• Author / Uploaded
• david

Citation preview

DIAGRAMAS

EJERCICIO

DEELEMENTOSMECANICOS

EN VIGASYMARCOS(METODO

DE LAS ECUACIONES)

11

Obtener las reacciones por equilibrio y 10s diagramas de elementos mecanicos por el metoda de las ecuaciones de la siguiente estructura:

~6 t

3m

2t //

2m

3m

Hacer un DeL de la estructura, identificar nudos, barras y reacciones segun el tipo de apoyo de la estructura, as! como indicar un sistema de referencia global, con 10 cual se obtiene

t YG

16 t

01 r------------------------, t CD

CD

~

:

t

Rlx

1

u

~

1

R~ 3m

Para su clasificacion, se compara el numero de incognitas ecuaciones (NE) para su solucion =

XG

R~

2m

NI

~J~m_

3 reacciones

Y

0

reacciones (NI) y el numero de

NE = 3 + 0 = 3 ecuaciones

Adicionalmente se observa que la estructura no presenta inestabilidad (libertad de movimientos lineales 0 angulares), por 10 que se concluye que 1a estructura es isostatica y estable. Calculo de reacciones referencia global.

aplicando las ecuaciones

49

del equilibrio, considerar

el sistema de

DIAGRAMAS

DE ELEMENTOS

MEcANICOS

EN VIGAS Y MARCOS (METODO

DE LAS ECUACIONES)

Haciendo

IFx

=0 +6(2)-R4y(S)=

=> R1x

+Rlx -2

=0

IM1=0

+ R1y (5)- 6(3)

=0

IM4

= + 2.0

t.

0

=> R4y = +2.4 t

=0

=> R1y = +3.6 t

COMPROBACION

=0

IMpuntomediObarraI

-2(3) + 3.6(2.5) - 6(0.5) + 2(3) - 2.4(2.5) = 0

Para obtener las ecuaciones de los elementos mecanicos en las barras 1, 2 y 3, se pueden considerar un sistema local de referencia por cada barra, para 10 cual es necesario hacer un DCL de cada barra. Esto lleva a calcular las fuerzas intemas, que se generan en IDS extremos de las barras, que se aislan de sus nudos, como se muestra a continuaci6n

t YL

J

I 16

M2

F

--f:1:..1

2x

t

M3z

-----'-------t7~--~ CD

F2y

F 3y

o

CD YL

~--2.0.

--

---=-==---

2.0

3.6

1 2.4

1

Se hace notar que las fuerzas intemas en 10s nudos 2 y 3, estan referidas a cada extremo de su respectiva barra y en su sistema local de referencia correspondiente. Estas fuerzas intemas se calculan por equilibrio local de cada barra. De la barra 2

+3.6-F2x

IFx=O :LFy

=0

IM1=O

::::)

=0

- 2+ F2y = 0

F2x ==+3.6 t

.=> F2y = +2.0 t

:-2(3}+ M2z = 0 => M2= =+6.0

50

t-rn

DIAGRAMAS

DE ELEMENTOS

MECANICOS

EN VIGAS Y MARCOS (METODO

DE LAS ECUACIONES)

De la barra 3

LF:=O

+2.4-F;x

LFy=O

+2-F3y

LMj=O

+2(3) - M3z = 0

=> F;x

=0

=0

= +2.4

t

~

F2y = +2.0 t

~

M3z =+6.0

t-rn

Conociendo los valores de las fuerzas intemas en 10s extremos destino de las barras 2 y 3 que se conectan a los nudos 2 y 3 respectivamente, se transmiten con sentido contrario a la barra 1. Finalmente se tiene

XL

i YL

l6

~tl,-~6.0 I

2.0

I I

I

£.4

6.0

t

(JC)

3.6

l-:r-----XL

(~ )6.0

i ~JO

2.0

2.4

CD

I

------=-2.0

----~=2.0

t

2.4

3.6

Se observa que la barra 1 esta en equilibrio local. Para obtener las ecuaciones que describen la variaci6n de los elementos mecanicos, se considera el sistema local de referencia de cada barra como se' indica en la figura anterior, resultando de la barra 1, sus ecuaciones son: O::;;x R3x

=0

=-

2· t

(hay que ca:nbiar el sentido supuesto)

=0 +2(2)+2(4)+8+4(3)-2(1)-R4y(6)=0

=> R4y =+5.0 t

=0 +2(1)+R3y(6)-2(4)-2(2)+4(2)+8"""0

=> R3y =-1.0 t (hay que cambiar el sentido supuesto)

COMPROBACION

-1-2-2+5=0 Para obtener las ecuaciones de 10s elementos mecanicos en las barras 1,2 y 3, se considera un sistema local de referencia por cada barra, para 10 cual es necesario hacer un DCL de cada una de elIas, aislandolas de sus respectivos nudos que las unen.

XL

II IF

Ix

ill

M1Z

Fly

CD YL

~-2:OT 1.0

Se hace notar que las fuerzas intemas en los nudos 1 y 2 estan referidas a cada extremo de su respectiva barra y en su sistema local de referencia correspondiente. Estas fuerzas iIitemas se calculan por equilibrio local de cada barra, siempre iniciando por donde se presente maximo tres incognitas.

62

DIAGRA,MAS DE ELEMENTOS MECANICOS EN VIGAS Y MARCOS (METODO DE LAS ECUACIONES)

De la barra2

LFx=O

-l+~x

=0

=>

~x

= +1.0

LFy=O

+2+~y

=0

=>

~y

=-2.0 t

IM =0

+ 2(3) + M[z = 0 =>

1

Miz =-6.0

t

r-m

De la barra 3

LFx=O

+5+F2x =0

=> F;x = . - 5.0 t

IFy=O =0 2

+2+F2Y =0

=>

+2(2)-M2z=0

=>

,LM

F;y=

-2.0 t + 4.0 t- m

Conociendo los valores de las fuerzas intemas en los extremos destino de las barras 2 y 3 que se conectan a los nudos dos y tres respectivamente, se transmiten con sentido contrario a la barra 1. Finalmente se tiene

t YL 6

I I

t{ XL'

i

2

i

2

t

CD

12

t

5

t-32---:: Xd I

I 11

J4

rh

6 2

2

0 YL

----~ 2

t5

Se observa que la barra 1 esta en equilibrio local.

63

DIAGRANiAS

DE ELEMENTOS

MEcANICOS

EN VIGAS Y MARCOS (METODO

DE LAS Eew.ClONES)

Se observa que el nudo 2 esta en equilibrio

Para obtener las ecuaciones que describen la variacion de los elementos mecamcos, se considera el sistema local de referencia de cada barra como se indico en la figura anterior, resultando: De la barra I, sus ecuaciones son

O~x Rsy = + 8.0

t

:::::>

=0

:::::>

=0 =>

R6y = -1.0 t

M6z

= + 1.5 t-

m

COMPROBACION

L:F4

de toda fa estructura

=0

-2(4)+8(5)-4(5)-3(1.5)-3(4)+1(3)+1.5

=0

Para obtener las ecuaciones de los elementos mecanicos en las barras 1 a 4, se considera un sistema local de referencia por cada barra. De la barra 4, primero se resuelve con fuerzas referidas a un sistema global de referencia. Se hacen DCL de cada barra.

Lh 2

ML

I

21z

1 ).F]lL~

I

Fz1y

.

XL! I I

F23:l ( I,M23z F 23y

CD

89

DIAGRAMAS

DE ELEMENTOS

MECA.."1ICOS EN VIGAS Y MARCOS (METODa DE LAS ECUACIONES2

Estas fuerzas .internas se calculan por equilibrio local de cada barra, siempre iniciando por donde se presente maximo tres incognitas .

G

2

2

I I

.•

J3XL

~

Se observa que las barras estan en equilibrio. Las fuerzas en la barra 4 deben estar en un sistema local de referencia, proyectando sus fuerzas en 10s extremos de la barra de un sistema global de referencia a uno local, resultando

1.5

1.8 2.6

90

DlAGRAMAS

DE ELEMENTOS

MEcANICOS

EN VIGAS Y MARCOS (METODO

DE LAS ECUACIONES)

Para este caso se uso una matriz de transformacion de fuerzas de un sistema global a local de referencia

{FXL}::::;[ FYL

(3/5)

-(-4/5)

(-4/5)J*[-3! (3/5)

3 ]::::;{-2.6 ! 2.6}

1 1-1

-1.8 11.8

Se observa que el nudo 4 tambien se encuentra en equilibro por surnatoria de fuerzas horizontales

0) 2t-~51

.

3t-

Para obtener las ecuaciones que describen la variacion de los elementos mecanicos, se considera el sistema local de referencia de cada barra como se indico enla figura correspondiente, resultando: De la barra 1, sus ecuaciones son 0~x

Rsy = +9.86 t

LMSIOdalaestructura

=0

::::>

Rjy =+5.14 t

::::>

Rjx

=

+ 2.733 t

::::>

RSy.

=

-10.73

LM

3 a la izquierda

LM3aladereCha

=0

=0

t

(se debe cambiar eI sentido supuesto)

COMPROBACrON

L F,

toda fa estructura

L~

toda fa estructura

=0

=0

+ 2.73 + 3 + 8 - 3 -10.73

=0

+5.14 -4 -8-3 +9.86 = 0

Las fuerzas que actuan en las barras 1 y 3, en sistema global de referencia, deben proyec-tarse en un sistema local de referencia respectivamente, como se indica Para la barra 1

.IYG

1.14

I

I I i I I I I I I

I I

O.14~

4t

-5.73 =>

3t

I I I

I

2~

t --------:--------------~

Xc;

15.14

Se proyectaron las fuerzas de la siguiente forma

FXL} { FYL

[(0.8) =-(0.6)

(0.6)] (0.8)

*

[+2.73: -5.73] {+5.264: -5.264} +5.14: -1.14 = +2.473: +2.527

155

, DIAGRAMAS

DE ELEMENTOS

MEcANICOS

EN VIGAS Y MARCOS (METODO

DE LA SUMA)

Para la barra 3

! Yc I I 6,86 11.59

XG

=>

3

~

10.73_

!

9.86

Se proyectaron las fuerzas de la siguiente forma:

FXL}' .; [(0.7071) { FYL -(-0.7071)

(-0.7071)] (0.7071)

*

[+13.73 -6.86

i I

i

-10.73] = '{+14.56 -14.56} +9.86 +4.85 I -0.61

El DFC se obtiene acumulando las fuerzas concentradas perpendiculares alas barras de izquierda a derecha, as! como de las cargas uniformemente distribuidas, siguiendo el sentido de los ejes locales.

- 11.59

6.86

+ 3,06

2.473~ x

/

/2.473m

DFC

t

Posteriormente se calculan las areas de las figuras regulares del DFC, respetando su signo, de acuerdo con los intervalos que de manera natural se forman. Estas areas se acumulan de izquierda a derecha, de acuerdo con los ejes locales, para obtener el DMF, uniendo 10s puntos con lineas rectas en las barras.

156

DIAGRAMAS

DE ELEMENTOS

MECANICOS

EN VIGAS Y MARCOS (METODO

DE LA SUMA)

0.19

0.14

_~~~0.14

DMF

t

v

m

EI DFN se obtiene acumulando las fuerzas concentradas paralelas alas barras de izquierda a derecha, siguiendo el sentido de 10s ejes locales.

'1 .-

'-I

13.73

DFN t

Comentarios Para todas las barras, el trazo del DFC es lineal, con pendiente igual al valor de la carga uniformemente repartida que aetna en cada barra. En el DMF son curvas de segundo grado. Se obtiene valor nuIo de flexion en la articulacion, En todas las barras, el DFN se presenta el efecto que se indica de compresion.

157

DIADRAt\1AS

DE ELEMENTOS

EJERCICIO

15

MEcANICOS

EN VIGAS Y MARCOS (METODO

DE LA SUMA)

Obtener las reacciones por equilibrio y los diagramas de elementos mecanicos con el metodo de la suma de areas del diagrama de fuerza cortante. 2 Urn

2t

3m

1m

1m

3m

1m

1m

2m

Hacienda un DeL de la estructura, identificando nudos, barras y reacciones segun el tipo de apoyo de la estructura, as! como indican do un sistema de referencia global y local por barra, se obtiene.

Para su clasificacion, se compara el numero de incognitas ecuaciones (NE) para su solucion NI

=

6 reacciones

y

NE

=

3+3

0

=

reacciones (N!) y el numero de

6 ecuaciones

Adicionalmente se observa que la estructura no presenta inestabilidad (libertad de movimientos lineales 0 angulares), por 10 cua1 se concluye que la estructura es isostatica y estable.

158

DIAGRAMAS

DE ELEMENTOS

MEcANICOS

EN VIGAS Y MARCOS (METODO

DE LA SUMA)

Calculo de reacciones aplicando las ecuaciones del equilibrio, considerando el sistema de referencia global Haciendo

L~

de toda la estructura

=0

=0

LM2alaiZqUierda

=> R7x = - 2.0 =>

~y

t

= +5.33 t

IM4aladerecha

=0

=>

Rsy = +2.0

LM3

=0

=>

Rgy

== +8.0 t

=>

~y

= +8.67

a to derecha

L~

de tada fa estructura

~M7detodoloestrucluro

=0 =0

(se debe cambiar el sentido supuesto)

t

t

=> M7Z= -5.33 t-rn

(sedebecambiarelsentidosupuesto)

COMPROBACrON

LM

J de toda la estructura

- 5.33(1) + 24(6) - 8.67(5) + 2(3) - 5.33 - 8(9) - 2(12) = 0

=0

El DFC se obtiene acumulando las fuerzas uniformemente distribuidas perpendiculares barras horizontales de izquierda a derecha, siguiendo el sentido de los ejes locales.

U3m I

I I I

• I •• LOrn I

i

I I I I I I I

I

3.33

I

-3.67

I • l.Orn

• I

I I

t-

I I

OO

I I I I I

I.Om

!y I I I

!

2.00

I

I

I

4.67 2.00

+6.00

DFC

• I

t

159

4.00

I • 1.0 rn

t •

I I

I I I I I

10m

•

I

I I I

alas

DIAGRA.MAS

DE ELEMENTOS

MECANICOS

EN VIGAS Y MARCOS (METODO

DE LA SUMA)

Posterionnente se calculan las areas de las figuras regulares del DFC, respetando susigno, de acuerdo con los intervalos que de manera natural se forman. Estas areas se acumulan de izquierda a derecha, de acuerdo con los ejes locales, para obtener el DMF. 1.67 m

1.33 m

~-=~~I·--~~~~·~I I

1.0 m

1.78

I

I

I

I I

I

I

I

I

~

1.0 m

1.0 m

r---' I' I

I

I I I

•

I

r---=l"".O..:::m.,.-=l~.O ~

I

I

I

I

1.00

1.00

1.00

3.00

3.00

3.00

3.67 0.67

DMF t -m

El DFN se obtiene acumulando las fuerzas concentradas paralelas alas barras de izquierda a derecha, siguiendo el sentido de los ejes locales.

DBIJ 2.00

5.33

8.00

8.67

.-

f-.

,,-)--

H-)-

f----(-~

DFN t

Comentarios Para el caso de todas las barras horizontales, el DFC es lineal, debido a la carga unifonnemente distribuida sobre las barras. Para el caso del DMF en estas barras son curvas de segundo grado. En la barra 6, el DFC es constante, y lineal para el DMF. Se obtienen valores nulos de flexion en las articulaciones. En todas las barras, en el DFN, se presenta el efecto de compresion.

160

DIAGRAMAS

DE ELEMENTOS

EN VlGAS Y MARCOS (METODa DE LA SOMA)

MEcANICOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

De las siguientes estructuras, obtener las reacciones por equilibrio y 10s diagramas de elementos mecanicos por el metodo de la suma de areas del diagrama de fuerza cortante. 1

EJERCICIO

r

EJERCICIO

r

t

2

(t

t

2Um

~

~1 t

3tm

~3

t ~

~~. 1.5 m

1m

2m

1m

1m

1.5

ill

3

EJERCICIO

12 t

4t

2.5 Urn

~

1m

1m

1m

1m

,

2m

3m

EJERCICI04

12t

ilt

,

14t

3Um

~

~ III

2m

EJERCICIO

2m

2m

••

2m

5

1.5 m

2m

1m

1.5 m

161

1.5 m

2m

1.5 m

DIAGRAMAS

DE ELEMENTOS

MECANICOS

EN VIGAS Y MARCOS (METODO

DE LA SUMA)

EJERCICI06

i

13.5 t

10 tm

,

8t

3.5 t

2 Urn

2m

6t

1m

/

2m

1m

EJERCICIO

2m

2m

7

3m

1m

2m

EJERCICIO

2m

2m

2m

8 Stm

3Um

15 t

3m

lOt

2m

2m

3m

162

2m

DIAGRAMAS

EJERCrCIO

DE ELEMENTOS

MECANICOS

EN VIGAS Y MARCOS (METODO

9 3 t/m

3m

12 t

EJERCICIO

2m

2m

3m

3m

10

3 t/m

3m

lOt

1m

2m

2m

2m

163

2m

2m

DE LA SUMA)