8 6 4 2 0

0

100

200

300

400

500

600

[20 puntos] + +

79,00 = 128,95 = a =

n = 10

b * Σx b * Σx2

79,00 = 10,00 * a 18.400,00 = 2.775,00 * a

b=

(b)

2.775,00 * b 965.625,00 * b

-277,5

(c)

y

= 12,895 - 0,018 x

x = 600 y = 2,09 Nf (600) = 2 fugas

[20 puntos]

-0,018 10,00 * a 10,00 * a 12,895

+

12,895 - 0,018 x

2.775,00 * -0,018

[60 puntos]

Aplicación a Series de Tiempo. El programa “Mi casa” está desarrollando un plan de vivienda y la tabla inferior refleja las casas que se han construido en un determinado de tiempo. Determine (a) a través del Método 2, la ecuación de la recta de ajuste. Use 3 decimales para los parámetros a y b de la recta. [60 puntos], (b) El N° de viviendas para el año 2015. Use valor entero para el resultado [10 puntos], (c) En qué año el N° de viviendas alcanza el valor de 2000 casas [10 puntos] y (d) partiendo de la ecuación obtenida y, sin hacer tabla alguna, obtenga la ecuación del otro método. [20 puntos] (b) NC (2015) = ? n = 8 NC (N° Años X XY X2 Año X casas) 2013 2,5 2020 9,5 2007 1000 -3,5 -3.500,00 12,25 2014 3,5 2021 10,5 2008 1200 -2,5 -3.000,00 6,25 2015 4,5 2022 11,5 2009 1100 -1,5 -1.650,00 2,25 2016 5,5 2023 12,5 2010 1300 -0,5 -650,00 0,25 2017 6,5 2024 13,5 2011 1350 0,5 675,00 0,25 2018 7,5 2025 14,5 2012 1400 1,5 2.100,00 2,25 2019 8,5 2026 15,5 2013 1250 2,5 3.125,00 6,25 2014 1500 3,5 5.250,00 12,25 y = 1.262,500 + 55,952 * 4,5 Σ 10100 0 2.350,00 42,00 NC (2015) = 1.514 casas [10 puntos] ym = 1262,500 (c)

(a) y = ym + (Σxy/Σx2) * x y = 1.262,500 + 2.350,00 * x 42,00 y = 1.262,500 +

55,952 x

2.000 = 1.262,500 + 55,952 * x x = 13,181

[60 puntos]

(d) y = 1.262,500 y = 1.262,500 y = 1.262,500 y = 1066,667

-- Año 2024

[10 puntos]

+ 55,952 x + 55,952 (x – 3,5) + -195,833 + 55,952 * x + 55,952 x [20 puntos]

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Santa Cruz de la Sierra, 11 de Enero de 2017 1. Medidas de tendencia central y de dispersión. (a) Los resultados de resistencia de cuerpos de prueba de hormigón se muestran parcialmente en el cuadro inferior. Se conoce que la cantidad de datos corresponde a un número impar y que la resistencia Mediana es 155 kgf/cm 2 ¿Cuántos cuerpos de prueba se analizaron? Posición …… …… …… …… 8° 9° 10° …… …… …… …… …… Dato …… …… …… …… 147 150 155 …… …… …… …… …… (b) En la producción de una fábrica de hormigón se detectó que la media de resistencia fue 140 kgf/cm 2 y el coeficiente de variación 9%. Determine la varianza (σ2) (c) En un parcial, el número de alumnos es 10 y todos ellos obtuvieron la misma nota promedio: 75 puntos. Determine el coeficiente de Variación e interprete mediante una explicación se resultado. (a) Datos: n = impar Me = 155 kgf/cm2 Me (impar) = ( (b)

𝑛+1 𝑜 2

n = (10 * 2) – 1 n = 19

Datos:

Xm = 140 Kgf/cm2 Cv = 9,0 % σ2 = ? (c) Datos: n = 10 alumnos Xm = 75 puntos Resultados 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 2.

) = 10°

Cv = σ / Xm σ = Cv * Xm = 12,6 σ2 = (12,6)2 = 158,76 Kgf2/cm 4 σ2 = Σxi2 – n*Xm 2 n–1 σ2 =

56250 −10∗5625 9

σ = √𝜎 2 = √0 = 0 𝜎 0 Cv = 𝑋𝑚 = 75 = 0

=0

Cv = 0 Significa que no existe dispersión de los datos y todo se concentra en el valor de la media (Xm = 75)

Distribución de Poisson. La probabilidad para que lleguen exactamente 4 aviones/hora a un aeropuerto es de 16,8%. ¿Cuál es valor de la media de la distribución (μ)? Sugerencia: resuelva por tentativas hasta que hay convergencia y verifique a través de tablas. Use 2 decimales en sus cálculos. Datos: x=4 P(4) = 16,80 % µ=?

Resolviendo por Tentativas P(x) = e-µ . µx x! P(4) = e-µ . µ4 = 16,80% 4!

µ 0 1 2 3 4 5 6

e-µ . µ4 0,00 0,37 2,17 4,03 4,69 4,21 3,21

e-µ . µ4 = 4,03

µ=3 Resolviendo por Tablas P(4) = P(x ≤ 4) – P(x ≤ 3) = 0,815 Para µ = 3 0,815 – 0,647 = 0,1680 Ok Vale su aproximación Tabla F2 Tabla F2 3. Ecuaciones Normales. Una bacteria tiene un tiempo de vida (TV) en función de la temperatura (T) del medio en que se encuentra tal como se muestra la tabla inferior. Determine Ud. (a) la recta de ajuste de mínimos cuadrados y (b) el tiempo de vida (TV) de la bacteria para una temperatura de 8 ºC. Trabaje en (a) con tres decimales y el resultado de (b) en valor entero. (a) ∑y = n.a + b.∑x X Y ∑x.y = a.∑x + b.∑x2 T(ºC) TV (d) XY X2 10 10 100 100 38 = 7a + 280b (– 40) 20 8 160 400 1090 = 280a + 14000b 30 8 240 900 40 5 200 1.600 -1520 = -280a – 11200b 50 4 200 2.500 1090 = 280a + 14000b 60 2 120 3.600 -430 = 0 + 2800b 70 1 70 4.900 b = -0,154 280 38 1.090 14.000 38 = 7a + 280(-0,154) 38 = 7a – 43,120 (b) y = 11,590 -0,154x 81,12 = 7a y = 11,590 – 0,154*8 = 10,361 a = 11,590 y = 10,358 ≈ 10 y = 11,590 – 0,154x TV = 10 días

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5.

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Análisis de Regresión y Correlación. El parámetro ‘a’ encontrado de la ecuación de una recta de ajuste fue a = 4; se conoce que la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas es 30%. Los valores de las abscisas (x) representan la Temperatura (ºC) y las ordenadas (y) el Peso Específico de un determinado material (gr/cm 3). El peso específico (PE) depende de la temperatura (T). determine Ud.: (a) el valor del Peso Específico para una temperatura de 90ºC. Resultado 1 decimal, (b) A que temperatura se alcanza un Peso Específico de 40 gr/cm 3. Resultado en valor entero. Datos: (a) a = 4 y = 4 + 0,30b PE = 4 + 0,30*(90) (b) 40 = 4 + 0,30 T T = 120 ºC b = 30% = 0,3 x = Temperatura (ºC) PE = 4 + 27 = 31 36 = 0,30*T PE = 4 + 0,3*T y = PE (gr/cm3) PE = 31 gr/cm 3 T = 120 Aplicación a Series de Tiempo. Se analizaron los datos del comportamiento del valor del barril de petróleo en los últimos tiempos. Los años observados fueron 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015 y 2016. La ecuación de la recta de ajuste obtenida a través del Método 2 (x = 0 es año central) fue y = 6 + 15x. Determine Ud.: (a) el año en que se obtendrá un precio de 118,5 $us/barril. (b) Cual será el precio del barril de petróleo en el año 2025. 2007 -4,5 (a) y = 6 + 15x (b) y = 6 + 15x 2008 -3,5 118,5 = 6 + 15x y = 6 + 15*13,5 = 208,5 2009 -2,5 112,5 = 15x P = 208,5 $us/barril 2010 -1,5 x = 7,5 2011 -0,5 2012 0,5 Año 2019 2013 1,5 2014 2,5 2015 3,5 2016 4,5 2017 5,5 2018 6,5 2019 7,5 2020 8,5 2021 9,5 2022 10,5 2023 11,5 2024 12,5 2025 13,5

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Nombre y apellido:

Santa Cruz de la Sierra, 11 de Enero de 2017 1. Medidas de tendencia central y de dispersión. (a) Los resultados de resistencia de cuerpos de prueba de hormigón se muestran parcialmente en el cuadro inferior. Se conoce que la cantidad de datos corresponde a un número impar y que la resistencia Mediana es 150 kgf/cm2 ¿Cuántos cuerpos de prueba se analizaron? Posición …… …… …… …… 8° 9° 10° …… …… …… …… …… Dato …… …… …… …… 147 150 155 …… …… …… …… …… (b) En la producción de una fábrica de hormigón se detectó que la media de resistencia fue 130 kgf/cm 2 y el coeficiente de variación 9%. Determine la varianza (σ2) (c) En un parcial, el número de alumnos es 10 y todos ellos obtuvieron la misma nota promedio: 65 puntos. Determine el coeficiente de Variación e interprete mediante una explicación se resultado. (a) Datos: n = impar Me = 150 kgf/cm2 Me (impar) = (

𝑛+1 𝑜 2

) = 9°

n = (9 * 2) – 1 n = 17

(b) Datos: Xm = 130 Kgf/cm2 Cv = σ / Xm Cv = 7,0 % σ = Cv * Xm = 9,1 σ2 = ? σ2 = (9,1)2 = 82,81 Kgf2/cm4 (c) Datos: n = 10 alumnos σ2 = Σxi2 – n*Xm 2 Xm = 65 puntos n–1 Resultados 42250 −10∗4225 σ2 = =0 Cv = 0 Significa que no existe dispersión de los datos y todo se 65 65 9 65 65 σ = √𝜎 2 = √0 = 0 concentra en el valor de la media (Xm = 65) 65 65 𝜎 0 Cv = 𝑋𝑚 = 65 = 0 65 65 65 65 2. Distribución de Poisson. La probabilidad para que lleguen exactamente 6 aviones/hora a un aeropuerto es de 16,8%. ¿Cuál es valor de la media de la distribución (μ)? Sugerencia: resuelva por tentativas hasta que hay convergencia y verifique a través de tablas. Use 2 decimales en sus cálculos. Datos: x=6 P(6) = 16,80 % µ=?

-µ

P(x) = e . µ x!

x

P(6) = e-µ . µ6 = 16,80% 6!

Resolviendo por Tentativas µ 0 1 2 3 4 5 6

e-µ . µ6 0,00 0,00 0,01 0,05 0,10 0,14 0,16

e-µ . µ6 = 0,16

Resolviendo por Tablas P(6) = P(x ≤ 6) – P(x ≤ 5) = 0,606 Para µ = 6 0,606 – 0,446 = 0,1680 Ok Vale su aproximación µ=6 Tabla F2 Tabla F2 3. Ecuaciones Normales. Una bacteria tiene un tiempo de vida (TV) en función de la temperatura (T) del medio en que se encuentra tal como se muestra la tabla inferior. Determine Ud. (a) la recta de ajuste de mínimos cuadrados y (b) el tiempo de vida (TV) de la bacteria para una temperatura de 5 ºC. Trabaje en (a) con tres decimales y el resultado de (b) en valor entero. (b) ∑y = n.a + b.∑x X Y ∑x.y = a.∑x + b.∑x2 T(ºC) TV (d) XY X2 10 1 10 100 33 = 7a + 280b ( – 40) 20 2 40 400 1660 = 280a + 14000b 30 4 120 900 40 5 200 1.600 -1320 = -280a – 11200b 50 5 250 2.500 1660 = 280a + 14000b 60 8 480 3.600 340 = 0 + 2800b 70 8 560 4.900 b = 0,121 280 33 1.660 14.000 33 = 7a + 280(0,121) 33 = 7a – 33,88 (b) y = -0,126 + 0,121x -0,88 = 7a y = -0,126 + 0,121*5 = 0,479 a = -0,126 y = 0,479 ≈ 0 y = -0,126 + 0,121x TV = 0 días

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5.

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Análisis de Regresión y Correlación. El parámetro ‘a’ encontrado de la ecuación de una recta de ajuste fue a = -4; se conoce que la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas es 27%. Los valores de las abscisas (x) representan la Temperatura (ºC) y las ordenadas (y) el Peso Específico de un determinado material (gr/cm 3). El peso específico (PE) depende de la temperatura (T). determine Ud.: (a) el valor del Peso Específico para una temperatura de 90ºC. Resultado 1 decimal, (b) A que temperatura se alcanza un Peso Específico de 40 gr/cm3. Resultado en valor entero. Datos: (b) a = -4 y = -4 + 0,27b PE = -4 + 0,27*(90) (b) 40 = -4 + 0,27 T T = 163 ºC b = 27% = 0,27 x = Temperatura (ºC) PE = -4 + 24,3 = 20,3 44 = 0,27*T PE = -4 + 0,27*T y = PE (gr/cm3) PE = 20,3 gr/cm3 T = 162,96 Aplicación a Series de Tiempo. Se analizaron los datos del comportamiento del valor del barril de petróleo en los últimos tiempos. Los años observados fueron 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015 y 2016. La ecuación de la recta de ajuste obtenida a través del Método 1 (x = 0 es año inicial) fue y = 6 + 15x. Determine Ud.: (a) el año en que se obtendrá un precio de 118,5 $us/barril. (b) Cual será el precio del barril de petróleo en el año 2025. 2007 0 (a) y = 6 + 15x (b) y = 6 + 15x 2008 1 98 = 6 + 15x y = 6 + 15*18 = 276 2009 2 92 = 15x P = 276 $us/barril 2010 3 x = 6,1 2011 4 2012 5 Año 2014 2013 6 2014 7 2015 8 2016 9 2017 10 2018 11 2019 12 2020 13 2021 14 2022 15 2023 16 2024 17 2025 18

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Nombre y apellido:

Santa Cruz de la Sierra, 08 de Junio de 2015

2.

3.

4.

La probabilidad para que lleguen exactamente 5 aviones/hora a un aeropuerto es de 10,08%. ¿Cuál es el valor de la media de la distribución (µ)? P(x=5) = 10,08% P(5) = (e-µ x µ5) / 5! = 0,1008 µ=? (e-µ x µ5) = 5! x 0,1008 = 12,096 µ e-µ x µ5 0 0,00 1 0,37 2 4,33 3 12,10 µ=3 4 18,76 5 21,06 El aeropuerto de una determinada ciudad presenta una media de distribución de llegadas (µ) igual a 5 aviones por hora. La probabilidad de que lleguen más aviones de la capacidad de dicho aeropuerto es de 6,8%. ¿Cuál es la capacidad de atención de llegadas de aviones por hora de ese aeropuerto? µ = 5 a/hr P(x ˃ C) = 1 – P(x ≤ C) = 1 - 0,0680 = 0,932 P (x ˃ C) = 6,80% Tabla F2 con 0,932 y µ = 5 encuentro: C = 8 C=? (Resuelva esta pregunta necesariamente con tablas) Dado µ = 3, determine P(x = 3) P(x = 3) = ? P(3) = P(x ≤ 3) – P(x ≤ 2) C=3 C=2 µ=3 µ=3 Tabla F2 Tabla F2 P(3) = 0,647 – 0,423 = 0,224 = 22,40% Verificación P(3) = (e-3 x 33) / 3! = 22,40% OK! Una determinada enfermedad está atacando a un pueblo y se ha analizado la relación entre el tiempo de la afectación de la enfermedad y las edades. Los datos se muestran a continuación. Encuentre: (a) La ecuación de la recta de ajuste (b) El tiempo de afectación para una persona de 50 años (c) Grafique los datos y la recta de ajuste en el recuadro inferior (d) Una persona estuvo afectada por 20 días, ¿Qué edad tiene esa persona? X

Y

Edades (Años)

Tiempo de Afectación (Días)

XY

X2

5 10 15 20 25 30 105

5 15 15 20 35 35 125

25 150 225 400 875 1050 2.725

25 100 225 400 625 900 2.275

(a)

∑y = na + b ∑x ∑xy = a ∑x + b ∑x2 125 = 6a + 105b 2725 = 105a + 2275b

125 = 6a + 105(1,229) a = -0,674

40

y = -0,674 + 1,229x

35 30

(b)

y = -0,674 + 1,229x y = -0,674 + 1,229(50) y = 60,78 y = 61 días

(d)

y = -0,674 + 1,229x 20 = -0,674 + 1,229x x = 16,82 x = 17 años

y = 1.229x - 0.674

25 20 15

10 5 0 0

5

10

15

20

Edades (Años)

(x – 17,5)

-2187,5 = - 105a – 1837,5b 2725 = 105a + 2275b 537,5 = 437,5b b = 1,229

(c)

T. Afectación (d)

1.

25

30

35

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Santa Cruz de la Sierra, 17 de Agosto de 2016 1.

Medidas de tendencia central y de dispersión. (a) Los resultados de resistencia de cuerpos de prueba de hormigón se muestran parcialmente en el cuadro inferior. Se conoce que la cantidad de datos corresponde a un número impar y que la resistencia Mediana es 147 kgf/cm2 ¿Cuántos cuerpos de prueba se analizaron? Posición …… …… …… …… 8° 9° 10° …… …… …… …… …… Dato …… …… …… …… 147 150 155 …… …… …… …… …… (b) En la producción de una fábrica de hormigón se detectó que la media de resistencia fue 90 kgf/cm2 y el coeficiente de variación 8,1%. Determine la varianza (σ2) (c) En un parcial, el número de alumnos es 10 y todos ellos obtuvieron la misma nota promedio: 55 puntos. Determine el coeficiente de Variación e interprete mediante una explicación se resultado. (a) Datos: n = impar Me = 147 kgf/cm2 Me (impar) = (

𝑛+1 𝑜 2

) = 8°

n = (9 * 2) – 1 n = 15

(b) Datos: Xm = 90 Kgf/cm 2 Cv = 8,1 % σ2 = ? (c) Datos: n = 10 alumnos Xm = 55 puntos Resultados 55 55 55 55 55 55

Cv = σ / Xm σ = Cv * Xm = 7,29 σ2 = (7,29)2 = 53,14 Kgf2/cm 4 σ2 = Σxi2 – n*Xm 2 n–1 σ2 =

302500 −10∗3025 9

σ = √𝜎 2 = √0 = 0 𝜎 0 Cv = 𝑋𝑚 = 55 = 0

=0

Cv = 0 Significa que no existe dispersión de los datos y todo se concentra en el valor de la media (Xm = 55)

2.

Distribución de Poisson. La probabilidad para que lleguen exactamente 7 aviones/hora a un aeropuerto es de 13,77%. ¿Cuál es valor de la media de la distribución (μ)? Datos: Resolviendo por Tentativas e-µ . µ7 = 0,1377 x=7 P(x) = e-µ . µx -µ 7 µ e .µ P(4) = 13,77 % x! 0 0,0000 µ=? 2 0,0034 P(4) = e-µ . µ7 = 13,77% 4 0,0595 7! 5 0,1044 Resolviendo por Tablas 6 0,1377 µ=6 P(7) = P(x ≤ 7) – P(x ≤ 6) = 0,744 8 0,1395 Para µ = 6 0,744 – 0,606 = 0,138 Ok Vale su aproximación 10 0,0901 Tabla F2 Tabla F2

3.

Ecuaciones Normales. Una bacteria tiene un tiempo de vida (TV) en función de la temperatura (T) del medio en que se encuentra tal como se muestra la tabla inferior. Determine Ud. (a) la recta de ajuste de mínimos cuadrados y (b) el tiempo de vida (TV) de la bacteria para una temperatura de 5 ºC. Trabaje en (a) con tres decimales y el resultado de (b) en valor entero. (a) ∑y = n.a + b.∑x X Y ∑x.y = a.∑x + b.∑x2 T(ºC) TV (d) XY X2 10 10 100 100 38 = 7a + 280b (x – 40) 20 8 160 400 1090 = 280a + 14000b 30 8 240 900 40 5 200 1.600 -1520 = -280a – 11200b 50 4 200 2.500 1090 = 280a + 14000b 60 2 120 3.600 -430 = 0 + 2800b 70 1 70 4.900 b = -0,154 280 38 1.090 14.000 38 = 7a + 280(-0,154) 38 = 7a – 43,120 (b) y = 11,590 - 0,154x 81,12 = 7a y = 11,590 - 0,154*5 = 10,82 a = 11,590 y = 10,82 ≈ 11 y = 11,590 - 0,154x TV = 11 días

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5.

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Análisis de Regresión y Correlación. El parámetro ‘a’ encontrado de la ecuación de una recta de ajuste fue a = 3; se conoce que la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas es 25%. Los valores de las abscisas (x) representan la Temperatura (ºC) y las ordenadas (y) el Peso Específico de un determinado material (gr/cm3). El peso específico (PE) depende de la temperatura (T). determine Ud.: (a) el valor del Peso Específico para una temperatura de 100ºC. Resultado 1 decimal, (b) A que temperatura se alcanza un Peso Específico de 78 gr/cm3. Resultado en valor entero. Datos: (a) a = 3 y = 3 + 0,25b PE = 3 + 0,25*(100) (b) 78 = 3 + 0,25 T T = 300 ºC b = 25% = 0,25 x = Temperatura (ºC) PE = 3 + 25 = 28 75 = 0,25*T PE = 3 + 0,25*T y = PE (gr/cm 3) PE = 28 gr/cm3 T = 300 Aplicación a Series de Tiempo. Se analizaron los datos del comportamiento del valor del barril de petróleo en los últimos tiempos. Los años observados fueron 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014 y 2015. La ecuación de la recta de ajuste obtenida a través del Método 2 (x = 0 es año central) fue y = 12 + 10x. Determine Ud.: (a) el año en que se obtendrá un precio de 97 $us/barril. (b) Cual será el precio del barril de petróleo en el año 2020. 2006 -4,5 (a) y = 12 + 10x (b) y = 12 + 10x 2007 -3,5 97 = 12 + 10x y = 12 + 10*9,5 = 107 2008 -2,5 85 = 10x P = 107 $us/barril 2009 -1,5 x = 8,5 2010 -0,5 2011 0,5 Año 2019 2012 1,5 2013 2,5 2014 3,5 2015 4,5 2016 5,5 2017 6,5 2018 7,5 2019 8,5 2020 9,5 2021 10,5

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Santa Cruz de la Sierra, 08 de Marzo de 2017 1. Medidas de tendencia central y de dispersión. Se hizo un levantamiento de las alturas (expresadas en m) de los edificios de una ciudad. Los resultados ordenados en forma ascendente son los mostrados en la tabla inferior. ¿Cuál es el valor de la Mediana (Me)? 1º 41

2º 42

3º 43

…. ….

…. ….

23° 54 𝑜

24° 54

25° 55 𝑜

26º 60

27º 61

𝑜 𝑜 (50⁄2) + (50⁄2+1)

(𝑛⁄2) + (𝑛⁄2+1)

…. ….

…. ….

(25+26)𝑜

…. ….

48º 76

49º 80

50º 82

( 55+60 )

n = 50 par Me = = = = = = 57,5 2 2 2 2 luego: Me = 57,5 m [15 puntos] 2. Distribución de Poisson. Un hospital tiene una sala de emergencias cuya capacidad es 1 paciente por hora. De acuerdo a los datos observados de los últimos años se sabe que la media de distribución (µ) es de 24 pacientes por día. ¿Cuál es la probabilidad en una determinada hora lleguen…. (Use 3 decimales) (a) Como máximo 2 pacientes? (a) P(x ≤ 2) = Analíticamente = P(0) + P(1) + P(2) = 0,920 = 92,0% [15 puntos] (b) Como mínimo 1 paciente?

P(0) =

C = 1 p/hr

P(1) =

µ = 24 p/día = 1 p/hr

𝑒 −1∗10 0! 𝑒 −1∗11 1! 𝑒 −1∗12

= 0,368

Verificando Por Tablas: µ = 1

= 0,368

C=2

P(2) = = 0,184 Tabla F1 0,920 = 92,0% ok! 2! (b) P(x ≥ 1) = 1 – P(x < 1) = 1 – 0,368 = 0,632 = 63,2% [15 puntos] P (x < 1) = P(0) = ya calculado = 0,368 3. Análisis de Correlación. Ecuaciones Normales. Una bacteria tiene un tiempo de vida (TV) en función de la temperatura (T) del medio en que se encuentra tal como se muestra abajo. Determine Ud. (a) La ecuación de la recta de ajuste, (b) El tiempo de vida de la bacteria para una temperatura de 7 ºC y (c) Si una bacteria tuvo un periodo de vida de 11 días, ¿Cuál es la temperatura de su entorno? Trabaje con 3 decimales! (a) ∑y = na + b∑x X Y ∑xy = a∑x + b∑x2 2 T(ºC) TV (días) XY X 10 10 100 100 41 = 7a + 280b -40 - 1.640 = - 280 - 11.200 20 9 180 400 1.180 = 280a + 14.000b 1.180 = 280 + 14.000 30 9 270 900 - 460 = 0 + 2.800 40 6 240 1.600 - 460 = 2.800b 50 4 200 2.500 b = -0,164 60 2 120 3.600 41 = 7a + 280 (-0,164) 70 1 70 4.900 87,00 = 7a 280 41 1.180 14.000 a = 12,429 y = 12,429 – 0,164 x [15 puntos] (b) TV = 12,429 – 0,164 * 7 TV = 11,280 días [5 puntos] (c) 11 = 12,429 – 0,164 x x = 8,71 T = 8,71 ºC [10 puntos] 4. Aplicación a Series de Tiempo. Se analizaron los datos del comportamiento del valor (en $us) de un material de la construcción en los últimos tiempos. Los años observados fueron 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015 y 2016. La ecuación de la recta de ajuste obtenida a través del Método 2 (x = 0 es año central) fue y = 6 – 0,5 x. Determine Ud. (a) El año en que se obtendrá un precio de 2,0 $us. (b) Cual será el precio de dicho material en el año 2019? 2010 -3 (a) y = 6 – 0,5 x 2011 -2 2 = 6 – 0,5 x 2012 -1 (2−6) X= 2013 0 − 0,5

2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022

1 2 3 4 5 6 7 8 9

X=8 R = Año 2021 [15 puntos] (b) y = 6 – 0,5 x y = 6 – 0,5 * 6 y = 3 $us [10 puntos]

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Nombre y apellido:

Santa Cruz de la Sierra, 08 de Marzo de 2017 1. 1º 41

Medidas de tendencia central y de dispersión. Se hizo un levantamiento de las alturas (expresadas en m) de los edificios de una ciudad. Los resultados ordenados en forma ascendente son los mostrados en la tabla inferior. ¿Cuál es el valor de la Mediana (Me)? 2º 42

3º 43

…. ….

…. ….

23° 54

24° 54

25° 55

(𝑛+1)𝑜

(49+1)𝑜

(d) Como mínimo 1 paciente?

P(0) =

C = 2 p/hr

P(1) =

µ = 24 p/día = 1 p/hr

P(2) =

26º 60

27º 61

…. ….

…. ….

…. ….

48º 76

49º 80

n = 49 par Me = = = = 25𝑜 Corresponde a la altura de 55 m 2 2 luego: Me = 55 m [15 puntos] 2. Distribución de Poisson. Un hospital tiene una sala de emergencias cuya capacidad es 2 pacientes por hora. De acuerdo a los datos observados de los últimos años se sabe que la media de distribución (µ) es de 24 pacientes por día. ¿Cuál es la probabilidad en una determinada hora lleguen…. (Use 3 decimales) (c) Como máximo 3 pacientes? (a) P(x ≤ 3) = Analíticamente = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,981 = 98,1% [15 puntos] 𝑒 −1∗10 0! 𝑒 −1∗11 1! 𝑒 −1∗12 2! 𝑒 −1∗13

= 0,368

Verificando Por Tablas: µ = 1

= 0,368

C=3

= 0,184

Tabla F1 0,981 = 98,1% ok!

P(3) = = 0,061 3! (c) P(x ≥ 1) = 1 – P(x < 1) = 1 – 0,368 = 0,632 = 63,2% [15 puntos] P (x < 1) = P(0) = ya calculado = 0,368 3. Análisis de Correlación. Ecuaciones Normales. Una bacteria tiene un tiempo de vida (TV) en función de la temperatura (T) del medio en que se encuentra tal como se muestra abajo. Determine Ud. (a) La ecuación de la recta de ajuste, (b) El tiempo de vida de la bacteria para una temperatura de 5 ºC y (c) Si una bacteria tuvo un periodo de vida de 12 días, ¿Cuál es la temperatura de su entorno? Trabaje con 3 decimales! (b) ∑y = na + b∑x X Y ∑xy = a∑x + b∑x2 T(ºC) TV (días) XY X2 10 1 10 100 38 = 7a + 280b -40 - 1.520 = - 280 - 11.200 20 2 40 400 1.950 = 280a + 14.000b 1.950 = 280 + 14.000 30 4 120 900 - 430 = 0 + 2.800 40 5 200 1.600 - 430 = 2.800b 50 8 400 2.500 b = 0,154 60 8 480 3.600 38 = 7a + 280 (0,154) 70 10 700 4.900 -5,000 = 7a 280 38 1.950 14.000 a = -0,714 y = -0,714 + 0,154 x [15 puntos] (b) TV = -0,714 + 0,154 * 5 TV = 0,054 días [5 puntos] (c) 12 = -0,714 + 0,154 x x = 82,56 T = 82,56 ºC [10 puntos] 4. Aplicación a Series de Tiempo. Se analizaron los datos del comportamiento del valor (en $us) de un material de la construcción en los últimos tiempos. Los años observados fueron 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015 y 2016. La ecuación de la recta de ajuste obtenida a través del Método 2 (x = 0 es año central) fue y = 6 + 5 x. Determine Ud. (a) El año en que se obtendrá un precio de 33,5 $us. (b) Cual será el precio de dicho material en el año 2021? 2009 -3,5 (c) y = 6 + 5 x 2010 -2,5 33,5 = 6 + 5 x 2011 -1,5 (33,5−6) X= 5 2012 -0,5 X = 5,5 2013 0,5 R = Año 2018 [15 puntos] 2014 1,5 (d) y = 6 + 5 x 2015 2,5 y = 6 + 5 * 8,5 2016 3,5 y = 48,5 $us [10 puntos] 2017 4,5 2018 5,5 2019 6,5 2020 7,5 2021 8,5 2022 9,5