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N U M ER A C IO N Y CALCULO B e r n a r d o G ómez A i .foxso

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Colección: MATEMATICAS: CULTURA Y APRENDIZAJE 1.

Area de conocimiento: didáctica de las matemáticas Enrique Vidal Costa

2.

Números y operaciones Luis Rico Romero, Encarnación Castro Martínez, Enrique Castro Martínez

3.

Numeración y cálculo Bernardo Gómez Alfonso

4.

Fracciones. La relación parte-todo Salvador Llinares Ciscar, M.a Victoria Sánchez García

5.

Números decimales Julia Centeno Pérez

6.

Números enteros José L. González Mari, M.“ Dolores Iriarte Bustos, Alfonso Ortiz Comas, Inmaculada Vargas-Machuca, Manuela Jimeno Pérez, Antonio Ortiz Villarejo, Esteban Sanz Jiménez

7.

Divisibilidad Modesto Sierra Vázquez, Andrés Sánchez García, M.* T. González Astudillo, Mario González Acosta

8.

Problemas aritméticos escolares Luis Puig Espinosa, Fernando Cerdán Pérez

9.

Estimación en cálculo y medida Isidoro Segovia Alex, Encarnación Castro Martínez, Enrique Castro Martínez, Luis Rico Romero

10.

Aritmética y calculadora Frederic Udina i Abelló

11.

Materiales para construir la geometría Carme Burgués Flamerich, Claudi Alsina Catalá, Josep M.“ Fortuny Aymemi

12.

Invitación a la didáctica de la geometría Claudi Alsina Catalá, Josep M * Fortuny Aymemi, Carme Burgués Flamerich

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13.

Simetría dinámica Rafael Pérez Gómez, Claudi Alsina Caíala, ( eferino Ruiz Garrido

14.

Semejanza Ricardo Luengo González

15.

Poliedros Gregoria Guillen Soler, Angel Salar Gálvez

16.

Metodología activa y lúdica de la geometría Angel Martínez Recio, Francisco Juan Rivaya, Francisco Javier Aguila Ruiz

17.

El problema de la medida Carmen Chamorro Plaza, Juan M. Belmonte Gómez

18.

Circunferencia y círculo Francisco Padilla Díaz, Arnulfo Santos Hernández, Fidela Velázquez Manuel, Manuel Fernández Reyes

19.

Superficie. Volumen M.a Angeles del Olmo Romero, Francisca Moreno Carretero, Francisco Gil Cuadra

20.

Proporcionalidad M.“ Luisa Fiol Mora, Josep M.a Fortuny Aymemi

21.

Nudos y nexos: grafos en la escuela Moisés Coriat Benarroch, Juana Sancho Gil, Antonio Marín del Moral, Pilar Gonzalvo Martínez

22.

Por los caminos de la lógica Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz

23.

Iniciación al álgebra Manuel Martín Socas Robayna, Matías Camacho Machín, M.a Mercedes Palarea Medina, Josefa Hernández Domínguez

24.

Ordenar y clasificar Gaspar Mayor Forteza, Teresa Riera Madurell

25.

Códigos, símbolos, representación y coordenadas Francisco Vecino Rubio, Gerardo Montero García, Tomás Sierra Delgado

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26.

Funciones Jordi Deulofcu Piquot, Carmen Azcárate Giménez

27.

Azar y probabilidad Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bernabéu, M.a Jesús Cañizares Castellano

28.

Encuestas y precios Andrés Nortes Checa

29.

Heurística Fernando Cerdán Pérez, Luis Puig Espinosa

30.

Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso José A. Cajaraville Pegito

31.

Prensa y matemáticas Antonio Fernández Cano, Luis Rico Romero

32.

Juegos y pasatiempos para la enseñanza de la matemática elemental Josefa Fernández Sucasas, M.a Inés Rodríguez Vela

33.

Pensamiento algorítmico Candelaria Espinel Febles, Casiano Rodríguez León

34.

Recursos en el aula de matemáticas Francisco Hernán Siguero, Elisa Carrillo Quíntela

Consejo editor: Luis Rico R om ero, Josep M .a F o rtu n y Aymemi, Luis Puig Espinosa

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N U M E R A C IO N Y CALCULO

Be r n a r d o G óm ez A lfon so P rofesor titu lar de D idáctica de las M atem áticas de la U niversidad de Valencia

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Primera reimpresión: octubre 1989 Segunda reimpresión: noviembre 1993 Tercera reimpresión: noviembre 1998 Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes, reproducir, registrar o transmitir esta publi­ cación, íntegra o parcialmente por cualquier sistema de recuperación y por cualquier medio, sea mecánico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o por cualquier otro, sin la autorización previa por escri­ to de Editorial Síntesis, S. A. © Bernardo Gómez Alfonso © EDITO R IAL SÍNTESIS, S. A. Vallehermoso, 34 - 28015 Madrid Teléf.: 91 593 20 98 http//:www.sintesis.com Depósito Legal: M. 32.385-1998 ISBN: 84-7738-014-7 Impreso en España - Printed in Spain

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Indice Al le c to r ........................................

11

1.

Introducción ................................................................................................... 1.1. ¿Q ué es el n ú m e r o ? ........................................................................... 1.2. C aracterización ......... 1.2.1. U sos ........................................................................................ 1.2.2. In v a r ia n te s ............................................................................. 1.2.3. N acim iento y e v o lu c ió n ..................................................... • El sistem a c a r d i n a l........................................................... La unicidad ....................................................................... L a c o o rd in a b ilid a d ......................................................... El registro ......................................................................... L as etiquetas ..................................................................... • El sistem a o r d in a l ............................................................. El o r d e n .............................................................................. El sistem a de n u m e r a c ió n ............................................. C o n tar ................................................................................ Los a d je tiv o s ..................................................................... • L a historia real .................................................................. • C o n ta r con las partes del c u e r p o ................................

17 17 18 18 20 21 21 21 21 22 23 23 23 24 25 26 27 29

2.

La numeración: evolución y comparación de sistemas ..................... 2.1. Ejercicios prelim inares o de p a r t i d a ............................................. 2.2. Sistem as de n u m e r a c ió n .................................................................... 2.2.1. R epresentación simple ....................................................... 2.2.2. A grupam iento s im p le ......................................................... 2.2.3. A grupam iento m últiple ..................................................... • Sistema egipcio ...............................................................

31 31 31 32 32 33 34 7

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2.2.4.

Sistem as m u ltip lic a tiv o s..................................................... • Sistem a á t i c o ..................................................................... • Sistem a chino-japonés ................................................... • N uestro sistem a oral ..................................................... • Sistem a babilónico........ .................................................... 2.2.5. Sistem a m ultiplicativo orden ad o ................................... 2.2.6. Sistem as p o s ic io n a le s ......................................................... • Sistem a m a y a ..................................................................... • El cero ................................................................................ • Las cifras ......................................................................... 2.2.7. N um eración y cálculo en los viejos s is te m a s • E g i p t o .................................................................................. • B abilonia ......................................................................... • G r e c i a .................................................................................. • El sistem a j ó n i c o ............................................................ • L a num eración r o m a n a ............................................... 2.2.8. L a herencia h in d ú .............................................................. 2.2.9. E uropa: un cam ino plagado de d ific u lta d e s ................. • L a oscuridad ..................................................................... • El a lb o r e a r ......................................................................... • Innovación c o n tra conservadurism o ........................ 2.2.10. El sistem a decim al ............................................................ • M o d o de leer un núm ero de m uchas cifras ........... • C a ra c te rís tic a s ................................................................... • D esarrollo curricular ..................................................... • U so de m aterial e s tr u c tu r a d o ...................................... • L a integración del contexto ........................................ 2.2.11. A ritm ética y sistem as de num eración ........................... 2.2.12. A ritm ética y enseñanza o b li g a to r ia ............................... 3.

35 35 36 37 37 38 39 39 40 41 42 42 43 43 44 46 47 50 51 53 54 55 56 56 57 57 58 59 59

Cálculo m ental. Cálculo p e n s a d o ............................................................

65

3.1. Cálculo m ental, cálculo p e n s a d o .................................................... 3.2. C álculo m ental: las tablas ............................................................. 3.2.1. L a ta b la de sum ar ............................................................ • Las tablillas de Lucas ................................................... 3.2.2. L a tabla de m ultiplicar ..................................................... 3.3. L a m ultiplicación con los d e d o s .................................................... 3.4. C álculo pensado ................................................................................. 3.4.1. C álculo pensado aditivo ................................................... 3.4.2. C álculo pensado tnultiplicativo ...................................... 3.5. E x plorando en a ritm é tic a ................................................................. 3.6. Las tablas de doble e n tra d a ...........................................................

65 68 70 75 76 82 85 85 87 91 94

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4.

Los a lg o ritm o s ............................................................................................... 4.1. Los a lg o ritm o s .................................................................................... 4.2. Los algoritm os de lápiz y papel ................................................... • C aracterísticas ................................................................................ 4.3. Los algoritm os en el currículo ..................................................... 4.3.1. A lgoritm os para la s u m a .................................................... 4.3.2. A lgoritm os para la resta .................................................... 4.3.3. A lgoritm os p ara la m u ltip lic a c ió n ................................... • Las regletas o rodillos de N eper ............................... • L a m ultiplicación e g ip c ia ............................................... • L a m ultiplicación rusa o cam pesina ........................ 4.3.4. A lgoritm os p a ra la d iv is ió n .................................................

103 103 105 106 106 115 119 125 135 136 137 139

A N E X O 1. La raíz c u a d r a d a ......................................................................... 1.1. El algoritm o de la raíz c u a d r a d a ........................................................ 1.1.1. U n tratam ien to m anipulativo. (L aboratorio, b lo q u e s). • P ro b lem a prelim inar o de p a r t i d a ................................. • L a situación de p a r t i d a ..................................................... • T razan d o un plan ............................................................ 1.1.2. U n tratam ien to aritm ético. (Lápiz y p a p e l)................... • P ro b lem a prelim inar o de p a r tid a ................................. • L a situación de p a r t i d a ..................................................... • T razan d o un p lan ............................................................ 1.1.3. U n tratam ien to algebraico. (Lápiz y p a p e l)...................

153 153 155 155 155 156 159 159 159 159 161

A N E X O 2. Los m ateriales manipula ti v o s ................................................. 2.1. Los ábacos .............................................................................................. 2.1.1. A bacos d e c im a le s.................................................................... 2.2. Los bloques m u ltib a s e .......................................................................... 2.2.1. Diferencias entre los bloques y los ábacos ................... 2.2.2. A c tiv id a d e s............................................................................... 2.3. Los núm eros en c o l o r .......................................................................... 2.3.1. E s tr u c tu r a .................................................................................. 2.3.2. O peraciones .............................................................................

163 164 166 167 169 169 170 171 172

Bibliografía .............................................................................................................

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G rabado de la portada de una edición de uno de los Rechenbücher de Adam Riese, el famo­ so Rechenmeister, de 1529. En él se represen­ ta una competición en­ tre un algorista y un abacista.

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Al lector

Habrán ustedes notado que la gente nunca contesta a lo que se le dice. Contesta siempre a lo que uno piensa al hacer la pregunta, o a lo que se figura que está uno pensando. Supongan ustedes que una dama le dice a otra, en una casa de campo: «¿Hay alguien contigo?» La otra no contesta: «Sí, el mayordo­ mo, los tres criados, la doncellas, etc.», aun cuando la camarera esté en el otro cuarto y el mayordomo detrás de la silla de la señora, sino que contesta: «No; no hay nadie conmigo», con lo cual quiere decir: «No hay nadie de la clase social a la que tú te refieres.» Pero si es el doctor el que hace la pregunta, en un caso de epidemia: «¿Quién más hay aquí?», entonces la señora recordará, sin duda, al mayordomo, a la camarera, etc. Y así se habla siempre. Nunca son literales las respuestas, sin que dejan por eso de ser verídicas. (El candor del padre Brown. «El hombre invisible». C

h e s t e r t o n .)

H e escrito este libro con la intención de con testar en la m edida de mis posibilidades y a la vista de la bibliografía actual, com o yo pienso que el lector espera que se le conteste a algunas preguntas sobre la N um eración y el Cálculo, que yo creo que pueden h ab er p asado p o r su cabeza en relación con su actividad profesional o su form ación com o m aestro. ¿Q uiere ello decir que aquí va a en co n trar alguna solución a sus proble­ mas? P uede que sí, puede que no. N o me es posible saberlo, ni tam poco me es posible, h onradam ente, d a r un recetario o un m anual de instrucciones, com o si el au la fuera un electrodom éstico. L a libertad, el gusto y el estilo personal del profesor ni pueden ni deben ser soslayados. D ebe ser él quien decida sobre las situaciones de aprendizaje que le perm itan desarrollar las capacida­ des de sus alum nos, asum iendo la responsabilidad de su clase con todas sus consecuencias, consciente de que cualquier texto, p o r m uy bien presentado, elabo rad o , escrito, prog ram ad o , estru ctu rad o o divertido que sea, no puede realizar n inguna la b o r didáctica p o r sí mismo. Es im prescindible la criba y posterio r actuación del profesor, y ésta no es p rogram able de antem ano de m od o rígido: su ingenio y el de sus alum nos condicionarán el desarrollo de la 11

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clase de m odo imprevisible. A fortunadam ente, porque ello significará que se está educando en m atem áticas y que n o se pierde de vista quién es el verdadero p rotagonista de la clase. D icho esto, ¿qué es este libro? A veces es más fácil decir lo que n o son las cosas. Este no es un libro de m atem áticas en el sentido usual del térm ino. N o es para unos pocos. N o es intim idatorio. N o es p ara el fracaso. N o es p a ra la frustración. N o es p ara la ansiedad. P o r el contrario , éste es un libro de recursos p ara la educación en m atem áticas; un libro p a ra la participación, p a ra la integración y no para la selección. P a ra d esp ertar sentim ientos positivos, p a ra desmitificar, p a ra ser entendido. Es criterio de este libro vencer el o b stáculo em ocional responsable del aburrim ien to con que m uchos m aestros se plan tean la aritm ética; es conven­ cerles de que debajo de la ru tin a de un algoritm o o de la perfección de la expresión num érica hay cientos y cientos de años de creación, de dificultades y bloqueos, de logros y avances, de retrocesos e incom presiones, de fatiga, sudor, esfuerzo e ilusión. C onocer algo de lo que h a ocurrido puede suponer un cam bio en el tratam ien to escolar de la aritm ética, puede hacerla intere­ sante com o si de u n a novela de suspense se tra ta ra y tan hum anístico com o pueda serlo cualquier o tro cam po de conocim iento. Esto es algo que m uchos de noso tro s no descubrim os en n u estra juventud, porque nadie fue capaz de explicárnoslo, au n q u e en cierto m o d o com enzábam os a sospecharlo. Es un libro d o n d e hallar p untos de p a rtid a p ara la reflexión, soportes p ara los deseos de cam bio o fuentes p a ra la inspiración pedagógica. Está pensado p a ra los futuros m aestros y m aestros en ejercicio y a b o rd a ese aspecto de la enseñanza de las m atem áticas ta n poco trata d o en nuestro país (m anuales escolares aparte): ideas p a ra la clase, m étodos y form as de presen­ tación, secuencialización, fundam entación, m ateriales m anipulativos, carac­ terísticas y sugerencias p ara su utilización. • O bjetivos El libro se articu la en to rn o a los siguientes objetivos: • L ograr un conocim iento m ás p rofundo de la num eración y de las razones que h an conducido a su expresión y form a actual. • Incidir sobre el m aterial m anipulativo, describirlo, analizarlo y m ostrar sugerencias p a ra su uso. • A poyar el uso de estrategias de cálculo m ental y pensado. D escribirlas, clasificarlas y p resentar ejem plos que m uestren cóm o se utilizan. • P resentar estrategias p a ra la construcción, esquem atización y abrevia­ ción progresiva de los algoritm os usuales de cálculo com o recurso 12

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didáctico. Sacar a la luz l o s p a s o s ocultos, m o strar los contextos en que se mueven, descubrir valíanles y discutir sobre sus ventajas e inconve­ nientes. Se tra ta de dai sentido a las conexiones entre los pasos, establecer etapas con sus lases correspondientes y perfilar una adecua­ d a secuencialización didáctica • D estacar el papel de la calculadora com o herram ienta p a ra el trab ajo rápido, p a ra el cálculo seguro y p ara el razonam iento inteligente.

1.

La numeración

H uelga extenderse sobre la im portancia de u n a buena com prensión de la estru ctu ra m ultiplicativa del núm ero y lo inútil que resulta h ablar de algorit­ m os de cálculo si falla ésta. C onocer la evolución histórica de los sistem as de num eración y saber las razones que p ro v o caro n los cam bios y el a b an d o n o de unos sistem as por otros, contribuye a d a r sentido a los conocim ientos previos o ya adquiridos p o r el lector. Adem ás, gracias a la m otivación cultural que supone elim inar la sensación de «ya visto» el cam ino se a n d a sin dificultad y, p o r añadidura, los conocim ientos q uedan reforzados al ir em parejados con alguna n a rra ­ ción, an écd o ta o curiosidad histórica.

2.

Los materiales

Los conocim ientos anteriores contribuyen, p o r añadidura, a facilitar el acceso a la estru ctu ra de los m ateriales m anipulativos; ayudan a com pren­ derlos y sugieren las líneas p a ra su utilización en el aula. E n el Anexo 2 se da u n a breve descripción del m aterial m ás destacado y conocido en cada caso y adem ás de sus características didácticas se m uestran algunas vías de actuación acom pañadas de ejem plos en situaciones concre­ tas. U n desarrollo m ás detallado del m aterial p o d rá encontrarse en la bibfiografia que se acom paña.

3.

El cálculo mental. El cálculo pensado

El cálculo m ental, cálculo pensado, es el cálculo sin lápiz ni papel, es el cálculo callejero, cotidiano. El conocim iento de sus m étodos y estrategias, sus condiciones m ás adecuadas de uso, etc., conform an un bagaje poco tra ta d o en la Escuela. En este libro se a b o rd a la descripción de los más corrientes, se organizan en función de sus características y, cóm o no, se trab a ja n las form as de acercarse a las tablas, ya que son el soporte im pres­ cindible p a ra alcanzar un adecuado nivel de destreza. 13

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Se hace hincapié en la observación de los núm eros en relación con otros núm eros sobre las tablas pitagóricas o de doble e n trad a de sum as, p ro d u c­ tos, dobles y cuadrados. Se busca h a b itu a r al niño a descubrir patrones, reglas y leyes, recurrencias, efectos sorprendentes, aspectos insólitos o cho­ cantes, etc. A dem ás esta form a de a c tu a r tiene la ventaja que perm ite estim u­ lar el trab ajo y el ingenio personal al tiem po que contribuye a un m ejor conocim iento de los núm eros y sus interrelaciones.

4.

Los algoritmos de las operaciones elementales

Se hace un recorrido sobre las distintas form as de presentar los algorit­ m os y sobre sus justificaciones. Se suceden los planteam ientos in strum enta­ les, relaciónales y constructivos. Se hace ver el trasfondo sacando a relucir sus pasos ocultos y los conocim ientos previos que se necesitan p ara com ­ prender lo que ocurre. Se trab ajan los algoritm os históricos y la búsqueda de variantes. Se d a e n tra d a a la secuencialización didáctica, a la discusión sobre ventajas e inconvenientes, se rom pe la tradicional rigidez, habitual en las presentaciones escolares de los algoritm os y se d a lugar a form as personales, divertidas o u ltrarráp id as de cálculo. U n a incursión a la búsqueda de conjeturas, explicaciones, analogías, extensiones y generalizaciones, h a rá ver que la A ritm ética no sólo es cálculo, tam bién es m atem áticas. P o r añ ad id u ra, al utilizar la calculadora com o útilísim a h erram ienta en esta incursión, se hace ver el inteligentísim o papel que tiene este in stru m en to en el lanzam iento y co ntrastación de conjeturas.

5.

La raíz cuadrada

En el Anexo 1 se a b o rd a n los diversos tratam ientos del algoritm o de la raíz cuadrada. N o p o rq u e se considere im p o rtan te p o r sí m ism o, sino por la riqueza de posibilidades que encierra y, sobre todo, com o m uestra de lo que se ha hecho con los algoritm os y lo que se ha podido hacer y no se ha hecho.

• A gradecim ientos C úm plem e revelar la colaboración que me ha prestado Luis Rico, direc­ to r del D ep artam en to de D idáctica de la m atem ática de la U niversidad de G ra n a d a y m iem bro del consejo ed ito r de la serie de la que este libro form a parte, cuya valiosa ayu d a se ha plasm ado en aportaciones concretas y acer­ tadísim as correcciones que han contrib u id o a redondearlo sustancialm ente. Mi agradecim iento tam bién al resto de mis com pañeros de departam ento 14

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p o r su paciencia, y en particu lar ¡i lu is Puig, p o r haberm e em barcado en esta aventura; a Francisco Soto, poi sus efluvios narrativos, y a F ernando C erdán, p o r las ideas que me luí aportado. Q uiero concluir significando que si algo tiene de bueno este libro es debido a una m ultitud de personas, los que han escrito las fuentes en donde he bebido y los que me han ay u d ad o a organizarías. Pero, sin em bargo, todo lo m ucho que tiene de m alo sólo es achacable, naturalm ente, a u n a persona; al autor.

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1. Introducción

Las ideas referentes a la num eración y fueron objetos diferenciados de estudio en trad o s los años setenta. L a num eración ticas y fonéticas p ara expresar el núm ero

1.1.

al núm ero suelen confundirse y no de los curriculos escolares hasta tiene que ver con las reglas sintácy el número...

¿Q U E ES E L N U M E R O ?

E sta es u n a de esas preguntas cuya respuesta suele soslayarse. ¡Todo el m undo sabe qué cosa es el núm ero! A hora bien, si se reitera la pregunta, unos g u a rd a rá n silencio, o tro s se justificarán diciendo que lo que les pasa es que no tienen p alab ras p a ra explicarse, y los más, bueno, los más... A un no sabiendo lo que es el núm ero, m uchos acep tarán que el 6 lo es y que tam bién lo es VI, y tam bién l i l i l í ; y que todas esas cosas son el m ism o núm ero. P ero esto no puede ser, ya que son objetos distintos, y objetos distintos no pueden ser la m ism a cosa. D ecir que 6 no es un núm ero, es com o decir que Pepe n o es u n hom bre. ¡Es cierto, 6 es sólo el nom bre de un núm ero, com o Pepe es sólo el nom bre de un hom bre! A clarado esto, volvam os adonde estábam os: ¿Q ué es el núm ero? P o d e­ m os convenir que el significado de las p alab ras no hay que buscarlo de m odo aislado, sino en el contexto de to d o un enunciado, p o r lo que cabe establecer la preg u n ta en estos o tro s térm inos: ¿qué es, p o r ejem plo, el núm ero uno? «A la pregunta de qué cosa es el número uno, o de qué denota el signo 1, se puede responder: pues una cosa. Y si se hace notar entonces que el enunciado — el número uno es una cosa— no es una definición, porque a un lado se halla el artículo determinado y al otro el indeterminado, y que tal enunciado sólo expresa que el número uno pertenece a las cosas, pero no qué cosa es...» ¿ F r e g e , 1972, p á g . 13.)

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Puede que llegado a este punto justed se sienta confundido y com ience a pensar en que quizá no sabe lo que es el núm ero. Pero estoy seguro de que sí sabe lo que no es: el núm ero no es u n a hortaliza, ni un anim al, ni... C onven­ drem os en que el núm ero es algo que no se puede ver ni tocar. ¡El núm ero no existe! ¡Son im aginaciones! A pesar de ello, hablam os de él y lo utilizam os gracias a sus nom bressigno. Los nom bres-signo de los núm eros se llam an num erales. P o r ejemplo: 4, IIII, IV, cuatro, fo u r..., son cu atro num erales distintos de un mismo núm ero, el cuatro. F ijado un sistem a biunívoco de num erales p a ra n o m b ra r a los núm eros, cada num eral sólo represen tará a un núm ero y cada núm ero sólo estará representado p o r un num eral. D e esa m anera, podem os evitar el p reo cu p ar­ nos de distinguir cada vez que aparezca el núm ero del num eral; y así hablarem os de los num erales com o si fueran núm eros y viceversa. Regresem os a la definición de núm ero. N o está claro que uno tenga que preocuparse p o r ella, de la m ism a m an era que nadie se preocupa p o r la definición de m esa o de silla, uno sim plem ente las usa. A unque p o r precisar las cosas seguirem os un poco m ás con el tema. Las p alab ras de Rusell (S igm a , 1969, pág. 129): «El núm ero es lo caracte­ rístico de los núm eros, com o el hom bre es lo característico de los hom bres», no es un juego de palabras, es una sentencia que hace pensar que los núm eros son ejem plos o casos particulares de algo m ás general que llam a­ m os núm ero, y sugieren que buscando las características propias de esos ejem plos llegarem os a saber lo que es el núm ero.

1.2. C A R A C T E R IZ A C IO N C u an d o uno se siente en la necesidad de caracterizar algo, y no sabe cóm o hacerlo, puede seguir varios cam inos, cada uno de ellos conlleva una línea d istinta de presentación en la escuela. V eam os a continuación algunos de ellos y reflexione el lector sobre sus posibilidades escolares.

1.2.1.

U so s

U n cam ino a seguir viene d ad o al in ten tar describir la función: ¿Cóm o y cuándo se usa? a)

Para contar

C o n ta r es una función cotidiana del núm ero, puede ser enfocada para co n tar a secas, p a ra co n tar cosas, en busca de la propiedad num érica de los 18

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conju n to s (cardinal) que da respuesta u la pregunta: ¿cuántos?; o en busca de la pro p ied ad num érica de los ob|elo s (ordinal) que d a respuesta a la pregun­ ta: ¿cuál? • P a ra c o n tar a secas: uno, dos, tres... • P a r a re sp o n d e r a la p reg u n ta : ¿cuántos? • P a r a re sp o n d e r a la p reg u n ta : ¿cuál?

b)

P ara num erar

N u m erar o asignar núm eros a los objetos es una función u tilitaria del núm ero. Se puede enfocar a diversos propósitos: • P a ra identificar (por ejem plo, el núm ero de su D N I). • P a ra diferenciar, localizar, seleccionar resortes (por ejemplo, las teclas del teléfono, del ascensor, televisión o radio). • P a ra o rd en ar (por ejemplo, los dorsales en los deportistas). • P a ra delim itar o señalar (por ejemplo, partes de un texto: «capítulo 1, p ágina 2, p árrafo 3»). • P a ra los pasatiem pos (por ejem plo, dibujos de figuras uniendo los p u n to s num erados). • P a ra cifrar, codificar (por ejem plo, descifrando el núm ero 111287 sabrá en qué fecha fue escrito esto. Si gana el equipo de casa pones 1, si pierde, 2). • P a ra ubicar (por ejem plo, en la 5.a estantería, en tran d o p o r la p u erta 5, del q u in to piso, del núm ero 5 de la q u in ta avenida). • P a ra n o m b ra r (O ctavio, Segundo son nom bres de personas que, com o septiem bre, octubre, noviem bre y diciem bre, proceden de nom bre n u ­ m éricos latinos.) c)

P ara m edir

C om o en la regleta g raduada. C om o en el term óm etro. C om o en un cronóm etro. C om o en u n a balanza. • C on el fin de describir m edidas: el pH , la fuerza del viento, la tem ­ peratura... • C o n el fin de clasificar: los kilates del oro, el calibre de la fruta... • C o n el fin de evaluar, valorar: las n o tas escolares, precios, porcentajes... • P a ra p u n tu ar: juegos electrónicos, flipper... d)

P ara operar: sum a, resta...

• C om o operador: duplicar las ventas; subida de salarios lineal, 5.000 pesetas. 19

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Algunos de estos usos son habituales p a ra el niño. Incluso antes de saber contar, el niño u rb an o oye a sus padres que hay que apretar «el cinco» en el ascensor p ara subir a casa de fulano, o que es un «uno» en la quiniela. E n la radio oye que «A spar» ganó en 80 cc, o que el grado de hum edad es del 45 p o r 100. Q ue su h erm ano com pró un carrete de 200 ASA. En música, un com pás del 3 x 4 . En A stronom ía, la estrella alfa es de m agnitud 2. ¿Q ué pensará un niño de estas expresiones? ¿Cuáles de todas ellas se trab ajan en la escuela?

1.2.2.

Invariantes

O tra m an era de caracterizar algo es in ten tar describir sus propiedades invariantes. Siguiendo ese cam ino im aginem os la siguiente conversación: Tú, querido lector, serás uno de los interlocutores, y el otro, será un m arciano. El m arciano, que es inteligente, no sabe lo que son los núm eros y quiere aprender. T ú le pones delante varios conjuntos de tres elem entos, y le dices: T.— H e aquí varios ejem plos del tres. M .— ¿Dónde? T.— Aquí, m ira, ¿qué tienen en com ún tod o s estos conjuntos? M.— Pues, no sé. C om o no sea que son conjuntos, o m ejor conjuntos de cosas. T.— Sí, claro. T odos son conjuntos, pero tienen la m ism a cantidad de cosas. M .—¿C antidad? T.— C an tid ad es... ( Consultando el diccionario.) «Lo que es susceptible de au m en tar o dism inuir»... Bueno... D éjalo. Te lo explicaré de o tra m anera. Fíjate en los conjuntos. P o r cada uno de los elem entos de éste, hay un elem ento en este o tro , y tam bién en este otro. M .— Sin som bra de duda. T.— (Aventurando.) Pues bien, cu an d o esto ocurre decim os que tienen la m ism a cantidad. T odos estos conjuntos tienen la m ism a cantidad, que es tres. M .— Así que, cuando tienen la m ism a cantidad, son tres. T.— (N ervioso.) N o. H ay de uno, de dos, de tres, etc. M .— N o entiendo. T .— (Levantando la voz.) T odos los que tienen la m ism a cantidad, tienen el m ism o núm ero, pero hay distintas cantidades. M .— ¿Y cóm o se sabe qué núm ero tienen? T.— Tres, es sólo p a ra el que tiene u no y uno y uno. M .— Siento m olestarte, pero es que no sé lo que es uno.

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1.2.3.

N a cim ien to y evolución

U n cam ino que seguirem os con más detenim iento es el que pretende seguir la vía del descubrim iento, cóm o se obtuvo. Es la reinvención, ponerse en el sitio del inventor y en las condiciones que provocaron su nacim iento y su evolución. Es entender las razones que le llevaron a él. A lo largo de siete pasos reelaborarem os la idea de núm ero desde que el hom bre to m a conciencia de la unicidad h asta que diseña un sistem a de adjetivos ordinales. M ás adelante aclararem os qué hay de verdad en todo lo que sigue.

• El sistema cardinal a)

E l prim er paso: la unicidad

En un principio, la noción prim itiva de núm ero pudo h ab er estado relacionada con contrastes y coincidencias tales com o el contraste entre uno y m uchos o la coincidencia de conjuntos de personas y objetos. La distinción entre uno y m uchos supone la tom a de consciencia de la unicidad, el individualizar un objeto o fenóm eno del resto del universo prescindiendo de to d as sus cualidades. L a unid ad com o idea de uno sólo que conduce al núm ero com o idea de la sucesión de unidades. «Numero es un sistema de unidades.» (Thales de Mileto.) (C it., L ó p e z G

a r c ía ,

1955.)

P ercatarse de la coincidencia supone la com paración de conjuntos pres­ cindiendo de las características de sus elem entos, y lleva al núm ero com o idea de clase de equivalencia. b)

E l segundo paso: la coordinabilidad «Cuando el hombre primitivo regresaba a su morada, sentiría, seguramente, el deseo de contar a su fam ilia sus aventuras y describir los animales que había encontrado. Haría uso de términos como “muchos", “pocos"; un grupo muy numeroso, por ejemplo, sería descrito como “muchos, muchos". A partir de éstas y otras experiencias se suscitaría la necesidad de cuantificar con exac­ titud. M ás tarde descubriría el artificio de comparar objetos de un grupo con los de otro. Por ejemplo, si un grupo de hombres tenía que usar hachas de pedernal, pronto se vería si tenían las suficientes o demasiadas, o un número insuficiente. Esta correspondencia “uno a uno” tuvo una gran importancia para la posterior elaboración del concepto de número y conduciría también, sin duda, a términos como “m ás", “menos", “tantos como”.» (L o v e l l , 1 9 77, p á g . 40.)

21

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A parece en escena un procedim iento p a ra asegurarse de que dos conjun­ tos tienen el m ism o núm ero de elem entos, t o o r d i n a r conjuntos, establecer correspondencias uno a uno entre los elem entos de los conjuntos im plicados en la com paración. Comparación:

X

X

2

i

i

i

i I

n

3

n Resultado:

Menos

i

"í

I

i

I 2

X

Más

X

X

2

i

i

i

X

3

X

Igual

La coordinabilidad, relación de equivalencia, genera una clasificación. Las clases se form an con todos los conjuntos coordinables entre sí y para indicar que dos conjuntos pertenecen a la m ism a clase decim os que tienen la m ism a can tid ad o el m ism o núm ero de elem entos. El núm ero en este caso y con esta función es denom inado: núm ero cardinal. c)

E l tercer paso: el registro

El problem a es que estas clases sólo existen en nuestra m ente. ¿Cóm o describirlas?, ¿cóm o saber a qué clase pertenece un conjunto dado? La coordinabilidad no sólo perm ite h a b la r de cuál de entre dos conjuntos tiene m ás elem entos, o m enos, tam bién perm ite llevar un registro perm anen­ te o p o rtátil de la cantidad, un re tra to o «conjunto que coincide con». U n ejem plo de esta idea se utilizó, según S kemp (1980, págs. 54-55), en tiem pos anteriores a la alfabetización y num eración general. Supongam os que un g anadero deseara asegurar que el reb añ o de ovejas que llegaba a su casa desde el m ercado era el m ism o en núm ero que cuando partió. Se co rtaro n m uescas en un palo d enom inado m arcador, correspondiendo cada m uesca a una oveja. Se cortó el palo p o r su eje de m odo que cada m itad fuera la im agen de la otra. El g anadero quedó con una, el p a sto r con la otra, de m odo que cada uno to m ab a la m arca del núm ero de ovejas. Los dedos de la m ano, las m uescas sobre un garrote, los m ontoncitos de piedras apiladas, etc., constituyen buenos retrato s o referencias. El hom bre ha recurrido a utilizarlos com o m odelos, com o representantes de clase, y los ha diseñado a su conveniencia y según su eficacia. |

. a

1 1

0 3

1 1 1 I I

(...)

d

Y

II

22

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d)

E l cuarto paso: las ctii/iiciiis

Se avanza un paso al d iq u e la r los modelos, al ponerles nom bre. La elección no debió ser espontánea ni fácil. D a n t z ig (1971, págs. 5-6) y S kemp (1980, págs. 155-156) han bosquejado los pasos y en lo que sigue utilizarem os sus opiniones. El hom b re prim itivo busca sus conjuntos de referencia entre las cosas que le rodean, así, la m ano extendida le sirve p a ra representar la clase que n o so tro s llam am os cinco, los ojos, las orejas o las alas de un pájaro, p ara la clase dos. P ro n to descubre que el nom bre del objeto es tan útil com o la im agen del mismo. D e esta m an era es com o ciertos nom bres llegan a ser utilizados com o etiquetas p a ra describir a las clases de equivalencia o núm eros cardinales. P o r ejem plo, nariz, trébol, m ano, ojos, perro..., sirven perfectam ente p a ra este fin. H ay pruebas de que esto p u d o ser asi: perro es el nom bre en M aorí del 4 ( G a d n e r , 1984, pág. 10). P osteriorm ente, la necesidad de distinguir cuándo el nom bre se refiere a la clase a la que pertenece el con ju n to u objeto y cuándo se refiere al objeto m ism o, debió conducir a utilizar expresiones orales o sim bólicas distintas de las originales. Así, h asta que el paso del tiem po borró la huella, es decir, la conexión entre la expresión final y su origen. U no, dos, tres, en vez de nariz, perro, mano... 1

II II

1 1 1 II

11

111

Nariz

Perro

Mano

Ojos

Trébol

Uno

Cuatro

Cinco

Dos

Tres

• El sistema ordinal e)

E l quinto paso: el orden

C o n este sistema, p a ra hallar la clase de un nuevo conjunto, tendría que co m p ararlo con el m odelo o e stán d ar que se considerara m ás adecuado. Si se equivoca tendría que in ten tar con otro, y con o tro, y con otro, etc., hasta que en co n trara el correspondiente. P a ra conjuntos grandes llevaría m ucho tiem po dilucidar cuál es su clase. La dificultad aum en ta con el tam añ o h asta hacerse insalvable. ¿Q ué hacer? ¿N o hay ninguna form a organizada p a ra evitar estos ensayos? El cam ino n atu ral es o rd en ar los m odelos, y, en consecuencia, sus nom ­ bres; p a ra ello, tiene que establecer un criterio. U n buen criterio tiene que perm itir organizar todos los m odelos elegidos sin solapam iento. P o r ejem ­ plo: «el que tiene más va después»: 23

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Lista

X X X

desorganizada:

X X X X

X X X X X

|X |

|X X X X |

|X X|

X X X X X X

Lista

C on este criterio, la diferencia entre dos consecutivos es constante, uno. E sto perm ite reconstruir cualquier m odelo, ¡por grande que sea!, sin m ás que ir aum en tan d o de u no en uno; y si deja volar su im aginación, si tuviera un m odelo p ara todos los granos de aren a del m undo o para todas las estrellas del firm am ento, a ú n p o d ría ir m ás lejos: «U no más.» C on esta idea, el infinito com ienza a desvelar su m isterio. f)

E l sexto paso: el sistem a de numeración

A hora tiene un problem a con los nom bres de los m odelos, no tiene bastantes, tiene que pensar en algún sistem a de vocablos y de sím bolos para todos, pero que se pueda usar. E sto supone que ha de ser un sistema reducido, finito, y, sin em bargo, un sistem a que h a de ser adecuado p ara un conjunto extenso, infinito. U n a buena solución es crear un sistem a que, sobre la base de un alfabeto finito, perm ita, d ad o un nom bre-núm ero, describir el siguiente y el anterior. P o r ejemplo: N ariz, ojos, trébol, perro, m ano, m ano-nariz, m an o-ojos, m an o-tréb ol, m ano-perro, m an o-m an o, m ano-m an o-nariz, m a n o-m an o-ojos, m ano-m an o-trébol...

Los tamanacos, una tribu de indios sudamericanos, usaban para 5 la misma palabra que usaban para decir «una mano entera». Ei término que designaba al 6 significaba «uno en Ia otra mano»; el 7 eran «dos en la otra mano», y análogamente para 8 y 9. El 10 era «ambas manos». Para expresar de 11 a 14, los tamanacos extendían ambas manos y contaban «uno del pie, dos del pie...», y así sucesivamente hasta 15, que era «un pie completo». Como podemos presumir, el sistema continuaba expresando el 16 como «uno deI otro pie», y así 24

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hasta 19. La palabra en ¡a mana de otro indio». «Dos indios» significaba 40, «tres indios». 60 (G a d n e r ,

M., 1984, págs. 109-110.)

E -l:

¿En qué se diferencia «mi indio y uno del otro pie» y «un pie completo y uno en la mano de otro indio»?

E-2:

¿Es asociativa la suma lamanaca? Ayúdese para contestar con lo si­ guiente: «un pie completo y un indio, y uno en la mano de otro indio» es o no igual a «un pie completo y, un indio y uno en la mano de otro indio».

D e esta m anera, p a ra conocer el cardinal o clase de un conjunto como: {■ ■ ■ ■ ■}, se em pezaría p o r ver si es de «nariz», nom bre de la clase del con ju n to { | }. Si no lo es se p ro b aría con «ojos», clase de { | | }, y así sucesivam ente y en este orden. g)

E l séptim o paso: contar

P o dem os suponer que este procedim iento h aría em erger la genial técnica que llam am os contar.

{■ I {nariz}

■ ■ I I

■ ■ } I I

|

{nariz, ojos} {nariz, ojos, trébol}

|

{nariz, ojos, trébol, perro}

| |

{nariz, ojos, trébol, perro, mano}

P ro n to se vería la com odidad de utilizar directam ente la secuencia orde­ n ad a de palabras-núm ero, secuencia co n tad o ra, y que señalando o m irando p o r tu rn o los elem entos del conjunto que se quiere contar, al tiem po que se asigna m entalm ente un térm ino detrás de o tro de la secuencia h asta que el con ju n to se agote, se llega a un resultado sorprendente: el últim o nom bre recitado, «m ano», es precisam ente el nom bre de la clase a la que pertenece el conjunto dado. D e este m odo, c o n tar un conjunto d ad o se perfila com o la com paración con un conju n to de referencia, en p articu lar el conjunto de los nom bres 25

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núm ero «1, 2, 3, 4,...», y la recitación y em parejam iento de sus elem entos con los del conjunto d ad o hasta que éste se agote. El nom bre-núm ero «//», desem peña en este proceso un triple papel: nú­ m ero asignado al últim o elem ento del co n ju n to que se cuenta, elem ento del acto contador, y elem ento que cuenta el conjunto. N ótese que p a ra poder efectuar el proceso de co ntar se necesita de una infinidad de sím bolos, con sus nom bres organizados en sucesión ordenada indefinida, lo que quiere decir que hay siem pre un siguiente y un anterior, salvo en el prim ero. C on estas características, el sistem a que resulta es denom inado un sistem a ordinal. Un sistema ordinal adquiere existencia cuando la memoria ha registrado los nombres de los primeros números en el orden en que se suceden, y cuando ha imaginado un sistema fonético para pasar de un número cualquiera al siguiente. (D a n t z ig ,

h)

1981, pág. 24).

E l octavo paso: los adjetivos

L a característica secuencial, uno detrás de otro, en que se organizan los sím bolos y palabras-n ú m ero en los sistem as ordinales, perm ite recordar el orden en que se suceden las cosas y saber en qué etapa se encuentra un determ inado fenóm eno. Si necesitam os m ás inform ación de la que nos dan expresiones como: m ucho, antes, después, o..., ¿qué es lo que hacemos? Lo que hacem os es contar, y si hay dos delante, decim os que éste es el tercero. Tercero es en este caso un adjetivo, se refiere al objeto en el sentido de que al co n tar está entre el objeto que corresponde al dos y el que corresponde al cuatro. Adjetivos ordinales Primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno o nono, décimo, undécimo, duodécimo, décimotercero o deci­ motercio, ..., vigésimo, trigésimo, cuadragésimo, quincuagésimo, sexagé­ simo, septuagésimo, octogésimo, nonagésimo, centésimo, ducentésimo, tricentésimo, cuadrigentésimo, quingentésimo, sexcentésimo, septingen­ tésimo, octingentésimo, noningentésimo, milésimo, millonésimo, ...

E-3:

Escribir el adjetivo ordinal del 487.

E-4:

Un viejo acertijo: ¿Podrías tú colocar once monedas en 10 platillos, de modo que en cada platillo, no haya más que una moneda? Yo te ayudaré. En el primer platillo, dos monedas, la primera y temporalmente la undécima.

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La tercera moneda ponía en el segundo platillo. La cuarta, en el tercero; la quinta, en el em ulo, y asi sucesivamente. Cuando llegues a la décima moneda, la pondrás en el noveno platillo y el décimo te quedara libre, para la undécima que tenías puesta en el primero.

Adjetivos cardinales D e la m ism a m anera que el hom bre ha diseñado palabras adjetivo, para indicar que se refiere al núm ero en su papel ordinal, tam bién h a construido p alabras adjetivo p a ra el papel cardinal del núm ero; sexteto

Cardinal:

Ordinal:

quinteto cuaterna trío par unidad X X X X X X Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Sexto 1

2

3

4

5

6

• La historia real N o quisiera d a r la im presión de que el cam ino que hem os seguido para presentar el núm ero escrito, prim ero com paración y luego orden, es algo más que una conjetura. La form a com o se ha llegado a establecer la ordinalidad de las palabras-núm ero a p a rtir de la organización en fila de cardinales es sólo u n a estratagem a didáctica, un intento de explicación, no tenem os prue­ bas de que la historia haya sido exactam ente asi: «Todavía hay una gran cantidad de cuestiones sin respuesta relativas al origen de la matemática: asnalmente se supone que esta ciencia apareció para responder a necesidades prácticas del hombre. Pero hay estudios antropológi­ cos que sugieren la posibilidad de un origen alternativo. Se ha sugerido ( véase A. S e i n d e n b e r g , “The Ritual Origin o f Counting", Archive for History of Esact Sciences, 2 [1962], págs. 1-40) que el arte de contar pudo aparecer en conexión con ciertos rituales religiosos primitivos y que el aspecto ordinal precedió al concepto cuantitativo. En los ritos ceremoniales que escenifican los mitos de la creación era necesario llamar a los participantes a escena en un orden preciso y determinado, y quizá la numeración se inventó para resolver este problema. Si son correctas las teorías del origen ritual de la numeración, entonces el concepto de número ordinal puede haber precedido al de número cardinal.» (B o y e r ,

1968, pág. 23.; 27

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O tro s testim onios que abogan p o r el núm ero ordinal antes que el cardi­ nal se apoyan en el carácter iterativo de los escritos num éricos m ás antiguos que han llegado hasta nosotros y que verem os en el capítulo siguiente. La explicación que se da com o más plausible p ara este carácter iterativo es que fue utilizada com o m edio p ara registrar acontecim ientos sucesivos: «La utilización ordinal de los números enteros como rótulos para registrar el paso del tiempo es primitivamente más necesaria que su utilización cardinal como rótulos para señalar el beneficio a distribuir entre la tribu, del capital obtenido de la caza. Sea como sea, todo lo que podemos decir con seguridad es lo que podemos conjeturar sobre el único modo que inicialmente era posible para alcanzar el fin previsto con los medios entonces a disposición del hombre. El primer paso es realizar diariamente unas muescas en un poste o tronco de árbol para comprobar el paso del tiempo.» ( H o g b e n , 1966, p á g . 31.)

Después de p o n er m uescas en un tronco, ¿cuál será el siguiente paso?... La solución en el próxim o capítulo. EJERC IC IO S E-5:

Ugh y Pufh, hombres primitivos, han encontrado huesos dulces en una jornada de caza: hacemos? repartimos. U.—Sí, ¿pero cómo? No quiero que tú te lleves más que yo. P.—Ya sé. U no para ti, uno para mí, otro para ti, otro para mí, etc. ( Pufh acaba de inventar la coordinabilidad de conjuntos.) U

gh

.— ¿Qué

P u f h .— L o s

Ugh y Pufh iban tan cargados con la caza que se vieron obligados a esconder los huesos en una cueva. En el camino de regreso a su guarida mantuvieron la siguiente conversación: U.— Me gustaría saber si tendré bastantes huesos para todos mis hijos, no quisiera que el más pequeño se quedara sin probarlos. Imagí­ natelo toda la noche llorando sin dejarnos dormir. P.—¿Por qué no coges una piedrecita por cada uno de los huesos que has conseguido? Cuando llegues a casa podrás saber si tienes bas­ tante para todos. ( Pufh había inventado el registro de la cantidad.) Ugh hizo caso a Pufh, pero en el camino fue asaltado por un comesetepiedras y tuvo que saciarlo poniéndole una piedra en cada una de sus bocas. Cuando preocupado llegó a su morada, le explicó el caso a su mujer preferida, la cual le tranquilizó dándole la siguiente solución: «Si el comesetepiedras comió por todas sus bocas, es fácil entender que se comió sete piedras.» ¿Qué había inventado la mujer preferida de Ugh? 28

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E-6:

Inventa una histoi la. pormn o lo que se te ocurra que dé lugar a explicar la aparición del oidrn n i las ruquetas y del procedimiento que llam a­ mos contar.

• Contar con las partes del cuerpo

Los indígenas celebrarán la ceremonia del Gran Tótem cuando su jefe llegue a «su ojo izquierdo », tras haber tachado sucesivamente, durante los doce primeros días de la octava Luna, cada uno de los doce pequeños trazos que había trazado anteriormente sobre su cuerpo desde el dedo meñique derecho hasta su boca. (I f r a c h , 1985, p á g . 40.)

E n esta form a de contabilizar no se considera sólo em parejam iento, tam bién hay tradición, la fuerza de la costum bre que lleva a utilizar en un orden preestablecido cierto núm ero de partes del cuerpo, siempre las mismas. N o hay núm ero ab stracto en este proceso; la simple designación de una de dichas partes no b asta p a ra caracterizar una cantidad, hay que aco m p a­ ñarla de gestos o referencias al p u n to de p artid a — de tal a tal o desde aquí h asta aquí. En cierto m odo y a su m an era ya saben contar, han adquirido la idea clave, la de sucesión; au n q u e en vez de decir uno, dos, tres, necesitan tocar o tach ar m arcas en su cuerpo. L a recitación vendrá después, com o una letanía, h asta que poco a poco se irá tom an d o conciencia de ciertas propiedades: cualquiera que sea el elem ento que inicie el recuento siem pre se llega al m ism o resultado, el últim o nom bre recitado determ ina sin am bigüedad toda la sucesión, diversos conjuntos term inan en el m ism o nom bre, hay una inclusión jerárq u ica (si se añade un elem ento a un grupo la sucesión que lo cuenta term ina en el nom bre siguiente a aquél con que term ina la sucesión que cuenta el grupo...).

2S

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.

2

La numeración, evolución y comparación de sistemas 2.1.

E JE R C IC IO S P R E L IM IN A R E S

E-7:

(Para reflexionar.) La distribución de botellines de bebidas y otros p ro ­ ductos está organizada por agrupamiento. Las botellas de leche en cajas de 24 unidades, los huevos por docenas y medias docenas, etc. ¿Por qué?

E-8:

¿Cuántas decenas hay en una decena de millar?

E-9:

(Para la calculadora.) Después de un banquete se quiere evaluar las existencias de cerveza. Se dispone de botellines de envase no retornable: sueltos, en pack de seis, en paquetes de seis packs, en bloques de seis paquetes y en paliers de seis bloques. Curiosamente quedan 2 unidades de cada tipo; esto es, 2, 2, 2, 2, y 2. ¿Cuántas cervezas quedan?

2.2.

SISTEM A S D E N U M E R A C IO N «La finalidad inicial de un sistema de numeración es asignar a cada número natural individual ( con un límite que depende de las necesidades prácticas) un nombre y una representación escrita, formada por combinaciones de un reduci­ do número de signos, efectuadas siguiendo leyes más o menos regulares.» (B o u r b a k i .)

Así, la cuestión estriba a h o ra en si un sistem a de num eración es m ejor que o tro y, si esto es así, qué es lo que hace que lo sea. C laro que antes hay que precisar, ¿mejor p a ra qué? E n lo que sigue abord arem o s la cuestión desde el p u n to de vista de la representación de 31

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núm eros. Un sistema será m ejor si es m ás breve, más fácil de leer, etc. Después, en el C ap itu lo 3, enfocarem os el tem a desde el p u n to de vista del cálculo. U n sistem a será tan to más bueno cu an to más lejos perm ita d esarro ­ llar el cálculo.

2.2.1.

R epresentación sim ple

El hom bre prim itivo com prendió que apilando piedras o haciendo m ues­ cas sobre un palo p o d ía describir la cantidad: tan tos objetos com o muescas o ta n tas piedras com o ovejas. H ab ía diseñado su prim er sistem a de num era­ ción. La m uesca sustituye en la m ente del hom bre al objeto. U n a p o r cada objeto y tan tas com o objetos. U n sistem a com o éste, que llam arem os de representación simple, se caracteriza p o r la repetición uniform e de un sólo sím bolo y es un registro concreto del aspecto cuan titativ o (cardinal) del núm ero. (T odavía hoy nos apoyam os en un sistem a análogo cu an d o recontam os votos.) Inconvenientes: ¿Cóm o representar grandes núm eros?, ¿cóm o leerlos?

niiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiiniimin 2.2.2.

A grupam iento sim ple

P a ra reducir esta dificultad se puede recurrir al agrupam iento: P o r ejemplo, cad a vez que tengam os tan to s signos com o dedos en la m ano, hacem os un paquete, tacham os un grupo... P o r ejemplo:

mu mu iiiii iiiii iiiii mu iiiii n o H m H B L H ffl- H IÍL H ffl- I m u H ffl- II «C uando el hom bre prim itivo em pleaba este sistem a de representación, a m enudo a m o n to n a b a las piedras p o r grupos de cinco, debido a que antes se había fam iliarizado con los q uíntuplos de objetos p o r observación de su pro p ia m ano o pie» (B oyer , 1968, pág. 21). (La vieja idea de que el hom bre es la m edida de to d as las cosas.) H ay pruebas de que esto es así, com o; p o r ejemplo, el descubrim iento 32

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arqueológico de un hueso procedente de un cachorro de lobo de hace treinta mil años en co n trad o en C hecoslovaquia, «en el que aparecen 55 incisiones bastan te profundas distribuidas en dos series, la prim era con 25 y la segunda con 30, y en cada serie las incisiones están distribuidas en grupos de cinco» (B oyer , 1968, pág. 22). T achar, aunque facilita la lectura del núm ero cuando es grande, no abrevia la escritura. Es m ejor sustituir cada p aquete o grupo de signos tachad o s p o r un nuevo sim bolo. ¿P o r qué no un doble palo en cruz, en equis o en uve? En lo sucesivo, utilizarem os la notación que em plean M iller y Heeren (1979), en lugar de «IIIII», escribirem os «V». Así el núm ero del ejem plo se reduce a esta expresión: V V V V V V I I Fácil de leer, fácil de escribir. Este tipo de sistem a de num eración, aditivo com o el anterior, es llam ado de agrupam iento simple. Se caracteriza por la elección de u n a base p a ra el agrupam iento (5 en el ejemplo), y p o r la presencia de dos clases de símbolos: los sím bolos p ara las unidades y los sím bolos p ara los grupos de unidades. Pero, ¿qué pasa con núm eros m ucho m ás grandes? VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVIÍ C om o se ve, se presentan los m ism os problem as que en los sistem as de representación simple. ¿Q ué hacer?

2.2.3.

A grupam iento m últiple

Si se presentan los m ism os problem as, lo lógico es aplicar los mism os remedios. En consecuencia, procede extender el agrupam iento: En lugar de «VVVVV», escribirm os «N». E n lug ar de « N N N N N » , escribim os «W». E n lug ar de «W W W W W », ... y así sucesivamente. C o n este convenio de escritura, cada nuevo sím bolo representa a la potencia de la base inm ediatam ente superior: V = IIIII = 5 N e e VVVVV e e 52 W = N N N N N = ... 33

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E-10:

¿Que número representa

W N W I I V IV

U n sistem a aditivo caracterizado p o r la presencia de un sím bolo distinto p a ra cada una de las potencias de la base, es denom inado de agrupam iento m últiple. N o hay un límite p ara la can tid ad de sím bolos necesarios, pero sí p ara el núm ero de repeticiones de los sím bolos, com o m áxim o los que indica la base elegida p a ra el agrupam iento.

• Sistema egipcio U n ejem plo de sistem a de agrupam iento m últiple lo encontram os en el viejo sistema jeroglífico egipcio: El 1 se representaba m ediante un palo vertical ........................

«| »

El 10 se representaba m ediante un arco

......................................

« f\»

El 102

serep resentaba m ediante la espiral .................................

«J?»

El 103

serepresentaba m ediante la flor de loto ........................

El 104

serepresentaba m ediante el dedo s e ñ a la n d o ..................

« ÍP »

El 105

serepresentaba m ediante el r e n a c u a jo .............................

«c

10.000 siguiente número l|

Describe las características de cada uno de los sistemas representados en el cuadro: R. S. A. S. A. M. S. M. A. M O. S. P.

11111111111111 TtHltH-ttHH 1 o VVVII W \A V \W V \V I 111 0 W @ 1 O V © \A O W © \AO V © 1 O © O © 61

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E-23:

Com pletar la tabla: Indo-arábigo

Babilónico

Egipcio

Romano

El suyo propio

83

v m 7niAii

E-24: En la mili se hacen tartitas: 3 raciones en cada tartita, 3 tartitas en cada tartera, 3 tarteras en una plancha, 3 planchas en un horno y 3 hornos para cada cocinero. ¿Cuántos cocineros hay que emplear para el postre de los 3.000 soldados del cuartel? Raciones, tartitas, tartera... permiten diseñar un sistema de numera­ ción gastronómico. Escribe en código el número de raciones diarias que hay que preparar E-25:

Si reúno 5 cucharaditas, obtendré el contenido de la mitad de una copita; si reúno 5 copitas, obtendré el contenido de la mitad de un vaso; si reúno 5 vasos, obtendré la mitad de un litro. ¿Cuántas cucharaditas hacen falta para tener un litro? Cucharaditas, copitas, vasos, botellas, toneles, camiones... permiten diseñar un sistema de numeración para beodos. Escribir en código secreto la previsión de necesidades para el cuartel del ejemplo anterior y explicar el código que se ha seguido.

E-26:

¿Qué características presenta el sistema correspondiente a la expresión horaria (horas, minutos y segundos?

E-27: ¿Diseñe su propio sistema posicional. Sugerencia: Lo importante es evitar la escritura de los símbolos que representan a las potencias de la base. E-28: ¿Cuántos dedos tienen los marcianos en sus manos, sabiendo que en su planeta el 17 se escribe 21? E-29:

Hallar una base de numeración distinta de diez en la que 121 seá un cuadrado perfecto. Y después otra, y otra, ...

E-30:

Si eres capaz de hallar la diferencia entre la mitad de una decena de decenas y tres decenas de decenas. Quizá seas capaz de hallar la diferencia entre la mitad de una docena de docenas y tres docenas de docenas.

62

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E-31:

Un viejo sistema chino iilili/nhu pura los números menores que la decena, los siguientes símbolos; i

ii

ni

mi

mu

r

ir

¥

ir

y para los múltiplos de diez, estos otros:

-

=

=

^

¡

Con ellos y alternando la posición de derecha a izquierda se puede representar cualquier número, por ejemplo el 43.987 se escribiría así: ¿

E-32:

Si 1/4 de 20 no fuera 5 sino 4, ¿cuánto valdría 1/2 de 10? y ¿1/4 de 10?

E-33:

El sistema de niveles maya admite una réplica horizontal que recuerda a un viejo instrumento de cálculo:

El ábaco utiliza en lugar de cajas separadoras y signos para las unida­ des, varillas y bolas insertadas en las mismas:

l

k

fe

Describe sus características. E-34:

Leer el número 75412Q00400200000CKX)0. • « % *

E-35:

Escribir el número siete trillones, setenta mil siete billones, siete millo­ nes, setenta y siete.

E-36:

Escriba en una tabla la equivalencia entre las denominaciones de los diferentes órdenes de nuestro sistema y las distintas potencias de 10; llegue hasta 10 elevado a 15. Continúe la secuencia: millón, billón, trillón, ... Exprese estos órdenes mediante potencias de diez.

E-37:

Haga un resumen de las principales características y principios de nuestro sistema decimal de numeración. __________ _ _ _ __________ ____________________ I 63

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3. Cálculo mental. Cálculo pensado

3.Í.

CALCULO M ENTAL. CALCULO PE N SA D O

La m ayoría del cálculo que cotidianam ente se hace fuera de la escuela es m ental. N o siem pre se puede usar lápiz y papel, ni tam poco es necesario. M uchas veces la respuesta no tiene p o r qué ser exacta, basta con una aproxim ación. Incluso cuando se utiliza la calculadora es norm al asegurarse de que se teclearon bien los d ato s co n trastan d o el resultado con alguna estim ación obtenida p o r redondeo o cualquier o tro procedim iento. Este tipo de cálculo se caracteriza porque: • • • •

Es de cabeza. Se puede hacer rápidam ente. Se apoya en un conjunto lim itado de hecho num éricos. Requiere ciertas habilidades: C onteos, recolocaciones, com pensaciones, descom posiciones, redistribuciones, etc., buscando sustituir o alterar los d ato s iniciales p a ra tra b a ja r con o tro s m ás cóm odos, o m ás fáciles de calcular. Cuando se le pedía (se refiere al calculista profesional Zerah Colburn) multiplicar 21.734 por 543, decía inmediatamente 11.801.562. A l preguntarle cómo ¡o había hecho, explicó que 543 es igual a 181 veces 3. Y como era más fácil multiplicar por 181 que por 543, había multiplicado primero 21.734 por 3 y luego el resultado por 181. (G a d n er ,

M.,

1984, p á g s . 80-81.)

Parece claro, que en este tipo de cálculo, la concentración, el hábito, la atención, y el interés ( H o p e , 1985, pág. 372) son factores determ inantes p a ra lograr resultados espectaculares. 65

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N aturalm ente, éste no es un objetivo p a ra la escuela, los sofisticados m étodos de cálculo m ental son in ap ro p iad o s p ara las m entes infantiles, pero eso no quiere decir que desde el principio no se puedan sentar las bases para lo g rar al final de la escolaridad u n a destreza, eficacia y rapidez razonable p ara las situaciones de cálculo m ás habituales. N o es necesario esperar a e n tra r en la C aja de A horros p a ra com enzar a tra ta r con m étodos m ás sofisticados com o: com pensación, descom posición, factorización, etc. P ueden hacerse aparecer incluso con las com binaciones num éricas básicas: 9 + 6 = 9 +

(1 + 6 -

1) = (9 + 1) + (6 -

1) = 10 + 5

A medida que el niño crece necesita ir desarrollando los métodos de cálculo mental que empleará a lo largo de su vida y que tal vez difieran de los que utilice en el trabajo escrito. En los años de primaria debe practicarse con la manipulación del dinero, la devolución de cambio tal como se hace en las tiendas, el cálculo de tiempos de desplazamiento... ( C o c k c r o f f , 1982, p á g . 114.)

¿C uánto me tienen que devolver de u n a m oneda de 100 pesetas, sabiendo que lo que quiero co m p rar vale 87? ¿A quién se le ocurre hacer uso del algoritm o estándar?: 100 -

87

Es m ás fácil y se llega antes al resultado sim plem ente con tan d o hacia arriba.

87 88

89

Puestos a precisar, conviene distinguir entre el cálculo m ental del tipo estím ulo-respuesta y el cálculo m ental que im plica tom a de decisiones y elección de estrategias. L a m ayor p arte de las tablas, com binaciones num éri­ cas básicas, son u n buen ejem plo del prim er tipo. El segundo suele ser fruto de un a reflexión personal y es raram en te desarrollado en la escuela: Creemos que la decadencia del trabajo oral y mental en las clases de matemáticas es consecuencia de la fa lta de reconocimiento de la importancia que el cálculo mental tiene en esta asignatura. Incluso los métodos de cálculo sobre papel utilizados tradicionalmen(e se basan en la realización mental de determinadas operaciones. ( C o c k c r o f f , 1982, p á g . 92.)

66

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¡Cuán com plicado resulta a veces, cu el bar, en el restaurante, averiguar a cuánto sale cada uno! N o es raro oir en tales ocasiones ¡Qué lo haga el m atem ático! o ¡Yo me equivoco siempre! Algunos callan, deseando no pare­ cer idiotas, y esperan que alguien les saque del apuro. S orprende esta actitud, si se tiene en cuenta que en casi todos los trabajos se valora la capacidad de realizar algunos cálculos m entales pensados e incluso se o to rg a el calificativo de inteligentes a las personas que son capaces de hacerlos con fluidez. H ay o tra razón que aboga p o r la inclusión del cálculo pensado en las clases, y es que la m ayoría de las personas que son consideradas hábiles p ara calcular ra ra vez hacen uso de los algoritm os usuales, sino que suelen recurrir a m an ip u lar los núm eros p a ra facilitarse la tarea. A pesar de ello, la m ayoría de noso tro s hem os aprendido en la escuela un cálculo plagado de rigideces. P alab ras y form as de presentar los datos se conectan en n u estra m ente de tal m anera que la respuesta está fuertem ente condicionada. Resuélvase:

-

547 189

¿P or qué no lo hizo así: 547 -

189 = 1 + 10 + 347?

P ruebe ahora: 539 -

1 8 9 = ...........

Si lo hizo así: 539 — 189 = 1 + 10 + 339, le cacé. H a sido condicionado por el cálculo anterior. ¿P or qué n o hizo o tra cosa? P o r ejemplo: 539 -

189 = (539 - 39) - (189 - 39) = 500 -

150

o 539 -

189 = 540 -

190 = 540 -

140 - 50 = 400 - 50

A poco que se reflexione sorprende la variedad de enfoques posibles. E xplorarlos, inspeccionar to d as las posibilidades, o p ta r p o r una de ellas, determ inar el orden de actuación, estudiar las transform aciones m ás a p ro ­ piadas, v alo rar el resultado, etc., convierte el cálculo a secas, en cálculo pensado. Es un pequeño desafío, u n a lab o r inteligente, divertida, personal. 67

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EJERCICIO Resuelva 539 - 189 de todas las formas que se le ocurran. D iga cuál le parece más apropiada y por qué. Después com pare con las que se sugieren más adelante cuando se hable de las estrategias de cálculo aditivo y de acuerdo con ellas formule explícitamente los pasos seguidos.

En la escuela se nos enseña cóm o calcular de una cierta m anera, pero no cóm o hacer p a ra calcular de la m ejor m anera. N o es cierto que esto sea una cuestión de ap titudes o capacidades, o de fanáticos del cálculo ultrarrápido; ni tam poco es cierto que con cada p ar de núm eros haya que a ctu a r de una m anera. Si no se tiene confianza en las pro p ias posibilidades es porque no se ha inten tad o y sobre to d o porque en la escuela no se nos ha enseñado nada sobre ello. H ay un núm ero lim itado de reglas, estrategias y cam inos que facilitan la tarea. Lo que ocurre es que m uchos m aestros y profesores no tienen ellos m ism os consciencia de los procesos que aplican cuando calculan m entalm ente y nunca se han p arad o a o rg an izados sobre un papel con la finalidad de enseñárselos a sus alum nos. E ntre las razones que me im pulsan a escribir este capítulo quiero señalar el convencim iento de que si en la escuela se ha reflexionado sobre las diversas estrategias de cálculo m ental que se pueden utilizar, no sólo se estará en condiciones de aplicar la m ejor en cada m om ento y rechazar la com ún tendencia a «conm igo que no cuenten» p orque no se tienen expectati­ vas de éxito, sino que, puesto que el cálculo pensado supone ser parte activa en el proceso, se h ab rá contribuido a la dism inución de errores debidos a respuestas rutinarias o a actuaciones no com prendidas. P o r ello: Aun cuando muchos alumnos descubren por sí mismos que los métodos del cálculo por escrito a menudo no son apropiados para el cálculo mental, con­ sideramos que para muchos otros resultará de gran utilidad que el profesor señale explícitamente y comente en clase los diversos métodos utilizables. (C o c k c r o f f ,

3.2.

1982, p á g . 93.)

CALCULO M ENTAL. LAS TABLAS

N o es posible una buena destreza en cálculo m ental sino se dispone de buenos p untos de apoyo. El soporte usual es un suficiente dom inio de la 68

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secuencia co n tad o ra y de las com binaciones aritm éticas básicas conocidas com o «tablas». Estos soportes no sólo son im portantes porque perm iten dar respues­ tas rápidas, sino porque dan pie a algoritm os que perm iten efectuar cual­ quiera de las operaciones elem entales con un núm ero de conocim ientos li­ m itados. G racias a las tablas es posible calcular sin preocuparse por el tam año de los núm eros en cu an to se d om inan los m étodos que perm iten reducir la m anipulación de los sím bolos num éricos a aquellos que aparecen en ellas. H ay un p u n to de vista tradicional que aboga por el aprendizaje «a ciegas» o m em oristico de las tablas, y otro que defiende que esto no es necesario ya que la m ayoría logra un dom inio efectivo del cálculo cuando recurre a desarro llar estrategias personales. Los defensores del prim er p u n to de vista alegan, por contra, que no todos los niños son capaces de hacer algo así; m uchos de ellos, a lo sumo, serán capaces de d o m in ar las tablas después de una cantidad desproporcionada de esfuerzos y algunos nunca lo g rarán resultados satisfactorios p o r sí mismos, (H ope, 1985, pág. 378).

El debate se centra en si hay que dedicar tiem po para hacer ejercicios destinados exclusivam ente a la m em orización, fijación, m antenim iento y rehabilitación de las tablas; o si, p o r el co ntrario, b asta con ay u d ar al niño a d esarrollar sus propias estrategias p a ra que puedan obtenerlas asegurándose de su buen funcionam iento, uso y consolidación. P a ra to m ar u n a decisión sobre cuál es la línea de actuación m ás ade­ cuada, conviene tener presente que quizá un planteam iento conduce al otro. A unque esto no se da en los dos sentidos: El uso de estrategias pue­ de acab ar en m em orización de resultados, pero la m em orización de resul­ tados no sólo no conduce al diseño de estrategias, sino que las obstruye ( H e e g e , 1985).

P o r un lado, la práctica en el uso de estrategias irá aum entando la velocidad en las respuestas de tal m odo que la frontera entre resultados m em orizados y «obtenidos» tenderá a difum inarse, y, p o r otro, la tendencia a apoy ar el cálculo en un núm ero lim itado de com binaciones básicas hará que sus resultados se repitan con ta n ta frecuencia que se estará incidiendo fuertem ente en su retención m em orística.

EJERCICIO ¿M em orizó usted la tabla de m ultiplicar por 998? ¿Se siente capaz de diseñar una estrategia para obtenerla? ¿C óm o? U tilice este ejercicio para reflexionar sobre su propio proceso de aprendizaje.

69

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En lo que sigue nos lim itarem os a tra ta r el acceso a las tablas a p a rtir de la m anipulación de sím bolos, soslayando otras vías, com o p o r ejem plo el conteo de objetos físicos, el tratam ien to con m ateriales didácticos, el recurso a la recta num érica o cualquier tipo de arreglo que corresponda a un nivel conceptual propiam ente.

3.2.1.

L a tabla de sum ar

E ntendem os p o r tabla de sum ar a las 11 x 11 com binaciones aritm éticas básicas que se pueden hacer con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. De ellas, algunas son tan inm ediatas que n o requieren ningún esfuerzo de m e­ m oria, de otras se puede prescindir gracias a la propiedad conm utativa de la adición. U nas pocas se obtiene a través de o tras m ás familiares. Al final el núm ero de com binaciones básicas que hay que retener es tan reducido que la gran m ayoría de las personas las conservan en su m em oria sin dificultad. ¿Pero cuál es este núm ero reducido de com binaciones? 1. Ceros (C): L a sum a de ceros no supone ningún problem a. C uando se sum a cero to d o qued a igual. 2. Conm utatividad (Co): Se usa incluso antes de tener consciencia de ello se afianza con tal fuerza que au n sabiendo el resultado de una pareja de núm eros, m ucha gente se siente m ás segura si lo obtiene conm utándolos. La tendencia general, considera m ás fácil em pezar p o r el sum ando m ayor: 5 + 4 en lugar de 4 + 5, aunque esto no se puede afirm ar que sea cierto ( C a r p e n t e r y M o s e r , 1983, pág. 9). y

3. Conteo ascendente (|): C u an d o se dom ina la secuencia co n tad o ra y se sabe subirla de dos en dos, de tres en tres, sum ar 1, 2 o 3 a cualquier núm ero es algo sencillo de resolver. A unque al principio haya que apoyarse en los dedos p ara llevar la cuenta. E sta estretegia es útilísim a p o r cu án to resuelve sin apenas gasto de m em oria el cálculo de 27 de las sum as básicas restantes después de descontar las 66 que resuelven los ceros y la conm utatividad. ¿C uántas quedan? 4. Dieces (Di): Sum ar 10 a un núm ero dígito es muy simple cuando se dom inan las reglas sintácticas de nuestro sistem a de num eración. En el lenguaje escrito basta con in co rp o rar un 1 a la izquierda del núm ero dado, o lo que es lo mismo, sustituir el 0 del 10 p o r el núm ero en cuestión. En el lenguaje oral el énfasis hay que ponerlo en la diferente construcción sem ántica entre 10 y 1, 2, 3, 4 o 5 (once, doce, trece, catorce o quince) y, 10 y 6, 7, 8 o 9 (diez y seis, siete, ocho o nueve). 70

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+

0

1

2

3

4

0

C C

c

2

C

1

D

C Co Co

(

D

C Co

r

1

o í>

76

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L os ejem plos mue st r an el p i n i e s n mental: 4 * 7 X

•

7

3 x 7

(/

i

/

1/

i

/ 141. ( 14

l -l |

I

(/

i /, 14)

l

14 ( 14, 28) 4- 2 8 7

R esulta divertido preguntarse qué será m ultiplicar p o r 5 o p o r 6: E-43:

¿D oblar y añadir el doble? ¿Añadir el doble del doble? ¿Añadir el doble y doblar?

C om pruebe su respuesta con los ejem plos que siguen: 6

x 7 = (7 4- 14, 21) 4- 21

5 x 7 = 7 + (14 4- 14)

3. Añadir un cero: L a m ultiplicación p o r 10 es ta n fácil (10 x 6 = 60) que se retiene inm ediatam ente. L a m ayoría de las veces com o un truco, sin saber p o r qué ocurre. T an to es así, que m ucha gente se sorprende de que baste con añ ad ir un cero y son incapaces de explicar p o r qué es así. F r e u d e n t h a l (1983, pág. 123) señala que hay que tener en cuenta, prim ero la conm utatividad: 10 doses son 2 dieces, 10 treses son 3 dieces, ... y después el hecho de que en nuestro sistem a de num eración decim al se prom ociona de 2 unos a 2 dieces, de 3 unos a 3 dieces, etc., sim plem ente añadiendo un cero a la derecha. 4. Cero y mitad: C u an d o se ha trab ajad o el doble y m itad, resulta cóm odo m ultiplicar p o r 5, m ultiplicando prim ero p o r 10 y hallando después la m itad del resultado: 5 x 6, (10 x 6) 60, (60/2) 30. H ay que hacer n o ta r que en el caso de los núm eros im pares hay un pelín de dificultad: 5 x 7, 70, 35. 5. Descomposiciones: Uno más: U n a estrategia frecuente, en p articu lar p ara el 6 y p ara el 3, consiste en increm entar un p ro d u cto próxim o m ás familiar: 6

x 8 , (5 4- 1) x 8 , 40 4- 8

3 x 8 , (2 + 1) x 8 , 16 + 8

Uno menos: C om o en el caso anterior, pero dism inuyendo un producto próxim o. Es u n a estrategia prácticam ente reservada al 9: (7 x 8 , (10 — 1) x 8 , 80 — 8 77

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Particiones: Efectuar la partición de los factores es una m an era de resol­ ver la situación acudiendo a factores m ás pequeños: x 7

4

4 y 4 4 veces 4 y 4 veces 4

4x4

+

4x4

3 veces 4 y 3 veces 4

3x4

+

3x4

y 3

C on esta estrategia se prevee de paso la elim inación del m isterio de la técnica de m ultiplicar núm eros de varias cifras. N ótese la analogía: 43 x 12

40 + 2 veces 40 +

2

3 2 veces 3

43 x 12 80

“ 86

+ 10

10 veces 4 0 + 1 0 veces 3

430

400 + 30 ■

+ 6. Patrones: Sin necesidad de efectuar ningún cálculo, sim plem ente rete­ niendo efectos llam ativos o chocantes se puede saber cuánto valen ciertos productos: Crece Decrece

Crece Decrece

1

1

X 9 = 09

9 9 = 11 x 9

x 9 = 18

1 0 8 = 12 x 9

x 9 = 27

1

1 7= 13 x 9

x 9 = 36

1

2 6= 14 x 9

1

3 5= 15 x 9

x 9 = 54

1

4 4 = 16 x 9

x 9 = 63

1

5 3= 17

x 9 = 72

1

6 2= 18

x 9 = 8 1

1

7 1= 19

1

8 0 = 20

Suman nueve o múltiplo de nueve

x 9 = 4 5

10 x 9 = 9 0

T > Uno menos

E-44:

L

1 Dos menos

A la vista de la tabla anterior, y sin efectuar el cálculo, diga el lector cuánto es 27 x 9. Compruebe y atrévase a enunciar una regla para multiplicar 9 por números de dos cifras.

78

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E-45:

Explicite todos los pairan#* ab»#rvables en la tabla del 91:

1 1 1

4 5 () 7 8

9 E*46:

* 91 K 91 * 91 » 91 X 91 X 91 X 91 X 91 X 91

--

4091 182 273 364 455 546 637 728 819

( 10) ( 11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18)

Explicite los patrones observables en la tabla del 3: 1 2

X X

3 4 5

X

6

X

7

X

8

X

X X

9

X

10

X

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

=

í; 06 09

=

12

= =

15 18

=

21

=

24 27 30

= =

11 12

X X

13 14 15 16 17 18 19

X

20

X

X X X X X X

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

= = = = = = = = = =

33 36 39 42 45 48 51 54 57 60

¿Coinciden los suyos con éstos?: Las decenas cam bian cada tres. Cada diez se repite la pauta de unidades. 12 y 21 que son simétricos distan 3 productos, 24 y 42, distan 6 , 15 y 51, 12, 27 y 72, 15 .. . ¿Algo más? E-47:

Com pruebe con la calculadora los siguientes patrones y complételos hasta que pueda decir algo sobre su campo de validez: 0 1 12

X

123

X

X X

1234 X

1 12

123 1234

c)

X X X X

9 9 9 9 9

+ + + + +

= = 3 = 4 = 5 =

111 1111

8 8 8 8

+ + + +

1 2 3 4

1 2

= = = =

1 11

0 1 11 111

X

11111

1111

X

9 98 987 9876

9 98 987 9876

X X X

X X X X

9 9 9 9 9

+ 1 = 1 + I = 10 + ! = 100 + 1 = 1000 + 1 = 10000

9 9 9 9

+ + + +

7 = = 5 = 4 = 6

88 888 8888 88888

32 = 9 = 332 = 1089 3332 = 110889 65652 - 56562 = 33332 = 11108889 6565652 - S656562 = 3333332 = 1111088889 652 - 562

79

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d) Si los trescs tienen un patrón, también lo tendrán los nueves. ¿Y ...? Busque, compare y si encuentra alguna relación entre ellos, dígalo. I2 ll2 til2 lili2

e)

= = = =

12321 1234321

Explique o justifique el siguiente patrón: 6 x 7 66 x 67 666 x 667

Sugerencia: f)

9 99 999 9999

1 121

66

= 42 = 4422 = 444222

= 2 x 3 x 11 y 3 x 67 = 201, 2 x 11 = 22

¿Es posible ir más allá con el siguiente patrón, por ejemplo para tres cifras? 3 3 3 3 3 3 3 3 3

X

1 =

3

X

X

2

=

6

X

X

=

9

X

X

3 4 5

X

6

X

=

12

X

= =

15 18

X

7

=

21

X

X

8

=

X

X

9

=

24 27

X

X

X

37 37 37 37 37 37 37 37 37

=

111

33

X

=

222

66

X

= =

333 444 555

=

666

=

777

=

888

=

999

99 132 165 198 231 264 297

X X X X X X X

3367 3367 3367 3367 3367 3367 3367 3367 3367

=

111.111

=

2 2 2 .2 2 2

= =

333.333 444.444 555.555

=

666.666

=

=

777.777

=

888.888

=

999.999

Nota: 3367 = 37 x 91

E-48: ¿Cuál es el número de una cifra que menos te gusta? ¿El 6? Entonces, lo vas a multiplicar por 12345679, y lo que te dé lo multiplicas por 9. ¿Qué te da? 12345679 x 6 abcdefghy x 9 6666666666

E-49: a)

¿Puedes explicar por qué? ¿Ocurre con otros números?

Explica los siguientes trucos: Para multiplicar por 5: 9 x 5, se halla la mitad de 9, 4,5 y se quita la coma, 45 8 x 5 , 4,0, 40 7 x 5 , 3,5, 35

80

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b)

P ara multiplicar por ft x 9, se halla la iniiml ilr mt»vi\ 4 ,\ hc le quila la coma, 45 y se le suma 9, 54 6 x 8 , 4,0, 40, 40 l 8 , 48 6 x 7, 3,5, 35, 35 I 7, 43 6

c)

P ara multiplicar por 4 4 x 9 , como en el caso anterior pero restando: 4,5, 45, 45 — 9,36 4 x 8 , 4,0, 40, 40 - 8 , 32 4 x 7 , 3,5, 35 - 7, 28

d)

Para multiplicar por 15 15 x 9, añadir un cero, 90, y sumar la mitad de lo que resulta, 90 + 45, 135. 15 x 8, 80, 80 + 40, 120 15 x 7, 70, 70 + 35, 105

é)

Para multiplicar por 11 11 x 9, se añade un cero, 90 y se suma 9, 99 54 x 11 = 540 + 54 = 594

Para multiplicar por 99:

f)

Para multiplicar por 99, se añaden dos ceros y se resta el multiplicando. g)

E-50:

Enuncia la regla para multiplicar por 998. También la multiplicación tiene su tablilla, aunque no se parece gran cosa a las de Lucas (pág. ???): 1

2

13 14 15

11 21

3"

22 ( 1

V

9

10

16 17 18 19 20

23 24 25 26 27 28 29 30

31 3*' 33 34 35 36 37 38 39 40 41 @ f 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Para multiplicar dos números, como por ejemplo 3 x 14. Se cuenta de cuatro en cuatro tres veces (4, 8, 12), a partir del 4. A continuación se desciende tres pasos en la columna del 12. Explique el lector lo que ocurre, y averigüe para qué números funciona y cómo.

81

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T odos estos trucos tienen un sitio en la escuela, haciendo que el niño juege con ellos, que intente descubrir algunos o que busque explicaciones se consigue que el cálculo deje de ser ru tin ario , se fom enta la utilización de estrategias y en cualquier caso se consigue, p o r lo menos, que adopte una actitu d m ás participativa de lo que viene siendo habitual.

3.3.

LA M U L T IP L IC A C IO N C O N LO S D E D O S

H ay u n a etap a interm edia en el aprendizaje de la adición en que se acepta que el niño recu rra a los dedos com o ay uda para «llevar la cuenta». T am bién es posible el recurso a los dedos en la m ultiplicación: • C ad a dedo está asociado a u n núm ero.

Figura 3.2

• P ara m ultiplicar dos de esos núm eros se ju n ta n los dedos correspon­ dientes h a sta tocarse. • Los dedos que se tocan y los que quedan p o r arrib a valen diez cada uno. • Los que q u ed an p o r debajo se m ultiplican: los de una m ano por los de otra. 10 + 10 + 10 + 10 + 10

3

2x3 Figura 3.3

82

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• Se sum an los resultados obtenidos: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 2 x 3 ¿Cuál es la razón de que esta vle|ti lóenle», muy p o pular en el renacim ien­ to (G a d n e r , 1984), no lo sea en la actualidad? N o vale ocultarse en el tem or a la dependencia de los dedos, hay arg u ­ m entos m ás poderosos com o por ejemplo, lo artificial e incom prensible que resulta, au n q u e no m ás que cualquiera de los algoritm os usuales en opinión de m uchos de nuestros escolares. Se puede d a r la vuelta al argum ento y hacer de él un problem a m atem áti­ co: ¿En qué se basa, en qué se fundam enta? ¿C'ómo pudo alguien descubrirla? ¿A donde nos conducirá utilizar estas preguntas com o punto de p artid a p a ra una v erdadera exploración? Justificación: U n a m ira d a al proceso m uestra que el p ro d u cto se obtiene a través de los com plem entarios a diez de los factores, y se ajusta o com pleta con un cierto núm ero de decenas. ¿C uántas? ¿? = ab - (10 - a)(10 - b) = 10a + 10¿> - 100 = 10((a - 5) + (b - 5)) Luego ab = (10 - a)(10 - b) + 10((a - 5) + (b - 5))

L a regla adquiere su significado digital, si im aginam os una m ano de diez dedos: (10 - 7)(10 - b) + 10(7 - 5)(¿> - 5)

Los 2 x 10 de 10 (7 — 5) se pueden obtener valorando a 10 los dedos que se tocan y los de arriba, que son dos. Los 3 de abajo que hay que multiplicar son los de (10 - 7). Figura 3.4

A ho ra bien, utilizar la regla de los dedos p a ra m ultiplicar p o r diez es rizar el rizo. Es m ás fácil a ñ a d ir un cero al m ultiplicando. ¿Se p o d rá m odifi­ car la regla p a ra que en lugar de asociar a los dedos los núm eros entre 6 y 10 asocie los núm eros entre 5 y 9? 83

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Es lógico pensar que sí, ya que la justificación algebraica m uestra que la regla es válida independientem ente del valor de a y b. P o r ejemplo, 7x6. 10 + 10 + 10 10 + 10 + 3 x 4

Figura 3.5 «Los de arrib a valen diez, y los que se tocan y los que quedan p o r debajo de éstos se m ultiplican entre sí». Y tam bién debe funcionar con núm eros m ayores. En efecto: 16 x 17 = 7 x 6 + 10(16 + 17 -

10)

R eiterando: 16 x 17 = 3 x 4 + 10(6 + 7 - 10) + 10(16 + 17 - 10) = 3 x 4 + 10 x 2(6 + 7)

N o es posible d isfrutar a h o ra de u n a bon ita expresión digital, pero al m enos es un buen algoritm o p ara cálculo m ental. E studiar la regla p a ra 26 x 27 y similares. Y después, ... D espués se puede llegar h a sta d o n d e se quiera: a x b = (100 - a) x (100 - b) + 100((a - 50) x (b - 50))

E-51:

Para hallar la tabla del nueve con los dedos, se extienden las dos manos, se asignan ordenadamente los números del 1 al 10 a cada dedo y se procede como sigue: 3x9

84

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«Se dobla el Icici-i dedo I n» que quedan extendidos dan el produc­ to. La cifra de las dcmuiN lu du el número de dedos a la izquierda del que se ha doblado y la cilla de las unidudes, el número de dedos que queda a la derecha.» ¿Puede justificar la regla?

Sugerencia, ver los patrones en la tabla de multiplicar.

3.4.

CALCULO P E N SA D O

3.4.1.

C álculo pensado aditivo

N o tiene sentido que el niño ap ren d a las com binaciones aditivas básicas, si no aprende a arreglar los núm eros p a ra p oder recurrir a ellas. D icho de o tra m anera, el niño debe ap ren d er un bagaje de m étodos y estrategias que le perm itan o perar, reduciendo la m anipulación de sím bolos a aquellos m ás conocidos o m ás fáciles. N atu ralm en te, la clave de to d o este proceso estará en la idea de valor de posición y la expresión m ultiplicativa del núm ero. Los m étodos y estrategias de cálculo m ental aditivo no son tan ricos y variados com o los m ultiplicativos, que es el cálculo m ental p o r excelencia. La m ayoría de ellos consisten en la descom posición de los sum andos, la alteración de su orden de colocación o la búsqueda del redondeo (trabajar con núm eros que arrastren ceros). 1.

Recolocación 47 + 8 6 + 53 + 14 = (47 + 53) + (86 + 14)

Se tra ta de recolocar m entalm ente los núm eros agrupándolos según las familias de sum andos de la u nidad seguida de ceros. 2.

Descomposición 77 + 148 = 70 + 7 + 130 + 18 = (70 + 130) -I- (18 + 2) + 5 243 - 75 = 100 + (100 - 75) + 43 = 100 + 25 + 43

El caso general consiste en descom poner uno de los térm inos p ara tra n s­ form ar la operación en o tra equivalente m ás cóm oda. 3.

Redondeo

Se tra ta de alterar los dos térm inos de la operación buscando el redondeo a ceros, al m enos de uno de ellos. En la sum a, es frecuente la com pensación: 85

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a ñ ad ir a un sum ando lo que se le q u ita a otro. En la resta, la conservación: a ñ ad ir o q u itar a iguales. a)

Compensación 57 + 38 = (57 + 3) + (38 - 3) = 60 + 35 57 + 38 = (57 - 2) + (38 + 2) = 55 + 40

b)

Conservación • A ñadiendo (R edondeo p o r arriba) 547

_ 189 = (547 + 1 + 10) - (189 + 1 + 10) = 558 - 200

O bsérvese el paralelism o con el m étodo seguido en el algoritm o estándar:

-

47 29

4 -1 0 + 2

10 + 7 9

L lam a la atención el hecho de que aunque de las dos m aneras se añade la m ism a cantidad, en u n caso es p a ra buscar ceros lo que co n trasta fuerte­ m ente con lo tem idos que son en el o tro caso, el del algoritm o usual:

-

1007 328

• Q u itan d o (R edondeo p o r abajo) 252 - 59 = (200 + 52) - (52 + 7) = 200 + (52 - 52) - 7 4.

Conteo

C uando se tiene u n a cierta destreza, resulta cóm odo tra b a ja r de izquier­ d a a derecha m anejando cientos, dieces y unidades: a)

Ascendente • 283 + 435: (283 + 400), 683 + 30, 713 + 5, 718 (Expandido). • 283 + 435: (2 + 4), 6, 683 + 35, (68 + 3), 71, 713 + 5, 718 (Breve). • 82 — 74: D e 74 a 80, 6 y 2 m ás, 8 ( Global).

b)

Descendente D istancia: 62 -

27: D e 62 a 60, 2, de 60 a 30, 30, de 30 a 27, 3. T otal, 2 + 30 + 3, 35.

86

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Elim inación: 62 — 27: A 62 le quilo 20, 42, y le quito 7, 35. E sta estrategia ha de tenerse en eucnta p ara rebatir la afirm ación de que sólo es posible sum ar unidades con unidades, decenas con decenas, etc. En el ejem plo expandido (a) se ve que lo que se sum a es un núm ero con las centenas del o tro y luego con sus decenas, y luego con sus uni­ dades.

E-52:

Describe la estrategia seguida en los ejemplos siguientes: 1) 371 + 634 = 1000 + 1 + 4. 2) 615 - 234: (615 - 200), 415, -3 4 , (415 - 30), 385, - 4 , 381. 3) 73 - 27: 53 - 7, 56 - 10, 46

3.4.2.

C álculo pensado m ultiplicativo

L a m ultiplicación es p o r excelencia la operación del cálculo m ental. Aquí es donde los fam osos profesionales del cálculo m ental u ltrarrápido, Aitken, C olbum , etc., hacían gala de sus m ejores recursos. En lo que sigue destacarem os tres grandes m étodos y varias estrategias p ara cada uno de ellos. C om o referencia nos hem os apoyado en la clasifica­ ción establecida p o r H ope (1987 y 1985), y en n uestra propia im presión acerca de los m ovim ientos fundam entales de cada estrategia. Las denom ina­ ciones vienen sugeridas p o r estos m ovim ientos.

1.

Como con lápiz y papel 25 x 48: «5 x 8 es 40, llevo 4, 5 x 4, 20 y 4, 24 y el cero 240, 2 x 8, 16 llevo una, 2 x 4, 8 y 1, 9, y el 6, 96. Sé que 96 se pone debajo de 240 pero corrido un espacio, en to tal 1200.»

Se tra ta de m anipular m entalm ente los sím bolos com o en la form a escrita. En la estrategia general se actú a dígito a dígito y se efectúa la sum a final im aginando la disposición que tendría con lápiz y papel. 87

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En el caso de que un factor sea de u n a cifra, el orden de actuación se invierte: 8 x 4211: «(8 x 4) es 32, (8 x 2) es 16, 336, (8 x 1) es 8, 3368, (8 x 1) es 8, 33688» Q uizá sea p o rq u e se sigue m ás de cerca el orden posicional del núm ero, y porq u e se libera m ás m em oria de co rto plazo al actualizar y alm acenar los d ato s a m edida que se in corporan los cálculos parciales. El secreto está en que sólo se conserva el últim o d a to obtenido. Variantes: a)

Repetición de grupo. 25 x 48: «5 x 8 es 40, llevo 4, 5 x 4, 20 y 4, 24, y el cero 240 y 2 x 48 (doblando), 96. Sé que 96 se corre un espacio..., etc.» «48 x 25, 8 x 25, 200 y 4 x 25, 100, pero este últim o se corre un espacio. T o tal 1200.»

b)

Partición: «5 x 48, (10/2) x 48, 240 y 2 x 48 que es 96, este últim o se corre un espacio. T o tal (24 + 96 y se añade el cero).»

c)

Arrastre. 8 x 999: «Sé que 8 x 9 es 72, después 72 y 72 en diagonal, to tal 2 y a su izquierda (7 + 2), 9, 92 y a su izquierda (7 + 2), 9, y p o r últim o 7. T otal 7992.» E sta es u n a estrategia m uy ráp id a y de poco coste en m em oria. Aplicable cuando se está an te prod u cto s parciales que se repiten. Sólo hay que im aginar la disposición en que quedarían si se escribie­ se el cálculo sobre un papel. Ejercítese el lector resolviendo el siguiente ejemplo: 1x1 = 1 11 x 11 = 121 111 x ' l l l

=

...

1111 x 1111 = . . . 11111 x 11111 = . . .

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2.

Distribución

Se tra ta de transform ar uno o más factores en sum as o diferencias con el fin de aplicar la propiedad distributiva. La estrategia general se lim ita a descom poner el núm ero en su forma m ultiplicativa o polinóm ica: 8 x 4211: «(8 x 4Mil), 32Mil, (8 x 2Cicntos), M il óCientos, total 33MÍ1 óCientos, (8 x 10), 80, total 33Mil óC ientos 80, (8 x 1), 8, total 33688.» O tras estrategias siguen el criterio de buscar equivalentes num éricos a p artir de sum as, diferencias, expresiones cuadráticas o binarias, que im pli­ quen cálculos especialm ente sencillos. a)

Aditivas. 25 x 48: «25 x (40 + 8), 25 x 40 que es 1.000 m ás 25 x 8 que es 200. T o tal 1.200»

b)

Sustractivas. 25 x 48: «25 x (50 — 2), 25 x 50, 1.250 m enos 25 x 2, 50. T otal 1.200»

c)

Cuadráticas: Se tra ta de apoyarse en alguna de las siguientes form as cu a d rá ­ ticas: (a + b)2 = a1 + lab + b2 (a — b)2 — a2 — lab + b2 (a + b)(a — b)= a2 — b2 49 x 51: (50 Total 2.499

E-53:

+1)(50 - 1), que es 502 - l 2.

Explica la estrategia seguida en el siguiente ejemplo: 986 x 997 = (986 - 3) x 1000 + 3 x 14 = 983000 + 42

89

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E sta estrategia es extrem adam ente sencilla cuando se tra ta de calcular cuadrados: 432 = (43 -

3) x (43 + 3) + 32 = 46 x 40 + 32

y alcanza el g rad o de magnífica cu an d o se tra ta de hallar el cuad rad o de un núm ero de dos cifras acab ad o en cinco: «M ultiplicar la cifra de las decenas p o r sí m ism a au m entada en u n a unidad y a ñ ad ir a la derecha del resultado 25.» 852 es 8 x (8 + 1), 72 y añadien do 25 se tiene 7.225

E-54:

Explicar la regla anterior. (Sugerencia: (10a + 5) x (10a + 5))

d)

Agrupam iento binario. 15 x 52: «15 x 50, 2 cincuentas son 100, 4 cincuentas 200, 8, 400, 16, 800, com o son 15, son 800 m enos 50, 750 y 15 x 2, que es 30 m ás 750, son en to tal 780.» Variantes: 25 x 48 «(20 + 5) x 48, 20 x 48 que es 960 (Aditiva, repetición de grupo y a rrastre de ceros) y 5 x 48, (10/2) x 48 (Partición), 240. T o tal 1.200.»

3.

Factorización

Se tra ta de sustituir u no o m ás de los factores p o r un equivalente num éri­ co en form a de serie de prod u cto s o cocientes. L a estrategia general consiste en la descom posición factorial y la posterior aplicación de las propiedades asociativa y conm u tativ a de la m ultiplicación respecto de la suma. 25 x 48: «5 x 5 x 48, es tam bién 5 x 5 x 6 x 8, (5 x 8)(5 x 6), 40 x 30. T o tal 1.200.» 90

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a)

D o b le y m itad. 25 * 4H: «Sé que es igual a M) x 24 y ah o ra caben varias estrategias por ejem plo: 100 x 12, 200 x í>. 400 x 3. T o tal 1.200.»

b)

P artes alicuotas. 25 x 48: (25 x 4) x (48/4), que es 100 x 12. T o tal 1.200»

Es u n a extensión de la estrategia anterior; es útil en aquellos casos en que se trab a ja con núm ero com o 25, 50, 125, etc. P o r últim o, cabe destacar que con la ejercitación, con la práctica, acaban m em orizándose algunos resultados m ás o m enos frecuentes o curiosos. Es el caso de ciertas potencias o ciertos núm eros mágicos. E n estos casos la característica fundam ental del cálculo m ental es que no hay que calcular. Si conoce la progresión de potencias de 5: «25, 125, 625, 3.125, . . . . » Entonces: 25 x 125 = 3.125, ya que 3.125 = 55 = 52 x 53 = 25 x 125 Si se sabe que 143 = 1001/7. Entonces: 777

x 143 =

777 x (1001/7), que es l i l i l í

A veces se prefiere recurrir a u n a especie de equilibrio: P a ra calcular 25 x 48 es m ejor calcular 24 x 50, que es m ás fácil y vale lo mismo. En efecto, a 25 x 48 le faltan 2 veces p ara tener 25 x 50, y a 24 x 50 le faltan u n a vez 50 p ara tener 25 x 50.

3.5.

EX PL O R A N D O E N ARITMETICA

La m aravillosa regla de cálculo m ental cuad rático p ara hallar los cu ad ra­ dos de núm eros de dos dígitos acabados en cinco, adm ite una transcripción 91

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escrita que perm ite actu ar p o r colum nas com o en el algoritm o de la a d i­ ción: 85 85 72 | 25

7.225

Sería bueno que esta regla fuera aplicable a otras parejas de núm eros: 84 x 86

8

+ 1 =

9 x 8

4 6

72 24

——

7.224 (Compruebe con calculadora)

83 x 87

8

+ 1 =

9 x 8

3 7

72 21

-♦

7.221 (Compruebe con calculadora)

X

OO oo

82

8

+ 1 =

9 x 8

2 8

72 16

——

7.216 (Compruebe con calculadora)

P a ra desconcertar a m is alum nos y p ro v o car la exploración, solicito un núm ero de dos dígitos a la audiencia, el otro, naturalm ente lo pongo yo. D espués les m uestro m i habilidad y dejo caer el truco. Su trab ajo consiste en determ inar el cam po de validez y ver si es posible extender la regla aunque haya que m odificar las condiciones de partida: ¿Se atreve a lanzar u n a conjetura? H ag a algunos ensayos con su calcula­ d o ra p a ra asegurarse. «La regla es válida p a ra núm eros de d os dígitos con las cifras de las decenas iguales y tales que las cifras de las unidades sum en diez.» Justificación:

A unque n o es necesario cabe la posibilidad de recurrir al algebra: (10a + b) x (10a + c) = 100a2 + 10ab + lOac + be = 100a 2 + + 1 0 a(ú + c) + be = 100 a 2 + 1 0 0 a + be = 100 (a(a + 1)) + be b + c = 10 92

i

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A unque se p o d ría haber íttlenliulo con números: (80 + 4) (80 + 6) = ... y después, si lo que se quiere es una dem os! ración b asta con poner una letra donde hay u n núm ero. P a ra extender la regla a sil naciones menos restrictivas es bueno proceder sistem áticam ente, m odificando los datos paso a paso (G r e e n w o o d , 1977). 1.

L a cifra de las unidades no sum an diez:

Caso

Diferencia con 33 x 37

Resultado calculadora

Resultado regla

Diferencia resultados

33 x 38

1

1.254

1.224

30 = 1 x 30

33 x 39

2

1.287

1.227

60 = 2 x 30

34 x 39

3

1.326

1.236

90 = 3 x 30

Resultado regla

Diferencia resultados

Lance la conjetura. 2.

L a cifra de las decenas no son iguales:

Caso

Diferencia con 33 x 37

43 x 37

1

53 x 37

2

43 x 37

3

Resultado calculadora

C om plete la tab la y haga la conjetura. 3. N i las cifras de las decenas son iguales, ni las cifras de las unidades sum an diez. ¿Q ué puede decir sobre ello? C uan d o la técnica se dom ina se puede a d a p ta r al cálculo m ental de un am plio surtido de núm eros (M o o r e, 1986, G óm ez y Jaime, 1983). T am bién se puede actu ar asi:

X Ui oo

33

4 2+ 1 x 3 8 12 16 93

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6 3 x 5 7+ 5 30 [ 21 —

53 x 62

82 x 86

->

3.021 + 5 x 53 (265) = 3.286

82 x 88 - 82 x 2 = 7.216 + 164

E n p articu lar con decimales: 4,9 x 6,1 = 4 , 9 x 4,1 + 4 , 9 x 2 Y con núm eros de m ás cifras: • Las unidades sum an diez 757

76 X

x 753

75 + 1 7

7

x 75

3

3

i

1 7 5 5 75 3 5.625 | + 75 | 21 8 x 7

Sum an 100 738 x 762

8 x 7 56

38 62 (50

12) x (50 + 12) = 502 -

122 = ...

C o n c u atro cifras, con cinco ...: 1.075 x 1.025

3.6.

11 75 x 10 25

15.120 x 15.880

16 x 15

120 880

LAS TABLAS D E D O BLE EN TR A D A

Los h um anos no solem os p restar atención a m ultitud de cosas que nos son familiares. Es conocida la an écd o ta del m arido contestando a la esposa que al regresar de la peluquería, le pregunta: ¿M e encuentras diferente, cariño? ¡Que falda ta n b o n ita te has com prado! C ontestó él. El alm acenam iento de d ato s num éricos en contacto unos con otros no suele d espertar ningún entusiasm o en nuestros alum nos h a sta que com ien­ zan a descubrir su m agia. Las tablas de doble en trad a d a n pie a una exploración en busca de efectos observables, recurrencias o p atrones dignos de ser resaltados y que, cuando m enos,-acostum brarán a ver cuando se m ira a los que están h ab itu ad o s a m irar y n o ver; algo que requiere cierto adiestram iento. 94

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C ualq u iera que haya planlem ln en mi eliise este tipo de ejercicios se h ab rá percatad o que al principio el alum no no ve nada y no sabe tam poco que es lo que tiene que m irar, peto en cim illo empieza a percibir las prim eras curiosidades, su trabajo se vuelve 11enético c im parable. El alum no puede con sln u i su piopia tabla c iniciar la búsqueda en cualquier dirección. El tam año es a discreción aunque depende de los efectos que se q uieran estudiar. C onviene resaltar con colores o recuadros los descubrim ientos, de esa m anera se deja constancia de los mismos y se constituye un registro de conocim ientos fácilm ente disponibles sin necesidad de ser m em orizados. 1. E n el caso de las tablas de sum ar y m ultiplicar un prim er efecto que hay que pon er en evidencia es que las operaciones inversas están implícitas. Sobre la tabla, los extrem os son los sum andos o factores, y los núm eros que aparecen en las casillas interiores, las sum as o productos. P o r lo tanto, p ara hallar la resta y el cociente sólo hay que buscar el extrem o correspon­ diente conocidos los o tros datos, es decir el sum ando perdido o el factor perdido.

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14

7 8 9 10 11 12 13 14 15

8 9 10 11 12 13 14 15 16

9 10 11 12 13 14 15 16 17

10 11 12 13 14 15 16 17 18

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81

2. En la tab la de sum ar se puede co n tin u ar resaltando la diagonal principal (descendente de izquierda a derecha). ¿Q ué m uestra? • Los dobles. • La sim etría de la tabla. ¿Qué significa to d o ello? 3.

¿Q ué ocurre con las diagonales en general? ¿P or qué? • Los d ato s son todos pares o im pares. • Las ascendentes de izquierda a derecha son constantes. • La secuencia de sum as de todos los núm eros de cada una de ellas es fácil de recordar si se tiene en cuenta la regla que siguen. 95

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4. En la figura se ha señalado el cu ad rad o A. El cuad rad o B es el siguiente, que contiene al cu ad rad o A; C es el siguiente cuadrado, y asi sucesivamente:

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

oo 1

1

i

50

2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 D 4— 5— 6— 7— 8— 9 C 1 9 10 B 1 1 6— 7— 8— 9 10 11 1 1 1 A 1 7l i8—l 9i 10 11 12 \ ¿ i — 10 11 112 l'31 i 9— 10— 11— 12 13 14 i — 10— 11— 12— 13— 14 115 — 110 0— — 11— 12— 13— 14— 15— 16 1 2 3— 4— 1 5 1 6

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

a) C alcule el lector la sum a de los d ato s que están en el perím etro de cada cuadrado; ¿cóm o es la sucesión de núm eros obtenida? b) D ivídase cada u n a de las sum as anteriores entre el perím etro del cu ad rad o A; ¿qué sucesión se obtiene ahora? c) C uéntese el núm ero de d ato s que hay en el perím etro de cada cu ad ra­ do ¿cómo se relacionan con los d ato s de la sucesión anterior. d) R epitiendo el proceso a p a rtir de o tro cu ad rad o de cu atro cifras ¿se obten d rán nuevas regularidades? e) Tal vez to m an d o rom bos en lugar de cuadrados pase algo similar. Anímese, rodee el 8 con un círculo y com ience a dibujar rom bo tras rom bo en orden creciente. f ) H ay o tras posibilidades — en m atem áticas no se acaba nunca— , búsquense regularidades sobre las figuras que aparecen dibujadas en la tabla; e incluso, si el lector es peleón, puede p ro b a r con las figuras que se le ocurran.

D 0

1

2 —

2

i

V

i

' -

E

3 —

4

5

6 —

6

1

1 —

A

9

A 1 —

¿ ¿ - 'i

i 5

5 —

7

- 4

6

—

7 -

i ' - ' i i

'

5

6

\

6

7

A —

'

v

9

10

9 —

l 'o

11

10

11

12 13

i

10

11

12

l io

11

12

13

12— r N .

13—

14—

8' '

/8 / v 9 s 9

> 8

i

-

7

8

9

10—

8

9

1 0 .

11—

9

10

11

12

10-

- T 1!

11

12

13

1v l500l

Xx)—f5l—O —ííój

Escriba otras. E - 60:

Sustituye por números para que sea verdad que TOC x TOC = ENTRE

E- 61 :

Haga el favor de completar las operaciones: 1 2 .. x

x

132 99

.9

.. .32

E- 62:

Siga hasta el final según el esquema. ¿Qué estrategia se emplea? ¿Cuándo conviene pararse?

E- 63:

La respuesta a 482 — 153, aparece misteriosamente debajo de una suma. ¿Cuál es el método empleado? 482 153

E-64:

+

282 47 329

Podemos separar los dígitos 1, 2, 4, 7 y 8 en dos grupos de tres o bien en tres grupos de dos, manteniendo su orden. Estos grupos pueden sumarse: 124 + 578 = 702 ; 12 + 45 + 78 = 135

Reordénense los mismos dígitos de modo que al separarlos en dos grupos de tres y en tres grupos de dos las sumas respectivas sean 999 y 99. ■ 100

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E-65:

Si el número 234705 lo puntillón por la mitad, la suma de sus dos partes: 234 y 765 suman *>*>*> Podemos com probar con una calculadora que este número es divisible enlie *W, ¿se trata de una coincidencia?

E-6 6 :

La mayoría de la nenie i relíenla que 365 es el número de los días que tiene el año, pero cimillos saben que es la suma de tres cuadrados consecutivos. Hállense. También es la suma de ríos cuadrados consecutivos. ¿Cuáles? ¿Conoce algún otro número al que le ocurra algo parecido?

E-67: n)

32 22 = 3 + 2 4 2 — 32 = 4 + 3 52 — 42 = 5 + 4 ¿Se cumple siempre? ¿Por qué? Continúe cada uno de estos patrones:

32 - O2 = 9 4 2 - l 2 = 15 52 — 22 = 21

52 - l 2 = 24 — 22 = 32 1

62

UK J> II -fe. O

1

Tt* II o

(M (N

32 - l 2 = 8 4 2 — 22 = 12

vi

b)

72 — 22 = 45 — 32 = 55 92 — 42 = 65 82

101

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4. Los algoritmos

4.1.

L O S A L G O R IT M O S

Pocas veces se puede en co n trar en m atem áticas un térm ino ta n m al definido y sin em bargo con ta n ta s definiciones. Parece com o si cada vez que sé quiere explicar lo que es, cada cual hiciera de su capa un sayo y o p tara p o r cualquier argucia que le perm itiera salir del paso:

• La etimología: Algoritmo: Latinización del nombre del matemático persa A l Khwarizmi, autor, allá por el año 830 d. de C., de un libro titulado en su versión latina «Algoritmi de numero indorum» reelaborado como «Líber algorismi de practi­ ca arithmetica» por Juan de Sevilla en el siglo x n ( R e y P a s t o r y B a b in i, 1984, pág. 159), considerado como la mayor contribución a la divulgación en occidente de los métodos y numerales, guarismos (perversión de Khwarizmi), del sistema numérico índico, llamado indo-arábigo. La corrupción del título de otro de sus libros «Hisab al-jabr w ’al-muqabala» es el origen de otra palabra de uso corriente en la actualidad: Algebra (al-jabr).

•

El circunloquio: Con frecuencia las operaciones aritméticas elementales implican números de más de una cifra. Como no es posible memorizar todos los resultados, se hace necesaria alguna form a de organizar las expresiones numéricas que con intervención de alguna técnica permita procesarlos. Organización y técnica, configuran un mecanismo que hemos dado en llamar algoritmo. 103

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• E l m isterio:

«La pulalmi algoritmo significa tanto procedimiento escrito de cálculo basado en ana determinada escritura de signos, dentro de un sistema armónico que ejecuta automáticamente una parte del trabajo mental que nos hace accesi­ bles regiones que nuestra imaginación no podría jamás fácilmente alcanzar, o por ¡o menos, en que podría extraviarse.» (C o le ru s ,

E., 1959, pág. 7)

• Los ejemplos: Un problema habitual, susceptible de repetirse con cierta frecuencia, a falta de modificar algunos datos, genera una respuesta algorítmica: ¿Qué hacer para cambiar la rueda delantera del coche? • Abrir el capó. • Sacar la llave. • Sacar la rueda de recambio.

¿Qué haría si tuviera que cambiar la rueda trasera? Por supuesto, lo mismo. ¿No?, pero en la rueda trasera.

• Lo cotidiano: Es un error creer que un algoritmo necesariamente describe una operación aritmética. Hoy en día, con el extendido desarrollo y uso de los ordenadores, la importancia de los algoritmos va más allá del dominio de las propias matemáti­ cas. Instrucciones para cómo manejar una lavadora, o como prepara un pastel pueden servir, también, como ejemplos de algoritmos.» ( P e a rla N e sh e r,

1986, pág. 2)

• La ironía: Algoritmo: un procedimiento para realizar un problema, por lo común a base de repetir pasos enormemente aburridos a menos que un ordenador los realice por usted. Aplicamos algoritmos al multiplicar dos números grandes, al hacer las cuentas de la casa, al lavar los platos o cortar el césped. (M a rtin G a d n e r,

104

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1984; pág. 10)

4.2.

L o s a lgoritm os do lá p l/ y pnpd

E sta es la denom inación que em pleam os a m enudo p a ra referirnos a los algoritm os usuales de cálculo de la cnschan/.a elem ental, las cu atro reglas. N o hay am bigüedad en llam ailos asi, ya que probablem ente son los únicos algoritm os que se enseñan en la m ayoría ele nuestras escuelas. Técnicam ente: «Un algoritm o es una serie finita de reglas a aplicar en un determ inado orden a un núm ero finito de datos, p ara llegar con certeza (es decir, sin indeterm inación ni am bigüedades) en un núm ero finito de etapas a cierto resultado, y esto independientem ente de los datos. P o r lo tan to , un algoritm o no resuelve solam ente un problem a único sino to d a un a clase de problem as que no difieren m ás que p o r los datos, pero que están gobernados p o r las m ism as prescripciones.» (B o u v ier , A. y G e o r g e , M „ 1984).

H istóricam ente, los algoritm os en su origen fueron los que se elaboraron para resolver las operaciones de sum ar, restar, m ultiplicar y dividir, sin em plear elem entos auxiliares com o el ábaco o los dedos, y contando única­ m ente con los d atos de las tablas correspondientes p a ra cada una de las operaciones y unas pocas reglas. D ichas reglas de cálculo, que perm iten extender las operaciones con dígitos a operaciones entre núm eros de cuales­ quiera cifras, son los algoritm os de las operaciones. N u estro aprendizaje de cada u n a de las operaciones está tan ligado a su algoritm o que se suele confundir cada operación con el algoritm o usual que la resuelve. P o r eso mism o, nos resulta a veces ta n extraño co m probar que hay varias técnicas distintas p a ra resolver u n a m ism a operación. Tam bién estos algoritm os que hoy día conocem os, que em pleam os con ta n ta facilidad y que nos parecen la q u in ta esencia de cada operación, son un producto histórico. N o siem pre se h a calculado com o hoy día lo hacemos. N uestros algoritm os actuales son p ro d u cto de u n a tecnología específica: la del lápiz y el papel, o la de la tiza y la pizarra, que es similar. C uando se calculaba sobre arena o ceniza los cálculos fueron distintos, al igual que eran distintos cu ando se realizaban con el ábaco; e igualm ente en un futuro — con la integración de la calculadora en el currículo escolar— los algoritm os volverán a v ariar (de hecho ya se están produciendo variaciones con el ab an d o n o de las m ultiplicaciones y divisiones excesivam ente largas). T am poco en tod o s los casos nuestros algoritm os usuales son la versión m ás sencilla que puede em plearse p a ra llegar a un resultado (por ejemplo, la m ultiplicación con el m étodo de la celosía es evidentem ente m ás sencilla). Sin em bargo «los algoritm os que em pleam os en la actualidad constituyen un sistem a coherente, que se aju stan a unas reglas com unes, evitando que en cada caso se sigan esquem as distintos. En cu anto a la presentación, se colocan consecutivam ente los térm inos de la operación que se va a realizar, en un o rden creciente y en posición vertical — excepto para la división, en 105

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donde el divisor se coloca a la derecha del dividendo y separado de él p o r un caja— . Se va o p eran d o de derecha a izquierda en todos los casos, es decir, com enzando la operación por las unidades de orden inferior y avanzando consecutivam ente a las de m ayor orden; de nuevo la división presenta una excepción inicial ya que se com ienza a dividir p o r las cifras de m ayor orden del dividendo, y p o r ta n to a form ar el cociente p o r sus cifras de m ayor o r­ den, pero a p a rtir de ahí el esquem a se coo rd ina con el de las dem ás operaciones ya que la cifra del cociente se m ultiplica por el divisor de m odo creciente y se va restan d o del divisor en el m ism o orden». (C a s tr o , E. y otros, 1985).

• Características Los algoritm os de lápiz y papel se caracterizan porque son: 1.

Escritos, en el sentido de que permanecen sobre el papel y pueden ser corregidos.

2.

Regulares o estándar. Todo el m undo los hace igual.

3.

Abreviados. Resumen varias líneas de ecuaciones ocultando pasos que tiene que ver con las propiedades asociativa, conm utativa y distributiva.

4.

Automáticos. N o hace falta pensar, ni reflexionar. Ni siquiera necesitan ser com prendidos para poder ser ejecutados.

5.

Simbólicos. Se trata de m anipular símbolos sin referencia alguna al m un­ do real.

6.

Generales, en el sentido de que funcionan con cualquier número.

7.

Analíticos. Los números se consideran rotos, descompuestos. Las cifras se m anipulan separadamente.

8.

Tradicionales. Son «los de toda la vida».

9.

De confianza. Porque funcionan siempre.

10 .

4.3.

Familiares. Son los nuestros, los de nuestros padres y abuelos.

LOS A LG O RITM O S E N EL CU R R IC U LO

• El pasado reciente: Un mundo plácido

,i T radicionalm ente la p rio rid ad en las m atem áticas escolares era las cuatro reglas y sus aplicaciones a los problem as de pesas y medidas. Esta era una referencia p ara considerar a alguien «educado». Cálculo era sinónim o de M ate­ 106

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máticas. L os padres se scnlimi t ul l klcvlioN, entendían los m anuales que sus hijos estu d iab an y lo que un din tur bueno para ellos era bueno p ara sus vástagos. L a introducción a los ¡dgoiiliuos eran tan breve que casi no existía, prácticam ente se reducía a la propia m anera de ejecutarlos. Aprendizaje era sinónim o de ejercitación, de entrenam iento. Los niños eran adiestrados m ás que enseñados. R epetir, repetir y repetir. • Ayer: Lo moderno. La matemática moderna. La enseñanza moderna de la matemática. La moderna enseñanza de la matemática En 1957 la U R SS lanza su prim er Spuknik y el m undo occidental dom i­ nado p o r los E E .U U . se inquieta ante su retraso tecnológico. La m oderniza­ ción ind u strial está despegando. En 1959 la O C D E , un organism o económ i­ co, organiza un sem inario: «El coloquio de R oyaum ont» cuyo objetivo es prom over u n a reform a del contenido y de los m étodos de enseñanza de la m atem ática. E n 1967-1968 la reform a está en ebullición, se crea el C.I.E.M . (Com isión internacional p a ra la enseñanza de la m atem ática). Los sucesos de m ayo del 68 p onen nerviosos a los gobiernos. El sistem a escolar se tam balea. En 1970-1971 salen a la luz los nuevos program as. L a tecnocracia al poder. L a ideología es el progreso técnico, hay que elevar el nivel y las m atem áticas son el in strum ento. Lenguaje y razonam iento, las m atem áticas enseñan a pensar, son el lenguaje de la ciencia, la vía de acceso p a ra com prenderla. H ay m atem áticas en todo, pero n o cualquier m atem ática, sino la m atem ática de nuestro tiem po, la m atem ática m oderna. Lógica y estructura. P robabilidad y estadística. A lgebra y topología. C u an to antes se les dé a los niños mejor. E n este ord en de cosas ¿qué ocurre con los algoritm os? C om o se h a señalado en el prim er libro de esta colección, la falta de propuestas didácticas clam aba al cielo. Las orientaciones m inisteriales no fueron m ás allá de: — Prim er nivel: Adición de núm eros, sustracción de núm eros. P roblem as y ejercicios sim ultáneos. A utom atism o de dichas operaciones con n ú ­ m eros de u n a y dos cifras. — Segundo nivel: M ultiplicación de núm eros naturales. A utom atización de esta operación. — Tercer nivel: D ivisión entera. A utom atización. ¿Q ué cabe esperar con este planteam iento? ¿Cóm o hay que lograr estos objetivos? *3 L a respuesta viene de la m ano de las editoriales comerciales. Pedagogos y psicólogos se in co rp o ran a la redacción de los libros. ¿Qué dicen los m ate­ m áticos profesionales? A parecen en el m ercado m u ltitud de textos, diferentes 107

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líneas, incluso procedentes de la m ism a editorial. N o hay que perder «cuota de m ercado». Se intenta satisfacer ta n to a la parte m ás inerte del sistem a escolar com o a la más innovadora. ¿Q ué libro dam os este año? ¿Con qué criterios se elige? C'omicnza la función.

• ¿Qué está pasando aquí? La reform a puso a las m atem áticas en su p u nto de m ira. Le pusieron apellido: m odernas, y lograron que lo que tenia p o r objetivo: «P ro p o rcio n ar m ás y m ejor educación a todos los españoles a través de la expansión y dem ocratización de la enseñanza, p o r un lado, y de la elevación y m ejora­ m iento de su calidad y del rendim iento educativo por otro» (O rden de 2/12/70 del M EC. O rientaciones Pedagógicas p ara la EGB) se convirtiera en una enseñanza form alizada en extrem o, desprovista de todo soporte intuitivo y reforzadora del papel selectivo de las m atem áticas. L a reform a p ro d u jo desorientación en el trab ajo escolar, inseguridad en la evaluación de los alum nos, enfrentó a los enseñantes, hizo cotidiana la expresión fracaso escolar y cuestionó el papel de la m atem ática en la socie­ dad y en la escuela. D iversas corrientes y tendencias com enzaron a aflorar, desde los conser­ vadores que afirm aban que cualquier tiem po p asado era m ejor, h a sta los que se refugiaron en la historia com o terapéutica co ntra el dogm atism o; ir a las fuentes, ir a la form a com o se ha elab o rad o la m atem ática, ésa es la m anera de darle sentido. Algunos p artid ario s de la reform a dijeron que se hab ía pervertido el espíritu de la m ism a y buscaron refugio en la pedagogía m oderna. La p alab ra clave es estructura, y Piaget el sum o pontífice. El aprendizaje de las estructuras m atem áticas debe co rresponder al desarrollo de las estructuras intelectuales del niño. El problem a es que Piaget habla de pedagogía activa, la actividad es el m o to r del desarrollo intelectual. D e la acción a la ab strac­ ción. ¿C óm o se com pagina esto con la idea de la m atem ática com o lenguaje? «Las m atem áticas, al fin y al cabo, no son m ás que juegos sobre escrituras» (P ic a r d y G ir o n e t , 1976, pág. 3) Se inventa lo que se llam ará el juego lógico. Las ideas de D ienes y su m aterial, los bloques lógicos y los bloques m ultibase e n tra n en escena. Es la m oda en el 75-80.

• La respuesta oficial: ¡Pepito no sabe sumar quebrados! En 1981 se rep lan tea la progam ación. C o n la denom inación, program as renovados, se reord en a la E G B buscando la racionalización, entendida com o eficacia: «Es necesario reconocer que n o se han _alcanzado las .cotas de 108

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rendim iento que serían desenfile»» (K.I). ‘>-1-81). El caso es que se dictan unos niveles básicos de icloiom ití que los ulum nos deben alcanzar y se establece u n a lista de actividades oiicn laliv as p ara alcanzarlos: Propuestas cuatro opcriieumes de simias indicadas, el alumno ha de disponerlas adecuadamente poro lo sum o r realizar ésto. Después se le dirá que cambie el orden de los sumandos r compruebe el resultado. (...)

Iniciar la automatización de ¡o operación de multiplicar por un cifra. Realizar multiplicaciones mentalmente por la unidad seguida de ceros. Hallar con ma­ terial y mentalmente doble-mitad, triple-tercio. (...)

Iniciar la automatización de la división cuando en el dividendo hay hasta dos cifras y en el divisor una.»

N o conviene d ejar n ad a en el tintero. Así que tam bién se señala la secuencialización adecuada que hay que seguir: 1.

2. 3.

Exposición de lo que significa la operación y la relación que tiene con la teoría de conjuntos p a ra que la operación tenga un sentido p a ra el alum no. L a traducción sim bólica de la misma. L a autom atización de la operación, conocer el algoritm o, saber cóm o se realiza.

• Enseñar comprensiblemente Si hay un m ensaje claro en la literatu ra escolar de los años 75-80 es que hay que incidir en la com prensión. Eso sí, no todos entienden lo m ism o por com prensión. P a ra unos, se tra ta de com prensión instrum ental, es decir saber aplicar las reglas en cada caso concreto sin necesidad de tener que com prender su funcionam iento. P a ra otros, com prensión relacional, saber qué h a de hacerse en los casos concretos y estar en condiciones de relacionar estos procedim ientos con conocim ientos m atem áticos m ás generales, propie­ dades de la num eración de posición, propiedades de las operaciones: asocia­ tiva, conm utativa, etc. U nos cuan to s h ablan de com prensión integral, saber reconstruir el cam ino que conduce al resultado conociendo las razones de los pasos que se siguen. Es, en cierto m odo, lab o rato rio , artesanía, exploración y descubrim iento. 109

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H ay que señalar el cam bio de rol que se asigna a la ejercitación, no es ya la via p a ra el aprendizaje, sino la vía p a ra la consolidación. Se desea que los niños practiquen las m anipulaciones necesarias hasta que puedan llevarlas a cabo con el suficiente autom atism o. H ay quien prefiere h ab lar de fluidez, m ejor fluidez que autom atism o, ya que autom atism o den o ta aprendizaje m aquinal.

• El debate Se dice que los algoritm os no son m atem áticas, y que esta es una de sus grandes ventajas: « U n algoritm o es bueno, si perm ite hacer algo sin necesi­ d ad de tener que pensar acerca del significado de cada paso.» Se identifica algoritm o con autom atism o. Pero el algoritm o es autom ático u n a vez que se ha asim ilado el proceso m ediante el que se desarrolla y se ha com prendido la lógica que lo sustenta. Previam ente hay que recrearlo. Sin em bargo, cuando el algoritm o se introduce a edades m uy tem pranas, el énfasis se sitúa en la obtención correcta y ráp id a del resultado, se da prioridad al autom atism o en detrim ento de la com prensión. C on este planteam iento, la enseñanza de los algoritm os está m arcad a p o r el m aquinism o. N o tener que pensar acerca de lo que se hace, lo im p o rtan te es aprender a m anejar unos sím bolos de acuerdo con las reglas aunque no se sepan las razones de estas reglas. Es el autom atism o y p a ra ello lo m ejor es la estandarización, la ejercitación y el orden. T odos el m ism o, todos los días p o r el m ism o cam ino y todos de la m ism a m anera. Siguiendo este cam ino la finalidad de la enseñanza de los algoritm os se enquista, el objetivo son los propios algoritm os. Los problem as que resuel­ ven, eso es algo secundario, p ara después y únicam ente com o ejercicios para practicar. G ra n error, se olvida que el algoritm o p o r sí m ism o no tiene razón de ser. El algoritm o es una herram ienta y su im po rtan cia está en la m edida en que es la respuesta a situaciones problem áticas y no al contrario. Si claro, pero no se puede negar que la estandarización y el orden influyen a favor de la eficacia en la ejecución del algoritm o y puesto que aún nadie ha logrado d em o strar que com prender lo que ocurre m ejora la ejecu­ ción del algoritm o, ... Estos y o tro s argum entos form an p arte de la discusión. El debate está servido: A utom atism o p orque es m ás fácil y ráp id o de enseñar, y porque es lo que se h a enseñado en los últim os cien años, o au to n o m ía y com prensión porque es lo m oderno y lo que la gente necesita en la actualidad cuando no tiene una calculadora a m ano. P o r un lado, utilizar com o argum entos rapidez y tradición es cuando 110

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m enos peligroso. Con la lu n lu iin i *r pueden rechazar innovaciones valiosas y puede significar no adm ilu la tequíenla personal, especialm ente si ésta no viene d ad a p o r el proíesoi liusciindo la inpídez se corre el riesgo de identifi­ car lentitu d con incapacidad P o r o tro, la no com prensión de lo que ocurre conlleva ciertos efectos perniciosos que hay que cvilai, enlrc ellos una idea equivocada de cóm o es y funciona la m atem ática, un m enosprecio de la propia inteligencia, una fuente de errores, se hipoteca el éxito a largo plazo ante la im posibilidad de recons­ tru ir los pasos (no hay razón ni sustento para recordarlos), y una falta de conocim ientos p a ra aplicar o a c tu a r con flexibilidad ante nuevas situaciones de cálculo. Es evidente que el aprendizaje desde la com prensión presenta serias dificultades, sobre to d o en aulas superm asificadas y program as recargados. E nseñar los algoritm os com prendiendo el sentido que enlaza los pasos y los principios y razones que subyacen en los mismos, no es ta re a fácil ni rápida. D iseñar u n a secuencia con situaciones o m odelos en los cuales el niño se sienta seguro y p o r ello pued a experim entar, refinando y aco rtan d o sus m étodos h asta llegar a un proceso que pueda autom atizar, no es m oco de pavo. Es delicado plan tear subm etas y organizar pre-etapas que vayan aum en tan d o su nivel de concisión hasta culm inar en la lista de instrucciones que configuran el algoritm o. Adem ás, ¡no es lo que me han enseñado a mi! L a últim a reform a del añ o 1985, en Francia, ha o p tad o p o r incorporar nuevas nociones y térm inos en esta línea. Se h abla de construcción, transfor­ m ación, elaboración, y obtención p o r m étodos em píricos. M ientras tan to en nuestro país, se duerm e el sueño de los justos.

• L a estandarización D u ra n te siglos los tra ta d o s de aritm ética se han em peñado en m o strar el cálculo com o si sólo hubiera un cam ino, y adem ás de sentido único: E n el inform e C o c k c r o f t (1985, pág. 10) se señala: «H ubo o tro grupo que englobaba a quienes, aunque eran capaces de realizar los cálculos que se les exigían norm alm ente, tenían un sentim iento de insuficiencia, porque eran conscientes de que no u saban lo que p a ra ellos era el m étodo “adecuado”; en otras p alabras, no utilizaban los m étodos norm ales que se enseñan en las clases p a ra realizar cálculos p o r escrito. D e hecho, el estudio, aunque reveló u na gran variedad de m étodos p a ra resolver las cuestiones planteadas, ta m ­ bién puso de m anifiesto que m uchos individuos tenían sólo un m étodo p ara a b o rd a r un problem a dado. Si éste fallaba, o si el cálculo planteado se hacía dem asiado incóm odo, carecían de la capacidad y seguridad para afrontarlo con un m éto d o diferente. Ni siquiera, en algunos casos, eran conscientes de 111

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D E L A A R IT M E T IC A Dividendo hilnl ............. Producto primero ............ Resta primera y dividendo segundo ....................... Producto segundo ............ Resta segunda y dividendo tercero ......................... Producto tercero............... Resta tercera y dividendo cuarto........................... Producto cuarto ............... Resta cuarta y dividendo quinto ......................... Producto quinto ............... Resta quinta y dividendo sexto ............................ Producto sexto .................. Resta sexta y dividendo séptimo ........................ Producto séptim o ............. Séptima y última resta ....

630845371068

432507

432507

«358578 3 5 5

IQ 8 4 4 8

4

„ 173002,8

Substracción segunda

2 53355j 7

Substracción tercera

216253,5

371022,1 346005,6

Substracción cuarta

250165,0 216253,5 339i

i

Substracción quinta

5»6

Substracción sexta

302754,9

363607,8 346005,6

Substracción séptima

17602,2

(Tomado del Arte de escribir por reglas y con muestras según la doctrina de los mejores autores antiguos y modernos, extranjeros y nacionales: acompañado de unos principios de Aritmética, Gramática y Ortografía Castellana, Urbani­ dad y varios sistemas para la formación y enseñanza de los principales caracte­ res que se usan en Europa. Compuesto por D. Torquato Torio de la Riva y Herrero. Madrid MDCCXCVIII. En la imprenta de la viuda de D. Joaquín Ibarra. Con las licencias necesarias. En un grupo compuesto por muchos extranjeros se tuvo un día la sorpresa al ver presentar cuatro técnicas diferentes de la sustracción... cada persona que presentaba una de ellas estaba persuadida que la suya era la única posible. ( P ic a r d y G

ir o d e t ,

1 976, p á g . 4)

que podían existir otros m étodos alternativos, y posiblem ente m ás fá­ ciles.» A dem ás de sus dificultades intrínsecas nuestra escuela ha añadido dificul­ tades com plem entarias al aprendizaje de los algoritm os. La m ás usual co n ­ siste en que los d atos interm edios que aparecen en las operaciones no se escriben, sino que se opera con ellos m entalm ente y de m o d o inm ediato; así tenem os el llevarse en cada una de las colum nas de la, sum a y en cada u no de

112

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los p ro d u cto s parciales de la timllIphcttcíón. el prestar o «llevarse» en la resta, y el realizar los restos m tn medios de m em oria en la división. T odas estas operaciones se |in,>eman realizar rápidam ente y em pleando exclusivam ente la m em oria, los cálenlos m entales que im ponem os a nuestros algoritm os dificultan enorm em ente el trabajo en la operación correspondien­ te y m uchas veces son innecesarios. I I colocar lo que nos llevam os de una colum na de la sum a sobre la colum na siguiente, o bien el realizar el cálculo an o tan d o los cálculos interm edios, dism inuye las dificultades y perm ite a h o ­ rra r errores innecesarios. Sin em bargo no es usual que evitemos dificultades com plem entarias a nuestros alum nos.

• Hoy: L a tragedia L a tragedia del algoritm o están d ar en la escuela, ha llegado de la m ano de las calculadoras de bolsillo y de las cajas registradoras. Lo que p a ra to d o el m undo era un elem ento crucial de cualquier currículo escolar hace 20 años, h a em pezado a ser considerado com o algo que va perdiendo im portancia al m ism o ritm o que aum enta el interés por el cálculo m ental y estim ativo. L a estandarización, quizá tuviera sentido en o tra época, cuando la extensión de los cálculos hacía necesario la supervisión p o r o tra persona. H oy en día el cálculo es personal y no va m ás allá de aquél que se puede hacer m entalm ente, el resto es con calculadora y con ésta sólo se escriben los resultados. ¿N o es razonable pensar que el niño sólo debería aprender a hacer aquello que n o pueden hacer las m áquinas o que él puede hacer m ejor que ellas? En un inform e del año 1983, ya viejo, «School m athem atics: O ptio n s for 1990s», se señala refiriéndose al efecto de las calculadoras sobre los algoritm os estándares: «A lgunas destrezas tales com o la división larga, son obsoletas. Sólo recom endando que no sea enseñada, se liberaría un tercio del curso de las alum nos rápidos y probablem ente un año de los lentos p a ra enseñar o tras cosas.» Los prim eros artículos reclam ando la abolición han em pezado a a p are­ cer. Los prim eros m aestros que ya no enseñan los algoritm os largos han llegado ya. Los prim eros alum nos de M agisterio que nunca aprendieron la división larga ya están ahi. L a A ritm ética de colum nas, los algoritm os están­ d ar están en el filo de la navaja. E n el futuro es de esperar que la presión de los abolicionistas vaya en aum ento: ¿Q ué íbam os a hacer en nuestras escuelas si esto ocurriera? ¿En qué íbam os a entretener a nuestros alum nos sino podem os m antenerlos ocu p a­ dos con la ejercitación de los viejos y anticuados algoritm os? Q u izá la respuesta esté en el equilibrio razonable entre aritm ética de colum nas y aritm ética m ental. ¿P or qué presentarlas com o oponentes? ¿N o hay un a tercera vía? 113

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• £1 Panorama: La exploración actual. Líneas No voy a decir que los algoritmos de lápiz y papel no deberían enseñarse, pero sí diré que solamente deberían enseñarse como parte del arsenal de técnicas de que disponemos para ayudar a comprender los números y no porque sean útiles. ( G i r l i n g c it. F i e l k e r ,

1986, p á g . 106)

L a construcción de los algoritm os usuales de cálculo puede ser utilizada com o estereotipo de donde sacar m odelos y líneas de actuación. Perm ite hacer com prender que una ta re a m atem ática puede ser realizada de diferentes form as y que éstas pueden venir determ inadas p o r uno m ism o y no p o r el m aestro o el libro de texto. (Este es un prim er paso p ara el tratam ien to personalizado de los algoritm os). D a pie a conversar acerca de cóm o se h a resuelto y p o r qué, a conversar acerca de los pasos alternativos, de sus ventajas e inconvenientes, de la form a de transcribirlos y esquem ati­ zarlos con lápiz y papel, a ab rir la crítica a las soluciones ap o rtad as p o r los com pañeros, etc. C on to d o ello se configura un surtido de disposiciones prácticas, variantes de las form as escritas del algoritm o, que originan discu­ siones sobre su conveniencia, sencillez, eficacia, etc. ¿No es esto el diseño del algoritm o, ponerse en el sitio del inventor y entender las razones que lo originaron? El grupo W iscobas (IO W O ) h a experim entado un p rogram a que atiende a la progresiva esquem atización y abreviación. E m pezando p o r un contexto problem ático, d an pie a la exploración y al descubrim iento a p artir de la m anipulación (ábacos y bloques de 10, básicam ente). C uando se h a resuelto el problem a a este nivel se p asa a un esquem a transaccional y p o r últim o al estándar. Es incorrecto esperar que todos los niños de una m ism a clase o aula, adquieran el m ism o nivel de com petencia del m ism o algoritm o y en el mismo tiem po. C om o la progresiva construcción, abreviación y esquem atización ofrece pre-algoritm os en g rado creciente de dificultad, tiene la ventaja de que satisface a tod o s los alum nos, incluso a los m enos do tad o s que nunca llegarán al final. ¿P o r qué el objetivo ha de ser todos el m ism o algoritm o? C ada uno que haga el que p u eda hacer mejor. C onviene señalar que la construcción progresiva de que hablam os, no tiene el sentido de que hay que d o m in ar prim ero el algoritm o con dos cifras p ara p asar al algoritm o con tres, desde el prim er m om ento se puede trab a jar con núm eros grandes. L a dificultad no está en el tam año del núm ero sino en el nivel de abreviación.

114

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• ¿Qué ocurrirá mañanu? Se puede co ntestar com o lo In/o el m eteorólogo al que se le preguntó que qué tiem po h a ría al dia siguiente «N mismo que hoy» dijo, convencido de equivocarse lo m ínim o. I’cio (am hién se puede arriesgar algo y lanzar una respuesta atrevida: M añana no hnhiñ algoritm os de cálculo en nuestras escuelas, m ás allá de aquel que se pueda hacer m entalm ente.

4.3.1.

A lgoritm os para la sum a

A m enudo la sum a im plica a parejas de núm eros distintas de aquéllas cuyo resultado h a sido retenido p o r nuestra m em oria y cuyo considerable tam añ o obliga a organizar su procesam iento de tal m anera que no se vuelva interm inable.

• La presentación instrumental L a form a in strum ental de presentación adm ite varias versiones: Expandido

Extendido

Abreviado

Estándar

40+5 + 30+8

45 + 38

45 + 38

45 + 38

13 70

70 + 13

(7 + 1)3

83

(70 + 10) + 3

• La justificación relaciona! Las ideas necesarias p a ra com prender cóm o funciona el algoritm o desde el p u n to de vista relacional implican: • L a estru ctu ra del sistem a de num eración decim al haciendo hincapié en la transferencia entre las expresiones m ultiplicativa y posicional. • Las sum as básicas. • Las propiedades asociativa, conm utativa y distributiva. En la jerg a usual, se explican diciendo que en la sum a se puede prescincir del orden p ero hay que sum ar o rdenadam ente (¡horror!): En lugar de sum ar centenas, decenas y unidades con centenas, decenas y unidades, que es com o vienen d ad o s los núm eros, hay que sum ar centenas con centenas, decenas 115

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con decenas y unidudcs con unidades. ¡Claro! Las m anzanas con las m anza­ nas y no con las peras.

45 + 38 = = = = = = = =

[4(10) + 5] + [3(10) + 8] = [4(10) + 3(10)] + [5 + 8] = [(4 + 3X10)] + [5 + 8] = 7(10) + 13 = RIO)] + [1(10) + 3] = (7 + 1)(10) + 3 = 8(10) + 3 = 83

Estructura Decimal Asociativa y Conmutativa Distributiva Sumas básicas Estructura Decimal Distributiva Sumas básicas Estructura Posicional

La construcción progresiva D esd e el pun to de vista progresivo el cam ino puede pasar por los m ate­ riales m anipulativos hasta que el n iño esté en con d icion es de efectuar la transcripción al lenguaje escrito:

5+

ood

35 + 38 (7 + 1)3

4

+

3

U n a vez se llega a la form a escrita regular o estándar del algoritm o aparece una dificultad puram ente técnica, el esfuerzo m ental que supone retener «las que se llevan», las que han de ser añadidas a la colum na 116

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siguiente. En la práctica, nc obvia @1 problem a recurriendo a una estratage­ m a, registrar la cantidad que arruNlru en ulgún lugar estratégico m ediante núm eros, m arcas o señales. 1 4 86 + 7 53 39

H7 (7 i 5. 12, pongo una marca, 2 + 9, 11, otra 6? l 4y El número de marcas indica la cantidad que hay que llevar

La progresiva esquema tización La construcción paso a paso del algoritm o se puede organizar a p artir de la m anipulación exclusiva de núm eros, de esta m anera se introducen prealgoritm os o pre-etapas del e stán d ar o definitivo. P o r ejemplo, los algorit­ m os con sum as parciales: Extendidos 486 + 758

400 + 80 + + 700 + 50 + 400 + 700 + 80 + 50 1100 + 130

Resumido 486 + 758

400 + 80 + 6 700 + 50 + 8 400 + 700 1100 80 + 50 130 6 + 8 14

6 8 + 6 + 8 + 14

Abreviado 486 + 758

14 130

+ 1100

14 13

11

Es im p o rtan te establecer pre-algoritm os p o r varias razones, unas porque explican la versión abreviada final, y o tras p orque los niños raram ente tienen ocasión en la escuela de exam inar o tro s m odos de ac tu ar que no sean los usuales. Los algoritmos con sumas parciales Los algoritm os con sum as parciales desem peñaron un papel digno, en una época en la que no h abía calculadoras, eran utilizados com o prueba 117

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(P e a r s o n , 1986) para la sum a, en el sentido de com probante. H o y lo p ode­ m os contem plar de olra manera:

• Al no tener que llevar ninguna can tid ad es un algoritm o aconsejable p a ra principiantes o p ara niños con dificultades de atención. • Al m o strar todas las sum as parciales, en caso de erro r en la ejecución, éste salta a la vista y no hay que rehacer todo el cálculo. • L a sim ilitud que presenta con el algoritm o de la m ultiplicación, hará que éste sea m enos m isterioso cuando llegue. 486 x 758

486 + 758

3888 2430 3402

14 13 11

C ad a fila debe com enzar ju sto debajo de la colum na de la cifra que la origina, son los desplazam ientos a la derecha que tan to s problem as d an a los niños, sobre todo, cuando hay ceros intercalados. C u an d o to d o este trasfondo ha sido com prendido ya se puede sum ar en cualquier orden, lo que supone, cuando m enos, au m entar el grado de a u to ­ nom ía y libertad del alum no: ( 1)

(2 )

486 + 758

486 + 758 13

11

13 14 E-6 8 :

11

14

El algoritmo (1) se ejecuta en el mismo orden en que se leen y escriben los números, de izquierda a derecha. ¿Se puede sumar de izquierda a derecha con el algoritmo usual? Explica por qué y cómo.

U n inconveniente que presenta el algoritm o con sum as parciales, es que a m edida que au m en ta el núm ero de cifras de los sum andos, aum enta el núm ero de filas. ¡Once cifras, once filas! L a disposición en diagonal obvia este contratiem po: 486 +758 1/ 1 / 1 / /I/3/4 1 /2 /4 /4

486 + 758 1 1 1 1 3 4 1 2 4 4 -

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En cualquier caso, y si cuín liittpoiílclón escandaliza, siem pre se puede escribir horizontalm enlc: 4

8

(.

7

5

8

11

1.1

14 -

1(1 i l>(3 I 1 ) 4 = 1244

En últim a instancia, ¿por qué no abreviar la ejecución sum ando por parejas?

i 3 4 2 2

5 6 4 7

2 3

2 5

(56 + 40, 96 + 7, 103 + 20, 123 + 5, 128)

” 2~8

E-69:

Sumarle a un número el que resulta de invertir sus dígitos, produce situaciones chocantes. P or ejemplo: 132