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APUNTES DE GEOMETRÍA MTGM01

INACAP Ciencias Básicas Vicerrectoría de Académica de Pregrado 2014

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 ÍNDICE  UNIDAD 1: GEOMETRÍA PLANA 1.1: ELEMENTOS PRIMITIVOS DE LA GEOMETRIA - Punto, línea plano y espacio - Ángulo: definición - Bisectriz - Medida de ángulos. - Clasificación de ángulos según su medida. - Ángulos opuestos por el vértice - Rectas: Perpendicular y paralelas. - Distancia entre puntos. - Distancia de un punto a una recta. - Distancia entre dos rectas paralelas - Simetral de un segmento.

1.2 POLIGONOS, CIRCUNFERENCIA Y CIRCULOS - Concepto congruencia y semejanza. - Definición y clasificación de los polígonos: - Triángulos: Definición, clasificación, elementos primarios y Teoremas - Elementos segundarios de un triangulo - Área y Perímetro de Triángulos. - Cuadrilátero: Definición, clasificación, propiedades y Teoremas. - Área y Perímetro de Paralelogramos y Trapecios. - Círculo y Circunferencia: Definición, elementos y propiedades - Ángulos en la circunferencia y sus medidas. - Área y Perímetro del Círculo y Sector Circular.

1.3 CUERPOS GEOMETRICOS - Definición, Elementos y Clasificación - Formulas para el Área de superficies y Volumen.

UNIDAD 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA 2.1: SISTEMAS DE COORDENADAS - Sistema Coordenado en el plano - Relación Entre Puntos - Distancia Entre Puntos - División de un segmento en una razón dada. - Áreas y perímetros de triángulos y polígonos. - Colinealidad. - Pendiente de una recta. - Ángulo entre dos rectas. - Rectas paralelas y perpendiculares.

3 2.2 LINEA RECTA Y CIRCUNFERENCIA - Lugares geométricos. - La línea recta: Definición de línea recta. - Formas de la ecuación de la recta:  Punto- Punto.  Punto-Pendiente.  Pendiente - Ordenada en el origen. (o principal)  General. - La circunferencia: Definición, elementos, propiedades y gráfica. - Ecuación de la circunferencia centrada en el origen y en un punto (h, k)

2.3 SECCIONES CÓNICAS - Secciones cónicas: - Elipse: Definición y lugar geométrico, elementos, propiedades y gráfica. - Ecuación de la elipse de centro en el origen. - Ecuación principal y general de la elipse de centro (h, k). - Parábola: Definición y lugar geométrico, elementos, propiedades y gráfica. - Ecuación de la parábola de vértice en el origen. - Ecuación principal y general de la parábola de vértice (h, k). - Hipérbola: Definición y lugar geométrico, elementos, propiedades y gráfica. - Ecuaciones de la hipérbola. - Asíntotas de la hipérbola. - Hipérbola equilátera. - Propiedades de la hipérbola. - Aplicaciones de las cónicas.

UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA 3.1: TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL. - Ángulos - Definición y tipos de ángulo. - Sistemas de medición sexagesimal y radial. - Trigonometría elemental. - Razones Trigonométricas en el Triángulo rectángulo. - Teorema del Seno y del Coseno. - Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. - Resolución de problemas cotidianos

3.2: TRIGONOMETRIA GRÁFICA Y ALGEBRAICA Trigonometría gráfica. - Gráfica de las funciones trigonométricas y sus inversas. - Uso de calculadora para las funciones trigonométricas directas e inversas. Trigonometría algebraica. - Relaciones entre las funciones trigonométricas: inversas, pitagóricas y de ángulos dobles. - Identidades trigonométricas. - Ecuaciones trigonométricas.

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  PRESENTACIÓN 

Estimado Alumno y Alumna, te damos la más cordial bienvenida a Geometría, asignatura lectiva del área formativa de Disciplinas Básicas, del área del conocimiento de Ciencias Básicas. Geometría tiene como propósito fundamental, contribuir a los alumnos del área de Construcción, en el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas. La asignatura se realizará, a partir de experiencias de aprendizaje que involucren metodologías principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del docente un mediador. El presente texto, que INACAP pone a tu disposición, tiene los contenidos que sirven de base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente. Confía en tus capacidades, te deseamos mucho éxito.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

E

n la mayoría de los textos históricos se hace referencia, a que, la geometría, fue iniciada en Egipto, originándose por necesidades de problemas como la medición de áreas, en este caso era una necesidad para los egipcios, debido a que el río Nilo, se desbordarse y barría con las señales que indicaban los límites de los terrenos de cada dueño. Muchos autores se basan en el pasaje de Heródoto que señala que en tiempos de Ramsés II (1300 a.C.) "La tierra se distribuía entre los egipcios en terrenos rectangulares iguales, por los que pagaba un impuesto anual, y cuando el río inundaba parte de su tierra, el dueño pedía una deducción proporcional en el impuesto, y los agrimensores de aquel tiempo tenían que certificar que tal fracción de tierra había sido inundada". Esta es mi opinión (comenta Heródoto) el origen de la geometría que después paso a Grecia“. Los conocimientos de geometría y las aplicaciones que los egipcios resolvían con esta, se evidencian se evidencian en inscripciones talladas en piedras y en papiros, entre los más antiguos se encuentran el papiro Golenischevse que se conserva en Moscú y el papiro Rhind o de Ahmes que se haya en el British Museum. También se tiene información histórica que Thales de Mileto, el gran matemático griego, en uno de sus viajes se dirigió a Egipto, donde quedó maravillado del esplendor y grandeza de las pirámides y lejos de medir la altura de una de ellas optó por un mejor camino, el cálculo, gracias a la sombra que proyectaba esta gigantesca construcción, la ayuda de un bastón que portaba y los conocimientos de geometría que tenía, pudo lograr su ansiado objetivo. Era el inicio del trabajo con los que después conoceremos como teoremas sobre triángulos.

UNIDAD 1

GEOMETRÍA

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UNIDAD 1: GEOMETRIA

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APRENDIZAJE ESPERADO CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1.1 Aplica conceptos básicos de la geometría 1.1.1 Identifica líneas, semirrectas, rectas y euclidiana para resolver problemas que involucren Líneas y ángulos.

segmentos median te definición y ejemplos.

1.1.2

Reconoce las características que debe cumplir cada elemento e identifica las propiedades de cada una de ellas.

1.1.3

Aplica definiciones propiedades y teoremas para calcular ángulos mediante condiciones y/o figuras dadas.

1.2 Aplica conceptos, técnicas, fórmulas, 1.2.1

Utiliza conceptos, fórmulas, propiedades y propiedades y teoremas de los polígonos, teoremas para determinar elementos de triángulos y circunferencia y círculo para resolver problemas cuadriláteros. geométricos y/o de su especialidad. 1.2.2 Aplica definiciones, propiedades, teoremas y fórmulas para calcular ángulos y arcos en circunferencias.

1.2.3

Aplica técnicas, propiedades, teoremas y fórmulas para calcular elementos, áreas y perímetros de figuras planas dadas y/o en problemas de su especialidad.

1.3 Aplica conceptos de los cuerpos geométricos 1.3.1 para resolver problemas de la vida real y/o de su especialidad.

Utiliza fórmulas y propiedades de los cuerpos geométricos para calcular sus elementos.

1.3.2

Aplica conceptos, fórmulas y propiedades para calcular áreas de superficie y volúmenes de cuerpos geométricos.

1.3.3

Aplica conceptos, fórmulas y propiedades de los cuerpos geométricos para resolver problemas de aplicación.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

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Rectas y Ángulos En Geometría hay ideas básicas que todos entendemos pero que no definimos. Éstas son las ideas de Punto, Recta, Plano y Espacio. Señalamos un punto con una marca que puede ser “•” o “x” y la ubicamos en un marco de referencia, generalmente en el Sistema Cartesiano. Un punto se caracteriza y se diferencia de otro punto sólo por su ubicación. Si está en un plano, su posición se indica por un par ordenado de números reales 𝑃(𝑥, 𝑦) (Figura 1). Si está en el espacio, se indica con un trío ordenado de números reales 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) (Figura 2).

(Figura 1)

(Figura 2)

Señalamos una recta por una parre de ella, considerando siempre que la recta es ilimitada. ⃡ La nombramos con una letra (L) o marcando dos puntos cuales quiera de ella 𝐴𝐵

Cada punto de una recta divide a ésta en dos semirrectas. El punto es la frontera entre ambas y no pertenece a ninguna de ellas. Se llama rayo a una semirrecta unida con su frontera Se llama segmento o trazo a una porción continua de recta limitada por ambos lados.

La medida o longitud de ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 se designa por 𝑚(𝐴𝐵) o simplemente AB.

UNIDAD 1: GEOMETRIA Señalamos un plano por una porción de él y generalmente le damos la forma de paralelogramo. No debernos olvidar que es plano es ilimitado. Normalmente lo designamos por una letra

Una recta n un plano divide a éste en dos semiplanos, siendo la recta la frontera entre los dos semiplanos.

Ambos semiplanos y la recta frontera constituyen una partición del plano. En el plano encontramos diversas figuras geométricas que se caracterizan por su forma. Si son líneas abiertas constituidas por segmentos unidos por sus extremos, se llaman poligonales; cunas si no contienen segmentos y mixtas si están formadas por segmentos y porciones de curvas. Si las líneas son cerradas, dividen al plano que las contiene en tres partes: su interior, su exterior y la frontera. Las líneas cerradas encierran una región, y su área es la medida de la parte del plano que constituye el interior de la figura. Quedan limitadas por su contorno o frontera, cuya medida de longitud se denomina perímetro. Espacio es el ambiente tridimensional en que nos movemos, Propondremos, estudiaremos y resolveremos problemas relativos a cuerpos geométricos. Entendemos por cuerpo geométrico una porción continua del espacio limitada por superficies curvas y/o planas. Si sólo está limitado por planos, se llama poliedro. Si su límite tiene alguna parte que es una superficie curva, se llama cuerpo redondo. La medida de esa porción limitada de espacio que constituye un cuerpo es lo que llamamos volumen del cuerpo. Las porciones de planos que limitan el cuerpo se llaman caras y si son porciones de superficies curvas, se denominan manto o superficie de revolución. La suma de las áreas de las caras y/o de las superficies de revolución constituye el área del cuerpo geométrico. Un plano divide al espacio en dos semiespacios, siendo el plano la frontera entre ambos; no pertenece a ninguno de ellos. Ambos semiespacios y el plano divisorio constituyen una partición del espacio.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA

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Postulado Si Dos rectas sé intersectan, estas lo harán en un solo punto. Llamaremos por A al punto de intersección

Ángulo. Se llama ángulo a la unión de dos rayos que tienen origen común. El origen recibe el nombre de vértice y la abertura que se produce entre los rayos es lo que llamamos medida del ángulo. Los rayos se llaman lados del ángulo.

También podemos entender la medida del ángulo corno la parte del plano que recorre el rayo 𝑂𝐴 para llegar a la posición 𝑂𝐵, manteniendo fijo el punto O. Considerando que el punto A puede ser elegido en cualquier parte del rayo 𝑂𝐴 (lado del ángulo). Medida de ángulos: La medida de un ángulo se considera positiva si la abertura se recorre en sentido inverso al movimiento que realizan las manecillas del reloj, y se considera negativa si la abertura se recorre en el mismo sentido en que se mueven las manecillas del reloj.

(Medida del ángulo Positiva)

(Medida del ángulo Negativa)

Dos ángulos son iguales si el valor absoluto de sus medidas es igual. Para poder darle una medida a los ángulos, definiremos dos sistemas de medida:

UNIDAD 1: GEOMETRIA

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Sistema sexagesimal: Grados Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituye un grado sexagesimal. Se denotara con el símbolo “ ° ” sobre el número, así, 20 grados sexagesimales equivale a escribir 20°. Cada uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60′ ) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60′′ ) correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.

Sistema Internacional de Unidades SI: Radianes Una circunferencia se divide 2𝝅 radianes. 360º ≈ 6,2836 radianes

o bien

(La letra griega 𝝅 se pronuncia Pi)

1 radian ≈ 57,3°

En esta Unidad usaremos solo la medida en sistema sexagesimal.

Clasificación de los ángulos según su medida. Angulo agudo: Son aquellos ángulos que su medida (abertura) está entre los 0º y los 90º.

Angulo recto: Es aquel ángulo que su medida (abertura) mide exactamente 90º. Usualmente se coloca un pequeño cuadrado entre las rectas (ver dibujo) para denotar a este tipo de ángulo, así, no debemos hacer mención de su medida.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

Angulo obtuso: Son aquellos ángulos que su medida (abertura) entre los 90º y los 180º.

Angulo Llano o Extendido: Es aquel que mide exactamente 180º.

Angulo entrante o Cóncavo: Son aquellos que su medida está entre 180° y 360°

Angulo completo: Es aquel ángulo que mide exactamente 360º.

Dos ángulos pueden estar clasificados según su suma en 2 tipos. Ángulos Complementarios: Son aquellos ángulos positivos que al sumarlos obtenemos un ángulo recto. En otras palabras, si 𝛼 y 𝛽 son 2 ángulos, entonces 𝛼 + 𝛽 = 90°

Se dice también, 𝛼 es el complemento de 𝛽 si 𝛽 + 𝛼 = 90° O también 𝛽 es el complemento de 𝛼 si 𝛼 + 𝛽 = 90°

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UNIDAD 1: GEOMETRIA

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Otra manera de decir esto es: si 𝛼 es el complemento de 𝛽 entonces 𝛼 = 90° − 𝛽 Ejemplos: 30° es el complemento de 60°, puesto que 60° + 30° = 90° ¿El complemento de 40° es? Para resolver esto debemos hacer lo siguiente, viendo la última definición, tenemos que el complemento de 40° viene dado por X = 90° - 40° = 50° Por lo tanto, el complemento de 40° es 50°. Ángulos Suplementarios: Son aquellos ángulos positivos que al sumarlos obtenemos un ángulo extendido. En otras palabras, si 𝛼 y 𝛽 son 2 ángulos, entonces 𝛼 + 𝛽 = 180°

Se dice también, 𝛼 es el suplemento de 𝛽 si 𝛽 + 𝛼 = 180° O también 𝛽 es el complemento de 𝛼 si 𝛼 + 𝛽 = 180° Otra manera de decir esto es decir si 𝛼 es el suplemento de 𝛽 entonces 𝛼 = 180° − 𝛽 Ejemplo 1: 100° es el complemento de 80°, puesto que 80° + 100° = 180° Ejemplo 2: ¿El suplemento de 55° es? Para resolver esto hacer lo siguiente, viendo la última definición, tenemos que el suplemento de 55° viene dado por 𝑥 = 180° − 55° = 125° Por lo tanto, el suplemento de 55° es 125°. NOTA: Un ángulo Obtuso NO TIENE COMPLEMENTO. Esto es porque un ángulo obtuso es mayor que 90°, por lo tanto no podemos encontrar un ángulo el cual sumado nos de 90°. Ejemplo: ¿El complemento de 100° es? Esto sería resolver la ecuación 𝑥 = 90° − 100° = −10° Con lo cual llegamos a contradecir nuestra definición.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

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Ejemplo Mixto: ¿El suplemento del complemento de un ángulo de 55° es? Para resolver este problema lo que debemos hacer es primero calcular el complemento de 55°, para ello debemos resolver la siguiente ecuación: 55° + 𝑥 = 90° ⇒ 𝑥 = 90° − 55° = 35° Ahora que tenemos el complemento, debemos buscar el suplemento de 35°, para ello utilizamos la siguiente ecuación: 35° + 𝑦 = 180° ⇒ 𝑦 = 180° − 35° = 145° Por lo tanto el Suplemento del complemento de 55° es 145°. Ejercicios Propuestos: 1.

Determina el complemento de 72º.

2.

¿Cuál es el suplemento de 139º?

3.

¿Cuál es el suplemento de (𝑎 − 12)°?

4.

Determina el complemento del suplemento de 143º.

5.

Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados mide x?

6.

¿Cuál es el suplemento del complemento de (𝑎 − 10)°?

7. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el suplemento de 93º? 8. Determina la diferencia entre el suplemento de (𝑎 − 15)° y el complemento (𝑎 de − 45)° 9. Un ángulo y su suplemento están en razón 7: 2. ¿Cuánto mide el ángulo menor? 10. Un ángulo y su complemento están en razón 2: 1. ¿Cuánto mide el suplemento del ángulo mayor? 11.

Determina el ángulo que es el triple de su complemento.

12.

Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

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13. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor. ¿Cuánto mide el ángulo menor? 14.

Si x e y son ángulos adyacentes y x tiene 27º más que y. ¿Cuánto mide x?

15. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es 12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos ángulos? 16. Dos ángulos que suman 50º están en la razón de 2:3. ¿En qué razón están los complementos respectivos de estos ángulos? 17. El complemento y el suplemento de un ángulo son entre sí como 1:5. ¿Cuánto mide el ángulo? 18.

Determina el complemento de 42º18'.

19.

Determina el suplemento de 154º27'42''.

20.

Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho ángulo.

21.

Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?

Clasificación de los ángulos según su posición. Se llaman ángulos consecutivos a aquellos ángulos que comparten vértice y un tienen un lado en común.

Se llaman ángulos adyacentes a aquellos ángulos que comparten vértice, tienen un lado en común y son suplementarios.

POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS i) Dos rectas distintas en un plano si no sé intersectan se dicen paralelas. 𝐿1 //𝐿2 𝐿1 𝐿2

UNIDAD 1: GEOMETRIA

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ii) Dos rectas que al intersectarse forman ángulos rectos, se dicen perpendiculares. 𝐿1  𝐿2

𝐿1

Teorema: sí dos rectas sé intersectan, entonces i) α + β = 180 β + δ = 180 γ + δ = 180 γ + α = 180

ii) α = δ β=γ

Observación: A los ángulos 𝛼 𝑦 𝛿, así como a 𝛽 y 𝛾, se le dicen ángulos opuestos por el vértice. Teorema 2: Sea 𝐿1 paralela a 𝐿2 y sea 𝐿 una recta que intersecta a 𝐿1 y 𝐿2 . Entonces se cumple que:

∡𝟏 = ∡𝟑 = ∡𝟓 = ∡𝟕 ∡𝟐 = ∡𝟒 = ∡𝟔 = ∡𝟖

Además se tiene que ∡𝟏 + ∡𝟐 = 𝟏𝟖𝟎°. Reemplazando ∡1 por ∡3, ∡5 o ∡7 se sigue manteniendo la igualdad, así como también reemplazando ∡2 por ∡4, ∡6 u ∡8

UNIDAD 1: GEOMETRIA

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Ejercicios Propuestos. 1) Encontrar el valor del ángulo 𝑥 L1

L2 x+20°

x - 10° 30°

70°

2) Si L1 // L2; Entonces el valor del ángulo 𝑥 = L1 38° x+27°

L2

3) Si 𝐿1 //𝐿2 ; Entonces el ángulo 𝑥 = x

L1

135°

L2

4) Si 𝑃//𝑄; EF bisectriz; Entonces el ángulo 𝑥 = x P F 20°

Q

E

5) Si Recta 𝑆//𝑇; Entonces el valor del ángulo 𝑥 = S

T

M 2x x

UNIDAD 1: GEOMETRIA

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6) Si 𝑃//𝑄; y 𝑎 − 𝑏 = 20°; 𝑥 =

P a b

Q x

7) Si 𝐹//𝐺; G perpendicular con M; 𝑥 = T 50°

F

G x

M

Definiciones: 1. Se llama distancia entre dos puntos a la medida del segmento que los une.

2. Se llama distancia de un punto a una recta a la medida del segmento que se inicia en el punto y llega perpendicularmente a la recta (Solo existe una recta que cumple con esto).

3. Todo segmento trazado desde un punto P a una recta L que no es perpendicular ̅̅̅̅ y 𝑃𝑆 ̅̅̅̅ son segmentos oblicuos. a la recta se llama segmento oblicuo. 𝑃𝑄 Los puntos Q. R y S se denominan pie de los segmentos ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 , ̅̅̅̅ 𝑃𝑅 y ̅̅̅̅ 𝑃𝑆 respectivamente.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

Dos segmentos oblicuos cuyos respectivos pies están a igual distancia del pie de la perpendicular tienen longitudes iguales. Si el pie de un segmento oblicuo está a mayor distancia del pie de la perpendicular que otro, es más largo que ese otro. 4. Se llama distancia entre dos rectas paralelas a la medida del segmento determinado por las rectas en una perpendicular a ambas.

La distancia entre las rectas, es la distancia del segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 . Además 𝐿1  𝐿3 y 𝐿2  𝐿3 5. Se llama simetral de un segmento a la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Ejercicios Propuestos. ̅̅̅̅ y P es un punto dei interior de 𝐴𝐵 ̅̅̅̅. Probar 1. Si M es punto medio del segmento 𝐴𝐵 que: ̅̅̅̅ − ̅̅̅̅ |𝑃𝐴 𝑃𝐵| ̅̅̅̅̅ = 𝑀𝑃 2 ̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y 𝑃𝐵 ̅̅̅̅ segmentos consecutivos de una misma recta tales que 2. Sean 𝐴𝑀 𝑀𝑁, 𝑁𝑃 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝑀 = 𝑥, 𝑀𝑁 = 2𝑥, 𝑁𝑃 = ̅̅̅̅ 𝑃𝐵 = 𝑥 + 1 y ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 17. Hallar la medida de cada uno. ̅̅̅̅ = 50 𝑐𝑚. Desde sus extremos se marcan P y Q en 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ tales 3. Dado un segmento 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ que 𝐴𝑃 = 𝐵𝑄 = 2𝑄𝑅 . Siendo R un punto entre P y Q tal que 𝑃𝑅 = 𝐴𝑃 + 1, hallar Ia medida de todos los segmentos. ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ 4. Sean P un segmento y R un punto interior tal que ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 = 5𝑃𝑅 𝑅𝑄 = 20 𝑐𝑚. Hallar ̅̅̅̅ . la medida de 𝑃𝑄 ̅̅̅̅ = 5. Sean ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 un segmento y P un punto fuera de él, en la misma recta, tal que 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 3𝐵𝑃 + 1. Si 𝐴𝑃 = 𝑎, cuánto mide 𝐴𝐵 ?

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UNIDAD 1: GEOMETRIA Triángulos Los triángulos tienen una enorme importancia en la geometría ya que todo polígono puede ser descompuesto o formado por triángulos. Es esta gran importancia de los triángulos en la geometría, la que ya se conocía en las primeras civilizaciones. El estudio tan amplio de los triángulos, que ha generado en sí misma una rama de la Geometría y de las Matemáticas, es la Trigonometría.

Definición: Un triángulo, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos, que no se encuentran en una misma línea. Se denomina vértices del triángulo, a los puntos de intersección de las rectas. A los segmentos de recta determinados entre los vértices se les llama lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Clasificación de triángulos I. Clasificación de acuerdo a la medida de sus lados: Triángulo Equilátero: Son los que tienen sus tres lados con igual medida.

Triángulo Isósceles: Son los que tienen al menos dos de sus lados con medida igual.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA

Triángulo Escaleno: Es aquel que tienen sus tres lados desiguales.

II. Clasificación de triángulos de acuerdo a sus ángulos: Triángulos Acutángulos: Son los que tienen sus tres ángulos agudos, es decir menores a 90° .

Triángulos Rectángulos: Es el que tiene un ángulo recto; los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto se denomina Hipotenusa.

Triángulos Obtusángulos: Son aquellos que tienen un ángulo obtuso, es decir, mayor a 90° .

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UNIDAD 1: GEOMETRIA

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Teoremas sobre triángulos. Teorema 1: En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos.

𝑎+𝑏 >𝑐 𝑏+𝑐 >𝑎 𝑎+𝑐 >𝑏

Teorema2: En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°

Pitágoras y sus seguidores, los pitagóricos, fueron griegos que se dedicaron al estudio de las matemáticas y plantearon la importancia del número en el cosmos. Pitágoras es recordado mayormente por el teorema que lleva su nombre e indica la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. El teorema lleva ese nombre porque su descubrimiento y exposición teórica recae sobre la escuela pitagórica, pero se sabe que fue usado mucho antes de la existencia de Pitágoras. Los egipcios emplearon el teorema en forma práctica para construir ángulos rectos, lo cual es muy útil al realizar obras arquitectónicas.

Teorema3: "Teorema de Pitágoras" En todo Triangulo Rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

Teorema 4: El producto de los dos catetos, de un triángulo rectángulo, coincide con el producto de la hipotenusa por la altura sobre ella.

Euclides era un Matemático griego clásico por excelencia y su nombre aún es, quizá, el más popular en la larga y desarrollada historia de las matemáticas. Nació en el año 330 A.C en la ciudad de Tiro, Grecia y murió en el año 275 A.C en Alejandría. Escribió una serie de libros donde sintetizaba todos los conocimientos matemáticos conocidos hasta entonces. Los más notables son los “Elementos”, trece volúmenes que tratan de proporciones aritméticas, geometría plana y geometría del espacio. Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias.

Teorema 5: "Teorema de la Altura (Euclides)" En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Teorema 6: "Teorema del Cateto (Euclides)" El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre esta.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA

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Problema 1: Una escalera de 6,5 metros de longitud está apoyada sobre la pared de un edificio, el pie de la escalera dista 2,5 metros de la pared. ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera sobre la pared? Si el edificio tiene 12 pisos y cada piso mide 2,2 metros ¿A qué piso llega la escalera en la posición que se encuentra? Solución: Si realizamos un diagrama de la situación, tenemos

Notamos que podemos utilizar el teorema de Pitágoras y obtendremos la medida del cateto del triángulo que está sobre el edificio. Se tiene entonces que 𝑥 2 + 2,52 = 6,52 , de esto 𝑥 2 = 42,25 − 6,25 = 36 metros sobre el edificio.

Y 𝑥 = 6 𝑚, así la escalera llega a una altura de 6

Además por la medida de cada piso podemos notar que la escalera llega al tercer piso no alcanza a pasar al cuarto.

Concepto de congruencia y semejanzas. Los conceptos de congruencia y semejanza son fundamentales, ya que podemos reducir el estudio de muchas figuras a otras ya estudiadas. Diremos que dos figuras geométricas se dicen congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño. Sin importar la posición relativa entre las figuras.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

Diremos que dos figuras geométricas se dicen semejantes si tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Sin importar la posición relativa entre las figuras en el plano. Podemos asemejarlo a una ampliación de una figura respecto de la otra.

Un estudio muy importante es el de la congruencia y semejanza de triángulos, para esto daremos algunos criterios.

Criterios de congruencia. (Teoremas) Criterio Lado- Lado- Lado (LLL) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, entonces los triángulos son congruentes. Criterio Lado- Angulo- Lado (LAL) Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo comprendido entre Ellos respectivamente iguales, entonces los triángulos son congruentes. Criterio Angulo- Lado- Angulo (ALA) Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes a él respectivamente iguales, entonces los triángulos son congruentes. Criterio Lado - Lado - Angulo (LLA) Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos respectivamente iguales, entonces los triángulos son congruentes. Criterios de semejanza. (Teoremas) Criterio Angulo - Angulo - Angulo (AAA) Si dos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamente iguales, entonces los triángulos son semejantes. Criterio Angulo - Angulo (AA) Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, entonces los triángulos son semejantes.

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UNIDAD 1: GEOMETRIA

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Con los criterios de congruencia y considerando la proporcionalidad al ampliar una figura tenemos los siguientes criterios de semejanza.   

Si dos triángulos tienen tres lados respectivamente proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido respectivamente igual, entonces los triángulos son semejantes. Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de estos lados respectivamente igual, entonces los triángulos son semejantes.

Ejemplo: Determine si los triángulos ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐷𝐸𝐹 son semejantes.

Como

18 12 15   , por el criterio de lados respectivamente proporcionales 12 8 10

tenemos que ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐷𝐸𝐹 son semejantes.

Se tiene que del teorema de Thales presentado, se encuentra la generalización que es la siguiente. Teorema general de Thales: Si tres o más rectas paralelas cortan a dos o más secantes, entonces los segmentos que se determinan en las secantes son proporcionales.

Teorema de Thales: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado. Podemos decir entonces que toda recta paralela a un lado de un triángulo y que cortea los otros dos lados divide a estos últimos en segmentos proporcionales

UNIDAD 1: GEOMETRIA

26

Se tiene entonces que:

𝑎 𝑏 𝑐 = = 𝑥 𝑧 𝑢

Recíproco del teorema de Thales: Si una recta divide dos lados de un triángulo en una misma proporción, la recta es paralela al tercer lado del triángulo. Perímetro y área de un triángulo. El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados. Podemos notar que según su clasificación en equiláteros, isósceles y escaleno se tiene:

Tipo

Medidas de lados

𝑎

Equilátero

𝑎

Perímetro

3⋅𝑎

𝑎

Isósceles

Escaleno

𝑎

𝑎 𝑏

𝑏

𝑎

2⋅𝑎+𝑏

𝑎+𝑏+𝑐

𝑐

Área de un triángulo. El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por altura. La altura de un triángulo es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. Tenemos algunos casos particulares en los que la fórmula de área se puede expresar como sigue:

UNIDAD 1: GEOMETRIA

27

Tipo

Área

Equilátero

𝑎

ℎ

𝑎

𝐴=

𝑎2 √3 4

𝐴=

𝑎⋅𝑏 2

𝑎 2

ℎ=

𝑎√3 2

Rectángulo 𝑐

𝑏

𝑎

Para el cálculo de área de un triángulo también podemos ocupar la llamada fórmula de Herón, la cual necesita conocer la medida de los tres lados del triángulo, si estos lados son 𝒂, 𝒃 y 𝒄.

El área será 𝐴 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), donde 𝑝 corresponde al semiperímetro y se calcula 𝑝 =

𝑎+𝑏+𝑐 2

Aplicación Para calcular la altura de una torre, una persona que mide 1,6 metros, clava en el suelo un listón de tres metros de altura a una distancia de 30 metros de la torre y después retrocede 2,1 metros hasta que coincide en la visual de los extremos del listón y de la torre, con la información entregada calcule la altura de la torre.

Solución: Realizaremos un diagrama de la situación, se tiene

UNIDAD 1: GEOMETRIA

28

Podemos plantear las siguientes relaciones ocupando la semejanza entre los triángulos 3 1,6

=

2,1+𝑥 𝑥

de lo cual se obtiene que 𝑥 = 2,4 𝑚

y además se tiene la relación

ℎ 3

=

34,5 4,5

Así

ℎ = 23 𝑚

La altura de la torre es de 23 metros

Ejercicios resueltos. a) Hallar el área del siguiente triángulo:

b) Calcular el área de un triángulo equilátero de lado 12 cm. c) Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7cmy 6 cm. d) Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3cm, 4cm y 5 cm. Solución: a) Al tener base y altura correspondiente utilizamos la fórmula 𝐴=

𝑏 ⋅ ℎ 13 ⋅ 7 91 = = = 45,5 2 2 2

Solución: b) Al ser un triángulo equilátero basta calcular 𝐴=

𝑎2 √3 122 √3 = = 36 √3 4 4

Solución: c) Al tratarse de un triángulo rectángulo su área será

UNIDAD 1: GEOMETRIA

29 𝐴=

𝑎⋅𝑏 7⋅6 = = 21 𝑐𝑚2 2 2

Solución: d) Como se tienen como datos sólo los lados de un triángulo entonces utilizamos la fórmula de Herón 𝐴 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐),𝑝 = para este caso 𝑝 =

3+4+5 2

𝑎+𝑏+𝑐 2

=6

𝐴 = √6(6 − 3)(6 − 4)(6 − 5) = √6(3)(2)(1) = 6 𝑐𝑚2

Ejercicios Propuestos. 1. Los lados de un triángulo miden 60 𝑚, 72 𝑚y 90 𝑚. respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24𝑚., calcule la medida de los otros dos lados de este triángulo. 2. La razón de semejanza del triángulo 𝐴𝐵𝐶con el triángulo 𝐷𝐸𝐹es 2:3. Si los lados del primer triángulo son 12, 21 y27, determina los lados del triángulo 𝐷𝐸𝐹. 3. Los catetos de un triángulo rectángulo miden6 𝑐𝑚 y 8 𝑐𝑚. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15𝑐𝑚? 4. En el∆𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐷 es perpendicular a 𝐵𝐶 y 𝐶𝐸 es perpendicular a 𝐴𝐵. Demostrar que 𝐶𝐸 ⋅ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 ⋅ 𝐵𝐶

5. Si en el∆𝐴𝐵𝐶, 𝐶𝐷 es la bisectriz del𝐴𝐶𝐵 y 𝐴𝐵𝐸 es congruente al 𝐴𝐶𝐷 , demuestre que ∆𝐴𝐶𝐷 es semejante al ∆𝐷𝐵𝐸 y que ∆𝐴𝐷𝐶 es semejante al ∆𝐶𝐸𝐵

UNIDAD 1: GEOMETRIA

̅̅̅̅̅si ̅̅̅̅ 6. Encuentra la medida del segmento 𝐴𝐷 𝐴𝐶 = 32 𝑚, ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 15 𝑚 y ̅̅̅̅ 𝐷𝐸 = 3 𝑚

7. Rocío mide 1,70 m y comprueba que cuando su sombra mide 1,20m, la sombra del árbol mide4, 80 m. ¿Cuál es la altura del árbol? 8. Un observador, cuya altura desde sus ojos al suelo es 1,65 m, ve reflejada en un espejo la parte más alta de un edificio. El espejo se encuentra a 2,06 m de sus pies y a 5m del edificio. Halla la altura del edificio. 9. Un muro proyecta una sombra de 2,51 m al mismo tiempo que una vara de 1,10 m proyecta una sombra de 0,92 m. Calcula la altura del muro. 10. Calcula el área de un triángulo equilátero de 5,9 centímetros de lado. 11. Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Calcula su área y la altura sobre la hipotenusa. 12. El área de un triángulo es de 66 𝑐𝑚2 ; sus lados miden 𝑎 = 20 𝑐𝑚, 𝑏 = 11 𝑐𝑚 𝑦 𝑐 = 13 𝑐𝑚. Calcula sus tres alturas y su perímetro. 13. Dibuja un triángulo y, desde cada vértice, traza una recta paralela al lado opuesto. Así obtendrás un nuevo triángulo más grande. a) Justifica por qué es semejante al inicial. b) ¿Cuál es la razón entre las áreas? Problema: Entre dos pueblos 𝐴 y 𝐵 hay una colina, para medir la distancia de 𝐴 a 𝐵 fijamos un punto 𝑃 desde el que se ven los dos pueblos, al tomar las medidas resulta 𝐴𝑃 = 15 𝑘𝑚 , 𝑃𝑀 = 7,2 𝐾𝑚 y 𝑀𝑁 = 12 𝑘𝑚, 𝑀𝑁 es paralela a 𝐴𝐵, determina la distancia entre 𝐴 y 𝐵

30

UNIDAD 1: GEOMETRIA

Definición: Los cuadriláteros son polígonos limitados por líneas rectas que forman cuatro lados y estos entre sí, forman ángulos, también los cuadriláteros poseen cuatro vértices. Algunas definiciones importantes son: Lados consecutivos: son los que tienen un vértice en común. Vértices y ángulos opuestos: son los que no pertenecen a un mismo lado. Ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios, es decir, suman 180°.

Clasificación de cuadriláteros. La primera división que se realiza es entre cuadriláteros convexos y cuadriláteros no convexos. Los cuadriláteros convexos son aquellos en que cada uno de los ángulos interiores es menor de 180º. También se pueden distinguir pues, dados dos puntos cualesquiera interiores al cuadrilátero, el segmento que los une tiene todos sus puntos interiores al cuadrilátero.

Los cuadriláteros no convexos o cóncavos son aquellos en que uno de los ángulos es mayor de 180º. También se puede distinguir un cuadrilátero no convexo ya que podemos encontrar dos puntos, tales que el segmento entre ellos tenga puntos, exteriores al cuadrilátero.

Los cuadriláteros motivo de nuestro estudio son, los cuadriláteros convexos

31

UNIDAD 1: GEOMETRIA

32

Clasificación de cuadriláteros convexos. Lados paralelos Dos pares de lados paralelos Dos pares de lados paralelos y los otros dos no paralelos. Ningún lado paralelo a otro

Tipo Paralelogramos Trapecios Trapezoides o cuadriláteros

Clasificación de paralelogramos. Entre los paralelogramos tenemos los rectángulos, cuadrados, romboides y rombo. Paralelogramo Características Rectángulo

Tiene sus cuatro ángulos rectos

Cuadrado

Tiene sus cuatro ángulos rectos y sus cuatro lados iguales.

Romboide

Paralelogramo que tiene sus ángulos oblicuos.

Rombo

Paralelogramo que tiene sus ángulos oblicuos y los cuatro lados iguales.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

33

Clasificación de trapecios. Los trapecios se clasifican en trapecio escaleno, trapecio isósceles y trapecio rectángulo. Sus lados paralelos se llaman bases. Trapecio

Característica

Escaleno

Tiene los lados no paralelos desiguales.

Isósceles

Rectángulo

Tiene los lados no paralelos de igual longitud, formando con las bases ángulos adyacentes iguales.

Tiene un lado perpendicular a las bases, formando un ángulo recto con cada base.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

34

Clasificación de trapezoides. Los trapecios se clasifican en trapezoides simétricos y Asimétricos. Trapezoides

Simétricos

Asimétricos

Característica Son los que tienen dos pares de lados consecutivos iguales pero el primer par de lados consecutivos iguales es diferente del segundo Son aquellos que no ofrecen ninguna de las características de un trapezoide simétrico. Ángulos desiguales

y

lados

Propiedades de los Paralelogramos Teorema 1: La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°. Si los cuatro ángulos son iguales, entonces cada ángulo es 90º. Si dos ángulos son suplementarios, los otros dos también son suplementarios. En un paralelogramo se denomina base a cualquiera de sus lados y la altura será la distancia entre la base y el lado opuesto.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

Teorema 2: En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales. Observe que en un paralelogramo dos ángulos consecutivos son suplementarios

Justifique esta observación.

Teorema 3: Todo cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son iguales, es un paralelogramo.

Teorema 4: En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.

Teorema 5: Todo cuadrilátero que tiene dos lados iguales y paralelos es un paralelogramo.

Teorema 6: En todo paralelogramo las diagonales se dimidian.

Teorema 7: Todo rectángulo es un paralelogramo cuyas diagonales son iguales

35

UNIDAD 1: GEOMETRIA

36

Teorema 8: Todo cuadrado es un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares e iguales. Las diagonales se dimidian y son bisectrices de los ángulos interiores.

Teorema 9: Todo rombo es un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares. Las diagonales se dimidian y son bisectrices de los ángulos interiores.

En resumen, se tiene que todo paralelogramo, tiene:     

Dos pares de lados paralelos. Lados opuestos iguales. Ángulos opuestos congruentes. Los ángulos consecutivos suplementarios. Las diagonales se dimidian. Teorema 10: La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos es paralela a las bases y es igual a su semisuma.

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ = 𝐴𝐷 +𝐵𝐶 𝐸𝐺 2

UNIDAD 1: GEOMETRIA

37

̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ Problema 2: En un trapecio 𝐴𝐵𝐶𝐷, de bases 𝐵𝐶 𝐴𝐷, los ángulos en los vértices 𝐴 y 𝐷 son complementarios, los segmentos miden ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 5 𝑐𝑚 y ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 = 12 cm y el segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos mide ̅̅̅̅ . 27 cm. Calcule la longitud del segmento 𝐵𝐶 Solución: Si observamos la figura asociada a la información se tiene

Por la relación entre los ángulos se tiene que el triángulo 𝑃𝐷𝐶 es rectángulo en 𝐶 por tanto podemos calcular ̅̅̅̅ 𝑃𝐷 mide 13 cm, además sabemos que el segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos mide 27 cm y del teorema 10 sabemos que 27 =

𝑏+𝑏+13

Así 54 = 2𝑏 + 13, 41 = 2𝑏,

41

2

2

=𝑏

Perímetros y áreas de paralelogramos y trapecios. Cuadrilátero

Dibujo

Perímetro 𝑷

Área 𝑨

Cuadrado

𝑃 = 4𝑎

𝐴 = 𝑎2

Rectángulo

𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏

𝐴=𝑎⋅𝑏

UNIDAD 1: GEOMETRIA

38

Rombo

Romboide

Trapecio

Trapezoide

𝑃 = 4𝑎

𝐴=

𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏

𝑃= 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑐 + 𝑑

𝑃 =𝑎+𝑏+𝑐+𝑑

𝑑1 ⋅ 𝑑2 2

𝐴=𝑏⋅ℎ

𝐴=

𝑏1 + 𝑏2 ⋅ℎ 2

𝐴 =suma de las áreas de los triángulos

Aplicación Queremos enmarcar un cuadro cuyas dimensiones totales son 103 cm de base por 63 cm de alto. ¿Qué longitud deberá tener la moldura que debemos usar? Si la moldura cuesta a $3500 el metro, calcule el precio de dicho marco. Solución: Para determinar la cantidad de moldura simplemente debemos calcular el perímetro del cuadro esto es igual a: 𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏 = 2 ⋅ 103 + 2 ⋅ 63 = 206 + 126 = 332 cm, la longitud de la moldura será de 332 cm, por tanto el precio que debemos pagar es 3,32 ⋅ 3500 = 11620, es decir el marco tendrá un valor de $11.620.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

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Ejercicios resueltos. a) Las dos diagonales de un rombo, miden 124 mm y 93 mm. Calcula su área y su perímetro. b) La base mayor de un trapecio isósceles mide 35 cm y la menor 15 cm. La altura es igual a 10,5 cm. ¿Cuánto mide su perímetro y cuál es su área?

Solución: a)

El área del rombo está dado por 𝐴 =

𝑑1 ⋅𝑑2 2

=

124⋅93 2

=

11532 2

= 5766 𝑚𝑚2

Su perímetro será 4𝑎 para determinar el valor de 𝑎 utilizamos el teorema de Pitágoras, donde cada cateto será la mitas de cada diagonal, de esta forma 𝑎2 = (

124 2 93 2 15376 8649 24025 ) +( ) = + = 2 2 4 4 4

Por tanto 𝑎 = 77,5 mm, con esto el perímetro será 𝑃 = 310 𝑚𝑚 Solución: b) Al tener las bases y área del trapecio sabemos que su área es 𝐴=

( 𝑏1 +𝑏2 )⋅ℎ 2

=

(35+15 )⋅10,5 2

= 262,5 𝑐𝑚2

Como el trapecio es isósceles podemos calcular su lado utilizando el teorema de Pitágoras

102 + 10,52 = 𝑥 2 , entonces 𝑥 = 14,5 𝑐𝑚 , por tanto su perímetro es 𝑃 = 15 + 14,5 + 35 + 14,5 = 79 𝑐𝑚

UNIDAD 1: GEOMETRIA

Ejercicios Propuestos. 1. Calcula el área de un cuadrado de 17,2 cm de lado. 2. Calcula el perímetro de un cuadrado de 5975,29 cm2 de área. 3. Calcula el área de un rectángulo de 45,6 cm de base y 32,5 cm de altura. 4. Calcula la base de un rectángulo de 364,5 cm2 de área y 24,3 cm de altura. 5.

Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlo con losetas cuadradas de 25 cm de. ¿Cuántas losetas son necesarias?

6. Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 42 cm y 40 cm. 7. Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 110 m y 30 m, y el lado oblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área. 8. El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado negro exterior?

9. Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 25,6 cm y 108,5 cm y los lados no paralelos 70,5 cm. 10. Calcula el perímetro y el área del trapezoide ABCD con los datos que se indican AB=12,6 cm. BC=14,82 cm. CD=19,8 cm. DA=19,74 cm. DB=21,24 cm. Problema: ̅̅̅̅ = 32 𝑐𝑚 y 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ = 24 . Por un punto 𝑃 de la Las diagonales del rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷 miden: 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ = 6 𝑐𝑚 se traza una paralela a la diagonal 𝐴𝐶 que corta en 𝑀 y 𝑁 a diagonal menor, tal que 𝑃𝐷 los lados 𝐴𝐷 y 𝐶𝐷. Calcule el área y el perímetro del pentágono M𝐴𝐵𝐶𝑁 . (HINT: realice la figura y descomponga el pentágono en figuras geométricas de áreas conocidas )

40

UNIDAD 1: GEOMETRIA

Definición: La circunferencia se define como la figura geométrica cuyo conjunto de puntos del plano que la componen, están a una misma distancia de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. Hay que diferenciarlo del círculo, que es el conjunto de todos los puntos del plano que están a menor distancia de un punto fijo. (Centro)

A continuación se identificarán las rectas que cortan o tocan a la circunferencia, así como la que se encuentra ubicada fuera de la misma.

Recta secante (1) que intercepta a la circunferencia en dos puntos. Recta tangente (2) intercepta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia. Recta exterior (3) no tiene ningún punto de contacto con la circunferencia.

41

UNIDAD 1: GEOMETRIA

Elementos de la circunferencia: ̅̅̅̅): segmento que une al centro Radio (𝐴𝐵 del círculo con un punto cualquiera de la circunferencia. ̅̅̅̅): segmento que une dos Cuerda (𝐶𝐷 puntos cualesquiera de la circunferencia. ̅̅̅̅): segmento que une dos Diámetro (𝐺𝐻 puntos de la circunferencia y pasa por el centro del círculo; se le considera como la cuerda de mayor tamaño que divide al círculo en dos partes congruentes ̅̅̅̅): parte de la circunferencia, limitada por dos puntos de ella. Arco (𝐿𝑀

Ángulos y arcos en el círculo Ángulo Central (∢𝐴𝐵𝐶): ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia. Ángulo Inscrito (∢𝐷𝐸𝐹) ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son cuerdas del círculo. Ángulo semi - inscrito (∢𝐺𝐻𝐼) ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados lo forman una tangente y una secante.

Todo ángulo del centro determina un arco, como vemos en la figura siguiente, entonces decimos que el ángulo AOB subtiende el arco AB.

42

UNIDAD 1: GEOMETRIA

43

Posiciones relativas de dos circunferencias:

Teoremas de la circunferencia Recordemos las relaciones fundamentales que se cumplen en las circunferencias. Teorema 1: El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.

∢𝐴𝑂𝐶 = 2 ∙ ∢𝐴𝐵𝐶 Teorema 2: Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo.

∢𝟏 = ∢𝟐 = ∢𝟑 Teorema 3: Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

44

Teorema 4: Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene medida igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.

Teorema 5: Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ≅ 𝑨𝑪 𝑨𝑩

Teorema 6: La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes.

∢𝐴𝐸𝐵 =

̂ + 𝐶𝐷 ̂ 𝐴𝐵 2

Teorema 7: La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos correspondientes.

∢𝐶𝐴𝐷 =

̂ − 𝐵𝐸 ̂ 𝐶𝐷 2

UNIDAD 1: GEOMETRIA

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Proporcionalidad en la Circunferencia. Teorema 1: Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda.

̅̅̅̅ 𝑃𝐴 ∙ ̅̅̅̅ 𝑃𝐶 = ̅̅̅̅ 𝑃𝐵 ∙ ̅̅̅̅ 𝑃𝐷

Teorema 2: Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida de una secante por la medida de su segmento exterior es igual al producto de la medida de la otra secante por la medida de su exterior.

̅̅̅̅ = 𝑃𝐷 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∙ 𝑃𝐴 ̅̅̅̅ ∙ 𝑃𝐶 𝑃𝐵 Teorema 3: Si a una circunferencia se trazan una secante y una tangente, el cuadrado de la medida de la tangente es igual al producto de la medida de la secante por la medida de su exterior.

̅̅̅̅ 𝑃𝐶 2 = ̅̅̅̅ 𝑃𝐵 ∙ ̅̅̅̅ 𝑃𝐴

UNIDAD 1: GEOMETRIA

46

AREA Y PERIMETRO Área (A)

Perímetro (P)

Circunferencia

No tiene área

𝑃 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 (𝑅: radio)

Círculo

𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑅2

𝑃 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 (𝑅: radio)

Circunferencia

AREA Y ARCO DE UN SECTOR CIRCULAR Área (𝑨𝒔 ): Representa una fracción del área. 𝐴𝑠 = (

𝛼 ) ∙ 𝜋 ∙ 𝑅2 360°

𝛼: Ángulo del centro Arco (𝒂): Representa una fracción del perímetro. 𝛼 𝑎=( )∙2∙𝜋∙𝑅 360° 𝛼: Ángulo del centro

Círculo

UNIDAD 1: GEOMETRIA

47

PROBLEMA APLICACION 1. Se remodelará la esquina de una plaza colocando un sector circular como indica la figura. Determine el ángulo de centro que se debe trazar si el ángulo de la esquina era de 72º

DESARROLLO: Radio de Contacto: Siempre que trabajes con circunferencias o arcos de circunferencia que son tangentes con rectas, segmentos de rectas, rayos u otras circunferencias, resulta ser indispensable el trazado del Radio de Contacto, Radio que une los puntos de tangencia con el centro de la o las circunferencia y resultan ser Perpendiculares con dichas Tangentes.

a) Identificar Datos: -

A

C 72º

Los ángulos a determinar 𝛼 = ∠𝐵𝑂𝐶 108º

-

El ángulo conocido ∠𝐵𝐴𝐶 = 72º

O

B

b) Estrategia de resolución: -

Representar la informacion relevante en un esquema reducido.

-

Se plantean ecuaciones de primer grado.

Se aplican propiedades de: ángulos en poligonos y radio de contacto con la tangente..

c) Resolver Problema:

UNIDAD 1: GEOMETRIA

48

Como 𝐵𝑂 y 𝐶𝑂 son los radios de contacto con los respectivos segmentos tangentes 𝐵𝐴 y 𝐶𝐴 entonces 𝐵𝑂 ⊥ 𝐵𝐴 y 𝐶𝑂 ⊥ 𝐶𝐴 luego ∠𝐴𝐵𝑂 = 90° Y ∠𝐴𝐶𝑂 = 90° -

En el cuadrilátero 𝐴𝐵𝑂𝐶 la suma de ángulos interiores es 360°, es decir, ∠𝐴𝐵𝑂 +∠𝐵𝑂𝐶 + ∠𝐴𝐶𝑂 +∠𝐵𝐴𝐶 = 360° 90° + 𝛼 + 90° + 72° = 360° 𝛼 = 108°

d) Comunicación de resultados: Entonces el empalme circular corresponde a un sector circular de 𝛼 = 108° PROBLEMA APLICACION 2. Se necesita pintar la fachada de la casa, cuya vista frontal se presenta a continuación, ¿cuántos galones de hidrorrepelente se necesitan si cada uno rinde 20 m2?

DESARROLLO: a) Identificar Datos: -

Debemos calcular el área de cada figura que forma la fachada.

Debemos calcular cuanta pintura se necesitara para pintar la fachada de la casa.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

49

b) Estrategia de resolución: -

Calcularemos el área de rectangulos, circulos y triangulos.

Al calcular el área a pintar debemos descontar los espacios de la puerta y de las ventanas.

c) Resolver Problema: Para calcular el área total a pintar, calcularemos las áreas de los rectángulos y los triángulos que componen la fachada, y descontaremos las áreas de la puerta y las ventanas. Recuerda que: Área del rectángulo = largo · ancho

Área del triángulo =

𝒃𝒂𝒔𝒆 · 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂

Área del circulo = 𝝅 · 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐𝟐

Area fachada = 2,20 ∗ 2 + 2,20 ∗ 3 +

2,40 ∗ 1,20 5,50 ∗ 2,20 + = 18,29 2 2

Area puerta y ventanas 𝜋 ∗ 0,402 𝜋 ∗ 0,752 = 0,80 ∗ 1,61 + + 1,502 + + 𝜋 ∗ 0,4752 2 2 ≈ 5,382 -

Por lo tanto, el área a pintar es de aproximadamente 12,908 m2.

d) Comunicación de resultados: Como un galón rinde 20 m2, sólo se necesita un galón de hidrorrepelente para pintar la fachada de la casa.

𝟐

UNIDAD 1: GEOMETRIA

50

Ejercicios Propuestos. 1. Para las siguientes figuras, encontrar el valor del ángulo x a) x = ?

b) x = ? 30

40 O x

O

c) ∢ABC=60°, AB diámetro; x=?

x

d) ∢CAO=20°; ∢AOB=100º; x=? A

C

B x

x O

A

O B C

e) ∢BOC=140º; ∢ABC=80º; ∢OAB=?

f) ∢OCB = 55º; x = ?

B

C

x A

O

B

O C A

2. Determina el perímetro de una circunferencia de diámetro 15 cm 3. El perímetro de una circunferencia es 119,32 m. calcula su radio y su diámetro 4. Las ruedas de una bicicleta tienen 30 cm de radio, ¿Cuánto recorre entonces la bicicleta si las ruedas dan vueltas 50 veces? 5. Calcula el área de un círculo cuyo radio mide 7,5 cm 6. Encuentra el área de un círculo de diámetro 10 cm 7. Las ruedas de un tractor tienen 1,5 metros de diámetro, ¿Cuántas vueltas darán las ruedas en un terreno de 20 m de largo?

UNIDAD 1: GEOMETRIA 8. El área de un círculo es 78,50 cm2 ¿Cuánto mide su radio? 9. Un círculo tiene perímetro 628 cm ¿Cuánto mide su área? 10. Una pista circular tiene un radio de 80 m. un corredor que va por el borde de la pista da 100 vueltas. ¿Cuántos metros recorre aproximadamente? 11. El radio de un círculo es 8 m. Calcula su perímetro y su área

51

UNIDAD 1: GEOMETRIA

Definición: Un cuerpo geométrico corresponde una figura en tres dimensiones, es decir, con largo, ancho y alto, y se encuentran delimitados por una o varias superficies. Dependiendo de la forma de las superficies que los delimitan es como se caracteriza el cuerpo geométrico.

Clasificación y Elementos. Los cuerpos geométricos se dividen en dos grupos, los poliedros y los cuerpos redondos. Los poliedros son aquellos en los que las superficies que los delimitan son planas, son caras poligonales. Los cuerpos redondos, son aquellos, en los que algunas de las superficies que los delimitan son curvas.

Poliedros Como ya hemos visto los poliedros son cuerpos limitados por caras poligonales. Por ejemplo:

52

UNIDAD 1: GEOMETRIA

En un poliedro podemos encontrar los siguientes elementos: Caras: corresponden a los polígonos que delimitan el poliedro. Aristas: se llama a los segmentos de recta que corresponden a los bordes de las caras, o más bien, donde se cortan dos caras. Vértice: se denomina a los puntos donde concurren tres o más aristas. Ángulos planos: serán los ángulos formados por dos aristas que se cortan. Ángulos diedros: estos ángulos son formados por dos caras adyacentes del poliedro. Diagonales: Para los poliedros hay dos tipos de diagonales a) diagonales que unen dos vértices no consecutivos de una misma cara b) diagonales que unen vértices de distintas caras.

Los poliedros pueden ser clasificados según sus ángulos en Cóncavos y Convexos. Para determinar si un poliedro es cóncavo o convexo se deben prolongar sus caras. Si alguna de las prolongaciones pasa por el interior se llama cóncavo, si no ocurre esto se llama convexo.

En la figura anterior los dos primeros son poliedros cóncavos y los dos últimos son poliedros convexos.

53

UNIDAD 1: GEOMETRIA Trabajaremos con los poliedros convexos. Clasificaremos a estos según la forma de sus caras en poliedros regulares y poliedros irregulares. Poliedros regulares son aquellos en que todos sus caras son polígonos regulares iguales en forma y tamaño. Sólo hay cinco poliedros regulares. Estos son: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, y son los más sencillos que se forman a partir de un solo polígono regular. Este grupo de poliedros recibía el nombre de sólidos platónicos.

Tetraedro: Tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros, cuatro vértices y seis aristas Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparación con su superficie. Cubo o hexaedro: Tiene seis caras que son cuadradas, ocho vértices y doce aristas. Octaedro: Tiene ocho caras que son triángulos equiláteros, seis vértices y doce aristas. Dodecaedro: Tiene doce caras que son pentágonos regulares, veinte vértices y treinta aristas. Icosaedro: Tiene veinte caras que son triángulos equiláteros, doce vértices y treinta aristas Es el que tiene mayor volumen en relación con su superficie.

54

UNIDAD 1: GEOMETRIA Poliedros irregulares, son aquellos en que al menos una de sus caras no es un polígono regular, estos se clasifican en dos grandes grupos: prismas y pirámides. Prismas Son los poliedros formados por dos caras iguales y paralelas llamadas bases y por una serie de caras laterales rectangulares. Hay tantas caras laterales como lados tenga el polígono de la base.

Si la base del prisma es un polígono regular, el prisma se llama prisma regular. Si las aristas laterales son perpendiculares a la base, se llama prisma recto. Pirámides Son poliedros que apoyados en su base terminan en un vértice. Por tanto, sus caras laterales son triángulos.

Si la base de la pirámide es un polígono regular, la pirámide se llama pirámide regular. Si la línea que une el vértice con el centro del polígono de la base coincide con la altura de la pirámide, se llama pirámide recta. Cuerpos redondos. Los cuerpos redondos se forman al girar una cierta figura alrededor de una recta llamada eje. Nosotros estudiaremos los cuerpos llamados cilindro, cono y esfera.

55

UNIDAD 1: GEOMETRIA El Cilindro Es el cuerpo que se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Se distinguen en él, generatriz, altura, radio. Este tipo de cilindro se llama recto, pues existen otros en que su generatriz no es perpendicular al círculo de la base.

El Cono Es el cuerpo generado al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Su generatriz es la hipotenusa del triángulo.

La Esfera Es el cuerpo generado al girar un círculo alrededor de un diámetro.

56

UNIDAD 1: GEOMETRIA

Área de superficies y volúmenes Área de prismas Para determinar el área total de un prisma, realizamos su desarrollo, es decir separamos sus dos bases y dividimos la figura cortando por una arista lateral. Así obtenemos la siguiente figura plana.

Por ejemplo este es el desarrollo de un prisma de base triangular. El área total será el área lateral más el área de las dos bases, que son iguales. Área de pirámides Para observar el desarrollo de una pirámide separamos la base y dividimos la figura cortando por una arista lateral.

57

UNIDAD 1: GEOMETRIA Esta figura está formada por un polígono regular y por tantos triángulos isósceles como lados tenga el polígono de la base. Estos triángulos tienen por base el lado de la base del polígono que forma la base y los lados iguales son las aristas laterales de la pirámide. La altura de este triángulo es la apotema de la pirámide. El área total será el área lateral más el área de la base. Área de los cuerpos redondos. Cilindro Revisamos el desarrollo del cilindro

En la descomposición del cilindro se aprecia que su parte lateral es un rectángulo cuya base es igual al perímetro del círculo y cuya altura es la del cilindro. El área total será la suma del área lateral más dos áreas de la base. Cono. Igualmente, si separamos la base de un cono y dividimos la figura cortando por una generatriz, resulta:

Esta figura está formada por un sector circular de radio la generatriz, y de longitud del arco igual a la longitud de la circunferencia de la base. El desarrollo lateral de un cono recto es un sector circular de radio la generatriz. Luego, el área total será la suma del área lateral y la de la base.

58

UNIDAD 1: GEOMETRIA Esfera En el caso de la esfera no podemos describir una red. Su área será 𝐴 = 4𝑟 2 𝜋 Resumen de áreas de cuerpos geométricos.

Volúmenes de cuerpos geométricos. La construcción y cálculo de los volúmenes de los cuerpos geométricos son algo más difíciles de desarrollar respecto de lo que vimos en las áreas para estos cuerpos, realizaremos un resumen de las fórmulas más importantes.

59

UNIDAD 1: GEOMETRIA

60 Nombre

Dibujo

Volumen

𝑉 = 𝑎3

Cubo

𝑉 =𝑎⋅𝑏⋅𝑐 Paralelepípedo

𝑉 = á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻 Prisma

Pirámide

1 3

𝑉 = á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻

𝑉 = á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻

1 𝑉 = 𝑅 2 𝐻𝜋 3

Cilindro

1

𝑉 = 3 á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻 Cono

𝑉 = 𝑅 2 𝐻𝜋

UNIDAD 1: GEOMETRIA

61

Esfera

4

𝑉 = 3 𝑟3𝜋

Aplicación Se quiere pintar una habitación con forma de prisma recto de base cuadrada de lado 3 m y la altura de la habitación es 3,5 m. El pintor cobra $1200 por metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintar las paredes de la habitación? Solución: Notamos que las 4 paredes de la habitación son de forma rectangular, de lados 3m y 3,5 m respectivamente. Calculamos el área de una de las paredes 𝐴 = 3 ⋅ 3,5 = 10,5 𝑚2 Luego se debe pintar una superficie de

𝑆 = 4 ⋅ 10,5 = 42 𝑚2 .

Finalmente es costo de pintar la habitación es 𝐶 = 42 ⋅ 1200 = 50400 El pintar la habitación tiene un costo de $50.400.

EJERCICIO RESUELTO. Un cono se encuentra al interior de un cilindro de radio 4 cm, como se muestra en la figura. Si la generatriz del cono mide 4,5 cm. ¿Cuánto mide el volumen NO cubierto por el cono? Los radios y las alturas del cono y del cilindro coinciden, es decir en cono está inscrito en el cilindro.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

62

Solución: El volumen no cubierto por el cono será igual a la diferencia entre el volumen del cilindro con el volumen del cono, con los datos que tenemos calculamos: Volumen del cilindro: 4

á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝜋𝑟 2 ⋅ ℎ = 𝜋 ⋅ 16 ⋅ √4,25 = 5 √17 𝜋

Volumen del cono:

á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 3

ℎ

= 𝜋𝑟 2 ⋅ 3 = 𝜋 ⋅

16⋅√4,25 3

4

= 15 √17 𝜋

8

Volumen buscado: 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 = 15 √17 𝜋

PROBLEMA APLICACION 3: Una persona quiere construir un portico con 4 pilares a la entrada de su casa, cada pilar esta formado por un paralelepipedo de base cuadrada cuyas dimensiones son 20 cm de base y 1,50 m de altura y un cubo de 30 cm de lado. ¿Cuántos sacos de hormigón preparado necesita si un saco de 35 kg rinde 0,0168 m3? DESARROLLO: En la resolución de problemas es fundamental el trabajo paso a paso, es por eso que se recomienda la utilización de la estructura que aparece en el siguiente cuadro: Recuerda aplicar los siguientes pasos para la resolución de los problemas: a) b) c) d)

Identificación de datos. Estrategia de resolución. Resolución. Comunicación de resultados.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

63

a) Identificar Datos: -

Debemos calcular el volumen de cada cuerpo geométrico que forman los pilares.

-

Debemos calcular cuanto hormigón necesitamos.

b) Estrategia de resolución: -

Dibujar el pilar.

-

Transformar las dimensiones a la misma unidad de medida, es decir, centimetros o metros.

-

Calcularemos el volumen del paralelepipedo y del cubo.

-

Al calcular el volumen de cada cuerpo, calcularemos el volumen total de los pilares.

c) Resolver Problema: - El pilar está formado por un paralelepípedo y un cubo, como muestra la figura: - Para calcular el volumen de un pilar, calculamos el volumen de cada cuerpo que lo forma. Recuerda que: Volumen del Paralelepípedo = Área base · altura 𝒂𝒓𝒊𝒔𝒕𝒂𝟑

Volumen cubo =

- Las dimensiones del paralelepípedo son 20 cm de base y 1,50 m de altura, lo que equivale a decir, 0,2 m de base y 1,5 m de altura. Volumen Paralelepipedo = 0,22 · 1,5 = 0,06𝑚3 - Las dimensiones del cubo son 30 cm de lado, equivale a 0,3 m de lado Volumen Cubo = 0,33 = 0,027𝑚3 - Luego el volumen de un pilar se obtiene sumando el volumen del paralelepípedo con el volumen del cubo, por lo tanto, el volumen de un pilar es 0,087m3 - Ahora bien, como el pórtico está formado por 4 pilares, el volumen total es de 0,348m3 .

UNIDAD 1: GEOMETRIA

64

- Sabemos que un saco de hormigón rinde para 0,0168𝑚3 y el volumen total de los pilares es de 0,348𝑚3 , por lo tanto 0,348 ∶ 0,0168 ≈ 20,71 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠.

d) Comunicación de resultados: Como un saco de hormigón rinde 0,0168𝑚3 y el volumen de los pilares es de 0,348𝑚3 se necesitan 21 sacos. PROBLEMA APLICACION 4: La viga de la figura está construida de concreto (densidad del concreto 2,4kg/dm3) y una estructura compuesta de barras de acero de (densidad del acero 7,85kg/dm3) de sección circular de 2,5 cm de diámetro. Calcula la fuerza peso que ejerce esta viga en reposo.

15cm

250cm

DESARROLLO: 15cm

RECUERDA QUE:

Volumen, Densidad, Masa y Peso

No olvides que cuando se quiere calcular el peso de un objeto se debe considerar las relaciones entre Volumen, Densidad Masa y Peso que son las siguientes 𝑃 =𝑀∙𝑔 donde g =9,8 m/s2 es la aceleración de gravedad y que 𝑀 =𝑉∙𝐷

Donde D es la densidad que es una constante correspondiente al material del cual está fabricado el objeto que te indica la cantidad de materia o masa por unidad de volumen. Las unidades en el sistema internacional (MKS) son Peso=N (newton=kg m/s2) Masa=kg Densidad=gr/cm3,kg/dm3,ton/m3 Un error muy frecuente es confundir Peso con Masa, la primera es una fuerza y la segunda es la unidad que indica la cantidad de materia. Cuando vas a comprar el pan compras cantidad de masa de pan no peso de pan.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

65

a) Identificar Datos: - Dimensiones de la viga 𝑎 = 15𝑐𝑚 de ancho, 𝑏 = 15𝑐𝑚 de alto y 𝑐 = 250𝑐𝑚 de largo. - Dimensiones de las barras de acero: diámetro 𝑑 = 2,5𝑐𝑚 y largo ℎ = 250𝑐𝑚 - Densidad del acero 7,85kg/dm3 - Densidad del concreto 2,4kg/dm3

b) Estrategia de resolución: - Interpretar la viga como un paralelepipedo rectangular y utilizar la formula de volumen correpondiente 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son las aristas del paralelepípedo - Interpretar las barra como cilindros y utilizar la formula de volumen correspondiente 𝑉 = 𝜋

𝑑2 4

ℎ donde 𝑑 es el diametro y ℎ es la altura, en este caso el

largo de las barras. - Aplicar correctamente las relaciones volumen, densidad masa y peso indicadas al comienzo de esta solución. - No olvidar que en los calculos de masa se debe descontar el volumen de las barras del volumen total de la viga

c) Resolver Problema: - Calculo del volumen de la viga 𝑉1 = 𝑎𝑏𝑐 = 15𝑐𝑚 ∙ 15𝑐𝑚 ∙ 250𝑐𝑚 = 56250𝑐𝑚3 - Calculo del volumen de una barra de acero 𝑑2 (2,5𝑐𝑚)2 𝑉2 = 𝜋 ℎ = 𝜋 250𝑐𝑚 = 1227,2𝑐𝑚3 4 4 - Calculo del volumen total de acero 𝑉𝐴 = 4𝑉1 = 4 ∙ 1227,2𝑐𝑚3 = 4908,8𝑐𝑚3 - Calculo del volumen del concreto como la diferencia entre el volumen total de la viga menos el volumen total de acero 3 3 3 𝑉𝐶 = 𝑉1 − 𝑉𝐴 = 56250𝑐𝑚 − 4908,8𝑐𝑚 = 51341,2𝑐𝑚

UNIDAD 1: GEOMETRIA

66

- Calculamos las masas del acero y el concreto por separado como el producto de sus volúmenes y sus respectivas densidades. Es conveniente transformar la unidad de volumen de cm3 a dm3 para que la unidad de masa quede en kg. Unidades de densidad = gr/cm3, kg/dm3, ton/m3 Esto se hace simplemente dividiendo por 1000 pues 1dm3 = 1000cm3 𝑉𝐴 = 4908,8𝑐𝑚3 = 4,91𝑑𝑚3 𝑉𝐶 = 51341,2𝑐𝑚3 = 51,34𝑑𝑚3 Las masas respectivas serán 𝑀𝐴 = 7,85 𝑀𝐶 = 2,4 -

𝑘𝑔 4,91𝑑𝑚3 = 38,54𝑘𝑔 𝑑𝑚3

𝑘𝑔 51,34𝑑𝑚3 = 123,22𝑘𝑔 𝑑𝑚3

Calculamos la masa total como la suma de las masas del concreto y el acero 𝑀𝑇 = 𝑀𝐴 +𝑀𝐶 = 38,54𝑘𝑔 + 123,22𝑘𝑔 = 161,76𝑘𝑔

-

Calculamos finalmente el peso de la viga 𝑃 = 161,76𝑘𝑔 ∙ 9,8

𝑚 = 1585,25𝑁 𝑠2

d) Comunicación de resultados: -

La masa total de la viga es de 161,76kg La fuerza peso que ejerce en reposo es de 1585,25N

Ejercicios Propuestos. 1. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 14 𝑐𝑚2 y 34.000 𝑐𝑚3 de capacidad. 2. Hallar el área lateral y volumen de un prisma cuadrangular cuyas medidas son: a) lado basal es6 𝑐𝑚y su altura es 12 𝑐𝑚. b) lado basal es 3 𝑐𝑚y de altura del prisma 5𝑐𝑚.

UNIDAD 1: GEOMETRIA

3. Hallar el área total lateral de un prisma cuadrilátero regular recto cuyas medidas son: a) el lado de la base mide 8 𝑐𝑚 y la arista lateral mide 10 . b) el lado de la base mide 5 𝑐𝑚y la arista lateral 20 𝑐𝑚. 4. Hallar el Volumen de una pirámide cuadrangular que tiene de lado de la base 8 cm y e altura de la pirámide 6 cm. 5. Hallar el área lateral de una pirámide cuadrilátera regular recta, cuyo lado de la base mide 10 cm. y su altura es de 6 cm. 6. En una pirámide cuadrilátera regular recta, el lado de la base es 6mm, si la arista lateral mide 5mm, hallar el volumen. 7. Calcula la altura de una pirámide cuadrada de 5 cm de arista lateral y cuya base tiene 6 cm de lado. 8. Calcula el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 18 cm de lado y su altura es de 40 cm. 9. Hallar el Área Lateral de un cilindro que tiene de radio de la base 10 cm y de generatriz 5 cm. 10. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular el área total. 11. Hallar el Volumen de un cilindro que tiene de radio de la base 5 cm y de altura 10 cm. 12. En un cilindro recto, la generatriz mide 12 cm y el radio de la base 4 cm. Hallar el área lateral. 13. Hallar el volumen de un cilindro recto de radio 8cm sabiendo que su generatriz es la mitad del radio. 14. Un vaso en forma de cilindro recto necesita ser llenado de agua, para saber cuánto liquido servir se debe saber el volumen de este, su generatriz es de 10 cm y el radio de la base es la mitad de la generatriz al cuadrado. 15. Hallar el Área Lateral de un cono que tiene de radio de la base 15 cm y de generatriz 10 cm. 16. Hallar el volumen de un cono cuya generatriz es de 6.72m y su altura es de 6.01m.

67

UNIDAD 1: GEOMETRIA

68

17. Sea un cono de radio 18 m y 24 m de altura. Calcular el área lateral y el área total. 18. Hallar el Área de una Esfera tiene de radio de la base 10 cm. 19. Hallar el volumen de una esfera de 2 cm, de radio. 20. Hallar el área de una esfera de 12 cm de diámetro. 21. La suma de todas las aristas de un cubo es 120 cm. El área total del cubo y su volumen son respectivamente: 22. Si un depósito cúbico contiene 125 litros de agua, entonces su arista mide: (recuerda 1 litro=1000 cc)

23. Las alturas de dos conos están en la razón de 5: 4 y los radios de sus bases están en la razón de 2: 3. Sus volúmenes están en la razón: Problema: Si a un cubo de arista 𝑎 le extraemos una pirámide cuyas aristas laterales son las aristas del cubo que concurren en uno de sus vértices y cuya base es un triángulo cuyos lados son las diagonales de las caras del cubo que concurren a ese mismo vértice, queda un cuerpo geométrico.

¿Cuál es el volumen de este cuerpo geométrico?

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA UNIDAD 1.

Observa el siguiente plano e identifica:

UNIDAD 1: GEOMETRIA a) b) c) d)

¿Dónde podemos distinguir puntos? ¿Dónde se trabaja con rectas paralelas? ¿Dónde se observan rectas perpendiculares? ¿Cuál es la medida de ángulos con la que más se trabaja en el plano?

2. En la primera imagen se muestran los límites marítimos actuales de Chile, en la segunda imagen se muestra la postura de Perú en los alegatos. Si Perú pide ganar al menos la mitad de esta zona marítima, ¿dónde debería quedar nuestro nuevo límite marítimo?

3. En el siguiente plano de emplazamiento mida los ángulos demarcados con naranjo.

69

UNIDAD 1: GEOMETRIA

70

4. Por razones técnicas y de diseño el ángulo de depresión del techo de la terraza debe ser de 18º y el del pilar de 78º de elevación. Determina la medida del ángulo exterior α que permita hacer una juntura perfecta entre el envigado del techo y el pilar, con los ángulos indicados por las especificaciones.

18º 𝛼

78º

5. La cubierta del techo de una construccion en el centro de Viña del Mar tiene un ángulo de depresión 25º. La normativa vigente en esta ciudad (art 2.6.3 MINVU), exige que ninguna construccion puede sobrepasar el ángulo de elevacion envolvente de la razante de 70º como indica la figura, por lo que el techo debe tener un quiebre en el punto P. Determina el angulo interio α que deben formar las cubiertas para cumplir con la normativa. 25º

P

𝛂

70º

6.

Repite el problema anterior utilizando el esquema que muestra la figura.

P

𝛂 85º

70º

UNIDAD 1: GEOMETRIA

71

7. La estructura de la figura coresponde a una armadura de techo o cercha en “M”. Entendiendo que: los △ 𝐴𝐵𝐶,△ 𝐴𝐷𝐹 y △ 𝐷𝐵𝐸 son todos isósceles, que 𝐹𝐺 ⊥ 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵 y 𝐸𝐻 ⊥ 𝐴𝐵. Determina la medida de los ángulos ∠𝐶𝐹𝐷, ∠𝐸𝐷𝐶, ∠𝐶𝐸𝐻 sabiendo que ∠𝐶𝐴𝐵 = 26° C F

A

E

G

D

B

H

8. El tramo de la calzada que muestra la figura hace un giro de 40º. Determina la medida del angulo de centro que se necesita para construir el arco de circunferencia que empalme los dos tramos de la via.

40º

9. En un conjunto de locales comerciales, los recintos R1 y R2 forman un ángulo de 136º como indica la figura. Determine la medida de los angulos 𝛼, 𝛽, y 𝛾, sabiendo que 𝐴𝐷 es bisectriz del ∠𝐵𝐴𝐹 A 𝛼 B

R2

F 136º

G𝛽 E

R1 𝛾 C

D

H

UNIDAD 1: GEOMETRIA

72

10. En la figura, FC es bisectriz del 0, la parábola se abre hacia la derecha; si 𝑝 < 0, la parábola se abre hacia la izquierda. Si el vértice es el punto (ℎ, 𝑘) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación es de la forma (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) Si 𝑝 > 0, la parábola se abre hacia arriba; si 𝑝 < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3,4) y cuyo foco es el punto (3,2). Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Solución. Como el vértice 𝑉 y el foco 𝐹 de una parábola están sobre su eje, y como en este caso cada uno de estos puntos tiene la misma abscisa 3, se sigue que el eje 𝑎 es paralelo al eje Y, como se indica en la figura. Por tanto, por el teorema 2, la ecuación de la parábola es de la forma (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) Como el vértice 𝑉 es el punto (3,4), la ecuación puede escribirse (𝑥 − 3)2 = 4𝑝(𝑦 − 4) ̅̅̅̅| = |4 − 2| = 2. Ahora bien, |𝑝| = |𝐹𝑉 Pero, como el foco 𝐹 está abajo del vértice 𝑉, la parábola se abre hacia abajo y 𝑝 es negativo. Por tanto, 𝑝 = −2, y la ecuación de la parábola es (𝑥 − 3)2 = 8(𝑦 − 4) y la longitud del lado recto es 8.

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

117

Designemos por A el punto en que el eje 𝑎 corta a la directriz 𝑙. Como 𝑉(3,4) es el punto medio del segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐹 , se sigue que las coordenadas de A son (3,6). Por tanto, la ecuación de la directriz es 𝑦 = 6.

Si desarrollamos y trasponemos términos en la ecuación (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ), obtenemos 𝑦 2 − 4𝑝𝑥 − 2𝑘𝑦 + 𝑘 2 + 4𝑝ℎ = 𝑂, que puede escribirse en la forma 𝑦 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑦 + 𝑎3 = 0,

(4)

en donde 𝑎1 = −4𝑝 ; 𝑎2 = −2𝑘 y 𝑎3 = 𝑘 2 + 4𝑝ℎ. Recíprocamente, completando el cuadrado en 𝑦, podemos demostrar que una ecuación de la forma (4) representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje X. Al discutir la ecuación de la forma (4) suponemos que 𝑎1 ≠ 0. Si 𝑎1 = 0, la ecuación toma la forma 𝑦 2 + 𝑎2 𝑦 + 𝑎3 = 0,

(5)

que es una ecuación cuadrática en la única variable y. Si las raíces de (5) son reales y desiguales, digamos 𝑟1 y 𝑟2 , entonces la ecuación (5) puede escribirse en la forma (𝑦 − 𝑟1 )(𝑦 − 𝑟2 ) = 0 y el lugar geométrico correspondiente consta de dos rectas diferentes, 𝑦 = 𝑟1 e 𝑦 = 𝑟2 , paralelas ambas al eje X. Si las raíces de (5) son reales e iguales, el lugar geométrico consta de dos rectas coincidentes representadas geométricamente por una sola recta paralela al eje X. Finalmente, si las raíces de (5) son complejas, no existe ningún lugar geométrico. Una discusión semejante se aplica a la otra forma de la segunda ecuación ordinaria de la parábola (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) Los resultados se resumen en la siguiente proposición.

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

118

Proposición 3. Una ecuación de segundo grado en las variables 𝑥 e 𝑦 que carezca del término en 𝑥𝑦 puede escribirse en la forma 𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Si 𝐴 = 0, 𝐶 ≠ 0 y 𝐷 ≠ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje X. Si, en cambio, 𝐷 = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar geométrico, según que las raíces de 𝐶𝑦 2 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas. Si 𝐴 ≠ 0, 𝐶 = 0 y 𝐸 ≠ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, 𝐸 = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún lugar geométrico, según que las raíces de 𝐴𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝐹 = 0, sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas. Ejemplo. Demostrar que la ecuación 4𝑥 2 − 20𝑥 − 24𝑦 + 97 = 0 representa una parábola, y hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Solución. Por la proposición 3, la ecuación 4𝑥 2 − 20𝑥 − 24𝑦 + 97 = 0

(6)

representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y. Si reducimos la ecuación (6) a la segunda forma ordinaria, completando el cuadrado en 𝑥, obtenemos 5 2

(𝑥 − 2) = 6(𝑦 − 3)

(7)

De esta ecuación vemos inmediatamente que las coordenadas del vértice son 5

3

(2 , 3). Como 4𝑝 = 6, 𝑝 = − 2, y la parábola se abre hacia arriba. Entonces como el foco está sobre el eje y el eje es paralelo al eje Y, se sigue que las coordenadas 5

3

5 9

3

del foco son (2 , 3 + 2), o sea, (2 , 2). La ecuación de la directriz es 𝑦 = 3 − 2, o 3

sea, 𝑦 = 2, y la longitud del lado recto es |4𝑝| = 6. Se recomienda al estudiante que dibuje la gráfica correspondiente a este ejemplo. También se recomienda resolver el problema por traslación de los ejes coordenados.

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

119

En las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de 1a parábola, dadas por la proposición 2, hay tres constantes arbitrarias independientes o parámetros, ℎ, 𝑘 y 𝑝. Por tanto, la ecuación de cualquier parábola cuyo eje sea paralelo a uno de los ejes coordenados puede determinarse a partir de tres condiciones independientes. Veamos un ejemplo. Ejemplo. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa 3

por los tres puntos (2 , −1) ; (0,5) y (−6, −7). Solución. Por la proposición 2, la ecuación buscada es de la forma (𝑌 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) Podemos, sin embargo, tomar también la ecuación en la forma dada por la proposición 3, a saber, 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Como 𝐶 ≠ 0, podemos dividir toda la ecuación por 𝐶, obteniendo así 𝑦 2 + 𝐷′𝑥 + 𝐸′𝑦 + 𝐹′ = 0, Donde 𝐷′ =

𝐷 𝐶

𝐸

𝐹

; 𝐸 ′ = 𝐶 ; 𝐹 ′ = 𝐶 . Son 3 constantes por determinar.

Como los tres puntos dados están sobre la parábola, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación (8). Por tanto, expresando este hecho, obtenemos las tres ecuaciones siguientes correspondiendo a los puntos dados: 3 3 ( , −1) 1 + 𝐷′ − 𝐸 ′ + 𝐹 ′ = 0 2 2 { (0 , 5) 25 + 5𝐸 ′ + 𝐹 ′ = 0 (−6, −7) 49 − 6𝐷′ − 7𝐸 ′ + 𝐹 ′ = 0 que pueden escribirse así, 3 ′ 𝐷 − 𝐸′ + 𝐹′ = 0 2 { 25 + 5𝐸 ′ + 𝐹 ′ = 0 49 − 6𝐷′ − 7𝐸 ′ + 𝐹 ′ = 0 1+

La solución de este sistema de tres ecuaciones nos da 𝐷′ = 8 ; 𝐸 ′ = −2 ; 𝐹 ′ = −15 Sustituyendo estos valores en la ecuación (8), obtenemos 𝑦 2 + 8𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0 que es la ecuación de la parábola que se buscaba.

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

120

El estudiante debe dibujar la figura para este ejemplo y verificar el hecho de que las coordenadas de cada uno de los tres puntos dados satisfacen la ecuación de la parábola. También debe obtener la misma ecuación usando la forma (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

Ejercicios Resueltos 1.- Encontrar todos los elementos de las siguientes parábolas y graficar: (abertura, vértice, foco, directriz, eje de la parábola, etc.) a) y 2  4x b) x 2  10 y c) y  42  4x  1 d) x  32  6 y  1 Solución. a) 𝑦 2 = 4𝑥 ; 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 = 1 El parámetro 𝑝 = 1 ( p  0 ), la parábola se abre a la derecha del eje Y. El vértice es 𝑉(0,0). El foco está sobre el eje X y tiene coordenadas

𝐹(𝑝, 0) = (1,0).

La

directriz

tiene

ecuación 𝑥 = −𝑝 = −1. El eje de la parábola es el eje X. Si 𝑥 = 1; 𝑦 2 = 4 ⇒ 𝑦 = ±2 Solución. b) 𝑥 2 = 10𝑦 Vértice 𝑉(0,0). El eje de la parábola es el eje Y. 4𝑝 = 10

⇒

𝑝=

5 2

⇒

5 𝐹 (0, ) 2 5

La directriz tiene ecuación 𝑦 = −𝑝 = − 2 5

5

Si 𝑦 = 2 ; 𝑥 2 = 10 ∙ 2 = 25 ⇒ 𝑥 = ±5

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

121

Solución. c) (𝑦 − 4)2 = 4(𝑥 + 1) De la ecuación, se observa que 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 = 1 > 0 El foco es ahora 𝐹(ℎ + 𝑝, 𝑘) = (0,4) La directriz es 𝑥 = ℎ − 𝑝 = −2 ⇒ 𝑥 = −2 Cuando 𝑥 = 0, (𝑦 − 4)2 = 4 ⇒ 𝑦 = 4 ± 2 ⇒ 𝑦1 = 6 ; 𝑦2 = 2 Solución. d) (𝑥 − 3)2 = −6(𝑦 − 1) Observamos que el vértice es 𝑉(3,1). 3

4𝑝 = −6 ⇒ 𝑝 = − 2 < 0,

la

parábola se abre hacia la dirección negativa del eje Y. El foco tiene coordenadas 1 𝐹(ℎ, 𝑘 + 𝑝) = (3, − ) 2 La directriz tiene ecuación 𝑦 = 𝑘 − 𝑝 ;𝑦 =

5 2

2.- Encontrar la ecuación de la parábola, con vértice (4, −1), eje paralelo al eje Y, y que contiene al origen. Graficar. Solución Si el eje es paralelo al eje Y, la ecuación es: (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) ⇒ (𝑥 − 4)2 = 4𝑝(𝑦 + 1)

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

122

Como contiene al origen, éste verifica la ecuación: (0 − 4)2 = 4𝑝(0 + 1) ⇒ 16 = 4𝑝 ⇒ 𝑝 = 4 La ecuación es: (𝑥 − 4)2 = 16(𝑦 + 1); 𝑦 = 0 (𝑥 − 4)2 = 16 ⇒ 𝑥 = 4 ± 4 ⇒ 𝑥1 = 8 ; 𝑥2 = 0 3.- La trayectoria que describe un proyectil lanzado horizontalmente, con una velocidad 𝑣(m/seg) desde un punto situado 𝑦 (metros) sobre el suelo, es una parábola de ecuación: 𝑥 2 = −

2𝑣 2 𝑔

∙ 𝑦, donde 𝑥 es la distancia horizontal desde el

lugar de lanzamiento y 𝑔 ≈ 9,81 (m/seg2). El origen se considera como el punto de salida del proyectil del arma. Con estas condiciones podemos resolver el siguiente ejercicio: Se lanza horizontalmente una piedra desde la cima de una torre de 185 m de altura, con una velocidad de 15 m/s. Hallar la distancia del punto de caída al pie de la torre (se supone el suelo horizontal). Si el Vértice en (1,3) y directriz 𝑥 = 0 Solución. (𝑥 − 1)2 = −

2𝑣 2 2 ∙ 152 ∙ (𝑦 − 3) ≈ − ∙ (−188) = 8623,8532 𝑔 9,81

⇒ (𝑥 − 1)2 ≈ 8623,8532 ⇒ 𝑥 − 1 ≈ ±92,8647

⇒ 𝑥 ≈ 93,8647

Así, se tiene que el proyectil cae, aproximadamente a 93 m del origen.

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

123

PROBLEMA APLICACION 3: La figura muestra el corte longitudinal de un anfiteatro que contempla graderías y un escenario con una concha acústica de la cual tendrá una forma parabólica para aprovechar sus propiedades geométricas, las cuales permiten “ordenar” sobre las graderías, el sonido emitido por el interprete como muestra la figura. Determina la altura de los pilares A, B, C, y D asumiendo la mencionada forma parabólica.

D

C

B A 1.8m 5m

5m

5m

5m

DESARROLLO: Lugares geométricos y propiedades de las cónicas: En muchos problemas en los que se aplican cónicas a problemas prácticos, más que su lugar geométrico, es conveniente considerar las curvas desde la perspectiva de sus propiedades. Por ejemplo, las parábolas se utilizan frecuentemente en aplicaciones acústicas y ópticas por su propiedad de concentrar en la posición del foco toda onda que se desplacen en forma perpendicular a la directriz y que se reflecte en la superficie parabólica. El siguiente planteamiento ilustra esta situación desde el punto de vista del sonido.

a) Identificar Datos: - Las posiciones de las bases de los pilares serán los valores de x en la ecuación de la parábola a utilizar a saber x1 = 0, x2 = 5, x3 = 10, x4 = 15, x5 = 20. - La posición del foco de la parábola estará en las coordenadas (10,1.8)) b) Estrategia de resolución: - Para interpretar la forma de la concha acústica y debido a la posición horizontal del eje focal de la parábola, utilizaremos la ecuación (y − k)2 = 4p(x − h)

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

124

-

Reconocemos las coordenadas del foco y el vértice para establecer definitivamente la ecuación.

-

Realizamos una tabla de evaluación para determinar los valores positivos de yi correspondientes a cada xi , que serán en definitiva las longitudes buscadas

c) Resolución: - Consideramos la ecuacion (y − k)2 = 4p(x − h). -

Las coordenadas del vertice son 𝑉(ℎ, 𝑘) = 𝑉(0,1.8), por lo tanto ℎ = 0 y 𝑘 = 1.8

-

Las coordenadas del foco son 𝑉(ℎ + 𝑝, 𝑘) = 𝑉(10,1.8), por lo tanto 𝑝 = 10.

-

La ecuacion queda definitivamente (𝒚 − 1.8)𝟐 = 𝟒 ∙ 10𝑥. despejando 𝑦 se tiene

(𝒚 − 1.8)𝟐 = 𝟒0𝑥 |𝒚 − 1.8| = √𝟒0𝑥 𝒚 = 1.8 + √𝟒𝟎𝒙

pues nos interesan solamente las soluciones con raíz positiva que representan la parte de la parabola por sobe el eje focal como es el caso. -

Construimos la tabla de evaluación 𝑥 0 5 10 15 20

𝒚 = 1.8 + √40𝑥 1.80 15.94 21.80 26,29 30.08

d) Comunicación de los resultados: - Las longitudes de los pilares son A 15.94m, B 21.80m, C 26.29m y D 30.08m

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

125

PROBLEMA APLICACION 4: Considera la región achurada definida en la figura, donde 𝐿1 es perpendicular con 𝐿2 . Determina: i. ii.

Las ecuaciones de las rectas y la parábola. Las coordenadas de los puntos P y Q. 𝑦

𝐿1

(0,5)

𝐿2 𝑄B (0,1) (−3,0)

𝑃A 3

(2, 0)

𝑥 (4, −1) C

a) -

Identificar datos La recta 𝐿2 pasa por los puntos (−3,0) y (0,1) La recta 𝐿1 pasa por el punto (4, −1) 𝐿1 ⊥ 𝐿2

b) Estrategia de resolución: - Utilizamos la ecuación punto-punto con (−3,0) y (0,1) para determinar la ecuación de la recta 𝐿2 . - Como 𝐿1 ⊥ 𝐿2 utilizamos la pendiente de 𝐿2 para determinar la pendiente de 𝐿1 - Utilizamos la ecuación punto-pendiente con (4, −1) para determinar la ecuación de 𝐿1 . - Utilizamos las coordenadas de los puntos (4, −1), (0,5) y (32,0) para determinar la ecuación de la parábola. - Determinamos el punto 𝑃 como la intersección de la parábola con la recta 𝐿2 .

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

126

c) Resolución del problema: - Dados los puntos (𝑥1 , 𝑦1 ) = (−3,0) y (𝑥2 , 𝑦2 ) = (0,1) y la ecuación puntopunto 𝑦 − 𝑦1 = (

𝑦2 − 𝑦1 ) (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1

se tiene la ecuación de 1−0 𝐿2 : 𝑦 − 0 = ( ) (𝑥— 3) 0 − (−3) 1 𝐿2 : 𝑦 − 0 = (𝑥 + 3) 3 luego 1 𝐿2 : 𝑦 = 𝑥 + 1 3 -

1

Como 𝐿1 ⊥ 𝐿2 la pendiente de la recta 𝐿1 es 𝑚 = − 1 = 3 y como pasa por el 3

punto

(𝑥1 , 𝑦1 ) = (4, −1), utilizando la ecuación 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )

punto-pendiente

Se tiene que 𝐿1 ∶ 𝑦 − (−1) = 3(𝑥 − 4) Luego 𝐿1 ∶ 𝑦 + 1 = 3𝑥 − 12 𝐿1 ∶ 𝑦 = 3𝑥 − 13 -

Las coordenadas del punto 𝑄 se obtienen de la intersección de las rectas 𝐿1 y 𝐿2 mediante el sistema 𝐿1 ∶ 𝑦 = 3𝑥 − 13 1 𝐿2 : 𝑦 = 𝑥 + 1 3 Por igualación 3𝑥 − 13 =

1 𝑥+1 3

Amplificando 9𝑥 − 39 = 𝑥 + 3

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

127 𝑥=

Sustituyendo en 𝐿2

1 21

𝑦 =3∙

4

21 4

+1=

11 4

y las coordenadas del punto son

21 11

𝑃(4 , 4) -

Tomamos la ecuación general de la parábola 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝑦, evaluamos en cada uno de los puntos (4, −1), (0,5) y (32,0) y obtenemos un sistema de ecuaciones 𝐴 ∙ 42 + 𝐵 ∙ 4 + 𝐶 = −1 𝐴 ∙ 02 + 𝐵 ∙ 0 + 𝐶 = 5 3 3 2 𝐴 (2) + 𝐵 ( ) + 𝐶 = 0 2 simplificando 16𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = −1 𝐶=5 9𝐴 + 6𝐵 + 4𝐶 = 0 11

𝐴 = 15 , 𝐵 = −

finalmente

133 30

, 𝐶 = 5 y la ecuación de la parábola será

11 2 133 𝑥 − 𝑥+5=𝑦 15 30

Finalmente

el

punto

𝑃

se

obtiene de 1 𝐿2 : 𝑦 = 𝑥 + 1 3

intersecar

la

Y la parábola 11 2 133 𝑥 − 𝑥+5=𝑦 15 30 Por igualación tenemos que 11 2 133 1 𝑥 − 𝑥+5= 𝑥+1 15 30 3 22𝑥 2 − 133𝑥 + 150 = 10𝑥 + 30 22𝑥 2 − 143𝑥 + 120 = 0

Que tiene soluciones 𝑥1 =

−(−143)— √1432 − 4 ∙ 22 ∙ 120 143 − √9889 = = 0.98992 2 ∙ 22 44

𝑥2 =

−(−143) + √1432 − 4 ∙ 22 ∙ 120 143 + √9889 = = 5.51008 2 ∙ 22 44

recta

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

128

Y sus respectivas coordenadas 𝑦1 =

1 143 − √9889 ∙ + 1 = 1.32997 3 44

𝑦2 =

1 143 + √9889 ∙ + 1 = 2.83669 3 44

d) Comunicación de los resultados: - Las ecuaciones de las rectas son 𝐿1 ∶ 𝑦 = 3𝑥 − 13 1 𝐿2 : 𝑦 = 𝑥 + 1 3 - La ecuación de la parábola es 11 2 133 𝑥 − 𝑥+5=𝑦 15 30 - Las coordenadas de los puntos son 21 11 𝑄 ( , ), 4 4 𝑃(

143 − √9889 1 143 − √9889 , ∙ + 1) = 𝑃(0.98992,1.32997) 44 3 44

Ejercicios Propuestos 1.- Complete las siguientes proposiciones: a)Una

parábola

es

el

conjunto

P

del

plano

que

satisfacen

……………………………. b)A partir de la definición de lugar geométrico, se puede determinar la ecuación de una parábola de C(0,0) y

eje de simetría el eje X,

considerando

…………………………… c) La ecuación de una parábola en función de la luz y la flecha es: ………..……………… d) La ecuación de una parábola con eje de simetría el eje Y es: …………………………….. e) El lado recto de la parábola es: ……………………………

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

129

f) Enuncie la propiedad focal de la parábola g) La excentricidad de la parábola es ……………………………… h) El parámetro p en la parábola, representa……………………… i) En la ecuación general de la cónica, distingue cuando se trata de una parábola porque……………………………………………………

2.- Determine los elementos de las siguientes parábolas y grafique: a) 𝑥 2 + 6𝑥 + 5𝑦 − 1 = 0,

b) 𝑦 2 – 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0

3.-Determine la ecuación de la parábola, los elementos restantes y su gráfica si: a) 𝑉(2,3) 𝐹( 2,5) b) 𝑉(4,2) y directriz de ecuación 𝑥 = 2 c) 𝑉(3, −2), directriz // al eje OY, y pasa por el punto 𝑃(2,0)

4.-En la estructura colgante que se indica el cable parabólico está suspendido de dos torres de 12 m de altura y su distancia es de 40 m. Calcule las longitudes de los cables verticales que se indican.

5.-En una bóveda de hormigón de arco parabólico de 20 m de luz y 6 m de flecha, calcule las alturas de las columnas cada 2 metros. 6.-Un arco en forma parabólica y eje vertical tiene 10 m de flecha y 30 m de luz. Halle la altura de la columna para soporte a 3 m de un extremo del arco.

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA LA ELIPSE Definiciones. Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

-

A los puntos fijos se llaman focos de la elipse, denotados por 𝐹 y 𝐹′(ver figura).

-

La recta 𝑙 que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal para designar esta recta.

-

Los puntos 𝑉 y 𝑉′, los llamaremos vértices.

-

La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento 𝑽𝑽′, se llama eje mayor.

-

El punto 𝑪 del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro.

-

La recta 𝑙′ que pasa por 𝑪 y es perpendicular al eje focal 𝑙 tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el término eje normal para designarla.

-

El eje normal 𝑙′ corta a la elipse en dos puntos, 𝐴 y 𝐴′, y el segmento 𝐴𝐴′ se llama eje menor.

-

Un segmento tal como 𝐵𝐵′, que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de los focos, tal como 𝐸𝐸′, se llama cuerda focal.

-

Una cuerda focal, tal como 𝐿𝐿′, perpendicular al eje focal 𝑙 se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos.

-

Una cuerda que pasa por C, tal como 𝐷𝐷′, se llama un diámetro. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos 𝐹𝑃 y 𝐹′𝑃 que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores de P.

130

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

131

Ecuación de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes de la elipse. Proposición: La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2𝑐 y cantidad constarte igual a 2𝑎 es 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏 2 Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean (0, 𝑐) y (0, −𝑐), la ecuación de la elipse es 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑏 2 𝑎2 Para cada elipse, 𝑎 es la longitud del semieje mayor, 𝑏 la del semieje menor, y 𝑎, 𝑏 y 𝑐 están relacionados por la siguiente expresión 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es 𝑒 está dada por la fórmula 𝑐 √𝑎2 − 𝑏 2 𝑒= =