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Problema01. Un objeto se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x(t) = (3.00t2 + 2.00t + 3.00) m, donde t esta en segundos. Determine a) la rapidez promedio entre t = 2.00 s y t = 3.00 s, b) la rapidez instantánea en t = 2.00 s y t = 3.00 s, c) la aceleración promedio entre t = 2.00 s y t = 3.00 s. SOLUCION: a. Rapidez promedio entre t = 2.00 s y t = 3.00 s. Primero hallamos las distancias recorridas en 2 y 3 segundos, con la ecuación del espacio respecto al tiempo. x(t) = (3.00t2 + 2.00t + 3.00) m x(2)= (3.00(2)2 + 2.00(2) + 3.00) m x(2) = (12.00+4.00+3.00) m x(2) = 19.00 m

x(t) = (3.00t2 + 2.00t + 3.00) m x(3)= (3.00(3)2 + 2.00(3) + 3.00) m x(3) = (27.00+6.00+3.00) m x(3) = 36.00 m

Para hallar la rapidez promedio usamos la formula. 𝑉𝑚 = (𝑋2 − 𝑋1 )/(𝑡2 − 𝑡1 ) Donde: X2=36.00 m X1= 19.00 m T2= 3 seg T1= 2 seg 𝑉𝑚 = (𝑋2 − 𝑋1 )/(𝑡2 − 𝑡1 ) 𝑉𝑚 =

36.00 − 19.00 3−2

𝑉𝑚 =

17𝑚 = 17𝑚/𝑠 1𝑠

b. La rapidez instantánea en t = 2.00 s y t = 3.00 s Recordando las fórmulas de cálculo, decimos que la derivada del espacio nos da la velocidad instantánea en un determinado lapso. x(t) = (3.00t2 + 2.00t + 3.00) m x(t)` = (6.00t + 2.00) m Ya derivado el espacio, procedemos a reemplazar los tiempos, en t = 2s y t = 3s: x(t)` = (6.00t + 2.00) m x(2)` = (6.00(2) + 2.00) m x(2)` = (12.00 + 2.00) m

x(t)` = (6.00t + 2.00) m x(3)` = (6.00(3) + 2.00) m x(3)` = (18.00 + 2.00) m

x(2)` = (14.00) m/s

x(3)` = (20.00) m/s

c. La aceleración promedio entre t = 2.00 s y t = 3.00 s. En este caso podemos hacerlo de 2 maneras: En el primer caso usamos la fórmula: 𝑎𝑚 = (𝑉2 − 𝑉1 )/(𝑡2 − 𝑡1 ) Donde: V2= 20.00 m/s V1= 14.00 m/s T2= 3 seg T1= 2 seg 𝑎𝑚 = (𝑉2 − 𝑉1 )/(𝑡2 − 𝑡1 ) 𝑎𝑚 = (20.00 − 14.00)/(3 − 2) 𝑎𝑚 =

6𝑚/𝑠 = 6𝑚/𝑠 2 1𝑠

La otra forma es derivando la función velocidad, que es la misma que la derivada del espacio. V(t) = (6.00t + 2.00) m V(t)` = (6.00) a= 6.00 m/s2

Problema 02. La altura de un helicóptero sobre el suelo está dada por h = 3.00t3, donde h esta en metros y t en segundos. Después de 2.00 s, el helicóptero libera una pequeña valija de correo. ¿Cuánto tiempo, después de su liberación, la valija llega al suelo? Solución: Primero hallamos la velocidad derivando la función h: h = 3.00t3 h` = 3.00t3 h` = 9.00t2 V = 9.00t2 Reemplazamos el tiempo en la función de la velocidad: t= 2 s

V = 9.00 t2 V= 9.00 (2)2 V= 9.00 (4) V = 36 m/s Ahora usamos la fórmula: 𝑋𝑓 = 𝑋𝑖 + 𝑉𝑖 . 𝑡 −

1 𝑎 . 𝑡2 2

Donde: Xf= 0 m, ya que llega al suelo. Xi= 24 m, ya que desde esa altura se suelta la valija. Vi= 36 m/s, ya que es la velocidad que toma transcurrido 2 seg. t = el tiempo que deseamos hallar a = es la gravedad de la tierra que es igual a 9.8 m/s2 𝑋𝑓 = 𝑋𝑖 + 𝑉𝑖 . 𝑡 −

1 𝑎 . 𝑡2 2

0 = 24 + 36. 𝑡 −

1 9.8 . 𝑡 2 2

0 = 24 + 36. 𝑡 −

1 9.8 . 𝑡 2 2

0 = 24 + 36. 𝑡 − 4.9 𝑡 2 4.9𝑡 2 − 36𝑡 − 24 = 0

Usamos la formula general para hallar el tiempo: 𝑥=

𝑡=

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−(−36) ± √(−36)2 − 4(4.9)(−24) 2(4.9) 𝑡=

36 ± √1296 + 470.4 9.8

𝑡= 𝑡 = 7.96 𝑠𝑒𝑔 𝑡 = −0.61 𝑠𝑒𝑔

36 ± √1766.4 9.8

Tomamos este valor. Este valor no lo tomamos, ya que no existe un tiempo negativo.

La valija llega el suelo en 7.96 segundos.