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LA ELIPSE Marco Teórico La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría, con ángulo mayor que el de la generatriz respecto al eje de revolución. Además cuando una elipse gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

ELEMENTOS DE UNA ELIPSE La elipse es una curva plana cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

DE LA FIGURA: El semi-eje mayor (C – a) y el semi-eje menor (C – b), miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

PUNTOS DE UNA ELIPSE Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, 𝐹1 y 𝐹2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante; e igual a la longitud del diámetro mayor. P𝐹1 + P𝐹2 = 2a

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Una elipse puede ser horizontal o vertical.

ELIPSE HORIZONTAL Ecuación general 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏 2

ELIPSE VERTICAL Ecuación general 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑏 2 𝑎2

ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN La ecuación de una elipse horizontal o vertical con centro en el punto (h-k) distinto del origen se obtiene mediante un procedimiento simple: reemplazando “X” y “Y” por (x-h) y (y-k) en la ecuación básica de la elipse con centro en el origen.  Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje X, se obtiene la siguiente ecuación: (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑎2 𝑏2

DE LA FIGURA: Los elementos de la elipse son:      

Centro: (h,k) Vértices: V(h+a,k), V’(h-a,k) Focos: F(h+c,k), F’(h-c,k) Vértices del eje menor: B(h,k+b), B’(h,k-b) Excentricidad: c/a LR: 2𝑏 2 /a

 Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje Y, se obtiene la siguiente ecuación: (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑏2 𝑎2

DE LA FIGURA: Los elementos de la elipse son:    

Centro: (h,k) Vértices: V(h,k+a), V’(h,k-a) Focos: F(h,k+c), F’(h,k-c) Vértices del eje menor: B(h+b,k), B’(h-b,k)

ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE Una ecuación como: A𝑥 2 + B𝑦 2 + C𝑥 + D𝑦 + E = 0 Se refiere a la ecuación general de la elipse. La obtenemos de un modo sencillo basándonos en la ecuación de la elipse con centro en (𝑥𝑜 ; 𝑦𝑜 ), y no en el origen de coordenadas. Partimos de: (𝑥 − 𝑥0 )2 (𝑦 − 𝑦0 )2 + =1 𝑎2 𝑏2

Despejando tenemos: 𝑏 2 (𝑥 − 𝑥0 )2 + 𝑎2 (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑎2 𝑏 2 𝑏 2 (𝑥 2 − 2𝑥𝑥0 + 𝑥0 2 ) + 𝑎2 (𝑦 2 − 2𝑦𝑦0 + 𝑦0 2 ) = 𝑎2 𝑏 2 𝑏 2 𝑥 2 − 2𝑏 2 𝑥𝑥0 + 𝑏 2 𝑥0 2 + 𝑎2 𝑦 2 − 2𝑎2 𝑦𝑦0 + 𝑎2 𝑦0 2 = 𝑎2 𝑏 2 Ordenando: 𝑏 2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 − 2𝑏 2 𝑥𝑥0 − 2𝑎2 𝑦𝑦0 + 𝑏 2 𝑥0 2 + 𝑎2 𝑦0 2 − 𝑎2 𝑏 2 = 0 ……(I) Damos los siguientes valores a: 𝑏2 = 𝐴 𝑎2 = 𝐵 −2𝑏 2 𝑥0 = 𝐶 −2𝑎2 𝑦0 = 𝐷 𝑏 2 𝑥0 2 + 𝑎2 𝑦0 2 − 𝑎2 𝑏 2 = 𝐸 Sustituyendo en (I) obtenemos: A𝑥 2 + B𝑦 2 + C𝑥 + D𝑦 + E = 0 Lo cual es la ecuación general de la elipse.