• Author / Uploaded
• Daniel Atm

Citation preview

Máquinas Eléctricas Dr. Manuel A. Andrade Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Doctorado en Ingeniería Eléctrica

Agosto – Diciembre 2010

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

1 / 26

Parte I Transformadores. Parte 2

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

2 / 26

1

Efecto de la corriente en el secundario Ejemplo

2

Tarea

3

Simulación en Computadora de Circuitos Acoplados

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

3 / 26

Efecto de la corriente en el secundario Considere el transformador, con un devanado primario de N1 vueltas y un devanado secundario de N2 vueltas, mostrado en la Figura 1. Asuma que las resistencias de ambos devanados son despreciables, y que el flujo está confinado en el núcleo y une a ambos devanados, no hay pérdidas en el núcleo y la permeabilidad del núcleo es tan alta que sólo se requiere una fmm despreciable para establecer el flujo. Estas propiedades se aproximan pero nunca se alcanzan en los transformadores reales. Un transformador hipotético con tales propiedades se conoce como transformador ideal.

Figura 1: Transformador ideal y carga.

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

4 / 26

Bajo las consideraciones anteriores, si se aplica un voltaje variante con el tiempo v1 en las terminales del primario, se establecerá un flujo en el núcleo ϕ tal que la fem e1 contrarestará al voltaje aplicado. Así v1 = e1 = N1

dϕ . dt

(1)

El flujo en el núcleo liga al secundario y produce una fem inducida e2 , y un voltaje en terminales secundario v2 , dado por v2 = e2 = N2

dϕ . dt

(2)

Dividiendo (1) y (2), v1 N1 = . v2 N2

(3)

Así un transformador ideal transforma voltaje en la razón de las vueltas de sus devanados. ()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

5 / 26

Suponga que se conecta una carga en el secundario. Una corriente i2 y una fmm N2 i2 se presentan ahora en el secundario. Ya que la permeabilidad del núcleo se asumió muy grande y dado que el voltaje aplicado en el primario estableció el flujo especificado por (1), el flujo del núcleo no cambia por la presencia de carga en el secundario, y por lo tanto la fmm net de excitación actuando en el núcleo (igual a N1 i1 − N2 i2 ) no cambiará y seguirá siendo despreciable. Por lo tanto N1 i1 − N2 i2 = 0.

(4)

A partir de (4) se puede ver que debe existir una fmm compensante en el primario para cancelar la del secundario. Así (5)

N1 i1 = N2 i2 . A partir de (5) i1 N2 = . i2 N1 Por lo tanto, un transformador ideal transforma la corriente en la razón inversa de las vueltas de sus devanados. ()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

(6)

6 / 26

También, a partir de (3) y (6) se tiene (7)

v1 i1 = v2 i2 ,

esto es, la potencia instantánea de entrada del primario iguala a la potencia instantánea de salida del secundario. Esta es una condición necesaria, ya que todos los mecanismos disipativos y de almacenamiento de energía en el transformador se han despreciado.

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

7 / 26

Se puede observar una propiedad adicional del transformador ideal si se considera el caso de un voltaje sinusoidal aplicado y una impedancia de carga. Empleando notación fasorial en el circuito simplificado de la Figura 2a, se puede ver que los voltajes Vˆ 1 y Vˆ 2 están en fase. A partir de (5) se puede ver que también las corrientes Iˆ1 e Iˆ2 están en fase. Figura 2: Tres circuitos idénticos en terminales ab cuando el transformador es ideal.

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

8 / 26

En forma fasorial, (3) y (??) se pueden expresar como N1 ˆ Vˆ 1 = V2 N2 N2 ˆ Iˆ1 = I2 N1

N2 ˆ Vˆ 2 = V1 , N1 N1 ˆ Iˆ2 = I1 . N2

y y

(8) (9)

A partir de estas ecuaciones Vˆ 1 = Iˆ1



N1 N2

2

Vˆ 2 . Iˆ2

(10)

Notando que la impedancia de la carga se relaciona con los voltajes y corrientes del secundario Vˆ 2 Z2 = , (11) Iˆ2 donde Z2 es la impedancia compleja de la carga. ()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

9 / 26

En consecuencia, por el efecto, una impedancia Z2 en el circuito secundario puede ser reemplazada por una impedancia equivalente Z1 en el circuito primario, tomando en cuenta que  Z1 =

N1 N2

2 (12)

Z2 .

Así, los tres circuitos de la Figura 2 son equivalentes en cuanto se refiere al comportamiento visto desde las terminales ab. Transferir una impedancia de un lado del transformador al otro en esta forma se conoce como referir la impedancia al otro lado; las impedancias se transforman al cuadrado de la relación de vueltas. En resumen, en un transformador ideal, los voltajes se transforman de forma proporcional a la razón de vueltas, las corrientes en la razón inversa, y las impedancias en proporción directa a la razón al cuadrado; la potencia y voltamperes permanecen sin cambio. ()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

10 / 26

Ejemplo 1.1 El circuito equivalente de la Figura 3 muestra un transformador ideal con una impedancia R2 + jX2 = 1 + j4Ω conectada en serie con el secundario. La relación de vueltas N1 /N2 = 5 : 1. (a) Dibuje el circuito equivalente con la impedancia serie referida al lado primario. (b) Para un voltaje primario de 120 V rms y un corto circuito en las terminales A-B, calcule la corriente del primario y la corriente circulando en el corto. Figura 3: Circuitos equivalentes para el Ejemplo 1.1. (a) Impedancia en serie con el secundario. (b) Impedancia referida al primario.

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

11 / 26

Tarea Repita la parte (b) del Ejemplo 1.1 para una impedancia serie R2 + jX2 = 0.05 + j0.97Ω y una relación de vueltas de 14 : 1.

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

12 / 26

Simulación en Computadora de Circuitos Acoplados

La formulación apropiada para simulación computacional de las ecuaciones de voltaje d devanados acoplados estacionarios es sencilla, además la técnica es fundamental para la simulación computacional de máquinas de ac. Por lo tanto, es recomendable considerar este método aquí. Considere los circuitos magnéticamente acoplados mostrados en la Figura 4. Ambos devanados consisten de N1 y N2 vueltas respectivamente, y están arrollados en un núcleo con permeabilidad muy grande en relación a la del aire. Figura 4: Circuitos magnéticamente acoplados.

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

13 / 26

En general, el flujo producido por cada bobina puede separase en dos componentes: una componente de dispersión denotada por un subíndice l y una componente de magnetización denotada por un subíndice m. El flujo que une cada devanado está expresado por φ1 = φl1 + φm1 + φm2 ,

(13)

φ2 = φl2 + φm2 + φm1 .

(14)

El flujo disperso φl1 es producido por la corriente que circula por el devanado 1, y enlaza sólo las vueltas del devanado 1. Asimismo, el flujo de dispersión φl2 es producido por la corriente fluyendo en el devanado 2, y enlaza solamente las vueltas del devanado 2. Los flujos magnetizantes φm1 y φm2 son producidos por la corrientes fluyendo por los devanados 1 y 2, respectivamente, y y enlazan todas las vueltas de ambos devanados.

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

14 / 26

Ya que se asume que φ1 enlaza las vueltas equivalentes de la bobina 1, y φ2 enlaza las vueltas equivalentes de la bobina 2, los enlaces de flujo se pueden escribir como λ1 = N1 φ1 .

(15)

λ2 = N2 φ2 ,

(16)

donde φ1 y φ2 están dados por (13) y (14), respectivamente.

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

15 / 26

Despreciando la saturación, el sistema mostrado en la Figura 4 es lineal y los flujos pueden expresarse como N1 i1 , Rl1 N1 i1 φm1 = , Rm N2 i2 φl2 = , Rl2 N2 i2 , φm2 = Rm

(17)

φl1 =

(18) (19) (20)

donde Rl1 y Rl2 son las reluctancias de las trayectorias de dispersión y Rm es la reluctancia de la trayectoria de los flujos magnetizantes.

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

16 / 26

Sustituyendo (17)–(20) en (13) y (14) resulta N1 i1 N1 i1 N2 i2 + , + Rl1 Rm Rm N2 i2 N2 i2 N1 i1 φ2 = + , + Rl2 Rm Rm φ1 =

(21) (22)

Sustituyendo (21) y (22) en (15) y (16) resulta N12 N2 N1 N2 i1 + 1 i1 + i2 , Rl1 Rm Rm N2 N2 N2 N1 λ2 = 2 i2 + 2 i2 + i1 , Rl2 Rm Rm λ1 =

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

(23) (24)

17 / 26

Cuando el circuito magnético es lineal, los enlaces de flujo se expresan por lo general en términos de inductancias y corrientes. Se puede ver que los dos primeros términos del lado derecho de (23) dependen de las vueltas de la bobina 1 y la reluctancia del circuito magnético, independientemente de la existencia del devanado 2. Se puede hacer una declaración análoga con respecto a (24). Por lo tanto, las inductancias propias se definen como N2 N12 (25) + 1 = Ll1 + Lm1 Rl1 Rm N2 N2 L22 = 2 + 2 = Ll2 + Lm2 (26) Rl2 Rm donde Ll1 y Ll2 son las inductancias de dispersión y Lm1 Lm2 las inductancias de magnetización de los devanados 1 y 2, respectivamente. De (25) y (26) se puede ver que las inductancias de magnetización están relacionadas por Lm2 Lm1 = 2 (27) N22 N1 L11 =

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

18 / 26

Las inductancias mutuas se definen como los coeficientes del tercer término de (23) y (24). N1 N2 Rm N2 N1 L12 = Rm

(28)

L12 =

(29)

Obviamente, L12 = L12 . Las inductancias mutuas se pueden relacionar a las inductancias de magnetización. En particular, N2 N1 L12 = Lm1 = Lm2 . (30) N1 N2 Los enlaces de flujo ahora se pueden escribir como

donde

()

λ = Li

(31)

#   " N2 L Ll1 + Lm1 L11 L11 m1 N1 L= = N1 L21 L22 L L + Lm2 m2 l2 N2

(32)

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

19 / 26

Expresando los enlaces de flujo de (31) como   N2 λ1 = Ll1 i1 + Lm1 i1 + i2 , N1   N1 λ2 = Ll2 i2 + Lm2 i1 + i2 . N2

(33) (34)

Haciendo un cambio de variables para (N2 /N1 )i2 , refiriendo la corriente en el devanado 2 hacia el devanado 1 i02 =

N2 i2 , N1

(35)

donde i02 es una variable de sustitución que produce la misma fmm cuando fluye por el devanado 1 como i2 lo hace cuando fluye por el devanado 2.

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

20 / 26

La potencia permanece sin cambio por esta sustitución de variables. Por lo tanto, N1 v2 , (36) v02 = N2 ya que v2 i2 = v02 i02 . Los enlaces de flujo, se relacionan a los enlaces de flujo de sustitución de la misma forma que los voltajes. En particular, λ20 =

()

N1 λ2 , N2

Máquinas Eléctricas

(37)

Agosto – Diciembre 2010

21 / 26

Si sustituimos (35) en (33) y (34), luego multiplicamos (34) por N1 /N2 para obtener λ20 para después sustituir (N22 /N12 )Lm1 por Lm2 en (33), entonces λ1 = Ll1 i1 + Lm1 (i1 + i02 ),

(38)

0 0 Ll2 i2 + Lm1 (i1 + i02 ),

(39)

λ2 = donde

0 Ll2

()

 =

N1 N2

2 (40)

Ll2 .

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

22 / 26

Las ecuaciones de voltaje se expresan entonces como dλ1 dt dλ 0 v02 = r20 i02 + 2 dt

(41)

v1 = r1 i1 +

donde r20

 =

N1 N2

(42)

2 (43)

r2 .

Las ecuaciones de voltaje anteriores sugieren el circuito T equivalente mostrado en la Figura 5. Es aparente que este método se puede extender para incluir cualquier número de bobinas devanadas en el mismo núcleo. Figura 5: Circuito equivalente con la bobina 1 seleccionada como referencia.

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

23 / 26

Escribiendo (38) y (39) como λ1 = Ll1 i1 + λm ,

(44)

λ20

= Ll2 i2 + λm ,

(45)

λm = Lm (i1 + i02 ).

(46)

donde Resolviendo (44) y (45) para las corrientes se tiene 1 , Ll1 (λ1 − λm ) 1 i02 = , 0 Ll2 (λ2 − λm )

(47)

i1 =

()

Máquinas Eléctricas

(48)

Agosto – Diciembre 2010

24 / 26

Si (47) y (48) se sustituyen en las ecuaciones de voltajes (41) y (41) y resolvemos las ecuaciones resultantes para los enlaces de flujos, se obtienen las siguientes ecuaciones:  Z  r1 dt, (49) λ1 = v1 + Ll1 (λm − λ1 ) " # Z r20
dt, λ20 = v02 + 0 (50) Ll2 λm − λ20 Sustituyendo (47) y (48) en (46) se tiene   λ20 λ1 + , λm = La Ll1 Ll2 donde  La =

()

1 1 1 + + Lm1 Ll1 Ll2 Máquinas Eléctricas

(51)

−1 (52)

Agosto – Diciembre 2010

25 / 26

Se han obtenido las ecuaciones que expresan λ1 y λ20 como variables de estado. En simulación computacional, (49) y (50) se usan para resolver λ1 y λ20 y (52) se usa para resolver λm . las corrientes se pueden encontrar a partir de (47) y (48).

()

Máquinas Eléctricas

Agosto – Diciembre 2010

26 / 26