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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE SAN ANDRES TUXTLA

ALUMNO:

PROFESOR:

MATERIA: ALGEBRA LINEAL

CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL

GRUPO: 301-A

Competencias específicas Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemáticas.

Competencias genéricas            

Procesar e interpretar datos Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica, trascedente y verbal. Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético. Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información. Resolución de problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de decisiones. Reconocimiento de conceptos o principios generales e integradores. Establecer generalizaciones. Argumentar con contundencia y precisión.

OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO  Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería.  Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemáticas.

TEMARIO: Unidad 1 Números complejos 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Definición y origen de los números complejos. Operaciones fundamentales con números complejos. Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. Forma polar y exponencial de un número complejo. Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. Ecuaciones polinómicas.

Unidad 2 Matrices y determinantes 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Definición de matriz, notación y orden. Operaciones con matrices. Clasificación de las matrices. Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz. Cálculo de la inversa de una matriz. Definición de determinante de una matriz. Propiedades de los determinantes. Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. Aplicación de matrices y determinantes.

Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales 3.1 3.2 3.3 3.4

Definición de sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. Interpretación geométrica de las soluciones. Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer. 3.5 Aplicaciones.

Unidad 4 Espacios vectoriales 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Definición de espacio vectorial. Definición de subespacio vectorial y sus propiedades. Combinación lineal. Independencia lineal. Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Unidad 5 Transformaciones lineales 5.1 5.2 5.3 5.4

Introducción a las transformaciones lineales. Núcleo e imagen de una transformación lineal. La matriz de una transformación lineal. Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Criterios de Evaluación 1-4 Investigación.

Se utilizará rubrica para revisar las investigaciones debiendo tener

los lineamientos siguientes: hoja de presentación, contenido, introducción, desarrollo del

tema, diagrama e ilustraciones, ortografía, justificación, conclusión, referencias bibliográficas y puntualidad. 20%

Problemario.

Se utilizará rubrica para revisar los problemas debiendo tener los

lineamientos siguientes: hoja de presentación, orden y organización, terminología matemática y notación, razonamiento matemático, errores matemáticos, presentación de ejercicios en clase, presentación de ejercicios extra clase, estrategia/procedimiento, concepto matemático y puntualidad. 20%

Participación en clase. Se evaluará con rubrica debiendo tener los lineamientos siguientes: domina el tema, selección de datos, razonamiento matemático, participación en el trabajo colaborativo, errores matemáticos, realiza aportes innovadores en las discusiones, estrategia/procedimiento, concepto matemático, organización y realiza aportaciones de calidad.30%

Examen. 30% Contenido

Unidad 4 Espacios vectoriales 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Definición de espacio vectorial. Definición de subespacio vectorial y sus propiedades. Combinación lineal. Independencia lineal. Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Introducción Definición de espacio vectorial. Espacio vectorial real. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

“x + y” y el producto escalar de a y x como ax. Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad. [1] Axiomas de un espacio vectorial. [1]

1-

Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2-

Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3-

Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4-

Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5-

Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6-

Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7-

Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8-

Si X pertenece a V y

9-

Si X pertenece a V y

y y

son escalares, entonces son escalares, entonces

x ( x) = (

x+

y.

)x.

10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

Definición de subespacio vectorial y sus propiedades. DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V

Teorema de sub espacio: Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio i)

Si x € H y y € H, entonces x + y € H. Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

ii)

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen. Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que: x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar. PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL 1). El vector cero de V está en H.2 2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H. 3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

Combinación lineal. Independencia línea Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores

multiplicados

por

escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección. Esta

combinación

lineal

es

única.

Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma: α1v1+α2v2+…+αnvn donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denominacombinación lineal de v1,v2,…,vn.

Todo

vector

V

=

(a,

b,

c)

en

R3 se

puede

expresar

i= j

como (1,0,0);

= (0,1,0);

k =(0,0,1) V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k) Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k. Los

vectores

son linealmente

independientes si

tienendistinta

dirección y

sus

componentes no son proporcionales. Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que: c1v1+c2v2+…+ckvk=0 Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes. Criterios de Independencia Lineal Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial. Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple). Si

k=n

Los vectores son linealmente independientes si A es invertible Si

k>n

Los vectores son linealmente dependientes. Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro. Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores. Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano. Teoremas 1.

Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.

2. Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente. 3. Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.

4. Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente. 5. Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los

vectores

de

. En R3 se escribieron los vectores en términos

. Ahora se generalizara esta idea.

BASEUn conjunto finito de vectores

es una base para un espacio

vectorial V si

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.

En Rn se define Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1), es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.

EJEMPLO: base canonica para M22

Se vio que a

generan

, entonces es evidentemente que . Así, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base cononica para M22.

TEOREMA: si

es una base para V y si vÎV, entonces existe un conjunto

único de escalares

tales que

Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque genera a V. suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una combinación lineal de los vectores de la base.

Es decir, suponga que

Sea dos bases para V. debe demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto prueba el teorema. Así, basta demostrar que si m>n, entonces S es independiente. Como S constituye una base, todo u se puede expresar como una combinación lineal de las v. se tiene (1)

TEOREMA: suponga que dimV=n. si

Entonces, restando se obtiene la ecuación pero como los v son linealmente

independientes, esta ecuación se cumple si y solo si

Así,

y el teorema queda demostrado.

TEOREMA: si son bases en un espacio vectorial V, entonces m=n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo numero de vectores.

Para demostrar que S es dependiente, deben encontrarse escalares

no todos cero, tales que (2)

Sustituyendo (1) en (2) se obtiene (3)

La ecuación (3) se puede reescribir como

Pero como

son linealmente independientes, se debe tener (5)

El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitas y como m>n, el teorema dice que el sistema tiene un numero infinito de soluciones. De esta forma, existen escalares no todos cero, tales que (2) se satisface y, por lo tanto, S es un conjunto linealmente dependiente. Esta contradicción prueba que m≤n si se cambian los papeles de S1 y S2, se demuestra que n≤m y la prueba queda completa. Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el algebra lineal.

DIMENSIÓN Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero. Notación. La dimensión V se denota por dimV.

EJEMPLO: la dimensión de Mmn En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman una base para Mmn. Así, dimMmn=mn.

TEOREMA: suponga que dimV=n. si linealmente independientes en V, entonces m≤n.

es un conjunto de m vectores

Sea

entonces, igual que la prueba del teorema, se pueden encontrar

constantes no todas cero, tales que la ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. así, m≤n.

TEOREMA: sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. entonces H tiene dimensión finita y (6)

Sea dimV=n. cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H es también linealmente independiente en V. por el teorema anterior, cualquier conjunto linealmente independiente en H puede contener a lis mas n vectores. Si H={0}, entonces dimH=0. Si dimH≠{0}, sea v≠0 un vector en H y H=gen{v}. si H=H, dimH=1 y la prueba queda completa. De lo contrario, elija a vÎH tal que vÏH y sea H=gen{v1,v2}, y así sucesivamente. Continuamos hasta encontrar vectores linealmente independientes tales que H=gen{ }. El proceso tiene que terminar porque se pueden encontrar a lo mas n vectores linealmente independientes en H. entonces H-k≤n.

EJEMPLO: una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema

homogéneo

SOLUCIÓN: aquí . Como A es una matriz de 2x3, S es un subespacio de R3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente,

Entonces y=z y x=-z de manera que todas las soluciones son de la forma

.Así,

es una base para S y dimS=1. Obsérvese que S es el conjunto de vectores que se encuentran en la recta x=-t, y=t, z=t. TEOREMA: cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en eun espacio vectorial V de dimensión n constituyen una base apara V.

Sean

, n vectores. Si generan el espacio V, entonces constituyen una

base. De lo contrario, existe un vector uÎV tal que uÏgen significa que los n+1 vectores

. Esto

, u donde linealmente independientes.

Para ver esto observe que si (8)

Entonces

porque de lo contrario podríamos escribir u como una

combinación lineal de

dividiendo la ecuación (8) entre

poniendo todos los términos, excepto u, en el lado derecho. Pero si

y entonces

(8) es

Lo que significa que

ya que los v son linealmente

independientes. Ahora sea W=gen{

,u}. como todos los vectores entre

las llaves están en V, W es un subespacio de V. como ,u son linealmente independientes, forman una base para W, y dimW=n+1. Pero por el teorema, dimW≤n. esta contradicción muestra que no existe el vector uÎV tal que uÏgen{ Así,

genera a V y, por lo tanto, constituye una base para V.

}.

CAMBIO DE BASE

En R2 se expresaron vectores en términos de la base canónica Rn se definió la base canonica

. En

. En Pn se definió la base estandra

como . Estas bases se usan ampliamente por la sencillez que ofrecen a la hora de trabajar con ellas. Pero en ocasiones ocurre que es mas conveniente alguna otra base. Existe un numero infinito de bases para elegir, ya que en un espacio vectorial de dimensión n, cualesquiera n vectores, linealmente independientes, forman una base. En esta sección se vera como cambiar de una base a otra mediante el calculo de

cierta matriz. Iniciaremos por un ejemplo sencillo. Sean u

.

entonces, es la base canonica en R2. Sean Como v1 y v2 son linealmente independientes (porque v1 no es un múltiplo de v2),

es una segunda base en R2. Sea

un vector en R2. Esta

notación significa que

Es decir, x esta expresando en términos de los vectores de la base B. para hacer hincapié

en este hecho, se escribe y c2 tales que (1)

Como B es otra base en R2, existen escalares c1 Una vez que se encuentran estos escalares. Se puede

escribir para indicar que x esta ahora expresado en términos de los vectores en B. para encontrar los números c1 y c2, se escribe la base anterior en términos de la nueva base. Es sencillo verificar que

(2)

y

Entonces,

Así, de (1),

o

Por ejemplo, si

es decir,

entonces

Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. Producto Interno: Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real . Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas: Propiedades: i. (v, v) ≥ 0 ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0. iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w) iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w) v. (u, v) = (v, u) vi. (αu, v) = α(u, v) vii. (u, αv) = α(u, v) Espacios con producto interior:

El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación. u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn) ‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.

Propiedades de los productos interiores: 1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0 2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w› 3. ‹u, cv› = c‹u, v›. Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno. EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3 En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces

Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota la norma de sen t como un “vector” en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t.

Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0.

EJEMPLO: dos vectores ortogonales en C2 En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Conjunto ortonormal

El conjunto de vectores

es un conjunto ortonormal en V si

y Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal. TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente. TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal. Proyección ortogonal Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal

Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre H denotada por proyHv esta dada por (6)

Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus contrapartes en Rn. TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V. suponga que H tiene dos bases ortonormales

Sea vϵV. entonces

Complemento ortogonal Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por (7)

TEOREMA: si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces

TEOREMA DE PROYECCIÓN: sea H un subespacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y suponga que vϵV. entonces existe un par único de vectores h y p tales que hϵH, pϵH, y (8) v=h+p donde h=proyHv. Si V tiene dimensión finita, entonces p=proyHv. TEOREMA: sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios linealmente independientes si y solo si multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos (ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).

Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. Conjunto ortonormal en Rn Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si (1) (2)

Si solo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal. Si u, v y w en Rn y α es un numero real, entonces (3) (4) (5) (6)(7)

Ahora se presenta otra definición útil

Si vϵRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por (8)

Nota. Si

entonces v*v=

que (9)

De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11)

Esto significa

TEOREMA: si S= es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.

Suponga que Entonces, para cualquier i=1,2,…,k

Como v≠0 por hipótesis |v|2>0 y se dice que c=0. Esto es cierto para i=1,2,…,k, lo que completa la prueba.

Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt Sea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una base ortonormal. Sea S= una base de H. se probara el teorema construyendo una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasios para esta construccion, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero.

Paso 1. Eleccion del primer vector unitario

Sea (12)

Entonces

De manera que |u|=1.

Paso 2. Eleccion de un segundo vector ortogonal a u

Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector

a v. en este caso figura.

es la ortogonal

es la proyeccion de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente

Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en Rn para cualquier

n≥2. Obsérvese que como u es un vector unitario, cualquier vector v.

para

Sea (13) entonces de manera que v’ es ortogonal a u. mas aun, por el teorema, u y v´son linealmente independientes. v’≠0

porque de otra manera independencia de v1 y v2.

Paso 3. Elección de un segundo vector unitario

lo que contradice la

Sea (14)

entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal.

Suponga que se han construido los vectores u1, u2,…,uk(k