Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos E ste bloque de activ
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Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos
E
ste bloque de actividades tiene dos propósitos: (1) presentarte una propuesta alternativa para el estudio del álgebra, con el fin de refrescar los conocimientos matemáticos adquiridos durante el bachillerato, y (2) someter a tu análisis una propuesta didáctica en la que se aplican las ventajas de un procesador algebraico que facilite el aprendizaje del álgebra como un lenguaje para expresar y justificar generalizaciones sobre el comportamiento de patrones numéricos. Las actividades de este bloque y todos los que conforman el libro, están diseñadas de acuerdo con un precepto teórico desarrollado por el psicólogo Jerome Bruner, el cual consiste en el establecimiento de un formato de comunicación entre el que enseña y el que va a aprender. Este formato, aparentemente rígido, ofrece una flexibilidad que permite introducir sutilmente nuevos elementos del código de comunicación (en nuestro caso, del código algebraico). La presentación de las actividades parece repetitiva, pero no lo es, ya que siempre hay algún nuevo elemento matemático en cada hoja de trabajo, ya sea del tipo de valores numéricos que se emplean, o de algún nuevo elemento en la estructura algebraica. Por ejemplo, se transita de las funciones de la forma f(x) = x + a, f(x) = ax y f(x) = ax + b, a las inversas de esas funciones, o bien, del ámbito de las funciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita; inclusive, del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al de la lectura de esas expresiones. Te invitamos a que analices estas actividades bajo la perspectiva del tipo de aprendizaje matemático que pueden desarrollar los alumnos de educación básica. Nuestra mayor expectativa es que tu análisis se vea enriquecido cada vez que concluyas un bloque de actividades, con lo que desarrollarás competencias que en un futuro cercano pondrás en práctica como docente de educación básica.
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Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 1 Patrones numéricos: Valores de entrada y salida Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce la siguiente tabla. Valor de entrada
Valor de salida
1
5
2
6
3
7
4
8
5
9
Si el valor de entrada es 1, el programa da por resultado 5; si introduce 2, da por resultado 6, y así sucesivamente 1. ¿Qué resultado dará la calculadora si escribes 6 como valor de entrada? ¿Si escribes 10 ?
¿Y si el valor de entrada fuera 0?
Explica qué operación hiciste para obtener esos resultados. 2. Construye en tu calculadora una expresión algebraica que produzca los mismos resultados. Escribe tu expresión en el siguiente recuadro.
3. Usa tu programa para encontrar los números que faltan en la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida
17
35.02
89.73
107.06
299.1
307.09 511
4. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores asociados a 511 y 613.03. 5. Comprueba que el valor que obtuviste para 511 es el correcto y explica tu procedimiento.
613.03
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Hoja de trabajo 2 Valores proporcionales (1) Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce la siguiente tabla. Valor de entrada
Valor de salida
7
14
8
16
9
18
15
30
18
32
1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 5?
¿Si es 25?
¿Y si fuera 17? Indica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener esos resultados. 2. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.
3. Utiliza tu programa para encontrar los valores que faltan en la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida
25
37.03
59.83
117.18
136.1
200.79 551
653.38
4. Indica qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada 551 y 653.38. 5. Comprueba que el valor de entrada para 653.38 es correcto y explica cómo lo obtuviste.
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Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 3 Valores proporcionales (2) 1. Completa la siguiente tabla. Valor de entrada
Valor de salida
2.5
7.5
3.1
9.3
4
12
5.3
30
6.2 47.4 73 2. Indica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores que faltan. 3. Programa tu calculadora para encontrar los valores de salida y escribe tu programa en el siguiente recuadro.
4. Comprueba que tu programa obtenga los mismos valores de la tabla. 5. Completa la siguiente tabla usando tu programa. Valor de entrada
9
17
18.04
47.01
50.4
63.9
Valor de salida
89.1
92.4
6. Explica qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada asociados a 89.1 y 92.4. 7. Comprueba que el valor de entrada para 92.4 es correcto y explica cómo lo obtuviste.
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Hoja de trabajo 4 Reglas de dos pasos (1) Un estudiante creó un programa que produjo la siguiente tabla. Valor de entrada
Valor de salida
1.1
3.2
2.6
6.2
3
7
4.3
9.6
5
11
1. ¿Qué valor de salida dará la calculadora si el valor de entrada es 50?
¿Si es 81?
¿Y si fuera 274? 2. Indica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos resultados. 3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla, luego escribe tu programa en el siguiente recuadro.
4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada
12
16
Valor de salida
19.05
48.02
51.45
62.7 88.2
95.4
5. Ese estudiante afirma que puede usar el programa que hiciste para comprobar que 88.2 es el valor de salida correcto ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento. 6. Explica con la mayor precisión posible cómo puedes usar tu programa para comprobar que el valor que obtuviste para 95.4 es el correcto.
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Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 5 Reglas de dos pasos (2) Un estudiante construyó un programa que presenta los valores de la siguiente tabla. Valor de entrada
Valor de salida
1
1
2
3
3
5
4
7
5
9
1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 6? ¿Si es 7?
¿Si es 15?
2. Indica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores. 3. Programa tu calculadora para que produzca la misma tabla que el estudiante. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.
4. Escribe detalladamente cómo compruebas que tu programa produce los mismos valores de salida que se muestran en la tabla. 5. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida
10
11
15
27 25
259.14 137
6. Comprueba que el valor de entrada para 137 es correcto y explica cómo lo obtuviste.
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Hoja de trabajo 6 Patrones con valores negativos (1) 1. Completa la siguiente tabla. Valor de entrada
–10
–9.7
–7.8
–6.2
Valor de salida
–9.5
–9.2
–7.3
–5.7
–5.3
– 4.6
– 0.7
0
1.3
12.4
2. Programa tu calculadora para que complete la tabla, luego escribe el programa en el siguiente recuadro.
3. Completa la siguiente tabla usando tu programa. Valor de entrada
–20
–14.7
Valor de salida
–13.8
–12.3
–9.6 –10.3
2.5 0
4. Usa tu programa para comprobar que los valores de entrada que obtuviste para –10.3 y 0 son correctos. ¿Obtuviste los mismos resultados?
Si no, modifica tu programa e intenta de nuevo.
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Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 7 Patrones con valores negativos (2) 1. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla. Valor de entrada
Valor de salida
–15
–16.5
–14.5
–16
–12.4
–13.9
–10.2
–11.7
–5.8 –4.6 –0.9 0 2. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar los valores que faltan en la tabla. Ofrece un ejemplo usando uno de los valores de entrada. 3. Programa tu calculadora para reproducir los valores de la tabla. 4. Escribe tu programa en el siguiente recuadro. Asegúrate de que permita encontrar los mismos valores que se muestran en la tabla.
5. Completa la siguiente tabla usando tu programa. Valor de entrada Valor de salida
–20
–13.8 –17.3
–10.83 –11.9
–.05 –9.72
10
6. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor de entrada que obtuviste para –9.72 es correcto.
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Hoja de trabajo 8 Constante de proporcionalidad fraccionaria (1) Un grupo de estudiantes construyó la siguiente tabla usando un programa. Valor de entrada
Valor de salida
10.5
5.25
14.42
7.21
15.3
7.65
16.7
8.35
20.1
10.05
1. ¿Qué resultado producirá la calculadora si el valor de entrada es 6? ¿Si es 56?
¿Si es 19.3?
¿Y si fuera 177?
2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros lo entiendan. 3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla y escribe tu programa en el siguiente recuadro.
4. Comprueba que tu programa obtiene los mismos valores de la tabla y explica cómo lo hiciste.
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Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 9 Constante de proporcionalidad fraccionaria (2) Un estudiante produjo la siguiente tabla usando un programa en su calculadora. Valor de entrada
Valor de salida
6
9
8
12
14
21
15
22.5
18
27
1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 10? ¿Si es 13.4?
¿Y si fuera 15.6?
2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros lo entiendan. 3. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos valores de la tabla y escribe en el siguiente recuadro el programa correspondiente.
4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida
20
35 33
44 57
72 75
123
5. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que encontraste para 57 es el correcto.
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Hoja de trabajo 10 Constante de proporcionalidad fraccionaria (3) 1. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y escríbelos en los espacios correspondientes. Valor de entrada
Valor de salida
4
4.04
6
6.06
9
9.09
10
10.1
12
12.12
15.5 17.8 19.2 20.4 50.2 2. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que todos tus compañeros lo entiendan. 3. Programa tu calculadora para obtener los valores de la tabla y escribe tu programa en el siguiente recuadro.
Comprueba que tu programa produce los mismos números de la tabla. De lo contrario, modifícalo e intenta de nuevo. 4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida
1
3.1 2.222
9 4.343
32 12.12
5. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto.
38.784
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Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 11 Lectura de expresiones algebraicas (1) 1. Sin usar la calculadora, encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y escríbelos en la columna correspondiente. Valor de entrada
Valor de salida
3 9 11.5 12 15 18 Un estudiante dice que va a usar el programa 2 + 2 × b para completar la tabla anterior. 2. Introduce el programa 2 + 2 × b en tu calculadora y comprueba que coincidan tus respuestas. De lo contrario, corrígelas y explica a qué se debió el error. 3. Con el programa 3 + 5 × a completa, sin usar la calculadora, la siguiente tabla. Valor de entrada
2
4
5
8
Valor de salida
12 53
20 78
4. Introduce el programa en tu calculadora y úsalo para comprobar tus respuestas. ¿Coincidieron con los resultados de la calculadora? Si no fue así, ¿a qué crees que se deba? 5. Escribe en tu calculadora el programa (3 + 5) × a y completa la siguiente tabla. Valor de entrada
2
Valor de salida
4
5
8
12 53
20 78
6. Compara tus resultados con los de la tabla anterior. ¿A qué crees que se deban las diferencias? Explícalo con un ejemplo.
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Hoja de trabajo 12 Lectura de expresiones algebraicas (2) La siguiente tabla se produjo con un programa de la calculadora. Valor de entrada
Valor de salida
7
23
9
29
10
32
12
38
16
50
1. Un estudiante dice que el programa 2 + 3 × b le permite producir los valores de la tabla anterior. ¿Estás de acuerdo? Escribe un ejemplo que justifique tu respuesta. 2. Otra estudiante dice que el programa 2 + b + b × 2 también produce los valores de la tabla. ¿Estás de acuerdo? Escribe un ejemplo que justifique tu respuesta. 3. Una tercera estudiante dice que el programa 5 × a + 2 - 2 × a también produce los valores de la tabla. ¿Estás de acuerdo? Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta. 4. Escribe otros programas que permitan obtener los valores de la tabla. Anota todos los que encuentres.
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Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 13 Reglas de dos pasos (3) Una estudiante hizo un programa que produce la siguiente tabla. Valor de entrada
Valor de salida
7
20
7.5
21.5
8.2
23.6
9
26
9.6
27.8
1. Si el valor de entrada es 10, ¿cuál será el de salida? Si el valor de entrada es 12, ¿cuál será el de salida? 2. La calculadora dio 17.5 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada? Explica detalladamente qué hiciste para encontrar el valor asociado a 17.5. 3. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla anterior. Escribe el programa en el siguiente recuadro.
4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida
3
5.1 17
9.4 15.2
22 32.6
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Bloque 1 • Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos
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Hoja de trabajo 14 Constante de proporcionalidad fraccionaria (4) Una estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes valores. Valor de entrada
Valor de salida
10
2.5
15
3.75
20
5
25
6.25
30
7.5
1. Si el valor de entrada es 56, ¿cuál será el de salida? 2. Si la calculadora da 87 como valor de salida, ¿cuál será el de entrada? 3. Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 87.
4. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.
5. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida
3
5.1 1
9.4 1.65
22 2.7
8.75
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Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 15 Constante de proporcionalidad fraccionaria (5) Un estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes valores. Valor de entrada
Valor de salida
2
5
3
7.5
4
10
5
12.5
1. Si el valor de entrada es 6, ¿cuál será el de salida? 2. ¿Y si el valor de entrada fuera 7, cuál valor nos daría? ¿Y si fuera 55? 3. La calculadora dio 35 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada? 4. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 35. 5. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.
6. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida
3
5.1 8.5
9.4 15.5
12.2 23.5
35
Bloque 1 • Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos
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Hoja de trabajo 16 Constante de proporcionalidad fraccionaria (6) Esta tabla resultó de utilizar un programa que se hizo en una calculadora. Valor de entrada
Valor de salida
0.15
0.015
0.27
0.027
0.3
0.03
1.5
0.15
2.03
0.203
1. Si el valor de entrada es 10, ¿qué valor dará de salida? 2. Si la calculadora da 37 como valor de salida, ¿cuál debe ser el valor de entrada? 3. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 37. 4. Comprueba que el valor asociado a 37 es el correcto y explícalo detalladamente. 5. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.
6. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de entrada Valor de salida
3
5.1 0.4
9.4 0.63
12.2 1.18
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Desarrollo del pensamiento algebraico
Actividades sugeridas para el futuro docente 1. Con base en tu experiencia al realizar las actividades de este bloque, explica el papel que desempeñan las tablas de valores en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse con otro tipo de recurso? Analiza ampliamente tu respuesta con tus compañeros. 2. Del mismo modo, explica el rol de un procesador algebraico en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse con otro recurso? Analiza ampliamente tu respuesta con tus compañeros. 3. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas se transita del ámbito de las funciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros. 4. También se afirma que “se transita de las funciones de la forma f (x) = x + a, f (x) = ax y f (x) = ax + b, a las inversas de esas funciones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros. 5. Hay otra aseveración, según la cual “se transita del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al de la lectura de esas expresiones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esta afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor. 6. En la presentación de este bloque se mencionan las funciones de la forma f (x) = x + a, f (x) = ax y f (x) = ax + b. Indaga en fuentes bibliográficas o en Internet las definiciones de los siguientes conceptos: 2) Dominio de una función. 3) Contradominio de una función. 4) Imagen de una función. 5) Regla de correspondencia de una función. Ejemplifica esos conceptos con extractos de las actividades que hayas realizado en este bloque.